2022-2023学年吉林省辽源市友好好学校高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年吉林省辽源市友好好学校高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，且，则等于( )
A. B. C. D.
2. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中得到了世界领先的成果哥德巴赫猜想如下：每个大于的偶数都可以表示为两个素数的和，如在不超过的素数中，随机选取个不同的数，则这个数的和是奇数的概率是( )
A. B. C. D.
3. 已知的展开式中的系数为，则( )
A. B. C. D.
4. 若点为曲线上的动点，点为直线上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 现要从，，，，这人中选出人，安排在甲、乙、丙、丁个岗位上，如果不能安排在甲岗位上，则安排的方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7. 已知函数，是的导函数，则函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
8. “总把新桃换旧符”王安石、“灯前小草写桃符“陆游，春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有名顾客都领取一件礼品，则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法正确的是( )
A. 若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
B. 若随机变量，，则
C. 若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越弱
D. 若事件，满足，，，则有
10. 某人参加一次测试，在备选的道题中，他能答对其中的道，现从备选的题中随机抽出题进行测试，规定至少答对题才算合格则下列选项正确的是( )
A. 答对题和答对题的概率相同，都为 B. 答对题的概率为
C. 答对题的概率为 D. 合格的概率为
11. 在的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 不存在常数项 B. 二项式系数和为
C. 第项和第项二项式系数最大 D. 所有项的系数和为
12. 对于函数，下列说法正确的有( )
A. 在处取得极大值 B. 在处取得最大值
C. 有两个不同零点 D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设随机变量，若，则 ______ ．
14. 五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个的音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同的音序的种数为 用数字作答．
15. 已知在处取得极值，则的最小值为______ ．
16. 设函数为实数，若在上单调递减，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
按下列条件，从人中选出人，有多少种不同选法？
甲、乙、丙三人必须当选；
甲必须当选，乙、丙不能当选；
甲、乙、丙三人至多人当选；
18. 本小题分
某市春节期间家超市的广告费支出万元和销售额万元数据如表：
超市
广告费支出
销售额
若用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程：
用二次函数回归模型拟合与的关系，可得回归方程：，经计算二次函数回归模型和线性回归模型的分别约为和，请用说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测超市广告费支出万元时的销售额．
参考数据及公式：，，，，，．
19. 本小题分
已知函数．
求在点处的切线方程；
求在上的最值．
20. 本小题分
某调研机构为研究某产品是否受到人们的欢迎，在社会上进行了大量的问卷调查，从中抽取了份试卷，得到如下结果：喜欢
性别
是否相关 男生 女生
是
否
估算一下，人当中有多少人喜欢该产品？
能否有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关？
从表格中男生中利用分层抽样方法抽取人，进行面对面交谈，从中选出两位参与者进行新产品的试用，求所选的两位参与者至少有一人不喜欢该产品的概率．
参考公式与数据：
，
21. 本小题分
某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中道题便可通过已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
求甲正确完成两个面试题的概率；
求乙正确完成面试题数的分布列．
22. 本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
函数，若方程在上有解，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，已知，
，则有，解可得，
则，则．
故选：．
根据题意，由二项分布的期望公式可得，求出的值，进而可得的值，由期望的性质计算可得答案．
本题考查二项分布的性质，涉及变量期望的计算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：不超过的素数有，，，，，，，，共个，
在不超过的素数中，随机选取个不同的数，
基本事件总数，
这个数的和是奇数时，必选，包含的基本事件个数，
这个数的和是奇数的概率是．
故选：．
不超过的素数有个，在不超过的素数中，随机选取个不同的数，基本事件总数，这个数的和是奇数时，必选，包含的基本事件个数，由此能求出这个数的和是奇数的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：的展开式中的系数即的展开式中的系数，
由二项式定理得，
整理得，
解得．
故选：．
运用二项式定理求参数的值．
本题主要考查了二项式定理的应用，考查了组合数的计算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意，要使的值最小，为平行于的直线与的切点，
令，可得，故切点为，
以为切点平行于的切线为，此时有．
故选：．
根据、图象分析最小时的位置，利用导数几何意义求上斜率为的切线，应用平行线距离公式求的最小值．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：函数，则，
函数的图象在点处的切线方桯为，
所以，解得，则．
故选：．
对函数求导，再求出处的切线方程，即可求得，．
本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据是否入选进行分类：
若入选，
则先给从乙、丙、丁个岗位上安排一个岗位有种，再给剩下三个岗位安排人有种，共有种方法；
若不入选，
则个人个岗位全排有种方法，
所以共有种不同的安排方法．
故选：．
根据是否入选进行分类讨论即可求解．
本题主要考查排列及简单计数问题，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为，
则，
在时恒成立，
故在上单调递增，
又，，
所以在时有唯一零点．
故选：．
