1.1.2 弧度制
自主学习
知识梳理
1．角的单位制
(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制：把长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．
(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的 ( http: / / www.21cnjy.com )圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是______．
2．角度制与弧度制的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°＝____ rad 2π rad＝____
180°＝______ rad π rad＝______
1°＝______rad≈0.017 45 rad 1 rad＝____≈57.30°
3.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别 α为角度制 α为弧度制
扇形的弧长 l＝________ l＝______
扇形的面积 S＝________ S＝________＝________
自主探究
我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公 ( http: / / www.21cnjy.com )式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r，圆心角弧度数为α)．
对点讲练
知识点一 角度制与弧度制的换算
例1 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－化成角度．
回顾归纳 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可．
变式训练1 将下列角按要求转化：
(1)300°＝________rad；(2)－22°30′＝________rad；
(3)＝________度．
知识点二 利用弧度制表示终边相同的角
例2 把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：
(1)－1 500°； (2)； (3)－4.
回顾归纳 在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用．
变式训练2 将－1 485°化为2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式是________．
知识点三 弧长、扇形面积的有关问题
例3 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
回顾归纳 灵活运用扇形弧长公式、面积 ( http: / / www.21cnjy.com )公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题．
变式训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集 ( http: / / www.21cnjy.com )合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．
易知：度数× rad＝弧度数，弧度数×°＝度数．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.
课时作业
一、选择题
1．与30°角终边相同的角的集合是( )
A.
B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}
C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}
D.
2．集合A＝与集合B＝{α|α＝2kπ±，k∈Z}的关系是( )
A．A＝B B．A B
C．B A D．以上都不对
3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A．2 B．sin 2
C. D．2sin 1
4．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B等于( )
A．
B．{α|－4≤α≤π}
C．{α|0≤α≤π}
D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
5．扇形圆心角为，半径长为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )
A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9
二、填空题
6．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
7．若2π<α<4π，且α与－角的终边垂直，则α＝________.
8．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________.
三、解答题
9．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．
10. 如右图，已知扇形OAB的中心角为4，其面积为2 cm2，求扇形的周长和弦AB的长．
1.1.2 弧度制
答案
知识梳理
1．(1) (2)半径长 1 rad
(3)|α|＝ 终边的旋转方向 正数 负数 0
2.
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30°
3.
度量单位类别 α为角度制 α为弧度制
扇形的弧长 l＝ l＝αR
扇形的面积 S＝ S＝αR2＝lR
自主探究
解 半径为r，圆心角n°的扇形弧长公式为l＝，
扇形面积公式为S扇＝.
∵＝，∴l＝|α|r.
∵＝＝，∴S扇＝|α|r2.
∴S扇＝|α|r2＝lr.
对点讲练
例1 解 (1)∵112°30′＝112.5°＝°
＝×＝.
(2)－＝－×°＝－105°.
变式训练1 (1) (2)－ (3)288
例2 解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°
＝－5×360°＋300°.
∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角．
(2)∵＝2π＋，
∴与终边相同，是第四象限角．
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
变式训练2 －10π＋
解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，
∴－1 485°可以表示为－10π＋.
例3 解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2
＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，
此时θ＝＝rad＝2 rad.
所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大为100 cm2.
变式训练3 解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝lR，
得1＝(4－2R)·R，
∴R＝1，∴l＝2，
∴α＝＝＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
课时作业
1．D 2.A
3．C [r＝，∴l＝|α|r＝.]
4．D [集合A限制了角α终边只能落在x轴上方或x轴上．]
5．B [设扇形的半径为R，扇形内切圆半径为r，则R＝r＋＝r＋2r＝3r.
∴S内切＝πr2.
S扇形＝αR2＝××R2＝××9r2＝πr2.
∴S内切∶S扇形＝2∶3.]
6．25
解析 216°＝216×＝，
l＝30π＝α·r＝r，∴r＝25.
7.或
解析 －＋＝＝，
－＋＝＝.
8．－，－，，
解析 由题意，角α与终边相同，
则＋2π＝，
－2π＝－，－4π＝－.
9．解 (1).
(2).
(3).
10．解 设的长为l，半径OA＝r，
则S扇形＝lr＝2，
∴lr＝4， ①
设扇形的中心角∠AOB的弧度数为α，
则|α|＝＝4，
∴l＝4r， ②
由①、②解得r＝1，l＝4.
∴扇形的周长为l＋2r＝6 (cm)，
如图作OH⊥AB于H，
则AB＝2AH＝2rsin
＝2rsin(π－2)＝2rsin 2(cm)．1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
自主学习
知识梳理
1．正弦曲线、余弦曲线
(1)定义：正弦函数y＝sin ( http: / / www.21cnjy.com ) x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫做__________曲线和________曲线．
(2)图象：如图所示．
2．“五点法”画图
步骤：
(1)列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
cos x 1 0 －1 0 1
(2)描点：
画正弦函数y＝sin x，x∈ ( http: / / www.21cnjy.com )[0,2π]的图象，五个关键点是________________________；画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________________．
(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图．
3．正、余弦曲线的联系
依据诱导公式cos x＝sin，要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向______平移个单位长度即可．
自主探究
已知0≤x≤2π，结合正、余弦曲线试探究sin x与cos x的大小关系．
对点讲练
知识点一 利用“五点法”作正、余弦函数的图象
例1 利用“五点法”画函数y＝－sin x＋1(0≤x≤2π)的简图．
回顾归纳 作正弦、余弦曲线要理解几 ( http: / / www.21cnjy.com )何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．
变式训练1 利用“五点法”画函数y＝－1－cos x，x∈[0,2π]的简图．
知识点二 利用三角函数图象求定义域
例2 求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域．
回顾归纳 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．
变式训练2 求函数f(x)＝＋lg(8x－x2)的定义域．
知识点三 利用三角函数的图象判断方程解的个数
例3 在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数．
回顾归纳 三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．
变式训练3 求方程x2＝cos x的实数解的个数．
1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．
2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一.
课时作业
一、选择题
1．函数y＝sin x (x∈R)图象的一条对称轴是( )
A．x轴 B．y轴
C．直线y＝x D．直线x＝
2．函数y＝－cos x的图象与余弦函数y＝cos x的图象( )
A．只关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于原点、x轴对称 D．关于原点、坐标轴对称
3．如果x∈[0,2π]，则函数y＝＋的定义域为( )
A．[0，π] B.
C. D.
4．在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.
5．已知函数y＝2sin x的图象与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积( )
A．4 B．8 C．4π D．2π
二、填空题
6．函数y＝的定义域为____________．
7．函数y＝的定义域是______________．
8．设0≤x≤2π，且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范围为________．
三、解答题
9．利用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝－sin x (0≤x≤2π)；(2)y＝1＋cos x(0≤x≤2π)．
10．分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|sin x|，x∈R；(2)y＝sin|x|，x∈R.
§1.4 三角函数的图象与性质
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
答案
知识梳理
1．(1)正弦 余弦
2．(2)(0,0)，，(π，0)，，(2π，0) (0,1)，，(π，－1)，，
(2π，1)
3．左
自主探究
解 正、余弦曲线如图所示．
由图象可知①当x＝或x＝时，sin x＝cos x，
②当
cos x.
③当0≤x<或对点讲练
例1 解 利用“五点法”作图
取值列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1－sin x 1 0 1 2 1
描点连线，如图所示．
变式训练1 解 取值列表得：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
－1－cos x －2 －1 0 －1 －2
描点连线，如图所示．
例2 解 由题意，x满足不等式组，
即，作出y＝sin x的图象，如图所示．
结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π)．
变式训练2 解 由，得.
画出y＝cos x，x∈[0,3π]的图象，如图所示．
结合图象可得：x∈∪.
例3 解 建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象．
描出点，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个．
变式训练3 解 作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，
由图象，可知原方程有两个实数解．
课时作业
1．D
2．C [结合图象易知．]
3．C [∵sin x≥0且－cos x≥0，∴x∈.]
4．A
[∵sin x>|cos x|，
∴sin x>0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，
x∈(0，π)的图象，观察图象易得x∈.]
5．C [数形结合，如图所示．
y＝2sin x，x∈的图象与直线y＝2围成的封闭平面图形面积相当于由x＝，x＝，
y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝×2＝4π.]
6. (k∈Z)
解析 x应满足：
综合正、余弦函数图象可知：
－＋2kπ7. ，(k∈Z)
解析 由2cos x＋1≥0，得cos x≥－，
∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
8.
解析 由题意知sin x－cos x≥0，即cos x≤sin x，在同一坐标系画出y＝sin x，x∈[0,2π]
与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示：
观察图象得：≤x≤.
9．解 利用“五点法”作图．
(1)列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
－sin x 0 －1 0 1 0
描点作图，如图所示．
(2)列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
1＋cos x 2 1 0 1 2
描点作图，如图所示．
10．解 (1)y＝|sin x|＝(k∈Z)．
其图象如图所示，
(2)y＝sin|x|＝，
其图象如图所示，1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
自主学习
知识梳理
用“图象变换法”作y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
y＝sin(x＋φ) (φ≠0)的图象可以 ( http: / / www.21cnjy.com )看作是把正弦曲线y＝sin x上所有的点______(当φ>0时)或________(当φ<0时)平行移动______个单位长度而得到．
2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作 ( http: / / www.21cnjy.com )是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或______(当0<ω<1时)到原来的______倍(纵坐标________)而得到．
3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象， ( http: / / www.21cnjy.com )可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A>1时)或________(当04．函数y＝sin x的图象到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程．
y＝sin x的图象__________的图象
____________的图象____________的图象．
自主探究
如何由函数y＝sin x的图象变换得到y＝sin的图象．
对点讲练
知识点一 周期、振幅变换的应用
例1 由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到y＝sin x的图象，试写出这一过程．
回顾归纳 研究y＝sin x与y＝A ( http: / / www.21cnjy.com )sin x(A>0且A≠1)，y＝sin ωx(ω>0且ω≠1)的图象间伸缩关系，要明确伸缩的方向是横向，还是纵向，及伸还是缩的倍数．
变式训练1 叙述函数y＝2sin x的图象如何由y＝sin的图象得到？
知识点二 相位变换的应用
例2 要得到函数y＝sin x的图象，只需将函数y＝cos的图象( )
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
回顾归纳 已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：
(1)将两个函数解析式化简成y＝Asin ωx与y＝Asin (ωx＋φ)，即A、ω及名称相同的结构．
(2)找到ωx ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单位．
(3)明确平移的方向．
变式训练2 为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sin x的图象( )
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
知识点三 图象变换的综合应用
例3 把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式．
回顾归纳 已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可．
变式训练3 将y＝f(x) ( http: / / www.21cnjy.com )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，然后再将整个图象沿x轴向右平移个单位，得到的曲线与y＝sin x图象相同，则y＝f(x)的函数解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
1．由y＝sin x到y＝sin(x＋ ( http: / / www.21cnjy.com )φ)的图象变换称为相位变换，由y＝sin x到y＝sin ωx图象的变换称为周期变换；由y＝sin x到y＝Asin x图象的变换称为振幅变换．
2．由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，其变化途径有两条：
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量 ( http: / / www.21cnjy.com )也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．
3．类似地y＝Acos(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象也可由y＝cos x的图象变换得到.
