浙江省杭州地区（含周边）重点中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（含答案）

2022学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学
高二年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.设i是虚数单位，复数，则（ ）
A.1 B. C. D.2
3.在中，已知，，，则等于（ ）
A.1 B. C. D.
4.已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积（单位：）是（ ）
A. B. C. D.
5.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.，，则 B.，，，则
C.若，，则 D.若，，则
6.已知向量，满足，，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，，，则点A到直线的距离为（ ）
A. B.1 C. D.
8.柜子里有3双不同的鞋子，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设复数，下列说法正确的是（ ）
A.z的虚部是y
B.
C.若，则z为纯虚数
D.若z满足，则z在复平面内的对应点的轨迹是圆
10.如图，在棱长为1的正方体中，下列选项正确的是（ ）
A.异面直线与所成的角为 B.三棱锥的体积为
C.直线平面 D.二面角的大小为
11.在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”；事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A.事件B与事件C是互斥事件 B.事件A与事件B是相互独立事件
C.事件B与事件C是相互独立事件 D.
12.已知圆，点P是圆C上的一个动点，点，，则下列选项中正确的是（ ）
A. B.的最大值为
C.的最大值为12 D.的最大值为9
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，，.若，则____________.
14.写出过点，且在两坐标轴上截距相等的一条直线方程____________.
15.已知圆，以点为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值范围为____________.
16.已知直四棱柱，底面为平行四边形，，，，，以为球心，半径为2的球面与侧面，的交线的长度为____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）已知直线.
（I）求证：直线l过定点，并求出此定点；
（Ⅱ）求点到直线l的距离的最大值.
18.（本题满分12分）杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人，高三180人报名参加志愿活动.根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120名.对抽出的120名同学某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在39.5至99.5分钟之间，其频率分布直方图如下：
（I）需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？
（Ⅱ）（1）请补全频率分布直方图；
（2）求这120名学生运动时间的第80百分位数是多少？
19.（本题满分12分）袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1，2，3，4.
（I）从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率；
（Ⅱ）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.
20.（本题满分12分）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，设平面平面.
（I）证明：平面；
（Ⅱ）若，求直线l与平面所成角的正弦值.
21.（本题满分12分）已知圆C的半径为3，圆心C在射线上，直线被圆C截得的弦长为.
（I）求圆C方程；
（Ⅱ）过点的直线l与圆C交于M、N两点，且的面积是6（O为坐标原点），求直线l的方程.
22.（本题满分12分）图1是直角梯形，，，，，，.以为折痕将折起，使点C到达的位置，且.如图2.
（I）证明：；
（Ⅱ）求二面角余弦值.
2022学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学
高二年级数学学科参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.B 7.A 8.C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.AD 10.ABC 11.BCD 12.AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
14.或（写出1条即可）
15.
16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
【解】（I）定点
（Ⅱ）由直线得过定点.
.
说明：其他方法同等给分。
18.（本题满分12分）
【解】（I）报名的学生共有1080人，抽取的比例为，
所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人.
（Ⅱ）（1）补全得8分.
（2）第80百分位数是83.5.
19.（本题满分12分）
【解】
（I）试验的样本空间，共6个样本点，
设标号和为奇数为事件B，
则B包含的样本点为，，，，共4个，所以.
（Ⅱ）试验的样本空间，共有16个，
设标号和为奇数为事件C，
事件C包含的样本点为，，，，，，，，
故所求概率为，所以甲、乙获胜的概率是公平的.
20.（本题满分12分）
【解】
（I）四棱锥的底面为正方形，；
平面，平面，
平面；
又平面平面，，
又平面，平面，
平面
（Ⅱ）如图建系，则，，，，
设平面的法向量是，
则，得.
，.
设直线l与平面所成角为，则.
说明：传统几何法与等体积法同等给分.
21.（本题满分12分）
【解】
（I）设圆心，则圆的方程为，
，或（舍去）.
圆的方程为.
（Ⅱ）①当斜率不存在时，此时直线l方程为，原点到直线的距离为，
令代入圆方程得或，，
满足题意.此时方程为.
②当斜率存在时，设直线l的方程为，
圆心到直线l的距离，
.
原点O到直线l的距离，.
整理，得，此时k无解.
综上所述，所求的直线的方程为.
说明：当直线斜率存在时，直接用图说明直线不存在同等给分.
22.（本题满分12分）
【解】（I）在直角梯形中，连接交于F，
由题意知，且，四边形是，
又，，，
，四边形是菱形，
故，（即），.
面，.
（Ⅱ）由，可得，又.
设二面角的平面角为θ，则，
或
过作于H，则面.
如图建系：或，，.
设面的一个法向量为，则
，取
或，取
而面的一个法向量为，
或.