2022-2023学年安徽省宿州市重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省宿州市重点中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，且，那么的值可以是( )
A. B. C. D.
2. 已知复数，则( )
A. B. C. D.
3. 从某学习小组的名男生和名女生中任意选取名学生进行体能检测，其中至少要选到男生与女生各一名，则不同的选取种数为( )
A. B. C. D.
4. 已知，则、、的大小关系为( )
A. B. C. D.
5. 椭圆：的右焦点为，过作轴的垂线交椭圆于，两点，若是直角三角形为坐标原点，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6. 等比数列的首项为，公比为，前项和记为，由原数列各项的倒数组成一个新数列，则的前项之和是( )
A. B. C. D.
7. 已知向量，若，则的坐标可能为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数的定义域为，且为的导函数，的图象如图所示．若正数，满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是( )
A. ，，三点共线
B. ，，，四点共面
C. ，，，四点共面
D. ，，，四点共面
10. 已知，下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
11. 已知抛物线：，为坐标原点，其焦点为，准线与轴相交于点，经过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. 可能为直角 D. 当时，的面积为
12. 某种疾病在某地区人群中发病率为现有一种检测方法能够检测人体是否患该病，但不是完全准确，其准确率如下：健康人群检测为阳性的概率为，患病人群检测为阴性的概率为设事件“某人不患该病”，“该人被检出阳性”，则( )
A.
B.
C. 该地区某人去检测是否患该病，检测为阳性的概率约为
D. 某人在不清楚是否得病的情况下被检测出阳性，那么他真正患该病的概率约为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在中，，，则面积为______ ， ______ ．
14. 已知两点，，点满足，则的面积是 ；的一个取值为 ．
15. 在平面直角坐标系中，已知圆：，过轴上的一个动点引圆的两条切线，，切点分别为，，则线段长度的取值范围是______ ．
16. 函数在上的单调递减区间为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，角，，的对应边分别为，，，已知，且．
求；
若的面积为，求．
18. 本小题分
已知数列的各项均为正数，且，
令，证明：数列是等比数列
设，求数列的前项和．
19. 本小题分
习总书记在十九大报告中提出乡村振兴战略，厦门市政府贯彻落实实施这一战略，形成了“一村一品一业”的新格局．同安区郭山村是全国科教兴村计划试点村，也是厦门市第一批科技示范村，全村从事以紫长茄为主的蔬菜种植受种植条件、管理水平、市场等因素影响，每年紫长茄的平均亩产量和统一收购价格会有波动，亩产量与收购价格互不影响．根据以往资料预测，该村紫长茄今年的平均亩产量单位：吨的分布列如下：
紫长茄今年的平均统一收购价格单位：万元吨的分布列如下：
某农户种植三个大棚紫长茄，每个大棚亩，每个大棚产量相互独立，求这三个大棚今年总产量不低于吨的概率；
紫长茄今年每亩种植成本约万元，设表示该村紫长茄今年平均每亩的利润单位：万元，求的分布列和数学期望．
20. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，，，过的平面分别交，于，两点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ若，分别为，的中点，
求证：；
求二面角的余弦值．
21. 本小题分
已知抛物线：上一点到焦点的距离为．
求抛物线的方程；
过点的直线交抛物线于，两点，点，连接交抛物线于另一点，连接交抛物线于另一点，且与的面积之比为：，求直线的方程．
22. 本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
若在上恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，若集合，，且，
必有，
分析选项可得，符合；
故选D．
根据题意，做出集合，由并集的定义分析可得，若，必有，分析选项，即可得答案．
本题考查集合并集的运算，是基础题，关键是理解并集的定义．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
分子化简，同时分子、分母同乘分母的共轭复数，然后求复数的模．
考查复数的代数形式的运算，复数的模的运算，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：从名男生和名女生中任意选取名学生，至少要选到男生与女生各一名，有两种情况：
一种是男女，共有种；
另一种是男女，共有种，
所以不同的选法有种．
故选：．
要从名男生和名女生中任意选取名学生，要至少要选到男生与女生各一名，有两种情况：一种是男女，另一种是男女，然后分别求解可得答案．
本题考查排列组合，分类讨论是最基本的指导思想，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
，，
．
故选：．
利用指数函数与对数函数的运算性质分别比较，，与和的大小得答案．
本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：椭圆：的右焦点为，过作轴的垂线交椭圆于，两点，若是直角三角形为坐标原点，
可得，即，可得，解得．
故选：．
通过三角形是直角三角形，列出方程，转化求解椭圆的离心率即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
6.【答案】
【解析】解：时，，，，，．
当时，，．，．
综上可知：．
故选：．
对分类讨论，利用等比数列的通项公式及其前项和公式计算出即可．
本题考查了分类讨论方法、等比数列的通项公式及其前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：设，
向量，，
，经验证，符合．
故选：．
设，利用向量平行的坐标表示求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：如图所示：在上恒成立
函数在是减函数，上是增函数，
又
画出平面区域
令表示过定点的直线的斜率
如图所示：
故选B
先根据导数的图象可知函数是增函数，从而将转化为：，再用线性规划，作出平面区域，
令表示过定点的直线的斜率，通过数形结合法求解．
本题主要考查函数的单调性转化不等式，还考查了线性规划中的斜率模型．同时还考查了转化思想，数形结合思想．
9.【答案】
【解析】解：在正方体中，为的中点，直线交平面于点，
在选项A中，直线交平面于点，
平面，直线，又平面，平面，
为的中点，平面，且平面，
平面，且平面，
又平面，且平面，
，，三点共线，故选项A正确；
在选项B中，，，三点共线，，，，四点共面，故B正确；
在选项C中，，，三点共线，，，，四点共面，故C正确；
在选项D中，直线，，
，，，四点不共面，故D错误．
故选：．
在选项A中，推导出，，三点是平面和平面的公共点，由此得到，，三点共线；在选项B中，由，，三点共线，得，，，四点共面；在选项C中，由，，三点共线，得，，，四点共面；在选项D中，，从而，，，四点不共面．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，比较函数值的大小，解题的关键是根据已知不等式特征，构造函数，属于中档题．
构造函数，利用导数得出单调性判定；构造函数，利用导数得出单调性判定；构造函数，对函数求导，然后结合导数判断的单调性即可判定；由，，即可判定．
【解答】
解：选项，令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
因为，
所以，即，
所以，故A正确；
选项，令，则 ，
当，
在上单调递增，
又，
，即，
即，故B正确；
选项C，令，则，当的正负不确定，
故与的大小不确定，故C错误；
当，，，故D错误．
故选AB．

