3.1.1椭圆及其标准方程（第2课时） 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
3.1.1
椭圆及其标准方程
第2课时
人教A版（2019）选择性必修第一册
学习目标
1. 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决问题中的作用。
2. 学会从具体情境中抽象出椭圆，掌握椭圆的定义。
3.掌握椭圆定义的应用及椭圆标准方程的推导过程。
4.核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算
一、复习导入
1、用坐标法研究曲线方程的基本思路
①根据椭圆的几何特征建立适当的平面直角坐标系；
②明确椭圆上的点满足的几何条件；
③将几何条件转化为代数表示，列出方程；
④化简方程；
⑤检验方程.
2、椭圆的概念及其标准方程
我们把平面内与两个定点, 的距离的和等于常数（大于||）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）.这两个定点叫做椭圆的焦点（focus），两焦点间距离叫做椭圆的焦距（ focus distance），焦距的一半称为半焦距.
我们称方程1 (0)是椭圆的标准方程，它表示焦点在轴上，两焦点分别是 ， 的椭圆，这里
.
二、新课讲授
1、圆锥的标准方程
问题1 如果椭圆的焦点, 在轴上，且, 的坐标分别为， ，仍然令，那么椭圆方程又是什么？
O
1 (0)
焦点在，椭圆的标准方程为
1 (0).
焦点在，椭圆的标准方程为
1 (0).
例1 求合适下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点坐标为， 且经过点；
（2） 3，
解： (1)法一：由于椭圆的焦点在，所以设它的标准方程为1 (0)，由椭圆的定义知 =1.
+
所以=2， 则 1=3.
所求椭圆的标准方程为 1.
三、巩固新知
(1)法二：由于椭圆的焦点在，所以设它的标准方程为1 (0)，由椭圆的定义知 =1.
因为点在椭圆上，所以有 1
解方程组
解得
所求椭圆的标准方程为 1.
解法一：利用椭圆的几何特征；解法二：坐标法
解： (2) 3， ，得
解方程组
解得
当焦点在1，
当焦点在1.
例2 如图，在圆上任取一点，过点作的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？
O
分析：通过点的轨迹方程来判断的轨迹
通过建立点与已知曲线上点的联系，利用已知曲线的方程求解.
解： 设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为.由点是线段的中点，得= ， = .
O
因为点在圆上，所以.
把= ，= 代入方程①，得
，即1
所以点的轨迹是椭圆.
小结：
寻求点的坐标中与已知轨迹上点坐标之间的关系，然后消去，得到点的轨迹方程.
这是解析几何中求点的轨迹方程常用方法.
课后思考 由例2我们发现圆与椭圆的联系，圆通过哪些方式可以得到椭圆.你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗 如何“拉伸”？
例3 如图，设点的坐标分别为， .直线，相交于点，且它们的斜率之积是-，求点的轨迹方程.
分析：利用点的几何性质求其轨迹方程
设点的坐标为，那么直线，的斜率就可以用含的关系式分别表示.由直线，的斜率之积是-可以建立之间的关系式，进而得到点的轨迹方程.
解： 设点的坐标为，因为点的坐标为，所以直线的斜率为(≠-5).
同理直线的斜率为(≠5).
由已知，有 = -（ ≠ ±5），
化简整理得：+ = 1（ ≠ ±5）.
所以点的轨迹是除去， 两点的椭圆.
追问1 当一个动点与两个定点连线的斜率之积是-1时，动点轨迹是什么？
分析：动点的轨迹是除去， 两点的圆
小结：
①当一个动点与两个定点连线的斜率之积是-1时，动点的轨迹是除去， 两点的圆；
②当一个动点与两个定点连线的斜率之积小于-1时，动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆；
③当一个动点与两个定点连线的斜率之积在区间（-1,0）时，动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆；
④当一个动点与两个定点连线的斜率之积是个正数时，动点的轨迹是双曲线.
四、课堂小结
1、研究曲线方程的基本思路
五、作业布置
课本P109：练习 第4题
2、椭圆的标准方程：
①焦点在：1 (0).
②焦点在：1 (0).