2022-2023学年内蒙古包头市铁路一中高二（下）期末数学试卷（文科）（含解析）

2022-2023学年内蒙古包头市铁路一中高二（下）期末数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若集合，则( )
A. B. C. D.
2. 设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A. B. C. D.
3. 若，，，则( )
A. B. C. D.
4. 函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
5. 设为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为，则直线的倾斜角不大于的概率为( )
A. B. C. D.
6. 甲、乙两名同学在高考前的次模拟考中的数学成绩如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均成绩分别为，，下列说法正确的是( )
A. ，且乙比甲的成绩稳定
B. ，且乙比甲的成绩稳定
C. ，且甲比乙的成绩稳定
D. ，且甲比乙的成绩稳定
7. 某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量颗之间的关系，采集组数据，作如图所示的散点图若去掉后，下列说法正确的是( )
A. 相关系数的绝对值变小 B. 相关指数变小
C. 残差平方和变大 D. 解释变量与响应变量的相关性变强
8. 如图所示，程序框图的输出值( )
A. B. C. D.
9. 已知是的导函数，若的图像如图所示，则的图像可能是( )
A.
B.
C.
D.
10. 已知，是方程的两个根，且，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
11. 函数的部分图象如图所示，则，的值为( )
A. B. C. D.
12. 已知函数，，则下面结论中不正确的是( )
A. 最小正周期为
B. 函数在区间单调递增
C. 函数在区间有最大值为
D. 函数关于对称
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某高三年级一共有人，要从中随机抽取人参加社团比赛，按系统抽样的方法进行等距抽取将全体学生进行编号分别为，并按编号分成组，若第组抽取的编号为，则第组抽取的编号为______ ．
14. 已知是上的增函数，那么的取值范围是______ ．
15. 若曲线在处的切线经过点，则实数 ______ ．
16. 若圆的半径是，则的圆心角与圆弧所围成的扇形的面积是______ 请用弧度制表示．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知幂函数为偶函数．
求的解析式；
若在上不是单调函数，求实数的取值范围．
18. 本小题分
已知集合，．
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
设命题：，，若命题为假命题，求实数的取值范围．
19. 本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
将函数的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域．
20. 本小题分
某学校为了调查该校学生在一周零食方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，分成四组，，，，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的学生有人．
请求出的值；
请以样本估计全校学生的平均支出为多少元同一组的数据用该区间的中点值作代表；
如果采用分层抽样的方法从，共抽取人，然后从中选取人参加学校进一步的座谈会，求在，中正好各抽取一人的概率为多少．
21. 本小题分
为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康观念，手机也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司名员工均在微信好友群中参与了“微信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到步及以上的员工授予该月“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者”，如表是该运动品牌公司名员工年月月获得“运动达人”称号的统计数据：
月份
“运动达人”员工数
由表中看出，可用线性回归模型拟合“运动达人”员工数与月份之间的关系，求关于的回归直线方程，并预测该运动品牌公司月份获得“运动达人”称号的员工数；
为了进一步了解员工们的运动情况，选取了员工们在月份的运动数据进行分析，统计结果如下：
运动达人 参与者 合计
男员工
女员工
合计
请补充如表中的数据直接写出，得值，并根据如表判断是否有的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关？
参考公式：， ，
其中．

22. 本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合表示的定义域，由，解得，
，
集合表示函数的值域，值域为，
，
，．
故选：．
利用集合间的基本关系来进行运算即可．
本题考查集合的运算，考查集合的包含关系、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数奇偶性和函数的图象变换，解题的关键是确定的对称中心，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
先根据函数的解析式，得到的对称中心，然后通过图象变换，使得变换后的函数图象的对称中心为，从而得到答案．
【解答】
解：因为，
所以函数的对称中心为，
所以将函数向右平移一个单位，向上平移一个单位，
得到函数，该函数的对称中心为，
故函数为奇函数．
故选：．