先对函数求导，结合导数分析函数的单调性，然后结合函数零点判定定理可求．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数零点判定定理的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：顾客凡购物金额满元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，
有名顾客都领取一件礼品，
基本事件总数，
他们三人领取的礼品种类都不相同包含的基本事件个数，
则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是：
．
故选：．
有名顾客都领取一件礼品，基本事件总数，他们三人领取的礼品种类都不相同包含的基本事件个数，由此能求出他们三人领取的礼品种类都不相同的概率．
本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：由于，所以数据，，，的方差为，因此选项A错误；
随机变量，，
则，因此选项B正确；
线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，故选项C错误；
由于等价于“事件与事件相互独立”，即，故必有因此选项D正确．
故选：．
选项，根据方差的线性运算性质，计算即可；选项，根据正态分布曲线的对称性可求得结果；选项相关系数越接近，相关性越强；选项，，则两事件相互独立，根据条件概率的计算公式可以求得．
本题主要考查了方差的计算公式，考查了正态分布曲线的对称性，以及条件概率的概率公式，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：某人参加一次测试，在备选的道题中，他能答对其中的道，
现从备选的题中随机抽出题进行测试，规定至少答对题才算合格．
在中，答对题的概率为：，答对题的概率为：，
对题和答对题的概率相同，都为，故A错误；
在中，答对题概率为，故B错误；
在中，答对题的概率为，故C正确；
在中，合格的概率为，故D正确．
故选：．
利用超几何分布和互斥事件概率加法公式直接求解．
本题考查概率的求法，考查超几何概率分布、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为展开式的通项公式为，
对，由，得舍去，所以展开式不存在常数项，故A正确；
对，二项式系数和为，故B错误；
对，展开式共有项，所以第项和第项二项式系数最大，故C正确；
对，令，得所有项的系数和为，故D错误；
故选：．
利用二项展开式的通项公式及赋值法，逐项分析即得．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：函数的导数，
令得，则当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
则当时，函数取得极大值，极大值为，故A正确，
由知当时，函数取得最大值，最大值为，故B正确；
由，得，得，即函数只有一个零点，故C错误，
，由时，函数为减函数，知，
故成立，故D正确．
故选：．
对于，先对函数求导，令导函数等于零，然后再判其极值，最值即可；
对于，令，则可得函数的零点；
对于，由选项A的解答过程可知，当时，函数为减函数，所以，而，从而可得结果．
本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：依题意，所以．
故答案为：．
根据正态分布的对称性求得正确答案．
本题主要考查正态分布的对称性，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了排列、组合及简单计数问题，属于基础题．
先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起，然后与宫、商、角进行全排，求解即可．
【解答】
解：先将徵、羽两音阶相邻捆绑在一起，然后与宫、商、角进行全排，
即可排成不同的音序的种数为，
故答案为：．

15.【答案】
【解析】解：由，得，
函数在处取得极值，，
则，可得，
，，
，
当且仅当，结合，即时取等号．
故答案为：．
由已知在处取得极值求得，再结合“”的代换，利用基本不等式求解．
本题考查利用导数求极值，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为在上单调递减，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，即．
故答案为：
先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．
17.【答案】解：甲，乙，丙都入选，余下人中选人，有种选法，
甲入选，乙丙不能当选，则要在余下的人中选人，有种选法，
所有的选法种数为，甲乙丙都入选有种选法，故有种选法．
【解析】根据排列组合的知识，逐个分析即可．
本题考查排列组合，属于容易题．
18.【答案】解：回归系数，．
关于的线性回归方程为．
二次函数回归模型和线性回归模型的分别约为和，且，
二次函数回归模型更适合，
当时，．
故预测超市广告费支出万元时的销售额为万元．
【解析】根据参考数据和的参考公式算出回归系数即可得回归直线方程；
通过比较二次函数回归模型和线性回归模型的，可知二次函数回归模型更适合，再把代入二次函数回归模型，算出的值即可得解．
本题考查回归直线方程的求法与应用、相关系数的性质，考查学生的运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：，
，
，所以切线方程为，即．
，
在单调递增；，，在单调递减，
时，取极大值也是最大值，
，，
，
．
【解析】求导，得出切线的斜率，确定切点的纵坐标，写出切线方程；
研究函数在区间上单调性，计算在上的极值及和，然后比较可得最值．
本题主要考查了导数的几何意义的应用，还考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于中档题．
20.【答案】解：人分
由于，
故有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关分
由于：：，故抽取的人中有个人，，喜欢该产品，
有人，不喜欢该产品．从中选人，
则所有选择方法有：，，，，
，，，，，
共种不同情形，其中至少有一个人不喜欢的可能情形为：
，，，，，
，，共种，
故所求概率为分
【解析】利用抽样比直接求解即可．
计算即可判断能否有的把握认为是否喜欢该产品与性别有关．
由于：：，故抽取的人中有个人，，喜欢该产品，有人，不喜欢该产品．从中选人，列出所有选择情形，找出至少有一个人不喜欢的可能情形，即可求解概率．
本题考查古典概型的概率的求法，独立检验的思想方程的应用，是基本知识的考查．
21.【答案】解：根据题意，设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是，
从到题目中选出道，有种取法，
其中甲正确完成两个面试题的选法有种选法，
则；
设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是．
，
，
，
．
应聘者乙正确完成题数的分布列为：

【解析】设考生甲正确完成题数为，由古典概型公式分析可得答案；
乙正确完成题数，分析可得取值分别为，，，求出取每个值时的概率，即得分布列．
本题考查随机变量的分布列，涉及概率的计算，属于基础题．
22.【答案】解：函数的定义域为，，
令解得：，
时，，此时函数单调递减．
时，，此时函数单调递增；
函数的增区间为，减区间为．
，则，
由知，在为增函数，，
在为增函数，即；
在有解，只需满足即；
故实数的取值范围为．
【解析】求出的导函数，令，解不等式；
方程在上有解，即转化为求函数的值域，利用的单调性的结论．
本题考查函数单调性，方程有解，函数值域问题，属于中档题．
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