第五章 函数的概念与性质 复习讲义（含答案）

编号：031 课题: §5 函数的概念与性质复习课
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.进一步理解并掌握函数奇偶性概念和几何意义；
2.会利用函数的奇偶性求函数的解析式；
3.解决一些函数奇偶性、单调性关系的应用；
4.理解并掌握函数奇偶性、单调性的综合应用.
本节重点难点
重点：函数奇偶性、单调性关系的应用；
难点：函数奇偶性、单调性的综合应用．
学科素养目标
函数是“通过建立数学模型来刻画与研究世界”的典范，也是学习数学和研究数学的范例．学习“函数概念与基本初等函数I”（下面简称“函数” ）这一章，从观念上认识“函数” ，它是“语言、工具、应用”．它挑起了“万水千山”（整个高中数学），贯通了数学世界，迎接着广泛的实际问题．认识函数，就是认识它是解决许多实际问题的基本模型；认识函数，在于研究它的性质；认识函数，应明了它的根本价值在于应用，并揭示了它的“生长性”即如许许多多对数据都统一于一个函数式．
通过本章的学习，逐步培养学生的数学思维，养成准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程的习惯，形成、提高数学表达和交流的能力，逐步地发展独立获取数学知识的能力，发展数学应用意识和创新意识，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，进一步拓宽学生的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神．
教学过程赏析
知识结构简图
基础知识积累
1. 函数
(1)概念:
①定义: 设是两个_________数集，如果按某种对应法则，对于集合中的_________元素，在集合中都有_________的元素和它对应，这样的对应叫做从到的一个函数．
②记法:y=f(x),x∈A.
③定义域: 在的对应中___________组成的集合叫做函数的定义域.;
值域: 对于A中的每一个，都有一个输出值与之对应，将组成的集合叫做函数的值域，则.
(2)本质:函数的集合定义.
2. 同一个函数
前提条件 ________相同
__________相同
结论 这两个函数是同一个函数
3.常见的函数的定义域和值域
函数 常数函数 一次函数 反比例函数 二次函数
_______ _______
对应关系 y=b (b为常数) y=ax+b (a≠0)
定义域 R {x|x≠0，x∈R } R R
值域 R {y|y≠0，y∈R }
4. 函数的图象
(1)定义: 函数的图象：将函数自变量的一个值作为________坐标，相应的函数值作为__________坐标，就得到坐标平面上的一个点，当自变量___________时，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
(2)集合表示:所有这些点组成的集合(点集)为__________________,即________________.
(3) 函数的图象与其定义域、值域的对应关系：函数的图象在轴上的射影构成的集合对应着函数的________，在轴上的射影构成的集合对应着函数的_____．
(4)本质:函数对应的图形,即几何意义.
5. 表示函数的三种方法
解析法 用_______来表示两个变量之间的函数关系
列表法 用_______来表示两个变量之间的函数关系
图象法 用_______来表示两个变量之间的函数关系
6.本质:两个变量对应关系的三种不同方式的表示.
7. 分段函数
(1)定义:在定义域内不同部分上,有不同的 ,像这样的函数叫作分段函数.
(2)本质:函数在定义域的不同的范围内,有着不同的对应关系.
(3)应用:可以用分段函数描述很多生活中的实际问题.
8. 函数的单调性
(1)定义
函数 增函数 减函数
图示
条件 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1都有________________ 都有___________
结论 (1)y=f(x)在区间I上是 ___________ (2)I称为y=f(x)的增区间 (1)y=f(x)在区间I上是 ____________ (2)I称为y=f(x)的减区间
(2)本质:函数的单调性反映的是两个变量的对应变换规律,定量地刻画了函数在区间上图象的变化趋势,是函数诸多性质中最核心、最本质的性质.
(3)应用:证明函数的单调性、比较大小、解不等式、求参数范围等.
9.单调性与单调区间
10. 函数的最大值和最小值
(1)定义:
条件 设y=f(x)的定义域为A,如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有
前提 f(x)≤f(x0) f(x)≥f(x0)
结论 称f(x0)为y=f(x)的最大值,记为ymax=f(x0) 称f(x0)为y=f(x)的最小值,记为__________.
(2)本质:函数图象上最高点的纵坐标即为最大值;最低点的纵坐标即为最小值.
(3)应用:求函数的值域,参数的范围,解决实际问题.