3.【答案】
【解析】解：，，，
则．
故选：．
利用对数函数和指数函数的单调性求解．
本题考查三个数的大小的比较，是基础题．．
4.【答案】
【解析】解：．
，，
，．
得．
函数的零点所在的区间为．
故选：．
由已知分别求解，，，的值，结合函数零点判定定理得答案．
本题考查零点存在定理，涉及对数函数，三角函数性质，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：如图，为第一象限与第三象限的角平分线，
根据题意可得构成的区域为圆环，
而直线的倾斜角不大于的点构成的区域为图中阴影部分，
所求概率为．
故选：．
作出图形，根据几何概型的概率公式，即可求解．
本题考查几何概型的概率的求解，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：甲的平均成绩是，
乙的平均成绩是，
甲的方差是，
乙的方差是，
所以，且乙比甲的成绩稳定．
故选：．
利用茎叶图中的数据，分别计算甲、乙两人的平均数和方差即可．
本题考查了利用茎叶图中的数据判断平均数和方差大小的应用问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由散点图可知，去掉后，与的线性相关性加强，且为正相关，相关系数，
对于，相关系数变大，故A错误；
对于，相关指数变大，故B错误；
对于，残差平方和变小，故C错误；
对于，解释变量与响应变量的相关性变强，故D正确．
故选：．
由散点图可知，去掉离群点后，与的线性相关性加强，由相关系数，相关指数及残差平方和与相关性的关系求解即可．
本题主要考查了两个变量相关性强弱的判断，涉及相关系数，相关指数及残差平方和，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由程序框图可得，第一次循环：，，，，，
，，，，，
，，，，，
不满足，跳出循环，输出．
故选：．
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：由图像知，当或时，，此时为增函数，
当，，此时为减函数，
此时对应图像为，
故选：．
根据函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．
本题主要考查函数图像的识别和判断，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断是解决本题的关键，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：依题意可知，
，
，
，，
故选B
先根据韦达定理求得和的值，进而利用正切的两角和公式求得的值，根据，推断出，，进而根据已知的，的范围确定的范围，进而求得的值．
本题主要考查了两角和与差的正切函数的化简求值．考查了基础知识的运用．属基础题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用函数的部分图象求解析式，属于基础题．
结合函数的图象，由周期求出，再由函数图象经过点，代入解析式的值．
【解答】
解：由函数的图象可知，周期，可得，
，
函数图象经过点，
可得，
，
即，
，．
故选：．

12.【答案】
【解析】解：
，
对于，最小正周期，即A正确；
对于，令，，则，，
因为，所以函数在区间上不是单调递增，即B错误；
对于，由上可知，在上单调递减，在上单调递增，
而，，所以，即C正确；
对于，，即D正确．
故选：．
结合三角恒等变换公式化简可得，再根据正弦函数的图象与性质逐一判断选项即可．
本题考查三角函数的综合，熟练掌握正弦函数的图象与性质，三角恒等变换公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：人一共分成组，每组人，所以组距为，
系统抽样可以看成是一个组距为的等差数列，由第三组，得．
故答案为：．
根据系统抽样编号成等差数列求解即可．
本题主要考查系统抽样方法，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，已知是上的增函数，
则有，解可得，即的取值范围为．
故答案为：．
根据题意，由函数单调性的定义可得关于的不等式，解可得答案．
本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由，得，
，又时，，
曲线在处的切线方程为，
把点代入，可得，即．
故答案为：．
利用导数求得曲线在处的切线方程，代入点坐标即可得到实数的值．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：，
故扇形的面积为：．
故答案为：．
根据扇形的面积公式计算得到答案．
本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．
17.【答案】解：由题意，
解得：或，
若是偶函数，
故；
，
的对称轴是，
若在上不是单调函数，
则，解得：．
【解析】根据幂函数的定义求出的值，求出函数的解析式即可；
求出函数的对称轴，根据函数的单调性求出的范围即可．
本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．
18.【答案】解：，，
是的充分不必要条件，，解得；
由题知：：，为真命题，
设，则，解得，
．
【解析】分别求解一元二次不等式化简，，再由已知结合两集合端点值间的关系列不等式组求解；
写出特称命题的否定，再由一元二次方程根的分布列关于的不等式组求解．
本题考查命题的真假判断与应用，考查数学转化思想方法，是基础题．
19.【答案】解：函数
，
故函数的最小正周期为．
将函数的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，可得的图象；
横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，
当时，，，
故函数的值域为
【解析】由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，利用正弦函数的周期性得出结论．
由题意利用的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得结果．
本题主要考查三角恒等变换，的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
20.【答案】解：支出在元的学生的频率为：，
所以，；
由频率分布直方图可知，平均支出为：；
由题意可知，分别有，，故在中抽取人，在中抽取人，
设事件为：在，中正好各抽取一人，则．
【解析】利用频率分布直方图的性质，各个概率之和为，即可解出支出在元的学生的频率，即可解决；
利用频率分布直方图的性质可以解决；
根据概率的知识，属于古典概型的概率计算方法．
本题考查了统计与概率中的频率分布直方图的性质，属于基础题．
21.【答案】解：由题意，，
，
又，，
则，
故，
故，
所以预测该运动品牌公司月份获得“运动达人”称号的员工数为人；
由题意，，，
所以，
故没有的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关．
【解析】本题考查了列联表的应用以及独立性检验的应用，线性回归方程的求解与应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
先求出样本中心，再利用公式求出回归系数，即可得到线性回归方程；
由列联表中的数据，计算的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案．
22.【答案】解：，，
当，即时，由于的图象是开口向上的抛物线，故此时，则在上单调递增；
当，即时，令，解得，
令，解得或，令，解得，
在，单调递增，在单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减．
设曲线过坐标原点的切线为，切点为，
则切线方程为，
将原点代入切线方程有，，解得，
切线方程为，
令，即，解得或，
曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和．
【解析】对函数求导，分及讨论导函数与零的关系，进而得出的单调性情况；
先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲线联立，即可求得公共点坐标．
本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
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