课时作业
一、选择题
1．要得到y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
2．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是( )
A．非奇非偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数 D．偶函数
3．将函数y＝sin x的图象上所有的点向 ( http: / / www.21cnjy.com )右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
4．为了得到函数y＝sin (2x－)的图象，只需把函数y＝sin(2x＋)的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
5．把函数y＝3sin(ωx＋φ) ( ( http: / / www.21cnjy.com )ω>0，|φ|≤π)的图象向左平移个单位，再将图象的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的解析式为y＝3sin x，则( )
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－
二、填空题
6．将函数y＝sin的图象向左平移，所得函数的解析式为____________．
7．为得到函数y＝cos x的图象，可以把y＝sin x的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________．
8．某同学给出了以下论断
①将y＝cos x的图象向右平移个单位，得到y＝sin x的图象；
②将y＝sin x的图象向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图象；
③将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位，得到y＝sin(－x－2)的图象；
④函数y＝sin的图象是由y＝sin 2x的图象向左平移个单位而得到的．
其中正确的结论是______(所有正确的结论的序号都要填上)．
三、解答题
9．请叙述函数y＝cos x的图象与y＝－2cos＋2的图象间的变换关系．
10．已知函数f(x)＝sin (x∈R).
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)．
§1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
答案
知识梳理
1．向左 向右 |φ|
2．缩短 伸长 不变
3．伸长 缩短 A倍 [－A，A] A －A
4．y＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)
自主探究
解 由y＝sin x的图象通过变换得到函数
y＝sin的图象有两种变化途径：
①y＝sin x
y＝siny＝sin.
②y＝sin xy＝sin 2x
y＝sin.
对点讲练
例1 解 由y＝sin x的图象纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的倍，
得到y＝sin x的图象；
由y＝sin x的图象，横坐标保持不变，把纵坐标缩短到原来的倍，就得到y＝sin x的图象．
变式训练1 解 y＝2sin x的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象可以看作由y＝sin图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到函数y＝sin x的图象，再把该图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)而得到．
例2 A [y＝cos＝cos
＝siny＝sin x．]
变式训练2 C [∵y＝sin x＝cos，
又x－＋＝＋x，
∴只需将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，便可得到y＝cos的图象．]
例3 解 y＝2sin
y＝3sin
y＝3sin
y＝3sin＝3sin＝3cos x.
∴f(x)＝3cos x.
变式训练3 C
课时作业
1．C 2.D
3．C [函数y＝sin x
y＝sin
y＝sin.]
4．B [y＝sin
y＝sin＝sin.]
5．B [y＝3sin xy＝3sin 2x
y＝3sin2＝3sin，
∴ω＝2，φ＝－.]
6．y＝cos 2x
7.
解析 y＝sin x＝cos＝cos向右平移φ个单位后得y＝cos，
∴φ＋＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z.
∴φ的最小正值是.
8．①③
9．解 ∵y＝－2cos＋2
＝2cos＋2
＝2cos2＋2
先将y＝cos x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则得到y＝cos 2x的图象．
再将y＝cos 2x的图象向左平移个单位，
则得到y＝cos，即y＝cos的图象，再将y＝cos的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，即得函数y＝2cos的图象．
最后，沿y轴向上平移2个单位所得图象即是
y＝2cos＋2的图象．
即得到函数y＝－2cos＋2的图象．
10．解 (1)由已知函数化为y＝－sin.欲求函数的单调递减区间，只需求
y＝sin的单调递增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋ (k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋π (k∈Z)，
∴原函数的单调减区间为
(k∈Z)．
(2)f(x)＝sin＝cos
＝cos＝cos2.
∵y＝cos 2x是偶函数，图象关于y轴对称，
∴只需把y＝f(x)的图象向右平移个单位即可．1.2.1 任意角的三角函数(一)
自主学习
知识梳理
1．任意角三角函数
(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
①y叫做α的______，记作______，即sin α＝y；
②x叫做α的________，记作______，即cos α＝x；
③叫做α的______，记作______，即tan α＝ (x≠0)．
对于确定的角α，上述三个值 ( http: / / www.21cnjy.com )都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．
(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x，y ( http: / / www.21cnjy.com ))，它与原点的距离为r，则sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______.
2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
3．诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值________，即：
sin(α＋k·2π)＝________，cos(α＋k·2π)＝________，
tan(α＋k·2π)＝________，其中k∈Z.
自主探究
利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值.
角α 0 π π π π π
sin α 0 1 0 －1
cos α 1 0 － － － －1 0
tan α 0 1 无 － －1 － 0 无
对点讲练
知识点一 利用定义求角的三角函数值
例1 已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α、cos α、tan α的值．
回顾归纳 利用三角函数的定义，求一个角的三角 ( http: / / www.21cnjy.com )函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论．
变式训练1 已知角θ的终边上一点P(x,3) (x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
知识点二 判断三角函数值的符号
例2 判断下列各式的符号：
(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)；
(2)sin 285°cos(－105°)；
(3)sin 3·cos 4·tan.
回顾归纳 准确确定三角函数值中角所在象限是基 ( http: / / www.21cnjy.com )础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键．可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆．
变式训练2 (1)若sin αcos α<0，则α是第______象限角．
(2)代数式：sin 2·cos 3·tan 4的符号是________．
知识点三 诱导公式一的应用
例3 求下列各式的值．
(1)cos ＋tan；
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°.
回顾归纳 利用诱导公式一可把 ( http: / / www.21cnjy.com )负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角的三角函数值．
变式训练3 求下列各式的值．
(1)cos＋tan ；
(2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.
1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．
2．符号sin α、cos α、 ( http: / / www.21cnjy.com )tan α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积．
3．诱导公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．
作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值.
课时作业
一、选择题
1．sin 390°等于( )
A. B．－ C．－ D.
2．若sin α<0且tan α>0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．当α为第二象限角时，－的值是( )
A．1 B．0 C．2 D．－2
4．角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－，则b的值为( )
A．3 B．－3 C．±3 D．5
5．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )
A．sin B．cos C．tan D．cos 2θ
二、填空题
6．若角α的终边过点P(5，－12)，则sin α＋cos α＝________.
7．若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在第______象限．
8．5sin 90°＋10 cos 180°－3 sin 270°＋4 cos 420°＝________.
三、解答题
9．已知角α的终边经过点(3m－9，m＋2)，且sin α>0，cos α≤0，求m的取值范围？
10．已知角α终边上一点P(－，y)，且sin α＝y，求cos α和tan α的值．
§1.2 任意角的三角函数
1．2.1 任意角的三角函数(一)
答案
知识梳理
1．(1)①正弦 sin α ②余弦 cos α ③正切 tan α
(2)
3．相等 sin α cos α tan α
自主探究
解 以α＝为例，其余略．
设P(x，y)为α＝上一点，易知点P(x，y)在y轴负半轴上．
∴x＝0，y<0，r＝＝－y>0.
∴sin ＝＝－1；cos ＝＝0；tan ＝，无意义．
对点讲练
例1 解 r＝＝5|a|.
(1)若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
tan α＝＝＝－.
(2)若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
变式训练1 解 ∵r＝，cos θ＝，
∴x＝.
∵x≠0，∴x＝±1.
∵y＝3>0，∴θ是第一或第二象限角，
当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3；
当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3.
例2 解 (1)∵α是第二象限角．
∴sin α>0，cos α<0，∴sin α·cos α<0.
(2)∵285°是第四象限角，∴sin 285°<0，
∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0，
∴sin 285°·cos(－105°)>0.
(3)∵<3<π，π<4<，∴sin 3>0，cos 4<0.
∵－＝－6π＋，∴tan>0，
∴sin 3·cos 4·tan<0.
变式训练2 (1)二或四 (2)负号
解析 (1)略
(2)∵<2<π，∴sin 2>0，
∵<3<π，∴cos 3<0，
∵π<4<，∴tan 4>0.
∴sin 2cos 3tan 4<0.
例3 解 (1)原式＝cos ＋tan
＝cos＋tan
＝cos ＋tan ＝＋1＝.
(2)原式＝sin(－4×360°＋120 ( http: / / www.21cnjy.com )°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)
＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
＝×＋×－1＝0.
变式训练3 解 (1)原式
＝cos＋tan
＝cos ＋tan ＝＋1＝.
(2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)
＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180°
＝－1＋1＋1－1＝0.
课时作业
1．D
2．C [∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．
又tan α>0，∴α是一、三象限角，
故α是第三象限角．]
3．C [∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.
∴－＝－＝2.]
4．A [r＝，cos α＝＝＝－.
∴b＝3.]
5．C [∵θ为第一象限角，∴2kπ<θ<2kπ＋，k∈Z.
∴kπ<当k＝2n (n∈Z)时，2nπ<<2nπ＋ (n∈Z)．
∴为第一象限角，
∴sin >0，cos >0，tan >0.
当k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π<<2nπ＋ (n∈Z)．
∴为第三象限角，
∴sin <0，cos <0，tan >0，
从而tan >0，而4kπ<2θ<4kπ＋π，k∈Z，
cos 2θ有可能取负值．]
6．－
解析 r＝＝13，∴sin α＝＝，
cos α＝＝，∴sin α＋cos α＝－.
7．四
解析 ∵α为第二象限角，sin α>0，cos α<0，
∴P在第四象限．
8．0
解析 原式＝5×1＋10×(－1)－3×(－1)＋4×cos 60°＝5－10＋3＋2＝0
9．解 ∵sin α>0，cos α≤0.
∴α位于第二象限或y轴正半轴上．
∴3m－9≤0且m＋2>0.
∴－210．解 sin α＝＝y.
当y＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.
当y≠0时，由＝，
解得：y＝±.
当y＝时，P，r＝.
∴cos α＝－，tan α＝－.
当y＝－时，cos α＝－，tan α＝.第一章 三角函数 章末检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．sin 600°＋tan 240°的值是( )
A．－ B.
C．－＋ D.＋
2．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|的最小的θ值是( )
A．－π B．－ C. D.
3．设α角属于第二象限，且＝－cos ，则角属于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知tan α＝，α∈，则cos α的值是( )
A．± B. C．－ D.
