2022-2023学年山西省大同市重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省大同市重点中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，，则( )
A. B. C. ， D.
2. 已知向量与的夹角为，，，则( )
A. B. C. D.
3. 已知随机变量的分布列为
则当在要求范围内增大时，( )
A. 增大，减小 B. 增大，增大
C. 减小，先增大后减小 D. 减小，先减小后增大
4. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 如图，在中，为线段上靠近的三等分点，点在上且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
6. 我国的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方，洛书上的图案由个黑白圆点分别组合，摆成方形，南西东北分别有，，，个点，四角各有，，，个点，中间有个点，简化成如图的方格，填好数字后各行、各列以及对角线上的个数字之和都等于推广到一般情况，将连续的正整数，，，，填入的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，这样一个阶幻方就填好了，记阶幻方对角线上的数字之和为，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
8. 如图，球面上有、、三点，，，球心到平面的距离是，则球体的体积是( )
A.
B.
C.
D.
9. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D. 或
10. 已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，若成立，给出下列结论：
点的横坐标为定值；
离心率；
；
当轴时，．
上述结论正确的是( )
A. B. C. D.
11. 若对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若，则的上确界是( )
A. B. C. D.
12. 已知一个离心率为，长轴长为的椭圆，其两个焦点为，，在椭圆上存在一个点，使得，设的内切圆半径为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某机构近期对某种二手车的使用年数与再销售价格单位：万元台进行数据收集，得到如下统计表：
使用年数
再销售价格
根据上表数据该种二手车的使用年数与再销售价格之间的经验回归方程为：，现有一台该种二手车使用了年，估计这台手车的再销售价格为______ 万元．
14. 已知圆的圆心为双曲线的一个焦点，半径为双曲线的实半轴长若圆与双曲线的一条渐近线交于点，，且，则双曲线的离心率为______ ．
15. 两等差数列、的前项和的比的值是______ ．
16. 椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的直线交椭圆于，两点，若的内切圆的面积为，，两点的坐标分别为和，则的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取件产品作为样本称出它们的重量单位：克，重量值落在的产品为合格品，否则为不合格品．图是甲流水线样本的频率分布直方图，表是乙流水线样本频数分布表．
表：乙流水线样本频数分布表
产品重量克 频数
Ⅰ若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取件产品，求其中合格品的件数的数学期望； Ⅱ从乙流水线样本的不合格品中任意取件，求其中超过合格品重量的件数：的分布列；Ⅲ由以上统计数据完成下面列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条资动包装流水线的选择有关”．
甲流水线 乙流水线 合计
合格品
不合格品
合计
附：下面的临界值表供参考：
参考公式：，其中
18. 本小题分
已知数列满足：，
求最小的正实数，使得对任意的，恒有．
求证：对任意的，恒有．
19. 本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值．
20. 本小题分
已知数列的前项和为为等差数列，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
21. 本小题分
已知点在抛物线的准线上，过点作直线与抛物线交于，两点，斜率为的直线与抛物线交于，两点．
求抛物线的标准方程
求证：直线过定点
(ⅱ)记(ⅰ)中的定点为，设的面积为，且满足，求直线的斜率的取值范围．
22. 本小题分
已知函数．
若在上恒成立，求实数的取值范围；
在的条件下，对任意的，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：所求中的元素需满足或，
解得或，
所以共有两个元素，满足．
故选：．
根据集合的交并运算得出元素需要满足的特征性质进而求得元素，或利用集合中元素的几何意义数形结合得出答案．
本题主要考查了集合的交集及并集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：向量与的夹角为，，，
