【课堂设计】14-15高中数学人教A版必修5 学案+章末回顾+章末整合+章末检测：第三章 不等式（15份）

第三章　不等式
§3.1　不等关系与不等式
材拓展
1．不等式的基本性质
对于任意的实数a，b，有以下事实：
a>b?a－b>0；
a＝b?a－b＝0；
a这三条基本性质是差值比较法的理论依据．
例如：已知a>b>0，m>0，要比较与的大小，就可以采用以下方法：
－＝＝.
∵m>0，a>b>0，∴b－a<0，
∴<0，∴<.
2．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面
单向性：
(1)a>b，b>c?a>c.
(2)a>b，c>d?a＋c>b＋d.
(3)a>b，c>0?ac>bc.
(4)a>b，c<0?ac(5)a>b>0，c>d>0?ac>bd.
(6)a>b>0，n为正实数?an>bn.
双向性：
(1)a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；
a－b<0?a(2)a>b?b(3)a>b?a＋c>b＋c.
单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础(当然也可用于证明不等式)．
若把c>0作为大前提，则a>b?ac>bc，若把c<0作为大前提，则a>b?ac解不等式：－x＋<x－.
解　－x＋<x－
?－2x＋9<8x－1 (不等式两边都乘以12，等式方向不改变)
?－2x<8x－10 (不等式两边都加上－9)
?－10x<－10 (不等式两边都加上－8x)
?x>1 (不等式两边都乘以－，不等式方向改变！)
3．正分数的一个有趣性质
在a>b>0，m>0的条件下，我们可以利用比较法证明下列事实：<<1<<.
由<可知：一个正的真分数，分子、分母加上同一个正数，分数值将增大．例如：
<<<<<<<.
由<可知：一个正的假分数，分子、分母加上同一个分数，分数值将减小．例如：
>>>>>>>.
从函数的观点看：
当a>b>0时，函数f(x)＝在x∈[0，＋∞)上是单调递增的；函数f(x)＝在[0，＋∞)上是单调递减的．
法突破
一、利用作差法比较实数大小
方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差——变形——判断差的符号——得出结论．比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解和配方法．
例1　已知m∈R，a>b>1，f(x)＝，试比较f(a)与f(b)的大小．
解　可将f(a)与f(b)分别表示出来，然后根据m，a，b的取值范围进行比较，但由于m的取值不确定，所以应用分类讨论的方法求解．
由于f(x)＝，所以f(a)＝，f(b)＝，
于是f(a)－f(b)＝－＝，
由于a>b>1，所以b－a<0，(a－1)(b－1)>0.
当m>0时，<0，所以f(a)当m<0时，>0，所以f(a)>f(b)；
当m＝0时，＝0，所以f(a)＝f(b)．
二、利用作商法比较实数大小
方法链接：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下：(1)若a，b都是正数，则a>b?>1；
a(2)若a，b都是负数，则a>b?<1.
a1；a＝b?＝1.
作商比较法的基本步骤为：
①作商；②变形；③与1比较大小；④下结论．
例2　设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb，abba，(ab)三者的大小．
解　∵＝aa－·bb－
＝a·b＝
当a>b>0时，>1，a－b>0，>0
∴>0＝1，∴aabb>(ab).
当0∴>0＝1，∴aabb>(ab).
所以，不论a>b>0还是0总有aabb>(ab).
同理：(ab)>abba.
综上所述，aabb>(ab)>abba.
三、利用不等式的性质比较大小
方法链接：利用不等式的性质比较代数式的大小，有时要结合函数的单调性加以判断．
例3　对于0①loga(1＋a)②loga(1＋a)>loga
③a1＋a④a1＋a>a1＋
其中成立的是(　　)
A．①与③ B．①与④
C．②与③ D．②与④
解析　∵0而y＝loga x在(0，＋∞)上与y＝ax在R上均为减函数，
∴loga(1＋a)>loga，a1＋a>a1＋.
