2022-2023学年山西省大同市浑源中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省大同市浑源中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 设函数，则“”是“在上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知，若关于的方程有个不同的实根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4. 已知平面向量，满足，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5. 在中，点满足，过点的直线分别交射线，于点，，且，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6. 三面角是立体几何的重要概念之一三面角是指由有公共端点且不共面的三条射线，，以及相邻两射线之间的平面部分所组成的空间图形三面角余弦定理告诉我们，若，，，平面与平面所成夹角为，则现已知三棱锥，，，，，，则当三棱锥的体积最大时，它的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数在处取得极大值，则的值为( )
A. B. 或 C. D.
8. 设为双曲线：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点．若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
9. 若函数的最小值是，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆上任意一点，且的取值范围为当点不在轴上时，设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
11. 设随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
12. 三位同学获得本年度数学竞赛前三名，老师告知他们如下信息：甲是第三名；乙不是第一名；丙不是第三名，并告知他们以上条信息有且只有条是正确信息，则该三位同学的数学竞赛成绩从高到低的排序为( )
A. 甲、乙、丙 B. 丙、乙、甲 C. 乙、丙、甲 D. 乙、甲、丙
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知具有相关关系的两个变量，的一组观测数据如表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程，则______．
14. 有穷等差数列的各项均为正数，若，则的最小值是______ ．
15. 如图，已知双曲线：与过其焦点的圆相交于，，，四个点，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为______ ．
16. 设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数．
若，求函数在点处的切线方程；
若函数在处取得极值，求的单调区间．
18. 本小题分
已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，是斜边为的等腰直角三角形．
Ⅰ若时，求证：平面平面；
Ⅱ若时，求直线与平面所成的角的正弦值．
19. 本小题分
在数列中，，．
证明是等比数列；
若，求数列的前项和．
20. 本小题分
根据交管部门有关规定，驾驶电动自行车必须佩戴头盔，保护自身安全，某市去年上半年对此不断进行安全教育如表是该市某主干路口去年连续个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据：
表：
月份
不戴头盔人数
请利用所给数据求不戴头盔人数与月份之间的回归直线方程；
交管部门统计连续年来通过该路口的电动车出事故的人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到如表，能否有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？
表：
不戴头盔 戴头盔
伤亡
不伤亡
参考数据和公式：，，
21. 本小题分
某公司组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：每人从装有质地均匀、大小相同的个黄球、个红球的箱子中一次性地随机摸出个球，若恰有个红球可获得元优惠券，恰有个红球可获得元优惠券，个都是红球可获得元优惠券，其他情况无优惠券小王参加了公司的抽奖活动．
求小王恰好摸出个黄球的概率；
设小王获得的优惠券金额为，求的分布列与期望．
22. 本小题分
已知．
若，求的极值；
若，，，且，其中，，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为集合，，所以．
故选：．
直接根据交集的定义求解即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为在上单调递增，
所以由复合函数的单调性可知，，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
运用复合函数单调性求得的范围，再运用集合的包含关系即可求得结果．
本题考查复合函数单调性，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为时，，则，令，则，所以时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
且，，时，；
当时，，则，
令，则，所以时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；且，，时，；
作出在上的图象，如图：
由图可知要使有个不同的实根，则，
故选：．
利用导数研究分段函数的性质，作出函数图形，数形结合得到即可求出结果．
本题考查了求函数零点及数形结合思想，作出函数的图象是解答本题的关键也是难点，属于中档题．
直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间，上是连续不断的曲线，且 ，还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性才能确定函数有多少个零点．
利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
4.【答案】
【解析】解：由知：，可得，
所以在上的投影向量为．
故选：．
由已知可得，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题可知，，，
因为，，
所以，，
又，
所以，
所以，
所以，
因为，，三点共线，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为．
故选：．
利用共线定理的推论可得，然后妙用“”可得．
本题考查平面向量以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：由题知，，，，
平面与平面所成夹角为，
作，平面，
则，
由题意得，
，
，
，
，
所以，
要使三棱锥的体积最大，则最大，
在中，由余弦定理得，
，
整理得，，
，即，
当且仅当时，等号成立，
则，
，
因为，
解得，
所以，，
即，，，
所以补全三棱锥成棱柱，如下图，
则四边形是菱形，
点为其外接球的球心，即中点，
所以，
．
所以外接球半径为，
即三棱锥外接球的表面积为．
故选：．
作出图形，作，平面，则，先表示出，接着用条件表示成，要使三棱锥的体积最大，则最大，利用基本不等式得出时，其体积最大，然后补全三棱锥成棱柱，根据棱柱外接球半径即可求解．
本题考查了三棱锥外接球的表面积计算，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：已知，函数定义域为，
可得，
因为在处取得极大值，
所以，
解得，或，，
当，时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则当时，函数取得极小值，不符合题意；
