第二十二章 二次函数单元练习题（含解析）

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第二十二章 二次函数 单元练习 2023-2024学年人教版九年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．最大值为
C．当时，随的增大而减小 D．与轴只有一个交点
4．在抛物线上的一个点是（ ）
A． B． C． D．
5．直线l过点且与y轴垂直，若二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线：与轴和轴分别相交于、两点，平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴和轴分别相交于、两点，运动时间为秒（）．以为斜边作等腰直角（、两点分别在两侧），若和的重合部分的面积为，则与之间的函数关系的图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
二、填空题
7．关于x的二次函数有最 值（填“大”或“小”），是 ．
8．二次函数中的和满足下表：
…… 0 1 2 3 ……
…… 0 m 0 ……
则的值为 .
9．如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，若，则a的值是 ．
11．如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于A，B两点．若，则下列结论中：
①；
②；
③；
④若为任意实数，则，正确的是 ．

12．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知他距篮筐中心的水平距离为，则篮筐的中心离地面的高度是 m．
三、解答题
13．如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标．
14．设二次函数，的图像的顶点坐标分别为，．若，，且开口方向相同，则称是的“反倍顶二次函数”．
(1)请写出二次函数的“反倍顶二次函数”；
(2)已知关于的二次函数和二次函数．若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求的值．
15．已知某抛物线的对称轴为直线，且过和两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)填空：
①当时，值所对应的范围是___________；
②若将此抛物线向下平移个单位与轴有公共点时，则的范围是___________．
16．抛物线交x轴于点，交y轴于点．

(1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴和另一个与x轴交点C的坐标；
(2)直接写出当时，x的取值范围．
(3)如图，点P是线段上方抛物线上一动点，当P点的坐标为_______时，的面积最大．
17．在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面处．

小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表．
运动时间 0 1 2 3
运动速度 10 9.5 9 8.5
运动距离 0 9.75 19 27.75
小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．
(1)求关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若白球一直以的速度匀速运动，求两球之间距离与运动时间之间的关系式，判断并说明黑球在运动过程中会不会碰到白球．
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参考答案：
1．D
【分析】根据二次函数的定义对各选项进行逐一分析即可，注意两项化简完后再判断．
【详解】解：A、是一次函数，不符合题意；
B、中，x的次数是3，不是二次函数，不符合题意；
C、可化为是一次函数，不符合题意；
D、可化为，是二次函数，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数，熟练掌握其定义是解决此题的关键．
2．D
【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∵点，，，在抛物线上，而点到对称轴的距离最远，在对称轴上，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
3．D
【分析】根据二次函数的性质求解判断即可．
【详解】
是直线的对称轴，
故A正确，
最大值为，
故B正确，
抛物线单调递减，
故C正确，
，
函数与轴有两个交点，
故D错误．
故选：D.
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与系数的关系．
4．C
【分析】把点的坐标逐一代入函数的解析式，相等就是在抛物线上．
【详解】∵，
故A不符合题意；
∵，
故B不符合题意；
∵，
故C符合题意；
∵，
故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了点与图像的关系，熟练掌握判定的基本方法是解题的关键．
5．B
【分析】由直线l：，化简抛物线可得，令，利用判别式，解出，由对称轴在y轴右侧可求即可解答．
【详解】解：∵直线l过点且与y轴垂直，
∴直线l为，
∵化简抛物线可得，
∴令，即，
∵二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，
∴，
∴，
又∵对称轴在y轴右侧，
，
∴，
∴．
故选择D．
【点睛】本题主要考查二次函数与直线的交点问题、抛物线对称轴、一元二次方程的根的判别式等知识点，掌握二次函数与直线的交点问题转化为一元二次方程实根问题是解题关键．
6．C
【分析】分别求出和时，S与t的函数关系式即可判断．
【详解】解：对于直线，当时，，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
①当时，如图1，

