2022-2023学年湖南省株洲市炎陵县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省株洲市炎陵县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列多边形中，内角和与外角和相等的是( )
A. 四边形 B. 三角形 C. 五边形 D. 六边形
3. 如图的坐标平面上有、、、四点根据图中各点位置判断，哪一个点在第二象限( )
A.
B.
C.
D.
4. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
5. 正比例函数，当自变量的值增加时，函数的值( )
A. 减少 B. 增加 C. 减少 D. 增加
6. 如图，在 中，平分，交于点，，，则 的周长是( )
A. B. C. D.
7. 小军参加团体操表演，他的位置用数对表示是，如果这时的方队是一个正方形，参加团体操表演的至少有人．( )
A. B. C. D.
8. 某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的名学生，测试了分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在次之间的频率是( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是( )
A.
B.
C.
D. 是直角三角形
10. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 在函数，自变量的取值范围是 ．
12. 已知在含有角的直角三角形中，斜边长为，则这个三角形的最短边长为______ ．
13. 如图，在四边形中，已知，再添加一个条件______写出一个即可，则四边形是平行四边形．图形中不再添加辅助线
14. 一次函数的图象不经过的象限是 ．
15. 已知一个样本有个数据，其中最小值为，最大值为，若取组距为，则此样本可分为______ 组
16. 如图，小明从点出发，前进后向右转，再前进后又向右转，这样一直下去，直到他第一次回到出发点为止，他所走的路径构成了一个多边形那么小明一共走了______ 米
17. 物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度与所挂物体质量满足函数关系下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系那么当弹簧长度为时，求所挂物体的质量是______ ．
18. 如图，在菱形中，对角线，，若过点作，垂足为，则的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
如图，在中，，垂足为，，．
求的度数．
若，求的长．
21. 本小题分
已知：一次函数
在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；
若图象与轴的交点为，与轴交点为，求出的面积；
利用图象直接写出：当时，的取值范围．
22. 本小题分
如图，平行四边形的对角线相交于点，是等边三角形，．
求证：平行四边形是矩形；
求的长．
23. 本小题分
学习二十大，争做新少年，某初中学校团委加强对“二十大”知识的宣传与学习，决定从七、八、九三个年级随机抽取若干名学生进行关于“二十大”相关知识的考查，并将成绩百分制汇总，制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
填空： ______ ， ______ ；
补全频数分布直方图；
若得分超过分为及格，该校有名学生，求该学校学生对“二十大”相关知识掌握及格的学生人数．
24. 本小题分
如图，在正方形中，点是上的一点，点是延长线上的一点，且，连结、、．
求证：≌；
若，请求出的长。
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴的正半轴上，直线交轴于点，边交轴于点，连接．
求菱形的边长；
求直线的解析式；
求的面积．
26. 本小题分
李强同学用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快在一段时间内，水温与加热时间之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：
填空：加热前水温是______ ；
求乙壶中水温关于加热时间的函数解析式，并写出自变量取值范围；
试求甲壶中水温刚达到时，乙壶中水温的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】
解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
【点评】
本题考查轴对称图形与中心对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，沿对称轴折叠后图形两部分可重合；判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
2.【答案】
【解析】解：设多边形的边数为，根据题意得
，
解得．
故选A．
根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、点在第二象限，故此选项符合题意；
B、点在第三象限，故此选项不符合题意；
C、点在轴上，故此选项不符合题意；
D、点在第四象限，故此选项不符合题意．
故选：．
根据坐标平面的划分解答，坐标平面的划分：建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
本题考查了点的坐标，熟记坐标平面的划分方法是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：公路，互相垂直，
，
为的中点，
，
，
，
即，两点间的距离为，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记知识点是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
5.【答案】
【解析】解：令，则；
令，则，
，
故选：．
本题中可令分别等于，，求出相应的函数值，再求差即可解决问题．
本题考查了正比例函数的性质，进行简单的推理即可解决问题．
6.【答案】
【解析】解：在 中，，
，，
，，
平分，
，
，
，
的周长是：．
故选：．
先由 中，，，求得的长，然后由平分，证得是等腰三角形，继而求得的长，则可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是等腰三角形是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：因为这时的方队是一个正方形，所以这个正方形每条边至少有人，
故参加团体操表演的至少有：人，
故选：．
用数对表示位置时，第一个数表示列，第二个数表示行，因为这时的方队是一个正方形，所以这个正方形每条边至少有人，再用每行人数行数方队的总人数，可以计算出参加团体操表演的至少有多少人．
本题考查了坐标确定位置，能够理解题意，明确这个正方形每条边至少有人是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由频率的意义可知，从左到右各个小组的频率之和是，同时每小组的频率，
所以仰卧起坐次数在间的小组的频数是，其频率为，
故选：．
根据直方图中各组的频率之和等于及频率的计算公式，结合题意可得仰卧起做次数在间小组的频数，再由频率的计算公式可得其频率，进而可得答案．
本题属于统计内容，考查分析频数分布直方图和频率的求法．解本题要懂得频率分布直分图的意义，了解频率分布直分图是一种以频数为纵向指标的条形统计图．
9.【答案】
【解析】解：、四边形是菱形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，故选项A不符合题意；
