2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
自主学习
知识梳理
1．平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝
___________________________________________________________________.
即两个向量的数量积等于________________________________________．
2．两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b ________________.
3．平面向量的模
(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝
____________________________________________________________________.
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝________________.
4．向量的夹角公式
设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝__________＝
_____________.
自主探究
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b及|a|.
对点讲练
知识点一 向量的坐标运算
例1 已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
回顾归纳 两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同．同时本例进一步验证了平面向量的数量积不满足结合律．
变式训练1 若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝________；a·(b·c)＝________.
知识点二 向量的夹角问题
例2 已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角；
(2)a与b的夹角为钝角；
(3)a与b的夹角为锐角．
回顾归纳 由于两个非零向量a，b的 ( http: / / www.21cnjy.com )夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos θ＝来判断，可将θ分五种情况：cos θ＝1，θ＝0°；cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ<0且cos θ≠－1，θ为钝角；cos θ>0且cos θ≠1，θ为锐角．
变式训练2 已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．
知识点三 向量数量积坐标运算的应用
例3 已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．
回顾归纳 在几何里利用垂直及模来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及模长列出方程组进行求解．
变式训练3 以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求点B和的坐标．
1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.
课时作业
一、选择题
1．已知向量a＝(1,0)与向量b＝(－1，)，则向量a与b的夹角是( )
A. B. C. D.
2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－5，－1)，若ma＋nb (m≠0)与a垂直，则等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A. B．2 C．4 D．12
4．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为( )
A．0 B. C. D.
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A. B.
C. D.
二、填空题
6．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝4，
则b＝________.
7．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______．
8．已知a＝(1，m)与b＝(n，－4)共线，且c＝(2,3)与b垂直，则m＋n的值为________．
三、解答题
9．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值．
10．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)且a∥b，a⊥c.
(1)求b和c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m、n的夹角的大小．
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
答案
知识梳理
1．x1x2＋y1y2 它们对应坐标的乘积的和
2．x1x2＋y1y2＝0
3．(1) (2)
4.
自主探究
解 设i，j为相互垂直的两单位向量，
a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1i·j＋y1y2j2
∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0.
∴a·b＝x1x2＋y1y2.
∵a2＝(x1i＋y1j)2＝x＋y＝|a|2.
∴|a|＝＝.
对点讲练
例1 解 (1)设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，
则有a·b＝λ＋4λ＝10，
∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，
a·b＝1×2＋2×4＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
变式训练1 (－16，－8) (－8，－12)
解析 ∵a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，
∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8)．
∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，
∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)．
例2 解 设a与b的夹角为θ，
则a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，
所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos θ<0且cos θ≠－1，
所以a·b<0且a与b不反向．
由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．
所以λ的取值范围为.
(3)因为a与b的夹角为锐角，
所以cos θ>0，且cos θ≠1，
所以a·b>0且a，b不同向．
由a·b>0，得λ>－，由a与b同向得λ＝2.
所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)．
变式训练2 解 ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
∵a，b的夹角α为钝角．
∴，
即.
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．
例3 解 设D点坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，
＝(x－3，y－2)，
∵D在直线BC上，即与共线，
∴存在实数λ，使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．
∴.
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0. ①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即2x＋y－3＝0 ②
由①②可得，
即D点坐标为(1,1)，＝(－1,2)．
∴||＝＝，
即||＝，D(1,1)．
变式训练3 解 设B(x，y)，则||＝，
∵B(x，y)，A(5,2)，∴||＝.
又∵||＝||，
∴＝.
可得10x＋4y＝29， ①
又＝(x，y)，＝(x－5，y－2)，且⊥，
∴·＝0∴x(x－5)＋y(y－2)＝0，
即x2－5x＋y2－2y＝0， ②
由①②解得或
∴B或.
∴＝
或＝.
课时作业
1．C
2．C [(ma＋nb)·a＝ma2＋na·b＝13m－13n＝0，
∴m＝n.]
3．B [a＝(2,0)，故|a|＝2，|a＋2b|＝＝.
∵a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝1，
∴|a＋2b|＝＝2.]
4．D [∵a·c＝a·
＝a·a－·(a·b)＝0，
∴〈a，c〉＝.]
5．D [设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，
又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0. ①
又c⊥(a＋b)，
∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0. ②
解得①②得x＝－，y＝－.]
6．(－4,8)
解析 由题意可设b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0，
则|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，
∴b＝－4a＝(－4,8)．
7.
解析 设a、b的夹角为θ，
则cos θ＝＝，
故a在b方向上的投影为
|a|cos θ＝·＝.
8.
解析 ∵a∥b，∴＝，∴mn＝－4.
∵c⊥b.∴c·b＝2n－12＝0.∴n＝6.
∴m＝－，∴m＋n＝.
9．(1)证明 ∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)解 ⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，
＝(x＋1，y－4)，
∴ 得
∴C点坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
所以·＝8＋8＝16，
||＝2 ，||＝2 .
设与夹角为θ，则
cos θ＝＝＝>0，
∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
10．解 (1)∵a∥b，∴3x－36＝0.
∴x＝12.∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0.
∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)
＝(－3，－4)．
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．
设m、n的夹角为θ，
则cos θ＝
＝
＝＝－.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，即m、n的夹角为.2.2.2 向量减法运算及其几何意义
自主学习
知识梳理
1．相反向量
(1)定义：如果两个向量长度________，而方向________，那么称这两个向量是相反向量．
(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝______.
②若a，b互为相反向量，则a＝________，a＋b＝______.
③零向量的相反向量仍是__________．
2.
向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的
___________________________________________________________________．
(2)作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝__________.如图所示．
(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一 ( http: / / www.21cnjy.com )起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：－＝________.
自主探究
我们已经知道向量不等式：||a|－|b ( http: / / www.21cnjy.com )||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，若以向量－b去替换向量b就会得到向量不等式：________________________.
当向量a、b共线同向且|a|≥|b|时，有________________；
当向量a，b共线反向时，有________________________；
当向量a，b不共线时，总有________________________．
对点讲练
知识点一 作两向量的差向量
例1 任意画一对向量a，b，求作它们的差．
回顾归纳 需要根据不同的情况分别求 ( http: / / www.21cnjy.com )解．我们首先要考虑向量a、b是否共线，如果共线是同向还是反向，(1)当两向量a、b共线时，如果它们同向，则|a－b|＝||a|－|b||(当|a|≥|b|时，为|a|－|b|；而当|a|<|b|时，为|b|－|a|)；如果它们反向，则|a－b|＝|a|＋|b|.(2)当两向量a、b不共线时，根据三角形中两边之和总是大于第三边，而两边之差总是小于第三边可得：||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.
变式训练1
如图所示，在正五边形ABCDE中，A＝m，B＝n，C＝p，D＝q，E＝r，求作向量m－p＋n－q－r.
知识点二 向量减法的简单运算
例2 化简：(－)－(－)．
回顾归纳 方法一是将向量的减法转 ( http: / / www.21cnjy.com )化为加法进行化简的；方法二是利用了－＝，－＝进行化简的；方法三是利用＝－进行化简的，要注意－＝，而不是.
变式训练2 化简：(1)(－)－(－)；
(2)(＋＋)－(－－)．
知识点三 向量减法的几何意义及应用
例3 在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
回顾归纳 向量的表示、向量的加减法的定义都是与图形相联系的，体会|a|，|b|，|a＋b|，|a－b|在相应图形中的含义是解题的关键．
变式训练3 如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量并分别求出其长度．
(1)a＋b＋c； (2)a－b＋c.
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算． ( http: / / www.21cnjy.com )利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．以向量＝a、＝b为邻边作平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住.
课时作业
一、选择题
1. 如图所示，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
2．化简－＋＋的结果等于( )
A. B. C. D.
3．在平行四边形ABCD中，－等于( )
A．2 B．2 C．2 D．2
4．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是( )
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
5．边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1 B．2
C. D.
二、填空题
6．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.
7. 如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则＝__________.
8．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则 |a＋b|＝______.
三、解答题
9. 如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.