11. 函数的奇偶性
(1)奇偶性:
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有-x∈A
前提 f(-x)=_________ f(-x)= ________
结论 函数y=f(x)是偶函数 函数y=f(x)是奇函数
图象 特点 关于________对称 关于________对称
(2)本质:奇偶性是函数对称性的表示方法.
(3)应用:奇偶性是函数的“整体”性质,只有对其定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说f(x)是奇(偶)函数.
【课堂题组训练】
题1. 设f(x)＝，则使得f(m)＝1成立的m的值是(　　)
A．10 B．0，10
C．0，－2，10 D．1，－1，11
题2．已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f()等于(　　)
A.－ B． C．－ D．
题3．如果函数f(x)＝x2＋(1－a)x＋3在区间[1，4]上是单调函数，那么实数a的取值范围是(　　)
A．a≥9或a≤3 B．a≥7或a≤3
C．a＞9或a＜3 D．3≤a≤9
题4．已知函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　)
A．[1，5] B．(1，2)∪(2，5)
C．(1，2)∪(2，3] D．[1，2)∪(2，3]
题5．已知函数f(x)＝(1≤x≤2)，则函数g(x)＝2f(x)＋f(x2)的值域为(　　)
A．[3，2＋2] B．[，3]
C．[，3] D．[＋，3]
题6．定义在[－1，1]上的函数f(x)满足下列两个条件：①对任意的x∈[－1，1]，都有f(－x)＝－f(x)；②对任意的m，n∈[0，1]，当m≠n时，都有＜0.则不等式f(1－2x)＋f(1－x)<0的解集是(　　)
A．[0，) B．(，]
C．[－1，) D．[0，)
题7．已知函数f(x)，g(x)都是R上的奇函数，不等式f(x)＞0与g(x)＞0的解集分别为(m，n)，(，)(0＜m＜)，则不等式f(x)·g(x)＞0的解集是(　　)
A．(，)
B．(－n，－m)
C．(－，－m)∪(m，)
D．(－n，－m)∪(，)
题8．函数f(x)＝(x－1)2可以表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则g(1)等于(　　)
A．－2 B．0 C．1 D．2
题9（多选题）．已知函数f(x)＝x|x|，若对任意的x∈[t，t＋1]，不等式f(x＋t)≥3f(x)恒成立，则整数t的取值可以是(　　)
A．－1 B．1 C．3 D．5
题10（多选题）．有以下判断，其中是正确判断的有(　　)
A．f(x)＝与g(x)＝表示同一函数
B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个
C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数
D．若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0
题11（多选题）．规定：min＝.函数f(x)＝min，则下列结论中正确的有(　　)
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)的最大值为
C．f(x)的单调递增区间为(－∞，0)
D．f(－a2)≤f(2)
题12（多选题）．已知f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的值可能为(　　)
A．1 B．3 C．－2 D．
题13（多选题）．已知f(2x＋1)＝4x2，则下列结论正确的是 (　 　)
A．f(3)＝36 B．f(－3)＝16 C．f(x)＝16x2＋16x＋4 D．f(x)＝x2－2x＋1
题14（多选题）．下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是 (　 　)
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
题15（多选题）．已知函数y＝若f(a)＝10，则a的值是 ( 　　)
A．3 B．－3 C．－3 D．5
题16．函数f(x)＝2x＋的定义域是____________．
题17．已知函数f(x)＝，则f(f(－2))＝____________；不等式f(f(x))≤3的解集为____________．
题18．已知函数f(x)＝(m≠1)在区间(0，1]上是减函数，则实数m的取值范围是____________．
题19．若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：
①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝2f(x)；③f(x)·f(－x)＜0；④＝－1.
其中一定正确的为________．(填序号)
题20．已知函数f(x)的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．
(1)写出函数f(x)的定义域和值域；
(2)求f[f(－1)]的值．
题21．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝－2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1).
(1)求f(－)的值；
(2)写出函数f(x)在区间(0，3]上的解析式，并画出函数在这区间上的图象；
(3)若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，求m的取值范围．
题22．设函数f(x)＝.
(1)用函数单调性定义证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是单调递减函数；
(2)求函数f(x)在区间[3，5]上的最大值和最小值．
题23．函数f(x)＝，x∈R.
(1)求证：f(x)在区间[－1，1]上单调递增；
(2)你还能得到函数的哪些性质？
编号：031 课题: §5 函数的概念与性质复习课
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.进一步理解并掌握函数奇偶性概念和几何意义；
2.会利用函数的奇偶性求函数的解析式；
3.解决一些函数奇偶性、单调性关系的应用；
4.理解并掌握函数奇偶性、单调性的综合应用.