5．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为( )
A．6π cm B．60 cm
C．(40＋6π) cm D．1 080 cm
6．若点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是( )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
7．下列四个命题中，正确的是( )
A．函数y＝tan是奇函数
B．函数y＝的最小正周期是π
C．函数y＝tan x在(－∞，＋∞)上是增函数
D．函数y＝cos x在区间 (k∈Z)上是增函数
8．方程sin πx＝x的解的个数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
9．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
10．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asin ax的图象不可能是( )
11．把函数y＝cos的图象向左平移φ (φ>0)个单位，所得的函数为偶函数，则φ的最小值是( )
A. B. C. D.
12．设函数f(x)＝sin 3x＋|sin 3x|，则f(x)为( )
A．周期函数，最小正周期为
B．周期函数，最小正周期为π
C．周期函数，最小正周期为2π
D．非周期函数
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知tan α＝2，则sin αcos α＋2sin2α的值是________．
14．函数f(x)＝|sin x|的单调递增区间是
________________________________________________________________________．
15．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如下图所示，则f()＝________.
16．已知函数y＝sinx在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是______．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)求函数y＝3－4sin x－4cos2x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x的值．
18．(12分)求函数y＝logsin的单调递增区间．
19.(12分)已知函数y＝acos＋3，x∈的最大值为4，求实数a的值．
20．(12分)已知α是第三象限角，f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－1 860°，求f(α)的值．
21.(12分)在已知函数f ( http: / / www.21cnjy.com )(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
22．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0且ω>0，0<φ<)的部分图象，如图所示．
(1)求函数解析式；
(2)若方程f(x)＝a在上有两个不同的实根，试求a的取值范围．
第一章 章末检测
答案
1．B 2.A 3.C 4.C
5．C [∵圆心角α＝54°＝，∴l＝|α|·r＝6π.
∴周长为(6π＋40) cm.]
6．B [sin α－cos α>0且tan α>0，
∴α∈或α∈.]
7．D
8．C [在同一坐标系作出y＝sin πx与y＝x的图象观察易知两函数图象有7个交点，所以方程有7个解．]
9．B [y＝sin＝cos
＝cos＝cos
＝cos2.]
10．D [图A中函数的最大值小于2，故0< ( http: / / www.21cnjy.com )a<1，而其周期大于2π.故A中图象可以是函数f(x)的图象．图B中，函数的最大值大于2，故a应大于1，其周期小于2π，故B中图象可以是函数f(x)的图象．当a＝0时，f(x)＝1，此时对应C中图象，对于D可以看出其最大值大于2，其周期应小于2π，而图象中的周期大于2π，故D中图象不可能为函数f(x)的图象．]
11．B
12．B [f(x)＝]
13．2
14.，k∈Z
15．0
解析 由图象知，函数的周期为×T＝π，
∴T＝.∵f()＝0，∴f()＝f(＋)
＝f(＋)＝－f()＝0.
16．8
解析 T＝6，t≥T，∴t≥.
∵t∈Z，∴tmin＝8.
17．解 y＝3－4sin x－4cos2x
＝4sin2x－4sin x－1＝42－2，
令t＝sin x，则－1≤t≤1，
∴y＝42－2 (－1≤t≤1)．
∴当t＝，即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－2；
当t＝－1，即x＝＋2kπ (k∈Z)时，ymax＝7.
18．解 y＝
＝－log2，
∵2>1，
由复合函数的单调性知，要求sin的单调递增且小于0恒成立．
∴2x－在第四象限．
∴2kπ－<2x－<2kπ(k∈Z)．
解得：kπ－∴原函数的单调递增区间为
，k∈Z.
19．解 ∵x∈，∴2x＋∈，
∴－1≤cos≤.
当a>0，cos＝时，y取得最大值a＋3，
∴a＋3＝4，∴a＝2.
当a<0，cos＝－1时，
y取得最大值－a＋3，
∴－a＋3＝4，∴a＝－1，
综上可知，实数a的值为2或－1.
20．解 (1)f(α)＝
＝＝cos α.
(2)∵cos＝cos
＝－sin α，
又cos＝，∴sin α＝－.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－＝－，
∴f(α)＝－.
(3)f(α)＝f(－1 860°)＝cos(－1 860°)
＝cos 1 860°＝cos(5×360°＋60°)
＝cos 60°＝.
21．解 (1)由最低点为M得A＝2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为，
得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2.
由点M在图象上得
2sin＝－2，
即sin＝－1，
故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈，∴φ＝，
故f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，
∴2x＋∈，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，
故f(x)的值域为[－1,2]．
22．解 (1)由图象易知函数f(x)的周期为
T＝4＝2π，A＝1，所以ω＝1.
方法一 由图可知此函数的图象是由y＝sin x的图象沿x轴负方向平移个单位得到的，故φ＝，其函数解析式为f(x)＝sin.
方法二 由图象知f(x)过点，
则sin＝0，∴－＋φ＝kπ，k∈Z.
∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又∵φ∈，∴φ＝，
∴f(x)＝sin.
(2)方程f(x)＝a在上有两个不同的实根等价于y＝f(x)与y＝a的图象在上有两个交点，在图中作y＝a的图象，
如图为函数f(x)＝sin在上的图象，
当x＝0时，f(x)＝，当x＝时，f(x)＝0，
由图中可以看出有两个交点时，a∈∪(－1,0)．1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
自主学习
知识梳理
1．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的性质如下：
定义域 R
值域
周期性 T＝______
奇偶性 φ＝________时是奇函数；φ＝__________时是偶函数；当φ≠(k∈Z)时是__________函数
单调性 单调增区间可由__________________得到，单调减区间可由__________________得到
2.简谐振动
在物理学中，常用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0描述做简谐运动的一个振动量．
A就是这个简谐运动的________，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的____________；这个简谐运动的周期是____________，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率f＝＝________，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的__________；__________称为相位；x＝0时的相位φ称为________．
自主探究
利用“五点法”作出函数y＝Asin ( http: / / www.21cnjy.com )(ωx＋φ) (A>0，ω≠0，φ>0)在一个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤．请完成下面的填空.
ωx＋φ 0 π π 2π
x － －＋ －＋ －＋ －＋
y 0 A 0 －A 0
所以，描点时的五个关键点的坐标依次是_ ( http: / / www.21cnjy.com )___________，____________，__________，____________，__________.
若设T＝，则这五个关键点的横坐标依次为________，________，________，________，________.
对点讲练
知识点一 利用五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的简图
例1 作出y＝2.5sin的图象．
回顾归纳 “五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0、、π、、2π，解出x，从而确定这五点．
变式训练1 作出y＝3sin一个周期上的图象．
知识点二 求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段，求其解析式．
回顾归纳 由图象求解析式，本质就是“ ( http: / / www.21cnjy.com )五点法”作图的逆向思维：五点对应．如本题用到五点中的第一、五个点．若图象中有最值点坐标，也可代入解方程求φ，但φ的范围不能太大．
变式训练2 若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值分别为________．
知识点三 正、余弦函数的对称问题
例3 如图为函数y1＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<)的一个周期的图象．
(1)写出y1的解析式；
(2)若y2与y1的图象关于直线x＝2对称，写出y2的解析式；
(3)指出y2的周期、频率、振幅、初相．
回顾归纳 (1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)关于(x0,0)中心对称 f(x0)＝0 ωx0＋φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)关于直线x＝x0轴对称 f(x0)＝A或f(x0)＝－A ωx0＋φ＝kπ＋(k∈Z)．
变式训练3 关于f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)图象关于对称；
④y＝f(x)图象关于x＝－对称．
其中正确命题的序号为______(将你认为正确的都填上)．
1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．
(1)一般可由图象上的最大值，最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过 ( http: / / www.21cnjy.com )求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第 ( http: / / www.21cnjy.com )一零点(也叫初始点)作为突破口．以y＝Asin(ωx＋φ)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．
2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时 ( http: / / www.21cnjy.com )，注意采用整体代换的思想．如，它在ωx＋φ＝＋2kπ (k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ (k∈Z)时取得最小值．
课时作业
一、选择题
1．函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)为偶函数的条件是( )
A．φ＝＋2kπ (k∈Z) B．φ＝＋kπ (k∈Z)
C．φ＝2kπ (k∈Z) D．φ＝kπ(k∈Z)
2．函数图象的一部分如图所示，其函数为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
3．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω＞0，|φ|＜)的最小正周期是π，且f(0)＝，则( )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝
4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则( )
A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
5．设函数f(x)＝2sin，若对于任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( )
A．4 B．2 C．1 D.
二、填空题
6．函数y＝－3sin (x≥0)的初相是________．
7．函数y＝sin与y轴最近的对称轴方程是__________．
8．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值是________．
三、解答题
9. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的递增区间．
10．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
§1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)
答案
知识梳理
1.
定义域 R
值域 [－A，A]
周期性 T＝
奇偶性 φ＝kπ (k∈Z)时是奇函数；φ＝＋kπ (k∈Z)时是偶函数；当φ≠(k∈Z)时是非奇非偶函数
单调性 单调增区间可由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)得到，单调减区间可由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)得到
2.振幅 最大距离 T＝ 次数 ωx＋φ 初相
自主探究
－ －＋ －＋ －＋T －＋T
对点讲练
例1 解 令X＝2x＋，则x＝.列表：
X 0 π 2π
x －
y 0 2.5 0 －2.5 0
描点连线，如图所示．
变式训练1 解 (1)列表：
x π π π π
x－ 0 π π 2π
3sin 0 3 0 －3 0
描点、连线如图所示：
例2 解 方法一 以N为第一个零点，
则A＝－，T＝2＝π，
∴ω＝2，此时解析式为y＝－sin(2x＋φ)．
∵点N，∴－×2＋φ＝0，∴φ＝，
所求解析式为y＝－sin.
方法二 由图象知A＝，
以M为第一个零点，P为第二个零点．
列方程组解之得
∴所求解析式为y＝sin
＝－sin.
变式训练2 2，
解析 ∵图象过点，∴sin φ＝.
又|φ|<π，∴φ＝或.
又由“五点法”可得ω×0＋φ∈，∴φ＝.
∵是第五个点，
∴ω＋φ＝2π，即ω＋＝2π.
∴ω＝2.综上，ω＝2，φ＝.
例3 解 (1)由图知，A＝2，T＝7－(－1)＝8，
ω＝＝＝.∴y1＝2sin.
将点(－1,0)代入得0＝2sin.
∴φ＝.∴y1＝2sin.
(2)设P(x，y)为函数y2图象上任意一点，则P(x，y)关于直线x＝2的对称点P′为
(4－x，y)．
∵y1与y2关于直线x＝2对称．
∴点P′(4－x，y)落在y1＝2sin上．
∴y＝2sin＝2sin
即y2＝2sin.
(3)由(2)知y2＝2sin.