，
即，，解得舍去，或．
故选：．
由已知可得关于的一元二次方程求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查向量模的求法，是中档题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查离散型随机变量的期望与方差的求法，函数的增减性的应用，是基础题．
求出期望与方程的表达式，利用推出函数以及二次函数的性质，判断单调性即可．
【解答】
解：由题意可知，，
，
在上是单调增函数，
，
在上是单调增函数，
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
，反之不成立，例如取即可判断出结论．
【解答】
解：，反之不成立，例如取．
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
5.【答案】
【解析】解：，
，
又：，，三点共线，
，．
故选：．
依题意，，又，，三点共线，即可求解．
本题考查共线向量的充要条件，考查向量加法的三角形法则，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，阶幻方由，，，，填入得到，填入的数字之和为，
又因为阶幻方每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等，
所以对角线上的数字之和为，
当时，代入可得，
故选：．
先求出阶幻方中所有数字之和，再除以得对角线上的数字之和，再令可得结果．
本题考查合情推理的应用，注意“阶幻方”的特点，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：令，则，
作出函数与函数的图象如下图所示，
由图象可知，函数与函数的图象有个交点，
即函数的零点个数为个．
故选：．
判断函数与函数的图象交点个数即可得出答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意，，，，则，
球心到平面的距离为，正好是球心到的中点的距离，
所以球的半径是：，
球的体积是：，
故选：．
由题意球心到平面的距离是，正好是球心到的中点的距离，可求出球的半径，然后求球的表面积．
本题考查球的内接体问题，考查学生空间想象能力，是中档题．确定三角形的形状以及利用球半径与球心到平面的距离的关系，是解好本题的前提．
9.【答案】
【解析】解：由题意知：定义域为，，
令，
有两个不同的极值点，在上有两个不同的零点，
，解得：．
故选：．
求导后，将问题转化为在上有两个不同的零点，根据二次函数零点分布可构造不等式组求得结果．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题．
设内切圆与、、的切点分别为、、，结合双曲线的定义，求解Ⅰ的横坐标判断；通过求解离心率判断；设的内切圆半径为，利用面积公式求解判断；当轴时，求出，判断．
【解答】
解：设内切圆与、、的切点分别为、、，可得，，．
由，，
可得，可得的坐标为，
即Ⅰ的横坐标为，故正确；
因为，
所以，
由，整理得为双曲线的离心率，
由，可得，所以正确；
设的内切圆半径为，
由双曲线的定义得，，
，，，
因为，所以，
故，所以正确；
当轴时，，
此时，，所以错误．
故选：．

11.【答案】
【解析】试题分析：根据题意，由，则，当且仅当取得等号，故可知，因此答案选A．
考点：新定义
点评：本题重点考查新定义，考查基本不等式的运用，解题的关键是利用基本不等式求出 的最小值
12.【答案】
【解析】解：椭圆的离心率为，长轴长为，
，，，，
在中，由余弦定理得：
，
，
，
，
，
解得，
故选：．
在中，利用余弦定理求得，再由求解即可．
本题考查椭圆的几何性质，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，方程思想，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：，，
样本点的中心的坐标为，
代入，得，可得．
与之间的经验回归方程为．
取，可得．
一台该种二手车使用了年，估计这台二手车的再销售价格为万元．
故答案为：．
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解，可得线性回归方程，取求解值即可．
本题考查线性回归方程，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：设双曲线的方程为，
焦点，一条渐近线方程为，
可得到渐近线的距离为，
又，可得，
为等腰直角三角形，且，，
则，
所以．
故答案为：．
设双曲线的方程和渐近线方程，求得到渐近线的距离，再由向量垂直的条件和等腰直角三角形的性质，结合离心率公式，可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质，以及向量垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质，及求和公式，可得，利用条件，即可求得结论．
本题考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．
【解答】
解：，，
故答案为：
