第三章 三角恒等变换 章末检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.等于( )
A．－ B．－ C. D.
2．sin 45°·cos 15°＋cos 225°·sin 15°的值为( )
A．－ B．－ C. D.
3．tan 15°＋等于( )
A．2 B．2＋ C．4 D.
4．在△ABC中，tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则C等于( )
A．45° B．135° C．150° D．30°
5．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( )
A. B. C. D.
6．函数y＝sin·cos＋cos·sin的图象的一条对称轴方程是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝π D．x＝
7．函数y＝2sin x(sin x＋cos x)的最大值为( )
A.＋1 B.－1
C. D．2
8．已知tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，则tan θ的值为( )
A. B．－
C．2 D.或－
9．已知cos＝，则cos的值是( )
A．－ B．－ C. D.
10．已知sin(45°＋α)＝，则sin 2α等于( )
A．－ B．－ C. D.
11．函数y＝sin x－cos x的图象可以看成是由函数y＝sin x＋cos x的图象平移得到的．下列所述平移方法正确的是( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位
12．已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则sin α等于( )
A. B.
C．－ D．－
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．方程sin x＋cos x－a＝0有解，则实数a的取值范围是________．
14.的值是________．
15．已知α是第三象限角且sin α＝－，则tan＝________.
16.2002年在北京召开的国际数 ( http: / / www.21cnjy.com )学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于______．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的两根，且0<α<，π<β<.
求：tan(α＋β)及α＋β的值．
18．(12分)求值：－.
19.(12分)在三角形ABC中，sin(A－B)＝，
sin C＝，求证：tan A＝2tan B.
20．(12分)求函数y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x的最大值与最小值．
21.(12分)已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．
22．(12分)已知函数f(x)＝2sin2－·cos 2x.
(1)求f(x)的周期和单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈上有解，求实数m的取值范围．
第三章 章末检测
答案
1．D [
＝cos2－sin2＝cos ＝.]
2．C [原式＝sin 45°·cos 15°－cos 45°·sin 15°
＝sin 30°＝，故选C.]
3．C [原式＝＋＝
＝＝4.]
4．A [由题意得tan A＋tan B＝－1＋tan Atan B.
∴tan(A＋B)＝＝－1，
∴A＋B＝135°，C＝45°.]
5．A [∵0<θ<，∴θ＋∈，
∴
又sin θ＋cos θ＝sin，
16．C [y＝sin·cos＋
cos·sin＝sin
＝sin＝cos x，故选C.]
7．A [y＝2sin2x＋2sin xcos x
＝sin 2x＋1－cos 2x
＝sin＋1
∴ymax＝＋1.]
8．B [∵π<2θ<2π，∴<θ<π，
则tan θ<0，tan 2θ＝＝－2，
化简得tan2θ－tan θ－＝0，
解得tan θ＝－或tan θ＝(舍去)，
∴tan θ＝－.]
9．D [cos＝－cos
＝－cos＝－
＝.]
10．B [sin(α＋45°)＝(sin α＋cos α)·＝，
∴sin α＋cos α＝.
两端平方，∴1＋sin 2α＝.∴sin 2α＝－.]
11．C [y＝sin x＋cos x＝sin
y＝sin x－cos x＝sin
＝sin]
12．A [由于α∈，β∈，
因此α－β∈(0，π)．
又由于cos(α－β)＝>0，
因此α－β∈(0，)．
sin(α－β)＝且cos β＝，sin α＝sin(α－β＋β)＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝×＋×＝.]
13．[－2,2]
解析 ∵a＝sin x＋cos x＝2sin.
∴－2≤a≤2.
14．1
解析 ∵＝
＝tan 45°＝1.
∴＝1.
15．－
解析 ∵α是第三象限角，sin α＝－.
∴cos α＝－.
∴tan ＝＝＝－.
16.
解析 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈.
∴cos θ－sin θ＝.
由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2，
得cos θ＋sin θ＝.
∴cos 2θ＝cos2θ－sin2θ
＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝.
17．解 ∵tan α、tan β为方程6x2－5x＋1＝0的两根，
∴tan α＋tan β＝，tan αtan β＝，
tan(α＋β)＝＝＝1.