10. 如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
答案
知识梳理
1．(1)相等 相反 (2)①0 ②－b 0 ③零向量
2．(1)相反向量 (2) (3)始点 终点
自主探究
||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| |a－b|＝|a|－|b|
|a－b|＝|a|＋|b|
||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|
对点讲练
例1 解 (1)当a、b共线时，有a、b同向和反向两种情况：①a、b共线同向：如图①，作＝a，＝－b，则＝a－b；②a、b共线反向：如图②，作＝a，＝－b，则＝a－b＝a＋(－b)．
(2)若a、b不共线，有两种作法．第 ( http: / / www.21cnjy.com )一种作法：如图甲，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝＋＝＋(－)＝－＝a－b，第二种作法如图乙，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝－b，则由向量加法的平行四边形法则，可得＝a＋(－b)＝a－b.
变式训练1 解 如图所示，延长AC到Q.使CQ＝AC，则m－p＋n－q－r
＝(m＋n)－(p＋q＋r)＝A－C＝A＋C＝A.
例2 解 方法一 (－)－(－)
＝－－＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0.
方法二 (－)－(－)
＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋＝0.
方法三 设O为平面内任意一点，则
(－)－(－)
＝－－＋
＝(－)－(－)－(－)＋(－)
＝－－＋－＋＋－＝0.
变式训练2 解 (1)(－)－(－)
＝－＝.
(2)(＋＋)－(－－)
＝＋－＋(＋)
＝＋－＋
＝－＋＝＋＋
＝＋＝0.
例3 解 由向量加法的平行四边形法则，
得＝a＋b，＝－＝a－b.
则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．
变式训练3 解 (1)由已知得a＋b＝＋＝，
又＝c，∴延长AC到E，
使||＝||.
则a＋b＋c＝，且||＝2.
∴|a＋b＋c|＝2.
即为所求向量，
其长度为2.
(2)作＝，连接CF，则＋＝，
而＝－＝a－＝a－b，
∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.
∴|a－b＋c|＝2.
即为所求向量，其长度为2.
课时作业
1．A 2.B
3．A [－＝(＋)－(＋)
＝(＋)－(＋)＝－
＝＋＝2.]
4．C [∵||＝|－|且
|||－|||≤|－|≤|A|＋||.
∴3≤|－|≤13.
∴3≤||≤13.]
5．D [
如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，则－＝＋
＝＋＝.
在△ABD中，AB＝BD＝1，
∠ABD＝120°，易求AD＝，
∴|－|＝.]
6.
7．a－b＋c
解析 ＝＋＝＋
＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.
8．4
解析 如图所示．
设O＝a，O＝b，则|B|＝|a－b|.
以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，
则|O|＝|a＋b|.由于(＋1)2＋(－1)2＝42.
故|O|2＋|O|2＝|B|2，
所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，
从而OA⊥OB，所以 OACB是矩形，
根据矩形的对角线相等有|O|＝|B|＝4，
即|a＋b|＝4.
9．证明 方法一 ∵b＋c＝＋
＝＋＝，
＋a＝＋＝，
∴b＋c＝＋a，
即b＋c－a＝.
方法二 ∵c－a＝－＝－＝，
＝＋＝－b，
∴c－a＝－b，即b＋c－a＝.
10．证明
作直径BD，连接DA、DC，则＝－，
由题意可知，DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC.
∴∠DAC＋∠BAC＝∠ACH＋∠BAC＝90°，
∠DCA＋∠BCA＝∠CAH＋∠BCA＝90°，
即∠DAC＝∠ACH，∠DCA＝∠CAH，
∴CH∥DA，AH∥DC，故四边形AHCD是平行四边形．
∴＝，又＝－＝＋，
∴＝＋＝＋＝＋＋.§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
自主学习
知识梳理
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e ( http: / / www.21cnjy.com )2是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的________向量a，____________实数λ1，λ2，使a＝________________.
(2)基底：把__________的向量e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底．
2. 两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个______________a和b，作＝a，＝b，则__________＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a与b的夹角．
①范围：向量a与b的夹角的范围是__________．
②当θ＝0°时，a与b________.
③当θ＝180°时，a与b________.
(2)垂直：如果a与b的夹角是________，则称a与b垂直，记作________．
自主探究
设e1、e2是同一平面内两个不共线的向 ( http: / / www.21cnjy.com )量，a是这一平面内的任一向量．通过作图法可以证明：一定存在一组实数(λ1，λ2)使a＝λ1e1＋λ2e2成立，并且(λ1，λ2)是唯一的，请你根据图1和图2叙述这一过程．
对点讲练
知识点一 对基底概念的理解
例1 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③ C．③④ D．②
回顾归纳 考查两个向量是否能构成基底，主 ( http: / / www.21cnjy.com )要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
变式训练1 设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2； ②e1－2e2与e2－2e1；
③e1－2e2与4e2－2e1； ④e1＋e2与e1－e2.
其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)
知识点二 用基底表示向量
例2 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b试用a，b表示、、.
回顾归纳 用基底表示向量的关键是利用三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来．解决此类题时，首先仔细观察所给图形．借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决．
变式训练2 如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a，b表示，，.
知识点三 平面向量基本定理的应用
例3 如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1.
回顾归纳 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注重方程思想的应用；
(2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．
变式训练3 如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，＝2，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量、；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
1．对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量 ( http: / / www.21cnjy.com )；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
2．准确理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转 ( http: / / www.21cnjy.com )化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.
课时作业
一、选择题
1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1 B．2e1＋e2，e1＋e2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
2．等边△ABC中，与的夹角是( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
3．下面三种说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作 ( http: / / www.21cnjy.com )为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
4．在△ABC中，D，E，F依次是BC的四等分点，以＝e1，＝e2为基底，则等于( )
A.e1＋e2 B.e1＋e2
C.e1－e2 D.e1＋e2
5．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
6．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，试用m，n表示p的结果是________．
7．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝____________.
三、解答题
8. 如图在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示，.
9. 如图所示，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b，以a、b为基底表示.
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
答案
知识梳理
1．(1)不共线 任意 有且只有一对 λ1e1＋λ2e2
(2)不共线 所有
2．(1)非零向量 ∠AOB ①[0,180°] ②同向
③反向 (2)90° a⊥b
自主探究
解 在平面内任取一点O.作＝e1，＝e2，＝a.过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N.
由共线向量定理知，存在实数λ1、λ2使
＝λ1e1，＝λ2e2，由于＝＋，
所以a＝λ1e1＋λ2e2.
下面说明这里的λ1、λ2是唯一的．
设a＝λ′1e1＋λ′2e2
λ1e1＋λ2e2＝λ′1e1＋λ′2e2.
∴(λ1－λ1′)e1＋(λ2－λ2′)e2＝0，
∵e1、e2不共线．∴λ1－λ1′＝λ2－λ2′＝0.
∴λ1′＝λ1，λ2′＝λ2.
∴(λ1，λ2)是唯一存在的．
对点讲练
例1 B [由平面向量基本定理可知，①④是正确的．
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.]
变式训练1 ①②④
解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，
∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底．
例2 解
如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形．
则＝＝＝a，
＝－＝－
＝b－a，
＝－＝－－
＝－－＝a－b.
变式训练2 解 ＝＋
＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝a＋(b－a)
＝a＋b；
＝＋＝＋＝a＋(b－a)
＝a＋b.
例3 解 设＝b，＝c，
则＝b＋c，＝，＝＋＝c－b.
∵∥，∥，
∴存在λ，μ∈R，使得＝λ，＝μ，
又∵＋＝，
∴λ－μ＝，
∴由λ－μ＝b得
b＋c＝b.
又∵b与c不共线．
∴解得
故＝，即AP∶PM＝4∶1.
变式训练3 解 (1)由题意，A是BC的中点，
且＝，
由平行四边形法则，＋＝2.
∴＝2－＝2a－b，＝－
＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)∥.
又∵＝－＝(2a－b)－λa
＝(2－λ)a－b，＝2a－b，
∴＝，∴λ＝.
课时作业
1．D 2.D 3.B
4．A [∵D，E，F依次是BC的四等分点，
∴＝(＋)＝(e1＋e2)，
＝－＝e2－e1，
∴＝＋
＝(e1＋e2)＋
＝(e1＋e2)＋(e2－e1)
＝e1＋e2.]
