1.1.2 集合间的基本关系
自主学习
了解子集、真子集、空集的概念，掌握用Venn图表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义．
1．一般地，对于两个集合A、B，如 ( http: / / www.21cnjy.com )果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．
2．如果集合A是集合B的子集(A B ( http: / / www.21cnjy.com ))，且集合B是集合A的子集(B A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A＝B.
3．如果集合A B，但存在元素x∈B，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)．
4．不含任何元素的集合叫做空集，记作 .
5．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集．
对点讲练
写出给定集合的子集
【例1】 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；
(2)填写下表，并回答问题.
原集合 子集 子集的个数
{a}
{a，b}
{a，b，c}
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？
解 (1)不含任何元素的集合： ；
含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}；
含有两个元素的集合：{0,1}，{0,2}，{1,2}；
含有三个元素的集合：{0,1,2}．
故集合{0,1,2}的所有子集为 ，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．
其中除去集合{0,1,2}，剩下的都是{0,1,2}的真子集．
(2)
原集合 子集 子集的个数
1
{a} ，{a} 2
{a，b} ，{a}，{b}，{a，b} 4
{a，b，c} ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8
这样，含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.
规律方法 (1)分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏．
(2)集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，(2n－1)个非空子集，(2n－2)个非空真子集．
变式迁移1 已知集合M满足{1,2} M {1,2,3,4,5}，写出集合M.
解 由已知条件知所求M为：{1,2}， ( http: / / www.21cnjy.com ){1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
集合基本关系的应用
【例2】 (1)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1
(2)本例(1)中，若将“B A”改为“A B”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？
解 (1)∵B A，
①当B＝ 时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
②当B≠ 时，有，
解得－1≤m<2，
综上得m≥－1.
(2)显然A≠ ，又A B，∴B≠ ，
如图所示，
∴，解得m∈ .
规律方法 (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴， ( http: / / www.21cnjy.com )利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．
变式迁移2 已知A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx＝1}，若B?A，求实数m所构成的集合M.
解 由x2－5x＋6＝0得x＝2或x＝3.∴A＝{2,3}
由B?A知B＝ 或B＝{2}或B＝{3}
若B＝ ，则m＝0；
若B＝{2}，则m＝；
若B＝{3}，则m＝.
∴M＝.
集合相等关系的应用
【例3】 已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}且A＝B，求x，y的值．
解 方法一 ∵A＝B，
∴集合A与集合B中的元素相同，
∴或，
解得x，y的值为或或
验证得，当x＝0，y＝0时，
A＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．
∴x，y的取值为或
方法二 ∵A＝B，∴A、B中元素分别对应相同．
∴
即
∵集合中元素互异，∴x、y不能同时为0.
∴y≠0.由②得x＝0或y＝.
当x＝0时，由①知y＝1或y＝0(舍去)；
当y＝时，由①得x＝.
∴或
规律方法 集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解．
变式迁移3 含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a2，a＋b,0}，求a，b.
解 由集合相等得：0∈，易知a≠0，
∴＝0，即b＝0，∴a2＝1且a2≠a，∴a＝－1.
综上所述：a＝－1，b＝0.
1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“”表示，集合、集合间的关系用“ ”、“＝”或“?”等表示．
2．在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合B＝{ ，{0}，{1}，{0,1}}，则此时{1}∈B，而不能是{1}?B.
3．解集合关系的问题时还需注意以下几个方面：
(1)当A B时，A＝B或A?B.
(2)判断两个集合间的关系：①先用列举法表示两个集合再判断；②分类讨论．
(3)解数集问题学会运用数轴表示集合．
(4)集合与集合间的关系可用Venn图直观表示．
课时作业
一、选择题
1．下列命题
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 ?A时，则A≠ .
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 仅④是正确的．
2．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3A．{a|3答案 B
解析 ∵A B，∴
∴3≤a≤4.
3．设B＝{1,2}，A＝{x|x B}，则A与B的关系是( )
A．A B B．B A C．A∈B D．B∈A
答案 D
解析 ∵B的子集为{1}，{2}，{1,2}， ，
∴A＝{x|x B}＝{{1}，{2}，{1,2}， }，∴B∈A.
4．若集合A＝{x|x＝n，n∈N}，集合B＝，则A与B的关系是( )
A．A?B B．A?B C．A＝B D．A∈B
答案 A
5．在以下六个写法中：①{ ( http: / / www.21cnjy.com )0}∈{0,1}；② ?{0}；③{0，－1,1} {－1,0,1}；④0∈ ；⑤Z＝{正整数}；⑥{(0,0)}＝{0}，其中错误写法的个数是( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
答案 B
二、填空题
6．满足{0,1,2}?A {0,1,2,3,4,5}的集合A的个数是________．
答案 7
解析 本题即求集合{3,4,5}的非空子集个数，共23－1＝7个．
7．设M＝{x|x2－1＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N M，则a的值为________．
答案 ±1或0
8．若{x|2x－a＝0，a∈N} {x|－1答案 {0,1,2,3,4,5}
三、解答题
9．设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求实数a、b的值．
解 ∵A＝B且1∈A，∴1∈B.
若a＝1，则a2＝1，这与元素互异性矛盾，∴a≠1.
若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍)．
∴A＝{1，－1，b}，∴b＝ab＝－b，即b＝0.
若ab＝1，则a2＝b，得a3＝1，即a＝1(舍去)．
故a＝－1，b＝0即为所求．
10．已知集合A＝{x|－2k＋3解 ∵A?B，①若A＝ ，且B≠ ，
则k>0，且－2k＋3≥k－2 0②若A≠ ，且B≠ ，则
且－k＝－2k＋3与k＝k－2不同时成立，
解得由①②可得实数k的取值范围为{k|0【探究驿站】
11．已知集合M＝{x|x＝m＋，m∈Z}，N＝{x|x＝－，n∈Z}，P＝{x|x＝＋，p∈Z}，请探求集合M、N、P之间的关系．
解 M＝{x|x＝m＋，m∈Z}
＝{x|x＝，m∈Z}．
N＝{x|x＝－，n∈Z}
＝{x|x＝，n∈Z}．
P＝{x|x＝＋，p∈Z}
＝{x|x＝，p∈Z}．
∵3n－2＝3(n－1)＋1，n∈Z，
∴3n－2,3p＋1都是3的整数倍加1，从而N＝P.
而6m＋1＝3×2m＋1是3的偶数倍加1，
∴M?N＝P.1.3.2 奇偶性(二)
自主学习
1．巩固函数奇偶性的性质，并能熟练应用．
2．能利用函数的奇偶性、单调性解决一些综合问题．
1．定义在R上的奇函数，必有f(0)＝0.
2．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M.
3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则有f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
4．下列论断正确的为________(填序号)．
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称；
(3)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数．
答案 (2)(4)
5．函数f(x)＝|x|的奇偶性为________，单调递增区间为________，单调递减区间为__________．
答案 偶函数 [0，＋∞) (－∞，0]
6．函数f(x)＝x|x|的奇偶性为__________，单调递增区间为____________．
答案 奇函数 (－∞，＋∞)
对点讲练
奇、偶函数的图象的性质
【例1】 设奇函数f(x)的定义域 ( http: / / www.21cnjy.com )为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．
分析 利用奇函数图象的性质，画出函数在[－5,0]上的图象，直接从图象中读出信息．
答案 (－2,0)∪(2,5)
解析
由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－ ( http: / / www.21cnjy.com )5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
规律方法 利用函数的奇偶性作图，其 ( http: / / www.21cnjy.com )依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称，画图象时，一般先找出一些关键点的对称点，然后连点成线．
变式迁移1 已知y＝f(x)和y＝g(x) ( http: / / www.21cnjy.com )都是定义在[－π，π]上的函数，y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式<0的解集为______________．
答案 (－，0)∪(，π)
解析 利用图象的对称性，画出f(x)在[－π，0]上的图象如图所示．
<0，即f(x)与g(x)异号．
观察图象知，符合条件的x的范围为－利用奇偶性求函数解析式
【例2】 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋3x－1，求f(x)的解析式．
分析 由奇函数的定义知f(0)＝0，再由f(－x)＝－f(x)可得当x<0时f(x)的表达式，构成定义在R上的奇函数．
解 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．∵当x<0时，－x>0，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)－1]
＝－x2＋3x＋1.
又奇函数f(x)在原点有定义，∴f(0)＝0.
∴f(x)＝.
规律方法 (1)在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间里．
(2)然后要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性把f(－x)写成－f(x)或f(x)，从而解出f(x)．
变式迁移2 已知f(x)是偶函数，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x＋1，试求函数f(x)在x∈[－1,1]上的表达式．
解 任取x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]，
f(－x)＝－x＋1.
又f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－x＋1.
所以f(x)＝
函数奇偶性与单调性的综合运用
【例3】 设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
解 由f(m)＋f(m－1)>0，
得f(m)>－f(m－1)，
∵f(x)在[－2,2]上为奇函数，
∴f(1－m)又∵f(x)在[0,2]上为减函数，
∴f(x)在[－2,2]上为减函数．
∴，
即，
解得－1≤m<.
规律方法 解决此类问题时一定要充 ( http: / / www.21cnjy.com )分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)变式迁移3 设定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1－m)解 ∵g(x)是定义在[－2,2]上的偶函数，
且在[0,2]上单调递减，
∴g(x)在[－2,0]上单调递增，
又∵g(1－m)∴，解得－1≤m<.
奇偶函数的主要性质
1．奇函数的图象关于原点对称 ( http: / / www.21cnjy.com )，偶函数的图象关于y轴对称，故可直接根据函数图象的对称性来判断函数的奇偶性．画函数图象时首先判断奇偶性，作图比较方便．
2．(1)根据奇函数的定义， ( http: / / www.21cnjy.com )如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．
3．具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
课时作业
一、选择题
1．对于定义在R上的任何奇函数f(x)都有( )
A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·[－f(－x)]≤0 D．f(x)·[－f(－x)]≥0
答案 D
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)·[－f(－x)]＝f2(x)≥0.
2．函数f(x)＝的图象关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线y＝x对称
答案 B
3．若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[－3，－1]上( )
A．是减函数，有最小值0 B．是增函数，有最小值0
C．是减函数，有最大值0 D．是增函数，有最大值0
答案 D
解析 由于奇函数的图象关于原点成中心对称，故奇函数的图象在对称区间上具有相同的单调性，且一侧的最小值对应另一侧的最大值，故选D.
4．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)答案 A
解析 因为当x∈[0，＋∞)时， ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)是增函数，所以有f(2)5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A. B. C. D.
答案 A
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)．
则f(|2x－1|)又∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴|2x－1|<，解得二、填空题
6．定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝，则常数m、n的值分别为________．
答案 0、0
解析 由f(0)＝0知m＝0.由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，即＝－，
∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，
∴n＝0.
7．若f(x)是偶函数，其定义域为R且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f(a2－a＋1)的大小关系是________．
答案 f(a2－a＋1)≤f
解析 显然a2－a＋1≥.又∵f(x)在[0，＋∞)上是减函数，
∴f(a2－a＋1)≤f.又f(x)是偶函数，
∴f＝f，∴f(a2－a＋1)≤f.
三、解答题
8．已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝x2－x＋2，求f(x)，g(x)的解析式．
解 ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
又∵f(x)＋g(x)＝x2－x＋2，①
∴f(－x)＋g(－x)＝x2＋x＋2，
即－f(x)＋g(x)＝x2＋x＋2②
由①、②得g(x)＝x2＋2，f(x)＝－x.
9．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
(1)解 ∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，即＝.
∴b＝－b，∴b＝0.
∵f＝，∴＝，∴a＝1.
∴函数解析式为f(x)＝ (－1(2)证明 任取x1，x2∈(－1,1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝，
∵－1∴x1－x2<0,1－x1x2>0，(1＋x)(1＋x)>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)为(－1,1)上为增函数．
(3)解 ∵f(t－1)＋f(t)<0，∴f(t－1)<－f(t)．
∵f(x)是(－1,1)上的奇函数，∴f(－t)＝－f(t)，∴f(t－1)∵f(x)为(－1,1)上的增函数，
∴ 解得0∴不等式的解集为.第一章 集合与函数概念 章末复习课
知识概览
对点讲练
分类讨论思想在集合中的应用
分类讨论思想是高中的重要数学思想 ( http: / / www.21cnjy.com )之一，分类讨论思想在与集合概念的结合问题上，主要是以集合作为一个载体，与集合中元素结合加以考查，解决此类问题关键是要深刻理解集合概念，结合集合中元素的特征解决问题．
1．由集合的互异性决定分类
【例1】 设A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，则实数a＝________.
分析 由A∩B＝{9}知集合A与B中均含有9这个元素，从而分类讨论得到不同的a的值，注意集合中元素互异性的检验．
答案 －3
解析 由A∩B＝{9}，得2a－1＝9，或a2＝9，
解得a＝5,3，－3.
当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，
A∩B＝{9，－4}，与A∩B＝{9}矛盾；
当a＝3时，a－5＝－2,1－a＝－2，B中元素重复，舍去；
当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，满足题设．
∴a＝－3.
规律方法 (1)本题主要考查了分类讨论的思想在集合中的具体运用，同时应该注意集合中元素的互异性在集合元素的确定中起重要作用．
(2)本题在解题过程中易出现的错误：①分类讨论过于复杂；②不进行检验，导致出现增根；③分类讨论之后没有进行总结．
变式迁移1 全集S＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a＋11|,2}， SA＝{5}，求实数a的值．
解 因为 SA＝{5}，由补集的定义知，5∈S，但5A.
从而a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|2a＋11|＝15S，不符合题意；
当a＝－4时，|2a＋11|＝3∈S.故a＝－4.
2．由空集引起的讨论
【例2】 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}，若A∩B＝B，求实数p的取值范围．
解 ∵A∩B＝B，∴B A，
(1)当B＝ 时，即p＋1>2p－1，
故p<2，此时满足B A；
(2)当B≠ 时，又B A，借助数轴表示知
，故2≤p≤3.
由(1)(2)得p≤3.
规律方法 解决这类问题常用到分类讨论的方法． ( http: / / www.21cnjy.com )如A B即可分两类：(1)A＝ ；(2)A≠ .而对于A≠ 又可分两类：①A?B；②A＝B.从而使问题得到解决．需注意A＝ 这种情况易被遗漏．解决含待定系数的集合问题时，常常会引起讨论，因而要注意检验是否符合全部条件，合理取舍，谨防增解．
变式迁移2 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|mx－2＝0}，若B A，求由实数m构成的集合．
解 A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}
当m＝0时，B＝ ，符合B A；
当m≠0时，B＝{x|x＝}，由B A知，＝1或＝2.即m＝2或m＝1.
故m所构成的集合为{0,1,2}．
数形结合思想在函数中的应用
数形结合是本章最重要的数学思想方法，通过画出函数的图象，使我们所要研究的问题更加清晰，有助于提高解题的速度和正确率．
【例3】 设函数f(x)＝x2－2|x|－1 (－3≤x≤3)，
(1)证明f(x)是偶函数； (2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
(4)求函数的值域．
(1)证明 f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)解 当x≥0时，
f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
当x<0时，
f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
即f(x)＝.
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．
(3)解 函数f(x)的单调区间为
[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．
f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上为减函数，
在[－1,0)，[1,3]上为增函数．
(4)解 当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；
当x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2.
故函数f(x)的值域为[－2,2]．
规律方法 函数的图象是函数的重要表 ( http: / / www.21cnjy.com )示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．
变式迁移3 当m为何值时，方程x2－4|x|＋5＝m有4个互不相等的实数根？
解 令f(x)＝x2－4|x|＋5，
则f(x)＝
那么原问题转化为探求m为何值时，函数 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)的图象与直线y＝m有4个交点．作出f(x)的图象，如图所示．由图象可知，当1等价转化思想的应用
数学问题中，已知条件是结论成立的保证．但有的 ( http: / / www.21cnjy.com )问题已知条件和结论之间距离比较大，难以解出．因此，如何将已知条件经过转化，逐步向所求结论靠拢，是解题过程中经常要做的工作．变更条件就是利用与原条件等价的条件去代替，使得原条件中隐含的因素显露出来，使各种关系明朗化，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间的内在联系，以便应用数学规律、方法将问题解决．
【例4】 对任意x∈[1，＋∞)，不等式x2＋2x－a>0恒成立．求实数a的取值范围．
解 方法一 由已知x∈[1，＋∞)，x2＋2x－a>0恒成立，
即a令g(x)＝x2＋2x，x∈[1，＋∞)，
则原问题可转化为a小于g(x)在[1，＋∞)上的最小值．
∵g(x)＝(x＋1)2－1，图象的对称轴为x＝－1，
∴函数g(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴x＝1时，g(x)取最小值g(1)＝3.∴a<3.
即所求a的取值范围是(－∞，3)．
方法二 当x∈[1，＋∞)时，x2＋2x－a>0恒成立，
令f(x)＝x2＋2x－a，x∈[1，＋∞)，
则有x∈[1，＋∞)时，f(x)>0恒成立，
f(x)＝(x＋1)2－a－1，x∈[1，＋∞)，
∴f(x)min＝f(1)＝3－a，问题转化为3－a>0，
即a<3.∴所求a的取值范围为(－∞，3)．
规律方法 本题关键是将不等式恒成立 ( http: / / www.21cnjy.com )问题转化为求函数最值问题，即f(x)>a恒成立 f(x)min>a，f(x)变式迁移4 已知函数f(x)＝的定义域为R，求m的取值范围．
解 f(x)＝的定义域为R，即等价于x∈R时，mx2＋mx＋1≥0恒成立．
当m＝0时，1≥0满足要求，
当m≠0时，则，解得：0综上，m的取值范围为[0,4)．
数学思想方法是从数学内容中提炼出来的 ( http: / / www.21cnjy.com )数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁．在日常学习中，同学们要注意数学思想方法在解题中的运用，要增强运用数学思想方法解决问题的意识，从而迅速找到解题思想或简化解题过程．
课时作业
一、选择题
1．设集合S＝{x||x－2|>3}，T＝{x|aA．－3－1
答案 A
解析 ∵|x－2|>3，∴x>5或x<－1.
∴S＝{x|x>5或x<－1}．
又T＝{x|a∴ ∴－32．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A．fC．f(2)答案 D
解析 由f(x)是偶函数，
得f(2)＝f(－2)，
又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，
且－2<－<－1，
则f(－2)＝f(2)3．如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是( )
A．增函数且最小值为3 B．增函数且最大值为3
C．减函数且最小值为－3 D．减函数且最大值为－3
答案 D
解析 当－5≤x≤－1时1≤－x≤5，
∴f(－x)≥3，即－f(x)≥3.
从而f(x)≤－3，
又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，
故f(x)在[－5，－1]是减函数．故选D.
4．定义在区间(－∞，＋ ( http: / / www.21cnjy.com )∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)的图象与f(x)的图象重合，设a①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)；②f(b)－f(－a)③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)；④f(a)－f(－b)其中成立的是( )
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
答案 D
解析 本题采用特值法求解．
不妨取符合题意的函数f(x)＝x及g(x)＝|x|，进行比较或由g(x)＝
f(0)＝0，f(a)f(－b)>0得出．
5．已知y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数F(x)＝f(x)·g(x)的图象可以是( )
答案 A
解析 由图象可知函数y＝f(x)与y＝g(x)均为奇函数．
f(－x)＝－f(x)，g(－ ( http: / / www.21cnjy.com )x)＝－g(x)，F(x)＝f(x)·g(x)＝[－f(－x)]·[－g(－x)]＝F(－x)．所以函数F(x)＝f(x)·g(x)为偶函数．注意到函数y＝f(x)的图象在y轴右侧部分先小于0后大于0，而函数y＝g(x)在右侧部分恒大于0，满足以上条件的只有A.
二、填空题
6．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}， UA＝{5}，则实数a的值为________．
答案 2
解析 ∵ UA＝{5}，∴5∈U且5A.
∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|2a－1|＝3≠5且3∈U，
当a＝－4时，|2a－1|＝9≠5，但是9U.
故a的值为2.
7．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝______.
答案 －2
解析 f(x＋4)＝f(x)，∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2.
8．有下列四个命题：
①函数f(x)＝为偶函数；②函数y＝的值域为{y|y≥0}；
③已知集合A＝{－1,3}，B＝{x|ax－1＝0，a∈R}，若A∪B＝A，则a的取值集合为；
④集合A＝{非负实数}，B＝{实数}，对应法则f：“求平方根”，则f是A到B的映射．
写出所有正确命题的序号________．
答案 ②④
解析 函数f(x)＝的定义域为(－∞， ( http: / / www.21cnjy.com )2)∪(2，＋∞)，它关于坐标原点不对称，所以函数f(x)＝既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确；
函数y＝的定义域为{x|x≥1}，当x≥1时，y≥0，即命题②正确；
因为A∪B＝A，所以B A，若B＝ ，满足B A，这时a＝0；
若B≠ ，由B A，得a＝－1或a＝.
