(共30张PPT)
反比例函数的应用
5.3 反比例函数的应用
反比例函数图象有哪些性质
反比例函数 是由两支曲线组成,当K>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减少；当K<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内,在每一象限内,y随x的增大而增大.
某科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地.为了安全迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干木板,构筑了一条临时通道,从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗 当人和木板对湿地的压力一定时,随着木板面积S(m2)的变化,人和木板对地面的压强P(Pa)将如何变化
如果人和木板对湿地地面的压力合计600N,那么 (1)用含S的代数式表示P,P是S的反比例函数吗 为什么
P是S的反比例函数.
P= (S＞0)
S
600
解:
(2)当木板面积为0.2m2时,压强是多少
解:当S=0.2m2时,P=600/0.2=3000(Pa)
(3)如果要求压强不超过6000Pa,木板面积至少要多大
解:当P≤6000时,S≥600/6000=0.1(m2)
所以木板面积至少要0.1m2.
P=
S
600
(4)在直角坐标系,作出相应函数的图象(作在课本145页的图上)
注意:只需在第一象限作出函数的图象.因为S>0.
s/0.1m2
p/1000pa
0
P=
S
600
(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释,并与同伴交流.
解:问题(2)是已知图象上的某点的横坐标为0.2,求该点的纵坐标;问题(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000,求这些点所处位置及它们横坐标的取值范围.实际上这些点都在直线P=6000下方的图象上.
(2)当木板面积为0.2m2时,压强是多少
(3)如果要求压强不超过6000Pa,木板面积至少要多大
s/0.1m2
p/1000pa
0
(1)蓄电池的电压是多少 你能写出这一函数的表达式吗
解:因为电流I与电压U之间的关系为IR=U(U为定值),把图象上的点A的坐标(9,4)代入,得U=36.所以蓄电池的电压U=36V.
这一函数的表达式为:
(2)完成下表,并回答问题:如果以此蓄电池为电源的用电器电流不得超过10A,那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内
解:当I≤10A时,解得R≥3.6(Ω).所以可变电阻应不小3.6Ω.
1、蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（ ）之间的函数关系如图所示
R（ ）
I（A）
3
4
5
4
6
7
8
9
10
12
9
7.2
6
36/7
4.5
3.6
2.如图,正比例函数y= k1x的图象与反比例函数y=k2/x的图象相交于A、B两点.其中点A的坐标为
(1)分别写出这两个函数的表达式;
(2)你能求出点B的坐标吗
你是怎样求的 与同伴交流
解:(1)把A点坐标 分别代
入y=k1x,和y=k2/x, 解得k1=2.k2=6
所以所求的函数表达式为:
y=2x,和y=6/x.
x
y
A
B
O
2.如图,正比例函数y= k1x的图象与反比例函数y=k2/x的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为
(1)分别写出这两个函数的表达式;
(2)你能求出点B的坐标吗
你是怎样求的 与同伴交流
解：(2)B点的坐标是两个函数组成的方程组的另一个解.解得x=
x
y
A
B
O
随堂练习:课本147页.
1.某蓄水池的排水管每时排水8m3,6h可将满池水全部排空.
(1)蓄水池的容积是多少
解:蓄水池的容积为:8×6=48(m3).
(2)如果增加排水管,使每时的排水量达到Q(m3),那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化
答:此时所需时间t(h)将减少.
(3)写出t与Q之间的函数关系式;
解:t与Q之间的函数关系式为:
随堂练习:课本147页.
1.某蓄水池的排水管每时排水8m3,6h可将满池水全部排空.
(4)如果准备在5h内将满池水排空,那么每时的排水量至少为多少
解:当t=5h时,Q=48/5=9.6m3.所以每时的排水量至少为9.6m3.
(5)已知排水管的最大排水量为每时12m3,那么最少多长时间可将满池水全部排空
解:当Q=12(m3)时,t=48/12=4(h).所以最少需4h可将满池水全部排空.