B、没有条件证明四边形是菱形，故选项B符合题意；
C、四边形是平行四边形，
，
，
，故选项C不符合题意；
D、，，
是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：．
A、由菱形的性质得，，，再证四边形是平行四边形，得，则；
B、没有条件证明四边形是菱形，故BE不成立；
C、由平行四边形的性质得，再由，则；
D、由，，得是直角三角形；即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及直角三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：点坐标为，点坐标为，点坐标为，
，，
从一圈的长度为．
，
细线另一端在绕四边形第圈的第个单位长度的位置，
即细线另一端所在位置的点的坐标是．
故选：．
由点、、的坐标可得出、的长度，从而可得四边形的周长，再根据即可得出细线另一端所在位置的点的坐标．
本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形一周的长度，从而确定个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于，可以求出的范围．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12.【答案】
【解析】解：在含有角的直角三角形中，斜边长为，
这个三角形的最短边长为．
故答案为：．
根据含度角的直角三角形的性质即可求解．
本题考查了含度角的直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：
故答案为：答案不唯一．
可再添加一个条件，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，四边形是平行四边形．
此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键．
14.【答案】第四象限
【解析】解：一次函数中，，，
此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故答案为：第四象限．
根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：最小值为，最大值为，即极差是，则组数是组．
故答案为：．
先计算这组数据的极差，再根据组数极差组距，进行计算即可．
本题考查的是频数分布表，掌握组距、分组数的确定方法：组距最大值最小值组数是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：所经过的路线正好构成一个外角是度的正多边形，
，
米，
淇淇一共走了米，
故答案为：．
第一次回到出发点时，所经过的路线正好构成一个外角是度的正多边形，求得正多边形的边数，进而求得小明走的路程即可．
本题考查了正多边形的外角，掌握正多边形的外角以及多边形的内角和是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：把，代入得：，
解得：，
与的函数关系式为；
令得：，
解得：．
所挂物体的质量为．
故答案为：．
把，代入中，即可求出的值，得到函数表达式，再把代入函数表达式算出对应的即可．
本题主要考查了函数关系式及函数值，熟练掌握函数关系式及函数值的计算方法进行求解是解决本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据菱形的性质得出、的长，在中求出，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于，可得出的长度．
此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
19.【答案】解：原式，
故答案为：．
【解析】利用绝对值的性质，有理数的乘方，零指数幂进行计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：在中，，，
；
，，
，
，
设，
由勾股定理得：，
即，
解得．
即的长为．
【解析】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么也考查了三角形内角和定理．
根据三角形内角和定理即可求解；
先证明，然后在直角中利用勾股定理即可求出的长．
21.【答案】解：如图所示：；
，，
，，
；
由图象知，当时，．
【解析】过图象上两个点的坐标画出直线即可；
求出、的坐标，根据三角形的面积公式求出即可；
根据点的坐标结合图象得出即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质等知识点，能熟记一次函数函数图象和性质的内容是解此题的关键，注意数形结合思想的运用．
22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
是等边三角形，
，
，
平行四边形是矩形．
解：四边形是矩形，
．
又，
．
在中，，
．
【解析】证明，即对角线相等的平行四边形是矩形，即可证明；
根据矩形的性质求出的长度和，利用勾股定理即可得出答案．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，以及勾股定理的运用，灵活掌握性质并运用是本题的关键．
23.【答案】
【解析】解：由频数分布直方图可得分的学生有人，由扇形统计图可得分的学生占总人数的，
抽取学生的总人数为名，
由频数分布直方图可得分的学生有人，
，则，
则分的人数为名，分的人数为名，
，则．
故答案为：；；
由得：分的人数为名，分的人数为名，
补全频数分布直方图如下：
由题意得：名
答：该学校学生对“二十大”相关知识掌握及格的学生人数约为名．
根据由频数分布直方图可得分的学生有人，扇形统计图可得分的学生占总人数的，由此可求出抽取学生的总人数，即可求出答案；
根据第问即可补全频数分布直方图；
根据第问得抽取人中及格人数所占百分比，即可求出答案．
本题考查频数分布直方图和扇形统计图，灵活运用题中已知条件是解题关键．
24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，，
，
，即，
．
【解析】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
根据正方形的性质得到，，利用定理证明结论；
根据全等三角形的性质得到，，得到为等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可．
25.【答案】解：中，
，
菱形边长为；
四边形是菱形，
，即．
设直线的解析式，函数图象过点、，得：
，
解得，
直线的解析式．
令，则，
，
．
【解析】中利用勾股定理即可求得菱形的边长；
根据即可求出的长，则的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线的解析式；
首先求得点的纵坐标，然后求出，利用三角形面积计算公式解答即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及菱形的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
26.【答案】
【解析】解：由图象得时，
加热前水温是，
故答案为：．
设乙壶中水温关于加热时间的函数解析式为，
将，代入得，
解得，
．
甲水壶的加热速度为，
甲水壶中温度为时，加热时间为，
将代入得，
答：乙壶中水温的度数为．
由图象时求解．
通过待定系数法求解．
由图象可求出甲壶的加热速度，求出甲壶中水温达到时的，将其代入中解析式求解．
本题考查一次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握一次函数与方程的关系．
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