因此，满足题设的实数a的取值集合为，即命题③不正确．
依据映射的定义知，命题④正确．
三、解答题
9．设奇函数f(x)是定义在(－∞，＋ ( http: / / www.21cnjy.com )∞)上的增函数，若不等式f(ax＋6)＋f(2－x2)<0对于任意x∈[2,4]都成立，求实数a的取值范围．
解 由f(ax＋6)＋f(2－x2)<0
得f(ax＋6)<－f(2－x2)．
∵f(x)为奇函数，∴f(ax＋6)又f(x)在R上为增函数，
∴原问题等价于ax＋6即x2－ax－8>0对x∈[2,4]都成立．
令g(x)＝x2－ax－8，问题又转化为：在x∈[2,4]上，
g(x)min>0 或或
解得a<－2.综上，a∈(－∞，－2)．
10．设函数f(x)＝(a，b，c∈N)是奇函数，且f(1)＝2，f(2)<3.
(1)求a，b，c的值；
(2)试研究x<0时，f(x)的单调性，证明你的结论．
解 (1)由f(1)＝2，得＝2，由f(2)<3，得<3，
因为f(x)为奇函数，故f(x)的定义域关于原点对称．
又f(x)的定义域为(显然b≠0，否则f(x)为偶函数)，所以－＝0，则c＝0，
于是得f(x)＝x＋，且＝2，<3，
∴<3，∴b<，又b∈N，∴b＝1，∴a＝1，
故a＝b＝1，c＝0.
(2)由(1)知f(x)＝x＋，
则f(x)在[1，＋∞)上单调递增
由于f(x)是奇函数，根据奇函数的对称性，可知f(x)在(－∞，－1]上是增函数，所以只需讨论f(x)在区间(－1,0)上的增减性即可，
当－1f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＝(x1x2－1)．
显然x1－x2<0,0∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在(－1,0)上为减函数．
综上所述，f(x)在(－∞，－1]上是增函数，在[－1,0)上是减函数．第一章 集合与函数概念
§1.1 集 合
【入门向导】 渔民与数学家的故事
一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也 ( http: / / www.21cnjy.com )想不明白集合的意义，于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”集合是不定义的概念，数学家很难回答那位渔民，有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下鱼网，轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”这一网鱼虾可以构成一个集合，网中的这些鱼也可以构成一个集合，这些虾也可以构成一个集合，那将形成鱼虾集合、鱼集合与虾集合，这三个集合之间又有怎样的关系呢？同学们，你能告诉渔民吗？
解读集合的有关概念
一、注意集合的概念与“全体”的区别
集合的概念是现代数学中不 ( http: / / www.21cnjy.com )定义的原始概念．集合的概念虽然也含有“全体”的意思，但是与通常所理解的全体是有区别的，集合中的元素必须是确定的，必须能判断任何一个对象是不是它的元素，而全体则不一定能成为一个集合．例如，“我校高一学生中高个子同学的全体”就不能构成集合，而“我校高一学生中所有身高高于170厘米的同学的全体”则能构成集合．
二、加强对集合元素的三大特性的理解
1．确定性：对于一个集合中每一个元素都是 ( http: / / www.21cnjy.com )可以客观的用一个标准明确地来判断该元素是或不是集合中的元素．如上述“高个子同学”并没有明确的标准来判断身高为多高是“高个子”，即集合中的元素是不确定的．
2．互异性：所谓互异是指集合中的元素必须是互不相同的，不会有完全相同的元素．在解题中尤其要注意对结果进行检验，不能忽视．
例1 已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．
解 若x2＝0，则x＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
若x2＝1，则x＝±1.
当x＝1时，集合为{1,0,1}，舍去；
当x＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合．
若x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合互异性，都舍去．
综上可知：x＝－1.
3．无序性：集合是一个整体，集合 ( http: / / www.21cnjy.com )中的元素排列是没有顺序限制的，所以同学们应知道集合{a，b，c}，{b，a，c}，{c，b，a}都是同一集合．为帮助同学们记忆，特总结口诀如下：
集合平常很常用，数学概念各不同；
理解集合并不难，三个要素是关键；
元素确定与互异，还有无序要牢记．
三、注重对空集概念的理解
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 .空集是特殊的集合，不含有任何元素，规定它是有限集．
注意 ①空集和集合{0}是不同的， 是不含任何元素的集合，而{0}表示只含有一个元素“0”的集合．
② 和{ }也是不一样的， 是不含任何元素的集合，{ }表示只含有一个字母“ ”的集合，也可以看作由 作为元素构成的集合．
四、正确理解集合与集合的关系
集合与集合之间是包含关系，它反映出了“一个整体”相对于另“一个整体”之间的关系．包含关系有三种：子集、真子集和相等．
1．“集合A是集合B的子集”，意 ( http: / / www.21cnjy.com )思是集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，但不能把“集合A是集合B的子集”理解为集合A是由集合B中部分元素组成的集合，因为空集和集合B都是集合B的子集．
2．“集合A是集合B的真子集”有两层含义，一是集合A是集合B的子集，二是集合A与集合B不相等，即集合B中至少有一个元素不属于集合A.
3．要证明A＝B，只需要 ( http: / / www.21cnjy.com )证明A B且B A成立即可．即可设任意x0∈A，证明x0∈B从而得出A B.又设任意y0∈B，证明y0∈A从而得到B A，进而得到A＝B.
例2 已知集合A＝{x|x＝kπ＋，k∈Z}，B＝{x|x＝kπ＋，k∈Z}，判断集合A与集合B是否相等．可用列举法解之．
解 即A＝{…，，，，，…}，
B＝{…，，，，π，，…}．观察可知，A≠B.
4．若集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
集合易错点剖析
一、符号意义不清致错
例3 已知集合X＝{0,1}，Y＝{x|x X}，那么下列说法正确的是( )
A．X是Y的子集 B．X是Y的真子集
C．Y是X的真子集 D．X是Y的元素
错解 B
剖析 集合中符号意义必须清楚．
正解 因为Y＝{x|x X}＝{{ }，{0}，{1}，{0,1}}，所以X∈Y.故选D.
二、代表元素意义不清致错
例4 集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x＋2，x∈R}，则A∩B＝( )
A．{(－1,1)，(2,4)} B．{(－1,1)}
C．{(2,4)} D．
错解 由得或
故选A.
剖析 导致错误的原因是没有弄清 ( http: / / www.21cnjy.com )集合中元素的意义，A中的元素是实数y，而B中的元素是实数对(x，y)，也就是说，集合A为数集，集合B为点集，因此A、B两个集合中没有公共元素，从而这两个集合的交集为空集．
正解 D
三、忽视集合元素的互异性致错
例5 已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且A∩B＝{3,7}，求集合B.
错解 由A∩B＝{3,7}得a2＋4a＋2＝7，
解得a＝1或a＝－5.
当a＝1时，集合B＝{0,7,3,1}；
当a＝－5时，集合B＝{0,7,3}．
综上知集合B＝{0,7,3,1}或B＝{0,7,3}．
剖析 由题设条件知集合B中有四个元素，当集合中出现了相同的元素，与集合中元素的互异性矛盾，导致错解．
正解 应将当a＝－5时的集合B＝{0,7,3}舍去，
故集合B＝{0,7,3,1}．
四、忽视空集致错
例6 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围．
错解 由B A，得，解得2≤m≤3.
剖析 上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法．
原因是考虑不全面，由集合B的含义及B A，忽略了集合为 的可能而漏掉解．因此题目若出现包含关系时，应首先想到有没有出现 的可能．
正解 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B A.
①若B＝ ，则m＋1>2m－1，解得m<2，
此时有B A；
②若B≠ ，则m＋1≤2m－1，即m≥2，
由B A，得，解得2≤m≤3.
由①②得m≤3.
∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.
集合中的数学思想
一、分类讨论思想
分类讨论是高中学习中一种重要的 ( http: / / www.21cnjy.com )数学思想方法，也是一种基本的解题策略，是高考的重点与热点，也是高考的难点．“分类讨论”的数学思想的实质是把整体问题转化为局部问题进行解决，通俗地讲就是“化整为零，各个击破”的解题手段，或者说不同情况要采取不同的方法去对待，使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决．
在集合这一部分中，常见的分类讨论题型有以下几种：
1．根据集合元素特性分类讨论
在分析集合所含元素的情况时，常常会根据集合中的元素特性分类讨论，在解题中尤其要注意对结果进行检验．
例1 设集合A＝{2，a2－a＋2,1－a}，若4∈A，求a的值．
解 由集合元素的确定性知
a2－a＋2＝4或1－a＝4.
(1)解a2－a＋2＝4得a＝－1或a＝2.
a＝－1时，A＝{2,4,2}不满足集合中元素的互异性，
故a＝－1舍去；
a＝2时，A＝{2,4，－1}满足集合中元素的互异性，
故a＝2满足要求．
(2)解1－a＝4得a＝－3，此时A＝{2,4,14}满足集合中元素的互异性，故a＝2或a＝－3即为所求．
2．根据空集的特性分类讨论
空集是集合中一类特殊的集合，应特别 ( http: / / www.21cnjy.com )注意空集是任何集合的子集，不可忽视空集的特殊情况．因此在处理集合问题时，对未知集合进行空集与非空集合的讨论是十分重要的．
例2 已知A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，问m为何实数时，A∩B＝ 成立．
分析 此题已知A∩B＝ ，需按B＝ 和B≠ 进行分类讨论，同时还要注意m＋1和2m－1的大小关系．
解 (1)当B＝ 时，A∩B＝ 成立，
此时m＋1>2m－1，即m<2.
(2)当B≠ 时，欲使A∩B＝ 成立，实数m应满足或解得m>4.
故满足条件的m的取值范围是m<2或m>4.
3．根据子集的性质分类讨论
含参数的集合问题，这类问题是集合部分中最 ( http: / / www.21cnjy.com )常见的分类讨论题．解题时注意把集合的运算关系转译为包含关系，常需对已知集合的子集元素的个数进行分类讨论．
例3 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}且A∪B＝A，求实数a的值．
分析 解此题可先由A∪B＝A，得出B A，然后对集合B中的元素个数进行分类讨论．
解 ∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}
由A∪B＝A，得B A
(1)B＝ 时，Δ＝a2－4a＋4<0
∴这样的a不存在；
(2)B＝{1}时，∴a＝2；
(3)当B＝{2}时，
∴这样的a不存在；
(4)当B＝{1,2}时，∴a＝3.
∴由(1)(2)(3)(4)得：a＝2或a＝3.
分类讨论的数学思想是解集合题经常 ( http: / / www.21cnjy.com )会遇到的一种思想方法，分类要恰当、合理，做到“不重不漏”．解题时应特别注意对集合元素的特性的检验，特别注意空集是任何集合的子集，不可忽视空集的特殊情况．含参数的集合问题，注意把集合的运算关系转化为包含关系，克服分类讨论中的主观性和盲目性．
二、数形结合思想
数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言 ( http: / / www.21cnjy.com )与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易、化抽象为具体．通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题．集合中常用的方法是数轴法和Venn图法．
1．运用数轴
例4 已知集合A＝{x|x<－1，或x≥1}，B＝{x|2a解 ∵a<1，∴2a画出数轴分析，如图所示．
由图知要使B A，需2a≥1或a＋1≤－1，
即a≥或a≤－2.
又∵a<1，∴实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[，1)．
点评 解此类题要注意是否包括端点临界值．
2．运用Venn图
例5 已知全集U＝{x|x2<50，x∈ ( http: / / www.21cnjy.com )N}，L∩( UM)＝{1,6}，M∩( UL)＝{2,3}， U(M∪L)＝{0,5}，求集合M和L.
解 第一步：求得全集U＝{x|x2<50，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}；
第二步：将L∩( UM)＝{1,6}，M∩( UL)＝{2,3}，
U(M∪L)＝{0,5}中的元素在Venn图中依次定位；
第三步：将元素4,7定位；
第四步：根据图中的元素位置，得集合M＝{2,3,4,7}，集合L＝{1,4,6,7}．
点评 集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解．
例6 高一(2)班共有50名 ( http: / / www.21cnjy.com )同学，参加物理竞赛的同学有36名，参加数学竞赛的同学有39名，且已知有5名同学两科竞赛都没有参加，问只参加数学竞赛不参加物理竞赛的同学有多少名？
解 设参加物理竞赛的同学 ( http: / / www.21cnjy.com )组成集合A，参加数学竞赛的同学组成集合B，并设两科竞赛都参加的同学组成的集合A∩B中有x个元素，则各部分人数分布如图所示，
则(36－x)＋x＋(39－x)＋5＝50，
解得x＝30，所以39－x＝9，
即只参加数学竞赛不参加物理竞赛的同学有9名．
点评 应熟知集合A∩B、A∩( UB)、( UA)∩B、( UA)∩( UB)分别对应Venn图中的哪部分区域．
三、等价转化思想
在解决一些集合问题时，当一种集合的表达形 ( http: / / www.21cnjy.com )式不好入手时，常将其转化为另一种形式，使问题明朗化，如“A是B的子集”、“A∩B＝A”、“A∪B＝B”、“A B”等都是同一含义．另外，集合中数学语言的常见形式主要有三种，即文字语言、符号语言、图形语言，它们可以相互转化，通过合理的转化，往往能简捷迅速地得到解题思路．
例7 已知U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝，求( UB)∩A.
解 集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈ ( http: / / www.21cnjy.com )R}是平面上所有点的集合；集合A是直线x＋y＝1上的点的集合；集合B是直线x＋y＝1上的点的集合，但要除去点(1,0)；而 UB表示点(1,0)以及平面上除了直线x＋y＝1上的所有点以外的点，所以( UB)∩A对应的元素为(1,0)，即( UB)∩A＝{(1,0)}．
点评 在相互转化的过程中要注意转化的等价性．
四、特殊化思想
特殊化思想是一种重要的数学思想，对于许 ( http: / / www.21cnjy.com )多较抽象的集合问题，灵活地取一些符合条件的特殊集合，往往能起到化繁为简、化难为易的功效．另外，特殊值法解选择题是特殊与一般思想在解题中的具体应用，相当于增加题设条件，可使问题简单化．
例8 设集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则( )
A．M＝N B．M是N的真子集
C．N是M的真子集 D．M∩N＝
答案 B
解析 由∈N，而D∈/M，排除A，C；又∈N，且∈M，再排除D.故选B.
点评 很多选择题都可以取特殊值来迅速求解．
五、补集思想
已知全集U，求子集A，若直接求A ( http: / / www.21cnjy.com )困难，可先求 UA，再由 U( UA)＝A求A.补集作为一种思想方法，给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能会“柳暗花明”．我们平日说的“正难则反”这一策略就是对补集思想的应用，是指当某一问题从正面解决较困难时，可以从其反面入手解决，从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，是转化思想的又一体现．
例9 已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠ ，求实数m的取值范围．
分析 A∩B≠ 说明集合A ( http: / / www.21cnjy.com )是由方程x2－4mx＋2m＋6＝0①的实根组成的非空集合，并且方程①的根有可能有：(1)两负根；(2)一负根一零根；(3)一负根一正根．三种情况讨论很麻烦，这时我们从求解问题的反面考虑，采用补集思想，即先由Δ≥0，求出全集U，然后求出两根均为非负时m的范围，然后利用“补集”求解．
解 设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}＝，若方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均为非负，则
m≥.
∵在全集U中补集为{m|m≤－1}．
∴实数m的取值范围为{m|m≤－1}．
点评 (1)解Δ≥0，即16m2－ ( http: / / www.21cnjy.com )8m－24≥0，也就是2m2－m－3≥0时，可以先画出二次函数f(m)＝2m2－m－3的图象，由图象易得m的取值范围．(2)本题运用了“补集思想”．对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能化难为易，化隐为显，从而将问题解决，这就是补集思想的应用，也是处理问题的间接化原则的体现.
集合问题如何考？
集合是高考每年必考的知识点之 ( http: / / www.21cnjy.com )一．对它的考查主要集中于集合间的关系和运算、集合语言的理解与应用；同时由于集合的基础性和工具性作用，又常以集合为工具考查集合语言和集合思想的应用，命制一些新背景的问题．
1．(江西高考改编)定义集合运算：A* ( http: / / www.21cnjy.com )B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为________．
解析 ∵z＝xy，x∈A，y∈B，
∴z的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，
故A*B＝{0,2,4}．
∴集合A*B的所有元素之和为：0＋2＋4＝6.
答案 6
点评 本题主要考查了集合的基本性质，如元素的确定性．
2．(湖南高考)设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩ UN＝{2,4}，则N＝( )
A．{1,2,3} B．{1,3,5} C．{1,4,5} D．{2,3,4}
解析 由M∩ UN＝{2,4}可得集合N中不含有元素2,4，集合M中含有元素2,4，故N＝{1,3,5}．
答案 B
3．(湖北高考)已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则 U(A∪B)＝( )
A．{6,8} B．{5,7}
C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}
解析 ∵A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，∴ U(A∪B)＝{6,8}．
答案 A
4．(广州模拟)设集合A＝{0,1}，B＝{y|x2＋y2＝1，x∈A}，则A与B的关系是( )
A．A＝B B．A?B C．A?B D．A B
分析 由于集合B中的x是A中的元素，根据此条件求出集合B，再判断集合A、B的关系．
解析 由已知，A＝{0,1}，
B＝{y|x2＋y2＝1，x∈A}＝{－1,0,1}．所以A?B.
答案 B
点评 解决本题，首先要读懂符号代表的含义． ( http: / / www.21cnjy.com )由于集合B中的元素x属于集合A，故x可为0或1；再将x的值代入集合B，解得集合B；最后判断集合A、B的关系．
5．(日照调研)已知集合 ( http: / / www.21cnjy.com )P＝{3,4,5}，集合Q＝{4,5,6,7}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P*Q中的元素的个数是____________．
分析 根据新定义将a、b依次代入，即可得到新集合P*Q，从而得解．
解析 新定义集合P*Q的特征是平面上的点集， ( http: / / www.21cnjy.com )横坐标为集合P中的元素，而纵坐标为集合Q中的元素，故P*Q＝{(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(5,7)}，从而可知P*Q中元素的个数为12.
答案 12
点评 本题是一个运算创新型问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，解答此类问题的关键是理解新运算，并找到新运算与已学运算的结合点，如本题定义的新运算的实质就是由两个实数集重新组合成一个点集．
6．若集合A1，A2满足A1∪A2＝A， ( http: / / www.21cnjy.com )则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A＝{1,2,3}的不同分拆种数是( )
A．27 B．26 C．9 D．8
分析 所谓“分拆”不过是并集的另一种说法，关键是要分类准确．
解析 ①A1＝ 时，A2＝{1,2,3}，只有1种分拆；
②A1是单元素集时(有3种可能) ( http: / / www.21cnjy.com )，则A2必须至少包含除该元素之外的两个元素，也可能包含3个元素，有两类情况(如A1＝{1}时，A2＝{2,3}或A2＝{1,2,3})，这样A1是单元素集时的分拆有6种；
③A1是两个元素的集合时( ( http: / / www.21cnjy.com )有3种可能)，则A2必须至少包含除这两个元素之外的另一个元素，还可能包含A1中的1个或2个元素(如A1＝{1,2}时，A2＝{3}或A2＝{1,3}或A2＝{2,3}或A2＝{1,2,3})，这样A1是两个元素的集合时的分拆有12种；
④A1是三个元素的集合时(只有1种) ( http: / / www.21cnjy.com )，则A2可能包含0,1,2或3个元素(即A1＝{1,2,3}时，A2可以是集合{1,2,3}的任意一个子集)，这样A1＝{1,2,3}时的分拆有23＝8种．
所以集合A＝{1,2,3}的不同分拆的种数是1＋6＋12＋8＝27.
答案 A
7．定义集合运算：A⊙B＝{ ( http: / / www.21cnjy.com )z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________．
解析 (1)当x＝0时，无论y为何值，都有z＝0；
(2)当x＝1，y＝2时，由题意z＝6；
(3)当x＝1，y＝3时，由题意z＝12，
故集合A⊙B＝{0,6,12}，
元素之和为0＋6＋12＝18.
答案 18
点评 本题给出的新运算“⊙”，是同学们从未 ( http: / / www.21cnjy.com )见过的集合运算，要求同学们能按其给出的新运算作答，考查同学们的观察能力及应用新信息分析问题、解决问题的能力．
8．定义集合A和B的运算A※ ( http: / / www.21cnjy.com )B＝{x|x∈A，且xD∈/B}．写出含有运算符号“※”，“∩”，“∪”，且对集合A，B都成立的一个等式：________.
解析 如下图，Venn图中阴影部分可表示为：
A※(A∩B)；
再结合新定义及并集概念，阴影部分也可表示为：
(A∪B)※B.
显然可填：A※(A∩B)＝(A∪B)※B.
