2022-2023学年西藏林芝第二高级中学高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年西藏林芝第二高级中学高二（下）期末数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 函数在区间上的平均变化率为( )
A. B. C. D.
3. 若复数，，则( )
A. B. C. D.
4. 图书馆的书架有三层，第一层有本不同的数学书，第二层有本不同的语文书，第三层有本不同的英语书，现从中任取一本书，共有种不同的取法．( )
A. B. C. D.
5. 函数，则等于( )
A. B. C. D.
6. 设，，，则( )
A. B. C. D.
7. 定积分 ( )
A. B. C. D.
8. 甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为与，且预报准确与否相互独立，那么在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是( )
A. B. C. D.
9. 的展开式中，的系数等于( )
A. B. C. D.
10. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区户家庭，得到如下统计数据表：
收入万元
支出万元
根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户年收入为万元家庭年支出为( )
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
11. 如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
12. 已知函数在处取得极值，则( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）
13. 短轴长为，离心率为的椭圆两焦点分别为、，过点作直线交椭圆于、两点，则的周长为______ ．
14. 从个男生和个女生中选出名学生参加一次会议，要求至少有名男生和名女生参加，有______ 种选法．
15. 某次数学竞赛后，小军、小民和小乐分列前三名老师猜测：“小军第一名，小民不是第一名，小乐不是第三名”结果老师只猜对一个，由此推断：前三名依次为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
若曲线在点处的切线平行于轴，则______．
17. 本小题分
实数取什么数值时，复数分别是：
实数？
虚数？
纯虚数？
18. 本小题分
求下列函数的导数：
；
．
19. 本小题分
已知函数，且．
求的解析式；
求曲线在处的切线方程．
20. 本小题分
为庆祝中国共产主义青年团成立周年，某校团委组织团员参加知识竞赛．根据成绩，制成如图所示的频率分布直方图．
计算的值；
采用按比例分层抽样的方法从成绩在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人，记为这人中成绩落在的人数，求的分布列和数学期望．
21. 本小题分
已知椭圆上任意一点到两焦点，距离之和为，离心率为．
求椭圆的标准方程；
求椭圆的长轴长，焦点坐标，准线方程．
22. 本小题分
已知曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
把的参数方程化为极坐标方程；
求与交点的极坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，集合，，
所以，
则．
故选：．
由已知结合集合补集及并集运算即可求解．
本题主要考查了集合补集及并集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
则其在区间上的平均变化率．
故选：．
根据题意，结合函数的解析式，由变化率公计算可得答案．
本题考查变化率的计算，注意变化率的计算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由复数，，则．
故选：．
根据复数加法的运算法则，准确计算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由于书架上有本书，则从中任取一本书，共有种不同的取法．
故选：．
利用分类加法原理，即可得出结论．
本题先确定拿哪种类型的书，考查分类计数原理的应用，考查两种原理的区别．
5.【答案】
【解析】解：函数，则．
故选：．
利用导数运算法则，求解即可．
本题考查导数运算法则的应用，考查计算能力．
6.【答案】
【解析】解：因为，
所以，解得，
所以．
故选：．
根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得，进而求模长即可．
本题主要考查复数的模，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据定积分的计算法则计算即可．
本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：甲气象台预报不准确的概率为，
乙气象台预报不准确的概率为，
故在一次预报中这两个气象台的预报都不准确的概率是，
故选：．
求得甲气象台预报不准确的概率为，乙气象台预报不准确的概率为，相乘即得所求．
本题考查了相互独立事件，对立事件的概率计算公式，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：的通项为，
令，解得，
所以项的系数为：．
故选：．
由二项式展开式的通项公式即可求出的系数．
本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属基础题．
由题意可得和，可得回归方程，把代入方程求得值即可．
【解答】
解：由题意可得，
，
代入回归方程可得，
回归方程为，
把代入方程可得，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正负正负，
故选：．
由的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．
本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：在处取得极值，
在处的值为，
即，
，
经检验，当时，在处取得极大值，符合题意，
故选：．
依题意，得，解之可得答案．
本题考查了利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：椭圆的短轴长为，离心率为，
，
，，
过点作直线交椭圆于、两点，
的周长为
故答案为：
确定椭圆的长轴长，利用椭圆的定义，可得的周长．
本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆定义的运用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：从个男生和个女生中选出名学生参加一次会议，要求至少有名男生和名女生参加，
可分名男生和名女生参加，名男生和名女生参加两种情况，
当名男生和名女生参加时，种选择，
当名男生和名女生参加时，种选择，
故至少有名男生和名女生参加共有种选择．
故答案为：．
根据题意可分名男生和名女生参加，名男生和名女生参加两种情况，结合排列组合相关知识可解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
15.【答案】小民、小乐、小军
【解析】解：若小军第一名正确，则小民不是第一名正确，这与题意矛盾；
若小民不是第一名正确，则小民是第二或第三名，又小军是第一名错误，
所以小军、小民是二、三名，小乐不是第三名正确，这与已知矛盾；
若小乐不是第三名正确，则小民不是第一名错误，
即小民是第一名，小乐是第二名，小军是第三名．
所以前三名依次是小民、小乐、小军．
故答案为：小民、小乐、小军．
讨论小军是第一名正确，小民不是第一名正确，小乐不是第三名正确，由此得出的结论是否满足题意即可．
本题考查了简单的合情推理的应用问题，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：由，得：
，
．
曲线在点处的切线平行于轴，
，即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在时的导数值，由导数值等于求得的值．
本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．
17.【答案】解：当，即时，复数是实数；
当，即时，复数是虚数；
当，且时，即时，复数 是纯虚数．
【解析】利用复数的概念可求当实数取什么数值时，复数分别是实数，虚数，纯虚数．
本题考查复数的概念，属于基础题．
18.【答案】解：
．
．
【解析】已知结合导数的乘法法则计算即可求解；
已知结合导数的除法法则计算即可求解．
本题考查了基本初等函数和积的导数、商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
19.【答案】解：因为，且，所以，解得，
所以函数的解析式为．
由可知，；
又，
所以曲线在处的切线方程为，即．
【解析】先求导数，根据可求，进而可得答案；
先求导数得到切线斜率，再求出切点，利用点斜式可求切线方程．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，导数的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：由频率分布直方图知：，
所以；
按比例分层抽样抽取人，成绩在，的人数分别为人，人，
所以的所有可能取值为：，，，；
则，，，；
则的分布列为：
所以的数学期望为：．
【解析】直接由频率和为即可求解；
先由分层抽样求得各层人数，进而求得的所有可能取值及对应概率，列出分布列，由期望公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的概率分布列和期望，是中档题．
21.【答案】解：由题意得，，解得，，
所以，
所以椭圆方程为：；
由得焦点坐标为，，
准线方程为．
【解析】由题意得，，求出，，再利用可求得，从而可求得椭圆方程；
根据椭圆的长轴长，焦点坐标，准线方程的定义结合，，的值可得答案．
本题考查椭圆方程的求法及椭圆的性质的应用，属于基础题．
22.【答案】解：将，消去参数，化为普通方程，
即：，
将代入，
得．
的极坐标方程为．
曲线的极坐标方程为．
曲线的直角坐标方程为，
联立，
解得或，
与交点的极坐标为和
【解析】本题考查曲线极坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
曲线的参数方程消去参数，得到普通方程，再由，能求出的极坐标方程．
曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，与的普通方程联立，求出与交点的直角坐标，由此能求出与交点的极坐标．
第1页，共1页