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的定义、三角形内切圆的性质和三角形的面积公式等知识，属于中档题．
根据椭圆方程求得、的值，从而得到椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义算出的周长为，由圆面积公式求得的内切圆半径，从而算出的面积为最后结合的面积，建立关系式并解之，即可得出的值．
【解答】
解：椭圆中，，，
，，，
可得椭圆的焦点分别为、，
设的内切圆半径为，
的内切圆面积为，，
根据椭圆的定义，得．
的面积，
又的面积
、在轴的两侧
，解之得．
故答案为．

17.【答案】解：Ⅰ由图知，甲样本中合格品数为，
合格品的频率为，
由此可估计从甲流水线上任取一件产品，该产品为合格品的概率为；
则，
；
Ⅱ由表知乙流水线样本中不合格品共个，超过合格品重量的有件，
则的取值为，，；
且，
于是有：；
的分布列为
Ⅲ列联表如下：
甲流水线 乙流水线 合计
合格品
不合格品
合计
计算，
有的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．
【解析】Ⅰ计算甲样本中合格品数与频率，利用独立重复试验的概率公式计算的值；
Ⅱ计算乙流水线样本中不合格品数，求出的可能取值，写出的分布列；
Ⅲ填写列联表，计算，对照临界值表得出结论．
本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题目．
18.【答案】解：最小的正实数，即使得对任意的，恒有．
下面利用数学归纳法证明：当时，成立；
假设时，对任意的，恒有．
则时，易知，
，
因此当时假设成立，
综上可得：最小的正实数，使得对任意的，恒有．
证明：先证明右边：由可得：．
，
，因此右边成立．
证明左边：下面利用数学归纳法证明：当时，，成立；
假设时，对任意的，恒有．
则时，要证明：，
又，
只要证明：，
化为：，
解出：．
因此当时也成立，
综上可得：左边成立．
因此：对任意的，恒有．
【解析】最小的正实数，即使得对任意的，恒有利用数学归纳法即可证明．
先证明右边：由可得：通过放缩：，可得：证明左边：利用数学归纳法证明即可得出．
本题考查了不等式的性质、“放缩法”、数学归纳法、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】证明：如图，以为坐标原点，，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为，，
所以，即；
解：设平面的法向量为，
因为，，
由，得，令，，
所以平面的法向量为，
又，
设直线与平面所成角为，
所以，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】利用空间向量求出空间直线的向量积，即可证明两直线垂直，
利用空间向量求直线与平面所成空间角的正弦就是求出平面的法向量与直线的方向向量之间夹角的余弦值的绝对值即可．
本题考查空间中直线与平面所成的角，利用向量法即可解决，考查学生的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：当时，，
当时，，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列，即，
又，，
所以公差，
所以
因为，，
所以，
所以，
，
由得，
所以．

【解析】本题考查了数列的递推关系，等差数列的性质和通项公式，等比数列的判定及其通项公式，数列的求和，涉及了错位相减法，属于中档题．
当时，，当时，，即，可得是以为首项，为公比的等比数列，得出的通项公式，根据等差数列的性质和，可得出通项公式；
结合易得，利用错位相减法得出数列的前项和．
21.【答案】解：由题意可知的准线方程为：，
即，所以．
抛物线的标准方程为．
设，，，
由题意知直线不与轴垂直，故直线方程可设为：，
与抛物线方程联立，化简得：，
根据根与系数的关系可得：，
即，
，直线方程为，
整理得：．
又因为，即．
将代入化简可得：，
故直线方程可化为．
故直线过定点．
由知与轴平行，直线的斜率一定存在，
，，
由知
所以，
又因为，
即，化简得或
又由，得：且，
即或
综上所述，
【解析】本题考查直线与抛物线的综合应用，抛物线中的定点问题，抛物线中的面积问题，属于较难题．
求出，即可得抛物线方程
由题意知直线不与轴垂直，故直线方程可设为：，联立抛物线方程，利用根与系数的关系，求出直线方程，即可求证直线过定点；
由知与轴平行，直线的斜率一定存在，求出，由，结合即可求解．
22.【答案】解：定义域为，，
当时，，
在上单调递增，
且，
在上不恒成立；
当时，令，得，在上单调递增；
令，得，在上单调递减．
所以，
若使在上恒成立，只需，
令，，
当时，，
当时，，
，
只有符合题意，
综上得，．
证明：由知，，
，
，，
由得，当时，，
，
，，
，，
．
【解析】本题是一道导数的综合题，利用导数求函数的单调区间，这里要对参数进行讨论，解决恒成立问题，构造函数证明不等式，这些都是导数中常考的题型，初学者要多做些这方面的习题．属于较难题目．
求出的导函数，对参数分，两类进行讨论，求出单调区间；在上恒成立，即函数，求出函数的最大值；
先对要证明的不等式适当变形，构造一个形如的函数，再根据已研究函数的性质，得出要证的结论．
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