另外也可填：B※(A∩B)＝(A∪B)※A等．
答案 A※(A∩B)＝(A∪B)※B
B※(A∩B)＝(A∪B)※A
点评 这是一道开放题，并且定义 ( http: / / www.21cnjy.com )了新运算，对同学们来说有一定的难度，但是同学们只要认真审题，灵活运用题目所给的信息，选择恰当的方法，解答此题就显得轻而易举了．
学习建议
(1)集合是学习高中数学的开始，若想学好、应用好这部分知识，就要花大力气理解基本概念、基本性质，掌握基本表示方法．
(2)学习时同学们要理解集合运算的定义，掌握集合运算的方法，还要善于借助图形工具解答问题．
(3)学习时同学们要搞清两个集合有几 ( http: / / www.21cnjy.com )种关系，各种关系的定义要牢记．另外，还要明确集合的关系是通过元素来反映的，所以要养成从元素角度研究集合关系的好习惯．
(4)数学中的创新题是数学试题中的 ( http: / / www.21cnjy.com )一支奇葩，它们往往以同学们现有的知识为出发点，创新概念和运算，其特点是“新面目、老方法”，考查更接近知识本质．基于此，在学习时，对有关的概念一定要理解透彻，才能以不变应万变．§1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
自主学习
1．理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．
2．通过实例领悟构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域．
3．了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用．
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应 ( http: / / www.21cnjy.com )关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
2．函数的三要素是定义域、值域和对应关系．
3．由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相同．
4．(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]．
(2)满足不等式a(3)满足不等式a≤x(4)实数集R用区间表示为(－∞，＋∞)．
(5)把满足x≥a.，x>a，x≤b，x对点讲练
判断对应是否为函数
【例1】 判断下列对应是否为函数：
（1）x，x≠0，x∈R；（2）xy，这里y2＝x，x∈N，y∈R；
(3)集合A＝R，B＝{－1,1}，对应关系f：当x为有理数时，f(x)＝－1；当x为无理数时，f(x)＝1，该对应是不是从A到B的函数？
分析 函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：
(1)定义域和对应关系是否给出；
(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值y与之对应．
解 (1)对于任意一个非零实数x，被x唯一确定，
所以当x≠0时，→是函数，
这个函数也可以表示为f(x)＝(x≠0)．（2） 当x=4时，y2 =4，得y=-2,不是有唯一值和x对应，所以，x→y(y2＝x)不是函数．
(3)是函数，满足函数的定义，在A中任取一个值，B中有唯一确定的值和它对应．
规律方法 判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A、B，一个对应关系f，A中任一对B中唯一(即多对一或一对一)．
变式迁移1 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数：
（1）A=R，B=R，对任意的x∈A，x→x2；
（2）A={（x，y）|x，y∈R}，B=R，对任意的（x，y）∈A，（x，y）→x+y；
（3）A=B=N*，对任意的x∈A，x→|x-3|.
解 (1)是．
(2)不是，因为集合A不是数集．
(3)不是，因为当x＝3时，在集合B中不存在数值与之对应．
已知解析式求函数的定义域
【例2】 求下列函数的定义域：
(1)y＝； (2)y＝； (3)y＝－＋.
分析 求函数定义域，其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值范围．
解 (1)要使函数有意义，需 x≤1且x≠0，所以函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．
(2)要使函数有意义，需
x≤0且x≠－.
故函数y＝的定义域为
∪.
(3)要使函数有意义，需
解得－≤x<2且x≠0，
所以函数y＝－＋的定义域为
∪(0,2)．
规律方法 求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等．
变式迁移2 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝； (2)f(x)＝＋＋4； (3)f(x)＝.
解 (1)由x2－3x＋2≠0，得x≠1，x≠2.
∴f(x)＝的定义域是{x∈R|x≠1且x≠2}．
(2)由，得≤x≤.
∴f(x)＝＋＋4的定义域是.
(3)由，得
∴x<0且x≠－1，
∴原函数的定义域为{x|x<0且x≠－1}．
两函数相同的判定
【例3】 下列各题中两个函数是否表示同一函数：
(1)f(x)＝x，g(x)＝()2； (2)f(x)＝x，g(x)＝；
(3)f(t)＝t，g(x)＝； (4)f(x)＝，g(x)＝x＋2.
分析 要判断两个函数是否为同一函数，关键在于看函数的两要素：定义域和对应关系是否相同，两者只要有一个不同，两个函数就不是同一函数．
解 (1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同，
故不是同一函数．
(2)g(x)＝＝|x|，两个函数对应关系不同，故不是同一函数．
(3)g(x)＝x，两者的定义域和对应关系相同，故是同一函数．
(4)f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，g(x)的定义域为R，故不是同一函数．
规律方法 只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：
(1)定义域不同，两个函数也就不同；
(2)对应关系不同，两个函数也是不同的；
(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系；
(4)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关．
变式迁移3 试判断下列函数是否为同一函数：
(1)f(x)＝·与g(x)＝； (2)f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t；
(3)f(x)＝1与g(x)＝x0(x≠0)．
解 (2)是，(1)、(3)不是．
对于(1)，f(x)的定义域为[0，＋∞)，
而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)．
(3)也是定义域不同．
求函数的值域
【例4】 (1)已知函数f(x)＝x2－2x，定义域A＝{0,1,2,3}，求这个函数的值域；
(2)求函数f(x)＝，x∈R，在x＝0,1,2处的函数值及该函数的值域．
解 (1)函数的定义域为A＝{0,1,2,3 ( http: / / www.21cnjy.com )}，分别令x＝0,1,2,3得相应的函数值分别为0，－1,0,3，于是知，函数的值域为{－1,0,3}．
(2)f(0)＝1，f(1)＝，f(2)＝.
容易看出，这个函数当x＝0时，取得最大值，当自变量x的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并无限接近于0，但永远不会等于0.
从而可知，这个函数的值域为(0,1]．
规律方法 (1)求函数的值 ( http: / / www.21cnjy.com )域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数，其值域是指集合C＝{y|y＝f(x)，x∈A}；二是函数的定义域和对应关系．对应关系相同，而定义域不同，其值域肯定不同，如f(x)＝x2－2x，x∈[0,2]与f(x)＝x2－2x，x∈R.
(2)求函数的值域没有固定的方法和模式，就目前阶段主要用观察法求值域，但函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．
变式迁移4 (1)函数f(x)＝(x≥1)的值域为________(用区间表示)；
(2)函数y＝(1≤x≤2)的值域为______(用区间表示)．
答案 (1)[0，＋∞) (2)[1,2]
1．函数符号y＝f(x)是 ( http: / / www.21cnjy.com )难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下即可得到y”．在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值．
2．正确理解函数的三要素，其中对应关系是函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义．
3．区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点，因此是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具．
课时作业
一、选择题
1．下列集合A，B及对应关系不能构成函数的是( )
A．A＝B＝R，f(x)＝|x| B．A＝B＝R，f(x)＝
C．A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6,7}，f(x)＝x＋3 D．A＝{x|x>0}，B＝{1}，f(x)＝x0
答案 B
解析 在B项中f(0)无意义，即A中的数0在B中找不到和它对应的数．
2．设f(x)＝，则等于( )
A．1 B．－1 C. D．－
答案 B
解析 ∵f(2)＝＝，f＝＝－
∴＝－1.
3．函数y＝的定义域是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞)
答案 C
解析 由，得x>0且x≠1.
4．下列各组函数表示同一函数的是( )
A．y＝与y＝x＋3 B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0) D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
答案 C
解析 A中的两函数定义域不同，B中的两函数值域不同，D中的两函数对应关系不同，C正确．
5．给出四个命题：
①函数就是定义域到值域的对应关系；②若函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素；③因f(x)＝5(x∈R)，这个函数值不随x的变化而变化，所以f(0)＝5也成立；④定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了．
以上命题正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 D
二、填空题
6．将集合{x|2≤x≤8}表示成区间为____________．
答案 [2,8]
7．若f(x)＝，且f(a)＝2，则a＝________.
答案 2或
8．函数y＝x2－2的定义域为{－1,0,1,2}，则其值域为________．
答案 {－1，－2,2}
三、解答题
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝； (2)y＝.
解 (1)要使函数有意义，需满足
，即，在数轴上标出，如图，
即x<－3或－3故函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．
当然也可以表示为{x|x<－3或－3(2)要使函数有意义，需满足解得x＝－1
∴函数的定义域为{－1}．
10．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f，f(3)与f；
(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f有什么关系？并证明你的发现；
(3)f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 010)＋f＋f＋…＋f.
解 (1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝，f＝＝，
f(3)＝＝，f＝＝.
(2)由(1)可发现f(x)＋f＝1，证明如下：
f(x)＋f＝＋＝＋＝1.
(3)由(2)知：f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，…，
f(2 010)＋f＝1，
∴原式＝＋1＋1＋1＋…＋＝2 009＋
＝.
【探究驿站】
11．已知f(x)的定义域为(0,1]，求g(x)＝f(x＋a)·f(x－a) (a≤0)的定义域．
解
由已知得
即
用数轴法，讨论(1)当a＝0时，x∈(0,1]；
(2)当a≤－时，x∈ ，即函数不存在；
(3)当－自主学习
1．理解单调性的定义．
2．运用单调性的定义判断函数的单调性．
1．定义域为I的函数f(x)的增减性：
思考讨论
在增、减函数定义中，能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”？
答案 不能
2．如果函数y＝f(x)在区间D上是 ( http: / / www.21cnjy.com )增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
3．设x1，x2∈[a，b]，如果>0，则f(x)在[a，b]上是单调递增函数，如果<0，则f(x)在[a，b]上是单调递减函数．
利用图象求单调区间
【例1】 求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝3|x|； (2)f(x)＝|x2＋2x－3|.
分析 由函数的图象来确定函数的单调性是一种直观、简单的方法，若图象从左向右连续上升(下降)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的．
解
(1)∵f(x)＝3|x|
＝
图象如图所示．
f(x)在(－∞，0]上是减函数，
在[0，＋∞)上是增函数．
(2)令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.
先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．
由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]
[－1,1]．
规律方法 函数的单调区间 ( http: / / www.21cnjy.com )可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调．因此，只要单调区间端点使f(x)有意义，都可以使单调区间包括端点．但要注意，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连接它们．
变式迁移1 写出函数f(x)＝＋1(a≠0)的单调区间．
解 f(x)＝
当a>0时，如图①所示，
∴单调递增区间为(0，＋∞)，递减区间为(－∞，0)．
当a<0时，如图②所示．
∴单调递增区间为(－∞，0)，递减区间为(0，＋∞)．
① ②
利用定义证明函数的单调性
【例2】 证明：函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
分析 证明的关键是对f(x1)－f(x2)进行变形，尽量变形成几个最简单的因式的乘积形式．
证明 设0f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＋＝，
∵0∴x1－x2<0，x1x2－1<0，x1x2>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数．
规律方法 证明函数的单调性 ( http: / / www.21cnjy.com )的常用方法是利用函数单调性的定义．其步骤为(1)取值(注意x1、x2的任意性)；(2)作差变形(目的是便于判断符号)；(3)判断差的符号；(4)写出结论．
变式迁移2 利用单调性的定义证明函数y＝x－ 在(0，＋∞)上是增函数．
证明 任取x1，x2∈(0，＋∞)，设x1f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)－＋
＝(x1－x2)(1＋)，
∵00，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
函数单调性的应用
【例3】 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
分析 解答本题可先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解．
解 f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2
＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，
∴此二次函数的对称轴为x＝1－a.
∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]．
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3.
规律方法 已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想，采用逆向思维．
变式迁移3 本例中，若将函数“在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？
解 由题意知，f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]，
∴1－a＝4，∴a＝－3.
1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
2．研究函数的单调性，必须注意无 ( http: / / www.21cnjy.com )意义的特殊点，如函数f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但不能说函数f(x)＝在定义域上是减函数．
3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．
4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：取值——作差变形——定号——判断．
若f(x)>0，则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”．
课时作业
一、选择题
1．下列说法中正确的有( )
①若x1，x2∈I，当x1A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 A
解析 函数的单调性的定义是指定义在区间 ( http: / / www.21cnjy.com )I上任意两个值x1，x2，强调的是任意，从而①不对；②y＝x2在x≥0时是增函数，x<0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性；③y＝－在整个定义域内不是单调递增函数，如－3<5而f(－3)>f(5)；④y＝的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．
2．设(a，b)，(c，d) ( http: / / www.21cnjy.com )都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
答案 D
解析 根据单调性定义，所取两个自变量是同一单调区间内的任意两个变量，才能由该区间上的函数单调性来比较出函数值的大小．
3．下列函数在区间(2，＋∞)上为减函数的为( )
A．y＝2x－7 B．y＝－
C．y＝－x2＋4x＋1 D．y＝x2－4x－3
答案 C
4．若函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋2在区间[4，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－2 B．a≥－2 C．a≥－6 D．a≤－6
答案 B
解析 对称轴x＝2－a≤4，得a≥－2.
5．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)答案 D
解析 由a2＋1－a＝2＋，得a2＋1>a，
又∵f(x)是R上的减函数，∴f(a2＋1)二、填空题
6．已知函数f(x)为区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)答案 －1≤x<
解析 由题设得，即－1≤x<.
7．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是___________ ．
答案 和
8．若函数y＝ax与y＝－ 在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是单调______函数．
答案 递减
解析 由已知得a<0，b<0，y＝ax2＋bx对称轴为x＝－<0，开口向下，
∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是单调递减函数．
三、解答题
9．证明：函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
证明 设x1>x2>－1，
则y1－y2＝－＝，
∵x1>x2>－1，∴x2－x1<0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴<0.即y1－y2<0，y1∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数．
10．设函数f(x)＝(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性．
解 在定义域内任取x1，x2，且x1f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝
∵a>b>0，∴b－a<0，且x2－x1>0.
只有当x1当x10，则f(x1)>f(x2)．
∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b，＋∞)上也是单调减函数．
函数的单调减区间是(－∞，－b)和(－b，＋∞)．
【探究驿站】
11．已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒 ( http: / / www.21cnjy.com )有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，试判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
解 f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
证明如下：
∵x，y∈R，∴不妨取y＝Δx，Δx>0，
∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
∴f(x＋Δx)＝f(x)＋f(Δx)，
∴f(x＋Δx)－f(x)＝f(Δx)．
∵Δx>0，∴f(Δx)>0，
∴f(x＋Δx)－f(x)>0，f(x＋Δx)>f(x)，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．1.2 函数及其表示
【入门向导】 “f”的自述
我是“f”，同学们对我一定都很熟悉了，别看我只是一个普通的小写英文字母，在数学王国里我的作用可大了．
在数学王国里，我代表一种对应关系，如果两个 ( http: / / www.21cnjy.com )集合之间要形成一种特殊的对应——映射的话，他们就必须请我来帮忙，你瞧，“f：A→B”就是我帮忙搞定的集合A到集合B的映射．
我还是一个了不起的魔术师呢，我拿 ( http: / / www.21cnjy.com )一个篮子——( )往里装一个实数，就可以按我所代表的对应关系变出一个新的数来，如果我代表减2，就把实数x变成x－2，即f(x)＝x－2；如果我代表先加绝对值，再加2，最后再变为相反数，那么我会把－2变为f(－2)＝－(|－2|＋2)＝－4.
我出生于英国，来自于“funct ( http: / / www.21cnjy.com )ion”，“function”的中文意思是“函数”，所以人们经常用我来表示函数，对我的理解可从以下几方面考虑：
(1)可以把我看成是一种“对应关系 ( http: / / www.21cnjy.com )”，也就是一种算法的体现，这里f(x)表示的意思是对“x”施行算法“f”之后的结果．f(x)＝－x＋1就表示对“x”施行变换或算法“f”，使x变成－x＋1.但要注意，“x”不只是单独的字母、数，还可以是代数式、函数等．
(2)y＝f(x)也可以看成是关于x，y ( http: / / www.21cnjy.com )的一个方程，在这里“f”变成了一个关系的模式．如f(x)＝x2－2x＋3，则y＝f(x2)可表示为y＝x4－2x2＋3，也可表示为方程x4－2x2－y＋3＝0.
(3)通过我自身所表示的对应 ( http: / / www.21cnjy.com )关系，把两个量或数联系起来，可以表示函数．y＝f(x)表示x的函数，x是自变量，y为函数，f表示从x到y的对应关系．
(4)函数符号“y＝f(x)”是“y是x ( http: / / www.21cnjy.com )的函数”的数学表示，仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式．符号f(a)与f(x)既有区别又有联系，f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，而f(x)是自变量x的函数．一般情况下，f(x)是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．
同学们，我说了这么多，你是否对我又有了更深刻的了解呢？在数学王国里，我们会经常见面的，希望我们能成为好朋友．
帮你理解函数的概念
函数的定义：一般地，设A，B是非空的数集 ( http: / / www.21cnjy.com )，如果按某种确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数，记为y＝f(x)，x∈A.由所有的自变量x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域，由所有的函数值y组成的集合C称为函数的值域．
解析式y＝f(x)表示对于集合A中的 ( http: / / www.21cnjy.com )任意一个x，在对应关系f的作用下，可得到y，因此f是使“对应”得以实现的方式和途径，是联系x与y的纽带，从而是函数的核心，f可用一个或多个解析式来表示，也可以用数表或图象等其他方式表示．
“函数”概念是初中和高中阶段的重点和难点， ( http: / / www.21cnjy.com )有不少的同学直到高三都不能深刻理解这一概念．原因在于这一概念的抽象性．如果把“函数”与我们实际生活结合起来，同学们学起来就会觉得既有意义又容易理解和运用．
(1)函数是个“信使”
“函”字本身就有“信件”之意，每封信都是由 ( http: / / www.21cnjy.com )邮递员按地址投到不同的地方，每封信上都写有确定的地址，不能含混不清．函数也是这样，每个自变量x都要按一定的对应关系与确定的y一一对应．自变量x就是“一封信”，它被对应关系这个“信使”送到确定的“收信人”——y手里．
(2)函数是个“产品加工厂”
工厂里把原料按规格加工成不同的产品．函数 ( http: / / www.21cnjy.com )就是把自变量x按“规格”——对应关系“加工”成不同产品——y.它也像“数字发生器”，把“原料”——自变量x投入到不同的“数字发生器”——对应关系中就会得到不同的“产物”——因变量y.
(3)函数是“封建社会的婚姻”
在封建社会，流传着“好女不嫁二 ( http: / / www.21cnjy.com )夫”，但“一夫可多妻”．同样函数中多个自变量x可对应一个函数y，即“一夫多妻”，但是一个“妇女”——自变量x不能找多个“婆家”——y值．
有了上面的解释，你对函数这个概念是否更加了解了呢？其实，只要我们对数学产生了兴趣，能经常和我们的生活联系在一起，就易学多了．
函数概念常见题型
函数概念主要围绕其三要素(定义域、值域、对应关系)进行考查，常见题型有以下几类：
一、判断一个x，y的关系式能否表示成y为x的函数
例1 下列各式是否表示y为x的函数？若是，写出函数的解析式．
(1)xy＝－3(x≠0)；
(2)x2＋y2＝1(x∈(－1,0])；
(3)x3＋y3＝1.
解 要能表示成y为x的函数，则必须对于定义域内任意一个x，均有惟一的y值与之对应．
(1)满足要求，可表示成y为x的函数
y＝－(x≠0)．
(2)不满足，因为对于(－1,0]内任一x值，均有两个y值与之对应，因此不能表示成y为x的函数．
(3)满足要求，可表示为y＝.
二、判断两函数是否表示同一函数
例2 判断下列各组函数是否表示同一函数，并说明理由．
(1)f(x)＝，g(x)＝x0；
(2)f(x)＝·，g(x)＝.
解 (1)中f(x)＝＝1(x≠0)，g(x)＝x0＝1(x≠0)，其定义域均为{x|x≠0}且对应关系也相同，故是同一函数．
(2)中f(x)的定义域为[1，＋∞)，而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，其定义域不同，故不是同一函数．
三、根据条件求f(a)或f[g(x)]的表达式
例3 已知f(x)＝求f[f(－1)]及f(x2＋1)．
分析 已知函数为分段函数，要根据变量的取值，正确选择相应的解析式，所以在研究分段函数时，要特别注意定义域的制约作用．
解 f(－1)＝－(－1)＋1＝2，
则f[f(－1)]＝f(2)＝22＋1＝5.
因为x2＋1>0，
则f(x2＋1)＝(x2＋1)2＋1＝x4＋2x2＋2.
四、求函数的定义域与值域
例4 求函数y＝的定义域．
分析 我们目前要考虑定义域主要考虑下列各种情形：
①偶次根式的被开方数为非负数；②分式的分母不能为零；③幂指数为零时，底数不能为零；④自变量本身的实际意义等．
解 根据题意得
解之得x≥－2且x≠3.
所以函数的定义域为{x|x≥－2且x≠3}．
例5 已知y＝f(x＋1)的定义域为[1,2]，求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)f(x－3)；(3)f(x2)．
分析 本题为根据题中的已知条件求函数的定义域，应根据自变量的特点求解．
解 (1)∵f(x＋1)的定义域为[1,2]，即1≤x≤2，
∴2≤x＋1≤3，即f(x)的定义域为[2,3]．
(2)∵f(x)的定义域为[2,3]，
∴2≤x－3≤3.∴5≤x≤6.
