第三章 函数的应用
§3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
自主学习
1．能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2．理解函数的零点与方程根的关系．
3．掌握函数零点的存在性的判定方法．
1．对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的________．
2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的__________，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的__________．
3．方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有________ 函数y＝f(x)有________．
4．函数零点的存在性的判定方法
如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象 ( http: / / www.21cnjy.com )是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)________0，那么y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)________0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
对点讲练
求函数的零点
【例1】 求下列函数的零点：
(1)f(x)＝－x2－2x＋3； (2)f(x)＝x4－1； (3)f(x)＝x3－4x.
规律方法 求函数的零点，关键是准确求解方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的根，若是高次方程，要进行因式分解，分解成多个因式积的形式且方程的另一边为零，若是二次方程常用因式分解或求根公式求解．
变式迁移1 若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．
判断函数在某个区间内是否有零点
【例2】 (1)函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3) C.和(3,4) D．(e，＋∞)
(2)f(x)＝ln x－在x>0上共有________个零点．
规律方法 这是一类非常基础且常见的问题，考 ( http: / / www.21cnjy.com )查的是函数零点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该函数的单调性．
变式迁移2 方程x2－3x＋1＝0在区间(2,3)内根的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．不确定
已知函数零点的特征，求参数范围
【例3】 若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值范围．
变式迁移3 已知在函数f(x)＝mx2－3x＋1的图象上其零点至少有一个在原点右侧，求实数m的范围．
1．函数f(x)的零点就是 ( http: / / www.21cnjy.com )方程f(x)＝0的根，但不能将它们完全等同．如函数f(x)＝x2－4x＋4只有一个零点，但方程f(x)＝0有两个相等实根．
2．并不是所有的函数都有零点，即使在区 ( http: / / www.21cnjy.com )间[a，b]上有f(a)·f(b)<0，也只说明函数y＝f(x)在(a，b)上至少有一个零点，但不一定唯一．反之，若f(a)·f(b)>0，也不能说明函数y＝f(x)在区间(a，b)上无零点，如二次函数y＝x2－3x＋2在[0,3]上满足f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0,3)上有零点1和2.
3．函数的零点是实数而不是坐标轴上的点．
课时作业
一、选择题
1．若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列说法中错误的是( )
A．函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点
B．函数f(x)在(3,5)内无零点
C．函数f(x)在(2,5)内有零点
D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点
2．函数f(x)＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间( )
A．(5,6) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2)
3．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
4．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f(x)的零点的个数为( )
A．1 003 B．1 004 C．2 006 D．2 007
5．若函数y＝f(x)在区间[0, ( http: / / www.21cnjy.com )4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值( )
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断
二、填空题
6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点有________个．
7．若函数f(x)＝ax＋b (a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是__________．
8．方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一个实根，则实数a的取值范围是____________．
三、解答题
9．判断下列函数在给定区间上是否存在零点．
(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；
(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]； (3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
10．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．
(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；
(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．
第三章 函数的应用
§3.1 函数与方程
3．1.1 方程的根与函数的零点
答案
自学导引
1．零点
2．实数根 横坐标
3．交点 零点
4．< ＝
对点讲练
【例1】 解 (1)由于f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)．
所以方程－x2－2x＋3＝0的两根是－3,1.
故函数的零点是－3,1.
(2)由于f(x)＝x4－1
＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，
所以方程x4－1＝0的实数根是－1,1，
故函数的零点是－1,1.
(3)令f(x)＝0，即x3－4x＝0，
∴x(x2－4)＝0，即x(x＋2)(x－2)＝0.
解得：x1＝0，x2＝－2，x3＝2，
所以函数f(x)＝x3－4x有3个零点，分别是－2,0,2.
变式迁移1 解 ∵2，－4是函数f(x)的零点，
∴f(2)＝0，f(－4)＝0.
即，解得.
【例2】 (1)B (2)1
解析 (1)∵f(1)＝－2<0，
f(2)＝ln 2－1<0，
∴在(1,2)内f(x)无零点，A不对；
又f(3)＝ln 3－>0，∴f(2)·f(3)<0，
∴f(x)在(2,3)内有一个零点．
(2)f(x)＝ln x－在x>0上是增函数，且f(2)·f(3)<0，
故f(x)有且只有一个零点．
变式迁移2 B [令f(x)＝x2－3x＋1，∴其对称轴为x＝，
∴f(x)在(2,3)内单调递增，又∵f(2)·f(3)<0，
∴方程在区间(2,3)内仅有一个根．]
【例3】 解 ①若a＝0，则f(x)＝－x－1，为一次函数，易知函数仅有一个零点；
②若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax2－x－1＝0仅有一个实数根，
故判别式Δ＝1＋4a＝0，则a＝－.
综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．
变式迁移3 解 (1)当m＝0时，f(0)＝－3x＋1，直线与x轴的交点为，即函数的零点为，在原点右侧，符合题意．
图①
(2)当m≠0时，∵f(0)＝1，
∴抛物线过点(0,1)．
若m<0，f(x)的开口向下，如图①所示．
二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．
图②
若m>0，f(x)的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当
9－4m≥0即可，解得0
综上所述，m的取值范围为 .
课时作业
1．C
2．B [f(3)＝log33－8＋2×3＝－1<0，
f(4)＝log34－8＋2×4＝log34>0.
又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以其零点一定位于区间(3,4)．]
3．C [若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，
由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；
若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx ( http: / / www.21cnjy.com )＋c为二次函数，如有两个零点，则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．故f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点．]
4．D [因为f(x)是奇函数，则f(0)＝0，又在(0，＋∞)内的零点有1 003个，所以f(x)在
(－∞，0)内的零点有1 003个．因此f(x)的零点共有1 003＋1 003＋1＝2 007个．]
5．D [考查下列各种图象
上面各种函数y＝f(x)在(0,4)内仅有一个零点，
但是(1)中，f(0)·f(4)>0，
(2)中f(0)·f(4)<0，(3)中f(0)·f(4)＝0.]
6．2
解析 ∵Δ＝b2－4ac>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，即函数f(x)有2个零点．
7．0，－
解析 由2a＋b＝0，得b＝－2a，g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax，
令g(x)＝0，得x＝0或x＝－，
∴g(x)＝bx2－ax的零点为0，－.
8．(1，＋∞)
解析 令f(x)＝2ax2－x－1，a＝0时不符合题意；
a≠0且Δ＝0时，解得a＝－，
此时方程为－x2－x－1＝0，也不合题意；
只能f(0)·f(1)<0，解得a>1.
9．解 (1)方法一 ∵f(1)＝－20<0，f(8)＝22>0，
∴f(1)·f(8)<0.
故f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点．
方法二 令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或x＝6，
∴函数f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点．
(2)∵f(－1)＝－1<0，f(2)＝5>0，
∴f(－1)·f(2)<0.
故f(x)＝x3－x－1在[－1,2]上存在零点．
(3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1>log22－1＝0，
f(3)＝log2(3＋2)－3∴f(1)·f(3)<0.
故f(x)＝log2(x＋2)－x在[1,3]上存在零点．
10．解 (1)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点，
∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数根．
则
解得k＝－2.
(2)若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根，
∴
则
∴α2＋β2在区间上的最大值是18，最小值是，
即α2＋β2的取值范围为.3.2.2 函数模型的应用实例
自主学习
1．掌握几种初等函数的应用．
2．理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法．
3．了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤．
1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：
(1)________________________________________________；
(2)________________________________________________；
(3)________________________________________________．
2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：
(1)________________；(2)________；(3)______________；
(4)______________； (5)________；(6)______________．
对点讲练
已知函数模型的应用问题
【例1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝.其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
变式迁移1 为了预防流感，某学校对教室用药 ( http: / / www.21cnjy.com )熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为__________________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含 ( http: / / www.21cnjy.com )药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
自建函数模型的应用问题
【例2】 某公司每年需购买某种元件8 ( http: / / www.21cnjy.com )000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？
变式迁移2 某工厂拟建一座平面图 ( http: / / www.21cnjy.com )为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．
(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．
函数模型的选择
【例3】 某工厂今年1月、2月、3月 ( http: / / www.21cnjy.com )生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝abx＋c(其中a，b，c为常数，a≠0)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．
变式迁移3 某地西红柿从2 ( http: / / www.21cnjy.com )月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系；
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt；
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
1．解答应用题的基本步骤：
(1)设：合理、恰当地设出变量；
(2)写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题；
(3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；
(4)答：将数学问题的解还原到实际生活问题中，给出最终的答案．
2．在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是：
课时作业
一、选择题
1．今有一组实验数据如下：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
V 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是( )
A．V＝log2t B．V＝logt C．V＝ D．V＝2t－2
2．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )
A．2 400元 B．900元 C．300元 D．3 600元
3. 一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面 ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是( )
4．某种电热水器的水箱盛满水是200升 ( http: / / www.21cnjy.com )，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡( )
A．3人 B．4人 C．5人 D．6人
二、填空题
5．60年国庆，举国欢腾，某旅游胜地的客流 ( http: / / www.21cnjy.com )量急速增加．某家客运公司为招揽游客，推出了客运定票的优惠政策：如果行程不超过100 km，票价是0.4元/km；如果超过100 km，则超过100 km的部分按0.3元/km定价．则客运票价y元与行程公里x km之间的函数关系是______________________________．
6. 右图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在 ( http: / / www.21cnjy.com )相距为80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用6 h(含途中休息的1 h)，骑摩托车者用了2 h．有人根据这个函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上骑自行车者．其中正确的序号是
__________________________________________________．
三、解答题
7．某产品的总成本y(万元)与产量x( ( http: / / www.21cnjy.com )台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(08．某厂生产某种零件，每 ( http: / / www.21cnjy.com )个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？
函数模型的应用实例
答案
自学导引
1．(1)利用给定的函数模型解决实际问题
(2)建立确定性的函数模型解决问题
(3)建立拟合函数模型解决实际问题
2．(1)收集数据 (2)描点 (3)选择函数模型 (4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解决实际问题
对点讲练
【例1】 解 (1)设每月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，
从而f(x)＝.
