2022-2023学年宁夏银川六中高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年宁夏银川六中高二（下）期末数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知点的直角坐标为则它的极坐标是( )
A. B. C. D.
2. 若直线的参数方程为为参数，则其倾斜角为( )
A. B. C. D.
3. 已知二项式展开式的二项式系数和为，则展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
4. 下列说法正确的是( )
A. 已知一组数据，，，，的方差为，则，，，，的方差为
B. 已知变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
C. 已知随机变量服从正态分布，若，则
D. 已知随机变量服从二项分布，若，则
5. 某家庭有三个孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互独立的记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩；则下列说法中正确的是( )
A. 事件与事件互斥但不对立 B. 事件与事件互斥且对立
C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互独立
6. 某射手射击所得环数的分布列如下：
已知的数学期望，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 现从名男同学和名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，则在已知事件发生的情况下事件发生的概率即( )
A. B. C. D.
8. 若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标方程为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
9. 表示( )
A. 一个圆 B. 一个圆与一条直线 C. 两个圆 D. 两条线
10. 在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
11. 在极坐标系中，圆：上到直线：距离为的点的个数为( )
A. B. C. D.
12. “校本课程”是现代高中多样化课程的典型代表，自在进一步培养学生的人文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，艺术科组准备了学生喜爱的中华文化传承系列的校本活动课：创意陶盆，拓印，扎染，壁挂，剪纸五个项目供同学们选学，每位同学选择个项目则甲、乙、丙、丁这名学生至少有名学生所选的课全不相同的方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知随机变量，且，则 ______ ．
14. 已知，则 ______ ．
15. 若，则 ______ ．
16. 假设云南省万学生数学模拟考试的成绩近似服从正态分布，已知某学生成绩排名进入全省前名，那么该生的数学成绩不会低于______ 分参考数据：，
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知甲、乙、丙参加某项测试时，通过的概率分别为，，，而且这人之间的测试互不影响．
求甲、乙、丙都通过测试的概率；
求甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率．
18. 本小题分
技术对社会和国家十分重要从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命，某科技集团生产，两种通信基站核心部件，下表统计了该科技集团近几年来在部件上的研发投入亿元与收益亿元的数据，结果如下：
研发投入亿元
收益亿元
利用样本相关系数说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；
求出关于的经验回归方程，若要使生产部件的收益不低于亿元，估计至少需要投入多少研发资金？精确到亿元
附：样本相关系数，回归直线方程的斜率，截距．
19. 本小题分
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，点以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为．
写出曲线的极坐标方程；
若与，分别交于，异于原点两点，求的面积．
20. 本小题分
以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点，曲线的极坐标方程为，过点作直线的垂线，分别交曲线于，两点．
写出曲线和直线的直角坐标方程；
若，，成等比数列，求实数的值．
21. 本小题分
为了了解中学生是否有运动习惯，我校从高一新生中随机抽取了人，其中男生人，女生人，调查结果显示，男生中只有表示自己不喜欢运动，女生中有人不喜欢运动，为了了解喜欢运动与否是否与性别有关，构建了列联表：
不喜欢运动 喜欢运动 总计
男生
女生
总计
请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为“喜欢运动”与性别有关．
从男生中按“是否喜欢运动”为标准采取分层抽样方式抽出人，再从这人中随机抽出人，若所选人中“不喜欢运动”人数为，求分布列及期望．
附：，
22. 本小题分
某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有次选题答题的机会，选手累计答对题或答错题即终止其初赛的比赛，答对题者直接进入决赛，答错题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为．
Ⅰ求选手甲可进入决赛的概率；
Ⅱ设选手甲在初赛中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由于点的直角坐标为，则，
再由，结合选项可得：，
所以点的极坐标为．
故选：．
根据点的直角坐标系求出，再由，即可求出，从而得到点的极坐标．
本题主要考查点的极坐标与直角坐标的互化，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由题意可知，直线的斜率为，
所以，该直线的倾斜角为，
故选：．
求出直线的斜率，结合诱导公式可求得该直线的倾斜角．
本题考查直线的斜率以及诱导公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：二项式展开式的二项式系数和为，可得，
所以，二项式展开式的通项为，
令，可得，则展开式中常数项为．
故选：．
利用展开式二项式系数和求出的值，然后写出二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：对于：已知一组数据，，，，的方差为，则，，，，的方差为，故A错误；
对于：对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，故，解得，故B错误；
对于：已知随机变量服从正态分布，若，则，故C正确；
对于：已知随机变量服从二项分布，所以，若，则，故D错误．
故选：．
直接利用均值和方差的关系式及正态分布的性质判断、、、的结论．
本题考查均值和方差的关系式及正态分布的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：生个小孩的总事件包含男，男，男，男，男，女，男，女，男，女，男，男，男，女，女，女，男，女，女，女，男，女，女，女，共个基本事件，
