5.4函数的奇偶性 第2课时 函数奇偶性的应用 讲义（含答案）

编号：030 课题: §5.4.2 函数的奇偶性——第2课时 函数奇偶性的应用
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.进一步理解并掌握函数奇偶性概念和几何意义；
2.会利用函数的奇偶性求函数的解析式；
3.解决一些函数奇偶性、单调性关系的应用；
4.理解并掌握函数奇偶性、单调性的综合应用.
本节重点难点
重点：函数奇偶性、单调性关系的应用；
难点：函数奇偶性、单调性的综合应用．
学科素养目标
函数是“通过建立数学模型来刻画与研究世界”的典范，也是学习数学和研究数学的范例．学习“函数概念与基本初等函数I”（下面简称“函数” ）这一章，从观念上认识“函数” ，它是“语言、工具、应用”．它挑起了“万水千山”（整个高中数学），贯通了数学世界，迎接着广泛的实际问题．认识函数，就是认识它是解决许多实际问题的基本模型；认识函数，在于研究它的性质；认识函数，应明了它的根本价值在于应用，并揭示了它的“生长性”即如许许多多对数据都统一于一个函数式．
通过本章的学习，逐步培养学生的数学思维，养成准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程的习惯，形成、提高数学表达和交流的能力，逐步地发展独立获取数学知识的能力，发展数学应用意识和创新意识，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，进一步拓宽学生的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神．
教学过程
基础知识积累
1. 函数的奇偶性
(1)奇偶性:
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有-x∈A
前提 f(-x)=________ f(-x)= ________
结论 函数y=f(x)是偶函数 函数y=f(x)是奇函数
图象 特点 关于________对称 关于__________对称
(2)本质:奇偶性是函数对称性的表示方法.
(3)应用:奇偶性是函数的“整体”性质,只有对其定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说f(x)是奇(偶)函数.
【思考】
具有奇偶性的函数,其定义域有何特点
【思考2】
请举例说明常见函数的奇偶性.
【课前小题演练】
题1．用列表法将函数f(x)表示如表，则(　　)
x 1 2 3
f(x) －1 0 1
A.f(x＋2)为奇函数
B．f(x＋2)为偶函数
C．f(x－2)为奇函数
D．f(x－2)为偶函数
题2．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)等于(　　)
A．x2 B．2x2 C．2x2＋2 D．x2＋1
题3．已知f是R上的偶函数，g是R上的奇函数，它们的部分图象如图，则f·g的图象大致是(　　)
题4．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)＜f(2a＋1)，则a的取值范围是(　　)
A．a>1 B．a＜－2 C．a>1或a＜－2 D．－1＜a＜2
题5．若奇函数f(x)在x∈(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有(　　)
A．最大值－ B．最大值
C．最小值－ D．最小值
题6．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且是增函数，若f(1)＝1，则不等式|f(x)|＜1的解集为(　　)
A．(－1，1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
题7(多选题)．若函数y＝f(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是(　　)
A．3个交点的横坐标之和为0
B．3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关
C．f(0)＝0
D．f(0)的值与函数解析式有关
题8(多选题)．下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是(　　)
A．f＝－x－x3
B．f＝
C．f＝1－x
D．f＝－
题9．已知定义在(－∞，＋∞)上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(－1)＝－，若f(2x－1)≥－，则x的取值范围是______．
题10．写出一个值域为(－∞，4]的偶函数f(x)＝________．
题11．已知函数f(x)＝－x＋a2，a∈R为奇函数，求f(x).
【课堂题组训练】
题12．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)| ＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－ g(x)是奇函数
题13．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f的大小关系是(　　)
A．f>f
B．f＜f
C．f≥f
D．f≤f
题14(多选题)．下列对函数的奇偶性判断正确的是(　　)
A．f(x)＝－是奇函数
B．f(x)＝是奇函数
C．f(x)＝既不是奇函数也不是偶函数
D．f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数
题15(多选题)．设y＝f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)内单调递增，f(－2)＝0，则下列区间中使得xf(x)＜0的有(　　)
A．(－1，1) B．(0，2)
C．(－2，0) D．(2，4)
题16．若函数f(x)＝，则函数是________(填“奇函数”“偶函数”“非奇非偶函数”“既奇又偶函数”)；不等式f≤9的解集为______________．
题17．设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时f(x)的图象如图所示，不等式f(x)＜0的解集用区间表示为__________.