∵0<α<，π<β<，
∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝.
18．解 原式＝－
＝
＝
＝
＝＝＝4.
19．证明 ∵A＋B＋C＝π.
∴C＝π－(A＋B)．
∴sin C＝sin(A＋B)＝.
∴sin Acos B＋cos Asin B＝①
∵sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B
∴sin Acos B－cos Asin B＝②
由①②联立得：
得：＝2.
∴tan A＝2tan B.
20．解 y＝7－4sin xcos x＋4cos2x －4cos4x
＝7－2sin 2x＋4cos2x(1－cos2x)
＝7－2sin 2x＋4cos2xsin2x
＝7－2sin 2x＋sin22x
＝(1－sin 2x)2＋6.
当sin 2x＝1时，ymin＝6；
当sin 2x＝－1时，ymax＝10.
21．解 (1)因为f(x)＝coscos
＝
＝cos2x－sin2x
＝－
＝cos 2x－，
所以f(x)的最小正周期为＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x
＝cos，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)取得最大值.
h(x)取得最大值时，对应的x的集合为
.
22．解 (1)f(x)＝2sin2－cos 2x
＝1－cos－cos 2x
＝1＋sin 2x－cos 2x
＝2sin＋1，
周期T＝π；2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
解得单调递增区间为(k∈Z)．
(2)x∈，所以2x－∈，
sin∈，
所以f(x)的值域为[2,3]．
而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，即m∈[0,1]．3.2 简单的三角恒等变换
自主学习
知识梳理
1．半角公式
(1)S：sin ＝__________；(2)C：cos ＝________；
(3)T：tan ＝________________＝________________＝__________(有理形式)．
2．辅助角公式：
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，cos φ＝__________，sin φ＝______________
其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由________决定．
自主探究
1．试用cos α表示sin2、cos2、tan2.
2．证明：tan ＝＝.
对点讲练
知识点一 半角公式的应用
例1 已知sin θ＝，且<θ<3π，求cos 和tan 的值．
回顾归纳 在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号．
变式训练1 已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos .
知识点二 利用辅助角公式研究函数性质
例2 已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
回顾归纳 研究形如f(x)＝as ( http: / / www.21cnjy.com )in2ωx＋bsin ωxcos ωx＋ccos2ωx的性质时，先化成f(x)＝Asin(ω′x＋φ)＋B的形式后，再解答．这是一个基本题型，许多题目化简后都化归为该题型．
变式训练2 已知函数f(x)＝sin(x＋)＋sin＋cos x＋a(a∈R)．
(1)求函数y＝f(x)的单调增区间；
(2)若函数f(x)在上的最大值与最小值的和为，求实数a的值．
知识点三 三角函数在实际问题中的应用
例3 如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
回顾归纳 利用三角函数知识解决实际问题，关键是目标函数的构建，自变量常常选取一个恰当的角度，要注意结合实际问题确定自变量的范围．
变式训练3 某工人要从一块圆心角为45 ( http: / / www.21cnjy.com )°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图所示)．
1．学习三角恒等变换，不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要立足于在推导过程中记忆和运用公式．
2．形如f(x)＝asin x＋b ( http: / / www.21cnjy.com )cos x，运用辅助角公式熟练化为一个角的一个三角函数的形式，即f(x)＝sin(x＋φ) (φ由sin φ＝，cos φ＝确定)进而研究函数f(x)性质．
如f(x)＝sin x±cos x＝sin，
f(x)＝sin x±cos x＝2sin等.
课时作业
一、选择题
1．已知180°<α<360°，则cos 的值等于( )
A．－ B.
C．－ D.
2．如果|cos θ|＝，<θ<3π，那么sin 的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
3．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有( )
A．a>b>c B．aC．a4．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
5．函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)的最小正周期为( )
A．2π B．π C. D.