(6)画出函数图象,根据图象请对问题(4)和(5)作出直观解释,并和同伴交流.
y
x
A
O
B
M
N
超越自我:
C
D
y
x
A
O
B
M
N
C
D
y
x
A
O
B
M
N
P(m,n)
A
o
y
x
P(m,n)
A
o
y
x
P(m,n)
A
o
y
x
P(m,n)
A
o
y
x
想一想
若将此题改为过P点作y轴的垂线段,其结论成立吗
P(m,n)
A
o
y
x
B
P(m,n)
A
o
y
x
B
P(m,n)
A
o
y
x
P/(-m,-n)
P(m,n)
o
y
x
P/(-m,-n)
y
P(m,n)
o
x
P/(-n,-m)
如图:A、C是函数 的图象上任意两点，
A.S1>S2
B.S1C.S1 = S2
D.S1和S2的大小关系不能确定.
A
B
o
y
x
C
D
D
S1
S2
C
A.S = 1 B.1C.S = 2 D.S>2
A
C
o
y
x
B
解:由上述性质(3)可知,
S△ABC = 2|k| = 2
C
解:由性质(1)得
A
A.S1 = S2 = S3
B. S1 < S2 < S3
C. S3 < S1 < S2
D. S1 > S2 >S3
B
A1
o
y
x
A
C
B1
C1
S1
S3
S2
A
C
o
y
x
P
解:由性质(2)可得
A
B
C
y
x
D
O
A
y
O
B
x
C
D(共20张PPT)
反比例函数的图象与性质
第二课时
1.写出反比例函数的表达式:________________.
2.反比例函数的图象是____________.
3.反比例函数 的图象在第_________象限内.
4.反比例函数 经过点(m,2),则m的值______.
5.反比例函数 的图象经过点(2,-3), 则它的表
达式为_______________.
双曲线
2
二、四
忆一忆
2.反比例函数的图象位置与k有怎样关系？
当k>0时.两支曲线分别位于第一.三象限内,
在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
反比例函数的图象是双曲线
当k<0时.两支曲线分别位于第二.四象限内,
在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.
1.反比例函数是一个怎样的图象？
忆一忆
观察反比例函数 的图象，回答下列问题：
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？
第一、三象限内
x>0时，图象在第一象限；x<0 时，图象在第三象限。
在每一个象限内，y随x的增大而减小
（2）当x取什么值时，图象在第一象限？当x取什么值时， 图象在第三象限？
（3）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
如果k=－2, －4,－6,那么
的图象有又什么共同特征？
（1）函数图象分别位于哪个象限内？
x>0时，图象在第四象限；x<0 时，图象在第二象限
（2）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
在每一个象限内，y随x的增大而增大
函数 正比例函数 反比例函数
解析式
图象
自变量取值范围
图象位置
性质
当k>0时，y 随x的增大而减小
当k<0时，y 随x的增大而增大
y=kx(k≠0)( 特殊的一次函数)
全体实数
x≠0的一切实数
当k>0时，在一、三象限；
当k<0时，在二、四象限。
当k>0时，在一、三象限；
当k<0时，在二、四象限
当k>0时，y随x的增大而增大
当k<0时，y随x的增大而减小
k<0
x
y
o
x
y
o
k>0
k<0
y
x
0
y
0
k>0
x
k>0
k<0
k<0
k>0
正比例函数和反比例函数的区别
1.下列函数中，其图象位一第一、三象限的有__________;
在其所在的象限内，y随x的增大而增大的有___________.
2.(1)已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数 的图象上，比较y1、 y2 、y3的大小关系。
解：∵k=4>0
∴图象在第一、三象限内，每一象限内y随x的增大而减小
∵x10, ∴点A(-2,y1)，点B(-1,y2)在第三象限点C(3,y3)在第一象限。
∴y3>0, y2 （1）（2）（3）
(4)
你能解答第(2)小题吗了
习题
(2)如果点A（-2，y1),B(-1,y2)和C(3,y3)都在反比例函数y=k/x的图象上.那么y1,y2与y3的大小又如何呢？
解：当K>0时, y2 < y1 < 0< y3.