∴周期T＝＝8；频率f＝＝；
振幅A＝2；初相φ＝－.
变式训练3 ②③
解析 对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ (k∈Z)．
∴x＝π－，∴x1－x2是的整数倍，∴①错；
对于②，f(x)＝4sin利用公式得：
f(x)＝4cos＝4cos.
∴②对；
对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ (k∈Z)，∴x＝π－(k∈Z)，
∴是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③对；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，∴x＝＋ (k∈Z)．∴④错．
课时作业
1．B
2．D [由图知T＝4×＝π，∴ω＝＝2.
又x＝时，y＝1.]
3．D [ω＝＝2，又f(0)＝2sin φ＝，
∴sin φ＝.又∵|φ|<，∴φ＝.]
4．D [由图象知＝－＝，∴T＝π，ω＝2.
且2×＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－(k∈Z)．
又|φ|<，∴φ＝－.]
5．B [∵对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立．
∴f(x1)＝f(x)min＝－2，f(x2)＝f(x)max＝2.
∴|x1－x2|min＝＝×＝2.]
6．－
解析 由诱导公式可知y＝－3sin
＝3sin，故初相为－.
7．x＝－
解析 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)．
由k＝0，得x＝；由k＝－1，得x＝－.
∴与y轴最近的对称轴方程为x＝－.
8.
9．解 (1)由图象可知：A＝，T＝2×(6＋2)＝16，
则ω＝＝＝.
∴f(x)＝sin
由×2＋φ＝，得φ＝.
∴f(x)＝sin.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，
得16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z，
∴函数f(x)＝sin的递增区间为[16k－k,16k＋2]，k∈Z.
10．解 (1)由题意知A＝，T＝4×＝π，
ω＝＝2，sin＝1，
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，
又∵φ∈，∴φ＝.
∴y＝sin.
(2)列出x、y的对应值表：
x － π π π
2x＋ 0 π π 2π
y 0 0 － 0
描点，连线，如图所示：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
自主学习
知识梳理
1．函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个_ ( http: / / www.21cnjy.com )_____________，使得当x取定义域内的______________时，都有______________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的________________．
2．正弦函数、余弦函数的周期性
由sin(x＋2kπ)＝________，cos(x＋2kπ)＝__________知y＝sin x与y＝cos x都是________函数，______________都是它们的周期，且它们的最小正周期都是________．
3．正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是________，定义域关于________对称．
(2)由sin(－x)＝________知正弦函数y＝sin x是R上的______函数，它的图象关于________对称．
(3)由cos(－x)＝________知余弦函数y＝cos x是R上的______函数，它的图象关于________对称．
自主探究
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (Aω≠0)是否是周期函数，它的最小正周期是多少？
函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)呢？
对点讲练
知识点一 求三角函数的周期
例1 求下列函数的周期．
(1)y＝sin (x∈R)；(2)y＝|sin x| (x∈R)．
回顾归纳 对于形如函数y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )Asin(ωx＋φ)，ω≠0时的周期求法常直接利用T＝来求解，对于y＝|Asin ωx|的周期情况常结合图象法来求解．易知y＝|Asin ωx|的周期是y＝Asin ωx周期的.
变式训练1 求下列函数的周期．
(1)y＝sin；(2)y＝|cos x|.
知识点二 判断三角函数的奇偶性
例2 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
(3)f(x)＝.
回顾归纳 判断函数奇偶性，要先判断 ( http: / / www.21cnjy.com )函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件．然后再判断f(－x)与f(x)之间的关系．
变式训练2 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos＋x2sin x；
(2)f(x)＝＋.
知识点三 函数周期性与奇偶性的综合运用
例3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值．
回顾归纳 解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内．
变式训练3 若f(x)是以为周期的奇函数，且f＝1，求f 的值．
1．求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T.如y＝|sin x|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ) (其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝.
2．判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称.
课时作业
一、选择题
1．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
2．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x C．y＝cos D．y＝cos 4x
3．下列函数中，不是周期函数的是( )
A．y＝|cos x| B．y＝cos|x|
C．y＝|sin x| D．y＝sin|x|
4．函数y＝sin(x＋θ) (0<θ≤π)是R上的奇函数，则θ的值是( )
A．0 B. C. D．π
5．函数f(x)＝7sin是( )
A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的奇函数
C．周期为3π的奇函数 D．周期为的偶函数
二、填空题
6．函数y＝sin的最小正周期是，则ω＝________.
7．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则f(x)的解析式是______________．
8．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：
①对任意的φ，f(x)都是非 ( http: / / www.21cnjy.com )奇非偶函数；②不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；③存在φ，使f(x)是奇函数；④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．
其中结论错误的序号是________．
三、解答题
9．判断函数f(x)＝ln(sin x＋)的奇偶性．
10．有两个函数f(x)＝asin，g(x)＝bcos (k>0)，它们的周期之和为，且f＝g，f＝－·g＋1，求k，a，b.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
答案
知识梳理
1．(1)非零常数T 每一个值 f(x＋T)＝f(x)
(2)最小正周期
2．sin x cos x 周期 2kπ (k∈Z且k≠0) 2π
3．(1)R y轴 (2)－sin x 奇 原点
(3)cos x 偶 y轴
自主探究
解 由诱导公式知
Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)
也就是Asin＝Asin(ωx＋φ)
即f＝f(x)
所以函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)是周期函数，就是它的一个周期，是它的最小正周期．
同理，函数f(x)＝Acos (ω≠0)也是周期函数，最小正周期也是.
对点讲练
例1 解 (1)f(x)＝sin的周期为＝π.
(2)作出y＝|sin x|的图象．
由图象可知，y＝|sin x|的周期为π.
变式训练1 解 (1)T＝＝4π.
(2)函数y＝|cos x|的图象如图所示：
根据图象可知：T＝π.
例2 解 (1)显然x∈R，f(x)＝cos x，
f(－x)＝cos ＝cos x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)由，得－1解得定义域为.
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数．
变式训练2 解 (1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x，
又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)由，得cos x＝.
∴f(x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z.
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
例3 解 ∵f(x)的最小正周期是π，
∴f＝f＝f，
∵f(x)是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin ＝.
∴f＝.
变式训练3 解 f＝f
＝f＝－f＝－1.
课时作业
1．B [∵sin＝－sin＝－cos 2x，
∴f(x)＝－cos 2x.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．]
2．D [利用公式T＝.]
3．D [画出y＝sin|x|的图象，易知．]
4．C [当θ＝π时，y＝sin(x＋π)＝sin x是奇函数，故选C.]
5．A [∵f(x)＝7sin＝7sin
＝－7sin＝－7cos ，
∴T＝＝＝3π，f(x)为偶函数．]
6．±3
解析 ＝，∴|ω|＝3，∴ω＝±3.
7．f(x)＝sin|x|
解析 当x<0时，－x>0，f(－x)＝sin(－x)
＝－sin x，
∵f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝－sin x.
∴x∈R，f(x)＝sin|x|.
8．①④
解析 易知②③成立，令φ＝，f(x)＝cos x是偶函数，①④都不成立．
9．解 ∵sin x＋≥sin x＋1≥0，
若两处等号同时取到，则sin x＝0且sin x＝－1矛盾，∴对x∈R都有sin x＋>0.
∵f(－x)＝ln(－sin x＋)
＝ln(－sin x)＝ln(＋sin x)－1
＝－ln(sin x＋)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
10．解 ∵k>0，∴＋＝＝，
∴k＝2，∴f(x)＝asin，
g(x)＝bcos，
∴f＝asin＝－a，
g＝bcos＝b，
g＝bcos＝－b，
f＝asin＝a.
由题意，a，b满足方程组
，∴.
∴k＝2，a＝，b＝－.1.3 三角函数的诱导公式(一)
自主学习
知识梳理
1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.
相关角 终边之间的对称关系
π＋α与α 关于____对称；
－α与α 关于____对称；
π－α与α 关于____对称.
2.诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝______，cos(α＋2kπ)＝______，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝__________，tan(π＋α)＝________.
(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.
(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝__________.
自主探究
你能否利用π＋α与α终边之间的对称关系，从任意角三角函数的定义出发推导诱导公式二吗？
对点讲练
知识点一 给角求值问题
例1 求下列各三角函数值．
(1)sin(－1 200°)；(2)cos ；(3)tan 945°.
回顾归纳 此类问题是给角求值，主要 ( http: / / www.21cnjy.com )是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数，要记住一些特殊角的三角函数值．
变式训练1 求sin 1 200°·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan(－495°)的值．
知识点二 给值求值问题
例2 已知＝2，求的值．
回顾归纳 (1)诱导公式的使用将三角函数式中的角都化为单角．(2)弦切互化是本题的一个重要技巧，值得关注．
变式训练2 已知cos＝，
求cos－sin2的值．
知识点三 化简三角函数式
例3 化简：.
回顾归纳 解答此类题目的关键是正确运用诱导公式，如果含有参数k(k为整数)一般需按k的奇、偶性分类讨论．
变式训练3 化简：(其中k∈Z)．
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式 作用
公式一 将角转化为0～2π求值
公式二 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三 将负角转化为正角求值
公式四 将角转化为0～求值
2.诱导公式的记忆
这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不 ( http: / / www.21cnjy.com )变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
课时作业
一、选择题
1．sin 585°的值为( )
A．－ B. C．－ D.
2．若n为整数，则代数式的化简结果是( )
A．tan nα B．－tan nα
C．tan α D．－tan α
3．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于( )
A. B．－
C. D．－
4．tan(5π＋α)＝m，则的值为( )
A．m B．－m C．－1 D．1
5．若sin(π－α)＝log8 ，且α∈，则cos(π＋α)的值为( )
A. B．－ C．± D．以上都不对
二、填空题
6．sin＋2sin ＋3sin ＝______.
7．代数式的化简结果是________．
8．设f(x)＝asin(π ( http: / / www.21cnjy.com )x＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2 009)＝1，则f(2 010)＝________.
三、解答题
9．若cos(α－π)＝－，
求的值．
10．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.
§1.3 三角函数的诱导公式(一)
答案
知识梳理
1.
相关角 终边之间的对称关系
π＋α与α 关于原点对称；
－α与α 关于x轴对称；
π－α与α 关于y轴对称.
2.(1)sin α cos α tan α
(2)－sin α －cos α tan α
(3)－sin α cos α －tan α
(4)sin α －cos α －tan α
自主探究
解 设P(x，y)为角α终边上任一点，
∵角α与π＋α终边关于原点对称．
∴P(x，y)关于原点的对称点P′(－x，－y)位于角π＋α的终边上．
∴|OP′|＝|OP|＝＝r.
由任意角三角函数的定义知：
sin(π＋α)＝＝－sin α，
cos (π＋α)＝＝－cos α，
tan(π＋α)＝＝＝tan α.