事件包含男，男，女，男，女，男，女，男，男，男，女，女，女，男，女，女，女，男，共个基本事件，
事件包含男，女，女，女，男，女，女，女，男，女，女，女，共个基本事件，
事件包含男，男，男，男，男，女，男，女，男，女，男，男，共个基本事件，
选项，因为，，所以事件与事件互斥且对立，A错误；
选项，因为，所以事件与事件不互斥，不对立，B错误；
选项，因为，所以，又，故，故事件与事件不独立，C错误；
选项，因为有个基本事件，所以，又，
所以，D正确．
故选：．
先列出生个小孩包含的基本事件数及事件，事件，事件，包含的基本事件数，再利用互斥，对立和独立事件所满足的关系，对四个选项一一作出判断．
本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由表格可知：，
解得．
故选：．
根据分布列的概率之和是，得到关于和之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于和的关系式，联立方程，解出要求的的值．
本题是期望和分布列的简单应用，通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度．在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得表示事件“抽到两名同学性别相同”，
则，
表示事件“抽到两名女同学”，则，
故，
故选：．
分别求出，，根据条件概率的计算公式即可求得答案．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据直角坐标和极坐标的互化公式，，
则将线段化为极坐标方程为，
由，可得线段所对应的点在第一象限内及坐标轴正半轴上，
故极角，即．
故选：．
根据直角坐标和极坐标的互化公式，，把方程化为极坐标方程．
本题主要考查把直角坐标方程化为极坐标方程的方法，注意极角的范围，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
，解得或，
，，
或，
故表示一个圆与一条直线．
故选：．
根据已知条件，推得或，再结合极坐标公式，即可求解．
本题主要考查简单曲线的极坐标公式，考查转化能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，
所以只有中的与中的相乘才会得到，
即，所以的系数为．
故选：．
根据题意，由二项式的展开式可得只有中的与中的相乘才会得到，然后代入计算，即可得到结果．
本题主要考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．
把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离为，大于半径的一半且小于半径，从而得出结论．
【解答】
解：直线的方程为，圆的方程为，
圆心到直线的距离为，大于半径的一半且小于半径，
故圆上有个点到距离为，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：恰有名学生选课相同，
第一步，先将选课相同的名学生选出，有种可能；
第二步，从个项目中选出个排序，有，
根据分步计数原理可得，方法有种；
名学生所选的课全不相同的方法有种，
根据分类加法计数原理可得，
甲、乙、丙、丁这名学生至少有名学生所选的课全不相同的方法共有种．
故选：．
分为恰有名学生所选的课相同，以及名学生所选的课全不相同两种情况，分别计算求解得出，相加即可得出答案．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为随机变量，且，
此时，
解得，
所以．
故答案为：．
由题意，根据二项分布的期望与方差公式进行计算即可．
本题考查二项分布及其应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以，化简得，
即，解得或，
又因为且，所以，所以．
故答案为：．
由排列数公式列出关于的方程，解方程求出．
本题主要考查了排列数公式的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由二项式的展开式的通项为，
所以，
令，可得．
故答案为：．
求得二项式的展开式的通项，得到，令，即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：从万名学生任取名，成绩排名在前名的概率为，
因为成绩近似服从正态分布，则，，
，
显然，从而数学成绩大于等于分的人数恰好为，
所以要进入前名，成绩不会低于分．
故答案为：．
求出从万名学生任取名，成绩排名在前名的概率，再利用正态分布的对称性求出对应分数作答．
本题考查正态分布相关知识，属于中档题．
17.【答案】解：甲、乙、丙都通过测试的概率为；
甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为．
【解析】利用独立事件的乘法公式可得答案；
利用独立事件的乘法公式、对立事件概率计算公式可得答案．
本题考查了相互独立事件和对立事件的概率计算公式，是基础题．
18.【答案】解：，，
，
，
，
所以，
所以可以用线性回归模型拟合与的关系，且认为两个变量有很强的线性相关性；
，所以，
所以关于的经验回归方程为，
由得，
若要使生产部件的收益不低于亿元，估计至少需要投入亿元．
【解析】计算出，，，，，求出可得答案；
利用求出关于的经验回归方程可得答案．
本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题．
19.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，
，
又，，
，
即，
曲线的极坐标方程为；
将代入的极坐标方程得，，
则，即，
将代入的极坐标方程得，，
则，即，
，
点，
点到射线的距离，
的面积为．
【解析】先把曲线的参数方程化为普通方程，再利用，化为极坐标方程即可；
将分别代入和的极坐标方程，求出，的值，进而求出的值，再利用三角形面积公式求解．
本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．
20.【答案】解：由曲线的极坐标方程为，
转换为直角坐标方程为：，
点转换为直角坐标为
又直线的斜率为且过点．
故直线的直角坐标方程为：
在直角坐标系中，
直线参数方程为：为参数．
代入，
得：和为、对应的参数．
所以：，，
由于：，，成等比数列，
所以：，
即：，
故：，
所以：，
解得：，
由于：，
所以：．
【解析】利用极坐标和直角坐标的互化公式来求解；
根据，，成等比数列，建立等量关系，利用参数的几何意义求解．
本题主要考查参数方程和极坐标，极坐标与直角坐标的相互转化要熟记公式，利用参数的几何意义能简化求解过程．
21.【答案】解：列联表如下：
不喜欢运动 喜欢运动 总计
男生
女生
总计
，
所以有把握认为“喜欢运动”与性别有关．
抽出的人中，人不喜欢运动，人喜欢运动，
，，，
的分布列为：
．
【解析】根据卡方的计算即可求解；
根据超几何分布的概率公式即可求解概率．
本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
22.【答案】解：Ⅰ 选手甲答道题可进入决赛的概率为；
选手甲答道题可进入决赛的概率为；
选手甲答道题可进入决赛的概率为；
选手甲可进入决赛的概率．
Ⅱ依题意，的可能取值为，，，
则有，
，
，
因此，有

【解析】本题的考点是离散型随机变量的分布列和数学期望，考查概率的计算，属于中档题．
Ⅰ由于答对题者直接进入决赛，故可分为三类：一类是题全对；一类是答题，前题错一题，第题答对；一类是答题，前题错两题，第题答对，故可求选手甲进入决赛的概率；
Ⅱ依题意，的可能取值为，，利用独立重复试验的概率公式分别求出相应的概率，从而得出的分布列，进而可求期望．
第1页，共1页