当K＜0时, y3 < 0 < y1 < y2.
P
Q
S1
S2
R
S3
在一个反比例函数图象上任取两点P.Q.过点P分别作x轴.y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1.过点Q分别作x轴.y轴的平行线.与坐标轴围成的矩形面积为S2.S1与S2有什么关系 为什么
实际上,在一个反比例函数y=k/x的图象上任取一点,过这一点分别作X轴和Y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积总等于常量∣K∣.
想一想
观察反比例函数图象的两支曲线,回答下列问题:
(1)它们会与坐标轴相交吗？
(2)反比例函数的图象是轴对称图形吗？
(3)反比例函数的图象是中心对称图形吗？
它们都不与坐标轴相交。
是轴对称图形,它们有两条对称轴.
是中心对称图形,对称中心是坐标原点.
动画
1.若关于x,y的函数 图象位于第一、三象限，
则k的取值范围是_______________
k>－1
2.甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地，
把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均
速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是（ ）
C
在实际问题中
图象就可能只
有一支.
随堂练习
3．如图，函数y=k/x和y=－kx+1(k≠0)在同一坐标系内的图象大致是 （ ）
B
A
C
D
D
先假设某个函数
图象已经画好，
再确定另外的是否
符合条件.
4.已知反比例函数 的图象
在 第二、四象限，那么一次函数y=kx-k的图象经过（ ）
A 第一、二、三象限 B 第一、二、四象限
C 第一、三、四象限 D 第二、三、四象限
C
k>0
5.已知点（－m,n）在反比例函数的图象上，则
它的图象也一定经过点__________
(m, －n)
6. 已知k<0,则函数y1=kx,
y2= 在同一坐标系中的图象大致是 ( )
x
k
7. 已知k>0,则函数 y1=kx+k与y2= 在同一坐标系中
的图象大致是 ( )
x
k
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
x
y
0
x
y
0
(B)
(C)
(D)
x
y
0
x
y
0
D
C
8.已知函数 ，y随x的增大而减小，求a的值和表达式.
当函数为反比例函数时
当函数为正比例函数时……
O
x
y
A
C
O
x
y
D
x
y
o
O
x
y
B
D
练一练
y
O
x
D
x
y
o
B
k＜０(共30张PPT)
5.1反比例函数的概念
变量与常量
忆一忆
在某一变化过程中,不断变化的数量叫变量(variable) 保持不变的量叫常量.
变量之间的关系:
在某一变化过程中,如果一个变量(y)随着另一个变量(x)的变化而不断变化,那么x叫自变量(independent variable),y叫因变量(dependent variable).
一般地.在某个变化中,有两个变量x和y,如果给定一个x的值,相应地就确定了y的一个值,那么我们称y是x的函数(function),其中x叫自变量,y叫因变量.
提示:
这里的函数是一个单值函数;
函数的实质是两个变量之间的关系.
函数
忆一忆
解析法:用一个式子表示函数关系;
列表法:用列表的方法表示函数关系;
图象法:用图象的方法表示函数关系.
提示:
用图象法表示函数关系时,首先在自变量的取值范围内取一些值,列表,描点,连线(按自变量从小到大的顺序,用一条平滑的曲线连接起来).
函数的表示方法
忆一忆
一次函数
若两个变量x,y的关系可以表示成y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,则称y是做x的一次函数(linear function)(x为自变量,y为因变量).
特别地,当常数b＝0时,一次函数y=kx+b(k≠0)就成为:y=kx(k是常数,k≠0),称y是x的正比例函数.
一次函数与正比例函数之间的关系:正比例函数是特殊的一次函数.