即f(x－3)的定义域为[5,6]．
(3)∵f(x)的定义域为[2,3]，
∴2≤x2≤3，∴≤x≤或－≤x≤－，
即f(x2)的定义域为[－，－]∪[，]．
点评 (1)若y＝f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域是a≤g(x)≤b的解集；
(2)已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则当x∈[a，b]时g(x)的函数值的取值集合就是f(x)的定义域．
例6 下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝
B．y＝2x＋1(x>0)
C．y＝x2＋x＋1
D．y＝
分析 求函数的值域方法很多，但目前我们只要会求一些简单函数的值域即可．
解析 A．由于x2－3x＋1＝(x－)2－≥－，
所以y＝的值域为[0，＋∞)；
B．y＝2x＋1函数值y随着x增大而增大，
所以y＝2x＋1(x>0)值域为(1，＋∞)；
C．y＝x2＋x＋1
＝(x＋)2＋≥，
则y＝x2＋x＋1的值域为[，＋∞)；
D．y＝，x≠0，x2>0，则y>0.
故只有选项D正确．
答案 D
学习“函数的表示方法”应注意的几个细节
函数有三种常用的表示法：列表法、图象法和解析法，三种表达形式在本质上都揭示了量与量之间的函数关系，我认为学好本节内容应从以下几个细节入手：
(1)要学会用不同的方式表示函数，并能将其相互转化，转化时应注意式子要恒等变形，否则定义域及值域都可能发生变化．
(2)已知函数类型，求函数解析式最 ( http: / / www.21cnjy.com )常用方法是待定系数法，解题关键在于简略地列出方程组求解系数，但在很多求解析式的问题中，不确定给出哪一种类型的函数，此时就要另寻捷径．
(3)换元法与整体替换法是求解一类函数解析式的通法，但要注意引入“元”的范围，即定义域问题．
(4)学习分段函数时，要注意分段函数是 ( http: / / www.21cnjy.com )一个函数而不是几个函数这一细节，分段函数具有很强的抽象性，在解决有关分段函数的有关问题时，不要被其表面形式所迷惑．
(5)解决抽象函数的有关问题的基本方法是：给 ( http: / / www.21cnjy.com )变量赋予特殊值，从而使问题具体化、简单化，减少变量个数，找到解题规律，达到求出函数解析式的目的．至于给变量赋予怎样的特殊值，则应根据题目的结构特征来确定．
(6)理解映射的定义，进一步理解函数的实质——两个非空数集间的一种映射．
认识我的“三古怪”——映射
我叫映射，是两个集合间元素与元素的 ( http: / / www.21cnjy.com )对应关系．我本身由三部分构成，即“原象的集合A”、“象的集合B”和“从集合A到集合B的对应关系f”．我的脾气有点古怪，下面介绍一下我自己．
例7 判断下列对应是否是集合A到集合B的映射．
(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，且集合B＝{3,4,5,6,7,8,9}，对应关系为f：x→2x＋1；
(2)集合A＝Z，B＝N*，对应关系f：a→b＝(a＋1)2；
(3)已知集合A＝{0,1,2,4}，集合B＝{1,4,9,25}，f：a→b＝(a＋1)2.
分析 判断对应是否是集合A到集合B的映射，首先应看集合A的原象是否都在集合B内有且仅有唯一的象．
解 (1)A＝{1,2,3,4 ( http: / / www.21cnjy.com )}的元素在对应关系f：x→2x＋1的作用下在B＝{3,4,5,6,7,8,9}中都能找到唯一的象，故此对应为映射．同理可知(3)也是映射．(2)中集合A＝Z的元素“－1”在集合B＝N*中找不到象，故不是映射．
点评 同学们在判断两个集合间 ( http: / / www.21cnjy.com )的对应关系是不是映射时，首先得看清原象集合中的元素，在对应关系f的作用下是否都有象，再看原象所对应的象是否唯一．
例8 判断下列对应是否是映射，有没有对应关系，并说明理由．
分析 这是一道图表信息题．要判断对应是不是映射，先要弄清图中传达的信息．
解 图(1)中元素b有两个象，故不是映射；图 ( http: / / www.21cnjy.com )(2)中元素d没有象，故不是映射；而图(3)中元素d是象，它可以没有原象，故是映射．图(3)给出的对应有对应关系，对应关系是用图形表示出来的．
点评 在判断图表信息给出的对应关系是否是映 ( http: / / www.21cnjy.com )射时，由于对应关系不明显，元素间的对应关系是通过图象反映出来的，做题前应先弄清哪一个是原象的集合，哪一个是象的集合，再进行合理判断．
例9 集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y<1}，下列选项中表示从M到N的函数的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝2x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x
分析 选项从表面上看好象都是初中所学的一次函数，但函数的前提是映射，所以应先判断它们是否是映射．
解析 A选项中集合M中的元素“2”在集合N中没有象，故A选项不是映射，就更谈不上是函数了；同理可得B项和D项也不是函数．故选C.
答案 C
点评 判断一个对应是不是函数时，同学们首先应判断对应是不是映射，因为要是函数先得是映射．
同学们现在看清了我这三个“古怪”的脾气了吗？以后做题时可要注意，免得我给你们添麻烦！
函数及其表示易错点剖析
一、函数定义域中的误区
例10 已知函数f(3x＋1)的定义域为[1,7]，求函数f(x)的定义域．
错解 欲求f(x)的定义域，就是求x的取值范围．
因为f(3x＋1)的定义域为[1,7]，
即1≤3x＋1≤7，
解得0≤x≤2.
所以f(x)的定义域为[0,2]．
剖析 定义域是自变量的取值范围，而f(3x＋1)的自变量是x，即1≤x≤7.而求f(x)的定义域即是求f(x)中x的取值范围．
正解 令3x＋1＝t，则4≤t≤22.
即f(t)中，t∈[4,22]．
故f(x)的定义域为[4,22]．
例11 求函数y＝x＋的值域．
错解 令＝t，
则x＝t2＋1，
原函数表达式变为y＝t2＋t＋1.
因为t2＋t＋1＝(t＋)2＋≥，
即y≥，
故所求函数y＝x＋的值域为[，＋∞)．
剖析 这是运用“换元法”解答这类问题的常见错误，错因在于忽视了换元后函数的定义域发生了变化．
正解 令＝t，
则x＝t2＋1(t≥0)．
原函数表达式变为y＝t2＋t＋1(t≥0)．
因为t≥0，
所以y≥1.
即所求函数y＝x＋的值域为[1，＋∞)．
二、函数图象中的误区
例12 设集合M＝{x|0≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图象，其中能表示集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
错解 函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D.
剖析 不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y值与之对应．
正解 图(1)，定义域M中的( ( http: / / www.21cnjy.com )1,2]部分没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)，定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)，y∈(2,3]部分不是集合N的子集，或者说没有对应的数；图(4)，在定义域的(0,2]上任给一个元素，值域的(0,2]上有两个元素和它对应，因此不惟一；故只有图(2)正确．
答案为B.
三、求值域时的误区
确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系，在此前提下，函数值也随之确定．因此，在求函数的值域时，必须注意函数的定义域．
例13 求函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域．
错解 y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为(x－1)2≥0，
所以y＝(x－1)2－1≥－1.
从而知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞)．
剖析 这里函数的定义域有限制，即－1≤x≤2，上述解法只对二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在定义域为实数集时适用．
正解 y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1,2]．由图象知，
当－1≤x<1时，y随x的增大而减小；
当1≤x≤2时，y随x的增大而增大．
并且当x＝－1时，y取最大值3；
当x＝1时，y取最小值－1.
从而知－1≤y≤3，
即函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域是[－1,3].
函数解析式求解的常用方法
一、换元法
例1 已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)．
分析 采用整体思想，可把f(＋1)中的“＋1”看做一个整体，然后采用另一参数替代．
解 令t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)，
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
点评 将接受对象“＋1”换作另一个元素(字 ( http: / / www.21cnjy.com )母)“t”，然后从中解出x与t的关系，代入原式中便求出关于“t”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量取值范围的变化，否则就得不到正确的表达式．此法是求函数解析式时常用的方法．
二、待定系数法
例2 已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的表达式．
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则
f(x＋1)＋f(x－1)
＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c
＝2ax2＋2bx＋2a＋2c
＝2x2－4x.
故有解得
所以f(x)＝x2－2x－1.
点评 若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数．
三、方程消元法
例3 已知：2f(x)＋f()＝3x，x≠0，求f(x)．
解 2f(x)＋f()＝3x， ①
用去代换①式中的x得2f()＋f(x)＝. ②
由①×2－②得f(x)＝2x－，x≠0.
点评 方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的．
四、赋值法
例4 设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的表达式．
解 令x＝y得f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)＝1，
所以f(x)＝x2＋x＋1.
点评 有些函数的性质是用条件恒等式给出的，有时可以通过赋值法使问题得以解决．
分段函数题型归纳
有些函数在其定义域中，对于自变量x的不同取值 ( http: / / www.21cnjy.com )范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几条线段．而分段函数的值域也是各部分上的函数值的取值集合的并集，最好的求解办法是“图象法”．重要的是，分段函数虽由几部分构成，但它代表的是一个函数．
解决分段函数问题的基本思想 ( http: / / www.21cnjy.com )是“分段归类”，即自变量在哪一段就充分利用这一段的函数解析式来分析解决问题．既要紧扣“分段”特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化．
一、分段函数的求值
例5 已知函数f(x)＝则f{f[f(－2)]}＝________.
解析 ∵－2<－1，
∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1.
又－1≤－1≤1，
∴f[f(－2)]＝f(－1)＝(－1)2＝1.
又∵－1≤1≤1，
∴f{f[f(－2)]}＝f(1)＝12＝1.
答案 1
点评 求分段函数的函数值时，一般先确定自变量的取值在定义域的哪个子区间，然后用与这个子区间相对应的关系式求函数值．
二、求分段函数的解析式
例6 已知函数f(x)＝求f(x＋1)．
解 当x＋1<0即x<－1时，
f(x＋1)＝；
当x＋1≥0即x≥－1时，
f(x＋1)＝(x＋1)2.
所以f(x＋1)＝
三、分段函数的图象
例7 函数f(x)＝x＋的图象是( )
解析 因为f(x)＝x＋＝
故选C.
答案 C
点评 本例为已知函数的解析式，确定选择分段函数的图象问题．
四、分段函数的实际应用
例8 从甲同学家到乙同学家的中途有一个公园， ( http: / / www.21cnjy.com )甲、乙两家到该公园的距离都是2 km，甲10点钟出发前往乙家，如图所示表示甲从自家出发到乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分钟)的关系．依图象回答下列问题：
(1)甲在公园休息了吗？若休息了，休息了多长时间？
(2)甲到达乙家是几点钟？
(3)写出函数y＝f(x)的解析式．
解 (1)由图所知，甲在公园休息了，休息了10分钟．
(2)甲到达乙家是11点．
(3)函数y＝f(x)是分段函数，
当0≤x≤30时，设y＝k1x，将(30,2)代入，得k1＝.
当30将(60,4)，(40,2)代入，得k2＝，b＝－2.
所以f(x)＝
函数图象的三种变换
函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种：
一、平移变换
例9 设f(x)＝x2，在同一坐标系中画出：
(1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系；
(2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系．
解 (1)如图
(2)如图
点评 观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到；
y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到；
y＝f(x)＋1的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到；
y＝f(x)－1的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到．
二、对称变换
例10 设f(x)＝x＋1，在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(－x)的图象，并观察两个函数图象的关系．
解 画出y＝f(x)＝x＋1与y＝f(－x)＝－x＋1的图象如图所示．
由图象可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图象关于y轴对称．
点评 函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；
函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；
函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
三、翻折变换
例11 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数图象的关系．
解 y＝f(x)的图象如图1所示，y＝|f(x)|的图象如图2所示．
点评 要得到y＝|f(x)|的图象，把y＝f(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方，其余部分不变．
例12 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(|x|)的图象，并观察两个函数图象的关系．
解 如下图所示．
点评 要得到y＝f(|x|)的图象，先把y＝f(x)图象在y轴左方的部分去掉，然后把y轴右边的对称图象补到左方即可．
与函数图象有关的问题
例13 如图所示的四个容器高度都相 ( http: / / www.21cnjy.com )同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 对于一个选择题而言，求出每一幅图 ( http: / / www.21cnjy.com )中水面的高度h和时间t之间的函数关系式既无必要也不可能，因此可结合相应的两幅图作定性分析，即充分利用数形结合．
对于第一幅图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此不正确；
对于第二幅图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此趋势愈加平缓，因此正确；
同理可分析第三幅图、第四幅图都是正确的．
故只有第一幅图不正确，因此选A.
答案 A
点评 本题考查函数的对应关系．由容器的形状识 ( http: / / www.21cnjy.com )别函数模型，是典型的数形结合问题，“只想不算”有利于克服死记硬背，更突出了思维能力的考查．近两年的高考越来越注重对理性思维能力的考查．
变式拓展1 向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )
解析 取水深h＝，此时注水量V′>，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量的一半．
A中V′<，C、D中V′＝，故排除A、C、D，选B.
答案 B
例14 设甲、乙两地的距离为a(a>0 ( http: / / www.21cnjy.com ))，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
解析 依据题意，小王两段路程的 ( http: / / www.21cnjy.com )速度是不一致的，前者速度要大些，且前者与后者的速度比为3∶2，因此前者图象倾斜程度要大些．此外，由于y表示的是路程，不是位移，因此选D.
答案 D
点评 近几年的高考试题和高考 ( http: / / www.21cnjy.com )模拟试题加大了对跨学科知识的考查，其中物理类题型最为多见．解决这类试题时，可结合物理中的相关知识来加以解答．如本题，由于往返所用时间是不一致的，因此速度也是不一致的，且前者与后者的速度比为3∶2，更为重要的是路程与位移的区别．
变式拓展2 某学生离家去学校，一开始跑步前 ( http: / / www.21cnjy.com )进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
解析 由速度快慢知图中直线的倾斜程度．
答案 D
赋值法解抽象函数求值题
所谓抽象函数问题，往往指的是没有给出具体 ( http: / / www.21cnjy.com )的函数解析式，而是以方程形式出现的函数问题，由于函数解析式隐含在方程中，对于一些求值问题不像给出具体解析式的函数那样，直接将值代入函数解析式中求解，因而需另寻他法，其中赋值法能较好地处理这一类问题．
例15 已知函数对任意的实数a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立．
(1)求f(0)，f(1)的值；
(2)求证：f()＋f(x)＝0(x≠0)；
(3)若f(2)＝m，f(3)＝n(m，n均为常数)，求f(36)的值．
分析 通过函数解析式求f(0) ( http: / / www.21cnjy.com )，f(1)显然是不现实的，因为题设给我们提供的只有一个函数方程f(ab)＝f(a)＋f(b)，因此需通过题设中一般性的结论去思考特殊的值0和1，然后通过解方程获解．
(1)解 不妨设a＝b＝0，
则应有f(0×0)＝f(0)＋f(0)，
从而得f(0)＝0.设a＝b＝1，
则应有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.
(2)证明 当x≠0时，注意到x·＝1，于是f(1)＝f(x·)＝f(x)＋f()，而f(1)＝0，
所以f()＋f(x)＝0(x≠0)．
(3)解 题设中有f(2)＝m，f(3)＝n，因此需将36转化，注意到36＝22×32，因此
f(36)＝f(22×32)＝f(22)＋f(32)＝f(2×2)＋f(3×3)
＝f(2)＋f(2)＋f(3)＋f(3)
＝2f(2)＋2f(3)＝2(m＋n)．
点评 对于抽象函数求值问题，可根据方程特点合理赋值，进而得到与之有关的方程，解这个方程便可得到相应的函数值．
例16 已知a，b∈N*，f(a＋b)＝f(a)f(b)，f(1)＝2，则＋＋＋…＋＝________.
解析 令a＝x，b＝1，
则由f(a＋b)＝f(a)f(b)，f(1)＝2，
可得f(x＋1)＝f(1)f(x)＝2f(x)，即＝2，
分别令x＝1,2,3，…，2 010，
则＋＋＋…＋
＝2＋2＋2＋…＋2＝2 010×2＝4 020.
答案 4 020
点评 要求和，显然不能一个个代进去，可考虑更一般的结论，注意到分子分母中自变量差为1，因此考虑f(x＋1)与f(x)之间的关系.
函数概念及表示如何考？
1．(全国Ⅰ高考)函数y＝＋的定义域为( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
解析 要使函数有意义，需
解得
∴函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}．
答案 C
2．(江西高考)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
解析 ∵y＝f(x)的定义域是[0,2]，∴要使g(x)＝有意义，需 ∴0≤x<1.
答案 B
3．(四川高考)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.若f(1)＝2，则f(99)等于( )
A．13 B．2 C. D.
解析 ∵f(x)·f(x＋2)＝13，
∴f(x＋2)＝.
∴f(x＋4)＝＝f(x)．
∴f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)
＝＝.
答案 C
4．(浙江高考)设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α＝( )
A．－4或－2 B．－4或2
C．－2或4 D．－2或2
解析 当α≤0时，f(α)＝－α＝4，得α＝－4；当α>0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2.∴α＝－4或α＝2.
答案 B
5．(全国Ⅰ高考)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
解析 汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而 ( http: / / www.21cnjy.com )汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s与t的函数图象上是一条直线．减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的，故选A.
答案 A
6．(湖北高考)已知函数f ( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f(ax＋b)＝0的解集为________．
解析 ∵f(x)＝x2＋2x＋a，
∴f(bx)＝(bx)2＋2bx＋a＝b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2.
则有 即
∴f(2x－3)＝(2x－3)2＋2(2x－3)＋2
＝4x2－8x＋5＝0.
∵Δ＝64－80<0，
∴方程f(ax＋b)＝0无实根．
答案
7．定义函数f：A→B，其中A＝( ( http: / / www.21cnjy.com )－∞，0)∪(0，＋∞)，B＝{－1,1}，且对于(－∞，0)中的任意一个x都与集合B中的1对应，(0，＋∞)中的任意一个x都与集合B中的－1对应，则(a≠b)的值为( )
A．a B．b
C．a，b中较小的数 D．a，b中较大的数
解析 当a>b时，a－b>0，从而f(a－b)＝－1，
所以＝＝a；
当a所以
＝＝b，
所以(a≠b)的值为a，b中较大的数．故选D.
答案 D1.1.3 集合的基本运算(一)
1．理解并集、交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
2．体验通过实例的分析和阅读来自学探究集合间的关系与运算的过程，培养学生的自学阅读能力和自主探究能力．
3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
1．一般地，由所有属于集合A或属 ( http: / / www.21cnjy.com )于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
2．一般地，由属于集合A且属于集合 ( http: / / www.21cnjy.com )B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
3．A∩A＝__A__，A∪A＝__A__，A∩ ＝__ __，A∪ ＝A.
4．若A B，则A∩B＝__A__，A∪B＝__B__.
5．A∩B A，A∩B B，A A∪B，A∩B A∪B.
对点讲练
求两个集合的交集与并集
【例1】 求下列两个集合的并集和交集．
(1)A＝{1,2,3,4,5}， B＝{－1,0,1,2,3}；
(2)A＝{x|x<－2}， B＝{x|x>－5}．
解 (1)如图所示，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4,5}，
A∩B＝{1,2,3}．
(2)结合数轴(如图所示)得：
A∪B＝R，A∩B＝{x|－5规律方法 求两个集合的交集、并集依据它们的定义，借用Venn图或结合数轴分析两个集合的元素的分布情况，有利于准确写出交集、并集．
变式迁移1 (1)若集合A ( http: / / www.21cnjy.com )＝{x|x>－1}，B＝{x|－2A．{x|x>－2} B．{x|x>－1} C．{x|－2(2)若将(1)中A改为A＝{x|x>a}，求A∪B，A∩B.
(1)答案 A
解析 画出数轴，故A∪B＝{x|x>－2}．
(2)解 如图所示，
当a<－2时，A∪B＝A，A∩B＝{x|－2当－2≤a<2时，A∪B＝{x|x>－2}，A∩B＝{x|a当a≥2时，A∪B＝{x|－2a}，A∩B＝ .
已知集合的交集、并集求参数
【例2】 已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．
(1)若A∩B＝ ，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝R，求a的取值范围．
解 (1)由A∩B＝ ，
①若A＝ ，
有2a>a＋3，∴a>3.
②若A≠ ，如图：
∴，解得－≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是{a|－≤a≤2或a>3}．
(2)由A∪B＝R，如图所示，
∴，解得a∈ .
规律方法 出现交集为空集的情形 ( http: / / www.21cnjy.com )，应首先考虑集合中有没有空集，即分类讨论．其次，与不等式有关的集合的交、并运算中，数轴分析法直观清晰，应重点考虑．
变式迁移2 已知集合A＝{x|2(1)若A∩B＝ ，试求a的取值范围；
(2)若A∩B＝{x|3解 (1)如图，有两类情况，一类是B≠ a>0.
此时，又分两种情况：①B在A的左边，如图B所示；
②B在A的右边，如图B′所示．
B或B′位置均使A∩B＝ 成立，
即3a≤2或a≥4，解得0另一类是B＝ ，即a≤0时，显然A∩B＝ 成立．
综上所述，a的取值范围是{a|a≤，或a≥4}．
(2)因为A＝{x|2如图所示：
集合B若要符合题意，显然有a＝3，此时B＝{x|3交集、并集性质的运用
【例3】 已知集合A＝{x|1解 ∵A∪B＝B，∴A B.
(1)当a＝0时，A＝ ，满足A B.
(2)当a>0时，A＝.