(2)当0≤x≤400时，
f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
∴当x＝300时，有最大值25 000；
当x>400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x)<60 000－100×400<25 000.
∴当x＝300时，f(x)取最大值．
∴每月生产300台仪器时，利润最大，
最大利润为25 000元．
变式迁移1 (1) y＝ (2)0.6
解析 (1)设y＝kt (k≠0)，由图象知y＝kt过点(0.1,1)，则1＝k×0.1，k＝10，
∴y＝10t (0≤t≤0.1)；
由y＝t－a过点(0.1,1)得1＝0.1－a，
a＝0.1，
∴y＝t－0.1 (t>0.1)．
∴y＝
(2)由t－0.1≤0.25＝，得t≥0.6，
故至少需经过0.6小时．
【例2】 解 设每年购买和贮存元件总费用为y元，其中购买成本费为固定投入，
设为c元，
则y＝500n＋2××＋c
＝500n＋＋c＝500(n＋)＋c
＝500(－)2＋4 000＋c，
当且仅当＝，即n＝4时，y取得最小值且ymin＝4 000＋c.
所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．
变式迁移2 解 (1)设污水处理池的长为x m，则宽为m，总造价为y.
∴y＝400(2x＋2×)＋248××2＋80×200＝800(x＋)＋16 000.
∵，
∴12.5≤x≤16.
故其定义域为[12.5,16]．
(2)先讨论y＝800(x＋)＋16 000在[12.5,16]上的单调性．
设x1，x2∈[12.5,16]且x1y1－y2＝800[(x1－x2)＋324(－)]
＝800(x1－x2)(1－)．
∵x1，x2∈[12.5,16]，x1∴x1·x2<162<324.
∴1－<0，x1－x2<0.
∴y1－y2>0.
∴此函数在[12.5,16]上单调递减．
∴当x＝16时，ymin＝45 000(元)，
此时，宽为 m＝12.5 m.
∴当池长为16 m，宽为12.5 m时，
总造价最低为45 000元．
【例3】 解 设f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)，则有
解得p＝－0.05，q＝0.35，r＝0.7.
∴f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，
∴f(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3.
设g(x)＝abx＋c(a≠0)，则有
解得a＝－0.8，b＝0.5，c＝1.4.
∴g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4，
∴g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.
经比较可知，用g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好．
变式迁移3 解 (1)由表中数据知，
当时间t变化时，种植成本并不是单调的，
故只能选取Q＝at2＋bt＋c.
即，
解得Q＝t2－t＋.
(2)Q＝(t－150)2＋－
＝(t－150)2＋100，
∴当t＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg.
课时作业
1．C 2.A
3．D [考察相同的Δh内ΔV的大小比较．]
4．B [设最多用t分钟，则水箱内水量 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝200＋2t2－34t，当t＝时，y有最小值，此时共放水34×＝289(升)，可供4人洗澡．]
5．y＝
6．①②
解析 ③错，骑摩托车者出发1.5 h时走了60 km，而从图中可看出骑自行车者走的距离大于60 km.
7．解 由题意得
解得150≤x<240，x∈N*
∴生产者不赔本时的最低产量是150台．
8．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，
则x0＝100＋＝550(个)．
∴当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．
(2)当0当100P＝60－0.02(x－100)＝62－0.02x；
当x≥550时，P＝51.
∴P＝f(x)＝ (x∈N＋)．
(3)设销售商一次订购量为x个时，工厂获得的利润为S元，则
S＝(P－40)x＝(x∈N＋)
当x＝500时，S＝22×500－0.02×5002
＝6 000(元)；
当x＝1 000时，S＝11×1 000＝11 000(元)．
∴当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果一次订购1 000个零件时，利润是11 000元．第三章 章末复习课
知识概览
对点讲练
关于函数的零点与方程根的关系问题
【例1】 对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0.则函数f(x)在区间(a，b)内( )
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至多有一个零点
变式迁移1 实数a，b，c是图象 ( http: / / www.21cnjy.com )连续不断的函数f(x)定义域中的三个数，且满足aA．2 B．奇数 C．偶数 D．至少是2
【例2】 x1与x2分别是实系数一 ( http: / / www.21cnjy.com )元二次方程ax2＋bx＋c＝0和－ax2＋bx＋c＝0的一个根，且x1≠x2，x1≠0，x2≠0.求证：方程x2＋bx＋c＝0有一实根介于x1与x2之间．
规律方法 函数与方程的思想密切相关，相互 ( http: / / www.21cnjy.com )转化，渗透到中学数学的各个领域，在解题中存在着广泛的应用．函数的零点实质上就是对应的方程的根，方程的根的问题可以借助于相应函数的性质来解决，而函数的零点也可以由对应方程的根进行研究．
变式迁移2 如果关于x的方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0有一个根小于－1，另一个根大于1，求实数m的取值范围．
函数模型及其应用
【例3】 我国加入WTO后， ( http: / / www.21cnjy.com )根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似满足：P(x)＝2(1－kt)(x－b)2(其中t为关税的税率，且t∈，x为市场价格，b、k为正常数)，当t＝时的市场供应量曲线如图所示：
(1)根据图象求k、b的值； (2)若市 ( http: / / www.21cnjy.com )场需求量为Q，它近似满足Q(x)＝211－x，当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格不低于9元，求税率t的最小值．
规律方法 通过建立实际问题的数学模型来解 ( http: / / www.21cnjy.com )决问题的方法称为数学模型方法，简称数学建模．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最省等问题．
变式迁移3 某工厂生产某产品x吨所需 ( http: / / www.21cnjy.com )费用P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨价格为40元，求实数a、b的值．
课时作业
一、选择题
1．设函数y＝f(x)在区间(a，b)上是 ( http: / / www.21cnjy.com )连续的，且f(a)·f(b)<0，取x0＝，若f(a)·f(x0)<0，则利用二分法求方程根时取有根区间为( )
A．(a，b) B．(a，x0) C．(x0，b) D．不能确定
2．二次函数y＝x2＋px＋q的零点为1和m，且－1A．p>0且q<0 B．p>0且q>0 C．p<0且q>0 D．p<0且q<0
3．若y＝ax2＋bx＋c(a<0)中，两个零点x1<0，x2>0，且x1＋x2>0，则( )
A．b>0，c>0 B．b>0，c<0 C．b<0，c>0 D．b<0，c<0
4．函数f(x)＝2x＋2x－6的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
5．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是____．
6．函数y＝x2与函数y＝xln x在(0，＋∞)上增长较快的一个是________．
三、解答题
7．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1 ( http: / / www.21cnjy.com )亿度．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元)成反比例．又当x＝0.65元时，y＝0.8.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]
8．若函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两个零点中，一个在0和1之间，另一个在1和2之间，求k的取值范围．
章末复习课 答案
对点讲练
【例1】 C [抛物线y＝f(x)的开口向上，与x轴可能有两个交点．]
变式迁移1 D
【例2】 证明 要证方程有一实根介于x1、x2之间，
若f(x)＝x2＋bx＋c，
只需证f(x1)·f(x2)<0.
令f(x)＝x2＋bx＋c.
∵x1、x2分别是方程ax2＋bx＋c＝0和－ax2＋bx＋c＝0的一个根，
∴ax＋bx1＋c＝0，－ax＋bx2＋c＝0，
故bx1＋c＝－ax，bx2＋c＝ax，
f(x1)＝x＋bx1＋c＝x－ax＝－x，
f(x2)＝x＋bx2＋c＝x＋ax＝ax.
∵a≠0，x1≠0，x2≠0，
∴f(x1)·f(x2)<0.
故方程x2＋bx＋c＝0有一根介于x1和x2之间．
变式迁移2 解 设f(x)＝x2＋(m－ ( http: / / www.21cnjy.com )1)x＋m2－2，由题意得函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2的图象与x轴有两个交点且一个交点在(－1,0)左边，一个交点在(1,0)的右边，如图所示．
结合图象，可得：
解得0故实数m的取值范围为(0,1)．
【例3】 解 (1)由图可知，t＝时有
即解得
(2)P＝Q时，2(1－6t)(x－5)2＝211－，
即(1－6t)(x－5)2＝11－，
2(1－6t)＝＝－.
令m＝，∵x≥9，∴m∈(0，]．
故2(1－6t)＝17m2－m.
当m＝时，2(1－6t)取最大值，
故t≥，即税率的最小值为.