本节重点难点
重点：函数奇偶性、单调性关系的应用；
难点：函数奇偶性、单调性的综合应用．
学科素养目标
函数是“通过建立数学模型来刻画与研究世界”的典范，也是学习数学和研究数学的范例．学习“函数概念与基本初等函数I”（下面简称“函数” ）这一章，从观念上认识“函数” ，它是“语言、工具、应用”．它挑起了“万水千山”（整个高中数学），贯通了数学世界，迎接着广泛的实际问题．认识函数，就是认识它是解决许多实际问题的基本模型；认识函数，在于研究它的性质；认识函数，应明了它的根本价值在于应用，并揭示了它的“生长性”即如许许多多对数据都统一于一个函数式．
通过本章的学习，逐步培养学生的数学思维，养成准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程的习惯，形成、提高数学表达和交流的能力，逐步地发展独立获取数学知识的能力，发展数学应用意识和创新意识，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，进一步拓宽学生的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神．
教学过程赏析
知识结构简图
基础知识积累
1. 函数
(1)概念:
①定义: 设是两个_非空__数集，如果按某种对应法则，对于集合中的__每一个__元素，在集合中都有___唯一的__的元素和它对应，这样的对应叫做从到的一个函数．
②记法:y=f(x),x∈A.
③定义域: 在的对应中__每一个__组成的集合叫做函数的定义域.;
值域: 对于A中的每一个，都有一个输出值与之对应，将组成的集合叫做函数的值域，则.
(2)本质:函数的集合定义.
2. 同一个函数
前提条件 __定义域_____相同
___对应关系___相同
结论 这两个函数是同一个函数
3.常见的函数的定义域和值域
函数 常数函数 一次函数 反比例 函数 二次函数
_____ _____
对应 关系 y=b (b为常数) y=ax+b (a≠0)
定义域 R {x|x≠0，x∈R } R R
值域 R {y|y≠0，y∈R }
4．函数的图象
(1)定义: 函数的图象：将函数自变量的一个值作为　横　坐标，相应的函数值作为　纵　坐标，就得到坐标平面上的一个点，当自变量　取遍函数定义域A中的每一个 时，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
(2)集合表示:所有这些点组成的集合(点集)为___{(x,f(x))|x∈A}____,
即___{(x,y)|y=f(x),x∈A}___.
(3) 函数的图象与其定义域、值域的对应关系：函数的图象在轴上的射影构成的集合对应着函数的　定义域　，在轴上的射影构成的集合对应着函数的　值域　．
(4)本质:函数对应的图形,即几何意义.
5. 表示函数的三种方法
解析法 用__等式__来表示两个变量之间的函数关系
列表法 用__列表_来表示两个变量之间的函数关系
图象法 用__图象__来表示两个变量之间的函数关系
6.本质:两个变量对应关系的三种不同方式的表示.
7. 分段函数
(1)定义:在定义域内不同部分上,有不同的 解析表达式 ,像这样的函数叫作分段函数.
(2)本质:函数在定义域的不同的范围内,有着不同的对应关系.
(3)应用:可以用分段函数描述很多生活中的实际问题.
8. 函数的单调性
(1)定义
函数 增函数 减函数
图示
条件 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1都有___ f(x1)f(x2)__
结论 (1)y=f(x)在区间I上是 ___增函数____ (2)I称为y=f(x)的增区间 (1)y=f(x)在区间I上是 ___减函数___ (2)I称为y=f(x)的减区间
(2)本质:函数的单调性反映的是两个变量的对应变换规律,定量地刻画了函数在区间上图象的变化趋势,是函数诸多性质中最核心、最本质的性质.
(3)应用:证明函数的单调性、比较大小、解不等式、求参数范围等.
9.单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间.
10. 函数的最大值和最小值
(1)定义:
条件 设y=f(x)的定义域为A,如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有
前提 f(x)≤f(x0) f(x)≥f(x0)
结论 称f(x0)为y=f(x)的最大值,记为ymax=f(x0) 称f(x0)为y=f(x)的最小值,记为___ymin=f(x0)__
(2)本质:函数图象上最高点的纵坐标即为最大值;最低点的纵坐标即为最小值.
(3)应用:求函数的值域,参数的范围,解决实际问题.
11. 函数的奇偶性
(1)奇偶性:
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有-x∈A
前提 f(-x)=___ f(x)__ f(-x)= ___-f(x)___
结论 函数y=f(x)是偶函数 函数y=f(x)是奇函数
图象 特点 关于__ y轴__对称 关于__原点___对称
(2)本质:奇偶性是函数对称性的表示方法.