题18．已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式．
(2)画出函数f(x)的图象．
(3)根据图象，写出函数f(x)的减区间及值域．
题19．已知函数f(x)＝是R上的偶函数．
(1)求实数m的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，0]上的单调性；
(3)求函数f(x)在[－3，2]上的最大值与最小值．
【综合突破拔高】
题20. 已知偶函数y＝f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，下列不等式一定成立的是(　　)
A．f(3)>f(－2) B．f(－π)C．f(1)>f() D．f(t2＋1)题21．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是增函数的函数是(　　)
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝－
题22．函数f(x)＝x3＋x＋－8(a∈R)在区间上的最大值为10，则函数f(x)在区间上的最小值为(　　)
A．－10 B．－8 C．－26 D．与a有关
题23．如果奇函数f(x)在区间[1，5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上(　　)
A．是增函数且最小值为3
B．是增函数且最大值为3
C．是减函数且最小值为－3
D．是减函数且最大值为－3
题24．已知函数f(x)＝2x3＋4x，且a＋b<0，则f(a)＋f(b)的值是(　　)
A．正数 B．负数
C．零 D．不能确定符号
题25．下列说法错误的是(　　)
A．若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称
B．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件
C．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数
D．若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0
题26(多选题)．已知定义域为(－∞，＋∞)的偶函数f(x)的一个单调递增区间是，关于函数y＝f(2－x)的下列说法中正确的是(　　)
A．一个递减区间是 B．一个递增区间是
C．其图象对称轴方程为x＝2 D．其图象对称轴方程为x＝－2
题27(多选题)．对任意两个实数a，b，定义max＝，若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝max{f(x)，g(x)}的说法正确的有(　　)
A．函数F(x)是偶函数
B．函数F(x)有四个单调区间
C．方程F(x)＝2有四个不同的根
D．函数F(x)的最大值为1，无最小值
题28(多选题)．对于定义在R上的函数f(x)，下列判断错误的有(　 　)
A．若f(－2)>f(2)，则函数f(x)是R上的单调增函数
B．若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数 C．若f(0)＝0，则函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调增函数，在区间(0，＋∞)上也是单调增函数，则f(x)是R上的单调增函数
题29(多选题)．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝2，则(　 　)
A．f(3)＝－2 B．f(x＋2)＝f(x) C．f(5)＝－2 D．f(x＋4)＝f(x)
题30(多选题)．某同学在研究函数f(x)＝时，下面几个结论正确的是 (　 　)
A．等式f(－x)＋f(x)＝0对x∈R恒成立
B．函数的值域为(－1，1) C．若x1≠x2，则一定f(x1)≠f(x2)
D．对任意的x∈[－1，1]，若函数f(x)≤t2－2at＋恒成立，则当a∈[－1，1]时，t≤－2或t≥2
题31．偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2 022，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________．
题32．偶函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且满足f(2x)＞f(x＋1)，则x的取值范围为__________．
题33．已知f(x)是偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，求f(x－1)<0的解集．
题34．定义在上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且在上是下降的，且f>f，求实数a的取值范围．
编号：030 课题: §5.4.2 函数的奇偶性——第2课时 函数奇偶性的应用
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.进一步理解并掌握函数奇偶性概念和几何意义；
2.会利用函数的奇偶性求函数的解析式；
3.解决一些函数奇偶性、单调性关系的应用；
4.理解并掌握函数奇偶性、单调性的综合应用.
本节重点难点
重点：函数奇偶性、单调性关系的应用；
难点：函数奇偶性、单调性的综合应用．
学科素养目标
函数是“通过建立数学模型来刻画与研究世界”的典范，也是学习数学和研究数学的范例．学习“函数概念与基本初等函数I”（下面简称“函数” ）这一章，从观念上认识“函数” ，它是“语言、工具、应用”．它挑起了“万水千山”（整个高中数学），贯通了数学世界，迎接着广泛的实际问题．认识函数，就是认识它是解决许多实际问题的基本模型；认识函数，在于研究它的性质；认识函数，应明了它的根本价值在于应用，并揭示了它的“生长性”即如许许多多对数据都统一于一个函数式．
通过本章的学习，逐步培养学生的数学思维，养成准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程的习惯，形成、提高数学表达和交流的能力，逐步地发展独立获取数学知识的能力，发展数学应用意识和创新意识，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，进一步拓宽学生的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神．
教学过程
基础知识积累
1. 函数的奇偶性
(1)奇偶性:
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 设函数y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的x∈A,都有-x∈A
前提 f(-x)=___ f(x)__ f(-x)= ___-f(x)___
结论 函数y=f(x)是偶函数 函数y=f(x)是奇函数
图象 特点 关于__ y轴__对称 关于__原点___对称
(2)本质:奇偶性是函数对称性的表示方法.