二、填空题
6．函数y＝cos x＋cos的最大值是________．
7．若3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ的值是________．
8．已知函数f(x)＝sin[(1－a)x]＋cos[(1－a)x]的最大值为2，则f(x)的最小正周期为________．
三、解答题
9．已知向量a＝(sin(＋x)，cos x)，b＝(sin x，cos x)，f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)如果三角形ABC中，满足f(A)＝，求角A的值．
10．已知函数f(x)＝2asin2x－2asin xcos x＋b (a>0)的定义域为，值域为[－5,4]，求常数a，b的值．
§3.2 简单的三角恒等变换
答案
知识梳理
1．(1)± (2)±
(3)±
2. 点(a，b)
自主探究
1．解 ∵cos α＝cos2－sin2＝1－2sin2
∴2sin2＝1－cos α，sin2＝. ①
∵cos α＝2cos2－1，∴cos2＝ ②
由得：tan2＝.
2．证明 ∵＝＝tan .
∴tan ＝，同理可证：tan ＝.
∴tan ＝＝.
对点讲练
例1 解 ∵sin θ＝，<θ<3π.
∴cos θ＝－＝－.
又<<.
∴cos ＝－＝－＝－.
tan ＝＝＝2.
变式训练1 解 ∵α为钝角，β为锐角，
sin α＝，sin β＝.
∴cos α＝－，cos β＝.
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝－×＋×＝.
又∵<α<π，0<β<，
∴0<α－β<π.0<<.
∴cos ＝＝＝.
例2 解 (1)∵f(x)＝sin
＋2sin2
＝sin2＋1－cos2
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，∴T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋，
即x＝kπ＋ (k∈Z)，
∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
变式训练2 解 (1)f(x)＝sin＋
sin＋cos x＋a＝sin x＋cos x＋a
＝2sin＋a，
解不等式2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得y＝f(x)的单调增区间是
(k∈Z)．
(2)当x∈时，－≤x＋≤，sin∈，
∴f(x)的值域是[－＋a,2＋a]．
故(－＋a)＋(2＋a)＝，即a＝－1.
例3 解 在直角三角形OBC中，
OB＝cos α，BC＝sin α.
在直角三角形OAD中，＝tan 60°＝.
∴OA＝DA＝BC＝sin α，
∴AB＝OB－OA＝cos α－sin α
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AB·BC＝sin α
＝sin αcos α－sin2α
＝sin 2α－(1－cos 2α)
＝sin 2α＋cos 2α－
＝－
＝sin－.
由于0<α<，所以<2α＋<，
所以当2α＋＝，
即α＝时，S最大＝－＝.
因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
变式训练3 解
如图所示，连OC，
设∠COB＝θ，则0<θ<，OC＝1.
∵AB＝OB－OA＝cos θ－AD
＝cos θ－sin θ，
∴S矩形ABCD＝AB·BC
＝(cos θ－sin θ)·sin θ
＝－sin2θ＋sin θcos θ
＝－(1－cos 2θ)＋sin 2θ
＝(sin 2θ＋cos 2θ)－
＝cos－
∴当2θ－＝0，即θ＝时，Smax＝(m2)，
∴割出的长方形桌面的最大面积为(m2)．
课时作业
1．C 2.C
3．C [由题可得a＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，所以a4．D [f(x)＝2sin，f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)，
令k＝0得增区间为.]
5．B [f(x)＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋
＝sin 2x＋cos 2x＋
＝sin＋.∴T＝π.]
6.
解析 (1)y＝cos x＋cos
＝cos x＋cos xcos －sin xsin
＝cos x－sin x
＝
＝cos.
当cos＝1时，y有最大值.
7．－
解析 3sin x－cos x＝2
＝2sin.∴φ＝－.
8．π
解析 由＝2，∴a＝3，
∴f(x)＝－sin 2x＋cos 2x＝2sin，∴T＝π.
9．解 (1)由题意知，
f(x)＝sin xcos x＋＋cos 2x
＝sin(2x＋)＋
2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z
最小正周期为π，单调增区间为
[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
(2)由(1)知，f(x)＝sin＋.
∵f(A)＝，∴sin(2A＋)＝0，
又∵A∈(0，π)，∴<2A＋<，
∴2A＋＝π或2π，
∴A＝或.
10．解 f(x)＝2asin2x－2asin xcos x＋b
＝2a·－asin 2x＋b
＝－(asin 2x＋acos 2x)＋a＋b
＝－2asin＋a＋b
∵0≤x≤，∴≤2x＋≤π.