5．B [设BC的中点为D，由已知条件可得M为△ABC的重心，＋＝2，
又＝，故m＝3.]
6．p＝－m＋n
解析 设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b
得 .
7.b＋c
解析 ＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋＝b＋c.
8．解 设＝a，＝b，
因为M，N分别为DC，BC的中点，
所以＝b，＝a，
∴，解得，
即＝(2d－c)，＝(2c－d)．
9．解 设＝ma＋nb (m，n∈R)，
则＝－＝(m－1)a＋nb，
＝－＝b－a＝－a＋b.
因为A，M，D三点共线，所以＝，
即m＋2n＝1，
而＝－＝a＋nb，
＝－＝b－a＝－a＋b，
因为C，M，B三点共线，所以＝，
即4m＋n＝1.
由解得
所以＝a＋b.2.3.4 平面向量共线的坐标表示
自主学习
知识梳理
1．两向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当a∥b时，有________________．
(2)当a∥b且x2y2≠0时，有__________．即两向量的相应坐标成比例．
2．若＝λ，则P与P1、P2三点共线．
当λ∈__________时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；
当λ∈__________时，P位于线段P1P2的延长线上；
当λ∈________时，P位于线段P1P2的反向延长线上．
自主探究
设P(x，y)为线段P1P2上的一点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
当＝λ (λ≠－1)时，求P点的坐标．
对点讲练
知识点一 平面向量共线的坐标运算
例1 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
回顾归纳 此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
变式训练1 已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
知识点二 平面向量的坐标运算
例2 已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．
回顾归纳 在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论．
变式训练2 已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，||＝2，求点B的坐标．
知识点三 利用共线向量求直线的交点
例3 如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标．
回顾归纳 本例中的两个方法，在 ( http: / / www.21cnjy.com )充分理解向量共线的性质定理的基础上从不同的侧面给出了已知四边形四个顶点坐标求对角线交点坐标的一般解法．而且更为重要的是给我们提供了求直线与直线交点的向量方案．
变式训练3 平面上有A(－2,1) ( http: / / www.21cnjy.com )，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC，点E在CD上，且＝，求E点坐标．
1．两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)当b≠0，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．
2．向量共线的坐标表示的应用
两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线． ( http: / / www.21cnjy.com )联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．
(2)已知两个向量共线，求点或向 ( http: / / www.21cnjy.com )量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.
课时作业
一、选择题
1．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是( )
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(－1,1)
2．若三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则x的值为( )
A．－1 B．3 C. D．5
3．已知向量m＝(－7,2＋k)，n＝(k＋13，－6)，且m∥n，则k的值等于( )
A．1 B．－2 C．－16 D．1或－16
4．已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13 B．9 C．－9 D．13
二、填空题
5．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
6．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，如果A、B、C三点共线，则实数k＝________.
7．已知点A(－1，－3)，B(1,1)，直线AB与直线x＋y－5＝0交于点C，则点C的坐标为________．
三、解答题
8．已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？
9．线段AB的端点坐标分别为A(－1,1)，B(－2,0)，且|AC|＝|CB|，当A、B、C三点共线时，求C点的坐标．
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
答案
知识梳理
1．(1)x1y2－x2y1＝0 (2)＝
2．(0，＋∞) (－∞，－1) (－1,0)
自主探究
解 ＝＋＝＋λ
＝＋λ(－)＝＋λ－λ
∴＝＝(x1，y1)＋(x2，y2)
＝＋
＝.
∴P.
对点讲练
例1 解 方法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)
＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
∴
解得k＝λ＝－.
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向．
方法二 由方法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.
此时ka＋b＝＝－(a－3b)，
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
变式训练1 解 ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，
＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
方法一 ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，
且(－2)×4<0，
∴与共线且方向相反．
方法二 ∵＝－2，∴与共线且方向相反．
例2 解 设P点坐标为(x，y)．
∵||＝2||，∴＝2或＝－2.
当＝2时，(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
∴，解得，
∴P点坐标为.
当＝－2时，
则(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，
∴，解得.
∴P点坐标为(－5,8)．
综上，点P的坐标为或(－5,8)．
变式训练2 解 设＝(x，y)，因与a同向，
∴＝λa (λ>0)，即(x，y)＝λ(2,3)，
∴又||＝2，
∴x2＋y2＝52.∴4λ2＋9λ2＝52，λ＝2 (λ>0)．
即＝(4,6)．∴点B的坐标为(5,4)．
例3 解 方法一 由O，P，B三点共线，
可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4,4λ)，
＝－＝(－2,6)，
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解之得λ＝，∴＝＝(3,3)，
∴P(3,3)即为所求．
方法二 设P(x，y)，则＝(x，y)，
且＝(4,4)，又与共线，所以x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，与共线，
则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，
解之得x＝y＝3.∴P点坐标为(3,3)
变式训练3 解 ∵＝，∴2＝，
∴2＋＝＋，
∴＝，设C点坐标为(x，y)．
则(x＋2，y－1)＝(－3，－3)，∴x＝－5，y＝－2.
∴C(－5，－2)，∵＝，∴4＝
∴4＋4＝5，∴4＝5.
∴设E点坐标为(x′，y′)，
则4(9，－1)＝5(4－x′，－3－y′)．
∴，∴.
∴E点坐标为.
课时作业
1．C 2.B 3.D
4．C [设C点坐标为(6，y)，
则＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．
∵A、B、C三点共线，∴＝，∴y＝－9.]
5．2
解析 λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，c＝(－4，－7)，
∴＝，∴λ＝2.
6．－2或11
解析 ＝(k－4,7)，＝(6，k－5)．
∵A、B、C三点共线，∴(k－4)(k－5)－6×7＝0.
解得k＝－2或k＝11.
7．(2,3)
解析 设＝λ＝λ(2,4)＝(2λ，4λ)．
∴＝＋＝(2λ－1,4λ－3)．
把C点坐标(2λ－1,4λ－3)代入直线x＋y－5＝0.
解得λ＝.∴C点坐标为(2,3)．
8．解 设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
＋λ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵＝＋λ，
∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∴ 则
由点P在第三象限内，得 ∴λ<－1.
∴当λ<－1时，点P在第三象限内．
9．解 设C(x，y)，当C为内分点时，＝.
∴(x＋1，y－1)＝(－2－x，－y)
∴，∴
∴C(－3，－1)．
当C为外分点时，＝－.
∴(x＋1，y－1)＝－(－2－x，－y)．
∴，∴.
∴C(－－3，－－1)．2.5.1 平面几何中的向量方法
自主学习
知识梳理
1．向量方法在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0) ________ ____________.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b __________ __________.
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝_______________＝_______________.
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝______.
2．直线的方向向量和法向量
(1)直线y＝kx＋b的方向向量为____________，法向量为__________．
(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为__________，法向量为__________．
自主探究
在平行四边形中有下列的结论：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍．请用向量法给出证明．
对点讲练
知识点一 利用向量证明平行问题
例1 如图所示，若ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与BF相交于点N，DE与CF相交于点M.
求证：MN∥AD.
回顾归纳 (1)本题利用平行向量基本定理证明两直线平行，解题时要注意灵活运用已知条件．
(2)向量法证明直线平行，恰是向量平行问题的 ( http: / / www.21cnjy.com )一种存在形式—它们的基线无公共点．与前面例1比较，最大的区别在于，此处共线的两个向量没有公共端点．
变式训练1 △ABC中，M、N分别为AB、AC的中点．
求证：MN∥BC.
知识点二 利用向量证明垂直问题
例2 如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于E，求的值．
回顾归纳 利用向量解决平面几何问题时， ( http: / / www.21cnjy.com )有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．
变式训练2 已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形．求证：PA＝EF且PA⊥EF.
知识点三 直线方向向量的应用
例3 在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程．
回顾归纳 直线Ax＋By ( http: / / www.21cnjy.com )＋C＝0的方向向量为v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B)．这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系．求两条直线的夹角时非常有用．
变式训练3 在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝________.
1．利用向量方法可以解决平面几何中的平 ( http: / / www.21cnjy.com )行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．
2．在直线l：Ax＋By＋C ( http: / / www.21cnjy.com )＝0(A2＋B2≠0)上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则就是直线l的一个方向向量，λ(λ∈R且λ≠0)也是直线l的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)垂直的向量都叫直线l的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用．
①y＝kx＋b的方向向量v＝(1，k)，法向量为n＝(k，－1)．
②Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B).
