人教版高中数学选择性必修第三册第六章 计数原理 A卷 基础训练（含解析）

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人教版高中数学选择性必修第三册第六章 计数原理A卷基础训练（原卷版）一、选择题
1．（2021·重庆一中高二月考）某中学食堂获得学生好评，其食物样品丰富．某天中午，1号窗口提供了6种不同的荤菜和4种不同的素菜菜品，某同学到该窗口准备选其中2种荤菜和一种素菜作为午餐，那么该同学共有（ ）种不同选择午餐的情况．
A．120 B．72 C．60 D．30
2．使得的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A． B． C． D．
3．（2021·四川石室中学高二月考）某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个
A． B． C． D．
4．（2021·安徽六安高二期末）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A．-40 B．-20 C．20 D．40
5. （多选题）（2021·全国高二专题练）下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为72
6. （多选题）（2021·东平高级中学高二月考）关于的说法，正确的是（ ）
A．展开式中的二项式系数之和为512 B．展开式中只有第5项的二项式系数最大
C．展开式中第5项和第6项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小
二、填空题
7．（2021·江苏南通市高二月考）4位优秀党务工作者到3个基层单位进行百年党史宣讲，每人宣讲1场，每个基层单位至少安排1人宣讲，则不同的安排方法数为____________．
8．（2021·四川南充高二月考）展开式中的系数为_______________．
9．若将函数表示为其中，，，…，为实数，则＝______________．
10.（2021·河南洛阳高二期末）2021年，北京冬奥组委会召开记者招待会，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出4个媒体团进行现场提问，要求这四个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为______.（用数字作答）
三、解答题
11．（2021·全国高二专题练）书架的第一层放有6本不同的哲学书，第2层放有5本不同的文学书，第3层放有4本不同的数学书.
（1）从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？
（2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？
（3）从书架中的不同层任取2本书，共有多少种不同的取法？
12．（2019·江苏高考真题）设.已知.
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.
人教版高中数学选择性必修第三册第六章 计数原理A卷基础训练（解析版）一、选择题
1．（2021·重庆一中高二月考）某中学食堂获得学生好评，其食物样品丰富．某天中午，1号窗口提供了6种不同的荤菜和4种不同的素菜菜品，某同学到该窗口准备选其中2种荤菜和一种素菜作为午餐，那么该同学共有（ ）种不同选择午餐的情况．
A．120 B．72 C．60 D．30
【答案】C
【详解】该同学选择午餐的这件事必须分两步完成：先从6种不同的荤菜中选两种有种，再从4种不同的素菜中选一种有种，根据分步计数乘法得所求不同方法种数是.
2．使得的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】二项式展开式的通项公式为，若展开式中有常数项，则，解得，当r取2时，n的最小值为5，故选B
3．（2021·四川石室中学高二月考）某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为，后接4个数字组成的方法数为，所以由分步计数原理可得不相同的牌照号码共有个.故选：D．
4．（2021·安徽六安高二期末）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A．-40 B．-20 C．20 D．40
【答案】D
【解析】令x=1得a=1.故原式=．的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D
解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出；若第1个括号提出，从余下的括号中选2个提出，选3个提出x.
故常数项==-40+80=40
5. （多选题）（2021·全国高二专题练）下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为72
【答案】ABCD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，，故C正确；对于D，采用插空法，将“礼智”插入“仁义信”的4个空中，则一共有种，故D正确.故选：ABCD.
6. （多选题）（2021·东平高级中学高二月考）关于的说法，正确的是（ ）
A．展开式中的二项式系数之和为512 B．展开式中只有第5项的二项式系数最大
C．展开式中第5项和第6项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小
【答案】ACD
【详解】解：二项式展开式的通项为
对于：二项式系数之和为，故正确；
对于、：展开式共10项，中间第5、6项的二项式系数最大，故错误，正确；
对于：展开式中各项的系数为，，1，，9
当时，该项的系数最小．故正确．故选：ACD．
二、填空题
7．（2021·江苏南通市高二月考）4位优秀党务工作者到3个基层单位进行百年党史宣讲，每人宣讲1场，每个基层单位至少安排1人宣讲，则不同的安排方法数为____________．
【答案】36
【详解】根据题意，必有两人去同一个基层单位进行宣讲，故先从4位优秀党务工作者中选两人，有种，再将其看成整体，和另外两人分配到三个基层单位，有种分配方案,
所以共有种不同的安排方案.
8．（2021·四川南充高二月考）展开式中的系数为_______________．
【答案】-6
【解析】：∵展开式中的系数为.
9．若将函数表示为其中，，，…，为实数，则＝______________．
【答案】10
【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：．
法二：对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即
10.（2021·河南洛阳高二期末）2021年，北京冬奥组委会召开记者招待会，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出4个媒体团进行现场提问，要求这四个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为______.（用数字作答）
【答案】
【详解】选出{国内，国外}媒体团的可能组合有、、，而组合国内媒体团中必会有两个团连续提问，
当组合时，选取方式有种，提问方式种，
当组合时，选取方式有种，提问方式：安排国内两个媒体团的提问的先后顺序种，再将2个国外媒体团插入三个空有，确定国外媒体团提问顺序；或将2个国外媒体团捆绑只能插入国内两个团中间提问，则有1种情况，确定国外媒体团提问顺序；故共有种，∴不同提问方式共有：.
三、解答题
11．（2021·全国高二专题练）书架的第一层放有6本不同的哲学书，第2层放有5本不同的文学书，第3层放有4本不同的数学书.
（1）从书架中任取1本书，共有多少种不同的取法？
（2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有多少种不同的取法？
（3）从书架中的不同层任取2本书，共有多少种不同的取法？
【详解】
（1）书架中总共15本书，从书架中任取1本书，共有种不同的取法；
（2）从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有种不同的取法；
（3）从书架中的不同层任取2本书，相当于从书架中任取2中不同学科的书，分三类：
第一，选择哲学书和文学书，有种取法；第二，选择哲学书和数学书，有种取法；第三，选择文学书和数学书，有种取法；因此，共有30+24+20=74种不同的取法.
12．（2019·江苏高考真题）设.已知.
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.
【详解】
（1）因为，
所以，
．
因为，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．
．
解法一：
因为，所以，
从而．
解法二：
．
因为，所以．
因此．
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