(3)应用:奇偶性是函数的“整体”性质,只有对其定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),才能说f(x)是奇(偶)函数.
【思考1】
具有奇偶性的函数,其定义域有何特点
提示:定义域关于原点对称.
【思考2】
请举例说明常见函数的奇偶性.
1.（为常数）.当时，函数既是奇函数，又是偶函数.
2.正比例函数与反比例函数都是奇函数.
3.函数与均为偶函数.
4.分段函数是奇函数.
【课前小题演练】
题1．用列表法将函数f(x)表示如表，则(　　)
x 1 2 3
f(x) －1 0 1
A.f(x＋2)为奇函数
B．f(x＋2)为偶函数
C．f(x－2)为奇函数
D．f(x－2)为偶函数
【解析】选A.y＝f(x)向左平移2个单位得到y＝f(x＋2)，所以y＝f(x＋2)过的点是(－1，－1)，(0，0)，(1，1)，三个点关于原点对称，所以y＝f(x＋2)是奇函数；y＝f(x)向右平移2个单位得到y＝f(x－2)，所以y＝f(x－2)过的点是(3，－1)，(4，0)，(5，1)，可知函数的三点既不关于原点对称，也不关于y轴对称，
所以y＝f(x－2)既不是奇函数也不是偶函数．
题2．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)等于(　　)
A．x2 B．2x2 C．2x2＋2 D．x2＋1
【解析】选D.因为f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，①
所以f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.
又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，
所以f(x)－g(x)＝x2－3x＋1.②
由①②联立，得f(x)＝x2＋1.
题3．已知f是R上的偶函数，g是R上的奇函数，它们的部分图象如图，则f·g的图象大致是(　　)
【解析】选C.因为f是R上的偶函数，g是R上的奇函数，所以 f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)，所以 函数f·g为奇函数，其图象关于原点对称，A，B错，由题图可得当x>0时，f(x)>0，g(x)>0，所以 f(x)·g(x)>0，D错．
题4．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)＜f(2a＋1)，则a的取值范围是(　　)
A．a>1 B．a＜－2 C．a>1或a＜－2 D．－1＜a＜2
【解析】选C.因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)＜f(2a＋1)，所以f(3)＜f(|2a＋1|)，又函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以3＜|2a＋1|，解得a>1或a＜－2.
题5．若奇函数f(x)在x∈(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有(　　)
A．最大值－ B．最大值
C．最小值－ D．最小值
【解析】选B.方法一(奇函数的图象特征)：
当x<0时，f(x)＝x2＋x＝－，
所以f(x)有最小值－，因为f(x)是奇函数，
所以当x>0时，f(x)有最大值.
方法二(直接法)：当x>0时，－x<0，
所以f(－x)＝－x(1－x).又f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－＋，所以f(x)有最大值.
题6．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且是增函数，若f(1)＝1，则不等式|f(x)|＜1的解集为(　　)
A．(－1，1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】选A.由|f(x)|＜1得－1＜f(x)＜1，
因为f(x)是奇函数且是增函数，f(1)＝1，
所以f(－1)＝－f(1)＝－1，
则不等式等价为f(－1)＜f(x)＜f(1)，
所以－1＜x＜1，
即不等式的解集为(－1，1).
题7(多选题)．若函数y＝f(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是(　　)
A．3个交点的横坐标之和为0
B．3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关
C．f(0)＝0
D．f(0)的值与函数解析式有关
【解析】选AC.由于偶函数图象关于y轴对称，若(x0，0)是函数与x轴的交点，则(－x0，0)一定也是函数与x轴的交点，当交点个数为3个时，有一个交点一定是原点，从而AC正确．
题8(多选题)．下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是(　　)
A．f＝－x－x3
B．f＝
C．f＝1－x
D．f＝－
【解析】选AB.因为f＝－x－x3，定义域为R，且f＝x＋x3＝－f，所以函数f是奇函数，设00，所以0f，又因为函数f是奇函数，所以函数f在R上单调递减，故选项A正确；
由函数f＝的图象可知：函数f关于原点对称且单调递减，
故选项B正确；而选项C中的函数f＝1－x是非奇非偶函数，故选项C错误；
对于函数f＝－，定义域为，定义域关于原点对称，f＝＝－f，所以函数f是奇函数，设0所以0又因为函数f是奇函数，所以函数f在(－∞，0)上也单调递增，因此在定义域上不是减函数，故D错．
题9．已知定义在(－∞，＋∞)上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(－1)＝－，若f(2x－1)≥－，则x的取值范围是______．
【解析】因为偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
f(－1)＝－，根据偶函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(1)＝－，由f(2x－1)≥－，可得－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1.
