2022-2023学年黑龙江省大庆市思凯乐高级中学高二（下）期末数学试卷（B卷）-普通用卷

2022-2023学年黑龙江省大庆市思凯乐高级中学高二（下）期末数学试卷（B卷）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在数列中，，则等于( )
A. B. C. D.
2. 有一批种子的发芽率为，出芽后的幼苗成活率为，在这批种子中随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为( )
A. B. C. D.
3. 已知离散型随机变量的概率分布列如下表，则其数学期望( )
A. B. C. D.
4. 设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
5. 等差数列和的前项和分别为、，如果，的值是( )
A. B. C. D.
6. 在的展开式中，所有的二项式系数之和为，则所有系数之和为( )
A. B. C. D.
7. 已知公比不为的等比数列中，存在，，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 已知，为的导函数，则的大致图象是( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 箱子中有个大小、材质都相同的小球，其中个红球，个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件表示“第次摸球，摸到红球”，事件表示“第次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10. 设数列前项和，且，，则( )
A. 数列是等差数列
B.
C.
D.
11. 设随机变量的分布列为，
其中则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 先增大后减小 D. 有最小值
12. 已知直线分别与函数和的图像交于点，，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 随机变量的取值为，，，若，，则 ．
14. 若，，则 ______ ．
15. 已知数列的前项和，则数列的前项和为______ ．
16. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等差数列中，，．
求的通项公式；
求数列的前项和，并求的最小值．
18. 本小题分
有圆形零件个，其中有个直径合格，有个光洁度合格，两个指标都合格的有个从这个零件中，任意抽取个．
如果此零件光洁度合格，求直径也合格的概率结果保留三位小数；
如果此零件直径合格，求光洁度也合格的概率结果保留三位小数．
19. 本小题分
已知在时有极值．
求常数，的值；
求在区间上的最值．
20. 本小题分
李平放学回家途经个有红绿灯的路口，交通法规定：若在路口遇到红灯，需停车等待；若在路口没遇到红灯，则直接通过经长期观察发现：他在第一个路口遇到红灯的概率为，在第二、第三个路口遇到红灯的概率依次增加，在三个路口都没遇到红灯的概率为，在三个路口都遇到红灯的概率为，且他在各路口是否遇到红灯相互独立．
求李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率；
记为李平放学回家途中遇到红灯的路口个数，求数学期望．
21. 本小题分
已知等差数列中，，．
求的通项公式；
若为正项等比数列，，求数列的前项和．
22. 本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，．
故选：．
直接利用进行求解即可．
本题主要考查数列的前项和作差法求通项，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得这粒种子能成长为幼苗的概率．
【解答】
解：由于种子的发芽率为，出芽后的幼苗成活率为，
则这粒种子能成长为幼苗的概率为，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由分布列的性质可得，，
故E．
故选：．
根据已知条件，结合分布列的性质，求出，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，以及期望公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为为可导函数，且，
则，
所以，即为曲线在点处的切线斜率，
故选：．
将已知关系式化为，由此即可求解．
本题考查了导数的几何意义，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由，可得，
所以，
所以．
故选：．
令得，再利用等差数列的前项和公式求解即可．
本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由已知可得二项式系数和为，则，
所以即为，
令，可得的展开式中所有系数之和为．
故选：．
根据二项式系数和的公式建立方程即可求出的值，再令即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，存在，，满足，
，
化为：，
则，
当且仅当时取等号，，，
的最小值为．
故选：．
利用等比数列的通项公式及其已知条件化为：，利用基本不等式即可得出结论．
本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：函数，则为偶函数，
，一定为奇函数，故可排除，
又，
由三角函数可知：时，，
时，，单调递减，故排除．
故选：．
首先利用原函数的奇偶性判断导函数的奇偶性，再求二阶导数，来判断一阶导数的单调性．
本题考查了函数奇偶性以及导函数与原函数的关系，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，故A正确，
，故C错误，
，故D正确，
由全概率公式可得，，故B错误．
故选：．
根据已知条件，结合条件概率及全概率公式，即可求解．
本题主要考查条件概率及全概率公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由，当时，可得，
当时，，得，
，，数列是为首项，为公比的等比数列，
，故A错误，B正确；
，为以为首项，为公比的等比数列，
故，故C正确；
，
，
，故D正确；
故选：．