答案　D
四、利用不等式性质求参数范围
方法链接：在含有参变量的某些函数、方程和不等式中，有时要求确定参变量的取值范围．此类问题常常使学生感到束手无策，即使能解，过程也十分繁琐．对这类问题，如能把参变量分离出来，问题就会化难为易，化繁为简，下面以例说明．
例4　是否存在实数a，使不等式＋＋＋…＋>loga (a－1)＋对一切大于1的自然数n都恒成立？如果存在，试确定a的取值范围，否则说明原因．
解　记f(n)＝＋＋＋…＋ (n∈N*，且n≠1)．如果存在题意中要求的实数a，
那么loga(a－1)＋<[f(n)]min
∴f(n)－f(n＋1)＝－－
＝－<0，
∴f(n)为增函数，
故[f(n)]min＝f(2)＝＋＝，
loga(a－1)＋<，
由此可解得1区突破
误用不等式的性质而致错
例　已知：1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的范围．
[错解]　由于1≤a－b≤2①
2≤a＋b≤4②
①＋②得3≤2a≤6
≤a≤3③
②＋①×(－1)得0≤2b≤3
0≤b≤④
③×4＋④×(－2)得3≤4a－2b≤12.
[点拨]　上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的，但实际上答案是错误的．那到底是为什么呢？我们先看不等式4a－2b≥3什么时候取等号，由上述解题过程可知，当a＝且b＝时，才取等号，而此时a－b＝0，不满足①式，因此4a－2b是不能等于3的．同理可验证4a－2b也不能等于12，出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来做变形，是非同解变形．因此结论是错误的．
[正解]　换元法
令a＋b＝μ，a－b＝v，则2≤μ≤4,1≤v≤2.
由　解得.
∴4a－2b＝4·－2·＝2μ＋2v－μ＋v＝μ＋3v.
而2≤μ≤4,3≤3v≤6，则5≤μ＋3v≤10.
∴5≤4a－2b≤10.
题多解
例　设00，a≠1，试比较|loga(1－x)|和|loga(1＋x)|的大小．
解　方法一　首先判断对数式loga(1－x)和loga(1＋x)的符号，以便去掉绝对值符号，然后作差比较．解题过程必须注意对数函数的单调性．
∵0(1)当a>1时，loga(1－x)<0，loga(1＋x)>0
∴P＝|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝－loga(1－x)－loga(1＋x)
＝－loga(1－x2)
∵0<1－x2<1，∴－loga(1－x2)>0.
故P>0，得|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
(2)当0loga(1－x)>0，loga(1＋x)<0
∴P＝|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝loga(1－x)＋loga(1＋x)
＝loga(1－x2)
∵0<1－x2<1，∴loga(1－x2)>0.即P>0.
故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|
综上所述，当a>0，a≠1时，均有
|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
方法二　将两数平方去绝对值后作差比较，由于对数函数的底数取值范围对对数式正负取值有影响，故需分类讨论．
P＝log(1－x)－log(1＋x)
＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga(1－x)－loga(1＋x)]
＝loga(1－x2)loga
由已知00<1－x2<1,0<1－x<1,1<1＋x<2，
∴0<1－x<1＋x，∴0<<1.
(1)当a>1时，loga(1－x2)<0，loga <0，
∴P>0；
(2)当0loga(1－x2)>0，loga >0，∴P>0
综合(1)、(2)知，当a>0，a≠1时总有
log(1－x)>log(1＋x)
故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
方法三　将两式用作商法进行比较，根据对数换底公式
＝|log(1＋x)(1－x)|
∵0∴0<1－x2<1，∴1－x<
∴log(1＋x)(1－x)∴|log(1＋x)(1－x)|>1，
∴|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
题赏析
1．(2011·北京)如果logxA．yC．1解析　不等式转化为?1答案　D
2．(2008·江西)若0A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1 D.
解析　方法一　特殊值法．
令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，
则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，
a1b2＋a2b1＝＝，
∵>>，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.
方法二　作差法．
∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0∴a2＝1－a1>a1，b2＝1－b1>b1，
∴0又a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)
＝2a1b1＋1－a1－b1，
a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)
＝a1＋b1－a－b，
a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)
＝a1＋b1－2a1b1，
∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝a＋b－2a1b1
＝(a1－b1)2≥0，
∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.
∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)
＝4a1b1＋1－2a1－2b1
＝1－2a1＋2b1(2a1－1)
＝(2a1－1)(2b1－1)
＝4>0，
∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
∵(a1b1＋a2b2)－＝2a1b1＋－a1－b1
＝b1(2a1－1)－(2a1－1)＝(2a1－1)
＝2>0，
∴a1b1＋a2b2>.
综上可知，最大的数应为a1b1＋a2b2.
答案　A
第三章　不等式
§3.1　不等关系与不等式
自主学习
知识梳理
1．比较实数a，b的大小
(1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a________b；
如果a－b为________，那么a＝b；
如果a－b是负数，那么a________b，反之也成立．
(2)符号表示
a－b>0?a____b；a－b＝0?a____b；a－b<0?a____b.