∵A B，∴∴a≥2.
(3)当a<0时，A＝.
∵A B，∴
∴a≤－2.
综合(1)(2)(3)知，a的取值范围是
{a|a≤－2或a＝0或a≥2}．
规律方法 明确A∩B＝B和A∪B＝B的含义， ( http: / / www.21cnjy.com )根据问题的需要，将A∩B＝B和A∪B＝B转化为等价的关系式B A和A B是解决本题的关键．另外在B A时易忽视B＝ 时的情况．
变式迁移3 设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
解 ∵A∩B＝B，∴B A.
∵A＝{－2}≠ ，
∴B＝ 或B≠ .
当B＝ 时，
方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.
当B≠ 时，
此时a≠0，则B＝{－}，
∴－∈A，
即有－＝－2，得a＝.
综上，得a＝0或a＝.
1．A∪B的定义中“或”的意义与通常所说的“非此即彼”有原则的区别，它们是“相容”的．求A∪B时，相同的元素在集合中只出现一次．
2．A∩B＝A A B，A∪B＝B A B，这两个性质非常重要．另外，在解决有条件A B的集合问题时，不要忽视A＝ 的情况．
课时作业
一、选择题
1．设集合A＝{x|－5≤x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于( )
A．{x|－5≤x<1} B．{x|－5≤x≤2}
C．{x|x<1} D．{x|x≤2}
答案 A
2．下列四个推理：①a∈(A∪B) ( http: / / www.21cnjy.com )a∈A；②a∈(A∩B) a∈(A∪B)；③A B A∪B＝B；④A∪B＝A A∩B＝B.其中正确的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 C
解析 ②③④正确．
3．设A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x<0或x≥2}，则A∪B等于( )
A．{x|x<0或x≥1} B．{x|x<0或x≥3}
C．{x|x<0或x≥2} D．{x|2≤x≤3}
答案 A
解析 结合数轴知A∪B＝{x|x<0或x≥1}．
4．已知A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|aA．3≤a<4 B．－1答案 C
解析 结合数轴知答案C正确．
5．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 由已知得M＝{2,3}或{1,2,3}，共2个．
二、填空题
6．已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________.
答案 {(2,1)}
7．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠ ，则实数a的取值范围为________．
答案 a≥－1
解析 由A∩B≠ ，借助于数轴知a≥－1.
8．已知集合A＝{x|x<1或x>5}，B＝{x|a≤x≤b}，且A∪B＝R，A∩B＝{x|5答案 －4
解析 如图所示，
可知a＝1，b＝6,2a－b＝－4.
三、解答题
9．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.
解 ∵B (A∪B)，∴x2－1∈A∪B.
∴x2－1＝3或x2－1＝5.解得x＝±2或x＝±.
若x2－1＝3，则A∩B＝{1,3}．
若x2－1＝5，则A∩B＝{1,5}．
10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解 A＝{1,2}，∵A∪B＝A，
∴B A，集合B有两种情况：B＝ 或B≠ .
(1)B＝ 时，方程x2－4x＋a＝0无实数根，
∴Δ＝16－4a<0，∴a>4.
(2)B≠ 时，当Δ＝0时，
a＝4，B＝{2} A满足条件；
当Δ>0时，若1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，
由根与系数的关系知矛盾，无解，∴a＝4.
综上，a的取值范围是a≥4.
【探究驿站】
11．求满足P∪Q＝{1,2}的集合P，Q共有多少组？
解 可采用列举法：
当P＝ 时，Q＝{1,2}；
当P＝{1}时，Q＝{2}，{1,2}；
当P＝{2}时，Q＝{1}，{1,2}；
当P＝{1,2}时，Q＝ ，{1}，{2}，{1,2}，
∴一共有9组．第一章 章末检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列说法正确的是( )
A．很小的实数可以构成集合
B．集合{y|y＝x2－1}与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合
C．自然数集N中最小的数是1
D．空集是任何集合的子集
2．设集合U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2,3}，N＝{2,5}，则M∩( UN)等于( )
A．{2} B．{2,3} C．{3} D．{1,3}
3．下列集合不同于其他三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0} C．{x＝1} D．{1}
4．设A＝{x|1A．{a|a≥2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
5．函数y＝f(x)的图象与直线x＝2的公共点有( )
A．0个 B．1个 C．0个或1个 D．不能确定
6．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
7．已知函数y＝x2的值域是[1,4]，则其定义域不可能是( )
A．[1,2] B． C．[－2，－1] D．[－2，－1]∪{1}
8．已知函数f(x)＝，
则f(f(－2))的值是( )
A．2 B．－2 C．4 D．－4
9．若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在
(－∞，0)上有( )
A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3
10．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，那么( )
A．f(2)C．f(2)11．已知函数f(x)＝，则有( )
A．f(x)是奇函数，且f()＝－f(x)
B．f(x)是奇函数，且f()＝f(x)
C．f(x)是偶函数，且f()＝－f(x)
D．f(x)是偶函数，且f()＝f(x)
12．设f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，若x1<0，且x1＋x2>0，则( )
A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)＝f(x2)
C．f(x1)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13．函数y＝＋的定义域为______．
14．设函数f(x)＝
若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式是____________________．
15．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在[－4,4]上是单调函数，那么实数a的取值范围是________．
16．已知f(x)是奇函 ( http: / / www.21cnjy.com )数，g(x)是偶函数，并且f(x)＋g(x)＝x＋1，则f(x)＝________，g(x)＝________(填函数解析式)．
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17．(12分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R．
(1)求A∪B，( UA)∩B；
(2)若A∩C≠ ，求a的取值范围．
18．(12分)已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．
(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A B？若存在，求出对应的a；若不存在，试说明理由；
(2)若A B成立，求出对应的实数对(a，b)．
19．(12分)已知a，b为常数，且a≠0，f(x)＝ax2＋bx，f(2)＝0，方程f(x)＝x有两个相等实根．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的值域；
(3)若F(x)＝f(x)－f(－x)，试判断F(x)的奇偶性，并证明你的结论．
20．(12分)函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．
21．(12分)为减少空气污染，某市鼓励居民 ( http: / / www.21cnjy.com )用电(减少燃气或燃煤)．采用分段计费的方法计算电费．每月用电不超过100度时，按每度0．57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0．5元计算．
(1)设月用电x度时，应交电费y元．写出y关于x的函数关系式；
(2)小明家第一季度交纳电费情况如下：
月份 一月 二月 三月 合计
交费金额 76元 63元 45．6元 184．6元
问小明家第一季度共用电多少度？
22．(14分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．
(1)求函数g(x)的定义域；
(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．
第一章 章末检测 答案
1．D
2．D [ UN＝{1,3,4}，M∩( UN)＝{1,2,3}∩{1,3,4}＝{1,3}．]
3．C [A、B、D都表示元素是1的集合，C表示元素为“x＝1”的集合．]
4．A [如图所示，
∴a≥2．]
5．C [如果x＝2与函数y＝f(x)有 ( http: / / www.21cnjy.com )公共点，则只有一个公共点，因为自变量取一个值只对应一个函数值；若无交点，则没有公共点，此时的x＝2不在y＝f(x)的定义域内．]
6．D [∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)，
∴＝<0，
即或
因为f(x)是奇函数且在(0，＋∞)上是增函数，
故f(x)在(－∞，0)上是增函数．
由f(1)＝0知f(－1)＝0，
∴可化为
∴0可化为
∴－17．B
8．C [∵x＝－2<0，∴f(－2)＝(－2)2＝4，
又4>0，∴f(f(－2))＝f(4)＝4．]
9．C [由已知对任意x∈(0，＋∞)，
f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2≤5．
对任意x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，
且φ(x)，g(x)都是奇函数，
有f(－x)＝aφ(－x)＋bg(－x)＋2≤5．
即－aφ(x)－bg(x)＋2≤5，
∴aφ(x)＋bg(x)≥－3．
∴f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2≥－3＋2
＝－1．]
10．A [由已知x＝2是f(x)的对称轴且f(x)开口向上，
∴f(1)＝f(3)且当x>2时，f(x)为增函数，∴f(2)11．C [由1－x2≠0，得x≠±1，定义域关于原点对称，
f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，
∴f()＝＝＝－f(x)．]
12．C [由题意可知：－x2又f(x)在(－∞，0)上为减函数，
∴f(－x2)>f(x1)，
又f(x)是R上的偶函数，
∴f(－x2)＝f(x2)，∴f(x2)>f(x1)．]
13．[－1,2)∪(2，＋∞)
解析 由题意知，
∴x≥－1且x≠2．
14．f(x)＝
解析 由题意，得
∴f(x)＝
15．a≥5或a≤－3
解析 由f(x)的对称轴为x＝1－a，
∴1－a≤－4或1－a≥4
解得a≥5或a≤－3．
16．x 1
解析 由已知f(x)＋g(x)＝x＋1，①
∴f(－x)＋g(－x)＝－x＋1，
即－f(x)＋g(x)＝－x＋1．②
由①－②，得f(x)＝x，由①＋②，得g(x)＝1．
17．解 (1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1∵ UA＝{x|x<2或x>8}，
∴( UA)∩B＝{x|1(2)∵A∩C≠ ，∴a<8．
18．解 (1)设存在实数a，使得对任意的实数b，都有A B，则当且仅当1、2都是A中的元素．
∵A＝{a＋4，a－4}，∴，
这都不可能，∴这样的实数a不存在．
(2)因为A B成立，于是有
或或或，
解得或或或．
∴实数对为(5,9)、(6,10)、(－3，－7)、(－2，－6)．
19．解 (1)已知f(x)＝ax2＋bx．
由f(2)＝0，得4a＋2b＝0，
即2a＋b＝0．①
方程f(x)＝x，即ax2＋bx＝x，即ax2＋(b－1)x＝0有两个相等实根，且a≠0，
∴b－1＝0，∴b＝1，代入①得a＝－．
∴f(x)＝－x2＋x．
(2)由(1)知f(x)＝－(x－1)2＋．
显然函数f(x)在[1,2]上是减函数，
∴x＝1时，ymax＝，x＝2时，ymin＝0．
∴x∈[1,2]时，函数的值域是[0，]．
(3)∵F(x)＝f(x)－f(－x)
＝(－x2＋x)－
＝2x，
∴F(x)是奇函数．
证明如下：
∵F(－x)＝2(－x)＝－2x＝－F(x)，
∴F(x)＝2x是奇函数．
20．解 ∵f(x)＝4(x－)2－2a＋2，
①当≤0，即a≤0时，函数f(x)在[0,2]上是增函数．
∴f(x)min＝f(0)＝a2－2a＋2．
由a2－2a＋2＝3，得a＝1±．
∵a≤0，∴a＝1－．
②当0<<2，即0f(x)min＝f()＝－2a＋2．
由－2a＋2＝3，得a＝－ (0,4)，舍去．
③当≥2，即a≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，
f(x)min＝f(2)＝a2－10a＋18．
由a2－10a＋18＝3，得a＝5±．
∵a≥4，∴a＝5＋．
综上所述，a＝1－或a＝5＋．
21．解 (1)当0≤x≤100时，y＝0．57x；
当x>100时，y＝0．5×(x－100)＋0．57×100＝0．5x－50＋57＝0．5x＋7．
∴所求函数式为
y＝
(2)据题意，
一月份：0．5x＋7＝76，∴x＝138(度)，
二月份：0．5x＋7＝63，∴x＝112(度)，
三月份：0．57x＝45．6，∴x＝80(度)．
所以第一季度共用电：138＋112＋80＝330(度)．
答 小明家第一季度共用电330度．
22．解 (1)由题意可知
∴． 解得故函数g(x)的定义域为．
(2)由g(x)≤0，得f(x－1)＋f(3－2x)≤0，
∴f(x－1)≤－f(3－2x)．
∵f(x)为奇函数，
∴f(x－1)≤f(2x－3)．
而f(x)在(－2,2)上单调递减，
∴ 解得∴g(x)≤0的解集为．1.2.2 函数的表示法(一)
自主学习
1．掌握函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法，体会三种表示方法的特点．
2．掌握函数图象的画法及解析式的求法.
表示函数的方法常用的有：
(1)解析法——用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
(2)图象法——用图象表示两个变量之间的对应关系；
(3)列表法——列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
对点讲练
函数的表示法
【例1】 已知完成某项任务的时间t与参 ( http: / / www.21cnjy.com )加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝a.x＋，当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人．
(1)写出函数t的解析式； (2)用列表法表示此函数； (3)画出函数t的图象；
(4)根据(2)(3)分析：随着工作人数的增加，工作效率的变化情况．
解 (1)由题设条件知：当x＝2时，t＝100，
当x＝14时，t＝28，得方程组
解此方程组得
所以t＝x＋，又因为x≤20，x为正整数，
所以函数的定义域是{x|0（2）x＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
28.8 28.3 28.1 28 28.1 28.25 28.5 28.9 29.3 29.8
注：表中的部分数据是近似值．
(3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列．
如图所示．
(4)自变量x共取1～20之间的 ( http: / / www.21cnjy.com )20个正整数，从表中的函数值可以看出完成任务的时间与参加任务的人数之间的关系，一开始，完成任务的时间随着人数的增加而减少，而当人数增加到一定的数量，完成工作的时间减少得很慢，人数在达到7人以后，至14人之间，完成工作的时间基本上变化不大；再增加人数，完成工作的时间反而有所增加．
由函数的图象的变化也可以看出上面分析的结果．
可以再设想，假设工作的人数没有限制 ( http: / / www.21cnjy.com )，x再增大时，比如，x＝50,100,196,392等数值，则完成工作的时间t＝53.92,101.96,197,392.5，由此可见，工作效率随着人数的增加反而降低．
规律方法 在实际研究一个函数时，通常 ( http: / / www.21cnjy.com )是将上述三种表示法结合起来使用，即解析式→列表→描点，画出图象，然后再总结出函数的性质．三种方法相互兼容和补充，各有优缺点，在实际操作中，仍以解析法为主．
变式迁移1 客车从甲地以60 km/ ( http: / / www.21cnjy.com )h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是( )
答案 B
解析 由题意知，在前1小时内客 ( http: / / www.21cnjy.com )车以60 km/h的速度匀速行驶，则＝60，在1小时～1.5小时内客车未行驶，其路程仍为60 km，在1.5小时后到2.5小时，又以80 km/h的速度匀速行驶到达丙地，因此答案为B.
函数解析式的求法
【例2】 求下列函数的解析式．
(1)已知f(＋4)＝x＋8，求f(x2)；
(2)已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x－1，求f(x)．
解 (1)方法一 (配方法)：
∵f(＋4)＝x＋8＝(＋4)2－16，
∴f(x)＝x2－16(x≥4)．
∴f(x2)＝x4－16(x≤－2，或x≥2)．
方法二 (换元法)：
设＋4＝t≥4，则＝t－4，x＝(t－4)2，
∴f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16.
∴f(x)＝x2－16(x≥4)．
∴f(x2)＝x4－16(x≤－2或x≥2)．
(2)(待定系数法)因为f(x)是一次函数，
设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f[f(x)]＝f(ax+b)＝a (ax＋b)+b＝a2x＋ab＋b＝4x－1.
∴f(x)＝2x－，或f(x)＝－2x＋1.
规律方法 对于已知f[g(x ( http: / / www.21cnjy.com ))]的表达式，求f(x)的表达式的问题，解决这类问题的一般方法是换元法，即设g(x)＝t，解出用t表示x的表达式，代入求得f(x)的表达式．在用换元法解这类题时，特别要注意正确确定中间变量t的取值范围．
题目中已知函数f(x)的函数类型，一般采用 ( http: / / www.21cnjy.com )待定系数法，如第(2)小题，由于已知函数f(x)是一次函数，故可设f(x)＝a.x＋b(a≠0)．
变式迁移2 (1)已知f(2x＋1)＝x2＋1，求f(x)的解析式．
(2)已知2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，求f(x)的解析式．
解 (1)设t＝2x＋1，则x＝，
∴f(t)＝＋1.
∴f(x)＝＋1＝x2－x＋.
(2)将x换成－x，则原式2f(x)＋f(－x)＝3x＋2变为：
2f(－x)＋f(x)＝－3x＋2
由两式解得f(x)＝3x＋.
1．函数的三种表示方法：解析法、列表法、图象法．
2．画函数图象的方法：(1)列表、描点、连线；(2)图象变换．
3．求函数解析式的方法有：换元法、配凑法、待定系数法等．
课时作业
一、选择题
1．下图中，可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是( )
答案 D
解析 只有D符合函数定义，即在定义域内每一个x对应唯一的y值．
2．下列表格中的x与y能构成函数的是( )
解析 C A中，当x＝0时，y＝± ( http: / / www.21cnjy.com )1；B中0是偶数，当x＝0时，y＝0或y＝－1；D中自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x＝1∈N(Z，Q)，故y的值不唯一，故A、B、D均不正确．
3．若f(1－2x)＝ (x≠0)，那么f等于( )
A．1 B．3 C．15 D．30
答案 C
解析 方法一 令1－2x＝t，则x＝ (t≠1)，
∴f(t)＝－1，∴f＝16－1＝15.
方法二 令1－2x＝，得x＝，
∴f＝16－1＝15.
4．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则( )
A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x－2
C．f(x)＝2x＋3 D．f(x)＝2x－3
答案 B
解析 设f(x)＝kx＋b (k≠0)，
∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，
∴，∴，
∴f(x)＝3x－2.
5．为悼念四川汶川地震中遇难同胞，在全国 ( http: / / www.21cnjy.com )哀悼日第一天，某校升旗仪式中，先把国旗匀速升至旗杆顶部，停顿3秒钟后再把国旗匀速下落至旗杆中部．能正确反映这一过程中，国旗上升的高度h(米)与升旗时间t(秒)的函数关系的大致图象是[设国旗的起始位置为h＝0(米)]
答案 B
解析 国旗的运动规律是：匀速升至旗杆顶部——停顿3秒——国旗匀速下落至旗杆中部．对应的图象为B.
二、填空题
6．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3 ( http: / / www.21cnjy.com )点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定能确定正确论断的序号是________．
答案 ①
解析 设进水量为y1，出 ( http: / / www.21cnjy.com )水量为y2，时间为t，由图象知y1＝t，y2＝2t.由图丙知，从0～3时蓄水量由0变为6，说明0～3时两个进水口均打开进水但不出水，故①正确；3～4时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少一个单位，若3～4点不进水只出水，应每小时减少两个单位，故②不正确；4～6时为水平线说明水量不发生变化，应该是所有水口都打开，进出均衡，故③亦不正确．所以正确论断的序号只有①.
7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f[g(1)]的值为____________；当g[f(x)]＝2时，x＝__________.
答案 1 1
解析 f[g(1)]＝f(3)＝1；
g[f(x)]＝2，∴f(x)＝2，
∴x＝1.
三、解答题
8．(1)已知f(2x＋1)＝3x－2且f(a.)＝4，求a.
的值．
(2)已知f(x)＝a.x2＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
解 (1)∵f(2x＋1)＝3x－2＝(2x＋1)－
∴f(x)＝x－，
∵f(a.)＝4，∴a.－＝4，
∴a.＝5.
(2)∵f(0)＝c＝0，
∴f(x＋1)＝a.(x ( http: / / www.21cnjy.com )＋1)2＋b(x＋1)＋c＝a.x2＋(2a.＋b)x＋a.＋b，f(x)＋x＋1＝a.x2＋bx＋x＋1＝a.x2＋(b＋1)x＋1.
∴f(x)＝x2＋x.1.3.1单调性与最大(小)值(二)
自主学习
1．通过对一些熟悉函数图象的观察、分析，理解函数最大值、最小值的定义．
2．会利用函数的单调性求函数的最值．
1．函数的最大值、最小值的定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值(最小值)．
2．函数f(x)＝x2＋2x＋1 (x∈R)有最小值，无最大值．若x∈[0,1]，则f(x)最大值为4，最小值为1.
3．函数f(x)＝在定义域上无最值．(填“有”或“无”)
对点讲练
利用单调性求函数最值
【例1】 已知函数f(x)＝ (x∈[2，＋∞))，
(1)求f(x)的最小值； (2)若f(x)>a恒成立，求a的取值范围．
分析 求最值问题往往依赖于函数的单调性，由于这个函数并不是我们所熟悉的函数，可考虑先判断一下单调性，再求最值．
解 (1)任取x1，x2∈[2，＋∞)，
且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)
∵x1又∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－>0
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在[2，＋∞)上是增函数．
∴当x＝2时，f(x)有最小值，即f(2)＝.
(2)∵f(x)最小值为f(2)＝，
∴f(x)>a恒成立，只须f(x)min>a，即a<.
规律方法 运用函数单调性 ( http: / / www.21cnjy.com )求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．另外f(x)>a恒成立，等价于f(x)min>a，f(x)变式迁移1 求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值；若f(x)解 任取2≤x1则f(x1)＝，f(x2)＝，
f(x2)－f(x1)＝－＝，
∵2≤x10，x1－1>0.
∴f(x2)－f(x1)<0.∴f(x2)∴f(x)＝在区间[2,5]上是减函数．
∴f(x)max＝f(2)＝＝2.
f(x)min＝f(5)＝＝.
f(x)f(x)max，
即a>2.
