2022-2023学年陕西省榆林市高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年陕西省榆林市高二（下）期末数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知向量，若与共线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3. 等差数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
4. 下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
5. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则( )
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C. 讲座前问卷答题的正确率的方差小于讲座后正确率的方差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
6. 在区间上随机抽取一个实数，则满足的概率为( )
A. B. C. D.
7. 设、是两条直线，、是两个平面，若，，，则下列说法一定正确的是( )
A. B.
C. 、是两条异面直线 D.
8. 已知函数的部分图像如图所示，则( )
A. B. C. D.
9. 已知，为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
10. 从名男医生、名女医生中选名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
11. 将边长为，的菱形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
12. 若函数存在最小值，且其最小值记为，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知是虚数单位，复数，则的虚部为______ ．
14. 已知抛物线：的焦点为，点在上，若到直线的距离为，则 ______ ．
15. 函数是定义在上的偶函数，满足，若时，，则 ______ ．
16. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”已知枚环权的质量单位：铢从小到大构成项数为的数列，该数列的前项成等差数列，后项成等比数列，且，，，则 ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，满足．
求；
若，，求的面积．
18. 本小题分
某学校组织学生参加“一带一路”知识竞赛，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采用分层随机抽样的方法抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示将分数不低于分的学生称为“高分选手”．
求频率分布直方图中的值；
现采用分层随机抽样的方法从分数落在、内的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，记被抽取的名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望．
19. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别是，的中点．
求证：；
若，求平面与平面所成角的余弦值．
20. 本小题分
已知椭圆的焦距为，离心率为．
求椭圆的方程；
若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，且，求实数的值．
21. 本小题分
已知函数恰有两个零点，
求实数的取值范围；
若函数，求证：在上单调递减；
证明：．
22. 本小题分
平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．
求曲线的极坐标方程；
设射线与曲线交于点，与直线交于点，求的值．
23. 本小题分
设函数．
求不等式的解集；
若，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由集合，
根据集合交集的概念及运算，可得．
故选：．
先求得集合，根据集合交集的概念及运算，即可求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为与共线，
所以，
所以．
故选：．
根据向量共线的坐标表示列方程求的值．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由等差数列的前项和为，且，可得，
所以．
故选：．
根据题意，利用等差数列的性质，求得，结合，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：对于，令，
可得，
所以函数在单调递减，在单调递增，在单调递增，不符合题意；
对于，函数，所以函数为偶函数，
所以函数在单调递减，在上单调递增，不符合题意；
对于中，函数，根据指数函数的性质，可得函数在单调递减，不符合题意；
对于中，根据正切函数的图象与性质，可得在单调递增，符合题意．
故选：．
根据初等函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．
本题主要考查了函数单调性的判断，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：讲座前中位数为，所以错；
讲座后问卷答题的正确率只有一个是，个，剩下全部大于等于，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于，所以对；
讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方差，所以错；
讲座后问卷答题的正确率的极差为，
讲座前问卷答题的正确率的极差为，所以错．
故选：．
由图表信息，结合中位数、平均数、方差、极差的概念，逐项判断即可得解．
本题主要考查了统计图的应用，考查了平均数、中位数、方差和极差的计算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由，解得，
则在区间上随机抽取一个实数，则满足的概率为．
故选：．
解不等式得到，从而根据长度比求出几何概型的概率．
本题主要考查了几何概型的概率公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，且，
根据平面与平面平行的性质，可得，
故选：．
根据平面与平面平行的性质，可得结论．
本题考查面面平行的性质的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由函数的图像，可得，
可得，所以，
又由，可得，
解得，因为，所以，所以，
则．
故选：．
根据函数的图像，求得函数的解析式为，进而求得的值．
本题主要考查根据函数的部分图像求函数的解析式，正弦函数的图像和性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：设，，
则有，，
两式相减得到，
又线段的中点坐标为，
所以，得到，
所以的斜率为．
故选：．
设出，，利用点差法即可求出结果．
本题考查点差法的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：从名医生中选取名医生有种方法，选取的医生全是男医生的有种方法，全是女医生的有种方法，