2．常用的不等式的基本性质
(1)a>b?b________a(对称性)；
(2)a>b，b>c?a________c(传递性)；
(3)a>b?a＋c________b＋c(可加性)；
(4)a>b，c>0?ac______bc；a>b，c<0?ac______bc；
(5)a>b，c>d?a＋c________b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0?ac________bd；
(7)a>b>0，n∈N，n≥2?an________bn；
(8)a>b>0，n∈N，n≥2?________.
自主探究
向a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？
对点讲练
知识点一　不等式的性质及运用
例1　a、b、c为实数，判断下列语句是否正确．
(1)若a>b，则ac(2)若ac2>bc2，则a>b；
(3)若aab>b2；
(4)若c>a>b>0，则>；
(5)若a>b，>，则a>0，b<0.
总结　在不等式的各性质中，乘法的性质极易出错，即在不等式两边同乘或除以一个数时，必须要确定该数是正数、负数或零，否则结论就不确定．
变式训练1　判断下列语句是否正确，并说明理由．
(1)若<且c>0，则a>b；
(2)若a>b>0且c>d>0，则 > ；
(3)若a>b，ab≠0，则<；
(4)若a>b，c>d，则ac>bd.
知识点二　利用不等式的性质求取值范围
例2　已知12总结　求含字母的数或式的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质求解，本例极易犯同向不等式相减或相除的错误：12变式训练2　已知－≤α<β≤，求，的取值范围．
知识点三　比较两实数的大小
例3　(1)比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小；
(2)设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
总结　作差后变形是比较大小的关键一环，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．
变式训练3　比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.
1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a2．作差法比较的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依性质进行，千万不可想当然.
课时作业
一、选择题
1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A.< B．a2>b2
C.> D．a|c|>b|c|
2．已知a、b为非零实数，且aA．a2C.< D.<
3．已知a1、a2∈(0,1)．记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．MN
C．M＝N D．不确定
4．若a>0且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，则M，N的大小关系为(　　)
A．MN D．M≥N
5．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．ab>ac B．ac>bc
C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
题　号
1
2
3
4
5
答　案
二、填空题
6．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围是________．
7．若x∈R，则与的大小关系为________．
8．设n>1，n∈N，A＝－，B＝－，则A与B的大小关系为________．
三、解答题
9．设a>b>0，试比较与的大小．
10．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．
第三章　不等式
§3.1　不等关系与不等式
知识梳理
1．(1)>　0　<　(2)>　＝　<
2．(1)<　(2)>　(3)>　(4)>　<　(5)>　(6)>
(7)>　(8)>
自主探究
解　设原来a克糖水中含糖b克，加入m克糖后，糖水浓度变大了，
用不等式表示为<(其中a，b，m均为正数，且a>b)．
证明如下：
－＝＝，
又a，b，m均为正数且a>b，∴a－b>0，m(a－b)>0，a(a＋m)>0，∴>0.
因此，>，也就是糖水浓度更大了，糖水变得更甜了．
对点讲练
例1　解　(1)c是正、负或为零未知，因而缺少判断ac与bc的大小依据，错误．
(2)由ac2>bc2知c≠0，∴c2>0，∴a>b，正确．
(3)?a2>ab；又?ab>b2，
∴a2>ab>b2，正确．
(4)∵a>b>0，∴－a<－b，∴c－a又∵c>a>b>0，∴>0，在c－a得>>0，又a>b>0，∴>，
正确．
(5)由已知条件知a>b?a－b>0，
又>?－>0?>0，
∵a－b>0，∴b－a<0，∴ab<0.
又a>b，∴a>0，b<0，正确．
变式训练1　解　(1)?<，但推不出a>b，(1)错．
(2)?>>0? > 成立，(2)对．
(3)错．例如，当a＝1，b＝－1时，不成立．
(4)错．例如，当a＝c＝1，b＝d＝－2时，不成立．
例2　解　∵15∴12－36又<<，∴<<，∴<<4.
∴－24变式训练2　解　∵－≤α<β≤，
∴－≤<，－<≤.
上面两式相加得：－<<.
∵－<≤，∴－≤－<，
∴－≤<.
又知α<β，∴α－β<0，故－≤<0.
综上，－≤<，－≤<0.
例3　解　(1)∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0.
∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．
(2)∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号．
变式训练3　解　x6＋1－(x4＋x2)
＝x6－x4－x2＋1
＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)
＝(x2－1)2(x2＋1)≥0.
∴当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2；
当x≠±1时，x6＋1>x4＋x2.
综上所述，x6＋1≥x4＋x2，
当且仅当x＝±1时取等号．
课时作业
1．C　[对A，若a>b，b<0，则>0，<0，
此时>，∴A不成立；
对B，若a＝1，b＝－2，则a2对C，∵c2＋1≥1，且a>b，∴>恒成立，
∴C正确；
对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．]
2．C　[对于A，在a对于B，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b对于C，∵a0，
∴－＝<0，∴<；
对于D，当a＝－1，b＝1时，＝＝－1.]
3．B　[M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(1－a1)(1－a2)>0，
∵M>N，∴选B.
也可用特殊值法：取a1＝a2＝∈(0,1)
则M＝，N＝0.∴M>N.]
4．C　[当a>1时，a3＋1>a2＋1，此时，y＝loga x为R＋上的增函数，
∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)；当0∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，∴a>0且a≠1时，总有M>N.]
5．A　[由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，?ab>ac.]
6．[－1,6]
解析　∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5.
∴－1≤a－b≤6.
7.≤
解析　－＝＝≤0.
∴≤.
8．A>B
解析　A＝，B＝
∵＋<＋，并且都为正数．∴A>B.
9．解　方法一　作差法
∵－＝
＝＝，
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.
∴>0，∴>.
方法二　作商法
∵a>b>0，∴>0，>0.
∴＝＝＝1＋>1.
∴>.
10．解　f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx，
①当或
即1＜x＜时，logx＜0，∴f(x)＜g(x)；
②当＝1，即x＝时，logx＝0，
即f(x)＝g(x)；
③当或
即0＜x＜1，或x＞时，logx＞0，
即f(x)＞g(x)．
综上所述，当1＜x＜时，f(x)＜g(x)；
当x＝时，f(x)＝g(x)；
当0＜x＜1，或x＞时，f(x)＞g(x)．
3.2　一元二次不等式及其解法
材拓展
1．一元一次不等式
通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax>b.若a>0，则其解集为.若a<0，则其解集为.
若a＝0，b<0，解集为R；b≥0，解集为?.
2．三个“二次”的关系
通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0 (a>0)．
不妨设方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1、x2且x1从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在x轴上方部分的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在x轴下方部分的点的横坐标x的集合．
从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．
3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法
数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x－1)(x－2)(x－3)>0.我们可以列表如下：
x的区间
x<1
12x>3
x－1
－
＋
＋
＋
x－2
－
－
＋
＋
x－3
－
－
－
＋
(x－3)(x－2)·(x－1)
－
＋
－
＋
把表格的信息“浓缩”在数轴得：
据此，可写出不等式(x－1)(x－2)(x－3)>0的解集是{x|13}．
一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：
(1)化成形如p(x)＝(x－x1)(x－x2)…(x－xn)>0 (或<0)的标准形式；
(2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线；
(3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；
(4)根据曲线显现出的p(x)的符号变化规律，标出p(x)的正值区间和负值区间；
(5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内．
4．分式不等式的解法
(1)>0?f(x)·g(x)>0.
(2)<0?f(x)·g(x)<0.
(3)≥0?.
(4)≤0?.
注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．
例如：解不等式：>.
解　原不等式?－>0
?>0?>0
?x<－或－3.
∴原不等式的解集为
∪∪(3，＋∞)．
5．恒成立问题
(1)f(x)≥a，x∈D恒成立?f(x)min≥a，x∈D恒成立；
f(x)≤a，x∈D恒成立?f(x)max≤a，x∈D恒成立；
(2)ax2＋bx＋c>0恒成立?或
ax2＋bx＋c<0恒成立?或.
6．一元二次方程根的分布
我们以ax2＋bx＋c＝0 (a>0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.
根的分布
二次函数的图象
充要条件
x1f(k)<0
x1
k
k1
k1
法突破
一、分式不等式的解法
方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．
例1　解不等式：≥x.
解　原不等式?－x≥0
?≥0
?≥0
?≤0
?≤0
?≤0.
由图可知，原不等式的解集为{x|x<－1或2≤x<3}．
二、含参数不等式的解法
方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．
例2　解不等式：解　原不等式?>0
?(x＋2)(kx＋3k＋2)>0
当k＝0时，原不等式解集为{x|x>－2}；
当k>0时，(kx＋3k＋2)(x＋2)>0，
变形为(x＋2)>0.