课时作业
一、选择题
1．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是( )
A．2 B. C．3 D.
2．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
3．如图，非零向量＝a，＝b且BC⊥OA，C为垂足，若＝λa，则λ等于( )
A. B.
C. D.
4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
5．已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于( )
A．2 B. C．－3 D．－
二、填空题
6．过点(1,2)且与直线3x－y＋1＝0垂直的直线的方程是
____________.
7．已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5.则·＋·＋·＝______.
8．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状一定是______．
三、解答题
9. 如图所示，已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．
求证：AC⊥BD.
10．三角形ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连结DF.求证：∠ADB＝∠FDC.
§2.5 平面向量应用举例
2．5.1 平面几何中的向量方法
答案
知识梳理
1．(1)a＝λb x1y2－x2y1＝0
(2)a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
(3)
(4)
2．(1)(1，k) (k，－1) (2)(B，－A) (A，B)
自主探究
证明 在平行四边形ABCD中，
＝＋，＝－
∴2＝(＋)2＝2＋2＋2·；
2＝(－)2＝2＋2－2·.
∴2＋2＝22＋22.
即||2＋||2＝2(||2＋||2)．
∴平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍．
对点讲练
例1 证明 ∵EF∥AB，∴△NEF∽△NAB，
设＝μ(μ≠1)，则＝μ，＝(μ－1)，
同理，由∥，可得＝(μ－1)，
∴＝－＝－＝(μ－1)，
∵μ≠1，令λ＝μ－1，∴＝λ，∴AD∥MN.
变式训练1 证明 设＝a，＝b，则＝－＝b－a，又M、N分别为AB、AC的中点．
∴＝a，＝b.
△AMN中，＝b－a＝(b－a)，
∴＝，即与共线，∴MN∥BC.
例2 解 方法一 (基向量法)
设＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2.
a·b＝|a||b|cos 60°＝1，＝a＋b.
设＝λ＝λb，则＝－＝λb－a.
由AE⊥BD，得·＝0.
即(λb－a)·(a＋b)＝0.
解得λ＝，∴＝＝.
方法二 以B为坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，
根据条件，设B(0,0)，C(2,0)，A，D.
又设E(m,0)，则＝，
＝.
由AE⊥BD，得·＝0.
即－×＝0，
得m＝，∴＝＝.
变式训练2 证明
以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy(如图所示)，设正方形边长为1，
||＝λ，则A(0,1)，
P，E，F，
于是＝，
＝.
∵||＝
＝，
同理||＝，
∴||＝||，∴PA＝EF.
·＝＋
＝0，
∴⊥.∴PA⊥EF.
例3 解 ＝(3,4)，＝(－8,6)，
∠A的平分线的一个方向向量为：
＋＝＋
＝.
∵∠A的平分线过点A.
∴所求直线方程为－(x－4)－(y－1)＝0.
整理得：7x＋y－29＝0.
变式训练3
解析
已知A(0,1)，B(－3,4)，
设E(0,5)，D(－3,9)，
∴四边形OBDE为菱形．
∴∠AOB的角平分线是菱形OBDE的对角线OD.
设C(x1，y1)，||＝3，
∴＝.
∴(x1，y1)＝(－3,9)＝，
即＝.
课时作业
1．B [BC中点为D，＝，
∴||＝.]
2．D [∵·＝·.
∴(－)·＝0.
∴·＝0.
∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，
OC⊥AB，∴O为垂心．]
3．A [＝－＝λa－b.
∵BC⊥OA，∴·＝(λa－b)·a＝0，
即λa2－a·b＝0.∴λ＝.]
4．B [∵|－|＝||＝|－|，
|＋－2|＝|＋|，
∴|－|＝|＋|，
∴A，B，C是同一矩形的三个顶点，且∠BAC＝90°.
∴△ABC是直角三角形．]
5．C
[如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，
CE＝，∴＝3，
∴＝－3.]
6．x＋3y－7＝0
解析 设P(x，y)是所求直线上任一点，
直线3x－y＋1＝0的方向向量为(－1，－3)，
由(x－1，y－2)·(－1，－3)＝0得x＋3y－7＝0.
7．－25
解析 △ABC中，B＝90°，cos A＝，cos C＝，
∴·＝0，·＝4×5×＝－16；
·＝5×3×＝－9.
∴·＋·＋·＝－25.
8．等腰三角形
解析 ∵(＋－2)·(－)
＝[(－)＋(－)]·(－)
＝(＋)·(－)＝2－2
＝||2－||2＝0，
∴||＝||，
∴△ABC是等腰三角形．
9．证明 ∵四边形ABCD是菱形，∴||＝||，
又∵＝＋，＝－，
∴·＝(＋)·(－)
＝||2－||2＝0.
∴⊥，即AC⊥BD.
10．证明
如图所示，建立直角坐标系，设A(2,0)，C(0,2)，则D(0,1)，
于是＝(－2,1)，
＝(－2,2)，
设F(x，y)，由⊥，
得·＝0，
即(x，y)·(－2,1)＝0，
∴－2x＋y＝0①
又F点在AC上，则∥，
而＝(－x,2－y)，
因此2×(－x)－(－2)×(2－y)＝0，
即x＋y＝2.②
由①、②式解得x＝，y＝，
∴F，＝，＝(0,1)
·＝，
又·＝||||cos θ＝cos θ，
∴cos θ＝，即cos∠FDC＝，
又cos∠ADB＝＝＝，
∴cos∠ADB＝cos∠FDC，
故∠ADB＝∠FDC.2.3.2—2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
自主学习
知识梳理
1．平面向量的坐标表示
(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫做把向量正交分解．
(2)向量的坐标表示：在平面直角 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝________，则__________叫做向量a的坐标，__________叫做向量的坐标表示．
(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )系中，若A(x，y)，则＝________，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝______.
2．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝____________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝__________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
自主探究
已知直角坐标系内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，把向量按向量a＝(m，n)平移至的位置．
求：(1)点A′，B′的坐标；
(2)向量的坐标．
对点讲练
知识点一 平面向量的坐标运算
例1 已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求(1)－；(2)＋2；(3)－.
回顾归纳 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算．
变式训练1 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，
求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
知识点二 平面向量的坐标表示
例2 已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.
回顾归纳 待定系数法是最基本的数学方 ( http: / / www.21cnjy.com )法之一，它的实质是先将未知量设出来，再利用方程或方程组求解，把一个向量用其他两个向量表示，这是常用方法．
变式训练2 设i、j分别是与x轴、 ( http: / / www.21cnjy.com )y轴方向相同的两个单位向量，a＝i－(2m－1)j，b＝2i＋mj (m∈R)，已知a∥b，求向量a、b的坐标．
知识点三 平面向量坐标的应用
例3 已知 ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求顶点D的坐标．
回顾归纳 向量的坐标运算是几何与代数 ( http: / / www.21cnjy.com )的统一，几何图形的法则是代数运算的直观含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充，要充分利用这一点，有效解决问题．
变式训练3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．
1. 在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：
2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同.
课时作业
一、选择题
1．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于( )
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(－2,2) D．(2，－2)
2．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2,4)，＝(1,3)，则等于( )
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5) D．(2,4)
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
4．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且＝则点P的坐标为( )
A．(－8,1) B.
C. D．(8，－1)
5．向量＝(7，－5)，将按向量a＝(3,6)平移后得向量，则的坐标形式为( )
A．(10,1) B．(4，－11)
C．(7，－5) D．(3,6)
二、填空题
6．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为________．
7．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________.
8．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1,2)，B(3，2)，则x＝________.