11.【答案】
【解析】解：对于：由题意可得，，
设直线的方程为，
由，得，
因为直线与抛物线的相交于两点，
所以，
解得，且，故A不正确；
对于：由韦达定理可得，，
所以，所以，同号，
所以，故B不正确；
对于：假设存在，使得以为直径的圆经过点，
则，所以，
所以
，解得，
所以存在，满足题意，故C正确；
对于：，
所以直线的方程为，
则点到直线的距离为，
所以，故D正确．
故选：．
对于：设直线的方程为，联立抛物线的方程，由直线与抛物线的相交于两点，得，解得的取值范围，即可判断是否正确；
对于：由韦达定理可得，，，得出，即可判断是否正确；
对于：假设存在，使得以为直径的圆经过点，则，由向量的数量积得，解得，即可判断是否正确；
对于：由弦长公式可得，由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为，可计算，即可判断是否正确．
本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查条件概率和全概率公式综合，属于较难题．
由对立事件判断；根据全概率公式判断，；根据判断．
【解答】
解：由题意可得，
，
，故A正确．
则有，
故BC错误．
，故D正确．

13.【答案】；
【解析】解：由已知得到，，
又，则，
所以的面积为；
，
所以，
所以．
故答案为：．
根据题目给出的向量的坐标求出，，然后运用数量积公式求出，最后利用正弦定理求三角形的面积；
利用向量的加法求出的坐标，表示出它的平方，然后利用三角函数公式化简求值．
本题考查了平面向量数量积的坐标表示及应用，给出了平面当中两个向量的坐标，可以利用数量积公式求两个向量的夹角，考查了两角和与差的正弦公式的运用；属于中档题．
14.【答案】
答案不唯一