变式迁移3 解 设生产x吨产品时，利润为y元，则
y＝Qx－P＝ax＋－1 000－5x－x2
＝(－)x2＋(a－5)x－1 000，
依题意得
即解得a＝45，b＝－30.
课时作业
1．B
2．D [由已知得f(0)<0，－>0，
解得q<0，p<0.]
3．A [由已知可得f(0)>0，即c>0，－>0，
即b>0.]
4．B [∵f(1)<0，f(2)>0，且f(x)单调递增，
∴f(x)只有唯一零点在区间(1,2)内．]
5．4
解析 设至少要洗x次，则x≤，
∴x≥≈3.32，因此至少要洗4次．
6．y＝x2
7．解 (1)∵y与x－0.4成反比例，
∴设y＝ (k≠0)．
把x＝0.65，y＝0.8代入上式，
得0.8＝，∴k＝0.2.
∴y＝＝.
即y与x之间的函数关系式为y＝.
(2)根据题意，得·(x－0.3)
＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．
整理，得x2－1.1x＋0.3＝0.
解得x1＝0.5，x2＝0.6.
经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根．
因x的取值范围是0.55～0.75之间，故x＝0.5不符合题意，应舍去．
所以，取x＝0.6.
答 当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.
8．解 如图所示，函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1的图象开口向上，
零点x1∈(0,1)，x2∈(1,2)．
结合图象得
即解得即k的取值范围是(，)．3.2.1 几类不同增长的函数模型
自主学习
1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．
2．能够借助信息技术，利用函数 ( http: / / www.21cnjy.com )图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)，了解函数模型的广泛应用．
1．三种函数模型的性质
函数性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
图象的变化 随x的增大逐渐变“____” 随x的增大逐渐趋于________ 随n值而不同
2.指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)增长速度的比较
(1)对于指数函数y＝ax和幂函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝xn(n>0)在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于____________的增长快于____________的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有____________．
(2)对于对数函数y＝logax(a>1 ( http: / / www.21cnjy.com ))和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于____________的增长慢于________的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有____________．
对点讲练
一次函数模型
【例1】为了发展电信事业方便用户 ( http: / / www.21cnjy.com )，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示．
(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．
变式迁移1 商店出售茶壶和茶杯，茶壶每 ( http: / / www.21cnjy.com )个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的92%付款．顾客只能任选其一．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯数为x个，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论两种办法哪一种更省钱．
指数函数模型
【例2】 某化工厂生产一种溶液，按市场要 ( http: / / www.21cnjy.com )求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)
变式迁移2 2004年全国人 ( http: / / www.21cnjy.com )口普查时，我国人口数为13亿，如果从2004年开始按1%的人口年增长率来控制人口增长，那么，大约经过多少年我国人口数达到18亿？
对数函数模型的应用
【例3】 燕子每年秋天都 ( http: / / www.21cnjy.com )要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
变式迁移3 在不考虑空气阻力的条件下，火 ( http: / / www.21cnjy.com )箭的最大速度v (m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m (kg)的关系v＝2 000ln.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12 km/s
1．根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型．同时，要注意利用函数图象的直观性，来确定适合题意的函数模型．
2．常见的函数模型及增长特点
(1)直线y＝kx＋b (k>0)模型，其增长特点是直线上升；
(2)对数y＝logax (a>1)模型，其增长缓慢；
(3)指数y＝ax (a>1)模型，其增长迅速．
课时作业
一、选择题
1．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积 ( http: / / www.21cnjy.com )每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
2．能使不等式log2xA．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(0,2)∪(4，＋∞)
3．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( )
A．y＝ex B．y＝100ln x
C．y＝x100 D．y＝100·2x
4．已知镭每经过100年衰变后剩留质量是原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留质量为y，则x与y之间的关系为( )
A．y＝0.957 6x B．y＝0.957 6
C．y＝1－0.042 4 D．y＝x
5．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过( )
A．12小时 B．4小时 C．3小时 D．2小时
二、填空题
6. 某种产品市场销量情况如图所示，其中：l1表示产品各年产量的变化规律；l2表示产品各年的销售情况，下列叙述：
①产品产量、销量均以直线上升，仍可按原生产计划进行；
②产品已经出现了供大于求的情况，价格将下跌；
③产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销量；
④产品的产量、销量均以一定的年增长率增加．
你认为较合理的是________．(填序号)
7．三个变量y1、y2、y3随变量x的变化情况如下表：
x 1.00 3.00 5.00 7.00 9.00 11.00
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5.00 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
其中x呈对数函数型变化的变量是______，呈指数函数型变化的变量是______，呈幂函数型变化的变量是______．
8. 如图所示，由桶1向桶2输水，开始 ( http: / / www.21cnjy.com )时，桶1中有a L水，桶2中无水，t分钟后，桶1中剩余水y1 L满足函数关系式y＝ae－nt，那么桶2中的水y2 L满足函数关系式y＝a－ae－nt，假设经过5分钟，桶1和桶2中的水一样多，则再过________分钟，桶1中的水只有 L.
三、解答题
9．某公司预投资100万元，有两 ( http: / / www.21cnjy.com )种投资可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)
10．某租赁公司拥有汽车1 ( http: / / www.21cnjy.com )00辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
§3.2 函数模型及其应用
3．2.1 几类不同增长的函数模型
答案
自学导引
1．增函数 增函数 增函数 陡 稳定
2．(1)y＝ax y＝xn ax>xn
(2)y＝logax y＝xn logax对点讲练
【例1】 解 (1)由图象可设y1＝k1x＋29，
y2＝k2x，
把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1，y2
得k1＝，k2＝.
∴y1＝x＋29，y2＝x.
(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.
当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当x<96时，y1>y2，即如意卡便宜；
当x>96时，y1变式迁移1 解 由优惠办法(1)可得函数关系式为
y1＝20×4＋(x－4)×5＝5x＋60 (x≥4)；
由优惠办法(2)得：
y2＝4×20×0.92＋x×5×0.92＝4.6x＋73.6 (x≥4)．
令y1＝y2得x＝34.
所以当购买34只茶杯时，两办法付款相同；
当4≤x<34时，y1当x>34时，y1>y2，优惠办法(2)省钱．
【例2】 解 依题意，得·n≤，
即n≤.
则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，故n≥≈7.4，考虑到n∈N，即至少要过滤8次才能达到市场要求．
变式迁移2 解 设大约经过n年，我国人口由2004年的13亿增加到18亿，
则13×(1＋1%)n＝18.
∴1.01n＝，
即n＝log1.01＝
＝≈
＝32.883 7≈33(年)
即从2004年开始，大约经过33年，我国人口总数可达18亿．
【例3】 解 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题给公式可得：0＝5log2，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得：
v＝5log2＝5log28＝15 (m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，
它的飞行速度为15 m/s.
变式迁移3 解 由12 000＝2 000ln，
即6＝ln，
1＋＝e6，利用计算器算得≈402.
即当燃料质量约是火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
课时作业
1．D 2.D 3.A 4.B
5．C [设共分裂了x次，则有2x＝4 096，
∴2x＝212，又∵每次为15分钟，
∴共15×12＝180分钟，即3个小时．]
6．②③ 7.y3 y2 y1
8．10
解析 由题意可得，经过5分钟时，a ( http: / / www.21cnjy.com )e－5n＝a，n＝ln 2，令ae－tln 2＝，得t＝15，从而再经过10分钟后，桶1中的水只有 L.
9．解 本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5＝153.86(万元)．
由此可见，按年利率9%每年复利一次计算的比年利率10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．
10．解 (1)当每辆车的月租金为3 600元时，
未租出的车辆数为＝12，
所以这时租出了88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为
f(x)＝(x－150)－×50，
整理得f(x)＝－＋162x－21 000
＝－(x－4 050)2＋307 050.
∴当x＝4 050时，f(x)最大，
最大值为f(4 050)＝307 050.
答 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆车；
(2)当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307 050元．【课堂设计】14-15高中数学人教A版必修4 学案+章末检测：第一章 三角函数（15份）3.2 函数模型及其应用
【入门向导】 想一想？
杰米是一个百万富翁，一天，他碰到了一件奇怪 ( http: / / www.21cnjy.com )的事．一个叫韦伯的人对他说，我想和你订个合同，在整整的一个月(30天)内，我每天给你10万元，而你第一天只需给我1元钱，第二天给我2元钱，每天给我的钱是前一天的两倍．杰米非常高兴，他同意订这样的合同．
同学们，按此合同，谁最终会获利？(提示公式：20＋21＋22＋…＋2n－1＝)
幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况有什么区别？
一般地，对于指数函数y＝ax(a>1)和幂 ( http: / / www.21cnjy.com )函数y＝xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.
