2022-2023学年湖南省岳阳市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省岳阳市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在每一个学子心中或许都梦想过自己心目中大学的模样，很多大学的校徽设计也会融入数学元素，下列大学校徽内圆的图案是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 如图，直线，且，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，，，则点到的距离为( )
A. 线段的长度
B. 线段的长度
C. 线段的长度
D. 线段的长度
6. 计算：的结果是( )
A. B. C. D.
7. 为庆况神舟十五号发射成功，学校开展航大知识克赛活动，经过几轮筛选，本班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数单位：分及方差单位：分如表所示：若要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选样( )
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8. 在如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
9. 我国古代数学名著孙子算经中有一问题：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行问人与车各多少？设有人，辆车，则所列方程组正确的是( )
A. B. C. D.
10. 如图，两个正方形的泳池，底面积分别是和，且，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 对于方程，用含的代数式表示，则 ______ ．
12. 当，时，则______．
13. 一位大学毕业生参加教师招聘，其笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩笔试、试讲、面试的占比为：：则该毕业生的综合成绩为______ 分
14. 如图，三角形的周长为，为边上一点，将三角形沿着射线的方向平移个单位长度到三角形的位置，则五边形的周长为______ ．
15. 如图，将三角形绕着点逆时针旋转得到三角形，使得点的对应点落在边的延长线上，若，，则线段的长为______ ．
16. 在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示，这个图叫做“杨辉三角”．
请观察这些系数的规律，探究的展开式中项的系数是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
因式分解：
；
．
18. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
19. 本小题分
解方程组：
；
．
20. 本小题分
完成下面的证明过程：
已知：如图，，，．
求证：．
证明：，已知，
，
______ ______ ______ ，
又已知，
______ ______ 同位角相等，两直线平行，
______ ______ ______ ，
两直线平行，内错角相等．
21. 本小题分
综合与实践：
【问题情境】数学活动课，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各片，通过测量得到这些树叶的长单位：，宽单位：的数据后，分别计算长宽比，整理数据如表：
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比
【实践探究】分析数据如表：
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽比 ．
荔枝树叶的长宽比
【问题解决】
上述表格中： ______ ， ______ ， ______ ；
甲同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大”乙同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍”上面两位同学的说法中，合理的是______ 填“甲”或“乙”；
现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
22. 本小题分
如图，直线、相交于点，，于点，平分．
求的度数；
求的度数．
23. 本小题分
阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法如图．
第一步：二次项；
第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；
第三步：发现第个“交叉相乘之和”的结果等于一次项即；
像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．
运用结论：
将多项式进行因式分解，可以表示为 ______ ；
若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值．
24. 本小题分
某超市第一次用元购进甲、乙两种商品，其中甲商品件数比乙商品件数的倍少件，甲、乙两种商品的进价和售价如表利润售价进价：
甲 乙
进价元件
售价元件
该超市第一次购进甲、乙两种商品的件数分别是多少？
第一次甲、乙两种商品全部售完后，该超市第二次以同样的进价又购进甲、乙两种商品其中甲商品件数是第一次的倍，乙商品的件数不变甲商品打折销售，乙商品按原价销售第二次甲、乙两种商品销售完以后获得的利润比第一次获得的利润多元，求第二次甲商品是按原价打几折销售的？
25. 本小题分
如图，直线、相交于点，：：，将一直角三角板中角的顶点放在点处，一直角边在射线上，另一直角边在直线的下方．
在图中，求的度数；
将图中的三角板绕点逆时针旋转角，恰好使得，求此时旋转角的大小；
将图中的三角板绕点逆时针旋转角，当时，求与的数量关系．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、单项式乘多项式分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：如图：
，
，
，
故选：．
首先求出的补角，再由平行线的性质得出等于的补角．
本题考查了平行线的性质和补角的定义，求出的度数即可解决问题．
4.【答案】
【解析】解：等式从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C.等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.等式从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的定义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解．
5.【答案】
【解析】解：，
点到的距离为是线段的长度．
故选：．
根据点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离进行解答．
本题主要考查了点到直线的距离的定义，掌握点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：
．
故选：．
利用完全平方公式进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，解答的关键是熟记完全平方公式的形式：．