闭区间上二次函数的最值问题
【例2】 函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值记为g(t)．
(1)试写出g(t)的函数表达式；
(2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值．
分析 本题需要先求f(x)的最小值，关键是分析其对称轴x＝2与区间[t，t＋1]的位置关系．
解 (1)f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.
当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；
当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；
当t＋1<2，即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
从而g(t)＝
(2)g(t)的图象如图所示，由图象易知g(t)的最小值为－8.
规律方法 (1)含有参数的二次函数的值域与最值问题，主要考虑其顶点(对称轴)与定义域区间的位置关系，由此进行分类讨论．
(2)二次函数的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①定义域区间在对称轴右侧；②定义域区间在对称轴左侧；③定义域区间在对称轴的两侧．
变式迁移2 求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
解 f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
①当a<0时，由图①可知，
f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
②当0≤a<1时，由图②可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
③当1≤a≤2时，由图③可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.
④当a>2时，由图④可知，
f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
1．求函数的最值，若能作出函数的图象，由最值的几何意义不难得出．
2．运用函数的单调性求最值是求最值的重要方法，特别是函数图象作不出来时，单调性几乎成为首选方法．
3．探求二次函数在给定区间上的最值问题， ( http: / / www.21cnjy.com )一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
课时作业
一、选择题
1．函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值为( )
A．9 B．－3 C. D.
答案 B
2．函数f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值，最小值分别为( )
A．f(2)，f(－2) B．f，f(－1) C．f，f D．f，f(0)
答案 C
3．函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
答案 A
解析 画图象可知．
4．函数f(x)＝的最大值是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 f(x)＝≤.
5．函数y＝|x－3|－|x＋1|的( )
A．最小值是0，最大值是4 B．最小值是－4，最大值是0
C．最小值是－4，最大值是4 D．没有最大值也没有最小值
答案 C
解析 y＝|x－3|－|x＋1|
＝作出图象可求．
二、填空题
6．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a答案 －2 0
解析 y＝－(x－3)2＋18，∵a∴在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0，
－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2.
7．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间[1,5]上的最小值为f(5)，则a的取值范围为________．
答案 a≤－4
解析 由对称轴方程为x＝1－a，
∵区间[1,5]上的最小值为f(5)，∴1－a≥5，得a≤－4.
8．若定义运算a⊙b＝，则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．
答案 (－∞，1]
解析 由题意知x⊙(2－x)表示x与2－x两者中的较小者，借助y＝x与y＝2－x的图象，不难得出，f(x)的值域为(－∞，1]．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解 (1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
∵x∈[－5,5]，故当x＝1时，f(x)的最小值为1.
当x＝－5时，f(x)的最大值为37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图象的对称轴为x＝－a.
∵f(x)在[－5,5]上是单调的，
∴－a≤－5，或－a≥5.
即实数a的取值范围是a≤－5，或a≥5.
10．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2
设1≤x1＝－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋
＝，
∵1≤x1∴x1－x2<0,2x1x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数．
∴f(x)min＝f(1)＝.
(2)方法一 在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立，等价于x2＋2x＋a>0恒成立．
设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1递增，∴当x＝1时，ymin＝3＋a，
于是当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f(x)恒成立，故a>－3.
方法二 在区间[1，＋∞)上f(x)＝>0恒成立等价于x2＋2x＋a>0恒成立．即a>－x2－2x恒成立．
又∵x∈[1，＋∞)，a>－x2－2x恒成立，
∴a应大于函数u＝－x2－2x，x∈[1，＋∞)的最大值．
∴a>－x2－2x＝－(x＋1)2＋1.当x＝1时，u取得最大值－3，∴a>－3.1.1.3 集合的基本运算(二)
自主学习
1．理解在给定集合中一个集合的补集的含义，会求给定子集的补集．
2．能运用Venn图及补集知识解决有关问题．
1．一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
2．对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 UA，即 UA＝{x|x∈U，且xA}．
3．补集与全集的性质
(1) UU＝ ；(2) U ＝U；(3) U( UA)＝A；
(4)A∪ UA＝U；(5)A∩ UA＝ .
4．已知全集U＝{1,2,3 ( http: / / www.21cnjy.com ),4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，则A∩( UB)＝{2,4}；( UA)∩( UB)＝{6}．
对点讲练
补集定义的应用
【例1】 已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}， UA＝{2,4,6,8}， UB＝{1,4,6,8,9}，求集合B.
解
如图所示，借助Venn图，
得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∵ UB＝{1,4,6,8,9}，
∴B＝{2,3,5,7}．
规律方法 根据补集定义，借助Venn图，可直 ( http: / / www.21cnjy.com )观地求出全集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．
变式迁移1 设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}， UA＝{x|x>4或x<3}，求a，b的值．
解 ∵A＝{x|a≤x≤b}，
∴ UA＝{x|x>b或x又 UA＝{x|x>4或x<3}，∴a＝3，b＝4.
交、并、补的综合运算
【例2】 已知全集U＝{x|x≤4}，集合 ( http: / / www.21cnjy.com )A＝{x|－2解 把全集U和集合A，B在数轴上表示如下 ：
由图可知 UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2 U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
( UA)∩B＝{x|－3规律方法 求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．
变式迁移2 已知全集U＝{x|－5≤x≤3} ( http: / / www.21cnjy.com )，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}．求 UA， UB，( UA)∩( UB)，( UA)∪( UB)， U(A∩B)， U(A∪B)，并指出其中相等的集合．
解 UA＝{x|－1≤x≤3}，
UB＝{x|－5≤x<－1或1≤x≤3}，
( UA)∩( UB)＝{x|1≤x≤3}，
( UA)∪( UB)＝{x|－5≤x≤3}，
U(A∩B)＝{x|－5≤x≤3}，
U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}，
相等的集合：( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)，
( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)．
利用集合间的关系求参数
【例3】 (1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2－5x＋q＝0，x∈U}，求 UA；
(2)设U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{b,2}， UA＝{5}，求实数a和b的值．
(1)解 设x1、x2为方程x2－5x＋q＝0的两根，
则x1＋x2＝5，
∴x1≠x2(否则x1＝x2＝U，这与A U矛盾)．
而由A U知x1、x2∈U，又1＋4＝2＋3＝5，∴q＝4或q＝6.
∴ UA＝{2,3,5}或 UA＝{1,4,5}．
(2)分析 由题目可获得以下主要信息：
①全集U中有元素2，A中有元素2.
② UA＝{5}，∴5∈U且5 A.
③3∈U但3 ( UA)，∴3∈A.
解答本题可根据 UA＝{5}，得出
解出a、b即可．
解
由题意，利用Venn图，
可得方程组
将②式变形为a2＋2a－8＝0，
解得a＝－4或a＝2.
∴或为所求．
规律方法 符号 UA存在的前提 ( http: / / www.21cnjy.com )是A U，这也是解有关补集问题的一个隐含条件，充分利用题目中的隐含条件也是我们解题的一个突破口，若x∈U，则x∈A和x∈ UA二者必居其一，不仅如此，结合Venn图及全集与补集的概念，不难得到如下性质：A∪( UA)＝U，A∩( UA)＝ ， U( UA)＝A.
变式迁移3 已知U＝R，A＝{x|x2＋px ( http: / / www.21cnjy.com )＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若( UA)∩B＝{2}，( UB)∩A＝{4}，求A∪B.
解 ∵( UA)∩B＝{2}，∴2∈B且2A.
∵A∩( UB)＝{4}，∴4∈A且4B.
分别代入得，
∴p＝－7，q＝6，∴A＝{3,4}，B＝{2,3}，
∴A∪B＝{2,3,4}．
1．补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个全集中的补集也不同．另外全集是一个相对概念．
2．符号 UA存在的前提是A U，这也是解有关补集问题的一个隐含条件，充分利用题目中的隐含条件也是我们解题的一个突破口．
3．补集的几个性质：
UU＝ ， U ＝U， U( UA)＝A.
课时作业
一、选择题
1．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩ NB等于( )
A．{1,5,7} B．{3,5,7} C．{1,3,9} D．{1,2,3}
答案 A
解析 ∵A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，
∴ NB＝{1,2,4,5,7,8，…}．
∴A∩ NB＝{1,5,7}．
2．已知U为全集，集合M、N是U的子集，若M∩N＝N，则( )
A．( UM) ( UN) B．M ( UN) C．( UM) ( UN) D．M ( UN)
答案 C
解析 利用Venn，如图所示：
可知( UM) ( UN)．
3．已知U＝{x|－1≤x ( http: / / www.21cnjy.com )≤3}，A＝{x|－1A． UA＝B B． UB＝C C． UA C D．A C
答案 A
解析 B＝{－1,3}， UA＝{－1,3}．
4．图中阴影部分可用集合M、P表示为( )
A．(M∩P)∪(M∪P) B．[( UM)∩P]∪[M∩( UP)]
C．M∩ U(M∩P) D．P∪ U(M∩P)
答案 B
5．已知集合A＝{x|xA．a≤2 B．a<1 C．a≥2 D．a>2
答案 C
解析 ∵B＝{x|1∴ RB＝{x|x≥2或x≤1}．
如图，若要A∪( RB)＝R，必有a≥2.
二、填空题
6．若A＝{x∈Z|0答案 {2,5,6,7,8,9} {1,2,4,8,9}
解析 ∵A＝{1,2,3，…，9}，B＝{1,3,4}，C＝{3,5,6,7}，
∴ AB＝{2,5,6,7,8,9}， AC＝{1,2,4,8,9}．
7．若全集I＝{(x，y)|x，y∈R}，集合M＝，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，则( IM)∩( IN)＝________.
答案 {(2,3)}
解析 集合M，N都是点集， ( http: / / www.21cnjy.com )集合M中的关系式可变为y＝x＋1(x≠2)，它的几何意义是直线y＝x＋1上去掉点(2,3)后所有点的集合；集合N表示直线y＝x＋1外所有点的集合．可知 IM＝{(x，y)|y≠x＋1}∪{(2,3)}，表示直线y＝x＋1外所有点及直线上点(2,3)的集合； IN＝{(x，y)|y＝x＋1}，表示直线y＝x＋1上所有点的集合．从而可得( IM)∩( IN)只有一个元素(2,3)．
8．设全集U＝{x||x|<4且x∈Z}，S＝{－2,1,3}，若 UP S，则这样的集合P共有________个．
答案 8
解析 ∵集合P与 UP个数相同，又 UP S，
而S的子集个数为8，∴ UP个数也为8，
∴P的个数也为8.
三、解答题
9．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|4x＋p<0}，且B UA，求实数p的取值范围．
解 UA＝{x|x<－1或x>2}，
B＝.
∵B UA，∴－≤－1
∴p≥4，即p的取值范围是{p|p≥4}．
10．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<1，或x>2}，集合B＝{x|x<－3，或x≥1}，求 RA， RB，A∩B，A∪B.
解 借助于数轴，如图可知
RA＝{x|1≤x≤2}； RB＝{x|－3≤x<1}；
A∩B＝{x|x<－3，或x>2}；A∪B＝R.
【探究驿站】
11．(1)若实数集R为全集，集合P ( http: / / www.21cnjy.com )＝{x|f(x)＝0}，Q＝{x|g(x)＝0}，H＝{x|h(x)＝0}，则方程＝0的解集是( )
A．P∩Q∩( RH) B．P∩Q
C．P∩Q∩H D．P∩Q∪H
(2)50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既不会讲英语也不会讲日语的有8人，则既会讲英语又会讲日语的人数为( )
A．20 B．14 C．12 D．10
答案 (1)A (2)B
解析 (1)由f2(x)＋g2(x)＝0知，f(x)＝0与g(x)＝0同时成立，且h(x)≠0.
(2)
如图所示，至少会讲英语、日语中一种语言的 ( http: / / www.21cnjy.com )学生有50－8＝42(人)，不妨设A＝{会讲英语的学生}，B＝{会讲日语的学生}，则有card(A)＝36，card(B)＝20，
card(A∪B)＝42，故既会讲英语又会讲日语的学生人数为card(A∩B)＝36＋20－42＝14.1.3.2 奇偶性(一)
自主学习
1．掌握函数的奇偶性的定义和判断方法．
2．理解奇函数和偶函数的图象的特点．
1．阅读课本内容填写下表：
奇函数f(x) 偶函数g(x)
定义域的特点 关于原点对称 关于原点对称
图象特点 关于原点成中心对称图形 关于y轴成轴对称图形
解析式的特点 f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x)
2.(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)等于0.
(2)有没有既是奇函数又是偶函数的函数？举例说明．
f(x)＝0，x∈[－1,1]．
对点讲练
函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5； (2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝.
解 (1)函数的定义域为R.
f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
(2)函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)由，得x＝±1，
此时f(x)＝0，x∈{－1,1}．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)∵
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．
此时f(x)＝＝.
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)＝为奇函数．
规律方法 (1)用定义判定函数奇偶性的一般步骤为：
①先求定义域，考查定义域是否关于原点对称；
②有时需在定义域内对函数解析式进行变 ( http: / / www.21cnjy.com )形、化简，再找f(－x)与f(x)的关系；判断函数奇偶性可用的变形形式：若f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)为奇函数；若f(－x)－f(x)＝0，则f(x)为偶函数．
(2)奇(偶)函数的性质
①f(x)为奇函数，定义域为D，若0∈D，则必有f(0)＝0；
②在同一个关于原点对称的定义域上，
奇函数＋奇函数＝奇函数；
偶函数＋偶函数＝偶函数；
奇函数×奇函数＝偶函数；
偶函数×偶函数＝偶函数．
变式迁移1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝－|x|； (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (3)f(x)＝＋.
解 (1)既是奇函数，又是偶函数．
∵f(x)＝0，f(－x)＝0，
∴f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)．
(2)函数的定义域为R，
∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|
＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．
(3)由知x＝1，
∴函数f(x)的定义域为{1}，
不关于原点对称．
故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
分段函数奇偶性的证明
【例2】 已知函数f(x)＝，判断f(x)的奇偶性．
解 (1)当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3
＝－x2－2x－3＝－f(x)．
(2)当x>0时，－x<0，
f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3
＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，
综上可知f(x)为奇函数．
规律方法 (1)对于分段函数奇偶性的判断 ( http: / / www.21cnjy.com )，须特别注意x与－x所满足的对应关系，如x>0时，f(x)满足f(x)＝－x2＋2x－3，－x<0满足的不再是f(x)＝－x2＋2x－3，而是f(x)＝x2＋2x＋3.
(2)要对定义域内的自变量都要考察，如本例 ( http: / / www.21cnjy.com )分为两种情况，如果本例只有(1)就说f(－x)＝－f(x)，从而判断它是奇函数是错误的、不完整的．
(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断．
变式迁移2 判断函数f(x)＝的奇偶性．
解 当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－x－1＝－(x＋1)＝－f(x)，
另一方面，当x>0时，－x<0，
f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)，
而f(0)＝0，∴f(x)是奇函数．
抽象函数奇偶性的判断
【例3】 已知函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．求证：f(x)为奇函数．
证明 设a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.
又设a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)．
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
规律方法 抽象函数奇偶性 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定是根据定义，即寻求f(x)与f(－x)的关系，需根据这样的目标，认真分析函数所满足的条件式的结构特征，灵活赋值．
变式迁移3 函数f(x) ( http: / / www.21cnjy.com )，x∈R，且f(x)不恒为0.若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)．求证：f(x)为偶函数．
证明 令x1＝0，x2＝x，
则得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)①
又令x1＝x，x2＝0，得
f(x)＋f(x)＝2f(x)f(0)②
由①、②得f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
1．在奇函数与偶函数的定义域中，都要求x∈ ( http: / / www.21cnjy.com )D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件．
2．解题中可以灵活运用f(x)±f(－x)＝0对奇偶性作出判断．
3．奇函数f(x)若在x＝0处有意义，则必有f(0)＝0.
课时作业
一、选择题
1．已知函数f(x)＝ (x≠0)，则这个函数( )
A．是奇函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
答案 C
解析 ∵x≠0，∴f(－x)＝＝＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
2．奇函数y＝f(x) (x∈R)的图象必过点( )
A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a)) C．(－a，－f(a)) D.
答案 C
解析 ∵y＝f(x)是奇函数，过(－a，f(－a))点，
而f(－a)＝－f(a)
∴y＝f(x)过点(－a，－f(a))．
3．函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 C
解析 结合选项，当a＝1时，y＝x2－1，
显然为偶函数．
4.
如图是一个由集合A到集合B的映射，这个映射表示的是( )
A．奇函数而非偶函数 B．偶函数而非奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
答案 C
解析 因为f(x)＝0，x∈{－2,2}，
满足f(－x)＝±f(x)．
所以该映射表示的既是奇函数又是偶函数．
5．若f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
答案 A
解析 ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即ax2－bx＋c＝ax2＋bx＋c，∴b＝0，
此时g(x)＝ax3＋cx (a≠0)，
由于g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－(ax3＋cx)＝－g(x)，
∴g(x)是奇函数．
二、填空题
6．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
答案 0
解析 ∵f(x)是定义域为[a－1,2a]的偶函数，
∴a－1＝－2a，∴a＝.
又f(－x)＝f(x)，
∴x2－bx＋1＋b＝x2＋bx＋1＋b.
∴b＝0.
7．下列四个结论：①偶函数的图 ( http: / / www.21cnjy.com )象一定与纵轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0 (x∈R)；④偶函数的图象关于y轴对称，其中正确的命题有________个．
答案 1
解析 ①错误，如偶函数f(x)＝的图象与纵坐标轴不相交．
②错误，如奇函数f(x)＝不过原点．
③错误，如f(x)＝0，x∈[－1,1]，既是奇函数又是偶函数．
④正确．
8．已知f(x)＝ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝__________.
答案 －26
解析 ∵f(－x)＋f(x)＝－16，
∴f(2)＋f(－2)＝－16，
∴f(2)＝－26.
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝x4＋x；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝.
解 (1)定义域为，不关于原点对称．
该函数既不是奇函数也不是偶函数．
(2)定义域为R，关于原点对称，
f(1)＝2，f(－1)＝0，
∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，
故其既不是奇函数也不是偶函数．
(3)定义域为R，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0.
故该函数为奇函数．
(4)函数的定义域为{x|x∈R且x≠1}，不关于原点对称．
所以函数f(x)＝既不是奇函数也不是偶函数．
10．已知f(x)是定义在(－∞，＋∞ ( http: / / www.21cnjy.com ))上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y，f(x)都满足f(x·y)＝y·f(x)＋x·f(y)．
(1)求f(1)，f(－1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．
解 (1)∵f(x)对任意x，y都有
f(x·y)＝y·f(x)＋x·f(y)，
令x＝y＝1时，有f(1·1)＝1·f(1)＋1·f(1)，
∴f(1)＝0.
令x＝y＝－1时，有f[(－1)·(－1)]
＝(－1)·f(－1)＋(－1)·f(－1)，∴f(－1)＝0.
(2)∵f(x)对任意x，y都有
f(x·y)＝y·f(x)＋x·f(y)，
∴令x＝t，y＝－1，
有f(－t)＝－f(t)＋t·f(－1)．
将f(－1)＝0代入得f(－t)＝－f(t)，
∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上为奇函数．1.3 函数的基本性质
【入门向导】 数学与科技
根据人类消耗的能源结构比例图的图象，简要说明近150年来人类消耗的能源结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．
由图象可以看出近150年来人类 ( http: / / www.21cnjy.com )消耗木材比例一直减少；消耗的煤炭比例先逐渐增多，到1940年左右达到最大值，以后又逐渐变少；从1880年左右开始消耗石油，到1990年左右所占比例达到最大值，以后又逐渐减少；天然气从1900年左右开始应用于能源，所占比例一直在逐渐增大，核能从1980年左右开始被应用，所占比例逐渐增大．太阳能呢？
从图象可以看出100年内，木材一般 ( http: / / www.21cnjy.com )不会再作为能源消耗，煤炭、石油所占比例在逐渐变小，天然气、核能所占比例在逐渐增大，新开发的能源，水化物和太阳能所占比例也逐渐增大．
解读函数的单调性
一、函数的单调性是函数在某个区间上的性质
1．这个区间可以是整个定义域．如y＝x在 ( http: / / www.21cnjy.com )整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递增的，y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质．
2．这个区间也可以是定义域的一部分，也就 ( http: / / www.21cnjy.com )是定义域的一个真子集，如y＝x2－2x＋1在整个定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但是在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质．
3．有的函数无单调性．如函数y＝它的定义域是(－∞，＋∞)，但无单调性可言，又如y＝x2＋1，x∈{0,1,2}，它的定义域不是区间，也就不能说它在定义域上具有单调性．
二、单调性的证明与判断
函数单调性的证明与判断的主要方法是定义法．严格按照单调性定义进行证明．主要步骤有如下五步：
(1)取值：定义域中x1，x2的选取，选取x1，x2时必须注意如下三点：
①x1，x2取值的任意性，即“任意取x1，x2”中，“任意”二字不能省略或丢掉，更不可随意取两个特殊值替代x1，x2；
②x1与x2有大小，一般规定x1③x1与x2同属一个单调区间．
(2)作差：指求f(x2)－f(x1)．
(3)变形：这一步连同下一步 ( http: / / www.21cnjy.com )“定号”是单调性证明与判定的核心内容，即将②中的差式f(x2)－f(x1)进一步化简变形，变到利于判断f(x2)－f(x1)的正负为止．常用的变形技巧有：通分、因式分解、有理化、配方等．一般变形结果是将和差变形为积商，这样才便于定号．
(4)定号：根据变形结果，确定f(x2)－f(x1)的符号．
(5)判断：根据x1与x2的大小关系及f(x1)与f(x2)的大小关系，结合单调性定义得出结论．
例1 证明：函数y＝x3(x∈R)是增函数．
证明 设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1f(x1)－f(x2)＝x－x＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x)
＝(x1－x2)[(x1＋x2)2＋x]．
∵x1易得(x1＋x2)2＋x≥0.