同样地，对于对数函数y＝logax(a ( http: / / www.21cnjy.com )>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增长，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但是由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax综上所述，在区间(0，＋∞)上，尽 ( http: / / www.21cnjy.com )管函数y＝ax(a>1)、y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“级别”上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就会有logax常见的数学模型有哪些？
利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的 ( http: / / www.21cnjy.com )，具体函数的运用在生活中有很多体现，在学习完函数这部分内容以后，重点运用一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数和幂函数来解决问题．下面是几种常见的数学模型：
1．一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)；
2．反比例函数模型：f(x)＝＋b(k、b为常数，k≠0)；
3．二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)；
注意 二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见．
4．指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；
5．对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m、n、a为常数，a>0，a≠1)；
说明 随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色．
6．幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)；
7．分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．
函数应用举例
函数应用题是函数知识的综合运用，涉及到的知识面很广，这里主要对一、二次函数及分段函数的应用举例分析，希望能对同学们有所帮助．
一、建立函数解析式，解决几何问题
例1 现有100米长的篱笆材料，利用一面长度够用的墙作为一边，围成一个矩形的猪圈，问此矩形的长、宽各为多少时，猪圈的面积最大？最大为多少？
分析 如图要求出矩形的面积 ( http: / / www.21cnjy.com )就要知道矩形长与宽，篱笆材料的长共为100米，因此可假设宽为x米，则矩形的长就可以表示出来，这样就可以得到面积S关于x的解析式．
解 如右图，设矩形猪圈的宽为x米，则长为(100－2x)米，
于是S＝x(100－2x)
＝－2x2＋100x
＝－2(x－25)2＋1 250(0这是二次函数的一部分，由二次函 ( http: / / www.21cnjy.com )数的性质可得当x＝25(米)时，面积S最大，最大值为1 250(平方米)，此时矩形的长为100－2×25＝50(米)．
答 当矩形的长与宽分别为50米、25米时，面积最大，最大为1 250平方米．
二、由表格确定函数解析式，解决实际问题
例2 某公司今年一月份推出一种新产品，成本价为每件492元，经试销调查，销售量与销售价的关系如下表：
销售价 x(元/件) 650 662 720 800
销售量 y(件) 350 333 281 200
由此可知，销售量y与销售 ( http: / / www.21cnjy.com )价格x的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(通常取表中相距较远的两组数据所得的一次函数较为精确)．试问：销售价定为多少时，一月份利润最大？并求最大利润和此时的销售量．
分析 首先要根据表格确定销售量y与销售价格x的关系式，进一步才能确定利润．
解 由题意及表格可得当x＝650时，y＝350；
当x＝800时，y＝200.
将它们代入y＝kx＋b，
可得解得
即销售量y与销售价格的关系式为
y＝－x＋1 000(0≤x≤1 000)．
设一月份的利润为P，则由题意可得
P＝y(x－492)＝(－x＋1 000)(x－492)
＝－x2＋1 492x－492 000
＝－(x－746)2＋64 516(0≤x≤1 000)．
这是二次函数的一部分，由二次函数的性质可得
当x＝746(元/件)时，
利润最大，最大值为64 516(元)，
此时的销售量为y＝254(件)．
答 销售价定为746元时，一月份利润最大，最大利润为64 516元，此时的销售量为254件．
三、分段函数的应用
例3 某单位决定住公房的职工必须按基本工资的高低交纳建房公积金，办法如下：
每月工资 公积金
1 000以下 不交纳
1 000元至2 000元 交纳超过1 000元部分的5%
2 000元至3 000元 1 000元至2 000元部分交纳5%2 000元至3 000元部分交纳10%
3 000元以上 1 000元至2 000元部分交纳5%2 000元至3 000元部分交纳10%3 000元以上的部分交纳15%
(1)设职工每月工资为x元，交纳公积金后实得y元，求y与x之间的关系式；
(2)张某的月工资为2 400元，则他应交纳多少的公积金．
分析 本题意为工资中要扣除公积金，由表可得分了四段，每一段交纳的方式不相同，因此我们一段一段地来分析．
解 (1)当0即y＝x；
当1 000交纳超过1 000元的部分的5%，
即y＝1 000＋(x－1 000)(1－0.05)＝0.95x＋50.
同理可得当2 000交纳公积金后实得y＝0.9x＋150；
当x>3 000时，交纳公积金后实得y＝0.85x＋300.
所以所求函数的表达式为
y＝
(2)张某的月工资为2 400元，
则他实得y＝2 400×0.9＋150＝2 310(元)，
因此他交纳的公积金为2 400－2310＝90(元)．
答 张某应交纳公积金90元．
函数模型建立过程中的常见错误
解答函数应用问题时，要分四步进行：
第一步：阅读、理解；
第二步：建立数学模型，把应用问题转化为数学问题；
第三步：解答数学模型，求得结果；
第四步：把数学结果转译成具体问题的结论，做出解答．
而这四步中，最为关键的是把第二步处理好．只要 ( http: / / www.21cnjy.com )把数学模型建立妥当，所有的问题即可在此基础上迎刃而解．但是，很多同学在建模过程中忽视了一些细节，导致“满盘皆输”．
一、忽视实际意义出错
例4 生产一定数量的商品的全部费 ( http: / / www.21cnjy.com )用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函数为y＝10＋2x＋2x2(万元)，若售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？
错解 设该企业所能获取的最大利润为z(万元)，则
z＝20x－(10＋2x＋2x2)，
即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，
故z的最大值为30.5，即该企业所能获取的最大利润为30.5万元．
剖析 同学们，你认为以上解答出现了什么 ( http: / / www.21cnjy.com )问题？应该怎样进行修正呢？题目中的条件已经暗示了x为自然数，而该错解中却是在x＝4.5时取到的最大值30.5，这种情况在实际中是无法操作的．
正解 设该企业所能获取的最大利润为z(万元)，
则z＝20x－(10＋2x＋2x2)(x∈N)，
即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，
故当x＝4或5时，z取最大值30，
即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元．
二、因读题不精而出错
例5 已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向作匀速直线运动，其位移y(km)和运动时间x(h)(0≤x≤5)的关系如图所示，给出以下说法：
①甲、乙运动的速度相同，都是5 km/h；
②甲、乙运动的时间相同，开始移动后相等时间内甲的位移比乙大；
③甲、乙运动的时间相同，乙的速度是4 km/h；
④当甲、乙运动了3小时后，甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处．
其中正确的说法是( )
A．③ B．①②③ C．①③④ D．②③④
错解 ①和③一定是一对一错，经分 ( http: / / www.21cnjy.com )析，③是对的；对于②，因为乙的图象在甲的上方，所以应是甲的位移比乙小，故②错误；对于④，当甲、乙运动了3小时，甲的位移为3×5＝15(km)，乙的位移为5＋3×4＝17(km)，故④错误．故选A.
剖析 错因在于未读懂图象，从而作出错误判断．对于②，不能依据图象的位置判断位移大小，要经计算判断；对于④，乙的位移计算错误．
正解 ①和③一定是一对一错，经分析 ( http: / / www.21cnjy.com )③是对的；对于②，甲、乙运动的时间显然都是5小时，因为甲的速度为5 km/h，乙的速度为4 km/h，所以开始移动后相等时间内甲的位移比乙大，故②正确；对于④，当甲、乙运动了3小时，甲的位移为3×5＝15(km)，乙的位移为3×4＝12(km)，又因为乙是从甲前方5 km处开始运动的，所以甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处，所以④正确．故选D.
点评 对于图象题，同学们一定要认真观察，仔细分析，切实理解其真实含义和实际背景．
三、因主观性太强而致错
例6 如图所示，圆弧型声波DFE从坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )原点O向外传播．若D是DFE与x轴的交点，设OD＝x(0≤x≤a)，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为y(图中阴影部分)，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
错解 观察图1可知，声波扫过的面积先增大后减小，故正确答案为B.
剖析 本题的错误很明显，y指的是声波扫过的总面积，不是发展趋势，所以扫过的面积始终是增大的，上述判断是因主观性太强而致错．
正解 从题目所给的背景图形中不难发现 ( http: / / www.21cnjy.com )：在声波未传到C点之前，扫过图形的面积不断增大，而且增长得越来越快．当到达C点之后且离开A点之前，因为OA∥BC，所以此时扫过图形的面积呈匀速增长．当离开A点之后，扫过图形的面积会增长得越来越慢，所以函数图象刚开始应是下凹的，然后是一条上升的线段，最后是上凸的．故选A.
点评 函数图象的凸凹性是函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )一个重要性质，其一般规律是：上凸函数图象若减，则从左到右减得越来越快；若增，则从左到右增得越来越慢；下凹函数图象正好相反．
错误总是垂青于那些基础知识不扎实、思维不严谨、解题不认真的人，读完本文，希望同学们能知道怎样远离错误．
求解实际问题四策略
实际问题一般文字叙述较长、背 ( http: / / www.21cnjy.com )景新颖、涉及知识面广．很多同学在应用题面前束手无策，有的读不懂题意、有的不会分析．这里向同学们介绍求解实际问题的四种思路，望对同学们的学习有所帮助．
一、抓常规，乱中找序
实际问题往往与生活联系密切，无论多么复杂的问题，总存在着生活中的常规现象，抓住它，就在纷乱的条件中找到了“头序”，问题就能迎刃而解．
例1 某商店将每个进价为10元的商品，按每 ( http: / / www.21cnjy.com )个18元销售时，每天可卖出60个．经调查，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，则日销售量就减少5个，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售量就增加10个．为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？
分析 “总利润＝销售量×单个利润”这是生活中的常规，从这里入手我们先设每个售价为x元，每日利润为y元．
解 若x≥18(即提价)，销售量为60－5 ( http: / / www.21cnjy.com )(x－18)，单个利润为x－10，那么每日利润为y＝[60－5(x－18)](x－10)＝－5(x－20)2＋500，显然当售价定为每个20元时，利润最大，其最大利润为500元．
若x<18(即降价)，销售量为60＋10 ( http: / / www.21cnjy.com )(18－x)，单个利润为x－10，那么每日利润为y＝[60＋10(18－x)](x－10)＝－10(x－17)2＋490，显然当售价定为每个17元时，利润最大，其最大利润为490元．
比较知，商品售价定为每个20元，每日利润最大．
二、抓重点，以纲带目
实际问题的一大特点是：信息量大、文字叙述较长，有时还会出现很多数据，面对这些信息要善于找主要矛盾，抓重点，以纲带目．
例2 某市用水收费的方法是： ( http: / / www.21cnjy.com )水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最高限量a立方米，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c元；若用水量超过a立方米，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元．
该市一家庭今年第一季度的用水量和支付的费用如下表所示.