三、解答题
9．已知A(1,2)、B(3,2)，a＝(x＋3，x－3y－4)，若a＝，求实数x的值．
10．已知 ABCD中，A(－1,2)，B(3,0)，C(5,1)．求顶点D及对角线交点M的坐标．
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2．3.3 平面向量的坐标运算
答案
知识梳理
1．(1)互相垂直 (2)单位向量 xi＋yj 有序数对(x，y) a＝(x，y)
(3)(x，y) (x2－x1，y2－y1)
2．(1)(x1＋x2，y1＋y2) (2)(x1－x2，y1－y2)
(3)(λx，λy)
自主探究
解 (1)设A′(x′1，y′1)，B′(x′2，y′2)
＝a，＝a，
∴(x′1－x1，y′1－y1)＝(m，n)．
∴A′(x1＋m，y1＋n)．同理可得：B′(x2＋m，y2＋n)．
(2)∵A′(x1＋m，y1＋n)，B′(x2＋m，y2＋n)．
∴＝(x2－x1，y2－y1)或＝＝(x2－x1，y2－y1)．
对点讲练
例1 解 ∵A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)．
∴＝(0,6)－(2，－4)＝(－2,10)，
＝(－8,10)－(2，－4)＝(－10,14)，
＝(－8,10)－(0,6)＝(－8,4)．
∴(1)－＝(－2,10)－(－10,14)＝(8，－4)．
(2)＋2＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－18,18)．
(3)－＝(－8,4)－(－10,14)
＝(－3，－3)
变式训练1 解 (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)
＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)
＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．
(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)
＝－＝.
例2 解 设c＝xa＋yb，
则(10，－4)＝x(－2,3)＋y(3,1)
＝(－2x＋3y,3x＋y)，
∴
解得x＝－2，y＝2，∴c＝－2a＋2b.
变式训练2 解 ∵a与b共线，∴存在实数λ，使得a＝λb，即i－(2m－1)j＝λ(2i＋mj)．
又i、j不共线，∴
∴＝－2m＋1，即m＝.
∴a＝i＋j，b＝2i＋j.
故a＝，b＝.
例3 解 设D(x，y)．则＝(4,1)，
＝(5－x,6－y)，
由＝得，∴.
∴顶点D的坐标为(1,5)．
变式训练3 解 不妨设A(3,7) ( http: / / www.21cnjy.com )，B(4,6)，C(1，－2)．第四个顶点为D(x，y)．则A、B、C、D四点构成平行四边形有以下三种情形．
(1)当平行四边形为ABCD时，＝，
设点D的坐标为(x，y)，
∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
∴ ∴ ∴D(0，－1)；
(2)当平行四边形为ABDC时，
仿(1)可得D(2，－3)；
(3)当平行四边形为ADBC时，仿(1)可得D(6,15)．
综上所述，第四个顶点的坐标可能为
(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．
课时作业
1．D
2．B [∵＝＋，
∴＝－＝(－1，－1)．
∴＝－＝(－3，－5)．]
3．D [由解得]
4．C [设P(x，y)，由(x－3，y＋2)＝(－8,1)，
∴x＝－1，y＝－.]
5．C [与方向相同且长度相等，
故＝＝(7，－5)．]
6．(7，－6)
解析 ∵＝，∴(x－5，y＋1)＝(2，－5)．
∴x＝7，y＝－6.
7.
解析 ∵＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，
＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
又2＝，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，
∴ 解得 ∴x＋y＝.
8．－1
解析 ∵A(1,2)，B(3,2)，∴＝(2,0)．
又∵a＝，它们的坐标一定相等．
∴(x＋3，x2－3x－4)＝(2,0)．
∴ ∴x＝－1.
9．解 ＝(3,2)－(1,2)＝(2,0)．
∵a＝，∴，∴，
∴x＝－1.
10．解 设D(xD，yD)，M(xM，yM)．
∵A(－1,2)，B(3,0)，C(5,1)．
∴＝(5,1)－(3,0)＝(2,1)．
∵四边形ABCD为平行四边形，M为对角线的中点．∴＝，＝.
即(xD＋1，yD－2)＝(2,1)
(xM＋1，yM－2)＝(5－xM,1－yM)
∴，
∴，
∴D(1,3)，M.§2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
自主学习
知识梳理
1．向量加法的定义
求____________的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个向量．
2．向量的加法法则
(1)三角形法则
如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任 ( http: / / www.21cnjy.com )取一点A，作＝a，＝b，则向量__________叫做a与b的和(或和向量)，记作__________，即a＋b＝＋＝________.上述求两个向量和的方法，叫做向量加法的三角形法则．
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝______＋______＝______.
(2)平行四边形法则
如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B三点不共线，以________，________为邻边作______________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
(3)多边形法则
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相 ( http: / / www.21cnjy.com )连，以第一个向量的______为始点，第n个向量的________为终点的向量叫做这n个向量的和向量．即＋＋…＋n＋1＝__________.这个法则叫做向量求和的多边形法则．
3．向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝__________.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝__________.
自主探究
根据向量加法的三角形法则完成下列填空．
当向量a与b__________时，总有：|a＋b|<|a|＋|b|.
当向量a与b____________时，总有：|a＋b|＝|a|＋|b|.
当向量a与b__________时，总有：|a＋b|＝||a|－|b||.
此时，若|a|≥|b|，则有|a＋b|＝____________；
若|a|≤|b|，则有|a＋b|＝__________.
总之，对于任意向量a、b，总有：______________≤|a＋b|≤__________.
对点讲练
知识点一 运用向量加法法则作和向量
例1 如图所示，已知向量a、b，求作向量a＋b.
回顾归纳 作两向量和，若用三角形法则，要保持两向量“首尾相接”；若用平行四边形法则，要保持两向量的起点相同．
变式训练1
如图所示，已知向量a、b、c，试作和向量a＋b＋c.
知识点二 运用向量加法法则化简和向量
例2 化简：
(1)＋；(2)＋＋；
(3)＋＋＋＋.
回顾归纳 解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序．
变式训练2 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________.
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向 ( http: / / www.21cnjy.com )量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.
课时作业
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是( )
A.＝，＝
B.＋＝
C.＋＝＋
D.＋＋＝
2．在四边形ABCD中，＝＋，则( )
A．四边形ABCD一定是矩形
B．四边形ABCD一定是菱形
C．四边形ABCD一定是正方形
D．四边形ABCD一定是平行四边形
3．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则＋＋的模等于( )
A．0 B．5
C. D．2
4. 如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋等于( )
A. B.
C. D.
5. 如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A．1 B．2
C．3 D．2
二、填空题
6．已知||＝3，||＝5，则||的取值范围是________．
7．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝________.
8．设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝______；
(3)＋＋＝______；
(4)＋＋＋＝______.
三、解答题
9．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．
10．求证：三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形．
§2.2 平面向量的线性运算
2．2.1 向量加法运算及其几何意义
答案
知识梳理
1．两个向量和
2．(1) a＋b 0 a a
(2)OA OB 平行四边形
(3)始点 终点 A1An＋1
3．(1)b＋a (2)a＋(b＋c)
自主探究
不共线 共线且同向 共线且反向 |a|－|b|
|b|－|a| ||a|－|b|| |a|＋|b|
对点讲练
例1 解 方法一 在平面内任取一点O，如图1所示，作＝a，＝b，
则＝a＋b.
图1 图2
方法二 在平面内任取一点O，如图2所示，作＝a，＝b，以OA、OB为邻边作 OACB，连接OC，则＝＋＝a＋b.
变式训练1 解 如图所示，首先在平面内任 ( http: / / www.21cnjy.com )取一点O，作向量＝a，接着作向量＝c，则向量就是a＋c，即＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求和向量．
例2 解 (1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
变式训练2 (1) (2) (3) (4)0
课时作业
1．C
2．D [∵＝＋＝＋，∴＝，
即BC綊AD.∴四边形ABCD是平行四边形．]
3．D [|＋＋|＝|＋|＝2||
＝2＝2.]
4．C [＋＋＝＋＋
＝.]
5．B [|＋＋|＝|＋＋|
＝||＝2.]
6．[2,8]
解析 ||＝|＋|≤||＋||＝8，
且||＝|＋|≥|||－|||＝2.
∴2≤||≤8.
7．0
解析 如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，
使GE＝ED，
则＋＝，＋＝0，
∴＋＋＝0.
8．(1) (2)0 (3) (4)
9．解
如图所示，表示水流速度，表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，∠AOC＝30°，
||＝5 km/h.
