第二十五章 概率初步单元练习题（含解析）

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第二十五章 概率初步 单元练习 2023-2024学年人教版九年级数学上册（含解析）
一、单选题
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯 B．任意画一个四边形，其内角和是
C．两直线平行，同位角互补 D．打开电视机，正在播放新闻联播
2．四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、正五边形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是轴对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．1
3．一项“过关游戏”规定：抛掷一枚质地均匀的六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6的正方体骰子，在第n关要抛掷骰子n次.如果第n次抛掷所得的点数之和大于n2就算过关，那么某人连过前两关的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
5．一个口袋里只有黑球10个和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回口袋中摇匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中共有球的个数是（ ）
A．6 B．10 C．15 D．25
6．在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为1的概率为（　　）.
A． B． C． D．
二、填空题
7．在一个箱子里放有2个白球和5个红球，现摸出1个球是黑球，这个事件属于 事件．（填“必然、不确定或不可能”）
8．现有5张正面分别标有数字，，0，1，2的同种卡片，将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则使关于的方程有实数根，且以为自变量的函数的顶点落在第一象限的概率是 ．
9．在一个不透明的口袋中，装有3个球，它们分别写有数字1，2，3，这些球除上面数字外，其余都相同．先将这些球摇匀后，随机摸出一球，记下数字后，放回：再摇匀，再摸出一球．则摸出的两球的数字之和是4的概率是 ．
10．一名球员在罚球线上投篮的结果记录如下表：
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
投中次数（m） 28 60 78 104 123 152 251
投中频率
先将表中数据补全（精确到）；根据以上数据可以估计，这名球员投篮一次．投中的概率约是 （精确到）．
三、解答题
11．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，3个黑球．
(1)从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？
(2)若往口袋中再放入一些白球和9个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求放入的白球数量．
12．一个布袋里装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同．

(1)从布袋中摸一次球，摸到白球的可能性为_____；
(2)若从布袋中先摸出一个球，无放回，再从口袋中摸出一个球，用树状图法求出两次摸出的球都是红球的概率是多少？
13．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转．