当，时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则当时，函数取得极大值，符合题意，
此时．
故选：．
由题意，对函数进行求导，根据在处取得极大值，列出等式求出和的值，代入导函数解析式中，结合导数的几何意义进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．
方法一：根据题意画图，由图形的对称性得出点坐标，代入圆的方程得到与的关系，可求双曲线的离心率．
方法二：由题意画出图形，先求出，再由列式求的离心率．
【解答】
解：方法一：设与轴交于点，由对称性可知轴，
又， ，
为以为直径的圆的半径，
为圆心，，
，又点在圆上，
，即，
，
故选A．
方法二：如图，以为直径的圆的方程为，
又圆的方程为，
所在直线方程为．
把代入，得，
再由，得，
即，
，解得．
故选A．

9.【答案】
【解析】解：当时，，，
，，单调递减，
，，单调递增，，
因为的最小值为，所以当时，，
当时，．
若，在上单调递减，
，，得；
若，在上单调递减，在上单调递增，，舍去．
综上，实数的取值范围是．
故选：．
先求时函数的最小值，再根据函数的最小值，得时，，求出的取值范围．
本题主要考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：，
，，
，解得：，，，
设，，，
由正弦定理可得：，
，
可得：，
又，
设内切圆的圆心为，
，
，，
又当在短轴的端点时，最大，此时，，
，
故当时，取得最大值为．
故选：．
由的取值范围为可求出，，，由正弦定理可得，再由焦点三角形的等面积法可得，所以，求出，即可得出答案．
本题主要考查脱衣的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，即，解得，
所以．
故选：．
根据已知条件，结合二项分布的概率公式，求出，再结合方差公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的概率公式，以及方差公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：如果正确，那么都不正确，所以甲第三名，乙第一名，丙第三名，这种情况下甲丙都是第三名，很显然不成立；
如果正确，那么不正确，所以甲不是第三名，乙不是第一名，丙第三名，则甲是第一名，乙是第二名，丙是第三名；
如果正确，那么不正确，所以甲不是第三名，乙第一名，丙不是第三名，这种情况下没有人是第三名，很显然不成立．
所以甲是第一名，乙是第二名，丙是第三名．
故选：．
利用反证法，逻辑推理处矛盾．
本题主要考查简单逻辑和合情推理，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意可知，
，
因为回归直线经过样本中心，
所以，
解得．
故答案为：．
利用回归直线经过样本中心，然后求解即可．
本题考查回归直线方程的应用，是基本知识的考查．
14.【答案】
【解析】解：由已知得，
又，，
，
当且仅当“”时取等号．
故答案为：．
根据等差数列的性质可得，然后利用基本不等式即得．
本题主要考查了等差数列的性质，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由题可知，关于原点对称，所以，，
又，在双曲线上，所以，则，
所以，
即，
由，
连接，可得，
可得，
由联立，所以离心率．
故答案为：．
根据双曲线与圆的对称性确定，关于原点对称，利用直线斜率的坐标运算与坐标关系即可得，关系，从而可得双曲线离心率．
本题考查双曲线的性质，考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：双曲线的左、右焦点分别为，，
设，则，
由双曲线的定义可得：，可得，
，，又，
，的大小为．
故答案为：．
由已知双曲线方程求得焦点坐标，可得，，的值，再由余弦定理求解．
本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线定义及余弦定理的应用，是中档题．
17.【答案】解：已知，函数定义域为，
当时，，
可得，
所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
易知，
若函数在处取得极值，
此时，
即，
解得，
此时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，
则符合题意，
综上，函数的单调递增区间为，，
单调递减区间为．
【解析】由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，得到和的值，代入切线方程中即可求解；
对函数进行求导，根据函数在处取得极值，得到，列出等式求出的值，将代入导函数中，利用导数得到函数的单调性，进行检验，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力．
18.【答案】证明：Ⅰ因，则有，即有，
又，且，，平面，
于是得平面，而平面，
所以平面平面；
解：Ⅱ在平面内，过作直线垂直于，交直线于，有，，如图，
则为二面角的平面角，平面，，于是得，
中，，则，
在中，，
由余弦定理得，则有，
显然平面平面，在平面内过作，则平面，
以为原点，分别以射线，，为，，轴非负半轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，则，令，得，
而，设与平面所成的角为，
，
所以与平面所成的角的正弦值为．
【解析】Ⅰ根据给定条件，证明，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理作答．
Ⅱ作出二面角的平面角并求出其大小，再建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答．
本题考查了面面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．
19.【答案】解：证明：，
，
，
又，，
是以为首项，为公比的等比数列；
由得，则，
，
．
【解析】根据递推关系结合等比数列的定义，即可得出答案；
根据等比数列的通项公式结合条件可得，利用裂项相消法求和，即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意知，，，
，，
所以，回归直线方程为；
，
故有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关．
【解析】先求得，进而求得不戴头盔人数与月份之间的回归直线方程；
求得的值并与进行大小比较进而得到是否有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关．
本题主要考查了线性回归方程的求解，还考查了独立性检验的应用，属于中档题．
21.【答案】解：因为箱子中共个质地均匀、大小相同的球，其中黄球和红球各有个，
则小王恰好摸出个黄球的概率；
易知的所有取值为，，，，
此时，，，，
则的分布列为：
故E．
【解析】由题意，根据古典概型概率公式进行求解即可；
先求出的所有取值，得到相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．
本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力．
22.【答案】解：由题：，，
令，解得，列表如图：
单调递增 单调递减
故当时，取得极大值，
极大值为；无极小值．
证明：若，则，结论成立；
若，，令，得，当时，，
故在单调递增．
要证，只需证，又，，且在单调递增，
故只需证明，
又因为，故只需证明，
由，，
故只需证明：，
令，只需证，
，
在单调递增，证毕．
【解析】利用导数法求解；
易得在单调递增，再由，两边取对数得到，则有，又，且，，进而转化为证明．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，分析法的应用，化归转化思想，属难题．
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