(3)应用:奇偶性是函数的“整体”性质,只有对其定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说f(x)是奇(偶)函数.
【课堂题组训练】
题1. 设f(x)＝，则使得f(m)＝1成立的m的值是(　　)
A．10 B．0，10
C．0，－2，10 D．1，－1，11
【解析】选C.当m＜1时，f(m)＝(m＋1)2＝1，解得m＝－2或m＝0；
当m≥1时，f(m)＝4－＝1，解得m＝10，综上：m的取值为－2，0，10.
题2．已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f()等于(　　)
A.－ B． C．－ D．
【解析】选C.f(x)＝，则f()＝－1＝－.
题3．如果函数f(x)＝x2＋(1－a)x＋3在区间[1，4]上是单调函数，那么实数a的取值范围是(　　)
A．a≥9或a≤3 B．a≥7或a≤3
C．a＞9或a＜3 D．3≤a≤9
【解析】选A.函数f(x)＝x2＋(1－a)x＋3的对称轴为x＝，
若函数f(x)＝x2＋(1－a)x＋3在区间[1，4]上是单调函数，且在区间[1，4]上单调递减，则≥4，解得a≥9；若在区间[1，4]上单调递增，则≤1，解得a≤3，故实数a的取值范围是：a≥9或a≤3.
题4．已知函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　)
A．[1，5] B．(1，2)∪(2，5)
C．(1，2)∪(2，3] D．[1，2)∪(2，3]
【解析】选C.由题意，函数y＝f(x)的定义域为，即x∈，
则函数y＝＋(x－2)0满足，解得1＜x≤3且x≠2，
所以函数y＝＋(x－2)0的定义域是(1，2)∪(2，3].
题5．已知函数f(x)＝(1≤x≤2)，则函数g(x)＝2f(x)＋f(x2)的值域为(　　)
A．[3，2＋2] B．[，3]
C．[，3] D．[＋，3]
【解析】选D.因为f(x)＝(1≤x≤2)，由，解得1≤x≤.
所以g(x)＝2f(x)＋f(x2)＝＋(1≤x≤).
令t＝(≤t≤1)，所以函数y＝t2＋2t＝(t＋1)2－1.
当t＝时，ymin＝＋；当t＝1时，ymax＝3，所以函数g(x)＝2f(x)＋f(x2)的值域为[＋，3].
题6．定义在[－1，1]上的函数f(x)满足下列两个条件：①对任意的x∈[－1，1]，都有f(－x)＝－f(x)；②对任意的m，n∈[0，1]，当m≠n时，都有＜0.则不等式f(1－2x)＋f(1－x)<0的解集是(　　)
A．[0，) B．(，]
C．[－1，) D．[0，)
【解析】选D.由①知函数f(x)在[－1，1]上为奇函数，且f(0)＝0；
由②知函数f(x)在[0，1]上为减函数，所以函数f(x)在[－1，1]上既是奇函数，也是减函数，所以原不等式可变形为f(1－2x)＜f(x－1)，所以－1≤x－1＜1－2x≤1，解得0≤x＜.
题7．已知函数f(x)，g(x)都是R上的奇函数，不等式f(x)＞0与g(x)＞0的解集分别为(m，n)，(，)(0＜m＜)，则不等式f(x)·g(x)＞0的解集是(　　)
A．(，)
B．(－n，－m)
C．(－，－m)∪(m，)
D．(－n，－m)∪(，)
【解析】选C.不等式f(x)·g(x)＞0化为：或，
由已知，解得，
而0＜m＜，于是得m＜x＜，
因为函数f(x)，g(x)都是R上的奇函数，由得，
即，变形为，
从而得－＜x＜－m，综上得－＜x＜－m或m＜x＜.
所以不等式f(x)·g(x)＞0的解集是(－，－m)∪(m，).
题8．函数f(x)＝(x－1)2可以表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则g(1)等于(　　)
A．－2 B．0 C．1 D．2
【解析】选D.因为h(x)是奇函数，所以h(－x)＝－h(x)，
因为g(x)是偶函数，所以g(－x)＝g(x)，由题意可得h(x)＋g(x)＝(x－1)2①，
所以h(－x)＋g(－x)＝(－x－1)2，即－h(x)＋g(x)＝(－x－1)2②，
由①＋②，得2g(x)＝(x－1)2＋(－x－1)2＝2x2＋2，
所以g(x)＝x2＋1，所以g(1)＝1＋1＝2.