∵＝3＋>3>2，
∴－<－2.
∴x<－或x>－2.
故解集为.
当k<0时，原不等式?(x＋2)<0
由(－2)－＝.
∴当－2不等式的解集为；
当k＝－2时，－＝－2，
原不等式?(x＋2)2<0不等式的解集为?；
当k<－2时，>0，－2>－.
不等式的解集为.
综上所述，当k＝0时，不等式的解集为{x|x>－2}；
当k>0时，不等式的解集为
；
当－2；
当k＝－2时，不等式的解集为?；
当k<－2时，不等式的解集为
.
三、恒成立问题的解法
方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a(“客”)的取值范围，反过来求x(“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a为“主”，未知数x为“客”，则关于x的一元二次不等式就立即转化为关于a的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．
例3　已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．
分析　题中不等式含有两个字母x，p，由(1)的条件可知，应视p为变量，x为常量，再求x的范围；由(2)的条件可知，应视x为变量，p为常量，再求p的范围．
解　(1)不等式化为：(x－1)p＋x2－2x＋1>0，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－2x＋1，
则f(p)的图象是一条直线．又因为|p|≤2，
所以－2≤p≤2，于是得：
即
即　∴x>3或x<－1.
故x的取值范围是x>3或x<－1.
(2)不等式可化为(x－1)p>－x2＋2x－1，
∵2≤x≤4，∴x－1>0.
∴p>＝1－x.由于不等式当2≤x≤4时恒成立，所以p>(1－x)max.
而2≤x≤4，所以(1－x)max＝－1，
于是p>－1.故p的取值范围是p>－1.
四、一元二次方程根的分布
方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．
例4　已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．
解　设f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，
根据题意，画出示意图由图分析可得，m满足不等式组
　
解得：－五、一元二次不等式的实际应用
方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．
例5　国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
分析　
对比项
调整前
调整后
税率
8%
(8－x)%
收购量
m(吨)
(1＋2x%)m(吨)
税收总收入
2 400m×8%
2 400(1＋2x%)m
×(8－x)%
解　设税率调低后的“税收总收入”为y元．
y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%
＝－m(x2＋42x－400) (0依题意，y≥2 400m×8%×78%
即：－m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%
整理得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.
根据x的实际意义，知0所以0区突破
1．忽略判别式的适用范围而致错
例1　若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
[错解]　不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，
对x∈R恒成立．
?
?
?－2[点拨]　当a－2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．
[正解]　当a－2＝0，即a＝2时，
原不等式为－4<0，所以a＝2时成立．
当a－2≠0时，
由题意得，
即，
解得－2综上所述，可知－2温馨点评
在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断．在处理形如ax2＋bx＋c的问题时，要注意对x2系数的讨论．
2．混淆“定义域为R”与“值域为R”的区别而致错
例2　若函数y＝lg(ax2－2x＋a)的值域为R，求a的取值范围．
[错解1]　∵函数y＝lg(ax2－2x＋a)的值域为R.
∴ax2－2x＋a>0对x∈R恒成立．
∴，
即，∴a>1.
[错解2]　∵函数y＝lg(ax2－2x＋a)的值域为R.
∴代数式ax2－2x＋a能取遍一切正值．
∴Δ＝4－4a2≥0，
∴－1≤a≤1.
[点拨]　上述解法1把值域为R误解为定义域为R；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a<0时，代数式ax2－2x＋a不可能取到所有正数，从而也是错误的．
[正解]　当a＝0时，y＝lg(－2x)值域为R，
a＝0适合．
当a≠0时，ax2－2x＋a＝a2＋为使y＝lg(ax2－2x＋a)的值域为R，
代数式ax2－2x＋a应取到所有正数．
所以a应满足，解得0综上所述，0≤a≤1.
题多解
例　解不等式：≤3－lg x.
解　方法一　≤3－lg x
?
?
?
?1≤lg x≤2?10≤x≤100.
方法二　设＝t，
则lg x＝t2＋1 (t≥0)．
∴≤3－lg x
?
?0≤t≤1
?0≤≤1
?1≤lg x≤2
?10≤x≤100.
方法三　解方程＝3－lg x，
解得：x＝100.
令f(x)＝，
易知f(x)在[10，＋∞)为增函数，
g(x)＝3－lg x在[10，＋∞)为减函数．
且f(100)＝g(100)＝1.为使f(x)≤g(x)，
则10≤x≤100.