∴－≤sin≤1.
∵a>0，∴f(x)max＝2a＋b＝4，f(x)min＝b－a＝－5.
由，得.第三章 三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
自主学习
知识梳理
1.如图所示，在平面直角坐标系xOy内作 ( http: / / www.21cnjy.com )单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，则A点坐标是________________，B点坐标是______________，向量＝______________，向量＝______________.·＝______________.另一方面·＝|| ·||·cos∠AOB＝____________.
2．两角差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝________________________________.
自主探究
灵活拆分角是三角恒等变换的一种常用方法．例 ( http: / / www.21cnjy.com )如α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α等．请你利用拆分角方法，结合公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β计算cos 15°的值．
对点讲练
知识点一 给角求值
例1 求下列各式的值．
(1)sin 195°＋cos 105°；
(2)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋cos(α＋45°)cos(105°＋α)．
回顾归纳 (1)公式C(α－β)是三角恒等式，既可以正用，也可以逆用；
(2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角 ( http: / / www.21cnjy.com )函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．
变式训练1 求下列各式的值．
(1)cos；
(2)cos(x＋20°)cos(x－40°)＋cos(x－70°)sin(x－40°)．
知识点二 给值求值
例2 设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos .
回顾归纳 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．例如：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，
α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等．
变式训练2 已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α－β)＝，求cos β的值．
知识点三 给值求角型
例3 已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，求β的值．
回顾归纳 (1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．
(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．如本题求β的余弦值比求β的正弦值要好．
变式训练3 已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
1．公式C(α－β)是三角恒等式，既可正用，也可逆用，要注意公式的结构名称、特征、灵活变换角或名称．
2．公式C(α－β)中的角 ( http: / / www.21cnjy.com )α、β为任意角，既可以代表具体的角，也可以代表代数式．可以把α、β视为一个“代号”，将公式标记作：cos( －△)＝cos cos△＋sin sin△.
课时作业
一、选择题
1．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得( )
A．cos α B．cos β
C．cos(2α＋β) D．sin(2α＋β)
2．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是( )
A．α＝π，β＝π B．α＝π，β＝π
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
3．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )
A. B. C. D.
4．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )
A．－ B. C. D.
5．若sin α＋sin β＝1－，cos α＋cos β＝，则cos(α－β)的值为( )
A. B．－ C. D．1
二、填空题
6．cos 47°cos 77°－sin 47°cos 167°＝________.
7．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.
三、解答题
8．已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cos β的值．
9．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．
第三章 三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.1 两角差的余弦公式
答案
知识梳理
1．(cos α，sin α) (co ( http: / / www.21cnjy.com )s β，sin β) (cos α，sin α) (cos β，sin β) cos αcos β＋sin αsin β cos(α－β)
2．cos αcos β＋sin αsin β
自主探究
解 方法一 15°＝60°－45°
cos 15°＝cos(60°－45°)
＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°
＝×＋×＝.
方法二 15°＝45°－30°，
cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝×＋×＝.
对点讲练
例1 解 (1)原式＝cos 105°＋sin 195°
＝cos 105°＋sin(90°＋105°)
＝cos 105°＋cos 105°
＝2cos 105°＝2cos(135°－30°)
＝2×(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)
＝2×＝.
(2)原式＝cos(α－45°)cos(15°＋α)＋sin(45°－α)·cos(15°＋90°＋α)
＝cos(α－45°)cos(15°＋α)－sin(45°－α)sin(15°＋α)
＝cos(α－45°)cos(15°＋α)＋sin(α－45°)sin(15°＋α)
＝cos[(α－45°)－(15°＋α)]
＝cos(－60°)＝cos 60°＝.
变式训练1 解 (1)原式＝cos
＝coscos＋sinsin＝.
(2)cos(x＋20°)cos(x－40°)＋cos(x－70°)·sin(x－40°)
＝cos(x＋20°)cos(x－40°)＋cos(70°－x)·sin(x－40°)
＝cos(x＋20°)cos(x－40°)＋sin(x＋20°)·sin(x－40°)
＝cos[(x＋20°)－(x－40°)]
＝cos 60°
＝.