(1)请用树状图或列表法列出所有可能的结果；
(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足，则小明胜；若x，y满足，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由．
14．黔东南州某校数学兴趣小组开展摸球试验，具体操作如下：在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的小球共4个，这些球除颜色外无其它差别，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后再把它放回盒子里搅匀，再随机摸出一球记下颜色，不断重复摸球实验．下表是这次活动的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 26 38 50 127 197 251
摸到白球的频率 0.260 0.253 0.250 0.254 0.246 0.251
(1)请你根据上表统计数据估计：从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为___________（精确到0.01）；
(2)试估算盒子里有多少个白球？
(3)根据第（2）题的估算结果，若从盒子里随机摸出两球，请画树状图或列表求“摸到两个颜色相同小球”的概率．
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参考答案：
1．B
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
【详解】A、经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯，是随机事件，故不符合题意；
B、任意画一个四边形，其内角和是，是必然事件，故符合题意；
C、两直线平行，同位角互补，是不可能事件，故不符合题意；
D、打开电视机，正在播放新闻联播是随机事件，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，熟练地掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解答该题的关键．
2．C
【分析】首先由等边三角形、平行四边形、菱形、正五边形中是轴对称图形的有等边三角形、菱形、正五边形，再直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵等边三角形、平行四边形、、菱形、正五边形中是轴对称图形的有等边三角形、菱形、正五边形，
∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是轴对称图形的概率是：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了概率公式，轴对称图形的识别，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
3．A
【分析】先根据概率公式求出第一关通过的概率，再用列表法列表得出所有等可能结果，从中找到出现的点数之和大于4的结果数，再根据概率公式求出第二关通过的概率，两者相乘即可得出结论．
【详解】解：第一关通过时，掷出的点数必大于1，
而1，2，3，4，5，6这六个数中大于1的有5个，
所以第一关通过的概率为：；
再计算通过第二关的概率：列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
共有36种等可能的结果数，其中出现的点数之和大于4的结果数为30，
∴某人连过前两关的概率是，
所以，两关全通过的概率为：．
故选：A．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．C
【分析】分别计算出每个事件的概率，其值约为0.16的即符合题意．
【详解】A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意；
D、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了概率的计算和用频率估计概率，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
5．D
【分析】先计算出黄球频率，再频率的值接近于概率，再根据黄球的概率求解即可．
【详解】解：设袋中共有x个球，则黄球的个数为，
∵黄球的概率近似为＝，
∴，解得，
经检验：是分式方程的解．
故选D．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率、分式方程的应用等知识点，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解答本题的关键．
6．C
【分析】按照题意分别找出点C所在的位置的个数，再找出其中满足的面积为1的C点个数，再根据概率公式求出概率即可．
【详解】解：如图所示，
点C所放在格点上的位置共有16种可能，而能使△ABC的面积为1的点共有如图4种可能，
故恰好使△ABC的面积为1的概率为：.
故本题正确答案为C.
【点睛】熟练掌握三角形的基本概念和求随机事件的概率是解本题的关键.
7．不可能
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可；
【详解】解：在一个箱子里放有2个白球和5个红球，现摸出1个球是黑球，这个事件属于不可能事件；
故答案为：不可能．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8．/
【分析】首先根据使关于的方程有实数根，求出，再根据以为自变量的函数的顶点落在第一象限得到关于a的不等式，结合a的可能取值求出a为1或2，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：∵使关于的方程有实数根，
∴，
解得：，
的顶点为，
∵以为自变量的函数的顶点落在第一象限，
∴，
∵a的取值为，，0，1，2，
∴满足条件的a值为1，2，
∴使关于的方程有实数根，且以为自变量的函数的顶点落在第一象限的概率是，
故答案为：
【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，也考查了二次函数的顶点，象限内坐标特征，以及一元二次方程根的判别式．
9．
【分析】利用列表表或画树状图求概率即可．
【详解】解：列表如下：
1 2 3
1 1，1 1，2 1，3
2 2，1 2，2 2，3
3 3，1 3，2 3，3
由表知，所有等可能的结果数有9种，其中和为4的结果数有3种，则摸出的两球的数字之和是4的概率是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了用列表法或画树状图求较复杂事件的概率，正确列表或画出树状图是关键．
10．
【分析】用投中的次数除以投篮的次数即可补全表中数据；根据表中数据可得，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0．50附近，
【详解】解：，
由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是理解这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
11．(1)
(2)2个
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）设放入的白球数量为x个，根据概率公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵从中随机取出一个球共有7种等可能的情况，其中是黑球的有3种可能，
∴从中随机取出一个球是黑球的概率是．
（2）解：设放入的白球数量为x个，
根据题意可得：，解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴放入的白球数量为2个．
【点睛】本题考查简单的概率计算、解分式方程，解答的关键是熟练掌握简单的概率计算方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A发生的概率是解决问题的关键．
12．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）先将树状图补充完整，得到所有可能的结果数，然后找出符合条件的结果数，再根据概率公式进行计算即可得．
【详解】（1）解：∵布袋中一共有3个球，其中白球1个，
∴从布袋中摸一次球，摸到白球的可能性为，
故答案为： ；
（2）
由树状图可知，共有6种等可能结果，其中摸出两次都是红球的情况有2种，
分别为（红1，红2）、（红2，红1）（记作事件），
∴．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．(1)见解析
(2)不公平，理由见解析
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由概率公式即可求得小明获胜与小红获胜的概率，继而求得他们两人谁获胜的概率大．
【详解】（1）列表如下：
1 2 3 4
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)
（2）不公平，理由如下：
从上表中可看出，指针所指的两个数字有12种等可能的结果，
其中满足的结果有6个，满足的结果有4个，
所以，P（小明胜），P（小红胜）．
所以，此游戏小明获胜的概率更大，故不公平．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14．(1)
(2)1
(3)
【分析】（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得．
（2）设盒子里有个白球，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案；
（3）先利用列表法展示所有12种等可能的结果数，再找出“摸到两个颜色相同小球”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）从不透明的盒子里随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率约为0.25；
故答案为：0.25；
（2）设盒子里有个白球，根据题意，得：，
解得：，
盒子里有1个白球．
（3）随机摸出两球的树状图如下：
共有12种等可能结果，而“摸到的两个球是颜色相同的小球”6种结果，
“摸到两个颜色相同小球”的概率是．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
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