由已知可得数列是为首项，为公比的等比数列，从而可得通项公式，可判断，进而可求的值判断，也易求的值判断．
本题考查利用递推关系求数列的通项公式与数列的前项和，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题意可知，即，所以A正确；
，所以不正确；
，，
是二次函数，对称轴为：，
所以先增大后减小，所以C正确；不正确；
故选：．
利用分布列的性质以及期望与方差，列出表达式，判断选项的正误即可．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望方差的求法，二次函数的单调性，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：画出图形，如图，由于函数和函数是互为反函数，
故函数及函数的图象关于直线对称，
从而直线与函数及函数的图象的交点，
也关于直线对称，，，
又在上，即有，故，故选项A正确；
，故B正确；
因为直线分别与函数和的图象交于点，，
所以，，
所以，
所以，故C错误；
记，则，，
则，又，
易知函数在上单调递增，
故，故选项D正确．
故选：．
先根据题意画出图形，由函数和函数是互为反函数，知函数及函数的图象关于直线对称，也是关于直线对称，然后由直线与函数及函数的图象的交点，也关于直线对称，得出，再根据在上，逐一判断即可．
本题主要考查函数对称性的应用、反函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式，属于基础题。
结合方差的计算公式可知，应先求出，，根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得。
【解答】
解：设，，
则由已知得
解得，，
所以．
故答案为：

14.【答案】
【解析】解：因，由组合数的性质得，解得，所求值的式子是时二项展开式的值，
所以．
故答案为：．
利用组合数的性质先求出值，再用拭值法即可得解．
本题考查二项式定理，考查学生的运算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：数列的前项和，
当时，解得，
当时，，首项符合通项，
故．
所以，
故，
所以．
故答案为：．
首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，裂项相消法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设，则的导数为：，
当时，，
即当时，恒大于，
当时，函数为增函数，
为奇函数
函数为定义域上的偶函数
又，
，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
或
故使得成立的的取值范围是，
故答案为：
由已知当时总有成立，可判断函数为增函数，由已知是定义在上的奇函数，可证明为上的偶函数，根据函数在上的单调性和奇偶性，而不等式等价于，分类讨论即可求出
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，
，，
，解得，
故；
，
当或时，取得最小值．
【解析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解；
根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，属于基础题．
18.【答案】解：设“直径合格”，“光洁度合格”，
则，，，
在光洁度合格的条件下直径也合适的概率是；
在直径合格的条件下光洁度也合格的概率是．
【解析】根据条件概率及其概率计算公式直接计算即可．
本题考查条件概率的计算，属基础题．
19.【答案】解：由，得，
在时有极值，，
，解得或，
经检验，当，时，符合题意，
，．
由知，，
令，则或，，
当或时，；当时，，
函数在和递增，递减．
又，，，，
，，
的值域为．
【解析】对求导，根据在时有极值，得到关于，的方程组，再求出，的值；
由知，，然后判断的单调性，再求出的值域．
本题考查了利用函数的极值求参数的值和利用导数研究函数的单调性与最值，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
20.【答案】解：设第二、三个路口遇到红灯的概率分别为，，，
依题意可得
解得或舍去，
所以李平放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率．
由已知可得，的可能值为，，，，
，
，
，
，
所以分布列为：
所以．
【解析】设第二、三个路口遇到红灯的概率分别为，，由已知列出方程组，求解得出，的值，即可得出答案；
的可能值为，，，，根据独立事件的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，分别求出取不同值的概率，列出分布列，然后根据期望公式，即可得出答案．
本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：设等差数列的公差为，
，，
，
故；
为正项等比数列，，
所以，，
故，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，
故，
，
，
得，
，
故
．
【解析】设等差数列的公差为，结合等差数列的性质可得，从而写出通项公式；
由推导出数列是以为首项，为公比的等比数列，从而利用错位相减法求数列的前项和．
本题考查了等差数列及等比数列，应用了分类讨论及错位相减法，属于中档题．
22.【答案】解：函数的定义域为，，
当时，在上恒成立，
故函数在区间上单调递增；
当时，由得，
由得，即函数在区间上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在上单调递减；
证明：因为时，证明，只需证明，
由知，当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减；
所以．
令，，则，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以．
所以时，，
所以当时，．
【解析】求导得，进而分和两种情况讨论求解即可；
根据题意证明，进而令，，再结合得，研究函数的性质得，进而得时，，即不等式成立．
本题考查了利用导数确定原函数的单调性、最值及分类讨论思想，属于中档题．
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