月份 用水量(立方米) 水费(元)
一 9 9
二 15 19
三 22 33
根据上表中的数据求a、b、c的值．
分析 抓住“超过与不超过最高限量的付费方式不同”这一重点，想到用分段函数表示用水量与水费之间的函数关系．
解 设用水量为x立方米，支付费用为y元，则
y＝
由0因此，第二、三两月的用水量超过最高限量．
由得b＝2且2a＝c＋19.
再分析限量a，若a<9，由8＋2(9－a)＋c＝9，得
2a＝c＋17与2a＝c＋19矛盾，因此a≥9.
此时，由8＋c＝9，得c＝1，所以a＝10.
故a＝10，b＝2，c＝1.
三、抓概念，深入理解
实际问题一般都会伴有新概 ( http: / / www.21cnjy.com )念、新术语的产生，面对这些新概念、新术语，我们必须抓住它们，通过对它们的全面分析，使我们能准确地把握题意，从而进行正确求解．
例3 某工厂生产一种机器 ( http: / / www.21cnjy.com )的固定成本(即固定投入)为0.5万元，每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)＝5x－(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)．
则年产量为多少时，工厂所得利润最大？
解 当0≤x≤5时，L(x)＝4.75x－－0.5，
当x＝4.75时，L(x)max＝10.781 25万元．
当x>5时，L(x)＝12－0.25x为减函数，
此时L(x)<10.75(万元)．
∴生产475台时利润最大．
四、用草图，显现关系
例4 某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某 ( http: / / www.21cnjy.com )种机器12台和6台，现销售给A地10台，B地8台．已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元．
(1)若总运费不超过9 000元，问共有几种调运方案？
(2)求出总运费最低的调运方案及最低的运费．
解 画一个草图，如图所示，设从甲地运x台到 ( http: / / www.21cnjy.com )A地，那么甲地的另12－x台运往B地．由于A地购10台，因此，尚需从乙地运去10－x台，乙地的另6－(10－x)台运往B地．设总运费为y，
则y＝400x＋800(12－x)＋300(10－x)＋500[6－(10－x)]
＝－200x＋10 600.
(1)由y≤9 000，即－200x＋10 600≤9 000，得x≥8.
由于甲地有12台，A地需要10台，因此有三种调运方案，即从甲地运8台、9台或10台到A地．
(2)由于y＝－200x＋10 600为减函数，又8≤x≤10，因此，当x＝10时，运费最低，最低运费为8 600元.
函数应用问题中的创新考点分析
新课标加大了对应用问题的考查，近几年各类考试中函数的应用问题也正悄然变化，对情境文字与图形的结合的考查增多，下面举例说明．
1．(广州模拟)某民营企业生产A ( http: / / www.21cnjy.com )、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元)
图1 图2
(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式，并写出它们的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投 ( http: / / www.21cnjy.com )入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元)
解 (1)设A产品的利润y1(万元)与投资x(万元)之间的关系式为y1＝ax＋b (a≠0)，
由x＝1，y1＝0.25和x＝1.8，y1＝0.45，得
a＋b＝0.25,1.8a＋b＝0.45，
∴a＝0.25，b＝0，∴y1＝0.25x.
设B产品的利润y2(万元)与投资x(万元)之间的关系式为
y2＝k (k≠0)，
由x＝4，y2＝2.5，得k＝1.25.
∴y2＝1.25 .
所以A、B两种产品利润与投资的函数关系式分别为
y1＝0.25x，y2＝1.25 .
(2)设将10万资金投资B产品x万元，A产品(10－x)万元，则利润y＝0.25(10－x)＋1.25 .
令t＝，∴x＝t2.
∴y＝－0.25t2＋1.25t＋2.5＝－0.25(t2－5t)＋2.5
＝－0.25(t－2.5)2＋4.062 5.
又0≤x≤10，∴t∈[0，]．
∴当t＝2.5时，
即x＝6.25时，
y取得最大值ymax＝4.062 5,10－6.25＝3.75.
所以，当投资A产品约4万元，B产品约6万元时，
所获利润最大，最大利润约为4万元．
点评 图象信息题是由图象给出数据信息，探 ( http: / / www.21cnjy.com )求多个变量之间的关系，再综合应用有关函数知识加以分析，以达到解决实际问题的目的．这类问题考查收集、整理与加工信息的能力，解决这类问题的一般步骤是：(1)观察图象，捕捉有效信息；(2)对已获信息进行加工，分清变量之间的关系；(3)选择恰当的数学工具，通过建模来加以解决；(4)要注意检验，去伪存真，尤其是实际问题，答案要符合实际．
2．(上海高考)某人定制了一批地砖．每 ( http: / / www.21cnjy.com )块地砖(如图1)是边长为0.4 m的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比为3∶2∶1.若将此种地砖按如图2所示的形式辅设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形．
(2)E，F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？
(1)证明 图2是由四块图1所示的地砖绕点C按顺时针连续三次旋转90°后得到的，△CFE为等腰直角三角形，所以四边形EFGH是正方形．
(2)解 设CE＝x，则BE＝0.4－x， ( http: / / www.21cnjy.com )每块地砖的费用为W，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料每平方米的价格依次为(单位：元)3a,2a，a，
W＝x2·3a＋×0.4×(0.4－x)×2a＋[0.16－x2－×0.4×(0.4－x)]a＝a(x2－0.2x＋0.24)
＝a[(x－0.1)2＋0.23]，0由a>0，当x＝0.1时，
W有最小值，即总费用最省．
所以当CE＝CF＝0.1 m时，
总费用最省．
点评 本题考查平面几何的知识以及二次函数在有限区间上的值域问题，考查对实际问题的理解以及解决应用问题的能力．第三章 函数的应用
§3.1 函数与方程
【入门向导】 详释二分法
关于这个问题的回答，我们不妨先来看一段CCTV2幸运52的一个片段：
主持人李咏(以下简称李)说道“猜一猜这件商品的价格”．
甲：2 000！ 李：高了！ 甲：1 000！ 李：低了！
甲：1 700！ 李：高了！ 甲：1 400！ 李：低了！
甲：1 500！ 李：低了！ 甲：1 550！ 李：低了！
甲：1 580！ 李：高了！ 甲：1 570！ 李：低了！
甲：1 578！ 李：低了！ 甲：1 579!
李：这件商品归你了．下一件…
有一位老师和他的三位学生做了如下问答：
老师：如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？
钱立恒：先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元降低报价．
方仕俊：这样太慢了，先初 ( http: / / www.21cnjy.com )步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价．如果低了，每隔50元上涨；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价…
侯素敏：先初步估算一个价格，如果高 ( http: / / www.21cnjy.com )了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价…
侯素敏的回答是一个比较准确的结果，所采用的方法就是二分法的思维方式——区间逼近法．
函数零点求解三法
我们知道，如果函数y＝f(x)在x＝a处的函数值等于零，即f(a)＝0，则称a为函数的零点．本文现介绍函数零点求解三法．
一、代数法
例1 求函数f(x)＝x2＋2x－3的零点．
解 令x2＋2x－3＝0，Δ＝22－4×(－3)＝16>0，
方程有两个不相等实数根．
方法一 因式分解法或试根法
x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)或由f(x)＝x2＋2x－3，
试一试f(1)＝12＋2×1－3＝0，
f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)－3＝0.
所以f(x)的零点为x1＝1，x2＝－3.
方法二 配方法
x2＋2x－3＝(x＋1)2－4＝0，
所以x＋1＝±2.所以零点x1＝1，x2＝－3.
方法三 公式法
x1,2＝＝.
所以零点x1＝1，x2＝－3.
点评 本题用了由求函数f(x)的零点转化为求方程f(x)＝0的实数根的办法．运用因式分解法或试根法、配方法、公式法，以上统称为代数法．
二、图象法
例2 f(x)＝log3(x＋3)－4x的零点情况是( )
A．有两个正零点 B．有两个负零点
C．仅有一个零点 D．有一个正零点和一个负零点
解析 设g(x)＝log3(x＋ ( http: / / www.21cnjy.com )3)，h(x)＝4x，在同一坐标系内作出它们的图象(如右图)．由图易知，两图象有两个交点且分别在y轴两侧，所以函数有一个正零点和一个负零点．故选D.