借助任意角三角函数的定义同样可以推得公式三、公式四．
对点讲练
例1 解 (1)sin(－1 200°)＝sin(－4×360°＋240°)
＝sin 240°
＝sin(180°＋60°)
＝－sin 60°＝－；
(2)cos ＝cos(＋6π)＝cos
＝cos(2π－)＝cos＝；
(3)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°
＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1.
变式训练1 解 原式＝sin(3 ( http: / / www.21cnjy.com )×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)－tan(360°＋135°)
＝sin(180°－60°)·cos ( http: / / www.21cnjy.com )(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)－tan(180°－45°)
＝－sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°
＝－×＋×＋1
＝.
例2 解 ∵＝2，
∴tan(3π－α)＝2，∴tan α＝－2.
∵
＝＝
＝
∴＝＝.
变式训练2 解 cos－sin2
＝－cos－sin2
＝－cos－sin2
＝－－
＝－－＝－.
例3 解 原式＝
＝
＝
＝tan θ
变式训练3 解 当k为偶数时，
不妨设k＝2n，n∈Z，则
原式＝
＝
＝
＝－1.
当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则
原式＝
＝
＝
＝－1.
∴上式的值为－1.
课时作业
1．A [sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－.]
2．C [若n为偶数，则原式＝＝tan α；
若n为奇数，则原式＝＝tan α.]
3．B [∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，
∴sin 80°＝.∴tan 80°＝.
∴tan 100°＝－tan 80°＝－.]
4．A [∵tan(5π＋α)＝tan α＝m，∴tan α＝m.
原式＝＝tan α＝m.]
5．B [∵sin(π－α)＝sin α＝log2 2－＝－，
∴cos(π＋α)＝－cos α＝－
＝－＝－.]
6．0
解析 原式＝－sin ＋2sin＋3sin
＝－－2×＋3×＝0.
7．－1
解析 原式
＝
＝
＝
＝
＝－1.
8．3
解析 f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)＋2
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2
＝2－(asin α＋bcos β)＝1.
∴asin α＋bcos β＝1.
f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β)＋2
＝asin α＋bcos β＋2＝3.
9．解 原式＝
＝
＝
＝－tan α.
∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝，
sin α＝＝，
∴tan α＝＝，则原式＝－.
当α为第四象限角时，cos α＝，
sin α＝－＝－，
∴tan α＝＝－，则原式＝.
10．证明 ∵sin(α＋β)＝1，
∴α＋β＝2kπ＋ (k∈Z)，
∴α＝2kπ＋－β (k∈Z)．
tan(2α＋β)＋tan β
＝tan＋tan β
＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan β
＝tan(4kπ＋π－β)＋tan β
＝tan(π－β)＋tan β
＝－tan β＋tan β＝0，
∴原式成立．1.4.3 正切函数的性质与图象
自主学习
知识梳理
正切函数的图象和性质
(1)图象：如下图所示．
(2)性质：如下表所示
函数性质 y＝tan x
定义域
值域
周期
奇偶性 ________函数
单调性 增区间 ______________(k∈Z)
减区间 无
自主探究
仔细观察正切函数的图象，完成下列问题．
(1)正切函数的图象有________条渐近线，它们的方程为x＝__________(k∈Z)．相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
(2)正切函数的图象是中 ( http: / / www.21cnjy.com )心对称图形，对称中心有______个，它们的坐标是__________(k∈Z)；正切函数的图象不是轴对称图形，不存在对称轴．
(3)函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝________.
对点讲练
知识点一 与正切函数有关的定义域问题
例1 求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域．
回顾归纳 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
变式训练1 求下列函数的定义域．
(1)y＝；(2)y＝lg(－tan x)．
知识点二 正切函数的单调性及周期性
例2 求函数y＝tan的单调区间及周期．
回顾归纳 y＝tan(ωx＋φ) (ω ( http: / / www.21cnjy.com )>0)的单调区间的求法即是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
变式训练2 求函数y＝tan的单调区间及周期．
知识点三 正切函数单调性的应用
例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小．
(1)tan与tan；(2)tan 2与tan 9.
回顾归纳 比较两个函数值的大 ( http: / / www.21cnjy.com )小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可．正切函数的单调递增区间为，k∈Z.故在和上都是增函数．
变式训练3 比较下列两组函数值的大小．
(1)tan(－1 280°)与tan 1 680°；(2)tan 1，tan 2，tan 3.
1．正切函数y＝tan ( http: / / www.21cnjy.com )x在每段区间 (k∈Z)上是单调递增函数，但不能说正切函数在其定义域内是单调递增函数．并且每个单调区间均为开区间，而不能写成闭区间(k∈Z)．正切函数无单调减区间．
2．正切函数是奇函数，图 ( http: / / www.21cnjy.com )象关于原点对称，并且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是(k∈Z)．正切函数的图象无对称轴，但图象以直线x＝kπ＋(k∈Z)为渐近线.
课时作业
一、选择题
1．函数y＝2tan的最小正周期是( )
A. B. C. D.
2．函数y＝tan在一个周期内的图象是( )
3．下列函数的最小正周期为的函数是( )
A．y＝tan 3x B．y＝tan
C．y＝tan D．y＝tan
4．下列函数中，在上单调递增，且以π为周期的偶函数是( )
A．y＝tan|x| B．y＝|tan x|
C．y＝|sin 2x| D．y＝cos 2x
5．函数f(x)＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D.
二、填空题
6．不等式tan≥－1的解集是____________．
7．函数y＝3tan的对称中心的坐标是
_____________________________________________________________________．
8．函数y＝2tan－5的单调递增区间是________________．
三、解答题
9．判断函数f(x)＝lg 的奇偶性．
10．求函数y＝tan的定义域、周期、单调区间和对称中心．
1.4.3 正切函数的性质与图象
答案
知识梳理
(2)
函数性质 y＝tan x
定义域 ，(k∈Z)
值域 R
周期 π
奇偶性 奇函数
单调性 增区间 (k∈Z)
减区间 无
自主探究
(1)无数 kπ＋ (2)无数 (3)
对点讲练
例1 解 由题意得，
即－1≤tan x<1.
在内，满足上述不等式的x的取值范围是.又y＝tan x的周期为π，
所以所求x的范围是 (k∈Z)．
即函数的定义域为 (k∈Z)．
变式训练1 解 (1)要使函数y＝有意义，
只需 (k∈Z)．
∴函数的定义域为.
(2)由－tan x>0，得tan x<.
根据正切函数图象，得－＋kπ∴函数的定义域是.
例2 解 y＝tan
＝－tan，
由kπ－得2kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是，k∈Z.
周期T＝＝2π.
变式训练2 解 ∵y＝tan x在x∈ (k∈Z)上是增函数，
∴－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z.
即－＋∴函数y＝tan的单调递增区间是
(k∈Z)．
周期T＝.
例3 解 (1)∵tan＝tan
＝tan，
tan＝tan＝tan ，
又函数y＝tan x在上是增函数，
而－<－<<.
∴tan即tan(2)∵tan 9＝tan(9－2π)，而<2<9－2π<π.
由于函数y＝tan x在上是增函数，
∴tan 2变式训练3 解 (1)∵tan(－1 280°)
＝tan(－4×360°＋160°)
＝tan(180°－20°)＝tan(－20°)，
tan 1 680°＝tan(4×360°＋240°)
＝tan(180°＋60°)＝tan 60°，
而函数y＝tan x在上是增函数，
∴tan(－20°)即tan(－1 280°)(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0，
∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在上是增函数，
∴tan(2－π)即tan 2课时作业
1．B 2.A 3.D 4.B
5．A [由题意，T＝＝，∴ω＝4.
∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0.]
6. (k∈Z)
解析 由kπ－≤2x－解得≤x<＋，k∈Z.
7. (k∈Z)
解析 由x＋＝ (k∈Z)，
得x＝－ (k∈Z)．
∴对称中心坐标为 (k∈Z)．
8.，k∈Z
9．解 由>0，得tan x>1或tan x<－1.
∴函数定义域为
∪(k∈Z)
关于原点对称．
f(－x)＋f(x)＝lg ＋lg
＝lg＝lg 1＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
10．解 ①由－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠2kπ＋，k∈Z.
∴函数的定义域为.
②T＝＝2π，
∴函数的周期为2π.
③由kπ－<－解得2kπ－∴函数的单调递增区间为，k∈Z.
④由－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z.
∴函数的对称中心是，k∈Z.1.2.1 任意角的三角函数(二)
自主学习
知识梳理
1．三角函数的定义域
函数的定义域是函数概念的三要素之一 ( http: / / www.21cnjy.com )，对于三角函数的定义域要给予足够的重视，确定三角函数的定义域时，应抓住分母等于零时比值无意义这一关键，因此需要注意，当且仅当角的终边在坐标轴上时，点P的坐标中必有一个为零，结合三角函数的定义，可以得到三角函数的定义域如下表.
三角函数 定义域
sin α
cos α
tan α
2.三角函数线
三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值.
图示
正弦线 如上图，α终边与单位圆交于P，过P作PM垂直x轴，有向线段______即为正弦线
余弦线 如上图，有向线段______即为余弦线
正切线 如上图，过(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或α终边的反向延长线于T，有向线段______即为正切线
自主探究
如何利用三角函数线证明下面的不等式？
当α∈时，求证：sin α<α对点讲练
知识点一 作出已知角的三角函数线
例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)－；(2)；(3).
回顾归纳 作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要确定已知角的终边，再画线，同时要分清所画线的方向，对于以后研究三角函数很有用处．
变式训练1 如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线PM，正切线A′T′
B．正弦线MP，正切线A′T′
C．正弦线MP，正切线AT
D．正弦线PM，正切线AT
知识点二 利用三角函数线比较大小
例2 如果<α<，那么下列不等式成立的是( )
A．cos αC．sin α回顾归纳 利用三角函数线比较三角函数值的大小，一般先作出正弦线、余弦线比较大小．然后作出正切线，一般与“1”进行比较．
变式训练2 若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )
A．sin α＋cos α>1 B．sin α＋cos α＝1
C．sin α＋cos α<1 D．不能确定
知识点三 利用三角函数线求函数定义域
例3 求函数f(x)＝＋ln的定义域．
回顾归纳 求三角函数定义 ( http: / / www.21cnjy.com )域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题．利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分．
变式训练3 求函数f(x)＝lg(3－4sin2x)的定义域．
对三角函数线的理解
1．三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有 ( http: / / www.21cnjy.com )向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．
2．三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P、M、T点，再画出MP、OM、AT.
注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．
3．三角函数线的作用
三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础.