方法四　令lg x＝t，f(t)＝，g(t)＝3－t.
在同一坐标系中画出它们的图象如图所示：
易知交点为(2,1)．
当1≤t≤2时，f(t)≤g(t)．
即≤3－lg x成立．
由1≤t≤2，即1≤lg x≤2，
解得：10≤x≤100.
题赏析
1．(2009·江西)若不等式≤k(x＋2)－的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________.
解析　令y1＝，
y2＝k(x＋2)－，在同一个坐标系中作出其图象，因≤k(x＋2)－的解集为[a，b]且b－a＝2.
结合图象知b＝3，a＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,2)．
∴k＝＝.
答案　
赏析　本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法．
2．(2009·天津)设0(ax)2的解集中的整数恰有3个，则(　　)
A．－1C．1解析　(x－b)2>(ax)2，(a2－1)x2＋2bx－b2<0，要使x的解集中恰有3个整数，必须有a2－1>0.
又a＋1>0，∴a>1.
不等式变形为[(a－1)x＋b][(a＋1)x－b]<0.
∵a>1，b>0，∴>0,0<<1，
∴其中含三个整数，∴－3≤<－2,2<≤3.
∴2a－2∴∴∴1答案　C
赏析　本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用．
3.2　一元二次不等式及其解法(一)
自主学习
知识梳理
1．一元一次不等式
一元一次不等式经过变形，可以化成ax>b (a≠0)的形式．
(1)若a>0，解集为________________；(2)若a<0，解集为________________．
2．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集
R
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
自主探究
一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间存在怎样的关系，并利用这种关系解决下面的问题：已知不等式x2－ax－b<0的解集为{x|2对点讲练
知识点一　一元二次不等式的解法
例1　求下列不等式的解集
(1)－2x2－x＋1>0；
(2)(x2－x－1)(x2－x＋1)>0.
总结　一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”：第一步，化二次项的系数为正数；第二步，求解相应的一元二次方程的根；第三步，根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集．
变式训练1　求下列关于x的不等式的解集．
(1)－x2＋7x>6；
(2)x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0.
知识点二　二、解含参数的一元二次不等式
例2　解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
总结　解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论．
变式训练2　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
知识点三　一元二次不等式与一元二次方程的关系
例3　若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．
总结　利用根与系数关系寻找根之间的联系，借此求出方程的根，其中观察根与系数关系的结构变化是解题的关键．
变式训练3　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|α0的解集．
1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．
2．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．
3．由一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋c<0 (a>0))的解集为{x|xx2}(或{x|x1课时作业
一、选择题
1．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是(　　)
A. B.
C. D.
2．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－23．函数y＝lg(x2－4)＋的定义域是(　　)
A．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
B．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
D．(－∞，－6)∪[2，＋∞)
4．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－2,2) B．(－2,2]
C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2)
5．已知x1、x2是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0(k∈R)的两个实数根，则x＋x的最大值为(　　)
A．18 B．19 C．5 D．不存在
题　号
1
2
3
4
5
答　案
二、填空题
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应点如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是______________．
7．不等式－18．若函数f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
9．已知x2＋px＋q<0的解集为，求不等式qx2＋px＋1>0的解集．
10．解关于x的不等式：ax2－2x＋1>0.
§3.2　一元二次不等式及其解法(一)
知识梳理
1．(1)　(2)
2．(－∞，x1)∪(x2，＋∞)　{x|x∈R且x≠－}
{x|x1自主探究
解　一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．例如本题，方程x2－ax－b＝0的根就是2和3.∴，∴.
对点讲练
例1　解　(1)由－2x2－x＋1>0，得2x2＋x－1<0，因式分解得(x＋1)(2x－1)<0，∴－1即不等式的解集为.
(2)∵x2－x＋1＝2＋>0，
∴(x2－x－1)(x2－x＋1)>0.
即解不等式x2－x－1>0，
由求根公式知x1＝，x2＝.
∴x2－x－1>0的解集是
.
∴原不等式的解集为.
变式训练1　解　(1)∵－x2＋7x>6，∴－x2＋7x－6>0.
∴x2－7x＋6<0，∴(x－1)(x－6)<0.
∴1(2)x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，
因式分解得(x－m)[x－(m＋1)]<0.
∵m即不等式的解集为{x|m例2　解　原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
当a＝0时，x≤－1；当a>0时，x≥或x≤－1；
当－2当a＝－2时，x＝－1；当a<－2时，－1≤x≤.