忆一忆
一次函数的图象与性质
x
y
o
x
y
o
y随x的增大而减小
b<0
b>0
b=0
b<0
b<0
b=0
当k>0时
当k<0时
忆一忆
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,称直线y=kx+b.
y随x的增大而增大
当y=0时,为一元一次方程kx+b=0,这时方程的解为:
当y>0时,为一元一次不等式kx+b>0;当y<0时,为一元一次不等式kx+b<0.这时不等式的解集分别为:
一次函数,一元一次方程,一元一次不等式
x
y
o
Y=kx+b
(o,b)
Y=0 ·
y=>0
Y<0
忆一忆
函数是刻画变量之间关系的数学模型，形如 的函数表示的变量关系是怎样的？你能作出它们的图象吗？你知道它有哪些特性吗？
掉入冰窟该怎么办？
首先两脚向下踩水，借助浮力向靠近岸边的冰面爬去，不要用力过猛.如果冰面被压碎，继续爬向前面的冰面，直到找到坚硬的冰面，用力向后踩水，爬上冰面.然后，向岸边翻滚，离开薄冰区后，迅速上岸.
那么你知道掉入冰窟的人为什么不能站起来跑到岸边，而要向岸边翻滚呢？这和我们的数学有什么关系呢？
假设人的体重一定，设为50kg，人体与冰面接触的面积为S，人体对冰面的压强为P，那么 .
（1）你能用含有S的代数式表示P 吗？
PS=50
P =
50
S
（2）当人对冰面的压力一定时，随着面积的变化，人对冰面的压强将如何变化？
（3）变量P是S的函数吗？
做一做
P =
50
S
2、我们知道，电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U=220V时，
（1）你能用含有R的代数式表示I吗？
做一做
2、我们知道，电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U=220V时，
（2）利用写出的关系式完成下表：
R/Ω 20 40 60 80 100
I /A
11 5.5 3.67 2.75 2.2
当 R 越来越大时，I 怎样变化？当R越来越小呢？
（2）如上表所示，当电阻R越来越大时.电流I越来越小；电阻R越来越小时，电流I越来越大.
做一做
2、我们知道，电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U=220V时，
（3）变量I是R的函数吗？为什么？
当给定一个R的值，相应地就确定了一个I值，因此I是R的函数.
R/Ω 20 40 60 80 100
I /A
做一做
11 5.5 3.67 27.5 2.2
3、京沪高速公路全长约为1262 km ，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系？变量t是v的函数吗？为什么？
变量t 可以用含有v的式子表示为 t = 的形式
符合函数的概念，变量t是变量v的函数.
做一做
舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼，这样的效果就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的，因为当电流I较小时，灯光较暗；反之，当电流I较大时，灯光较亮.
舞台光线忽明忽暗，你知道其中的奥妙吗？
小常识
变量P与S之间的关系可以表示成： ；
变量I与R之间的关系可以表示成： ；
变量t与v之间的关系可以表示成：
一般地，如果两个变量x,y之间的关系可以表示
成 y= （k为常数，k≠0）的形式，那么称y是
x的反比例函数.
议一议
在上述3个问题中，
注：反比例函数的自变量x不能为零.
P =
50
S
在下列函数表达式中，x均表示自变量.
① ； ② ； ③ =－2；
④ ； ⑤ ；
⑥ (m为常数，m≠0）.
其中是反比例函数的有： （填序号）.
① ③ ④ ⑤ ⑥
练一练
你能举出反比例函数的实例吗？写出函数表达式.
一个矩形的面积为20cm2,相邻的两条边长分别为 x cm和 y cm，那么变量 y 是变量 x 的函数吗？是反比例函数吗？为什么？
解：y是x的函数，也是反比例函数.因为
y= ，符合反比例函数概念.
做一做
某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m（公顷/人）是全村人口数n的函数吗？是反比例函数吗？为什么？
解：m是n的函数，也是反比例函数.因为
m= ，符合反比例函数概念 .
做一做
y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值.
（1）试写出这个反比例函数的表达式
解：（1）设y= .
做一做
x －2 －1 1 3
y 2 －1
把x= －1，y=2代入上式，得k=－2. 所以y= .
（2）根据函数表达式完成上表.
做一做
x －2 －1 1 3
y 2 －1
y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值.
－3
2
1
4
－4
－2
确定反比例函数的表达式关键是确定非零常数k的值.
