2022-2023学年安徽省宣城市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省宣城市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，则( )
A. B. C. D.
2. 已知集合，，若，则实数的取值所组成的集合是( )
A. B. C. D.
3. 为提高学生的数学学习兴趣，某中学拟开设数学史、数学建模、数学探究、微积分先修课程四门校本选修课程，其中有位同学打算在上述四门课程中每人选择一门学习，则每门课程至少有一位同学选择的不同方法数共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4. 已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 已知椭圆：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，则下列说法不正确的是( )
A. 椭圆的焦距是 B. 椭圆的离心率是
C. 抛物线的准线方程是 D. 抛物线的焦点到其准线的距离是
6. 等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，，则( )
A. B. C. D.
7. 已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
8. 若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图，在正方体中，，分别是，的中点，则( )
A.
B. ，，，四点共面
C. 平面
D. 若，则正方体外接球的表面积为
10. 已知函数，下列说法正确的是( )
A. 在区间上单调递减，在区间上单调递增
B. 在上仅有一个零点
C. 若关于的方程有两个实数解，则
D. 在上有最小值，无最大值
11. 已知抛物线：，准线为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，，垂足为，设，则( )
A. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线恰有条
B. 已知曲线上的两点，到点的距离之和为，则线段的中点的横坐标是
C. 的最小值为
D. 的最小值为
12. 下列说法正确的是( )
A. 若事件，互斥，，则
B. 若事件，相互独立，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影向量的坐标为______ ．
14. 已知椭圆的三个顶点，，构成等边三角形，则椭圆的离心率是______ ．
15. 已知直线：与圆：相交于，两点，且为钝角三角形，则实数的取值范围为______ ．
16. 已知函数满足，且在区间上单调，则的最大值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
若边上中线长为，求的面积．
18. 本小题分
已知数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
设，，求数列的前项和．
19. 本小题分
中国乒乓球队号称梦之队，在过往的三届奥运会上，中国代表团包揽了全部枚乒乓球金牌，在北京奥运会上，甚至在男女子单打项目上包揽了金银铜三枚奖牌为了推动世界乒乓球运动的发展，增强比赛的观赏性，年世界乒乓球锦标赛在乒乓球双打比赛中允许来自不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员名，其中种子选手名；乙协会的运动员名，其中种子选手名，从这名运动员中随机选择人参加比赛
设为事件“选出的人中恰有名种子选手，且这名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；
设为选出的人中种子选手的人数，求随机变量的分布列，并求．
20. 本小题分
如图，在三棱锥中，，，为的中点．
证明：平面；
点在棱上，若平面与平面的夹角为，求的值．
21. 本小题分
已知双曲线的焦距为，点在双曲线上．
求双曲线的标准方程；
若点，过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：．
22. 本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
证明：对任意的，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
当时，，满足条件；
当时，或，解得或；
综上可得，实数的取值所组成的集合是：．
故选：．
根据可得出，然后可讨论是否为：时，显然满足题意；时，可得出或，然后解出的值，从而可得出实数的值所组成的集合．
本题考查集合的并集的运算以及集合之间的关系，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：每门课程至少有一位同学选择，则必有人同时选择门课程，
则共有种．
故选：．
根据条件将位同学分成组，然后进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用先分组后排列的方法进行计算是解决本题的关键，是基础题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，换元法是解决本类问题的根本．
由题意知函数是由和复合而来，由复合函数单调性结论，只要在区间上单调递增且即可．
【解答】
解：令，由题意知：
在区间上单调递增且，
，
解得：
则实数的取值范围是．
故选C．

5.【答案】
【解析】解：由椭圆：，得，，
则．
椭圆的焦距是，故A正确；
椭圆的离心率是，故B正确；
椭圆：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，
，可得抛物线的准线方程是，故C正确；
抛物线的焦点到其准线的距离是，故D错误．
故选：．
由题意方程求得半焦距，即可判断与；结合抛物线的性质判断与．
本题考查椭圆与抛物线的几何性质，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为等比数列中，，，
所以，
所以，解得，，
则．
故选：．
由已知结合等比数列的求和公式先求出首项及公比，然后结合等比数列的通项公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：向量，且，
，
，
整理得，
解得或舍去，
．
故选：．
由平行向量的坐标关系可得，利用同角三角函数间的平方关系可求出的值，再结合二倍角公式求解即可．
本题主要考查了平行向量的坐标关系，考查了二倍角公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：令，则，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
因为，所以，
又，所以，
所以，，
所以，
故．
故选：．
构造函数，对求导，结合导数分析函数的单调性，结合单调性即可比较函数值大小．
本题主要考查了导数与单调性在不等式大小比较中的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：连接，因为，分别是，的中点，所以，，可知，所以A正确；
因为，所以，，，四点共面，在平面外，所以不正确；
连接，因为几何体是正方体，所以经过，在平面上，所以直线与平面相交，所以不正确．