题9（多选题）．已知函数f(x)＝x|x|，若对任意的x∈[t，t＋1]，不等式f(x＋t)≥3f(x)恒成立，则整数t的取值可以是(　　)
A．－1 B．1 C．3 D．5
【解析】选CD.f(x)＝x|x|，当x≥0时，f(x)＝x2，在[0，＋∞)上递增，
当x≤0时，f(x)＝－x2，在(－∞，0]上递增，且f(0)＝0，f(x)为连续函数，
所以f(x)在R上为增函数，且3f(x)＝f(x)，
由对任意的x∈[t，t＋1]，不等式f(x＋t)≥3f(x)恒成立，得f(x＋t)≥f(x)，
即x＋t≥x，所以t≥(－1)x对任意的x∈[t，t＋1]恒成立，
由y＝(－1)x在[t，t＋1]上递增，可得
y＝(－1)x的最大值为(－1)(t＋1)，即t≥(－1)(t＋1)，解得t≥＋1.所以C，D满足题意．
题10（多选题）．有以下判断，其中是正确判断的有(　　)
A．f(x)＝与g(x)＝表示同一函数
B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个
C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数
D．若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0
【解析】选BC.对于A，函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数g(x)＝的定义域为R，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，所以是不正确的；
对于B，根据函数的定义，可知函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个，所以是正确的；
对于C，函数f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1的定义域与对应法则都相同，所以两个函数是同一函数，所以是正确的；
对于D，由f(x)＝|x－1|－|x|，可得f()＝0，所以f(f())＝f(0)＝1，所以不正确．
题11（多选题）．规定：min＝.函数f(x)＝min，则下列结论中正确的有(　　)
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)的最大值为
C．f(x)的单调递增区间为(－∞，0)
D．f(－a2)≤f(2)
【解析】选ABD.由x＝－x2＋2x得x＝或x＝0，f()＝，f(2)＝0，作出函数大致图象如图所示：
所以f(x)的定义域为R，f(x)的单调递增区间为(－∞，]，
f(x)的最大值为f()＝，f(－a2)≤f(0)＝f(2).
题12（多选题）．已知f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的值可能为(　　)
A．1 B．3 C．－2 D．
【解析】选AD.f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，
其单调递减区间为(a，＋∞)，f(x)在区间[1，2]上是减函数，则a≤1.
又g(x)＝在区间[1，2]上是减函数，则a＞0.
综上可得，0＜a≤1.所以A，D满足题意．
题13（多选题）．已知f(2x＋1)＝4x2，则下列结论正确的是 (　 　)
A．f(3)＝36 B．f(－3)＝16 C．f(x)＝16x2＋16x＋4 D．f(x)＝x2－2x＋1
【解析】选BD.当2x＋1＝3时，x＝1，因此f(3)＝4×12＝4，所以A不符合题意；
当2x＋1＝－3时，x＝－2，因此f(－3)＝4×(－2)2＝16，所以B符合题意；令t＝2x＋1，则x＝，
因此f(t)＝4×()2＝t2－2t＋1，所以C不符合题意，D符合题意．
题14（多选题）．下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是 (　 　)
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x| C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
【解析】选ABD.对于A项，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；
对于B项，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；
对于C项，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)；
对于D项，f(2x)＝－2x＝2f(x).
题15（多选题）．已知函数y＝若f(a)＝10，则a的值是 ( 　　)
A．3 B．－3 C．－3 D．5
【解析】选BD.若a≤0，则f(a)＝a2＋1＝10，所以a＝－3(a＝3舍去).
若a＞0，则f(a)＝2a＝10，所以a＝5.综上可得，a＝5或a＝－3.
【光速解题】将答案逐一代入验证f(a)＝10是否成立即可．
题16．函数f(x)＝2x＋的定义域是____________．
【解析】因为2x－1≥0，解得x≥.故函数f(x)＝2x＋的定义域是
[，＋∞).
答案：[，＋∞)
题17．已知函数f(x)＝，则f(f(－2))＝____________；不等式f(f(x))≤3的解集为____________．
【解析】f(f(－2))＝f(0)＝0.令f(x)＝t，先解f(t)≤3，当t≥0时，－t2≤3成立；
当t＜0时，t2＋2t≤3，解得－3≤t＜0.再解不等式f(x)≥0和－3≤f(x)＜0，
先求f(x)≥0，易知当x≥0时，－x2≤0，当x＜0，x2＋2x≥0，所以x≤－2或x＝0；
再求－3≤f(x)＜0，当x＜0可得－2＜x＜0，当x≥0，可得0＜x≤，
综上：可得x≤.