答案 D
点评 求函数y＝g(x)－h(x)的零点，实际上是求曲线y＝g(x)与y＝h(x)的交点的横坐标，即求方程g(x)－h(x)＝0的实数解．
三、用二分法求函数近似零点
例3 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正零点(精确到0.01)．
解 由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，
因此区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，如下表：
端点(中点)坐标 计算中点函数值 取值区间
f(1)＝－2<0f(2)＝5>0 [1,2]
x1＝＝1.5 f(x1)＝0.375>0 [1,1.5]
x2＝＝1.25 f(x2)＝－1.047<0 [1.25,1.5]
x3＝＝1.375 f(x3)＝－0.400<0 [1.375,1.5]
x4＝＝1.437 5 f(x4)＝－0.029 5<0 [1.437 5，1.5]
x5＝＝1.468 75 f(x5)＝0.168 4>0 [1.437 5，1.468 75]
x6＝＝1.453 125 f(x6)>0 [1.437 5，1.453 125]
x7＝1.445 312 5 f(x7)>0 [1.437 5，1.445 312 5]
因为1.445 312 5－1.437 5＝0.007 812 5<0.01，
所以x8＝≈1.44为函数的一个近似解．
点评 首先确定正零点所在的大致区间，区间长度尽量小，否则会增加运算次数和运算量，应注意运算的准确性，也应注意对精确度的要求．
二分法在经济和科学技术中的应用
应用问题：市场的供需平衡问题．
详释：市场经济价格自行调整，若供过于求，价格会跌落，若供不应求，价格会上涨，找一个价格平衡点，应怎样找？不妨试着求一下．
例4 某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：
表1 市场供给表
单价(元/kg) 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4
供给量(1 000 kg) 50 60 70 75 80 90
表2 市场需求表
单价(元/kg) 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2
需求量(1 000 kg) 50 60 65 70 75 80
根据以上提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间( )
A．(2.3,2.4)内 B．(2.4,2.6)内
C．(2.6,2.8)内 D．(2.8,2.9)内
解析 由图表分析比较知，市场供需平 ( http: / / www.21cnjy.com )衡点应在中间某个值，又供给量与需求量均为70×1 000 kg时，供给单价和需求单价相差最小为0.2，其他的均大于0.2，所以价格在(2.6,2.8)时最有可能达到供需平衡．
答案 C
点评 充分阅读题目，理解题意，把两表中的信息与题目要求结合起来，可找到答案．
二分法在日常生活中的应用
应用问题：运用二分法查线路故障．
详释：在日常生活中，经常遇到电线或电话线、网线等出现故障．我们不妨用二分法排查一下．
例5 在一个风雨交加的夜晚 ( http: / / www.21cnjy.com )，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，你能帮他找到一个简便易行的方法吗？
解
如图所示，他首先从中点C查．用 ( http: / / www.21cnjy.com )随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查．
每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一 ( http: / / www.21cnjy.com )算，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，这样只需查7次就可以了．
点评 有步骤地缩小解所在的区间，是二分法的重要数学思想，本题的实际问题也体现着这种思想．
函数的零点错例剖析
一、忽略了概念
例6 设函数y＝f(x)在区间(a， ( http: / / www.21cnjy.com )b)上连续，且f(a)·f(b)>0，则有结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)上不存在零点．判断该命题是否正确．
错解 正确．
剖析 对区间(a，b)上的连续函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则必存在零点；反之，则不然．
正解 无法判断是否存在零点及零点个数问题．如函数f(x)＝x2，f(－1)＝f(1)＝1>0，而在区间(－1,1)上显然存在零点．
故该命题不正确．
点评 (1)函数y＝f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)的图象在区间(a，b)上连续且有f(a)·f(b)<0，所得在(a，b)上存在的零点叫做变号零点；有时曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点；(2)零点定理仅能判断当函数y＝f(x)在区间(a，b)上是连续曲线，并且f(a)·f(b)<0时，在(a，b)上至少存在一个零点，而无法确定零点个数．
二、忽略了分类讨论
例7 若函数y＝ax2－2x＋1只有一个零点，求实数a的取值范围．
错解 由题意可得，
实数a所满足的条件为Δ＝4－4a＝0，
∴a＝1.
剖析 没有对系数a进行分类讨论，单从表象而误认为已知函数为二次函数．
正解 (1)当a＝0时，
y＝－2x＋1，有唯一零点；
(2)当a≠0时，由题意可得Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.
综上，实数a的取值范围为a＝0或a＝1.
点评 对最高项字母系数分类讨论是重要且常见的题型，是分类讨论思想的主要体现之一．
三、忽略了区间端点值
例8 已知f(x)＝3mx－4，若在[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，求实数m的取值范围．
错解 因为在[－2,0]上存在x0，
使f(x0)＝0，
则f(－2)·f(0)<0，所以(－6m－4)·(－4)<0，
解得m<－.
故实数m的取值范围为(－∞，－)．
剖析 本题的x0在[－2,0]上可取到端点，
即f(－2)·f(0)≤0.
正解 由f(－2)·f(0)≤0，解得m≤－.
故实数m的取值范围为(－∞，－]．
点评 区间值要全部考虑到，做到不重不漏．
四、图象应用
例9 已知函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示，今考虑f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则方程f(x)＝0( )
A．有三个实根
B．当x<－1时恰有一实根
C．当－1D．当0E．当x>1时恰有一实根
错解 将已知函数图象向上平移
0．01个单位(如图所示)，即得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01的图象．故选B项．
剖析 肉眼观察无法替代严密的计算与推理，容易“走眼”．
正解 ∵f(－2)<0，f(－1)>0，
∴f(－2)·f(－1)<0，∴B项正确．
又f(0)>0，∴C项错误．而f(0.5)<0，f(1)>0，
∴f(x)＝0在区间(0,1)上有两个实根，则D项错误，E项也错，并且由此可知A项正确．
故选A、B两项．
点评 应用数形结合思想处 ( http: / / www.21cnjy.com )理方程问题，直观易懂，注意图象要力求精确；解答多项选择题，需逐项验证才可选出答案，解单选题时所用的排除法已无法奏效.
函数与方程，唇齿相依
函数的思想，是用运动和变化的观点、集 ( http: / / www.21cnjy.com )合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的 ( http: / / www.21cnjy.com )等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．
方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数 ( http: / / www.21cnjy.com )y＝f(x)(如果y＝ax2＋bx＋c可以写成f(x)＝ax2＋bx＋c，即y＝f(x)的形式)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应牢牢掌握．下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例．
一、判断方程解的存在性
例1 已知函数f(x)＝3x3－2x2＋1，判断方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？
分析 可通过研究函数f(x)在[－1,0]上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解．
解 因为f(－1)＝3×(－1)3－2(－1)2＋1＝－4<0，
f(0)＝3×03－2×02＋1＝1>0，
所以f(－1)·f(0)<0.
又因为函数f(x)＝3x3－2x2＋1的图象是连续的曲线，
所以f(x)在[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．
点评 要判断f(x)＝0是否存在实根， ( http: / / www.21cnjy.com )即判断对应的连续函数y＝f(x)的图象是否与x轴有交点．因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可．
二、确定方程根的个数
例2 若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0) ( http: / / www.21cnjy.com )在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
分析 利用等价转化将方程根的问题化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断．
解析 设g(x)＝f(x)－1，
则由f(－6)>1，f(6)<1
得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，
即g(－6)g(6)<0.
因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)有一个零点．
由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，
易知当a>0时g(x)单调递增；
当a<0时，g(x)单调递减，
即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点．
因此方程f(x)＝1仅有一个根．故选A.
答案 A
点评 在区间[a，b]上单调且图象连续的函数y＝f(x)，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)的图象在(a，b)内有惟一的零点．
三、求参数的取值范围
例3 已知一次函数y＝2mx＋4，若在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．
分析 将方程解的问题，转化为一次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式求得m的范围．
解析 因为一次函数f(x)在[－2,0]上存在x0使f(x0)＝0，
即函数f(x)在[－2,0]内有一个零点，
所以f(－2)f(0)≤0.
即(－4m＋4)(0＋4)≤0，解得m≥1.
答案 m≥1
点评 本题对方程实根的研究转化 ( http: / / www.21cnjy.com )为对一次函数f(x)在[－2,0]上有一个零点的研究，最后建立关于m的不等式求出m的取值范围．整个解题过程充满了对函数、方程、不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程的相互作用．
巧用零点与方程根的关系求系数范围
例4 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则( )
A．b∈(－∞，0) B．b∈(0,1)
C．b∈(1,2) D．b∈(2，＋∞)
分析 本题主要考查函数的零点及待定系数法，解答时从图中获取正确信息是解答的关键．
解析 方法一 从图中可以得f(0)＝0，
∴d＝0，由图可知f(x)有三个零点，故可设函数的解析式是
f(x)＝ax(x－1)(x－2)＝ax3－3ax2＋2ax.
当x>2时，f(x)>0，因此a>0，
∵b＝－3a
∴b<0.
方法二 由f(0)＝0，得d＝0，
又∵f(1)＝0，
∴a＋b＋c＝0 ①
又∵f(－1)<0，即－a＋b－c<0 ②
①＋②得2b<0，∴b<0.