综上所述，
当a>0时，解集为；
当a＝0时，解集为；
当－2当a＝－2时，解集为；
当a<－2时，解集为.
变式训练2　解　将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0变形为
(x－a)(x－a2)>0.
∵a2－a＝a(a－1)．
∴当a<0或a>1时，aa2}．
当0a}．
当a＝0或1时，解集为{x|x∈R且x≠a}．
综上知，当a<0或a>1时，
不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0或1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠a}．
例3　解　由ax2＋bx＋c≥0的解集为，
知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2，
∴，∴b＝－a，c＝－a.
所以不等式cx2－bx＋a<0可变形为
x2－x＋a<0，
即2ax2－5ax－3a>0.
又因为a<0，所以2x2－5x－3<0，所以所求不等式的解集为.
变式训练3　解　∵α、β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴α＋β＝－，αβ＝.∵a<0，
∴cx2＋bx＋a>0同解变形为x2＋x＋1<0.
由根与系数关系将α、β代入，得αβx2－(α＋β)x＋1<0.
即αβ<0，
由0<α<β，可知>.
所以不等式cx2＋bx＋a>0的解集为
.
课时作业
1．B
2．C　[由已知?
y＝f(－x)＝ax2＋x－c，
即y＝－x2＋x＋2，其图象为C.]
3．B
4．B
5．A　[由已知方程有两实数根得：Δ≥0，
解得－4≤k≤－，
又x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－(k＋5)2＋19，
∴当k＝－4时，x＋x有最大值，最大值为18.]
6．{x|x<－2或x>3}
7．{x|－3≤x<－2或08．a>
解析　f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R.
∴a>0且Δ＝1－4a2<0，∴a>.
9．解　∵x2＋px＋q<0的解集为，
∴－，是方程x2＋px＋q＝0的两实数根，
由根与系数的关系得，
∴，
∴不等式qx2＋px＋1>0可化为－x2＋x＋1>0，即x2－x－6<0，
∴－2∴不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－210．解　①当a＝0时，不等式即－2x＋1>0，
∴解集为；
②当a<0时，Δ＝4－4a>0，
此时不等式为x2－x＋<0，
由于方程x2－x＋＝0的两根分别为、，
且>，
∴不等式的解集为
；
③当a>0时，若00，此时不等式即x2－x＋>0.
∵<，
∴当0.
若a＝1，则不等式为(x－1)2>0，
∴当a＝1时，不等式解集为{x|x∈R且x≠1}；
若a>1时，则Δ<0，不等式解集为R.
综上所述，当a<0时，不等式的解集为
；
当a＝0时，不等式的解集为；
当0；
当a＝1时，不等式的解集为
；
当a>1时，不等式的解集为R.
3.2　一元二次不等式及其解法(二)
自主学习
知识梳理
1．解分式不等式的同解变形法则：
(1)>0?____________；
(2)≤0?________________；
(3)≥a?≥0.
2．处理不等式恒成立问题的常用方法：
(1)一元二次不等式恒成立的情况：
ax2＋bx＋c>0 (a≠0)恒成立?____________；
ax2＋bx＋c≤0 (a≠0)恒成立?____________.
(2)一般地，若函数y＝f(x)，x∈D既存在最大值，也存在最小值，则：
a>f(x)，x∈D恒成立?____________；
a 自主探究
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)，你能借助二次函数的图象，探求两根满足下列特征的等价条件吗？
(1)两个正根?____________；
(2)两个负根?____________；
(3)一正一负根?____________；
(4)两根都小于k?____________；
(5)一根大于k，一根小于k?____________.
(注：答案不唯一)
对点讲练
知识点一　分式不等式的解法
例1　解分式不等式：
(1)≥－2；(2)<0.
总结　简单的分式不等式在求解时多化为>0，<0的形式，在变形的过程中，要注意等价性，同时要注意不等号是否含有等号，如≥0应?或但不等价于f(x)g(x)≥0，要注意这一点．
变式训练1　解不等式：>1.