课时作业
一、选择题
1．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )
A. B. C. D.或
2．在[0,2π]上，满足sin x≥的x的取值范围为( )
A．[0，] B．[，]
C．[，] D．[，π]
3．sin 1、cos 1、tan 1的大小关系为( )
A．sin 1>cos 1>tan 1 B．sin 1>tan 1>cos 1
C．tan 1>sin 1>cos 1 D．tan 1>cos 1>sin 1
4．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪
5．若θ是第二象限角，则( )
A．sin >0 B．cos <0
C．tan <1 D．tan >1
二、填空题
6．集合A＝[0,2π]，B＝{α|sin α_____________________________________________________________________.
7．不等式tan α＋>0的解集是______________．
8．函数y＝＋＋的值域是________．
三、解答题
9．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥； (2)cos α≤－.
10．设θ是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小．
1.2.1 任意角的三角函数(二)
答案
知识梳理
1.
三角函数 定义域
sin α {α|α∈R}
cos α {α|α∈R}
tan α
2.
图示
正弦线 如上图，α终边与单位圆交于P，过P作PM垂直x轴，有向线段MP即为正弦线
余弦线 如上图，有向线段OM即为余弦线
正切线 如上图，过(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或α终边的反向延长线于T，有向线段AT即为正切线
自主探究
证明
如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P，α的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MP＝sin α，AT＝tan α.
因为S△AOP＝OA·MP＝sin α，
S扇形AOP＝αOA2＝α，
S△AOT＝OA·AT＝tan α，
又S△AOP所以sin α<α即sin α<α对点讲练
例1 解 首先确定已知角的终边位置．
作出各角的正弦线、余弦线、正切线，如图所示，
图中的MP，OM，AT分别为各角的正弦线、余弦线、正切线．
变式训练1 C
例2 A
[如图所示，在单位圆中分别作出α ( http: / / www.21cnjy.com )的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM变式训练2 A [设α终边与单位圆交于点P，sin α＝MP，
cos α＝OM，则|OM|＋|MP|>|OP|＝1，
即sin α＋cos α>1.]
例3 解 由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
变式训练3 解 如图所示．
∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，
∴－∴x∈∪ (k∈Z)．
即x∈ (k∈Z)．
课时作业
1．D [角α的终边落在第二、四象限角平分线上．]
2．B [在[0,2π]上，sin ＝sin ＝，结合正弦线知≤x≤.]
3．C [画出1 rad的正弦线、余弦线、正切线，
易知cos 14．D [在同一单位圆中，利用三角函数线可得D正确．]
5．D [∵θ是第二象限角，
∴2kπ＋<θ<2kπ＋π，k∈Z.
∴kπ＋<当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋<<2nπ＋
此时，tan >tan ＝1.
当k＝2n＋1，n∈Z时，2nπ＋<<2nπ＋，
此时，由的正切线知tan >1.]
6.∪
7.
解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，
∴.
8．{－1,3}
解析 x是第一象限角，y＝3；
x是第二象限角，y＝－1；
x是第三象限角，y＝－1；
x是第四象限角，y＝－1.
9．解 (1)
图1
作直线y＝交单位圆于A、B，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域(图1阴影部分)，即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为
{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)
图2
作直线x＝－交单位圆于C、D，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图2阴影部分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为
{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
10．解 θ是第二象限角，
即2kπ＋<θ<2kπ＋π (k∈Z)，
故kπ＋<作出所在范围如图所示．
当2kπ＋<<2kπ＋ (k∈Z)时，cos 当2kπ＋<<2kπ＋ (k∈Z)时，
sin 自主学习
知识梳理
1．三角函数的周期性
y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；
y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；
y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质
(1)ymax＝________，ymin＝________.
(2)A＝__________，k＝__________.
(3)ω可由__________确定，其中周期T可观察图象获得．
(4)由ωx1＋φ＝______，ωx2＋φ＝__________，ωx3＋φ＝__________，ωx4＋φ＝__________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．
3．三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
自主探究
结合三角函数图象的特点，思考后写出下列函数的周期．
(1)y＝|sin x|的周期是________；
(2)y＝|cos x|的周期是________；
(3)y＝|tan x|的周期是________；
(4)y＝|Asin(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是________；
(5)y＝|Asin(ωx＋φ)＋k| (Aωk≠0)的周期是
____________________________________________________________________；
(6)y＝|Atan(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是__________．
对点讲练
知识点一 从实际问题中提炼三角函数模型
例1 如图(1)所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.
(1)
(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．
回顾归纳 如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型．
变式训练1 如图所示，一个摩天轮半 ( http: / / www.21cnjy.com )径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.
知识点二 三角函数模型在物理学科中的应用
例2 交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin来表示，求：
(1)开始时的电压；
(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．
回顾归纳 三角函数模型在物理学科中有着广泛的 ( http: / / www.21cnjy.com )应用．在应用三角函数知识解决物理问题时，应当注意从复杂的物理背景中提炼基本的数学关系，还要调动相关物理知识来帮助理解问题．
变式训练2 如图表示电流I与时间t的函数关系式：I＝Asin(ωt＋φ)在同一周期内的图象．
(1)据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
知识点三 三角函数模型在实际问题中的应用
例3 某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：
t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝Asin ωt＋B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离 ( http: / / www.21cnjy.com )不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
回顾归纳 确定函数关系式y＝Asin ω ( http: / / www.21cnjy.com )t＋B，就是确定其中的参数A，ω，B等，可从所给的数据中寻找答案．由于函数的最大值与最小值不是互为相反数，若设最大值为M，最小值为m，则A＝，B＝.
变式训练3 设y＝f(t)是某港口水的深度y ( http: / / www.21cnjy.com )(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似 ( http: / / www.21cnjy.com )地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )
A．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．
2．三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．
(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．
(3)利用三角函数模型解决实际问题．
(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.
课时作业
一、选择题
1. 如图所示，单摆从某点 ( http: / / www.21cnjy.com )开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A. s B. s C．50 s D．100 s
2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7 ( http: / / www.21cnjy.com )千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
3．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f等于( )
A．3或0 B．－3或0 C．0 D．－3或3
4. 如图所示，设点A是单位圆上的一 ( http: / / www.21cnjy.com )定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
二、填空题
5．函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是________．
6．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋ ( http: / / www.21cnjy.com )25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
7．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂 ( http: / / www.21cnjy.com )一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式时s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于________．
三、解答题
8. 如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
§1.6 三角函数模型的简单应用
答案
知识梳理
1.
2．(1)A＋k －A＋k (2) (3)ω＝ (4)0 π π 2π
3．周期
自主探究
(1)π (2)π (3)π (4) (5) (6)
对点讲练
例1 解
(2)
(1)由题意可作图如图(2)所示．过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点．
当θ>时，∠BOM＝θ－.
h＝|OA|＋0.8＋|BM|
＝5.6＋4.8sin；
当0≤θ≤时，上述解析式也适合．
综上所述，h＝5.6＋4.8sin.
(2)点A在⊙O上逆时针运动的角速度是，
∴t秒转过的弧度数为t，
∴h＝4.8sin＋5.6，t∈[0，＋∞)．
变式训练1 解 (1)设在t s ( http: / / www.21cnjy.com )时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为 t＝ t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10 sin t＋12(t≥0)．
(2)由10sint＋12≥17，得sint≥，
则≤t≤.
故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.
例2 解 (1)当t＝0时，E＝110(伏)，
即开始时的电压为110伏．
(2)T＝＝(秒)，即时间间隔为0.02秒．
(3)电压的最大值为220伏．
当100πt＋＝，即t＝秒时第一次取得最大值．
变式训练2 解 (1)由题图知，A＝300，t1＝－，t2＝，
∵T＝2(t2－t1)＝2(＋)＝，
∴ω＝＝100π.
由ωt1＋φ＝0知φ＝－ωt1＝，
∴I＝300sin(100πt＋)．
(2)问题等价于T≤，即≤，也即ω≥200π，
故最小正整数为ω＝629.
例3 解 (1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asin ωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝.
又ymin＝7，ymax＝13，∴A＝(ymax－ymin)＝3，
B＝(ymax＋ymin)＝10.
∴函数的解析式为y＝3sint＋10 (0≤t≤24)．
(2)由题意，水深y≥4.5＋7，
即y＝3sint＋10≥11.5，t∈[0,24]，
∴sint≥，t∈，k＝0,1，
∴t∈[1,5]或t∈[13,17]，
所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．
若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．
变式训练3 A [在给定的四个选项A、B、C、D中我们不妨代入t＝0及t＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.]
课时作业
1．A 2.A
3．D [因为f＝f，所以直线x＝是函数f(x)图象的对称轴．
所以f＝3sin＝3sin
＝±3.因此选D.]
4．C [d＝f(l)＝2sin .]
5．26,27,28
解析 ∵T＝，又∵<<
∴8π6．80
解析 T＝＝(分)．f＝＝80(次/分)．
7.
解析 T＝＝1.∴ ＝2π.∴l＝.
8．解 (1)如图所示建立直角坐标系，
设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为
＝.
由OP在时间t(s)内所转过的角为t＝t.
由题意可知水轮逆时针转动，
得z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，
即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1，
令t－＝，得t＝4，
故点P第一次到达最高点大约需要4 s.1.2.2 同角三角函数的基本关系
自主学习
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：____________________.
(2)商数关系：____________________.
2．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：
sin2α＝__________；cos2α＝__________；
(sin α＋cos α)2＝__________；
(sin α－cos α)2＝____________；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；
sin α·cos α＝____________＝____________.
(2)tan α＝的变形公式：sin α＝____________；
cos α＝____________.
自主探究
1．利用任意角三角函数的定义推导平方关系．
2．已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)；
(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α.
对点讲练
知识点一 已知某一个三角函数值，求同角的其余三角函数值
例1 已知cos α＝－，求sin α、tan α.
回顾归纳 同角三角函数的基本关系式 ( http: / / www.21cnjy.com )揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用．
变式训练1 已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
知识点二 利用同角的三角函数基本关系式化简
例2 化简：＋－.
回顾归纳 解答此类题目的关键 ( http: / / www.21cnjy.com )在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系．化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解．
变式训练2 化简：.
知识点三 利用同角的三角函数基本关系式证明恒等式
例3 求证：－＝.
回顾归纳 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简．
证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．
常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．
常用技巧：切化弦、整体代换．
变式训练3 求证：＝.
1．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同 ( http: / / www.21cnjy.com )名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．
2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其 ( http: / / www.21cnjy.com )余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．
3．在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.
课时作业
一、选择题
1．化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是( )
A. B. C．1 D.
2．若α为第三象限角，则＋的值为( )
A．3 B．－3 C．1 D．－1
3．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
A．－ B. C．± D．±
4．已知tan α＝－，则的值是( )
A. B．3 C．－ D．－3
5．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为( )
A．－4 B．4 C．－8 D．8
二、填空题
6．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝________.
