2022-2023学年湖南省益阳市赫山区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省益阳市赫山区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3. 若是完全平方式，则的值是( )
A. B. C. D.
4. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，沿射线方向平移到点在线段上，如果，，那么平移距离为( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知和是对顶角，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
8. 下列四种图形中，对称轴条数最多的是( )
A. 等边三角形 B. 圆 C. 长方形 D. 正方形
9. 数据，，，，，的中位数是，那么这组数据的众数是( )
A. B. C. D.
10. 观察下列各式：
；
；
；
；
根据上述规律计算：( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 已知，用含的代数式表示为： ______ ．
12. 若展开后不含的一次项，则 ______ ．
13. 如图，要从村庄修一条连接公路的最短的小道，应选择沿线段修建，理由是______ ．
14. 如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形阴影部分，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释一个等式是 ．
15. 已知，，求的值______ ．
16. 某超市销售，，，四种矿泉水，它们的单价依次是元，元，元，元，某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是______ ．
17. 我们所学的多项式因式分解的方法主要有：
提公因式法；
平方差公式法；
完全平方公式法．
现将多项式进行因式分解，使用的方法有______ 填写所有正确的序号
18. 如图，下列条件中：
；
；
；
；
．
则一定能判定的条件有______ 填写所有正确的序号．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
19. 如图，直线、相交于，平分，于点，，求、的度数．
四、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 本小题分
解下列方程组
．
21. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
22. 本小题分
“方程”是现实生活中十分重要的数学模型．请结合你的生活实际编写一道二元一次方程组的应用题，并使所列出的二元一次方程组为，并写出求解过程．
23. 本小题分
利用对称性可以设计美丽的图案，在边长为的正方形方格纸中，有如图所示的顶点都在格点上．
先作出该三角形关于直线成轴对称的；
再作将绕点逆时针方向旋转后的；
求的面积．
24. 本小题分
省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了七次测试，测试成绩如表单位：环：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
甲
乙
根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是______ 环，乙的平均成绩是______ 环；
分别计算甲，乙七次测试成绩的方差；
根据，计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由计算方差的公式：
25. 本小题分
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式第一步
第二步
第三步
第四步
该同学第二步到第三步运用了因式分解的______ ．
A.提取公因式
B.两数和乘以两数差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
该同学因式分解的结果是否彻底？______ 填“彻底”或“不彻底”若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ ．
请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
26. 本小题分
【问题情景】如图，，，，求的度数；
【问题迁移】如图，已知，，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】在的条件下，若将“点在，两点之间运动”改为“点在，两点外侧运动点与点，，三点不重合”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
解：、不是二元一次方程组，故此选项错误；
B、不是二元一次方程组，故此选项错误；
C、不是二元一次方程组，故此选项错误；
D、是二元一次方程组，故此选项正确，
故选：．
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的概念，关键是掌握二元一次方程组满足的三个条件：方程组中的两个方程都是整式方程．方程组中共含有两个未知数．每个方程都是一次方程．
根据二元一次方程组的定义逐项判断即可．
2.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、与不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】
【解析】解：是完全平方式，
．
．
．
故选：．
根据完全平方式的结构特征解决此题．
本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：
，
故选：．
利用积的乘方的法则对式子进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是熟记积的乘方的法则并灵活运用．
5.【答案】
【解析】解：、，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、，把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
D、，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义．掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：由题意平移的距离为，
故选：．
观察图象，发现平移前后，、对应，、对应，根据平移的性质，易得平移的距离为，，进而可得答案．
本题考查平移的性质，本题关键是要找到平移的对应点．
7.【答案】
【解析】解：和是对顶角，，
根据对顶角相等可得．
故选：．