【解析】
【分析】
本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，涉及双曲线的定义和标准方程，属于综合题．
根据题意，由双曲线的定义分析的轨迹方程，结合同角三角函数的基本关系式求出和的值，由此分析的值，同时求出的坐标，由三角形面积公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，两点，，则，
点满足，且，
则点在以、为焦点的双曲线右支上，
该双曲线中，，，则，
故该双曲线的标准方程为，
的坐标为，则有，
又由，
解可得：，，故的值为或，；
同时：的坐标为、；
点到为距离，
故的面积，
故答案为：，答案不唯一．

15.【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查直线和圆相切的性质的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．利用直线和圆的位置关系，以及数形结合即可得到结论．
【解答】解：圆心，半径，
要使长度最小，则最小，即最小，
即最小即可，
则当位于时，满足条件，
此时，则，，即，
当点在轴正半轴或者负半轴上无限取值时，，
此时直径，
故，
故答案为：
16.【答案】
【解析】解：函数，令，
求得，，可得函数的减区间为，．
结合，可得函数的减区间为，
故答案为：．
由条件利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数在在上的单调递减区间．
本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的单调性，属于基础题．
17.【答案】解：，
所以，
由余弦定理得，
因为，，所以或，
当时，则，，这与“”矛盾，故舍去．
当时，由得，，
，
所以．
由，，所以，
的面积，，
所以，
由正弦定理，
所以，
解得，
故．
【解析】直接利用正弦定理和余弦定理的应用和三角函数的关系式的变换的应用求出结果．
利用正弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
18.【答案】证明：，
，
又数列的各项均为正数，
，
，，
，
数列是等比数列，首项为，公比为．
解：由可得：，
，
数列的前项和，
，
，
．
【解析】，变形，又数列的各项均为正数，两边取对数可得，得到，即可证明；
由可得：，可得，利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可得出．
本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：设事件表示一个大棚亩产量为吨，事件发生的次数为，
因为每个大棚产量相互独立，所以；
这三个大棚总产量不低于吨的概率为：
；
设事件表示亩产量为吨，事件表示市场价格为万元吨，
则，，
每亩利润的所有可能取值为：
，
，
；
计算，
，
，
所以的分布列为：
利润的数学期望为万元．
【解析】设事件表示一个大棚亩产量为吨，则事件发生的次数，再计算所求的概率值；
设事件表示亩产量为吨，事件表示市场价格为万元吨，计算每亩利润的所有可能取值，求出对应的概率值，写出的分布列，计算数学期望值．
本题主要考查独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，是中档题．
20.【答案】证明：Ⅰ因为底面为直角梯形，且．
又平面，平面，
所以平面．
因为平面，平面平面，
所以．
Ⅱ因为为的中点，，
所以．
因为，所以．
因为底面，平面，
所以．
因为，、平面，
所以平面，
又平面，
所以．
因为，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
解：如图，根据题意，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系．
则，，，，．
由知，平面，所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
因为，，
所以．
令，则，所以，
所以．
由图观察可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
【解析】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查向量法求二面角，考查线面平行、线面垂直的判定与性质，是中档题．
Ⅰ推导出，从而平面，根据线面平行的性质证明．
Ⅱ推导出，，从而平面得，结合，得平面，由此能证明．
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
21.【答案】解：由题可知焦点的坐标为，
所以由抛物线的定义可知，
即，所以抛物线的方程为；
易知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，
，，
由，得，
则，即或，．
因为，所以，
所以直线的方程为，
由，得，
设，则，得，
设，同理可得，
则
，
得，，
故直线的方程为或．

【解析】根据抛物线的定义结合题意列方程可求出，从而可求得抛物线的方程；
设直线的方程为，，，将直线方程代入抛物线方程化简，然后利用根与系数的关系，表示出直线的方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系可表示出点的横坐标，同理可表示出点的横坐标，再由化简可求出的值，从而可求出直线的方程．
本题主要考查直线与抛物线的综合，考查转化能力，属于难题．
22.【答案】解：当时，设，，
在上递增，即时，
的增区间为，无减区间．
，，
设，，
设，，在增．
时，
，即在上递增，
，
综上，．
【解析】当时，设，，，由此利用导数性质判断即可；
分离参数，设，，由此利用导数性质能求出的取值范围．
本题考查函数的单调区间的求法，实数取值范围的求法，考查不等式的证明，考查导数性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、分类讨论思想，考查函数与方程思想，是中档题．
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