7．已知sin αcos α＝且<α<，则cos α－sin α＝
______________________________________________________________________.
8．若sin θ＝，cos θ＝，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．
三、解答题
9．证明：
(1)－＝sin α＋cos α；
(2)(2－cos2α)(2＋tan2α)＝(1＋2tan2α)(2－sin2α)．
10．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)
求：(1)m的值；(2)方程的两根及此时θ的值．
1.2.2 同角三角函数的基本关系
答案
知识梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1 (2)tan α＝ (α≠kπ＋，k∈Z)
2．(1)1－cos2α 1－sin2α 1＋2sin αcos α
1－2sin αcos α 2
(2)cos αtan α
自主探究
1．解 ∵sin α＝，cos α＝，tan α＝，x2＋y2＝r2，
∴sin2α＋cos2α＝＋＝＝1 (α∈R)．
＝＝＝tan α (α≠kπ＋，k∈Z)．
2．解 关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值．
(1)原式＝＝.
(2)原式＝
＝
＝＝.
对点讲练
例1 解 ∵cos α＝－<0且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限的角．
(1)如果α是第二象限的角，可以得到
sin α＝＝ ＝.
tan α＝＝＝－.
(2)如果α是第三象限的角，可得到：
sin α＝－，tan α＝.
变式训练1 解 由tan α＝＝，
得sin α＝cos α. ①
又sin2 α＋cos2α＝1， ②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
又α是第三象限角，
∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
例2 解 原式＝＋
－
＝＋－
＝
变式训练2 解 原式＝
＝
＝
＝
＝
＝＝＝.
例3 证明 左边＝
＝
＝
＝
＝＝右边．
∴原式成立．
变式训练3 证明 左边
＝
＝
＝
＝
＝右边．
∴原等式成立．
课时作业
1．C [sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β
＝sin2β＋cos2β(cos2β＋sin2β)
＝sin2β＋cos2β
＝1.]
2．B [∵α为第三象限角，cos α<0，sin α<0，
∴原式＝＋
＝＋＝－3.]
3．A [α为第二象限角，sin α＝，cos α＝－，
tan α＝－.]
4．C [
＝
＝＝＝＝－.]
5．C [tan α＋＝＋＝.
∵sin αcos α＝＝－，
∴tan α＋＝－8.]
6．－
解析 由α是第二象限的角且tan α＝－，
则，则.
7．－
解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，
∵<α<，∴cos α8.
解析 ∵sin2θ＋cos2θ＝2＋2＝1，
∴k2＋6k－7＝0，∴k1＝1或k2＝－7.
当k＝1时，cos θ不符合，舍去．
当k＝－7时，sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝.
9．证明 (1)左边＝－
＝－
＝－
＝－
＝
＝sin α＋cos α＝右边．
∴原式成立．
(2)∵左边＝4＋2tan2α－2cos2α－sin2α
＝2＋2tan2α＋2sin2α－sin2α
＝2＋2tan2α＋sin2α
右边＝(1＋2tan2α)(1＋cos2α)
＝1＋2tan2α＋cos2α＋2sin2α
＝2＋2tan2α＋sin2α
∴左边＝右边，原式成立．
10．解 (1)由韦达定理知
由①式可知1＋2sin θcos θ＝1＋，
∴sin θcos θ＝，
∴＝，
∴m＝，
(2)当m＝时，原方程2x2－(＋1)x＋＝0，
∴x1＝，x2＝.
∵θ∈(0,2π)
∴或.
∴θ＝或θ＝.1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
自主学习
知识梳理
正弦函数、余弦函数的性质：
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域
值域
奇偶性
周期性 最小正周期：____ 最小正周期：____
单调性 在____________ 上单调递增；在______________上单调递减 在________________上单调递增；在__________________上单调递减
最值 在__________________时，ymax＝1；在__________________时，ymin＝－1 在__________时，ymax＝1；在________________时，ymin＝－1
自主探究
正弦曲线与余弦曲线都既是轴对称图形又是中心对称图形，那么：
(1)正弦函数y＝sin x的对称轴方程是______________，对称中心坐标是______________．
(2)余弦函数y＝cos x的对称轴方程是______________，对称中心坐标是______________．
对点讲练
知识点一 求正、余弦函数的单调区间
例1 求函数y＝sin的单调递减区间．
回顾归纳 求y＝Asin(ωx ( http: / / www.21cnjy.com )＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间．
变式训练1 求函数y＝2cos的单调增区间．
知识点二 比较三角函数值的大小
例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 196°与cos 156°；(2)sin 1，sin 2，sin 3.
回顾归纳 用正弦函数和余弦函数的单调 ( http: / / www.21cnjy.com )性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．
变式训练2 比较下列各组数的大小．
(1)cos 870°，cos 890°；(2)sin，sin .
知识点三 正、余弦函数的最值问题
例3 已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
回顾归纳 此类问题应特别注意正、余 ( http: / / www.21cnjy.com )弦函数值域的有界性，即当x∈R时，－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，另外还应注意定义域对值域的影响．
变式训练3 若函数y＝a－bcos x(b>0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝－4acos bx的最值和最小正周期．
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)单调区间的方法是：
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．求三角函数值域或最值的常用求法
(1)将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y的范围．
(2)将sin x或cos x用所 ( http: / / www.21cnjy.com )求变量y来表示，如sin x＝f(y)，再由|sin x|≤1，构建关于y的不等式|f(y)|≤1，从而求得y的取值范围.
课时作业
一、选择题
1．若y＝sin x是减函数，y＝cos x是增函数，那么角x在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．函数y＝sin (x∈k)在( )
A．[0，π]上是增函数 B.上是增函数
C．[0，π]上是减函数 D.上是减函数
3．当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin有( )
A．最大值为1，最小值为－1
B．最大值为1，最小值为－
C．最大值为2，最小值为－2
D．最大值为2，最小值为－1
4．函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ的一个取值是( )
A. B．－ C．π B．2π
5．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( )
A. B.
C. D.
二、填空题
6．函数y＝sin(π＋x)，x∈的单调增区间是________________．
7．函数y＝log(1＋λcos x)的最小值是－2，则λ的值是________．
8．函数y＝－cos2x＋cos x(x∈R)的值域是________．
三、解答题
9．求下列函数的单调增区间．
(1)y＝1－sin ； (2)y＝log(cos 2x)．
10．求下列函数的值域．
(1)y＝1－2cos2x＋2sin x； (2)y＝.
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
答案
知识梳理
函数 y＝sin x y＝cos x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1]
奇偶性 奇函数 偶函数
周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π
单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) 上单调递增；在[＋2kπ，＋2kπ] (k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上单调递减
最值 在x＝＋2kπ (k∈Z)时，ymax＝1；在x＝－＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝－1 在x＝2kπ (k∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝－1
自主探究
(1)x＝kπ＋ (k∈Z) (kπ，0) (k∈Z)
(2)x＝kπ (k∈Z) (k∈Z)
对点讲练
例1 解 由已知函数为y＝－sin，则欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间．
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ (k∈Z)，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ (k∈Z)．
∴函数的单调递减区间为 (k∈Z)．
变式训练1 解 y＝2cos
＝2cos.
由2kπ－π≤－≤2kπ，k∈Z，
解得2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z.
即4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，
∴函数的单调增区间是 (k∈Z)．
例2 解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，
∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.
(2)∵1<<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，
sin(π－3)＝sin 3.
0<π－3<1<π－2<且y＝sin x在上递增，
∴sin(π－3)即sin 3变式训练2 解 (1)cos 870°＝cos(2×360°＋150°)＝cos 150°，
cos 890°＝cos(2×360°＋170°)＝cos 170°，
∵余弦函数y＝cos x在[0°，180°]上是减函数，
∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>cos 890°.
(2)sin＝sin＝sin，
sin ＝sin＝sin ，
∵正弦函数y＝sin x在上是增函数，
∴sin例3 解 ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，易知a≠0.
当a>0时，f(x)max＝2a＋b＝1，
f(x)min＝－a＋b＝－5.
由，解得.
当a<0时，f(x)max＝－a＋b＝1，
f(x)min＝2a＋b＝－5.
由，解得.
变式训练3 解 ∵y＝a－bcos x(b>0)，
∴ymax＝a＋b＝，ymin＝a－b＝－.
由，解得.
∴y＝－4acos bx＝－2cos x，
∴ymax＝2，ymin＝－2，T＝2π.
课时作业
1．C 2.A
3．D [∵－≤x≤，∴－≤x＋≤.
∴当x＋＝－，即x＝－时，f(x)有最小值－1.
当x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值2.]
4．A [若y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称．
则φ＝kπ＋，∴当k＝0时，φ＝.]
5．C [y＝sin2x＋sin x－1＝2－
∵－1≤sin x≤1，
∴当sin x＝－时，y取最小值－，
当sin x＝1时，y取最大值1.]
6.
7．±3
解析 由题意，1＋λcos x的最大值为4，
当λ>0时，1＋λ＝4，λ＝3；
当λ<0时，1－λ＝4，λ＝－3.
∴λ＝±3.
8.
解析 y＝－2＋
∵－1≤cos x≤1，∴当cos x＝时，ymax＝.
当cos x＝－1时，ymin＝－2.
∴函数y＝－cos2x＋cos x的值域是.
9．解 (1)由2kπ＋≤≤2kπ＋π，k∈Z，
得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z.
∴y＝1－sin 的增区间为
[4kπ＋π，4kπ＋3π] (k∈Z)．
(2)由题意得cos 2x>0且cos 2x递减．
∴x只须满足：2kπ<2x<2kπ＋，k∈Z.
∴kπ∴y＝log(cos 2x)的增区间为，k∈Z.
10．解 (1)y＝1－2cos2x＋2sin x
＝2sin2x＋2sin x－1
＝22－
当sin x＝－时，ymin＝－；
当sin x＝1时，ymax＝3.
∴函数y＝1－2cos2x＋2sin x的值域为.
(2)方法一 y＝＝－1
∵－1≤sin x≤1，∴1≤2＋sin x≤3，
∴≤≤1，∴≤≤4，
∴≤－1≤3，即≤y≤3.
∴函数y＝的值域为.
方法二 由y＝，解得sin x＝，
由|sin x|≤1，得≤1，
∴(2－2y)2≤(y＋1)2，
整理得3y2－10y＋3≤0，
解得≤y≤3.
∴函数y＝的值域为.1.3 三角函数的诱导公式(二)
自主学习
知识梳理
1．诱导公式五～六
(1)公式五：sin＝________；
cos＝________.
以－α替代公式五中的α，可得公式六．
(2)公式六：sin＝________；
cos＝________.