所以不同的组队方案共有种．
故选：．
根据给定条件，利用组合应用问题结合排除法列式计算作答．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：如图所示，
因为边长为，的菱形，
可得和均为等边三角形，且边长为，沿对角线折成直二面角，
取的中点为，分别连接，，则且，
所以为二面角的平面角，所以，
取等边和的中心分别为，，
设三棱锥的外接球的球心为，连接，，
根据球的截面圆的性质，可得平面，且平面，
因为等边和，且边长为，可得，
且，，
在直角中，，
即外接球的半径为，
所以四面体的外接球的表面积为．
故选：．
取的中点为，连接，，得到，取等边和的中心分别为，，得到平面，且平面，设三棱锥的外接球的球心为，利用求得截面圆的性质，求得，结合球的表面积公式，即可求解．
本题主要考查球的表面积的求解，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，所以的定义域为，，
当时，恒成立，所以在定义域上单调递增，不满足题意；
当时，令得，此时单调递减，
令得，此时单调递增，
所以当时，取得最小值，即，
，
令得，此时单调递增，令得，此时单调递减，
所以当时，取得最大值，即．
故选：．
先利用导数确定函数的单调性，从而确定，然后再利用导数确定的最大值．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由复数，所以复数的虚部为．
故答案为：．
根据复数的运算法则，求得，结合复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由抛物线：的焦点为，准线方程为，
因为点在上，且到直线的距离为，
可得到直线的距离为，即点到准线的距离为，
根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于点到准线的距离，
所以．
故答案为：．
根据题意转化为点到准线的距离为，结合抛物线的定义，即可求解．
本题考查了抛物线的性质，考查了运算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：因为，且是定义在上的偶函数，
所以，
令，则，
所以，即，
所以函数的周期为，
又因为时，，
所以．
故答案为：．
根据，结合是定义在上的偶函数，可得函数的周期为，然后由求解．
本题主要考查函数奇偶性与周期性的综合，函数的求值，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设前项的公差为，后项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
所以．
故答案为：．
设前项的公差为，后项公比为，由求出，即可得解．
本题考查等差数列，等比数列的通项，属于基础题．
17.【答案】解：，
，
又，，
，
；
由可知，
根据余弦定理，即，
即，即，
又，则，即，
的面积．
【解析】根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可得答案；
利用余弦定理可推出，利用三角形面积公式即可求得答案．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：根据频率分布直方图的性质，可得，
解得．
由题意，从中抽取人，从中抽取人，
随机变量的所有可能取值为，，，，
可得，，
，，
所以随机变量的分布列为：
所以期望为．
【解析】根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；
根据题意，得到的所有可能取值，，，，利用超几何分布的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解．
本题主要考查频率分布直方图，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：证明：因为平面，平面，
所以，
因为底面为正方形，
所以，
又，且平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
由可知，、、两两垂直，
以点为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
又，分别是，的中点，
，．
，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，．
平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
．
平面与平面所成角的余弦值为．
【解析】先证明，，由线面垂直的判定定理证明平面，再证明；
由可知，、、两两垂直，以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，根据题中数据，分别求出平面和平面的法向量，根据向量夹角公式，求出法向量夹角，进而求解．
本题考查空间中垂直关系的证明，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
20.【答案】解：由椭圆的焦距为，离心率为，
可得，解得，，
所以椭圆的方程为．
联立方程组，整理得，
由，
解得．
设，，
则，
所以，
因为，
所以，
解得，
即实数的值为．
【解析】根据题意，列出关于，的方程组，求得，的值，即可求解；
联立方程组，根据，求得，且，得到，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：由题意得，
当时，；当时，．
函数在上单调递增；在上单调递减，
．
又当时，，可取到负的无穷小值；
当时，，也可取到负的无穷小值；
函数恰有两个零点，，即．
实数的取值范围为．
证明：，，
，令，，
，
又时，有，，
，在上单调递增，
在上单调递增，从而，
在上单调递减．
证明：由知，，
要证，只需证，
在上单调递减，
只需证
，
只需证，其中，
只需证，其中，
由知，当时，，
．
．
【解析】求出函数的导数，判断其单调性，根据函数恰有两个零点列出不等式，求得答案；
写出，，利用其导数证明单调性即可；
采用逆推分析的方法，将证明成立，转化为证明成立，继而根据在上单调递减，需证，结合的结论，即可证明．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于难题．
22.【答案】解：由曲线的参数方程为参数，
消去参数可得，即，
根据
可得曲线的极坐标方程为．
设点的极坐标为，点的极坐标为，
将代入曲线的极坐标方程可得，
又，解得．
将代入直线的极坐标方程可得，解得，
．
【解析】将曲线的参数方程化为普通方程，再转换为极坐标方程即可；
设点的极坐标为，设点的极坐标为，将射线的在极坐标方程分别代入曲线、直线的极坐标方程，求出、，进而可得的值．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
23.【答案】解：
又，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，无解．
不等式的解集为．
证明：若，
则；
若，则．
，
又由易知，
成立．
【解析】将函数写成分段函数，分区间讨论化简不等式求不等式的解集；
讨论的正负，结合绝对值三角不等式证明，利用证明，由此完成证明．
本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查运算求解能力，属于中档题．
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