∴
又是等腰直角三角形，
∴
∴
又
∴
∴
即：；
②当时，如图2，

同理可得：均为等腰直角三角形，
∴
∴
∴
∴，
即，
观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C．
故选：C．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
7． 小
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵
∴，顶点坐标为
∴函数有最小值-3．
故答案为：小，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握当函数开口方向向上有最小值、顶点坐标为是解答本题的关键．
8．
【分析】通过表格中的数据可以求出二次函数的表达式，再将代入函数解析式，求得的值．
【详解】将，，代入
得
解得
故
将，代入函数解析式
得
故的值为．
【点睛】本题考查求二次函数解析式，再代数求值．
9．
【分析】由BD=1，AD=y，可得AB=AC=y+1，在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=2y+1，在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-1，即得2y+1=x2-1，可得答案．
【详解】解：∵BD=1，AD=y，
∴AB=y+1，
∵AB=AC，
∴AC=y+1，
在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=（y+1）2-y2=2y+1，
在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-12=x2-1，
∴2y+1=x2-1，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是将CD2作等量，列出y与x的关系式．
10．
【分析】将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值
【详解】解：把代入中得，，
∴
∴A的横坐标为，B横坐标为
∴
把代入得，，
∴
∴C的横坐标为，D横坐标为
∴
∵，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键．
11．②③④
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点可得，，的符号及与的关系，从而判断①，由及对称轴可得点坐标，从而判断②③，由时取最小值可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
，
∵抛物线对称轴为直线，
，
∵抛物线与轴交点在轴上方，
，
，①错误．
设抛物线对称轴与轴交点为，则，

，
，即点坐标为，
时，，
，②正确．
抛物线对称轴为直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，③正确．
时取最小值，
，即，④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
12．
【分析】根据题目所建坐标系可知，将代入抛物线解析式中，求出的值，再结合图象即可选择．
【详解】当时，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题关键是结合图形确定高度．
13．(1)抛物线解析式为
(2)
【分析】(1)把B(1,1)代入得，从而得到抛物线解析式；
(2)先根据待定系数法求直线AB的解析式，再联立直线和抛物线解析式解方程组，求出C
的坐标，然后求出，再根据二次函数图象上点的坐标特征，可设，利用三角形面积公式，解出t的值即可得到D点坐标．
【详解】（1）把代入得：，
∴抛物线解析式为；
（2）设直线AB的函数解析式为，
把，代入得：，，
∴直线AB的解析式为，
将与联立得：
或，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
解得：，（舍），
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了待定系数法求一次函数解析式．
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据“反倍顶二次函数”的定义，求出顶点坐标即可解决问题；
（2）根据“反倍顶二次函数”的定义，列出方程即可解决问题．
【详解】（1）解：，
二次函数的顶点坐标为，
二次函数的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为，
这个“反倍顶二次函数”的解析式为；
（2），顶点坐标为，
，顶点坐标为，
函数恰好是的“反倍顶二次函数”，
，
解得．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握配方法确定顶点坐标是解题的基础，属于中考常考题型．
15．(1)；
(2)①；②．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）①根据解析式可得开口方向向上，顶点坐标为，对称轴为直线，进而可得当时，时，取得最大值，进而即可求解．
②根据函数图象以及顶点坐标，结合题意，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，且过和两点
∴
解得：
∴抛物线解析式为
（2）①∵，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
∵，
∴当时，取得最大值
当时，取得最小值
∴当时，值所对应的范围是；
故答案为：．

②∵顶点坐标为
∴若将此抛物线向下平移个单位与轴有公共点时，则的范围是
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．(1)；；对称轴直线
(2)或
(3)
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据函数图象即可得出结论；
（3）过点作轴交于点，设，则，则，再由此求解即可．
【详解】（1）将点，代入，
，
解得，
；
令，得
解得：
∴，
对称轴直线
（2）由（1）得：，
∴当或时，
（3）设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，

设，则，
，
，
当时，的面积有最大值，
此时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，胡不归求最短距离的方法是解题的关键．
17．(1)，
(2)，黑球不会碰到白球，见解析
【分析】（1）根据黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为，代入两组数值求解即可；根据运动距离与运动时间之间成二次函数关系，设表达式为，代入三组数值求解即可；
（2）设黑白两球的距离为，得到，当时，，由得到方程没有实数根，于是得到结论．
【详解】（1）解：设，
将，代入，
得，
解得，，
∴，
设，将，，代入，得
，
解得，
∴．
（2）设黑白两球的距离为，
根据题意可知，，
即，
黑球在运动过程中不会碰到白球，理由如下：
当时，，
∵，
∴方程没有实数根，
∴黑球不会碰到白球．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用、一元二次方程根的判别式的应用等知识，关键是明确题意求出函数表达式．
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