∵四边形OACB为矩形，
∴||＝＝5 km/h，
||＝＝10 km/h，
∴水流速度大小为5 km/h，
船实际速度为10 km/h.
10．证明
要证明三个向量首尾相连构成三角形， ( http: / / www.21cnjy.com )只要证明三个向量的和为0即可．如图所示：设△ABC的三边对应的向量为a＝，b＝，c＝，那么a＋b＋c＝0，
设D、E、F分别为三边BC，CA，AB的中点，
于是中线对应的向量分别为
＝＋＝c＋a，
＝＋＝a＋b.＝＋＝b＋c
∴有＋＋＝a＋b＋c＋(a＋b＋c)＝0.
∴＋＋＝0，
故结论得证，即三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形．2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
自主学习
知识梳理
1．平面向量数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，我 ( http: / / www.21cnjy.com )们把数量____________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．
(2)规定：零向量与任一向量的数量积为______．
(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ ( http: / / www.21cnjy.com )，则向量a在b方向的投影是______________，向量b在a方向上的投影是__________．
2．数量积的几何意义
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影__________的乘积．
3．向量数量积的运算律
(1)a·b＝________(交换律)；
(2)(λa)·b＝________＝__________(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝__________(分配律)．
自主探究
根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
(1)a⊥b __________；
(2)当a与b同向时，a·b＝________，
当a与b反向时，a·b＝________；
(3)a·a＝__________或|a|＝＝；
(4)cos θ＝__________；
(5)|a·b|≤__________.
对点讲练
知识点一 求两向量的数量积
例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．
回顾归纳 求平面向量数量 ( http: / / www.21cnjy.com )积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．
变式训练1 已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
知识点二 求向量的模长
例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.
回顾归纳 此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
变式训练2 已知|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|.
知识点三 向量的夹角或垂直问题
例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
回顾归纳 求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．
变式训练3 已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个 ( http: / / www.21cnjy.com )向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．
2．数量积对结合律一般不成立， ( http: / / www.21cnjy.com )因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．
3．向量b在a上的投影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分.
课时作业
一、选择题
1．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于( )
A．－3 B．－2 C．2 D．－1
2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于( )
A. B．－ C．± D．1
3．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于( )
A．－ B．0 C. D．3
4．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉等于( )
A．150° B．120° C．60° D．30°
5．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
二、填空题
6．已知向量a，b且|a|＝5，|b|＝3，|a－b|＝7，则a·b＝________.
7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．
8．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．
三、解答题
9．已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．
10．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．
§2.4 平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
答案
知识梳理
1．(1)|a||b|·cos θ (2)0 (3)|a|cos θ |b|cos θ
2．|b|cos θ
3．(1)b·a (2)λ(a·b) a·(λb) (3)a·c＋b·c
自主探究
(1)a·b＝0 (2)|a||b| －|a||b| (3)|a|2
(4) (5)|a||b|
对点讲练
例1 解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a|·|b|·cos 0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°
＝4×5×＝10.
变式训练1 解 (1)∵与的夹角为60°.
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°.
∴·＝||||cos 120°
＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°
＝1×1×＝.
例2 解 a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.
|a＋b|＝＝
＝ ＝5.
|a－b|＝＝
＝ ＝5.
变式训练2 解 由|3a－2b|＝3，
得9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9，
∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，
∴|3a＋b|＝＝
＝2.
例3 解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝
＝
＝ ＝，
|b|＝|2n－3m|＝
＝
＝ ＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)
＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.
变式训练3 解 要想(ka－b)⊥(a＋2b)，
则需(ka－b)·(a＋2b)＝0，
即k|a|2＋(2k－1)a·b－2|b|2＝0，
∴52k＋(2k－1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，
解得k＝，即当k＝时，向量ka－b与a＋2b垂直．
课时作业
1．D [a在b方向上的投影是|a|cos θ＝2×cos 120°
＝－1.]
2．A [∵(3a＋2b)·(λa－b)
＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2
＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0.
∴λ＝.]
3．A [a·b＝·＝－·
＝－||||cos 60°＝－.
同理b·c＝－，c·a＝－，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－.]
4．B [∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2.
又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，
即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2.
∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝120°.]
5．C [∵a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2|a|，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b
＝|a|2－2|a|－96＝－72.∴|a|＝6.]
6．－
解析 |a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝49，
∴a·b＝－.
7．0
解析 b·(2a＋b)＝2a·b＋|b|2
＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.
8．[0,1]
解析 b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a|·|b|cos θ－|b|2＝0，
∵a是单位向量，∴|a|＝1，
∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，
∴0≤|b|≤1.
9．解 (1)当a∥b时，若a与b同向，则a与b的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|·cos θ＝4×3×cos 0°＝12.
若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.
(2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°，
∴a·b＝|a||b|·cos 90°＝4×3×0＝0.
(3)当a与b的夹角为60°时，
∴a·b＝|a||b|·cos 60°＝4×3×＝6.
10．解 (2a－b)·(a＋b)
＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2
＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝.
|a＋b|＝＝
＝＝1.
∴|2a－b|cos〈2a－b，a＋b〉
＝|2a－b|·
＝＝.
∴向量2a－b在向量a＋b方向上的投影为.2.5.2 向量在物理中的应用举例
自主学习
知识梳理
1．力向量
力向量与前面学过的自由向量有区别．
(1)相同点：力和向量都既要考虑____________又要考虑________．
(2)不同点：向量与___ ( http: / / www.21cnjy.com )_____无关，力和__________有关，大小和方向相同的两个力，如果__________不同，那么它们是不相等的．
2．向量方法在物理中的应用
(1)力、速度、加速度、位移都是________．
(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的__________运算，运动的叠加亦用到向量的合成．
(3)动量mν是____________．
(4)功即是力F与所产生位移s的__________．
自主探究
向量在物理学科和生活实践中都有着广泛的应用，请利用向量的方法解决下列这个问题．
某人在静水中游泳，速度为4 km/h，
(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？
(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
对点讲练
知识点一 力向量问题
例1 如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)求|F1|，|F2|随θ角的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围．
回顾归纳 利用向量法解决有关力的问题时，常常先把力移到共同的作用点，再作出相应图形，以帮助建立数学模型．
变式训练1 用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，求每根绳子的拉力？
知识点二 速度向量问题
例2 在风速为75(－) km/h的西风中，飞机正以150 km/h的速度向西北方向飞行，求没有风时飞机的飞行速度和航向．
回顾归纳 速度是向量，速度的合成可以转化为向量的合成问题，合成时要分清各个速度之间的关系．
变式训练2 一条河宽为800 m，一船 ( http: / / www.21cnjy.com )从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h.水速为12 km/h，求船到达B处所需时间．
知识点三 恒力做功问题
例3 已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)，作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．
回顾归纳 物体在力F作用下的位移为s，则W＝F·s＝|F|·|s|cos θ.其中θ为F与s的夹角．
变式训练3 已知F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2，3)，求F对物体所做的功．
用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理 ( http: / / www.21cnjy.com )问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.
课时作业
一、选择题
1．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为( )
A．|F|·s B．Fcos θ·s
C．Fsin θ·s D．|F|cos θ·s
2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10 N
C．20N D．10 N
3．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F ( http: / / www.21cnjy.com )2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为( )
A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．2
4．已知作用在点A的三个力f1＝(3, ( http: / / www.21cnjy.com )4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为( )
A．(9,1) B．(1,9) C．(9,0) D．(0,9)
二、填空题
5．已知向量a表示“向东航行3 千米”，b表示“向南航行3千米”则a＋b表示______．
6．一个重20 N的物体从倾斜角3 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是___________________________________________________________________．
7. 如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在 ( http: / / www.21cnjy.com )水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．
三、解答题
8. 如图所示，两根绳子把 ( http: / / www.21cnjy.com )重1 kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g＝10 N/kg)．
9．已知e1＝(1,0)，e2 ( http: / / www.21cnjy.com )＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为e1＋e2；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为3e1＋2e2，设P、Q在t＝0 s时分别在P0、Q0处，问当⊥时所需的时间t为多少？
2.5.2 向量在物理中的应用举例
答案
知识梳理
1．(1)大小 方向 (2)始点 作用点 作用点
2．(1)向量 (2)加、减 (3)数乘向量 (4)数量积
自主探究
解 (1)如图甲所示，设 ( http: / / www.21cnjy.com )人游泳的速度为，水流的速度为，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为＋＝，根据勾股定理，||＝8，
Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人沿与河岸夹角60°顺着水流方向前进，速度大小为8 km/h.