2．诱导公式五～六的记忆
－α，＋α的三角函数值，等于α ( http: / / www.21cnjy.com )的________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
自主探究
在α终边上取一点P(x，y)，在－α终边上也取一点P′(x′，y′)，且|OP|＝|OP′|＝r.试探究点P(x，y)与点P′(x′，y′)两点坐标之间的关系，并利用这一关系推导诱导公式五．
对点讲练
知识点一 给值求值问题
例1 已知cos＝，求sin的值．
回顾归纳 解三角函数问题，应寻找问题中的角与已知条件中的角之间的内在联系，灵活选择角的变换进行求解．
变式训练1 (1)若sin＝，则cos＝________；
(2)若cos θ＝，θ∈(0，π)，则cos＝__________.
知识点二 三角函数的化简或证明
例2 求证：＝－tan α.
回顾归纳 证明三角恒等式，一般是化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简．同时注意诱导公式的灵活运用．
变式训练2 求＋的值．
知识点三 诱导公式的综合运用
例3 已知sin(5π－θ)＋sin＝，
求sin3－cos3的值．
回顾归纳 本题实质是以诱导公式为工 ( http: / / www.21cnjy.com )具，考查sin θ、cos θ与sin θcos θ之间的关系，关键是熟练应用诱导公式五、六对已知和所求式子准确进行化简．
变式训练3 已知sin·cos＝，且<α<，求sin α与cos α的值．
1．学习了本部分知识后，连同前面的诱导 ( http: / / www.21cnjy.com )公式可以统一概括为“k·±α (k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．
2．诱导公式统一成“k·±α(k∈Z)”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.
课时作业
一、选择题
1．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为( )
A．－ B. C．－ D.
2．若sin(3π＋α)＝－，则cos 等于( )
A．－ B. C. D．－
3．已知sin＝，则cos的值等于( )
A．－ B. C. D.
4．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为( )
A．－ B. C．－ D.
5．已知cos＝，且|φ|＜，则tan φ等于( )
A．－ B. C．－ D.
二、填空题
6．若sin＝，则cos＝________.
7．sin2 1°＋sin2 2°＋…＋sin2 88°＋sin2 89°＝________.
8．已知tan(3π＋α)＝2，则
＝________.
三、解答题
9．已知sin θ＝，求＋的值．
10．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式同时成立．
若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
§1.3 三角函数的诱导公式(二)
答案
知识梳理
1．(1)cos α sin α
(2)cos α －sin α
2．异名 符号
自主探究
解
如图所示，容易证明
Rt△OMP≌Rt△OM′P′.
∴M′P′＝MP；OM′＝OM，
∴x′＝y，y′＝x，
∴sin＝＝
＝cos α；
cos＝＝＝sin α.
对点讲练
例1 解 ∵－α＝＋
∴sin＝sin
＝cos＝.
变式训练1 (1)－ (2)
解析 (1)cos＝cos
＝sin＝－sin＝－.
(2)∵cos θ＝，θ∈(0，π)，∴sin θ＝.
∴cos＝－cos＝sin θ＝.
例2 证明 左边＝
＝
＝
＝＝－＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
变式训练2 解 原式＝＋
＝－sin α＋sin α＝0.
例3 解 由sin(5π－θ)＋sin＝，
得sin θ＋cos θ＝，平方得：1＋2sin θcos θ＝.
解得：sin θ·cos θ＝.
∴sin3－cos3＝cos3 θ＋sin3 θ
＝(cos θ＋sin θ)(cos2θ－sin θcos θ＋sin2θ)
＝×＝.
变式训练3 解 sin＝－cos α，
cos＝cos＝－sin α.
∴sin α·cos α＝，即2sin α·cos α＝. ①
又∵sin2α＋cos2α＝1， ②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝，
②－①得(sin α－cos α)2＝，
又∵α∈，∴sin α>cos α>0，
即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝， ③
sin α－cos α＝， ④
③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝.
课时作业
1．A [f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.]
2．A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.
∴cos＝cos＝－cos
＝－sin α＝－.]
3．A [cos＝sin
＝sin
＝－sin＝－.]
4．C [∵sin(π＋α)＋cos
＝－sin α－sin α＝－m，
∴sin α＝.cos＋2sin(2π－α)
＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－.]
5．C [cos＝－sin φ＝，得sin φ＝－，
又∵|φ|<，∴φ＝－，∴tan φ＝－.]
6．－
解析 cos＝cos
＝－sin＝－.
7.
解析 原式＝(sin2 1°＋s ( http: / / www.21cnjy.com )in2 89°)＋(sin2 2°＋sin2 88°)＋…＋(sin2 44°＋sin2 46°)＋sin2 45°
＝44＋＝.
8．2
解析 原式＝＝＝＝2.
9．解 原式＝＋
＝＋＝＝.
∵sin θ＝，∴原式＝6.
10．解 由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，③
又因为sin2α＋cos2α＝1，④
由③④得sin2α＝，即sin α＝±，
因为α∈，
所以α＝或α＝－.
当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知符合．
当α＝－时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝，β＝满足条件．第一章 三角函数
§1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
自主学习
知识梳理
1．角的概念
(1)角的概念：角可以看成平面内________________绕着________从一个位置________到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型 定义 图示
正角 按______________________形成的角
负角 按________________形成的角
零角 一条射线________________，称它形成了一个零角
2.象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的 ( http: / / www.21cnjy.com )非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构 ( http: / / www.21cnjy.com )成一个集合S＝{β|β＝____________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与____________的和．
4．终边落在坐标轴上角的集合
终边所在的位置 角的集合
x轴正半轴
x轴负半轴
x轴
y轴正半轴
y轴负半轴
y轴
自主探究
终边落在各个象限的角的集合.
α终边所在的象限 角α的集合
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
对点讲练
知识点一 终边相同的角与象限角
例1 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
回顾归纳 解答本题可先利用终边相同的角的关 ( http: / / www.21cnjy.com )系：β＝α＋k·360°，k∈Z，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．
变式训练1 判断下列角的终边落在第几象限内：
(1)1 400°； (2)－2 010°.
知识点二 终边相同的角的应用
例2 已知，如图所示，
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
回顾归纳 解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．
变式训练2 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
知识点三 角的象限的判断
例3 已知α是第二象限角，试确定2α，的终边所在的位置．
回顾归纳 若已知角α是第几象限角，判断，等是第几象限角，主要方法是解不等式并对k进行分类讨论．考查角的终边的位置．
变式训练3 已知α为第三象限角，则所在的象限是( )
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第一或第三象限 D．第二或第四象限
1．对角的理解，初中阶段是 ( http: / / www.21cnjy.com )以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
2．关于终边相同角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角 ( http: / / www.21cnjy.com )α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意：(1)α为任意角．
(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．
(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
(4)k∈Z这一条件不能少.
课时作业
一、选择题
1．与405°角终边相同的角是( )
A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈Z
C．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z
2．若α＝45°＋k·180° (k∈Z)，则α的终边在( )
A．第一或第三象限 B．第二或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
3．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在( )
A．x轴的正半轴 B．x轴的负半轴
C．y轴的正半轴 D．y轴的负半轴
4．若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
5. 如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
二、填空题
6．经过10分钟，分针转了________度．
7．下列命题：
①第一象限角都是锐角；②锐角都是第 ( http: / / www.21cnjy.com )一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角大于第一象限角；⑤第二象限角是钝角；⑥小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中判断错误的是______．(把有关命题的序号写上即可)
8．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.
三、解答题
9．在与角－2 010°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．
10．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．
第一章 三角函数
§1.1 任意角和弧度制
1．1.1 任意角
知识梳理
1．(1)一条射线 端点 旋转
(2)
类型 定义 图示
正角 按逆时针方向旋转形成的角
负角 按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
2.第几象限角
3．α＋k·360°，k∈Z 整数个周角
4.
终边所在的位置 角的集合
x轴正半轴 {α|α＝k·360°，k∈Z}
x轴负半轴 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
x轴 {α|α＝k·180°，k∈Z}
y轴正半轴 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
y轴负半轴 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
y轴 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
自主探究
α终边所在的象限 角α的集合
第一象限 {α|k·360°<α第二象限 {α|k·360°＋90°<α第三象限 {α|k·360°＋180°<α第四象限 {α|k·360°－90°<α对点讲练
例1 解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．
(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
(3)因为－950°15′＝－3× ( http: / / www.21cnjy.com )360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．
变式训练1 解 (1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角，∴1 400°也是第四象限角．
(2)－2 010°＝－6×360°＋150°，∴－2 010°与150°终边相同．∴－2 010°是第二象限角．
例2 解 (1)终边落在射线OA上的角的集合是
{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．
终边落在射线OB上的角的集合是
{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．
(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是
{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
变式训练2 解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．
(1){α|k·360°＋30°≤α(2){α|k·360°＋210°≤α∴角α的集合应当是集合(1)与(2)的并集：
{α|k·360°＋30°≤α∪{α|k·360°＋210°≤α＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·1 ( http: / / www.21cnjy.com )80°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{α|k·180°＋30°≤α例3 解 因为α是第二象限角，
所以k·360°＋90°<α所以2k·360°＋180°<2α<2k·360°＋360°，k∈Z，
所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上．
因为k·360°＋90°<α所以k·180°＋45°<所以当k＝2n，n∈Z时，
n·360°＋45°<即的终边在第一象限；
当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°<所以的终边在第一或第三象限．
变式训练3 D [由于k·360°＋180°<α得·360°＋90°<<·360°＋135°.
当k为偶数时，为第二象限角；
当k为奇数时，为第四象限角．]
课时作业
1．C 2.A
3．A [∵α＝β＋k·360°，k∈Z，
∴α－β＝k·360°，k∈Z.]
4．C [可以给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．]
5．C [与边界终边相同的 ( http: / / www.21cnjy.com )角为k·360°＋120°或k·360°－45°.故阴影部分的角为k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z.]
6．－60
7．①③④⑤⑥
解析 ①390°角是第一象限角，可它不是锐角，所以①不正确．
②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以②正确．
③－330°角是第一象限角，但它是负角，所以③不正确．
④120°角是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以④不正确．
⑤480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以⑤不正确．
⑥0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑥不正确．
8．－110°或250°
解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k·360°＋250°，k∈Z.∵－360°<θ<360°，
∴k＝－1或0.
∴θ＝－110°或250°.
9．解 (1)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，
∴与角－2 010°终边相同的最小正角是150°.
(2)∵－2 010°＝－5×360°＋(－210°)，
∴与角－2 010°终边相同的最大负角是－210°.
(3)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，
∴与－2 010°终边相同也就是与150°终边相同．
由－720°≤k·360°＋150°<720°，k∈Z，解得：
k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋150°依次得：
－570°，－210°，150°，510°.
10．解 (1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．
(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}
＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}
＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}．