答案：[0，1]
题10．写出一个值域为(－∞，4]的偶函数f(x)＝________．
【解析】只要满足f(－x)＝f(x)，且函数的值域为(－∞，4]即可．
答案：－x2＋4(答案不唯一)
题11．已知函数f(x)＝－x＋a2，a∈R为奇函数，求f(x).
【解析】依题意得f(0)＝a2＝0 a＝0，
故f(x)＝－x＝.
【课堂题组训练】
题12．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)| ＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－ g(x)是奇函数
【解析】选A.由题设知：f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，于是有f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|－g(x)|＝f(x)＋|g(x)|，f(－x)－|g(－x)|＝f(x)－|g(x)|≠－[f(x)－|g(x)|]，
|f(－x)|＋g(－x)＝|f(x)|－g(x)≠|f(x)|＋g(x)，|f(－x)|－g(－x)＝|f(x)|＋g(x)≠－[|f(x)|－g(x)].
题13．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f的大小关系是(　　)
A．f>f
B．f＜f
C．f≥f
D．f≤f
【解析】选C.因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又因为f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，所以f≤f＝f.
题14(多选题)．下列对函数的奇偶性判断正确的是(　　)
A．f(x)＝－是奇函数
B．f(x)＝是奇函数
C．f(x)＝既不是奇函数也不是偶函数
D．f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数
【解析】选AD.对A，x∈R，f(－x)＝－＝|x－2|－|x＋2|＝－f(x)，故函数为奇函数，A正确；对B，因为f(2)＝2，f(－2)＝2，故函数不是奇函数，B不正确；
对C，由f(x)＝知，即x∈[－1，0)∪(0，1]，所以f(x)＝，
又f(－x)＝－＝－f(x)，所以函数为奇函数，C不正确；
对D，由f(x)＝＋知，解得x∈{1，－1}，所以f(x)＝0，
故f(x)既是奇函数又是偶函数，故D正确．
题15(多选题)．设y＝f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)内单调递增，f(－2)＝0，则下列区间中使得xf(x)＜0的有(　　)
A．(－1，1) B．(0，2)
C．(－2，0) D．(2，4)
【解析】选CD.根据题意，偶函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，又f(－2)＝0，
则函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－2)＝f(2)＝0，函数f(x)的草图如图，
又由xf(x)＜0 或，
由图可得－2＜x＜0或x＞2，
即不等式的解集为(－2，0)∪(2，＋∞).
题16．若函数f(x)＝，则函数是________(填“奇函数”“偶函数”“非奇非偶函数”“既奇又偶函数”)；不等式f≤9的解集为______________．
【解析】当x>0时，f＝－2＝－x2＝－f，当x<0时，f＝2＝x2＝－＝－f，
当x＝0时，f＝0，所以对于定义域R内的任意实数x，均有f＝－f，故函数为奇函数．因为当x≥0时，f＝x2为增函数，所以函数f在R上单调递增，由于f＝9，
f≤9，所以≤3，解不等式得： －3≤x≤0.所以不等式f≤9的解集为.
答案：奇函数　
题17．设奇函数f(x)的定义域为[－6，6]，当x∈[0，6]时f(x)的图象如图所示，不等式f(x)＜0的解集用区间表示为__________.
【解析】由f(x)在[0，6]上的图象知，满足f(x)＜0的不等式的解集为(0，3).
又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6，0)上不等式f(x)＜0的解集为(－6，－3).
综上可知，不等式f(x)＜0的解集为(－6，－3)∪(0，3).
答案：(－6，－3)∪(0，3)
题18．已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式．
(2)画出函数f(x)的图象．
(3)根据图象，写出函数f(x)的减区间及值域．
【解析】(1)因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)＝f(－x).
当x＜0时，－x>0，
所以f(x)＝f(－x)＝－x2－2x.
综上，f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示：
(3)由(2)中图象可知，f(x)的减区间为[－1，0]，[1，＋∞)，函数f(x)的值域为
(－∞，1].