例：已知y是x的反比例函数，当x=5时，y=2.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x=-4时，y的值是多少？
试一试
练一练
1、用8100元钱去买预防SARS病毒的药品，药品的单价x（元/千克）与所买药品重量y间的函数关系式为＿＿＿＿＿.
2、10kg的气体装入某个体积为Vm3的容器中，气体密度为ρkg/m3，试写出密度与体积间的关系式.
练一练
3、生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中， x 和y成反比例函数关系的有几个？ （ ）
（1） x人共饮水10kg，平均每人饮水y kg
（2）底面半径为x m、高为y m的圆柱形水桶的体积为πm3
（3）用铁丝做一个圆，铁丝的长为x cm，做成圆的半径为y cm
（4）在水龙头前放满一桶水，出水的速度为x ，放满一桶水的时间为y
练一练
4、一个矩形的长为 x ，宽为 y ，下列给出的条件中能使y是x的反比例函数的是（ ）
A. 矩形的周长为定值
B. 矩形的对角线长为定值
C. 矩形的面积为定值
D.矩形的长、宽之比为定值
C
小 结
1、反比例函数的概念；
2、反比例函数的表达式：
关键是确定非零常数k的值.(共34张PPT)
课题学习
猜想,证明与拓广
世界三大几何难题
平面几何作图限制只能用直尺、圆规,而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺.用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形,但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来.有些问题看起来好像很简单,但真正做出来却很困难,这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题.
化圆为方——求作一正方形使其面积等于一已知圆
圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？
若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段）
化圆为方
对于某些角如900、1800三等分并不难,但是否所有角都可以三等分呢？例如600,若能三等分则可以做出200的角,那么正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为3600/18=200）.
其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的.
三等分任意角
倍立方
倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍
世界三大几何难题解答 反馈
这些问题困扰数学家一千多年都不得其解,而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的.
1637年笛卡儿创建解析几何以后,许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根）,化圆为方的不可能性也得以确立 .
猜想,证明与拓广
1.任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍
2.你准备怎么去做
3.你是怎么做的
4.你有哪些解决方法
5.你提出新的问题吗
解:设给定的正方形边长为a,则其面积是a2.
猜想,证明与拓广
若周长倍增,即边长变为2a,则面积应为4a2;
若面积倍增,即面积变为2a2,则其边长应为 a.
无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形.
a
a2
2a
4a2
2a2
a
猜想,证明与拓广
任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍
提示:
矩形的形状太多了我们可以先研究一个具体的矩形,比如长和宽分别为2和1,怎么样
由特殊到一般
解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2.
所求矩形的周长和面积应分别为12和4.
2
1
2
4
12
接下来该怎么做 你有何想法
有两种思路可供选择:
先从周长是12出发,看面积是否是4;
或先从面积是4出发,看周长是否是12.
(1)从周长是12出发,看面积是否是4;
如果设所求矩形的长为x,那么它宽为6-x,其面积为x(6-x).根据题意,得
x(6-x)=4.
即 x2-6x+4=0.
如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在.
解这个方程得:
猜想,证明与拓广
结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.
(2)从面积是4出发,看周长是否是12.
解:如果设所求矩形的长为x,那么宽为4/x,其周长为x+4/x).根据题意,得
x+4/x=6.
即 x2-6x+4=0.
显然这个方程有解,由此说明这样的矩形存在.
解这个方程得:
猜想,证明与拓广
结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.
由特殊到一般
如果已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的结论
如果已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,……,n和1呢
更一般地,当已知矩形的长和宽分别为m和n时,是否仍然有相同的结论
还等什么！用实际行动证明:第一个得到结论的是我!
由特殊到一般
分析:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为4(m+n)和2mn.
从周长是4(m+n)出发,看面积是否是2mn;
解:如果设所求矩形的长为x,那么它宽为2(m+n)-x,其面积为x[2(m+n)-x].根据题意,得
x[2(m+n)-x]=2mn.
即 x2-2(m+n)x+2mn=0.