答案：0　(－∞，]
题18．已知函数f(x)＝(m≠1)在区间(0，1]上是减函数，则实数m的取值范围是____________．
【解析】由题意可得4－mx≥0，x∈(0，1]恒成立，所以m≤()min＝4.
当0＜m≤4时，4－mx单调递减，所以m－1＞0，解得1＜m≤4；
当m＜0时，4－mx单调递增，所以m－1＜0，解得m＜1，所以m＜0.
故实数m的取值范围是(－∞，0)∪(1，4].
答案：(－∞，0)∪(1，4]
题19．若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法：
①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝2f(x)；③f(x)·f(－x)＜0；④＝－1.
其中一定正确的为________．(填序号)
【解析】因为f(x)在R上为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).
所以f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．
f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确．
当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确．
当x＝0时，分母为0，无意义，故④不正确．
答案：①②
题20．已知函数f(x)的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．
(1)写出函数f(x)的定义域和值域；
(2)求f[f(－1)]的值．
【解析】(1)由题图可知，函数f(x)的定义域为[－2，3]，值域为[－2，2]；
(2)当x∈[－2，0]时，设f(x)＝kx＋b(k≠0)，将(－2，0)，(0，2)代入可得，
解得k＝1，b＝2，即f(x)＝x＋2；当x∈(0，3]时，设f(x)＝a(x－2)2－2，
将点(3，－1)代入可得－1＝a(3－2)2－2，解得a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－2＝x2－4x＋2，所以f(x)＝，
所以f(－1)＝－1＋2＝1，所以f[f(－1)]＝f(1)＝12－4＋2＝－1.
题21．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝－2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1).
(1)求f(－)的值；
(2)写出函数f(x)在区间(0，3]上的解析式，并画出函数在这区间上的图象；
(3)若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，求m的取值范围．
【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝－2f(x)，所以f(－)
＝－f(－＋1)＝f(－＋1)＝f()＝××(－1)＝－.
(2)因为函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝－2f(x)，所以满足 x∈R，f(x)＝－2f(x－1)，
所以当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，故f(x)＝－2f(x－1)＝－2(x－1)(x－2)，
当x∈(2，3]时，x－1∈(1，2]，故f(x)＝－2f(x－1)＝4(x－2)(x－3)，
所以函数f(x)在区间(0，3]上的解析式为
f(x)＝，函数图象如图：
(3)因为函数f(x)满足f(x＋1)＝－2f(x)，所以结合(2)可知当x≤2时，f(x)≥－恒成立，
当x∈(2，3]时，令f(x)＝4(x－2)(x－3)＝－，整理得(3x－7)(3x－8)＝0，
解得x＝或x＝，
若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－恒成立，则必有m≤，
故m的取值范围是(－∞，].
题22．设函数f(x)＝.
(1)用函数单调性定义证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是单调递减函数；
(2)求函数f(x)在区间[3，5]上的最大值和最小值．
【解析】(1)设x2＞x1＞1，由题意有f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为x2＞x1＞1，所以x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在区间(1，＋∞)上是单调递减函数．
(2)由(1)可知，f(x)在区间[3，5]上单调递减，所以f(x)的最大值为f(3)＝，最小值为f(5)＝.
所以函数f(x)在区间[3，5]上的最大值为，最小值为.
题23．函数f(x)＝，x∈R.
(1)求证：f(x)在区间[－1，1]上单调递增；
(2)你还能得到函数的哪些性质？
【解析】(1)设 x1，x2∈[－1，1]且－1≤x1＜x2≤1，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝
＝＝，
因为－1≤x1＜x2≤1时，x1－x2＜0，1－x1x2＞0，(x＋1)(x＋1)＞0，
所以f(x1)＜f(x2)，即f(x)在区间[－1，1]上单调递增．
(2)因为f(x)＝，x∈R，定义域关于原点对称，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．当x≠0时，f(x)＝＝，
当x＞0时f(x)＝≤＝1，
当且仅当x＝1时，等号成立，
所以0＜f(x)≤1.当x＜0时，f(x)＝≥＝－1，当且仅当x＝－1时等号成立，
所以－1≤f(x)＜0，当x＝0时，f(x)＝0，综上，函数的值域为[－1，1].(答案不唯一，说法合理即可)
- 0 -