题19．已知函数f(x)＝是R上的偶函数．
(1)求实数m的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，0]上的单调性；
(3)求函数f(x)在[－3，2]上的最大值与最小值．
【解析】(1)若函数f(x)＝是R上的偶函数，
则f(－x)＝f(x)，即＝，解得m＝0.
(2)函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．理由如下：
由(1)知f(x)＝，设任意的x1，x2∈(－∞，0]，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝＝.
因为x1＜x2≤0，所以x2＋x1＜0，x2－x1＞0，
(1＋x)(1＋x)＞0，
所以f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．
(3)由(2)知函数f(x)在(－∞，0]上是增函数．
又f(x)是R上的偶函数，
所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以f(x)在
[－3，0]上为增函数，在[0，2]上为减函数，
又f(－3)＝，f(0)＝1，f(2)＝，
所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(－3)＝.
【综合突破拔高】
题20. 已知偶函数y＝f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，下列不等式一定成立的是(　　)
A．f(3)>f(－2) B．f(－π)C．f(1)>f() D．f(t2＋1)【解析】选A.由y＝f(x)为偶函数可得f(－x)＝f(x).y＝f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，则在[0，＋∞)上为增函数，f(－2)＝f(2)f(－π)＝f(π)>f(3)，故B错误．
f(1)由t2＋1>t2≥0 ，则f(t2＋1)>f(t2)，故D错误．
题21．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是增函数的函数是(　　)
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝－
【解析】选B.对于函数y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上是增函数；另外函数y＝x3不是偶函数；y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是减函数；y＝－不是偶函数．
题22．函数f(x)＝x3＋x＋－8(a∈R)在区间上的最大值为10，则函数f(x)在区间上的最小值为(　　)
A．－10 B．－8 C．－26 D．与a有关
【解析】选C.设g(x)＝x3＋x＋，则f(x)＝g(x)－8，即g(x)＝f(x)＋8，故g(x)在区间上的最大值为g(x)max＝f(x)max＋8＝18，又易见g(－x)＝－g(x)，即g(x)是奇函数，图象关于原点中心对称，故g(x)在区间上的最小值为g(x)min＝－18＝f(x)min＋8，
故f(x)在区间上的最小值为f(x)min＝－26.
题23．如果奇函数f(x)在区间[1，5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上(　　)
A．是增函数且最小值为3
B．是增函数且最大值为3
C．是减函数且最小值为－3
D．是减函数且最大值为－3
【解析】选D.当－5≤x≤－1时，1≤－x≤5，所以f(－x)≥3，即－f(x)≥3.从而f(x)≤－3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在[－5，－1]上是减函数．
题24．已知函数f(x)＝2x3＋4x，且a＋b<0，则f(a)＋f(b)的值是(　　)
A．正数 B．负数
C．零 D．不能确定符号
【解析】选B.由题得函数的定义域为R.由题得f＝－2x3－4x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．因为函数y＝2x3，y＝4x都是增函数所以函数f(x)也是增函数(增函数＋增函数＝增函数).因为a＋b<0，所以a<－b，所以f(a)题25．下列说法错误的是(　　)
A．若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称
B．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件
C．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数
D．若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0
【解析】选D.A.因为y＝f是偶函数，所以f＝f(－x＋a)，即f＝f，所以f(x)关于直线x＝a对称，故正确；
B．若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称，所以定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件，故正确；
C．根据偶函数在对称区间上的单调性相反，可知C选项正确；
D．只有奇函数在原点处有意义的情况下，才有f＝0，故错误．
题26(多选题)．已知定义域为(－∞，＋∞)的偶函数f(x)的一个单调递增区间是，关于函数y＝f(2－x)的下列说法中正确的是(　　)
A．一个递减区间是 B．一个递增区间是
C．其图象对称轴方程为x＝2 D．其图象对称轴方程为x＝－2
【解析】选BC.因为f(x)为偶函数，所以f＝f，则把f(x)向右平移2个单位得到f的图象．因为f(x)的一个单调递增区间为，所以f的一个增区间为，故A错误，B正确．又因为函数f(x)关于y轴对称，所以函数y＝f的图象关于x＝2对称，故C正确，D错误．