∵上式等于零的条件是
即x1＝x2＝0，显然不成立，∴(x1＋x2)2＋x>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数y＝x3(x∈R)是增函数．
三、单调区间的求解
1．本节单调区间的求解主 ( http: / / www.21cnjy.com )要是观察法得单调区间再进行证明，或者是图象法求出单调区间，对于利用定义探索函数单调区间问题，由于难度大，要求不可过高，适当了解即可．(单调区间的求解问题随着进一步学习，我们会找到更简单快捷的方法——导数法)
2．书写单调区间时，注意区间端点的写法．
对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定 ( http: / / www.21cnjy.com )的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点，因此，书写单调区间时，不妨约定“能闭则闭，须开则开”．
函数奇偶性学法指导
一、学习要点
1．要注意准确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：
(1)定义域在数轴上关于原点对称，方可讨论函数f(x)的奇偶性．
(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
2．奇、偶函数的定义是判断 ( http: / / www.21cnjy.com )奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简或应用定义的等价形式，即：f(－x)＝±f(x) f(－x)±f(x)＝0 ＝±1(f(x)≠0)．
3．奇函数的图象关于原点成 ( http: / / www.21cnjy.com )中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形，反之亦成立．因此也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性和简化一些函数图象的画法．
4．按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
5．在公共定义域内：
(1)奇函数与奇函数的和(差)仍是奇函数；偶函数与偶函数的和(差)仍是偶函数；非零的奇函数与偶函数的和(差)是非奇非偶函数．
(2)奇函数与奇函数的积(商)是偶函数；偶函数与偶函数的积(商)是偶函数；奇函数与偶函数的积(商)是奇函数．
以上两条同学们可以自行验证．
6．设f(x)是定义域关于原点对称的一个函数，则F1(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数，F2(x)＝f(x)－f(－x)为奇函数．
7．奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相反．
二、典型例题选析
例2 当a，b，c满足什么条件时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c是：(1)奇函数；(2)偶函数；(3)既奇又偶函数；(4)非奇非偶函数．
解 (1)若是奇函数，应有f(－x)＝－f(x)，
于是有ax2－bx＋c＝－ax2－bx－c，
即ax2＋c＝0对定义域内所有实数都成立，
所以只有a＝c＝0.
(2)若是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，于是有
ax2－bx＋c＝ax2＋bx＋c，
即2bx＝0对定义域内所有实数都成立，
所以只有b＝0.
(3)若既是奇函数又是偶函数，
则由(1)和(2)知a＝b＝c＝0.
(4)若是非奇非偶函数，则f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，
即
所以a≠0且b≠0或c≠0且b≠0时，
f(x)为非奇非偶函数．
例3 已知f(x)＝ax5＋bx3＋cx－8，且f(－2)＝10，求f(2)的值．
解 令g(x)＝f(x)＋8＝ax5＋bx3＋cx，
显然g(x)是奇函数，即g(－2)＝－g(2)．
又g(－2)＝f(－2)＋8＝18，
所以f(2)＝g(2)－8＝－26.
判断函数奇偶性的常见错误
一、忽略定义域出错
例4 判断f(x)＝的奇偶性．
错解 因为f(x)＝＝＝x3，
显然f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．
剖析 判断函数奇偶性，首 ( http: / / www.21cnjy.com )先要看函数的定义域，若定义域是关于原点的对称区间，则函数可能具有奇偶性；否则，函数一定不具有奇偶性．其次，要看f(x)与f(－x)之间的关系．
正解 函数的定义域为{x|x≠1}．显然，它的定义域不关于原点对称，于是该函数为非奇非偶函数．
二、忽视对参数的讨论
例5 判断函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1(a∈R)的奇偶性．
错解 显然函数定义域为R.
因为f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，
所以f(－a)≠f(a)，且f(－a)≠－f(a)，
所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
剖析 此解法错在没有对参数进行讨论，未考虑到a＝0这种特殊情形，以致解题出错．
正解 当a＝0时，
函数f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1
＝x2＋|x|＋1＝f(x)，
此时f(x)为偶函数；当a≠0时，
f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，
f(－a)≠f(a)，f(－a)≠－f(a)，
此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
三、忽视特殊函数f(x)＝0的存在
例6 判断函数f(x)＝＋的奇偶性．
错解 定义域为{－1,1}，关于原点对称．
又f(－x)＝＋
＝＋＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
剖析 上述解法忽视了定义域关于原点对称的函数f(x)＝0，既是奇函数又是偶函数．
正解 函数定义域为{－1,1}，此时f(x)＝0，
因而f(x)既是奇函数又是偶函数．
四、不明分段函数奇偶性概念致错
例7 判断f(x)＝的奇偶性．
错解 当x>0时，－x<0，
f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3
＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)．
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3
＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)．
所以f(x)是奇函数．
剖析 尽管对于定义域内的 ( http: / / www.21cnjy.com )每一个不为零的x，都有f(－x)＝－f(x)成立，但当x＝0时，f(0)＝3≠－f(0)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
断函数单调性的方法
一、用定义证明函数的单调性
例1 证明：函数f(x)＝－在定义域上是减函数．
证明 f(x)＝－的定义域为[0，＋∞)，
设0≤x10，
且f(x2)－f(x1)＝(－)－(－)＝－
＝＝，
∵x1－x2<0，＋>0，
∴f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2)∴f(x)＝－在定义域[0，＋∞)上是减函数．
点评 (1)有的同学认为由0≤x1(2)在本题的证明中，我们使用了“分 ( http: / / www.21cnjy.com )子有理化”这种证明技巧，在今后的学习中，我们还会经常遇到，因此要注意观察这类题目的结构特点，在今后的学习中学会使用这种方法．
例2 已知定义在(0，＋∞)上的函数 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)对任意x，y∈(0，＋∞)，恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当00，判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性．
分析 抽象函数单调性的判断要紧扣定义，并且要注意对原题条件的应用．
解 设x1，x2∈(0，＋∞)且x1则f(x1)－f(x2)＝f(·x2)－f(x2)
＝f()＋f(x2)－f(x2)＝f()．
∵x1，x2∈(0，＋∞)且x1∴0<<1，∴f()>0.
∴f(x1)>f(x2)．
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
二、利用已知函数的单调性判断较复杂函数的单调性
例3 求函数f(x)＝(a>0)的单调区间．
分析 此函数可化为f(x)＝－x＋，可根据y＝的单调性判断．
解 f(x)＝＝－x＋.
∵a>0，y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，
y＝－x在R上单调递减，
∴f(x)＝(a>0)的单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．
点评 运用已知的结论，直接 ( http: / / www.21cnjy.com )得到函数的单调性．如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出．了解以下结论，对于直接判断函数的单调性有好处：
①函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)在相对应的区间上的单调性相反．
②当f(x)恒为正或恒为负时，函数y＝与y＝f(x)在相对应的区间上的单调性相反．
③在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等．
三、图象法
例4 求函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调区间．
分析 “脱去”绝对值符号，画出函数图象，由图象观察得出．
解 当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；
当x<0时，
y＝－x2－2x＋3
＝－(x＋1)2＋4.
画出图象如图所示：
故在(－∞，－1]和[0,1]上，函数是增函数；
在[－1,0]和[1，＋∞)上，函数是减函数．
函数单调性的应用
一、比较大小
例5 若函数f(x)＝x2＋mx＋n，对任意实数x都有f(2－x)＝f(2＋x)成立，试比较f(－1)，f(2)，f(4)的大小．
解 依题意可知f(x)的对称轴为x＝2，
∴f(－1)＝f(5)．
∵f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(2)即f(2)点评 (1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；
(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间．
二、解不等式
例6 已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是增函数，且f(t－1)解 依题意可得解得0点评 (1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小，然后去解不等式；
(2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围；
(3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错．
三、求参数的值或取值范围
例7 已知a>0，函数f(x)＝x3－ax是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a的取值范围．
解 任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则Δx＝x2－x1>0.
Δy＝f(x2)－f(x1)＝(x－ax2)－(x－ax1)
＝(x2－x1)(x＋x1x2＋x－a)．
∵1≤x13.
显然不存在常数a，使(x＋x1x2＋x－a)恒为负值．
又f(x)在[1，＋∞)上是单调函数，
∴必有一个常数a，使x＋x1x2＋x－a恒为正数，
即x＋x1x2＋x>a.
当x1，x2∈[1，＋∞)时，x＋x1x2＋x>3，
∴a≤3.此时，
∵Δx＝x2－x1>0，∴Δy>0，
即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴a的取值范围是(0,3]．
四、利用函数单调性求函数的最值
例8 已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝4时，求f(x)的最小值；
(2)当a＝时，求f(x)的最小值；
(3)若a为正常数，求f(x)的最小值．
解 (1)当a＝4时，f(x)＝x＋＋2，易知，f(x)在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6.
(2)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
易知，f(x)在[1，＋∞)上为增函数．
∴f(x)min＝f(1)＝.
(3)函数f(x)＝x＋＋2在(0，]上是减函数，
在[，＋∞)上是增函数．
若>1，即a>1时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增，
∴f(x)min＝f()＝2＋2.
若≤1，即0∴f(x)min＝f(1)＝a＋3.
五、利用函数单调性证明不等式
例9 已知a，b，c均为正数，且a＋b>c.
求证：＋>.
证明 设f(x)＝(x>0)，
设0＝<0.
∴f(x1)∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∵a＋b>c，∴f(a＋b)>f(c)，
即>.
又f(a)＋f(b)＝＋>＋
＝，
∴＋>.
点评 本题通过构造函数，利用函数单调性证明不等式．
判断函数奇偶性的方法
函数奇偶性是函数的一个重要 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，在各种考试中屡次出现，其表现形式多种多样，求解方法也不单一，不同的形式对应不同的解决策略．现介绍三种常见的方法，供同学们学习时参考．
一、定义法
首先求出函数的定义域，确定其定 ( http: / / www.21cnjy.com )义域是否关于原点对称，若对称再利用f(－x)＝f(x)(符合为偶函数)或f(－x)＝－f(x)(符合为奇函数)，否则既不是奇函数也不是偶函数．
例10 判断函数f(x)＝的奇偶性．
解 要使函数有意义，
则
解得－2≤x≤2且x≠0，
此函数的定义域[－2,0)∪(0,2]关于原点对称，且满足x＋3>0，
则函数f(x)＝＝，
f(－x)＝＝－＝－f(x)，
故函数f(x)＝是奇函数．
点评 判断函数的奇偶性时，首先一定要观察函数定义域是否关于原点对称，这是判断奇偶性的前提条件．
二、等价转化法
利用函数奇偶性定义的等价形式进行处理，往往借助f(－x)±f(x)＝0来解决，方法比较简便．
三、图象法
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
例11 判断函数f(x)＝|x＋2|＋|x－2|的奇偶性．
解 f(x)＝|x＋2|＋|x－2|
＝
其图象(如图)关于y轴对称，该函数为偶函数．
点评 利用图象法(数形结合法)解题，形象直观、清晰可见．同时数形结合思想一直都是高考考查的重点，同学们要注意领会．
一道课本习题的拓展
证明：(1)若f(x)＝ax＋b，则f()＝；
(2)若f(x)＝x2＋ax＋b，则f()≤.
探究 为自变量x1、x2中点，对应的函数值f()为“中点的纵坐标”．而[f(x1)＋f(x2)]为x1、x2对应的函数值所对应的点的中点，即“纵坐标的中点”．f(x)＝ax＋b的图象为直线，所以“中点的纵坐标”等于“纵坐标的中点”，即有f()＝.而f(x)＝x2＋ax＋b的图象为开口向上的抛物线，图象向下凹进，由图象可得到“中点的纵坐标”不大于“纵坐标的中点”，即有f()≤.
拓展 在给定区间内，若函 ( http: / / www.21cnjy.com )数f(x)的图象向上凸出，则函数f(x)在该区间上为凸函数，结合图象易得到f()≥；在给定区间内，若函数f(x)的图象向下凹进，则函数f(x)在该区间上为凹函数，结合图象易得到f()≤.这一性质，可以称为函数的凹凸性．
活用函数的基本性质
掌握函数与方程的互化，构造函数求值
某些求值问题，若能根据问题的结构特征， ( http: / / www.21cnjy.com )注重揭示内在联系，挖掘隐含因素，用运动、变化、相互联系的函数观点来分析、处理变量之间的联系，利用函数的单调性，借助函数的奇偶性把问题解决．
例12 已知实数x，y满足(x＋)·(y＋)＝1，求x＋y的值．
解 由已知条件可得
x＋＝－y＋.
构造函数f(t)＝t＋.
显然f(t)＝t＋是R上递增函数．
因为f(x)＝f(－y)，所以x＝－y，即x＋y＝0.
例13 已知(x＋2y)5＋x5＋2x＋2y＝0，求x＋y的值．
解 已知方程化为(x＋2y)5＋(x＋2y)＝－(x5＋x)．①
由①式的结构，构造函数f(t)＝t5＋t.
显然，f(t)是奇函数，且在R上单调递增．
由于①式可写成f(x＋2y)＝－f(x)＝f(－x)，
所以有x＋2y＝－x，即x＋y＝0.
三种数学思想在函数奇偶性中的应用
一、数形结合思想
例14 设奇函数f(x)的定义域为[－5, ( http: / / www.21cnjy.com )5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为______________．
解析 注意到奇函数的图象关于原点成中心对 ( http: / / www.21cnjy.com )称，用对称的思想方法画全函数f(x)在[－5,5]上的图象(如图所示)，数形结合，得f(x)<0的解集为{x|－2答案 (－2,0)∪(2,5]
二、分类讨论思想
例15 已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)，试判断f(x)的奇偶性．
解 当a＝0时，f(x)＝x2，
对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，
f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
三、方程思想
例16 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝，试求f(x)．
分析 利用奇函数的性质、定义求出参数m、n的值是关键．
解 由f(0)＝0知m＝0.
由f(x)是奇函数知f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，
∴n＝0.∴f(x)＝.
二次函数在某区间上的最值——思维规律解读
一、定函数在定区间上的最值
例17 求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[－1,4]上的最大值和最小值．
解 f(x)＝(x－1)2＋1，其对称轴为x＝1.
因为函数对称轴x＝1在区间[－1,4]内，
又函数开口向上，所以当x＝1时，f(x)取到最小值为1.
又f(－1)＝5，f(4)＝10，
所以在x＝4时，f(x)取到最大值为10.
二、定函数在动区间上的最值
例18 函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．
解 f(x)＝(x－1)2＋1，其对称轴为x＝1.
当t＋1<1时，即t<0时，区间[t，t＋1]在对称轴的左侧，f(x)在此区间上是减函数．
所以此时g(t)＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋2＝t2＋1.
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，对称轴x＝1在此区间内，
又函数开口向上．
所以此时g(t)＝f(1)＝12－2＋2＝1.
当t>1时，区间[t，t＋1]在对称轴的右侧，f(x)在此区间上是增函数．
所以此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
综上得g(t)＝
三、动函数在定区间上的最值
例19 函数f(x)＝x2＋ax＋3在区间[－2,2]上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式．
解 f(x)＝(x＋)2＋3－，
其对称轴为x＝－.
当对称轴x＝－在区间[－2,2]的右侧，
即－≥2，a≤－4时，f(x)在此区间上是减函数．
所以此时g(a)＝f(－2)＝7－2a.
当对称轴x＝－在区间[－2,2]内时，如果－2<－<0，
即0所以此时f(x)在x＝2时取到最大值，
为g(a)＝f(2)＝7＋2a；
如果0<－<2，即－4则x＝－2距离对称轴较远，此时f(x)在x＝－2时取到最大值，为g(a)＝f(－2)＝7－2a.
当对称轴x＝－在区间[－2,2]的左边，
即－≤－2，a≥4时，f(x)在此区间上是增函数．
所以此时g(a)＝f(2)＝7＋2a.
综上得：g(a)＝
四、动函数在动区间上的最值
例20 设a为实数，函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1(x∈R)，求f(x)的最小值．
解 ①当x≤a时，
函数f(x)＝x2－x＋a＋1＝2＋a＋，
若a≤，则函数f(x)在(－∞，a]上单调递减，
从而f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(a)＝a2＋1；
若a＞，则f(x)在(－∞，a]上的最小值为
f＝＋a.
②当x≥a时，
f(x)＝x2＋x－a＋1＝2－a＋，
若a≤－，则函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为
f＝－a；
若a＞－，则函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为f(a)＝a2＋1.
综上，当a≤－时，函数f(x)的最小值为－a；
当－＜a≤时，函数f(x)的最小值为a2＋1；
当a＞时，函数f(x)的最小值为a＋.
点评 当二次函数在某个区间上求最值时，其 ( http: / / www.21cnjy.com )关键在于明确函数的对称轴与自变量取值范围的相对位置关系，分对称轴在区间内、在区间左边、在区间右边三种情况讨论．
形如“y＝x＋(a>0)”的函数图象的探究
例21 试探究函数f(x)＝x＋(a>0)，x∈(0，＋∞)的单调区间．
解 任取0＝.
由于x1－x2及x1x2的符号已定，
从而f(x1)－f(x2)的符号取决于x1x2－a的符号．
由于x1，x2只能取f(x)的某个单调区间上的值，因此考虑x1＝x2这一极端情形，
则x1x2－a＝x－a，若为零，得x1＝x2＝，
从而将定义域(0，＋∞)分为两个区间(0，)及[，＋∞)，
由此讨论它的单调性即可．
任取00于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(0，)上单调递减．
同理可知，函数f(x)在[，＋∞)上单调递增．
由f(x)是奇函数，知f(x)在(－∞，－)上单调递增，在(－，0)上单调递减．
由函数的单调性及奇偶性，可作出如下图象：
知识延伸 (1)函数y＝x＋(a>0)是一个常用且重要的函数，其图象如图所示，记住这个图象和性质会给解题带来方便．
(2)对形如f(x)＝这种“分式型”的函数，求它在区间[a，b]上的最值，常用“分离变量”法转化为y＝x＋(a>0)模型求解．
谈复合函数的单调性
设y＝f(t)是t的函数，t＝g(x)是 ( http: / / www.21cnjy.com )x的函数，若t＝g(x)的值域是y＝f(t)定义域的子集，则y通过中间变量t构成x的函数，称为x的复合函数，记作y＝f(t)＝f[g(x)]．
如函数y＝，若设t＝1－x，则y＝.这里t是x的函数，y是t的函数，所以y＝是x的复合函数，把t称为中间变量．
问题1 已知函数y＝f(t)的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义域为区间[m，n]，函数t＝g(x)的定义域为区间[a，b]，值域D [m，n]．若y＝f(t)在定义域内单调递增，t＝g(x)在定义域内单调递增，那么y＝f[g(x)]是否为[a，b]上的增函数？为什么？
探究 y＝f[g(x)]是区间[a，b]上的增函数．证明如下：
任取x1，x2∈[a，b]，且x1因为t＝g(x)在[a，b ( http: / / www.21cnjy.com )]上递增，所以g(x1)问题2 若将g(x)在区间[a，b ( http: / / www.21cnjy.com )]上“递增”改为“递减”或将f(x)在区间[m，n]上“递增”改为“递减”等，这时复合函数y＝f[g(x)]在区间[a，b]上的单调性又如何呢？
探究 利用解决问题1的方法就可以得出相应的结论(你不妨一试)．由此可得到如下复合函数单调性的结论：
y＝f(t) 递增 递减
t＝g(x) 递增 递减 递增 递减
y＝f[g(x)] 递增 递减 递减 递增
以上规律可总结为：“同向得增 ( http: / / www.21cnjy.com )，异向得减”或“同增异减”．不过要注意：单调区间必须注意定义域；要确定t＝g(x)(常称内层函数)的值域，否则无法确定f(t)(常称外层函数)的单调性．
例22 求函数y＝的单调区间．
解 函数y＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
设t＝(x＋1)2，则y＝(t>0)．
当x∈(－∞，－1)时，t是x的减函数，y是t的减函数，
所以(－∞，－1)是y＝的递增区间；
当x∈(－1，＋∞)时，t是x的增函数，y是t的减函数，
所以(－1，＋∞)是y＝的递减区间．
综上知，函数y＝的递增区间为(－∞，－1)，递减区间为(－1，＋∞)．
试一试 求y＝的单调区间．
解 由x2－2x－3≠0，得x≠－1或x≠3，
令t＝x2－2x－3(t≠0)，则y＝，
因为y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数，
而t＝x2－2x－3在(－∞，－1)，(－1,1)上为减函数，
在(1,3)，(3，＋∞)上是增函数，所以函数y＝的递增区间为(－∞，－1)，(－1,1)，
递减区间为(1,3)，(3，＋∞).