(2)如图乙所示，设此人的实际速度为，水流速度为.
∵实际速度＝游速＋水速，故游速为－＝，
在Rt△AOB中，||＝4，||＝4，||＝4，cos∠BAO＝＝ .
故此人应沿与河岸夹角余弦值为，逆着水流方向前进，实际前进速度的大小为
4 km/h.
对点讲练
例1 解
(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，
得－G＝F1＋F2，|F1|＝，
|F2|＝|G|tan θ，
当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
(2)由|F1|＝，|F1|≤2|G|，得cos θ≥.
又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°.
变式训练1 解 设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角，且|F1|＝|F2|.
∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N.
∴每根绳子的拉力都为10 N.
例2 解
设风速为v0，有风时飞机的飞行速度为va，无风时飞机的飞行速度为vb，
则va＝vb＋v0，
且va，vb，v0可构成三角形(如图所示)，
∵||＝|va|＝150，
||＝|v0|＝75(－)，||＝|vb|，
作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，
则∠BAD＝45°，
∴||＝||＝||＝75，
∴||＝||＋||＝||＋||
＝75(－)＋75＝75，
从而tan∠CAD＝＝＝，
∴∠CAD＝30°，
∴||＝150，∴vb＝150 km/h，
∴没有风时飞机的飞行速度为150 km/h，方向为北偏西60°.
变式训练2 解
v实际＝v船＋v水＝v1＋v2
|v1|＝20，|v2|＝12，
∴|v|2＝
＝＝16(km/h)．
∴所需时间t＝
＝0.05(小时)＝3(分钟)．
∴该船到达B处所需的时间为3分钟．
例3 解 (1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J.
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·
＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)
＝－117＋15＝－102(J)．
∴合力F对质点所做的功为－102 J.
变式训练3 解 ＝(－4,3)，
W＝F·s＝F·＝(2,3)·(－4,3)
＝－8＋9＝1 (J)．
∴力F对物体所做的功为1 J.
课时作业
1．D
2．B [|F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝10，
当θ＝ 120°，由平行四边形法则知：
|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 N．]
3．D [F1＋F2＝(1,2lg 2)．
∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)
＝2lg 5＋2lg 2＝2.]
4．A [f＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，
设合力f的终点为P(x，y)，则
＝＋f＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．]
5．向东南方向航行3 千米
6．10 J
解析 WG＝G·s＝|G|·|s|·cos 60°
＝20×1×＝10 J.
7．①③
解析 设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0<θ<)．则
|F|cos θ＝|f|，∴|F|＝.
∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大．
∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小．
8．解
设A、B所受的力分别为f1、f2，
10 N的重力用f表示，则f1＋f2＝f，以 ( http: / / www.21cnjy.com )重力的作用点C为f1、f2、f的始点，作右图，使＝f1，＝f2，＝f，则∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.
∴||＝||·cos 30°＝10×＝5.
||＝||·cos 60°＝10×＝5.
∴在A处受力为5 N，在B处受力为5 N.
9．解 e1＋e2＝(1,1)，|e1＋e2|＝，其单位向量为(，)；3e1＋2e2＝(3,2)，
|3e1＋2e2|＝，其单位向量为(，)，如图．
依题意，||＝t，||＝t，
∴＝||(，)＝(t，t)，
＝||(，)＝(3t,2t)，
由P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，
得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2,2t－1)，
∴＝(－1，－3)，
＝(2t－1，t－3)，
由于⊥，∴·＝0，
即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2.
∴当⊥时所需的时间为2 s.第二章 平面向量
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
自主学习
知识梳理
1．向量的概念
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如速度、位移、力等．
(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等．
注意：数量可以比较大小，而向量无法比较大小．
2．向量的几何表示
(1)有向线段：带有________的线 ( http: / / www.21cnjy.com )段叫做有向线段，其方向是由________指向________，以A为起点、B为终点的有向线段记作.
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定．
(2)向量的有关概念：向量的________，也就是向量的长度(或称模)，记作||.长度为______的向量叫做零向量，记作0.长度等于______个单位的向量，叫做单位向量．
(3)向量的表示法：
①几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向；
②字母表示：用一个小写的英文字母表示，或用表示向量的有向线段的________和______的字母表示．
(4)平行向量：方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量a与b平行，通常记为a∥b.规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量a，都有0∥a.
3．相等向量与共线向量
(1)相等向量：________相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，通常记为a＝b.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量．
(2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫共线向量．
自主探究
谈谈你对平行向量、共线向量、相等向量这三个概念的认识．
对点讲练
知识点一 向量的有关概念
例1 判断下列命题是否正确，并说明理由．
①若a≠b，则a一定不与b共线；②若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD中，一定有＝；④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
回顾归纳 对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．
变式训练1 判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；
(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
知识点二 向量的表示方法
例2 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量、、； (2)求||.
回顾归纳 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
变式训练2 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
知识点三 相等向量与共线向量
例3 如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模大小相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
回顾归纳 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线．
变式训练3 如图所示，四边形ABCD和BCED都是平行四边形，
(1)写出与相等的向量：________.
(2)写出与共线的向量：________.
1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．
2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a>b没有意义，而|a|>|b|有意义．
3．共线向量与平行向量是同一概念．规定：零向量与任一向量都平行.
课时作业
一、选择题
1．下列说法正确的有( )
①方向相同的向量叫相等向量；②零向 ( http: / / www.21cnjy.com )量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列命题正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
B．向量的模一定是正数
C．起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量
D．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上
3．下列四个命题
①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b，或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；
④若a＝0，则－a＝0.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列命题正确的是( )
A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点
C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
二、填空题
5．在四边形ABCD中，＝且||＝||，则四边形为________．
6．给出以下5个条件：①a＝b；② ( http: / / www.21cnjy.com )|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．
7．下列各种情况下，向量的终点在平面内各构成什么图形．
①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．
①__________；②____________；③____________.
三、解答题
8. 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的模相等的向量有多少个？
(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？
(3)与a共线的向量有哪些？
(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．
9．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 ( http: / / www.21cnjy.com ) 000 km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2 000 km到达丙地，再从丙地向西南方向飞行1 000 km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
第二章 平面向量
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
答案
知识梳理
2．(1)方向 起点 终点 (2)大小 0 1
(3)②起点 终点 (4)相同 相反 平行
3．(1)长度 (2)直线
自主探究
解 ①任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也就是共线向量．两向量平行与两向量共线实质是一样的．
②长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定是相等向量．
对点讲练
例1 解 两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确．②＝，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故②不正确．③在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，故＝，③正确．④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确．⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确．若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确
变式训练1 解 (1)不正确．因为向量是不同于数量的一种量．它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故(1)不正确．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向．
(3)正确．∵|a|＝|b|，且a与b同向．由两向量相等的条件可得a＝b.
(4)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定．
例2 解
(1)向量、、如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，
又||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB綊CD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴＝，∴||＝||＝200 km.
变式训练2 解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等(作图略)．
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆(作图略)．
例3 解 (1)因为E、F分别是AC、AB的中点，
所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有：，，，，，，.
(2)与模相等的向量有：，，，，.
(3)与相等的向量有：与.
变式训练3 (1)，
(2)，，，，，，
课时作业
1．A [②与⑤正确，其余都是错误的．]
2．C [A错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
B错误.0的模|0|＝0.
C正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．
D错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、必须在同一直线上，即A、B、C、D四点不一定共线．]
3．B [②③错，①④正确．]
4．C [若b＝0，则a与 ( http: / / www.21cnjy.com )c不共线，A不正确；两个相等的非零向量的始点和终点可能共线，B不正确；若a，b中有一个是零向量，则a与b一定共线，C正确；有相同起点的两个非零向量，若方向相同或相反，则两个向量平行，D不正确．]
5．菱形
解析 ∵＝，∴AB綊DC
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形．
6．①③④
解析 相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，
③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④能使a∥b.