题27(多选题)．对任意两个实数a，b，定义max＝，若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝max{f(x)，g(x)}的说法正确的有(　　)
A．函数F(x)是偶函数
B．函数F(x)有四个单调区间
C．方程F(x)＝2有四个不同的根
D．函数F(x)的最大值为1，无最小值
【解析】选AB.F(x)＝max{f(x)，g(x)}＝，
A：当－1≤x≤1时，F(x)＝2－x2，因为F(－x)＝2－(－x)2＝2－x2＝F(x)，所以函数是偶函数，关于纵轴对称；当x∈∪时，F(x)＝x2，因为F(－x)＝(－x)2＝x2＝F(x)，所以函数是偶函数，关于纵轴对称，因此函数F(x)是偶函数，所以本选项说法正确；B：当－1≤x≤1时，F(x)＝2－x2，当－1≤x≤0时，函数单调递增，当0F(x)＝2－x2＝2 x＝0，当x∈∪时，F(x)＝x2＝2 x＝±，所以方程F(x)＝2有三个不同的根，因此本选项说法不正确；D：当－1≤x≤1时，F(x)＝2－x2，因此F(x)∈[1，2]，当x∈∪时，F(x)＝x2，因此有F(x)>1，因此函数F(x)的最小值为1，无最大值，所以说法不正确．
题28(多选题)．对于定义在R上的函数f(x)，下列判断错误的有(　 　)
A．若f(－2)>f(2)，则函数f(x)是R上的单调增函数
B．若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数 C．若f(0)＝0，则函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调增函数，在区间(0，＋∞)上也是单调增函数，则f(x)是R上的单调增函数
【解析】选ACD.A选项，由f(－2)>f(2)，则f(x)在R上必定不是增函数；B正确；C选项，f(x)＝x2，满足f(0)＝0，但不是奇函数；D选项，该函数为分段函数，在x＝0处，有可能会出现右侧比左侧低的情况，故错误．
题29(多选题)．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝2，则(　 　)
A．f(3)＝－2 B．f(x＋2)＝f(x) C．f(5)＝－2 D．f(x＋4)＝f(x)
【解析】选AD.因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)为偶函数，故可得f(x)＝－f(－x)，f(x＋1)＝f(－x＋1)则f(x＋4)＝f(－x－2)＝－f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，故D选项正确；由上述推导可知f(x)＝－f(x＋2)≠f(x＋2)，故B错误；又因为f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故A选项正确．又因为f(5)＝f(1)＝2≠－2，故C错误．
题30(多选题)．某同学在研究函数f(x)＝时，下面几个结论正确的是 (　 　)
A．等式f(－x)＋f(x)＝0对x∈R恒成立
B．函数的值域为(－1，1) C．若x1≠x2，则一定f(x1)≠f(x2)
D．对任意的x∈[－1，1]，若函数f(x)≤t2－2at＋恒成立，则当a∈[－1，1]时，t≤－2或t≥2
【解析】选ABC.因为f(x)＝，定义域为R，且f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0对x∈R恒成立，故A正确．
当x>0时，f(x)＝＝，在(0，＋∞)为增函数．且x→0时，f(x)→0，x→＋∞时，f(x)→1，
因为f(x)＝为奇函数，f(0)＝0，所以函数的值域为(－1，1)，故B正确．
因为函数f(x)＝为增函数，所以x1≠x2，则一定f(x1)≠f(x2)，故C正确．
对于任意x∈[－1，1]，f(x)＝为增函数，f(x)max＝f(1)＝.
要使f(x)≤t2－2at＋恒成立，即t2－2at＋≥，即t2－2at≥0.
设h(a)＝t2－2at，因为a∈[－1，1]，则
解得t≤－2或t≥2或t＝0.故D错．
题31．偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2 022，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________．
【解析】由于偶函数的图象关于y轴对称，
所以f(x)在对称区间内的最值相等．
又当x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝2 022，
故当x∈(－∞，0)时，f(x)min＝2 022.
答案：2 022
题32．偶函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且满足f(2x)＞f(x＋1)，则x的取值范围为__________．
【解析】根据题意，函数y＝f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上是减函数，则f(2x)＞f(x＋1) f(|2x|)＞f(|x＋1|) |2x|＜|x＋1|，变形可得：3x2－2x－1＜0，解得－＜x＜1，即x的取值范围为.
答案：
题33．已知f(x)是偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，求f(x－1)<0的解集．
【解析】由题意，函数f(x)是偶函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，
其图象如图所示：
由图可知f(x)<0的解集为{x|－1题34．定义在上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且在上是下降的，且f>f，求实数a的取值范围．
【解析】由题意，定义在上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且在上单调递减，可得在区间上单调递增．
因为f>f，可得，
解得－1≤a<，所以a的取值范围是.
- 0 -