函数基本性质如何考？
1．(辽宁高考)设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x)＝f的所有x之和为( )
A．－3 B．3 C．－8 D．8
解析 因为f(x)是连续的偶函数，且x>0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f(x)＝f，只有两种情况：
①x＝； ②x＋＝0.
由①知x2＋3x－3＝0，故两根之和为x1＋x2＝－3.
由②知x2＋5x＋3＝0，故两根之和为x3＋x4＝－5.
因此满足条件的所有x之和为－8.
答案 C
2．(全国Ⅱ高考)函数f(x)＝－x的图象关于( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
解析 f(x)＝－x的定义域为{x|x≠0}，
∵f(－x)＝－＋x＝－＝－f(x)．
∴f(x)是一个奇函数．∴f(x)的图象关于原点对称．
答案 C
3．(重庆高考)若定义在R ( http: / / www.21cnjy.com )上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋1，则下列说法一定正确的是( )
A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数
C．f(x)＋1为奇函数 D．f(x)＋1为偶函数
解析 令x1＝x2＝0，得f(0)＝2f(0)＋1，所以f(0)＝－1.
令x2＝－x1，得f(0)＝f(x1)＋f(－x1)＋1，
即f(－x1)＋1＝－f(x1)－1.所以f(x)＋1为奇函数．
答案 C
4．(湖南高考)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
解析 结合图象，由f(x)在[1,2]上为减函数知a≤1，
由g(x)在[1,2]上是减函数知a>0.∴0答案 D
5．(上海高考)若函数f(x)＝(x＋a ( http: / / www.21cnjy.com ))(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝____________.
解析 ∵f(－x)＝f(x)且f(x)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2，
∴b(－x)2＋(2a＋ab)(－x)＋2a2＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2，
∴－(2a＋ab)＝2a＋ab，即2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2.
当a＝0时，f(x)＝bx2，∵f(x)值域为(－∞，4]，
而y＝bx2值域不可能为(－∞，4]，∴a≠0.
当b＝－2时，f(x)＝－2x2＋2a2，值域为(－∞，2a2]．
∴2a2＝4，∴a2＝2.∴f(x)＝－2x2＋4.
答案 －2x2＋4
6．(上海高考)若函数f(x)＝a|x－b|＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a、b，的取值范围是________．
解析 f(x)＝
∵函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
∴必有a>0，且[0，＋∞)是[b，＋∞)的子集，
即a>0，且b≤0.
答案 a>0且b≤0第一章 集合与函数概念
§1.1 集 合
1.1.1 集合的含义与表示（一）
1．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力．
2．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性．
1．元素与集合的概念
(1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母表示．
(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示．
2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
3．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的．
4．元素与集合的关系
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA.
5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．
对点讲练
集合的概念
【例1】 考查下列每组对象能否构成一个集合：
(1)著名的数学家； (2)某校2007年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数； (4)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(5)直角坐标平面内第一象限的一些点； (6)的近似值的全体．
解 (1)“著名的数学家”无明确的标准 ( http: / / www.21cnjy.com )，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合．
规律方法 判断指定的对象能不能形成集合 ( http: / / www.21cnjy.com )，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是( )
A．高个子的人 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数
答案 D
集合中元素的特性
【例2】 已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.
分析 考查元素与集合的关系，体会分类讨论思想的应用．
解 ∵－3∈A，则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，
∴a＝－1或a＝－.则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．
当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，
∴a＝－.
规律方法 对于解决集合中元素含有参 ( http: / / www.21cnjy.com )数的问题一定要全面思考，特别关注元素在集合中的互异性．分类讨论的思想是中学数学中的一种重要的数学思想，我们一定要在以后的学习中熟练掌握．
变式迁移2 已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．
解 ∵2∈A，∴m＝2或m2－3m＋2＝2.
若m＝2，则m2－3m＋2＝0，
不符合集合中元素的互异性，舍去．
若m2－3m＋2＝2，求得m＝0或3.
m＝0不合题意，舍去．经验证m＝3符合题意，
∴m只能取3.
元素与集合的关系
【例3】 若所有形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－2是不是集合A中的元素．
分析 解答本题首先要理解∈与D/∈的含义 ( http: / / www.21cnjy.com )，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，6－2能否化成此形式，进而去判断6－2是不是集合A中的元素．
解 因为在3a＋b(a∈Z，b∈Z)中，
令a＝2，b＝－2，
即可得到6－2，
所以6－2是集合A中的元素．
规律方法 判断一个元素是不是某个集合 ( http: / / www.21cnjy.com )的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式．
变式迁移3 集合A是由形如m＋n(m∈Z，n∈Z)的数构成的，判断是不是集合A中的元素．
解 ∵＝2＋＝2＋×1，而2,1∈Z，
∴2＋∈A，即∈A.
1．充分利用集合中元素的三大特性是解决集合问题的基础．
2．两集合中的元素相同则两集合就相同，与它们元素的排列顺序无关．
3．解集合问题特别是涉及求字母的值或范围，把所得结果代入原题检验是不可缺少的步骤．特别是互异性，最易被忽视，必须在学习中引起足够重视．
课时作业
一、选择题
1．下列几组对象可以构成集合的是( )
A．充分接近π的实数的全体 B．善良的人
C．某校高一所有聪明的同学 D．某单位所有身高在1.7 m以上的人
答案 D
2．下列四个说法中正确的个数是( )
①集合N中最小数为1；②若a∈N，则－aN；
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④所有小的正数组成一个集合．
A．0 B． 1 C．2 D．3
答案 A
3．由a2 ，2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1 B．－2 C．6 D．2
答案 C
解析 验证，看每个选项是否符合元素的互异性．
4．已知集合S的三个元素a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案 D
解析 由元素的互异性知a，b，c均不相等．
5．已知x、y、z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0M B．2∈M C．－4M D．4∈M
答案 D
解析 分类讨论：x、y、z中三个为正，两个为正，一个为正，全为负，此时代数式的值分别为4,0,0，－4，∴4∈M.
二、填空题
6．用“∈”或“”填空
(1)－3______N；(2)3.1 ( http: / / www.21cnjy.com )4______Q；(3)______Z；(4)－______R；(5)1______N*；(6)0________N.
答案 (1) (2)∈ (3) (4)∈ (5)∈ (6)∈
7．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1A，x＋1A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为________．
答案 1
解析 当x＝1时，x－1＝0A，x＋1＝2∈A；
当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；
当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4A；
当x＝5时，x－1＝4A，x＋1＝6A；
综上可知，A中只有一个孤立元素5.
8．由下列对象组成的集体属于集合的是________(填序号)．
①不超过π的正整数；②高一数学课本中所有的难题；③中国的大城市；
④平方后等于自身的数；⑤某校高一(2)班中考试成绩在500分以上的学生．
答案 ①④⑤
三、解答题
9．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，求x.
解 当3x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，
则x＝－2或x＝1.
经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．
当x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，则x＝－3或2.
经检验，x＝－3或x＝2均合题意．
∴x＝－3或x＝2.
10．设P、Q为两个非空实数集 ( http: / / www.21cnjy.com )合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
解 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．
【探究驿站】
11．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A (a≠1)．
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
证明 (1)若a∈A，则∈A.
又∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中另外两个元素为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，∴A不可能为单元素集．1.1.1 集合的含义与表示(二)
自主学习
1．掌握集合的表示方法，能在具体问题中选择适当的方法表示集合．
2．通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，培养自主探究意识和自学能力．
1．把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．
3．不等式x－7<3的解集为{x|x<10}．
4．所有偶数的集合可表示为{x∈Z|x＝2k，k∈Z}。
5．方程(x＋1)(x－3)＝0的所有实数根组成的集合为{－1,3}
对点讲练
用列举法表示集合
【例1】 用列举法表示下列集合：
(1)已知集合M＝，求M； (2)方程组的解集；
(3)由＋(a，b∈R)所确定的实数集合．
分析 解答本题可先弄清集合元素的性质特点，然后再按要求改写．
解 (1)∵x∈N，且∈Z，
∴1＋x＝1,2,3,6，
∴x＝0,1,2,5，∴M＝{0,1,2,5}．
(2)由，得，
故方程组的解集为{(1,1)}．
(3)要分a>0且b>0，a>0且b<0，a<0且b>0，a<0且b<0四种情况考虑，故用列举法表示为{－2,0,2}．
规律方法 (1)列举法表示集合，元素不重 ( http: / / www.21cnjy.com )复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开．(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然．
变式迁移1 用列举法表示下列集合：
(1)A＝{x||x|≤2，x∈Z}； (2)B＝{x|(x－1)2(x－2)＝0}；
(3)M＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}； (4)已知集合C＝，求C.
解 (1)∵|x|≤2，x∈Z，
∴－2≤x≤2，x∈Z，
∴x＝－2，－1,0,1,2.
∴A＝{－2，－1,0,1,2}．
(2)∵1和2是方程(x－1)2(x－2)＝0的根，
∴B＝{1,2}．
(3)∵x＋y＝4，x∈N*，y∈N*，
∴或或
∴M＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．
(4)结合例1(1)知，＝6,3,2,1，
∴C＝{6,3,2,1}．
用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
(1)所有正偶数组成的集合； (2)方程x2＋2＝0的解的集合；
(3)不等式4x－6<5的解集； (4)函数y＝2x＋3的图象上的点集．
解 (1)文字描述法：{x|x是正偶数}．
符号描述法：{x|x＝2n，n∈N*}．
(2){x|x2＋2＝0，x∈R}．
(3){x|4x－6<5，x∈R}．
(4){(x，y)|y＝2x＋3，x∈R，y∈R}．
规律方法 用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么？同时要注意代表元素所具有的性质．
变式迁移2 用描述法表示下列集合：
(1)函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象上所有点的集合；
(2)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合；
(3)不等式x－3>2的解集．
解 (1){(x，y)|y＝ax2＋bx＋c，x∈R，a≠0}．
(2)＝.
(3){x∈R|x－3>2}．
列举法和描述法的灵活运用
【例3】 用适当的方法表示下列集合：
(1)比5大3的数； (2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(3)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
分析 对于(1)，比5大3的数就是8，宜用 ( http: / / www.21cnjy.com )列举法；对于(2)，方程为二元二次方程，可将方程左边因式分解后求解，宜用列举法；对于(3)，所给二次函数图象上的点有无数个，宜采用描述法．
解 (1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}．
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为
(x－2)2＋(y＋3)2＝0，
∴，∴方程的解集为{(2，－3)}．
(3)“二次函数y＝x2－10的图象上的点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．
规律方法 用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
变式迁移3 用适当的方法表示下列集合：
(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合；
(2)由所有周长等于10 cm的三角形组成的集合；
(3)从1,2,3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合；
(4)二元二次方程组的解集．
解 (1)列举法：{3,5,7}．
(2)描述法：{周长为10 cm的三角形}．
(3)列举法：{1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,312,321}．
(4)列举法：{(0,0)，(1,1)}．
1．在用列举法表示集合时应注意以下四点：
(1)元素间用“，”分隔；
(2)元素不重复；
(3)不考虑元素顺序；
(4)对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法
但是须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号．
2．使用描述法时应注意以下四点：
(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号)；
(2)说明该集合中元素的特征；
(3)不能出现未被说明的字母；
(4)用于描述的语句力求简明、确切．
课时作业
一、选择题
1．集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是( )
A．{x|x是不大于9的非负奇数} B．{x|x≤9，x∈N}
C．{x|1≤x≤9，x∈N} D．{x|0≤x≤9，x∈Z}
答案 A
2．在直角坐标系内，坐标轴上的点的集合可表示为( )
A．{(x，y)|x＝0，y≠0} B．{(x，y)|x≠0，y＝0}
C．{(x，y)|xy＝0} D．{(x，y)|x＝0，y＝0}
答案 C
3．下列语句：
①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；
③方程(x－1)2(x－2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4正确的是( )
A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上语句都不对
答案 C
4．已知集合A＝，则A为( )
A．{2,3} B．{1,2,3,4} C．{1,2,3,6} D．{－1,2,3,4}
答案 D
解析 由∈N*可知，5－a为6的正因数，所以5－a可以等于1,2,3,6，相应的a分别等于4,3,2，－1，即A＝{－1,2,3,4}．
5．下列集合中表示同一集合的是( )
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)} B．M＝{3,2}，N＝{2,3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}
答案 B
二、填空题
6．下列可以作为方程组的解集的是__________(填序号)．
(1){x＝1，y＝2}； (2){1,2}； (3){(1,2)}； (4){(x，y)|x＝1或y＝2}；
(5){(x，y)|x＝1且y＝2}； (6){(x，y)|(x－1)2＋(y－2)2＝0}．
答案 (3)(5)(6)
7．已知a∈Z，A＝{(x，y)|ax－y≤3}且(2,1)∈A，(1，－4)A，则满足条件的a的值为________．
答案 0,1,2
解析 ∵(2,1)∈A且(1，－4) A，
∴2a－1≤3且a＋4>3，
∴－1∴a的取值为0,1,2.
8．已知集合M＝{x∈N|8－x∈N}，则M中的元素最多有________个．
答案 9
三、解答题
9．用另一种方法表示下列集合．
(1){绝对值不大于2的整数}； (2){能被3整除，且小于10的正数}；
(3){x|x＝|x|，x<5且x∈Z}； (4){(x，y)|x＋y＝6，x∈N*，y∈N*}；
(5){－3，－1,1,3,5}．
解 (1){－2，－1,0,1,2}．
(2){3,6,9}．
(3)∵x＝|x|，∴x≥0，又∵x∈Z且x<5，
∴x＝0或1或2或3或4.
∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}．
(4){(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．
(5){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．
10．用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合．
解 用描述法表示为(即用符号语言表示)：
.
【探究驿站】
11．对于a，b∈N＋，现规定：
a*b＝.
集合M＝{(a，b)|a*b＝36，a，b∈N＋}
(1)用列举法表示a，b奇偶性不同时的集合M；
(2)当a与b的奇偶性相同时集合M中共有多少个元素？
解 (1)当a，b奇偶性不同时，a*b＝a×b＝36，
则满足条件的(a，b)有(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)，故集合M可表示为：
M＝{(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)}．
(2)当a与b的奇偶性相同时a*b＝a＋b ( http: / / www.21cnjy.com )＝36，由于两奇数之和为偶数，两偶数之和仍为偶数，故36＝1＋35＝2＋34＝3＋33＝…＝17＋19＝18＋18＝19＋17＝…＝35＋1，
所以当a，b奇偶性相同时这样的元素共有35个．1.2.2 函数的表示法(二)
自主学习
1．了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题．
2．了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射．
1．分段函数
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
2．映射的概念
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的 ( http: / / www.21cnjy.com )对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
3．映射与函数
由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是非空数集．
对点讲练
分段函数的求值问题
【例1】 已知函数f(x)＝
(1)求f[f()]的值； (2)若f(a.)＝3，求a.
的值．
分析 本题给出的是一个分段函数，函数值的取得直接依赖于自变量x属于哪一个区间，所以要对x的可能范围逐段进行讨论．
解 (1)∵－1<<2，∴f()＝()2＝3.
而3≥2，∴f[f()]＝f(3)＝2×3＝6.
(2)当a.≤－1时，f(a.)＝ ( http: / / www.21cnjy.com )a.＋2，又f(a.)＝3，∴a.＝1(舍去)；当－1∴a.＝(舍去)．综上所述，a.＝.
规律方法 对于f(a.)，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a.
所在范围有关，因此要对a.进行讨论．由此我们可以看到：
(1)分段函数的函数值要分段去求；
(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要而产生的．
变式迁移1 设f(x)＝若f(a.)>a.，则实数a.的取值范围是________．
答案 a.<－1
解析 当a.≥0时，f(a.)＝a.－1，解a.－1>a.，得a.<－2与a.≥0矛盾，当a.<0时，f(a.)＝，解>a.，得a.<－1.∴a.<－1.
分段函数的图象及应用
【例2】 已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出该函数的图象；
(3)写出该函数的值域．
→
→
→→
解 (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2∴f(x)＝.
(2)函数f(x)的图象如图所示，
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
规律方法 对含有绝对值的函数，要作出其图象， ( http: / / www.21cnjy.com )首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．
变式迁移2 设函数f(x)＝，使得f(x)≥1的自变量x的取值范围是______________________．
答案 (－∞，－2]∪[0,2]
解析
在同一坐标系中分别作出f(x)及y＝1的图象(如图所示)，观察图象知，x的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2]．
映射概念及运用
【例3】 判断下列对应关系哪些是从集合A到集合B的映射，哪些不是，为什么？
（1）A={x|x为正实数}，B={y|y∈R[}，f：x→y=±
（2）A=R，B={0，1},对应关系f：x,→y＝
（3）A=Z，B=Q，对应关系f：x→y=；
（4）A={0，1，2，9}，B={0，1，4，9，64}，对应关系f:a→b=
解 (1)任一个x都有两个y与之对应，∴不是映射．
(2)对于A中任意一个非负数都有唯一的元素1和它对应，任意一个负数都有唯一的元素0和它对应，
∴是映射．
(3)集合A中的0在集合B中没有元素和它对应，故不是映射．
(4)在f的作用下，A中的0,1,2,9分别对应到B中的1,0,1,64，∴是映射．
规律方法 判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：(1)是否是“对于A中的 每一个元素”；(2)在B中是否“有唯一的元素与之对应”．
一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点至少有一点不具备就不是映射．说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可．
变式迁移3 下列对应是否是从A到B的映射，能否构成函数？
(1)A=R，B=R,f:xy＝；
(2)A＝{a.|a.＝n，n∈N＋}，B＝，f：a.→b＝；
(3)A=,B=R，f:x→y2＝x；
(4)A＝{x|x是平面M内的矩形}，B＝{x|x是平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆．
解 (1)当x＝－1时，y的值不存在，
∴不是映射，更不是函数．
(2)是映射，也是函数，因A中所有的元素的倒数都是B中的元素．
(3)∵当A中的元素不为零时，B中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数．
(4)是映射，但不是函数，因为A，B不是数集．
1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．
2．判断一个对应是不是映射，主要利用映射的定义：
(1)集合A到B的映射，A、B必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)；
(2)对应关系有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；
(3)与A中元素对应的元素构成的集合是集合B的子集．
课时作业
一、选择题
1．下列集合A到集合B的对应f是映射的是( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝N*，f：a.→b＝(a.＋1)2
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
答案 A
2．设集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则f不是映射的是( )
A． f:x→y＝x B. f:x→y＝x
C. f:x→y＝x D. f:x→y＝x
答案 A
由f:xy＝x，集合A中的元素6对应3{y|0≤y≤2}，故选项A不是映射．
3．已知f(x)＝(x∈N)，那么f(3)等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 由题意知f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.
4．已知f(x)＝，g(x)＝，则当x<0时，f[g(x)]等于( )
A．－x B．－x2 C．x D．x2
答案 B
解析 当x<0时，g(x)＝－x2<0，
∴f[g(x)]＝－x2.
二、填空题
5．已知f(x)＝，则f(f(f(－1)))的值是__________．
答案 π＋1
解析 f(－1)＝0，f(0)＝π，f(π)＝π＋1
∴f(f(f(－1)))＝f(f(0))＝f(π)＝π＋1.
6．已知f(x)＝，则不等式xf(x)＋x≤2的解集是__________．
答案 {x|x≤1}
解析 当x≥0时，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，
解得x≤1，∴0≤x≤1；
当x<0时，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，
解得x≤2，∴x<0.
综上可知x≤1.
三、解答题
7．若[x]表示不超过x的最大整数，画出y＝[x] (－3≤x<3)的图象．
解 作出y＝[x]的图象如下图所示．
8．已知函数y＝f(x)的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．
解 根据图象，设左侧射线对应的函数解析式为y＝kx＋b (x<1)．
∵点(1,1)、(0,2)在射线上，
∴ 解得
∴左侧射线对应的函数解析式为y＝－x＋2 (x<1)．
同理，x>3时，函数的解析式为y＝x－2 (x>3)．
又抛物线对应的二次函数的解析式为
y＝a.(x－2)2＋2 (1≤x≤3，a.<0)，
∵点(1,1)在抛物线上，∴a.＋2＝1，a.＝－1，
∴当1≤x≤3时，函数的解析式为
y＝－x2＋4x－2 (1≤x≤3)．
综上所述，函数的解析式为
y＝
【探究驿站】
9．已知函数f(x)＝求使等式f[f(x)]＝1成立的实数x构成的集合．
解 当x∈[0,1]时，恒有f[f(x)]＝f(1)＝1，
当x[0,1]时，f[f(x)]＝f(x－3)，
若0≤x－3≤1，即3≤x≤4时，f(x－3)＝1，
若x－3[0,1]，f(x－3)＝(x－3)－3，
令其值为1，即(x－3)－3＝1，∴x＝7.
综合知：x的值构成的集合为
{x|0≤x≤1或3≤x≤4或x＝7}．