第三章 3.2.1 函数单调性与最大（小）值第2课时函数最大（小）值 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
第三章
3.2.1函数单调性与最大（小）值第2课时 函数最大（小）值
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解函数的最大值、最小值的概念及其几何意义.. 1.培养学生的直观想象及数学抽象素养.
2.能借助函数图像和单调性，求一些简单的函数的最大值和最小值. 2.培养学生逻辑推理及数学运算素养.
温故知新
1.增函数和减函数
温故知新
1.增函数和减函数
温故知新
利用定义证明函数单调性的步骤
知新初探
初中我们研究过函数f(x)=x2的图像和性质
1、在区间 ____ 上，f(x)的值随着x的增大而 ______．
2、 在区间 _____ 上，f(x)的值随着x的增大而 _____．
(-∞,0]
减小
[0,+∞)
增大
观察此图，可以发现函数f(x)=x2的图像上有
一个最低点（0，0），即 x∈R,都有f(x)≥f(0).当一个函数f(x)的图像有最低点时，我们就说f(x)有最小值.
知新探究
思考：你能以函数f(x)=-x2的图像为例说明函数f(x)的最大值的含义吗？
观察此图，可以发现函数f(x)=-x2的图像上
有一个最高点（0，0），即 x∈R,
都有f(x)≤f(0).当一个函数f(x)的图像
有最高点时，我们就说f(x)有最大值.
新知探究
思考
如图，气温θ关于时间t的函数记为θ＝f(t)，观察这个函数的图象，说出函数的最大、最小值在函数图象的什么部位取得？函数的最大、最小值各是什么 （即最高气温、最低气温）
　 曲线的最高点对应的纵坐标为函数的最大值，最大值为9；曲线的最低点对应的纵坐标为函数的最小值，最小值为－2.
新知形成
1.最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
（1） x∈D，都有f(x)≤ M;
（2）存在x0∈D，使得f(x0) = M
那么，称M是函数 y=f(x) 的最大值(maximum value).
思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x) 的最小值的定义吗？
2.最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥ M;
（2）存在x0∈D，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值（minimum vale).
新知形成
对函数最大（小）值的理解
问题1 若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
问题2 是否每个函数都有最大值或最小值？
不一定！
问题3 如果一个函数存在最大（小）值，那么这个函数的最大（小）值是否唯一？取最值时的自变量是否唯一？
如果存在最大（小）值，这个最大（小）值是唯一的，而取最值时的自变量不一定唯一！
新知讲解
对函数最大（小）值的理解
问题4 如果函数f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函数f(x)的值域是[a，b]吗？
不一定
问题5 函数的最值与值域有怎样的关系？
(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在．
(2)若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素．
(3)若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
新知讲解
函数单调性与函数最值的关系
（1）若函数y=f(x)在区间[m，n] (mx
O
f(n)是最大值，f(m)是最小值.
新知讲解
函数单调性与函数最值的关系
（2）若函数y=f(x)在区间[m，n] (mf(m)是最大值，f(n)是最小值.
O
x
y
综上：若函数y=f(x)在区间[m，n]上单调，则函数y=f(x)在[m，n]上即有最大值又有最小值，且最值为f(m),f(n)
新知讲解
【例4】 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m与时间t s之间的关系为：
h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ，
那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？
这时距地面的高度是多少（精确到1m）？
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有：
于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.
新知讲解
【例5】 求函数在区间[2,6]上的最大值和最小值．
分析：由函数(x∈[2,6]的图象（如图）可知，函
数上单调递减，所以函数在
区间的两个端点上分别取得最大值和最小值.
解：任取x1,x2∈[2,6]，且x1由2≤x10,(x1-1)(x2-1)>0,于是
即
所以函数在区间[2,6]上单调递减.
因此，函数在区间[2,6]得两个端点上分别取
得最大值与最小值.在x=2时取得最大值，最大值是2；
在x=6时取得最小值，最小值是0.4.
新知讲解
1.利用单调性求函数得最大（小）值得一般步骤：
⑴判断并证明函数的单调性；
⑵利用函数的单调性求最大（小）值.
2.函数最大（小）值与单调性的关系：
⑴若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（减），则f(x)在区间[a,b]上的最小（大）值是f(a)，最大（小）值是f(b).
⑵若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（减），在区间[b,c]上单调递减（增)，则f(x)在区间[a,c]上的最大（小）值是f(b),最小（大）值是f(a)与f(c)中较小（大）的一个.
方法归纳
初试身手
1. 整个上午(8: 00~12: 00)天气越来越暖，中午时分(12: 00~13: 00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18: 00)才又开始转凉. 画出这一天8: 00~20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象(示意图)，并说出所画函数的单调区间.
单调递增区间为[8, 12]， [13, 18]；
单调递减区间为[12, 13]， [18, 20].
p81 练习
初试身手
p81 练习
2. 设函数f(x)的定义域为[-6, 11]. 如果f(x)在区间[-6, -2]上单调递减，在区间[-2, 11]上单调递增，画出f(x)的一个大致的图象，从图象上可以发现f(-2)是函数f(x)的一个________.
最小值
x
O
y
1
2
3
4
5
- 1
-2
- 3
-4
- 5
-1
-2
1
2
- 6
6
7
8
9
10
11
初试身手
p81 练习
解：任取x1,x2∈[2,6]，且x1由2≤x10,x1x2>0,
于是
,即
∴函数在区间[2,6]上单调递减.
∴;
新知讲解
【例6】已知函数f(x)=,x∈[3,5]，若不等式f(x)＞a在[3,5]上恒成立，求实数a的取值范围
分析：因为不等式f(x)＞a在[3,5]上恒成立，所以函数在[3,5]上的最小值，a小于f(x)在区间[3,5]上的最小值，从而求得a的取值范围.
解：任取x1,x2∈[3,5]，且x1由3≤x10,
于是
,即
所以f(x)在区间[3,5]上单调递增.当x=3时，f(x)取最小值，最小值为.
因为不等式f(x)＞a在[3,5]上恒成立，所以a的取值范围为，即.
初试身手
已知函数f(x)=
解：对 x1,x2∈[1,+∞),x1由1≤x11,
又由a<0,得-a>0,x1x2-a>0
于是
即
则函数f(x)在[1,+∞)上单调递增.当x=1时，函数f(x)取最小值，
又因为函数f(x)= 即f(1)=3+a=1，a=-2.
课堂总结
1.函数最大（小）值概念及与图象的关系.
2.求函数最大（小）值得方法：
⑴利用函数图象求最大（小）值；
⑵利用函数单调性求最大（小）值.
作业布置
作业： p85-86 习题3.1 7，10.
补充：
1.已知函数f(x)=在区间[1,b]上的最小值是，则b= .
2.已知函数
⑴在直角坐标系中，画出函数f(x)的图象；
⑵由图象得到当x取何值时，函数f(x)有最值，并求出函数f(x)的最大值和最小值.
3.求函数在区间[1,2]上的最大值和最小值.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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