例2 解 ∵α∈，β∈，
∴α－∈，－β∈，
∴sin＝
＝ ＝，
cos＝ ＝ ＝.
∴cos ＝cos
＝coscos＋sin·sin
＝－×＋×＝.
变式训练2 解 因为α∈，sin α＝<，
所以0<α<.
又因为α－β∈，cos(α－β)＝<，
所以－<α－β<－，
所以cos α＝＝＝，
sin(α－β)＝－
＝－＝－，
所以cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
例3 解 ∵α、β∈且cos α＝，
cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
又∵β∈，∴β＝.
变式训练3 解 由α－β∈，且cos(α－β)＝－，
得sin(α－β)＝，
α＋β∈，且cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝－.
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
又∵α＋β∈，
α－β∈ 2β∈.
∴2β＝π，则β＝.
课时作业
1．B 2.A
3．C [sin(α－β)＝－(－<α－β<0)．
sin 2α＝，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝·＋·＝－，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.]
4．B [∵sin(π＋θ)＝－，
∴sin θ＝，θ是第二象限角，
∴cos θ＝－.
∵sin＝－，∴cos φ＝－，
φ是第三象限角，
∴sin φ＝－.
∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ
＝×＋×＝.]
5．B [由题意知
①2＋②2 cos(α－β)＝－.]
6.
7.
解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)
＝2＋2cos(α－β)＝.
8．解 ∵α∈，tan α＝4，
∴sin α＝，cos α＝.
∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
9．解 ∵<α－β<π，cos(α－β)＝－，
∴sin(α－β)＝.
∵<α＋β<2π，
sin(α＋β)＝－，
∴cos(α＋β)＝.
∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
∵<α－β<π，<α＋β<2π，
∴<2β<，∴2β＝π，∴β＝.3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
自主学习
知识梳理
1．两角和与差的正切公式
(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝__________________.
(2)T(α－β)：tan(α－β)＝__________________.
2．两角和与差的正切公式的变形
(1)T(α＋β)的变形：
tan α＋tan β＝__________________.
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝______________.
tan α·tan β＝__________________.
(2)T(α－β)的变形：
tan α－tan β＝__________________.
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝________________.
tan αtan β＝__________________.
自主探究
根据同角三角函数关系式完成公式T(α＋β)、T(α－β)的推导过程．
∵sin(α＋β)＝__________________.
cos(α＋β)＝__________________.
∴tan(α＋β)＝＝____________＝_________________________________.
∵tan(α－β)＝tan[α＋(－β)]
∴tan(α－β)＝________________＝________________.
对点讲练
知识点一 化简求值
例1 求下列各式的值．
(1)；(2)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°.
回顾归纳 公式T(α＋β)，T(α ( http: / / www.21cnjy.com )－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个．
变式训练1 求下列各式的值．
(1)；(2)tan 36°＋tan 84°－tan 36°tan 84°.
知识点二 给值求角
例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.
回顾归纳 此类题是给值求角题，解题步 ( http: / / www.21cnjy.com )骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解．
变式训练2 已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，求角α＋β.
知识点三 三角形中的问题
例3 已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状．
回顾归纳 三角形中的问题，A＋B＋C＝π肯定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角．
变式训练3 已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角．求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
1．公式T(α±β)的适用范围
由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋ (k∈Z)．
2．公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等．
要特别注意tan＝，tan＝.
3．公式T(α±β)的变形应用
只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.
课时作业
一、选择题
1．已知α∈，sin α＝，则tan的值等于( )
A. B．7 C．－ D．－7
2．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )
A. B．－ C．－7 D．－
3．已知tan α＝，tan β＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是( )
A. B. C. D.
4．A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )
A．1 B．2 C．tan 10° D.tan 20°
二、填空题
6．已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________.
7．如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0两根，则＝________.
8．已知tan＝2，则的值为________．
三、解答题
9．求下列各式的值．
(1)；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)．
10. 如图，在平面直角坐标系xOy中 ( http: / / www.21cnjy.com )，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．
123456 345678 5678910 7 8 9 10 11 12 9 10 11 12 13 14
11 12 13 14 15 16
579 68 10
100/6=
18*37+154+16*33-2 666 512
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
答案
知识梳理
1．(1) (2)
2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β)
1－
(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) －1
自主探究
sin αcos β＋cos αsin β
cos αcos β－sin αsin β
对点讲练
例1 解 (1)原式＝
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
(2)∵tan 60°＝＝.