根据对顶角相等可得与的度数相等为．
本题主要考查了对顶角相等的性质，比较简单．
8.【答案】
【解析】解：等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴；
B.圆是轴对称图形，有无数条对称轴；
C.长方形是轴对称图形，有条对称轴；
D.正方形是轴对称图形，有条对称轴；
故对称轴条数最多的图形是圆．
故选：．
根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此分析各图形的对称轴条数即可求解．
此题考查轴对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形的定义及对称轴的描述．
9.【答案】
【解析】解：数据，，，，，的中位数是，
，
这组数据的众数是．
故选：．
先根据中位数的定义求出的值，再根据众数的定义即可求解．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握众数与中位数的意义是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：有上述规律可知：
当时，
即
．
故选：．
先由规律，得到的结果，令得结论．
本题考查了平方差公式，数字的变化规律类题目，根据给出的式子特点，找到规律是解决本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
解得：．
故答案为：
将看做已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数求出．
12.【答案】
【解析】解：由题意得，乘积含的一次项包括两部分，，，
又展开后不含的一次项，
，
解得：．
故答案为．
乘积含的一次项包括两部分，，，再由展开后不含的一次项可得出关于的方程，解出即可．
此题考查了多项式乘多项式的知识，属于基础题，注意观察哪些项相乘所得的结果不含一次项，难度一般．
13.【答案】垂线段最短
【解析】解：从直线外一点与直线上的点的所有连线中，垂线段最短，所以应选择沿修建．
故答案为：垂线段最短．
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．根据垂线段最短解答即可．
本题考查了垂线段最短，解题的关键是理解垂线段的定义．
14.【答案】
【解析】解：图的面积为：，拼成的图的面积为：，
所以，
故答案为：．
根据图、图的面积相等可得答案．
本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图、图的面积是正确解答的关键．
15.【答案】
【解析】解：当，时，
．
故答案为：．
利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16.【答案】元
【解析】解：这天销售的矿泉水的平均单价是元，
故答案为：元．
根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
17.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解运用公式法，提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：，
；
，
；
，
；
，
，
故答案为：．
根据平行线的判定方法：同旁内角互补，两直线平行可得能判定；
根据内错角相等，两直线平行可得能判定；
根据同位角相等，两直线平行可得能判定．
此题主要考查了平行线的判定，关键是熟练掌握平行线的判定定理．
19.【答案】解：于点，，
，
与是对顶角，
．
平分，
，
．
【解析】此题利用余角和对顶角的性质，即可求出的度数，利用角平分线及补角的性质又可求出的度数．
此题主要考查了余角，补角及角平分线的定义．
20.【答案】解：，
得，
解得，
把代入得：，
解得：，
则方程组的解是．
【解析】即可消去求得的值，然后把的值代入方程即可求得的值，进而得到方程组的解．
本题考查的是二元一次方程的解法．解方程组的基本思想是消元，消元的方法有代入消元法和加减消元法两种．
21.【答案】解：原式
，
当，时，
原式
．
【解析】原式利用单项式乘多项式法则，完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
22.【答案】解：应用题：我家里有棵树，其中杨树是柳树的倍，求杨树和柳树各有多少棵？
解答过程：设杨树棵，柳树．
棵依题意：
解得：
答：我家有杨树棵，柳树棵．
【解析】根据题意可知，有该应用题要求的是两个量，且两个未知量的关系式，一个未知量是另一个的倍，两个未知量的总和是以这两个等量关系，编写二元一次方程组的应用题．
要注意未知量之间的关系，根据关系编写应用题．
23.【答案】解：如图所示，即为所求，
如图所示，即为所求；
的面积．
【解析】利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查利用旋转设计图案，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
24.【答案】
【解析】解：甲：环，
乙：环；
故答案为：，；
；
；
推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的七次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．
根据图表得出甲、乙每次数据得出数据综合，再求出平均数即可；
根据平均数，以及方差公式求出甲乙的方差即可；
根据实际从稳定性分析得出即可．
此题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题的关键．
25.【答案】 不彻底
【解析】解：由题意，根据两数和的完全平方公式，
该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式．
故选：．
不彻底．理由如下：．
故答案为：不彻底；．
由题意，设，
原式
．
依据题意，由两数和的完全平方公式，进而判断可以得解；
依据题意，由两数差的完全平方公式，从而可以进行判断得解；
依据题意，设，进而可以进行变形可以得解．
本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并准确计算是关键．
26.【答案】解：过点作，
，
，
，
，
，
的度数为；
，
理由：过作交于，
，
，
，
，
；
分两种情况：
当在延长线时，，
理由：如图，过作交于，
，
，
，
，
；
当在延长线时，，
理由：如图，过作交于，
，
，
，
，
，
综上所述，或．
【解析】过点作，利用铅笔模型进行计算，即可解答；
过作交于，利用猪脚模型进行计算，即可解答；
分两种情况：当在延长线时；当在延长线时，然后分别进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
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