答案 A
例5 已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围．
分析 若直接利用求根公式解题，则要 ( http: / / www.21cnjy.com )解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，则由根的分布，函数f(x)的图象只能如图所示.
对应的条件是或解出即可．
解 令f(x)＝2kx2－2x－3k－2，为使方程f(x)＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，只需
或
即或
解得k>0或k<－4.
故k的取值范围是k>0或k<－4.
点评 本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例．一般的，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解决，使问题得到巧妙解决．
二分法思想的应用
“逐步逼近”是重要的数学思想 ( http: / / www.21cnjy.com )，同学们现在学习的求方程近似解的“二分法”就充分运用了这一思想．“考察极端”、“化整为零”、“无限分割”等都是这一数学思想的具体体现．作为研究和解决问题的思想方法，“逐步逼近”渗透在中学数学的许多内容中，比如初中学习的圆面积公式，就是由正多边形“逐步逼近”圆推导的；又如两个集合相等，就是由集合间的子集关系“逼近”的(即A B且B A A＝B)；再如，由“有理数逼近无理数”使我们认识了实数指数幂等，在以后的学习中，我们还会看到这一思想的运用(如球的表面积和体积公式的推导)．下面通过“两边夹法则”的应用来体会和领悟“逐步逼近”思想的奥妙．
两边夹法则：如果实数a，b满足a≥b，且b≥a，则a＝b.
例6 已知a，b，c是实数，函数f(x)＝a ( http: / / www.21cnjy.com )x2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.当a>0，－1≤x≤1时，|f(x)|≤1且g(x)的最大值为2，求f(x)．
解 ∵a>0，
∴g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是增函数．
又g(x)在[－1,1]上的最大值为2，
∴g(1)＝2，即a＋b＝2.①
于是f(1)－f(0)＝2.
由题设有－1≤f(0)＝f(1)－2≤1－2＝－1，
∴f(0)＝－1，从而c＝－1.
又由题设知f(x)≥－1＝f(0)，
∴二次函数f(x)的对称轴为x＝0，
于是－＝0，得b＝0，将其代入①，得a＝2.
∴f(x)＝2x2－1.
山重水复疑无路，柳暗花明又一村
探索解题方法
对一个数学问题的分析与求解是有过程的，谁都 ( http: / / www.21cnjy.com )无法保证“一顺百顺”，特别是面对一些综合题更是如此．分析时“条条是道”，求解时却“处处碰壁”这些都是正常的．当我们的思维受挫时，该怎样处置倒是十分关键的．本文告诉你：注意分析细节，就会柳暗花明的，请看：
题目：已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c ( http: / / www.21cnjy.com )(a≠0)，x1分析一：数形结合，从图象分析入 ( http: / / www.21cnjy.com )手，分别作出两函数y1＝ax2＋bx＋c与y2＝[f(x1)＋f(x2)]的图象，直观上可以看出两函数有两个不同的交点．
方法一 由于f(x)＝ax2＋bx＋c是二次函数，不妨设a>0，则函数y1＝ax2＋bx＋c的图象开口向上．
而y2＝[f(x1)＋f(x2)]的图象呢 ( http: / / www.21cnjy.com )？是一条平行于x轴的直线．此直线与二次函数图象有两个不同的交点吗？由于f(x1)与f(x2)不是具体数值，无法肯定啊！思维受挫！
分析细节：f(x1)与f( ( http: / / www.21cnjy.com )x2)是函数f(x)＝ax2＋bx＋c分别在x1，x2处的函数值，这两个值与最小值有什么关系，由于f(x1)≠f(x2)，说明[f(x1)＋f(x2)]一定比最小值大；若y2的值就是最小值，此时，直线与二次函数图象相切于顶点，而[f(x1)＋f(x2)]大于最小值，则y2＝[f(x1)＋f(x2)]与二次函数图象一定有两个不同的交点．
又因为min{f(x1)，f(x2)}≤[f(x1)＋f(x2)]≤max{f(x1)，f(x2)}，故必有一根属于(x1，x2)．
分析二：通过方程的系数进行分析，计算方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]的“b2－4ac”，然后，再结合函数零点的存在定理．
方法二 由f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]，得
2ax2＋2bx＋2c－f(x1)－f(x2)＝0.
那么Δ＝(2b)2－4×(2a)·[2c－f(x1)－f(x2)]
＝4[b2－4ac＋2af(x1)＋2af(x2)]．
此式大于零吗？不能判断它是否大于零，又如何产生根的范围呢？思维又受挫！
分析细节 在上式中存在f(x1)与f(x2)，可否将其替换呢？于是
Δ＝4[b2－4ac＋2a(ax＋bx1＋c)＋2a(ax＋bx2＋c)]
＝2(4a2x＋4abx1＋b2)＋2(4a2x＋4abx2＋b2)
＝2(2ax1＋b)2＋2(2ax2＋b)2≥0.
又x10，
因此方程有两个不等的实根．
又设g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，
则g(x1)g(x2)＝{ ( http: / / www.21cnjy.com )f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]}·{f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]}＝－[f(x1)－f(x2)]2<0.
说明g(x1)与g(x2)异号，即
[f(x1)＋f(x2)]∈[f(x1)，f(x2)]．
故方程必有一根属于(x1，x2)．
通过本例，我们可以看出：当思维受挫时，仔细去分析细节，通过细节使问题获解是重要的思维策略，有必要真正掌握.
高考中的函数与方程
函数与方程是高中数学的重要内容，尤其 ( http: / / www.21cnjy.com )是二次函数与二次方程，它们有着密切的关系，函数可以看作方程，某些方程又可以看作是函数关系．在解决有关问题时，函数、方程常相互转化．本文精选历年高考试题为例加以说明．
1．(上海高考)对于函数f(x)，若存在 ( http: / / www.21cnjy.com )x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1 (a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．
分析 抓住函数f(x)的不动点概念列出方程，即可解决问题(1)；利用方程恒有一个实数解的条件可解决问题(2)．
解 (1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3.
由题意知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3.
故当a＝1，b＝－2时，f(x)的两个不动点为－1和3.
(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1 (a≠0)恒有两相异不动点，
∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，
即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两个相异的实数根，
∴Δ＝b2－4ab＋4a>0 (b∈R)恒成立．
于是Δ＝(4a)2－16a<0，解得0故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，
a的取值范围0点评 本题中的新情境——不动点，它的实质就是方程f(x)＝x的根．
2．(聊城模拟)若关于x的方程x2－3x＋a＝0两根中有一根在(0,1)之间，求实数a的取值范围．
分析 本问题可转化为函数y＝x2－ ( http: / / www.21cnjy.com )3x＋a有两个零点，其中有一个在(0,1)内．那么，我们就可以借助函数的图象，利用函数在(m，n)内有零点的条件f(m)·f(n)<0，求a的取值范围．
解 根据题意，函数y＝x2－3x＋a有两个零点，其中有一个在(0,1)内，作函数y＝x2－3x＋a的大致图象，如图所示，
则可得解得0故a的取值范围是(0,2)．
点评 利用二次方程的根的分布求参数取值范围常利用数形结合思想确定条件．需从三个方面考虑：
①判别式；②对称轴直线x＝－与区间端点的关系；
③区间端点函数值的正负．
3．(浙江高考)若f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程x－f[g(x)]＝0有实数解，则g[f(x)]不可能是( )
A．x2＋x－ B．x2＋x＋
C．x2－ D．x2＋
分析 由于本题未知函数f(x)、g(x)的类型，试图用待定系数法去解决比较困难．故可采用较灵活的方法——逐一验证法．
解析 若g[f(x)]＝x2＋x－ ( http: / / www.21cnjy.com )，不妨设f(x)＝x2＋x－，g(x)＝x，由方程x－f[g(x)]＝0即得x2－＝0，显然，x2－＝0有解．故函数g[f(x)]有可能为x2＋x－.
若g[f(x)]＝x2＋x＋ ( http: / / www.21cnjy.com )，不妨设f(x)＝x2＋x＋，g(x)＝x，由方程x－f[g(x)]＝0，即得x2＋＝0.显然，x2＋＝0无解．故函数g[f(x)]不可能为x2＋x＋.
对于C、D两答案，同理可得可能为g[f(x)]．
答案 B
点评 本例求解过程是先将函数分拆成两个具体的函数，再转化为具体的方程，然后，通过研究方程的根的存在性转化为判断函数的可能性．
4．设函数y＝f(x)的定义域为 ( http: / / www.21cnjy.com )实数集R，如果存在实数x0，使得x0＝f(x0)，那么x0为函数y＝f(x)的不动点，下列图象表示有且只有两个不动点的函数图象是( )
分析 函数的零点即为函数值为0时对应 ( http: / / www.21cnjy.com )方程的解．因此求函数的零点常常等价于求函数图象交点的横坐标来解决．所以解决此类问题时首先要善于将问题转化到熟悉的情景中去．
解析 使x0＝f(x0)的解即为y＝f(x)的图象和y＝x的交点的个数问题．观察图象易得结论．
答案 B
5．关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个论断：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根
其中正确的个数是( )
A．0 B．4 C．2 D．3
分析 本题的命制立足函数与方程之间的 ( http: / / www.21cnjy.com )内在联系，同时考察分类讨论和数形结合思想，要求同学们具有较强的分析问题和解决问题的能力．解题的突破口是从条件中等式的形式入手采用换元法将方程化为熟悉的一元二次方程，从而结合相应函数的图象进行处理．
解析 据题意可令x2－1＝t(t≥－1)，
则方程化为|t|2－|t|＋k＝0，
即k＝|t|－|t|2.