∴tan 20°＋tan 40°＝(1－tan 20°tan 40°)
∴原式＝(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°tan 40°
＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°
＝.
变式训练1 解 (1)原式＝
＝tan(60°＋15°)＝tan 75°
＝tan(30°＋45°)
＝＝
＝2＋.
(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－tan 36°·tan 84°
＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－tan 36°·tan 84°＝tan 120°＝－.
例2 解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2，
∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，
∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1
∴＝－1.∴tan(α＋β)＝－1.
∵α，β∈.∴α＋β∈(π，2π)．
∴α＋β＝.
变式训练2 解 由已知得
∴tan α、tan β均为负．
∴tan(α＋β)＝＝＝.
∵tan α<0，tan β<0，∴－<α<0，－<β<0.
∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.
例3 解 ∵tan A＋tan B＝tan Atan B－1，
∴(tan A＋tan B)＝tan Atan B－1，
∴＝－，
∴tan(A＋B)＝－.
又∵0∵tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan C＝，
∴tan B＋＋tan B＝，tan B＝，
∴B＝，∴A＝，∴△ABC为等腰三角形．
变式训练3 证明 ∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B＝π－C.
∴tan(A＋B)＝＝－tan C.
∴tan A＋tan B＝－tan C＋tan Atan Btan C.
即tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
课时作业
1．A 2.C 3.C
4．A [tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，
∴tan(A＋B)＝，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，
∴C为钝角．]
5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋tan 20°＋ tan 10°
＝(tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°)
＝×＝1.]
6．1
解析 tan β＝＝.
∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.
∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.
∴＝1，∴tan(α＋β)＝1.
7．－
解析 ∵tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两根，∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3，
∴＝
＝＝＝－.
8.
解析 ∵tan＝2，
∴＝2，解得tan α＝.
∴＝
＝＝＝.
9．解 (1)原式＝
＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)
＝＝＝2－.
(2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76°
＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76°
＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76°
＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.
10．解 由条件得cos α＝，cos β＝.
∵α，β为锐角，
∴sin α＝＝，
sin β＝＝.
因此tan α＝＝7，tan β＝＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)∵tan 2β＝＝＝，
∴tan(α＋2β)＝＝＝－1.
∵α，β为锐角，
∴0<α＋2β<，
∴α＋2β＝.3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
自主学习
知识梳理
1．两角和与差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝________________________________.
C(α＋β)：cos(α＋β)＝________________________________.
2．两角和与差的正弦公式
S(α＋β)：sin(α＋β)＝________________________________.
S(α－β)：sin(α－β)＝________________________________.
3．两角互余或互补
(1)若α＋β＝________，其 ( http: / / www.21cnjy.com )α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：－α与__________互余，＋α与__________互余．
(2)若α＋β＝______，其α，β ( http: / / www.21cnjy.com )为任意角，我们就称α、β互补．例如：＋α与________互补，__________与π－α互补．
自主探究
以两角差的余弦公式为基础，结合三角函数诱导公式，就可以推导出公式C(α＋β)，S(α＋β)，S(α－β)，试完成下列推导过程．
C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(本章基础公式)
(1)C(α＋β)的推导过程：
cos(α＋β)＝cos[α－ ( http: / / www.21cnjy.com )(－β)]＝________________________＝________________________.
(2)S(α＋β)的推导过程：
sin(α＋β)＝cos＝cos＝______________＝__________________.
(3)S(α－β)的推导过程：
sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝________________＝______________________________.
对点讲练
知识点一 化简求值
例1 化简求值．
(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；(2)(tan 10°－)·.
回顾归纳 解答此类题一般要先用诱导公式把角化正化小，化切为统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．
变式训练1 化简求值．
(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)；
(3)sin －cos .