7．①单位圆 ②相距为2个单位的两个点 ③一条直线
8．解 (1)与a的模相等的向量有23个．
(2)与a的长度相等且方向相反的向量有，，，.
(3)与a共线的向量有，，，，，，，，.
(4)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，.
9．解
如图所示，A，B，C，D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，
依题意知，△ABC为正三角形，所以||＝2 000 km.
又因为∠ACD＝45°，
||＝1 000 km，
所以△ACD为等腰直角三角形，
所以||＝1 000 km，∠CAD＝45°.
所以丁地在甲地的东南方向，距甲地1 000 km.第二章 章末检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
2．已知a＝(2,4)，则与a垂直的单位向量的坐标为( )
A.或
B.或
C.或
D.或
3．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a等于( )
A．2 B．1 C. D.
4．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于( )
A．－a＋b B.a－b
C.a－b D．－a＋b
5．在平面直角坐标系中，O为坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )原点，已知A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝α＋β，α，β∈R，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为( )
A．3x＋2y－11＝0
B．(x－1)2＋(y－2)2＝5
C．2x－y＝0
D．x＋2y－5＝0
6．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7．已知点A(－1,2)和B(6,1)，按向量a平移后的坐标分别为A′(－3，m)和B′(n,4)，则a等于( )
A．(－2,3) B．(2，－3)
C．(－3,2) D．(3，－2)
8．在菱形ABCD中，若AC＝2，则·等于( )
A．2 B．－2
C．||cos A D．与菱形的边长有关
9．平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
10．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11．已知|p|＝2，|q|＝3，p、q夹角为，则以a＝5p＋2q，b＝p－3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为( )
A．15 B. C．14 D．16
12．在△OAB中，＝a，＝b，OD是AB边上的高，若＝λ，则实数λ等于( )
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设e1、e2是平面内一组基向量，且a ( http: / / www.21cnjy.com )＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合，则e1＋e2＝______a＋______b.
14．已知O(0,0)和A(6,3)，若点P在线段OA上，且＝，又点P是线段OB的中点，则点B的坐标是________．
15．已知平面上直线l的方向向量d＝(3，－4)，点O(0,0)和A(4，－2)在l上的射影分别是O1和A1，则||＝________.
16. 如图所示，半圆的直径AB＝2，O ( http: / / www.21cnjy.com )为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点．若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是____________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a⊥b，且|a|＝ ( http: / / www.21cnjy.com )2，|b|＝1，若对两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．
18．(12分)已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：
(1)a与b的夹角；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．
19.(12分)已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB.
20．(12分)已知向量、、满足条件＋＋＝0，||＝||＝||＝1.
求证：△P1P2P3是正三角形．
21.(12分)设a，b是两个不共线的非零向量(t∈R)．
(1)若a与b起点相同，t为何值时a，tb，(a＋b)三向量的终点在一直线上？
(2)若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|的值最小？
22．(12分)平面直角坐标系xOy内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点Q为直线OP上一动点．
(1)当·取得最小值时，求坐标；
(2)当点Q满足(1)中条件时，求cos∠AQB值．
第二章 章末检测
答案
1．B 2.D
3．A [设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，
＝(1－x,4－y)
∵＝2，
∴，解得.∴C(3,3)．
又∵C在直线y＝ax上，
∴3＝a·3，∴a＝2.]
4．B
5．D [∵＝α＋β，α＋β＝1，
∴点A，B，C共线，即点C的轨迹是直线AB.]
6．A [a·b＝－3λ＋10<0，∴λ>.
当a与b共线时，＝，∴λ＝－.
此时，a与b同向，∴λ>.]
7．A [设a＝(x0，y0)，则由A(－1,2)→A′(－3，m)．
∴－3－(－1)＝x0，∴x0＝－2.
由B(6,1)→B′(n,4)，∴4－1＝y0.
∴y0＝3，∴a＝(－2,3)．]
8．B [
如图，设对角线AC与BD交于点O，
∴＝＋.
·＝·(＋)
＝－2＋0＝－2，故选B.]
9．C [∵a∥b，∴1·m－2·(－2)＝0，
∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)．
∴2a＋3b＝(－4，－8)．]
10．B [Δ＝|a|2－4a·b＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉
＝4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉≥0.
∴cos〈a，b〉≤，〈a，b〉∈[0，π]．
∴≤〈a，b〉≤π.]
11．A [a＋b＝6p－q，对角线长为|a＋b|＝
＝＝＝15.]
12．B [∵＝λ，∴＝＋
＝＋λ＝(1－λ)a＋λb，
∴·＝[(1－λ)a＋λb]·(b－a)＝0，
∴(1－λ)a·b＋λb2－(1－λ)a2－λa·b＝0.
∴λ(a－b)2＝a2－a·b，∴λ＝.]
13. －
解析 设e1＋e2＝xa＋yb，
即e1＋e2＝(x－y)e1＋(2x＋y)e2.
∴
∴x＝，y＝－.
14．(4,2)
解析 ∵＝，∴＝2，
∴＋＝3，∴＝＝(2,1)，
∴＝2＝(4,2)．
15．4
解析 ||等于在d方向上投影的绝对值，
即||＝|||cos〈，d〉|
＝＝
＝＝4.
16．－
解析 设PC长为x (0≤x≤1)，
则PO长为1－x，依题意，O为AB中点，
所以＋＝2，
(＋)·＝2·＝－2x(1－x) (0≤x≤1)．
问题转化为求函数t＝2x2－2x，x∈[0,1]的最小值问题．
t＝2x2－2x＝22－.
当x＝时，t有最小值为－.
故(＋)·的最小值为－.
17．解 因为a⊥b，所以a·b＝0，
又由已知得[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
所以－ka2＋t(t－3)b2＝0，
因为|a|＝2，|b|＝1，
所以－4k＋t(t－3)＝0，
所以k＝(t2－3t)＝2－ (t≠0)，
故当t＝时，k取最小值－.
18．解 (1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2
＝1－|b|2＝，
∴|b|2＝，∴|b|＝，
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
∴θ＝45°.
(2)∵|a|＝1，|b|＝，
∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2
＝1－2×＋＝.
∴|a－b|＝，
又|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝1＋2×＋＝.
∴|a＋b|＝
设a－b与a＋b的夹角为α，则
cos α＝＝＝.
19．证明
如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2，
则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，
E(1,2)，F(0,1)．
(1)＝－＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，
＝－＝(0,1)－(2,2)
＝(－2，－1)，
∵·＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)，
∵∥，∴－x＝－2(y－1)，
即x＝2y－2.
同理由∥，得y＝－2x＋4，
代入x＝2y－2.
解得x＝，∴y＝，即P.
∴2＝2＋2＝4＝2，
∴||＝||，即AP＝AB.
20．证明 ∵＋＋＝0，
||＝||＝||，
∴＋＝－，
∴(＋)2＝(－)2，
∴||2＋||2＋2·＝||2，
∴·＝－，
cos∠P1OP2＝＝－，
∴∠P1OP2＝120°.
同理，∠P1OP3＝∠P2OP3＝120°，
即、、中任意两个向量的夹角为120°，
由余弦定理可得，
|P1P2|＝|P2P3|＝|P1P3|，
故△P1P2P3是正三角形．
21．解 (1)a－tb＝m，m∈R，
化简整理得a＝b，
∵a，b为不共线的非零向量，
∴解之得
∴当t＝时，三向量的终点在一直线上．
(2)|a－tb|2＝(a－tb)2
＝|a|2－2ta·b＋|tb|2
＝|a|2＋|tb|2－2t|a||b|cos 60°
＝(1－t＋t2)|a|2
＝|a|2，
∴当t＝时，|a－tb|有最小值|a|.
22．解 (1)设＝(x，y)，∵点Q在直线OP上，
∴向量与共线，又＝(2,1)，
∴x－2y＝0，即x＝2y，∴＝(2y，y)，
又＝－＝(1－2y,7－y)，
＝－＝(5－2y,1－y)，
∴·＝(1－2y,7－y)·(5－2y,1－y)
＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)
＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8，
故当y＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
(2)由(1)知＝(－3,5)，＝(1，－1)，
·＝－8，||＝，||＝，
∴cos∠AQB＝＝－.