解这个方程得:
若从面积是2mn出发,可得同样的结论.
结论:任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.
猜想,证明与拓广
老师期望:
同学们,把自己对上述探究过程中的方法和感受与同伴进行交流,这样会使受益匪浅.
提示:
在探索结论:“任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.”的过程中,我们经历了猜想,由特殊到一般的尝试,证明,拓广的全过程,从而得到了一般性的结论.
任意给定一个矩形,是否一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半
你准备怎么去做
猜想,证明与拓广
小明认为,这个结论是正确的,理由是:既然任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.也就是任何一个矩形 的周长和面积可以同时“加倍”,那么,原矩形自然满足新矩形的“减半”要求,即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半.
猜想,证明与拓广
小明认为,这个结论是正确的,理由是:既然任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍.也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍”,那么,原矩形自然满足新矩形的“减半”要求,即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半.
如果矩形的长和宽分别仍为2和1,那么是否存在一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半
如果已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的结论
如果已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,……,n和1呢
由特殊到一般
解:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积应分别为3和1.设所求矩形的长为x,那么它宽为1.5-x,其面积为x(1.5-x).根据题意,得
x(1.5-x)=1.
即 2x2-3x+2=0.
如果这个方程有解,则说明这样的矩形存在.
由b2-4ac=32-4×2×2=-7<0,知道这个方程没有实数根.
由特殊到一般
结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,那么不存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.
解:当如果矩形的长和宽分别为3和1,4和1,5和1时.设所求矩形的长为x, 根据题意所得的方程均有没有实数根解,则说明这样的矩形不存在.
结论:如果矩形的长和宽分别为2和1,3和1,4和1,5和1时.都不存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.
由特殊到一般
由特殊到一般
我们已经知道:如果矩形的长和宽分别为2和1,3和1,4和1,5和1时.都不存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.这个结论是否具有一般性
如果这个结论不具有一般性,那么当矩形的长和宽满足什么条件时,才存在一个新的矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半 你能再找出这样的一个例子吗
由特殊到一般
解:如果矩形的长和宽分别为6和1,那么其周长和面积分别为14和6,所求矩形的周长和面积应分别为7和3.设所求矩形的长为x,那么它宽为3.5-x,其面积为x(3.5-x).根据题意,得
x(3.5-x)=3.
即 2x2-7x+6=0.
由b2-4ac=72-4×2×6=1>0,知道这个方程有实数根:
结论:如果矩形的长和宽分别为6和1时.存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.
由特殊到一般
解:如果矩形的长和宽分别为m和n,那么其周长和面积分别为2(m+n)和mn,所求矩形的周长和面积应分别为m+n和mn/2.设所求矩形的长为x,那么它宽为(m+n)/2-x,其面积为x[(m+n)/2-x].根据题意,得
x[(m+n)/2-x]=mn/2.
即 2x2-(m+n)x+mn=0.
由Δ=b2-4ac=(m+n)2-4×2×mn=m2+n2-6mn.
知道只有当m2+n2≥6mn时,这个方程才有实数根:
结论:如果矩形的长和宽满足m2+n2≥6mn时.才存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.
问题1、（1）任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？
解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,若面积变为2a2,则其边长应为
此时周长应为 它不是已知给定的正方形的周长的2倍.所以无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形.
(2)任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍
矩形的形状太多了,我们可以先研究一个具体的矩形.
合作交流，解读探究
如果已知矩形的长和宽分别为2和1,结论会怎样呢 你是怎么做的 和同伴交流.
总结如下:有三种思路可以选择:
(1)先固定所求矩形的周长,将问题化为方程x(6-x)=6是否有解的问题.
(2)先固定所求矩形的面积,将问题转化为方程x+4/x=6是否有解的问题.
(3)也可以根据已知矩形的长和宽分别为2和1,那么其周长和面积分别为6和2,所求矩形的周长和面积应分别为12和4,设其长和宽分别为x和y,则得方程
组 然后讨论它的解是否符合题意.