知识点二 给值求值
例2 已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
回顾归纳 解答此类题目的关键是角的变换，通过灵活拆角、凑角沟通已知角与问题中角之间的联系．例如本题中把2α视为(α－β)与(α＋β)的和．
变式训练2 已知α、β均为锐角，sin α＝，cos β＝，求α－β的值．
知识点三 证明三角恒等式
例3 已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
回顾归纳 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异．
变式训练3 证明：－2cos(α＋β)＝.
1．两角和差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：
sin＝sinπcos α－cossin α＝－cos α.
2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能 ( http: / / www.21cnjy.com )够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：
sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.
3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意，灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解.
课时作业
一、选择题
1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于( )
A. B. C. D.
2．已知A、B均为钝角，sin A＝，sin B＝，则A＋B的值为( )
A. B. C. D.
3．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．±1
4．在三角形ABC中，三内角分别是A、B、C，若sin C＝2cos Asin B，则三角形ABC一定是( )
A．直角三角形 B．正三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
5．已知sin α＝，cos β＝－，α为第二象限角，β为第三象限角．则sin(α＋β)＋sin(α－β)的值为________．
6．若锐角α、β满足cos α＝，cos (α＋β)＝，则sin β的值是________．
7.＝________.
三、解答题
8．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，求β.
9．已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)．
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
答案
知识梳理
1．cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β
2．sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β
3．(1) ＋α －α
(2)π π－α α＋
自主探究
(1)cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)
cos αcos β－sin αsin β
(2)coscos β＋sinsin β
sin αcos β＋cos αsin β
(3)sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)
sin αcos β－cos αsin β
对点讲练
例1 解 (1)原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋
cos(27°＋x)·sin(18°－x)
＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]
＝sin 45°＝.
(2)原式＝(tan 10°－tan 60°)
＝
＝·
＝－＝－2.
变式训练1 解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.
(3)方法一 原式＝2×
＝2×
＝－2cos
＝－2cos ＝－.
方法二 原式＝2×
＝2×
＝2sin＝－2sin ＝－.
例2 解 因为<β<α<，
所以0<α－β<，π<α＋β<.
又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
所以sin(α－β)＝
＝＝，
cos(α＋β)＝－＝－＝－.
所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×＝－.
变式训练2 解 ∵α、β均为锐角，
sin α＝，cos β＝，
∴sin β＝，cos α＝.
∵sin α∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－，
∴α－β＝－.
例3 证明 sin(2α＋β)＝3sin β
sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]
sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α
＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α
2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α
tan(α＋β)＝2tan α.
变式训练3 证明 －2cos(α＋β)
＝
＝
＝
＝＝.
课时作业
1．A [sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝.故选A.]
2．A
3．D [cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0.
∴α＋β＝kπ＋，k∈Z，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.]
4．C [∵sin C＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝2cos Asin B
∴sin Acos B－cos Asin B＝0.
即sin(A－B)＝0，∴A＝B.]
5．－
解析 sin(α＋β)＋sin(α－β)
＝(sin αcos β＋cos αsin β)＋(sin αcos β－cos αsin β)＝2sin αcos β＝－.
6.
解析 ∵0<α<，0<β<，cos(α＋β)＝>0，
∴0<α＋β<.
∴sin α＝，sin(α＋β)＝.
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
7.
解析 原式＝
＝
＝＝tan 60°＝.
8．解 ∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝.
∵－<α－β<且sin(α－β)＝－.
∴cos(α－β)＝，
∴cos β＝cos[(β－α)＋α]
＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α
＝×－×＝.
∴β＝.
9．解 ∵0<α<<β<
∴<＋α<π，－<－β<0.
又sin＝，cos＝
∴cos＝－，sin＝－.
cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝－.3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
自主学习
知识梳理
1．倍角公式
(1)S2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin cos ＝sin α；
(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)T2α：tan 2α＝.
2．倍角公式常用变形
(1)＝________，＝________；
(2)(sin α±cos α)2＝____________；
(3)sin2α＝____________，cos2α＝____________.
(4)1－cos α＝____________，1＋cos α＝____________.
自主探究
如何用tan 表示sin α，cos α，tan α.(结论不要求记忆)
对点讲练
知识点一 化简求值
例1 求下列各式的值．
(1)coscosπ；(2)－cos215°.