作出y1＝|t|－|t|2的图象如右图，平移y2＝k这一直线，结合函数的图象可知：
(1)当0(2)当k＝时，t有2个值，相应的x有4个值．
(3)当k＝0时，t有3个值，相应的x有5个值．
(4)当k<0时，t有1个值，相应的x有2个值．
答案 B
6．对于函数y＝f(x)(x∈D)其中D为函数的定义域，若同时满足下列2个条件：
①y＝f(x)在定义域内是单调函数；
②存在区间[a，b] D，使f(x)在[a，b]上的值域是[a，b]，那么把y＝f(x)(x∈D)称为闭函数．
(1)求闭函数y＝－x3符合条件②的区间[a，b]；
(2)判断函数f(x)＝－x＋，x∈(0，＋∞)是否为闭函数，说明理由．
分析 首先以定义形式给出函数的一项 ( http: / / www.21cnjy.com )性质，然后围绕此性质进行命题，其实质是对函数单调性的应用考察，其次是函数与方程的转化，数形结合解决有关二次函数根的问题．
解 (1)因为y＝－x3是R上的单调递减函数，
所以有且a即a＝－b30.
又－a3＝b9＝b，
故b＝1，a＝－1.
所以该区间为[－1,1]．
(2)由函数单调性的定义知，该函数在x∈(0，＋∞)为单调减函数，若为闭函数，则存在x∈[a，b]，值域为[a，b]．
于是即
所以ab＝4，得－a＋＝，所以a2＝－4与任意实数的平方是非负数相矛盾，所以不存在满足性质②的区间，故该函数不是闭函数．3.1.2 用二分法求方程的近似解
自主学习
理解求方程近似解的二分法的基本思想，能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解．
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且___ ( http: / / www.21cnjy.com )_____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________________，使区间的两个端点________________________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求________________________．
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)
(1)确定区间[a，b]，使________________．
(2)求区间(a，b)的中点，x1＝________________.
(3)计算f(x1)．
①若f(x1)＝0，则________________________；
②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈________________)；
③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈________________)．
(4)继续实施上述步骤，直到区间___ ( http: / / www.21cnjy.com )_____________，函数的零点总位于区间________________上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．
对点讲练
能用二分法求零点的条件
【例1】 下列函数中能用二分法求零点的是( )
规律方法 判定一个函数能否用二分法求其零 ( http: / / www.21cnjy.com )点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
变式迁移1 若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)f(b)<0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
求函数的零点
【例2】 判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．
规律方法 由于用二分法求函数零点的近似值步骤 ( http: / / www.21cnjy.com )比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表达．事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．
变式迁移2 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确度0.1)．
二分法的综合运用
【例3】 证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．
规律方法 用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面，一是转化成函数的零点问题，二是逐步缩小考察范围，逼近问题的解．
变式迁移3 求的近似解(精确度为0.01并将结果精确到0.01)．
1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
2．二分法实质是一种逼近思想的应用．区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精确度为.
3．求函数零点的近似值时，所要求的精 ( http: / / www.21cnjy.com )确度不同，得到的结果也不相同．精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a－b|<ε为止．
课时作业
一、选择题
1．下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )
2．设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分 ( http: / / www.21cnjy.com )法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能确定
4．方程2x－1＋x＝5的解所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
5．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x ( http: / / www.21cnjy.com )－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为( )
A．(0,0.5) f(0.25) B．(0,1) f(0.25)
C．(0.5,1) f(0.25) D．(0,0.5) f(0.125)
二、填空题
6．在用二分法求方程f(x)＝0在 ( http: / / www.21cnjy.com )[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________________(精确度为0.1)．
7．用二分法求方程x2－5＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01.
三、解答题
8．求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正实数零点(精确度为0.1)．
9．利用计算器，求方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)．
3.1.2 用二分法求方程的近似解
答案
自学导引
1．f(a)·f(b)<0 一分为二 逐步逼近零点 方程的近似解
2．(1)f(a)·f(b)<0 ( ( http: / / www.21cnjy.com )2) (3)①x1就是函数的零点 ②(a，x1) ③(x1，b) (4)[an，bn] [an，bn]
对点讲练
【例1】 C [在A中，函数无零点．在 ( http: / / www.21cnjy.com )B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，∴C中的函数能用二分法求其零点．]
变式迁移1 D [由零点存在性定理可知选项A不正确；
对于选项B可通过反例“f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))＝x(x－1)(x＋1)在区间[－2，2]上满足f(－2)f(2)<0，但其存在三个零点：－1,0,1”推翻；
选项C可通过反例“f(x)＝(x－1)(x＋1)在区间[－2,2]上满足f(－2)f(2)>0，但其存在两个零点：－1,1”推翻．]
【例2】 解 因为f(1) ( http: / / www.21cnjy.com )＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，且函数y＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点值 中点函数近似值
(1,1.5) 1.25 －0.3
(1.25,1.5) 1.375 0.22
(1.25,1.375) 1.312 5 －0.05
(1.312 5,1.375) 1.343 75 0.08
由于|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1，
所以函数的一个近似零点为1.312 5.
变式迁移2 解 由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间 中点 中点函数值
(1,2) 1.5 －2.625
(1.5,2) 1.75 0.234 4
(1.5,1.75) 1.625 －1.302 7
(1.625,1.75) 1.687 5 －0.561 8
(1.687 5,1.75) 1.718 75 －0.170 7
由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1，
所以可将1.687 5作为函数零点的近似值．
【例3】 证明 设函数f(x)＝2x＋3x－6，
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，
又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．
设该解为x0，则x0∈[1,2]，
取x1＝1.5，f(1.5)＝1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，
∴x0∈(1,1.5)，
取x2＝1.25，f(1.25)＝0.128>0，
f(1)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1,1.25)，
取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.444<0，
f(1.125)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1.125,1.25)，
取x4＝1.187 5，f(1.187 5)＝－0.16<0，
f(1.187 5)·f(1.25)<0，
∴x0∈(1.187 5,1.25)．
∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，
∴1.187 5可以作为这个方程的实数解．
变式迁移3 解 设x＝，则x3－2＝0.
令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点的近似值．
由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．
用二分法逐步计算，列表如下：
区间 中点 中点函数值
[1,2] 1.5 1.375
[1,1.5] 1.25 －0.046 9
[1.25,1.5] 1.375 0.599 6
[1.25,1.375] 1.312 5 0.261 0
[1.25,1.312 5] 1.281 25 0.103 3
[1.25,1.281 25] 1.265 625 0.027 3
[1.25,1.265 625] 1.257 812 5 －0.01
[1.257 812 5，1.265 625] 1.261 718 75 0.008 6
由于|1.265 625－1.257 812 5|
＝0.007 81<0.01，
所以函数f(x)零点的近似值是1.26，
即的近似值是1.26.
课时作业
1．B
2．B [数形结合可知，交点横坐标在(1,2)内．
]
3．B [1.5为区间(1,2)的中点，且f(1)<0，f(1.5)>0，
∴方程的根x0∈(1,1.5)，
又1.25是(1,1.5)的中点且f(1.5)>0，
f(1.25)<0，∴x0∈(1.25,1.5)．]
4．C [令f(x)＝2x－1＋x－5，
则f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，
∴f(2)f(3)<0，故选C.]
5．A [∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)在(0,0.5)必有零点，利用二分法，
则第二次计算应为f＝f(0.25)．]
6．0.75或0.687 5
解析 因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，
所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．
7．7
解析 区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为＝<＝0.01.
8．解 由于f(1)＝－2<0，f(2)＝6>0，
所以函数在(1,2)内存在零点．
取(1,2)的中点1.5，经计算f(1.5)＝0.625>0，
故函数在(1,1.5)内存在零点，如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间.
(a，b) (a，b)的中点 f(a) f(b) f
(1,2) 1.5 f(1)<0 f(2)>0 f(1.5)>0
(1,1.5) 1.25 f(1)<0 f(1.5)>0 f(1.25)<0
(1.25，1.5) 1.375 f(1.5)>0 f(1.25)<0 f(1.375)<0
(1.375，1.5) 1.437 5 f(1.5)>0 f(1.375) <0 f(1.437 5)>0
(1.375，1.437 5) |1.375－1.437 5|＝0.062 5<0.1
所以原函数的一个正实数零点的近似解可取为1.437 5.
9．解
作出y＝lg x，y＝2－x的图象，可以发现，方程lg x＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内．
设f(x)＝lg x＋x－2，用计算器计算得f(1)<0，
f(2)>0 x∈(1,2)；
f(1.5)<0，f(2)>0 x∈(1.5,2)；
f(1.75)<0，f(2)>0 x∈(1.75,2)；
f(1.75)<0，f(1.875)>0 x∈(1.75,1.875)；
f(1.75)<0，f(1.812 5)>0 x∈(1.75,1.812 5)．
∵|1.812 5－1.75|＝0.062 5<0.1，
∴方程的近似解可取为1.812 5.