议一议:当已知矩形的长和宽分别为3和1,是否还有相同的结论 已知矩形的长和宽分别为4和1,5和1,……n和1呢？
更一般地，当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？
解:(1)当已知矩形的长和宽分别为3和1,那么其周长和面积分别为8和3,所求矩形的周长为16,面积为6,设所求矩形的长为x,则宽为8-x,则有x(8-x)=6,
即x2-8x+6=0.解得:
经检验符合题意,所以存在一个矩形,长为
宽为
解:当已知矩形的长和宽分别为n和m时,那么其周长和面积分别为2(m+n),和mn,所求的矩形周长和面积为4(m+n)和2mn.设所求矩形的长为x,那么宽为2(m+n)-x,根据题意,得x[2(m+n)-x]=2mn.
整理得,x2-2(m+n)x+2mn=0
解得:
结论: 任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.
经检验x1,x2符合题意,所以存在一个矩形,它的长为
宽为
练一练:当已知矩形的长和宽分别为n和m时，是否仍然有相同的结论？
挑战自我
1.观察下列各式:
你能得到怎样的结论 并证明你的结论.
解题思路:通过类比引伸推广,归纳出一般结论,解题关键是探索归纳,猜想.
2.已知:(1)如图,AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D, AD和BC相交于点E,EF⊥BD于点F.
求证:
(2)若将图1中的垂直改为斜交,如图2,AB//CD,AD与BC相交于点E,EF//AB交BD于点F,则(1)的结论还成立吗 如果成立,请给予证明;不成立,请说明理由.
(3)猜想SΔABD、SΔBED和SΔBDC有什么关系 并证明你的猜想.
超越自我:已知等边ΔABC和点P,设点P到ΔABC三边AB,AC,BC的距离分别为 h1,h2,h3 .ΔABC的高为h.
若点P在一边BC上如图(1),此时h3=0,可得结论:“h1+h2+h3=h”，请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P在ΔABC内,如图(2),点P在ΔABC外,如图(3),这两种情况时,上述结论是否还成立 若成立,请给予证明;若不成立, h1,h2,h3 与h又有怎样的关系,请写出你的猜想,并证明你的猜想.
N
Q
证明:过P作NQ//BC交AB、AC、AM分别为N、Q、K.由题意得:h1+h2=AK
K
∵NQ//BC,PF⊥BC,AM⊥BC,
∴∠KPF=∠MFP=∠KMF=900
∴四边形KMFP是矩形
∴KM=PF=h3
∵AK=AM-KM
∴h1+h2=h-h3
即h1+h2+h3=h
图3又有怎样的关系呢
解:如图2,当点P在ΔABC内部时,结论:“h1+h2+h3=h”
仍然成立.
证明:设等边ΔABC的边长为a.连结PA、PB、PC，
∵SΔPAB+SΔPAC+SΔPBC=SΔABC
对于图3,又有怎样的关系 又如何证明
总结反思，拓展升华
思考：对于图1，为什么会成立？
对于图2呢？
对于图2,证明如下:(共18张PPT)
反比例函数的图象与性质
1. 下列函数中哪些是反比例函数？
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
y = 3x-1
y = 2x2
y =
x
1
y =
2x
3
y = 3x
y =
x
1
y =
1
3x
y =
3
2x
2. 上节课我们学的反比例函数解析式是什么？
自变量x的取值范围是什么？
函数y的取值范围是什么？
x≠0 ，y≠0
（k ≠0，k是常数）
忆一忆
1. 我们已研究过正比例函数，一次函
数的图像，那反比例函数的图像是否象
前面所学的函数一样是直线呢？
2. 图像会与坐标轴相交吗，为什么？
（不相交，x≠0 ，y≠0）
想一想
本节目标：
1.进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例
函数的图象。
2.体会函数的三种表示方法的相互转化，对函
数进行认识上的整合.