回顾归纳 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数关系及诱导公式是常用方法．
变式训练1 求值：(1)cos 20°·cos 40°·cos 80°；
(2)tan 70°·cos 10°·(tan 20°－1)．
知识点二 化简或证明
例2 求证：＝tan4 A.
回顾归纳 利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边式子中角间的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明．
变式训练2 化简：.
知识点三 条件求值
例3 若cos＝－，求的值．
回顾归纳 本题采用的“凑角法”是解三角问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式．
变式训练3 已知sin＝，01．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝(n∈N*)．
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：
①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝.
课时作业
一、选择题
1．函数y＝2cos2(x－)－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为的偶函数
2．若＝－，则cos α＋sin α的值为( )
A．－ B．－ C. D.
3．若sin＝，则cos的值为( )
A．－ B．－ C. D.
4．若＝1，则的值为( )
A．3 B．－3 C．－2 D．－
5．如果|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是( )
A．－ B. C．－ D.
二、填空题
6．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan α＝________.
7．已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈，则α＝________.
8．已知tan ＝3，则＝______.
三、解答题
9．已知cos＝，≤α<，求cos的值．
10．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(，)，若a·b＝且3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
答案
知识梳理
2．(1)cos α sin α (2)1±sin 2α
(3) (4)2sin2 2cos2
自主探究
解 sin α＝2sin cos ＝
＝；
cos α＝cos2－sin2＝
＝；
tan α＝＝.
对点讲练
例1 解 (1)原式＝cos·sin
＝sin＝.
(2)原式＝－(2cos215°－1)＝－cos 30°
＝－.
变式训练1 解 (1)原式＝
＝
＝
＝＝.
(2)原式＝·cos 10°
＝·cos 10°·
＝·cos 10°·2
＝·(sin 20°cos 30°－cos 20°sin 30°)
＝
＝＝－1.
例2 证明 ∵左边＝
＝2＝2＝(tan2A)2
＝tan4 A＝右边．
∴＝tan4 A.
变式训练2 解 方法一 原式
＝
＝
＝
＝tan θ
方法二 原式＝
＝
＝＝tan θ.
例3 解
＝
＝
＝sin 2x＝sin 2xtan
＝costan
＝tan，
∵∴－<－x<－π.
又∵cos＝－，
∴sin＝，tan＝－.
∴原式＝×＝－.
变式训练3 解 原式＝
＝＝2sin.
∵sin＝cos＝，且0∴＋x∈，
∴sin＝ ＝，
∴原式＝2×＝.
课时作业
1．A [因为y＝2cos2(x－)－1＝cos(2x－)
＝sin 2x为奇函数，T＝＝π.]
2．C [＝＝－(sin α＋cos α)＝－.∴sin α＋cos α＝.]
3．B [cos＝－cos[π－]
＝－cos＝－[1－2sin2]
＝2sin2－1＝－.]
4．A [∵＝1，∴tan θ＝－.
∴＝＝
＝＝＝3.]
5．C [∵<θ<3π，|cos θ|＝，
∴cos θ<0，cos θ＝－.
∵<<，∴sin <0.
由sin2＝＝，
∴sin ＝－.]
6．－
解析 ∵tan(π＋2a)＝－，
∴tan 2α＝－＝，
∴tan α＝－或tan α＝2.
又α在第二象限，∴tan α＝－.
7.
解析 ∵sin22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0.
∴4sin2αcos2α＋2sin αcos2α－2cos2α＝0.
∵α∈.∴2cos2α>0.
∴2sin2α＋sin α－1＝0.
∴sin α＝(sin α＝－1舍)．
∴α＝.
8．3
解析 ＝
＝＝tan ＝3.
9．解 sin 2α＝－cos＝－cos2
＝1－2cos2＝，
∵≤α<π，
∴π≤α＋<π，π≤2α<3π.
又cos>0，∴π<α＋<π，
∴π<α<π，π<2α<3π，
∴cos 2α＝－＝－，
∴cos＝cos 2α·cos －sin 2α·sin
＝－.
10．解 ∵a·b＝cos x＋sin x
＝2sin＝.
∴sin＝，∵∴∴cos＝－，tan＝－.
∴＝cos·tan
＝·
＝·
＝·＝－.