7.【答案】
【解析】解：甲、丙同学的平均数比乙、丁同学的平均数大，
应从甲和丙同学中选，
甲同学的方差比丙同学的小，
甲同学的成绩较好且状态稳定，应选的是甲同学．
故选：．
先比较平均数得到甲同学和丙同学成绩较好，然后比较方差得到甲同学的状态稳定，于是可决定选甲同学去参赛．
本题主要考查了根据平均数和方差，一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，重点掌握旋转的性质，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
连接、、，分别作、、的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．
【解答】
解：绕某点旋转一定的角度，得到，
连接、、，
作的垂直平分线过、、，
作的垂直平分线过、，
作的垂直平分线过，
三条线段的垂直平分线正好都过，
即旋转中心是．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：依题意得．
故选：．
根据“若每辆车乘坐人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，
所以
，
所以所需防滑瓷砖的面积为，
故选：．
设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，利用求出的值，再计算即可．
本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
11.【答案】
【解析】解：，
移项，可得．
故答案为：．
根据，通过移项，用含的代数式表示即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，解答此题的关键是要明确解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
12.【答案】
【解析】解：，，
．
故答案为：．
利用提取公因式法进行因式分解，再将，代入计算即可得出答案．
本题考查了因式分解在代数式求值中的简单应用，属于基础知识的考查，比较简单．
13.【答案】
【解析】解：该毕业生的综合成绩为分，
故答案为：．
根据加权平均数的定义求解即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
14.【答案】
【解析】解：根据题意得：，，
三角形的周长为，
，
，
五边形的周长．
故答案为：．
根据平移的性质得到，，再将五边形的五条边相加即可得到周长．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状大小完全相同，各组对应点的线段平行或共线且相等．
15.【答案】
【解析】解：三角形绕着点逆时针旋转得到三角形，
，，
．
故答案为：．
先根据旋转的性质得到，，然后计算即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
16.【答案】
【解析】解：；
的展开式中项的系数是：．
故答案为：．
观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．
本题考查了完全平方公式问题，利用学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．
17.【答案】解：；
．
【解析】根据平方差公式分解因式即可；
根据完全平方公式分解因式即可．
本题考查了公式法的综合运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解本题的关键．
18.【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【解析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查了整式的化简求值，掌握整式化简求值的方法是关键．
19.【答案】解：，
将代入得：，
解得：，
将代入得：，
故原方程组的解为；
，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
故原方程组的解为．
【解析】利用代入消元法解方程组即可；
利用加减消元法解方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
20.【答案】 同旁内角互补，两直线平行 平行公理的推论
【解析】证明：，已知，
，
同旁内角互补，两直线平行，
又已知，
同位角相等，两直线平行，
平行公理的推论，
两直线平行，内错角相等．
故答案为：，，同旁内角互补，两直线平行；，；，，平行公理的推论．
根据平行线的判定方法和法则解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，熟记相关判定方法和性质是解题关键．
21.【答案】 乙
【解析】解：把片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为，，故，
平均数为，
片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是，故众数；
故答案为：，，；
，
芒果树叶的形状差别小，故甲同学说法不合理；
荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是，
乙同学说法合理；
故答案为：乙；
一片长，宽的树叶，长宽比接近，
这片树叶更可能来自荔枝．
根据平均数、中位数和众数的定义解答即可；
根据题目给出的数据判断即可；
根据树叶的长宽比判断即可．
本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
22.【答案】解：，
，
平分，
，
的度数为；
，
，
平分，
，
，
的度数为．
【解析】根据对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义可得，即可解答；
根据垂直定义可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：将多项式因式分解，可以表示为根据画好的“十字图”，求出的所有可能值：，，，．
根据材料来把二次项写成相乘形式，常数项也写成相乘的形式，再交叉相乘之和得到一次项，最后进行因式分解．
本题考查了用十字相相乘法对一元二次方程进行因式分解．
24.【答案】解：设第一次购进甲种商品件，购进乙种商品件，
根据题意得：，
解得，
答：该超市第一次购进甲种商品件，购进乙种商品件；
设第二次甲种商品是按原价打折销售的，
根据题意得：，
解得：．
答：第二次甲商品是按原价打九折销售．
【解析】设第一次购进甲种商品件，购进乙种商品件，根据单价数量总价，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设第二次甲种商品是按原价打折销售，根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次方程．
25.【答案】解：：：，，
，
；
如图，当时，
，
，
，
如图，当时，
，
，
，
；
如图，当时，
，，
，
如图，当时，
，，
．
综上，或．
【解析】由：：及与互补，即可求得，再由对顶角相等及角的和差关系即可求解；
的情况有两种，根据两种情况及平行线的性质即可求解；
分两种情况考虑；，用含的代数式表示，，即可得到这两个角的数量关系．
本题考查了平行线的性质，角的和差关系，旋转的性质，有一定的难度，注意分类讨论．
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