若，则正方体的棱长为，正方体外接球的半径为：，
外接球的表面积为所以D正确．
故选：．
利用直线与直线平行判断；平面的基本性质判断；直线与平面平行判断；求解外接球的表面积判断．
本题考查几何体的外接球的表面积的求法，直线与平面的位置关系的判断，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：，则，
由，可得，由，可得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A正确；
在处取得极小值也是最小值为，
当时，，当时，，
所以可得的图象如图所示：
由图象可得在上仅有一个零点，故B正确；
若关于的方程有两个实数解，
则函数与的图象有两个交点，由图象可得，故C错误；
在上有最小值，无最大值，故D正确．
故选：．
对求导，利用导数与单调性的关系求出单调区间，从而判断选项A；作出函数的大致图象，数形结合即可判断．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，因为在抛物线外，显然过与抛物线相切的直线有条，当此直线与轴平行时，与抛物线也是仅有一个公共点，所以过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有条，故A错误；
对于，设，，则，即，中点横坐标为，故B正确；
对于，，，所以C正确；
对于，当时，最小，最小值为，故D正确．
故选：．
A、由在抛物线外，即可判定；
B、设，，由抛物线的定义可得，解得，进而可得中点横坐标，进而可判断；
C、利用，即可判定；
，当时，最小，最小值为，即可判定．
本题主要考查直线与抛物线的综合，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，，故A正确；
对于，，故B正确；
对于，，
，
，，
，解得，故C正确；
对于，由得，故D错误．
故选：．
根据互斥事件的概率加法公式判断；根据独立事件的乘法公式判断；根据条件概率以及全概率公式判断．
本题考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：由，可得，
由定义，在方向上的投影向量为：
．
故答案为：．
由投影向量定义直接求解即可．
本题考查投影向量定义，向量的数量积运算，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：若，，分别为长轴的两个端点与短轴的一个端点，
则，可得，即，
得，该式不成立；
若，，分别为短轴的两个端点与长轴的一个端点，
则，可得，即，
，，．
故答案为：．
分，，分别为长轴的两个端点与短轴的一个端点，，，分别为短轴的两个端点与长轴的一个端点，结合勾股定理及隐含条件求解．
本题考查椭圆的几何性质，考查分类讨论思想，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：圆：的圆心，半径：，
由是钝角三角形，得圆心到直线的距离小于，
则，
解得：，
直线不能经过圆的圆心，则，
故答案为：
由是钝角三角形，可得圆心到直线的距离小于，再利用点到直线的距离公式列式求得的取值范围．
本题考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设函数的最小正周期为，则，
，
，，即，，
又在区间上单调，
，解得，
当时，取得最大值．
故答案为：．
设函数的最小正周期为，则，由，可得，，又在区间上单调，所以，综合即可求出的最大值．
本题考查正弦函数的周期性和单调性，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：，
由正弦定理得，所以，
所以，
因为，所以；
由得，因为边上中线长为，
设中点为，所以，
所以，即，
所以，
又因为，所以，解得，
所以．
【解析】由正弦定理得，即，代入余弦定理即可求解；
由得，设中点为，则，利用平面向量数量积和三角形的面积公式，即可求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：当时，，
当时，因为，
所以，
可得，即，所以，
又因为，所以，
所以，当时，数列的是以为首项，为公比的等比数列，所以，
所以；
因为，所以，
所以，
当时，，
当时，
，
，
得
，
，
当时，也满足，
数列的前项和．
【解析】利用递推关系、等比数列的通项公式即可求解；
求出数列的通项公式，再利用错位相减法求和．
本题考查了数列递推式、等比数列、以及错位相减法求和，属于中档题．
19.【答案】解：由已知，有，所以事件发生的概率为；
随机变量的所有可能取值为，，，，
，
所以随机变量的分布列为：


所以．
【解析】根据组合的实际应用和古典概型的概率公式，计算可得结果；
随机变量的所有可能取值为，，，，根据古典概型的概率公式计算出随机变量的各个取值的概率，即可得到随机变量的分布列，代入期望公式即可求解．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
20.【答案】证明：，为的中点，，且，
又，，即，，
，，可得，
又，平面；
解：以为坐标原点，
分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系．
则，，，，
设，则．
平面的一个法向量为．
，，
设平面的一个法向量为，
由，取，得．
平面与平面的夹角为，
，解得舍去，或．
即．
【解析】由已知证明，，可得平面；
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，分别求出平面与平面的一个法向量，由已知平面与平面的夹角为列式求解值即可．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了空间角的求法，是中档题．
21.【答案】解：由已知可得，，解得．
双曲线的标准方程为：；
证明：由知，，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得，
不妨取，，
，由对称性可得，；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
由，得．
设，，
则，，
，．
综上可得：．
【解析】由已知可得关于，，的方程组，求得与的值，则答案可求；
当直线的斜率不存在时，直接由对称性得结论，当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系证明，即可得到．
本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：因为，，
所以，
由，得，由，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
证明：要证明，
只需证明，
设，，
等价于证明在上恒成立即可．
因为，则在上单调递增，
令，
易知存在唯一，使，即有．
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，
因为，且，
所以，
因为不等式得证．
【解析】求出导数，利用导数与单调性的关系即可求出函数的单调区间；
问题转化为证明，设，，求出导数，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了不等式的证明，属于中档题．
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