解析法
列表法
图象法
作反比例函数 的图象
问：还记得作函数图象的一般步骤吗？
连线
列表
描点
1.列表
x -8 -4 -3 -2 -1 - 1 2 3 4 8
-
-1
-
-2
-4
-6
4
2
1
6
试一试
你还记得一次函数的图象与性质吗
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条
直线,称直线y=kx+b.
反比例函数的图象又会是什么样子呢
x -8 -4 -3 -2 -1 - 1 2 3 4 8
- -1 - -2 -4 - 6 6 4 2 1
描点：
连线：
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
x
y
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
以表中相对应的值作为点的坐标.在直角坐标系内描出相应的点
用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数 的图象
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
x
y
-
-
做一做
作反比例函数
的图象
1. 如果列表时所取的数值不同，那么图象的形状是否相同？
2.函数 和 的图象的两个分支能经过旋转或平移相互得到吗？
-
两个图象自身都是轴对称图形，关于原点中心对称
议一议
K<0
K<0
K>0
K>0
o
x
y
o
x
y
x取不为0的
所有实数
o
x
y
o
x
y
y=kx(k≠0)
x取一切实数
反比例函数
正比例函数
性
质
图
像
函数解析式和自变量取值范围
函数名称
比
一
比
作反比例函数的图象
反比例函数的图象
反比例函数 的图象是由两支曲线组成的。
当 K>0 时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当 K<0 时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
1.列表时,自变量的值可以选取一些互为相反数的值,这样既可简化计算,又便于对称性描点;
2.列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样既可以方便连线(平滑的曲线),又较准确地表达函数的变化趋势;
3.描点时一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线,从中体会函数的增减性；
4.连线时必须用光滑的曲线连接各点.
5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交
小结
1.函数 的图像在第_____象限，函数 的图象在第 象限。
2. 双曲线 经过点（-3，___）
y =
x
5
y =
1
3x
3.函数 的图像在二、四象限，则m的取值范围是 ____ .
4.对于函数 ，这部分图像在第 ________象限.
5.函数 , y 随 x 的减小而增大，则m= ____.（此函数是反比例函数）
y =
1
2x
m-2
x
y =
y =(2m+1)xm+2m-16
2
测一测
二,四
m < 2
一、三
3
9
1
x
y
一、三
2.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有____________;
在其所在的象限内，y随x的增大而增大的有___________.
（1）（2）（3）
(4)
1.在下列函数中哪些是反比例函数？
其中每一个反比例函数中相应的k值是多少？
（1）y=1/2x （2）x y=-6 （3）y= 2/∏
（4）2xy+1=0 （5）y=3/x +1 （6）y=2 x-1
做一做
3.下列的数表中分别给出了变量y与x之间的
对应关系，其中是反比例函数关系的是（ ）
x
1
2
3
4
y
6
8
9
7
x
1
2
3
4
y
8
5
4
3
x
1
2
3
4
y
5
8
7
6
x
1
2
3
4
y
1
1/2
1/3
1/4
(A)
(B)
(C)
(D)
D
4.反比例函数大致是（ ）
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
(A)
(B)
(C)
(D)
D
5.点（23，-3）在反比例函数y=k/x的图象上，则k=______。该函数的图象位于第_______象限，y随x增大而_______,点（-2，32）是否在这个函数图象上。若P（a, 2）是该函数上的一点，则a=_______.
6.反比例函数y=k2/x图象的两个分支分别位于_______象限。y随x增大而________.
4.若点A（1,a）.B（2.b）.C（-3.c）在反比例函数
y=1/x 的图象上，则__________(判断a,b,c的大小关系)。
7.已知反比例函数y =m+1 / x 的图象在所在象限内y随x增大而增大，则m的取值范围是___________.
8.当反比例函数y=m+1 / x的图象满足___________
时，m的取值范围是 m> -1 。
-69
2,4
增大
-69/2
1，3
减小
a>b>c
m<-1
y随x的增大而减小
9.已知函数y=k/x 的图象如下右图，则y=k x-2 的图象大致是（ ）
x
x
x
x
x
y
y
y
y
y
o
o
o
o
o
(A)
(D)
(C)
(B)
D