知识点二　恒成立问题
例2　设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
总结　含参数的二次不等式在某区间内恒成立，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数在区间上的最值来处理；方法二是分离出参数再去求函数的最值．
变式训练2　若不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的所有实数都成立，求x的取值范围．
知识点三　一元二次方程根的分布
例3　设a∈R，关于x的一元二次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两实根x1，x2，且0总结　解二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等式及不等式组，进而求解．
变式训练3　若方程4x＋(m－3)·2x＋m＝0有两个不相同的实根，求m的取值范围．
1．解分式不等式时一定要等价变形为一边为零的形式，再化归成整式不等式(组)或高次不等式．若不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：
(1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)a3．解有关一元二次方程根的分布及其他综合问题，要注意结合对应的二次函数图象特征，使问题更简单、直观.
课时作业
一、选择题
1．不等式(x－1)≥0的解集是(　　)
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≥－2或x＝1}
2．不等式<2的解集为(　　)
A．{x|x≠－2} B．R
C．? D．{x|x<－2或x>2}
3．若a>0，b>0，则不等式－b<A．－B．－C．x<－或x>
D．x<－或x>
4．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)．
5．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)
A．13
C．12
题　号
1
2
3
4
5
答　案
二、填空题
6．如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的取值范围为________．
7．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是________．
8．已知关于x的不等式<1的解集为{x|x<1或x>3}，则a的值是________．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(a，b为常数)，且方程f(x)－x＋12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4.
(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k>1，解关于x的不等式：f(x)<.
10．已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]．
(1)若f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为(－∞，＋∞)，求实数a的取值范围．
§3.2　一元二次不等式及其解法(二)
知识梳理
1．(1)f(x)·g(x)>0　(2)
2．(1)　　(2)a>f(x)max　a自主探究
(1)　(2)　(3)
(4)　(5)
对点讲练
例1　解　(1)≥－2?＋2≥0?≥0
?≥0?
∴x<2或x≥5.
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
(2)原不等式的解集由下面两个不等式组的解集的并集构成．
(1)

由①解得{x|x<－3或x>1}；
由②解得{x|x<－2或x>3}．
∴不等式组(1)的解集是{x|x<－3或x>3}．
由③解得{x|－3由④解得{x|－2∴不等式组(2)的解集是{x|－2综上，原不等式的解集是{x|x<－3或－23}．
变式训练1　解　因为x2＋x＋1>0，
所以原不等式可化为x＋2>x2＋x＋1，
即x2－1<0，解得－1所以原不等式的解集为{x|－1例2　解　(1)要mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0.
若m≠0，?－4∴－4(2)要f(x)<－m＋5，
就要使m2＋m－6<0，x∈[1,3]．
方法一　令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]，
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，∴g(x)max＝g(3)，
∴7m－6<0，得m<.∴0当m＝0时，－6<0恒成立．
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数．
∴f(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6.∴m<0.
综上所述，m<.
方法二　∵x2－x＋1＝2＋>0，
又∵m(x2－x＋1)－6<0，
∴m<.
∵函数y＝＝在[1,3]上的最小值为.∴只需m<即可．
变式训练2　解　不等式变为m(x2－1)－(2x－1)<0，
即f(m)＝m(x2－1)－(2x－1)<0在{m|－2≤m≤2}上恒成立，
故解得例3　解　设f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2.
因为x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，
且0所以?
??
?－2所以a的取值范围是{a|－2变式训练3　解　令2x＝t，则原方程变为t2＋(m－3)t＋m＝0，
∵t>0.
∴关于t的二次方程有两不同正根的充要条件为：，
解得0∴所求m的取值范围为(0,1)．
课时作业
1．C　[当x＝－2时，0≥0成立．当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1.
∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}．]
2．A　[原不等式?x2－2x－2<2x2＋2x＋2
?x2＋4x＋4>0?(x＋2)2>0，∴x≠－2.
∴不等式的解集为{x|x≠－2}．]
3．D　[－b<?或?x>或x<－.]
4．A　[f(1)＝12－4×1＋6＝3，
当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；
当x<0时，x＋6>3，解得－3所以f(x)>f(1)的解集是x∈(－3,1)∪(3，＋∞)．]
5．B　[设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)
g(a)>0恒成立且a∈[－1,1]
??
?x<1或x>3.]
6．0≤a≤4
解析　a＝0时，A＝?；当a≠0时，A＝??ax2－ax＋1≥0恒成立??0综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤4.
7．k≤2或k≥4
解析　x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，
把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，
解得k≥4或k≤2.
8.
解析　原不等式化为－1＝<0，其等价于(x－1)[(a－1)x＋1]<0.
∵不等式的解集为{x|x<1或x>3}，
∴x＝＝3，解得a＝.
9．解　(1)将x1＝3，x2＝4分别代入方程
－x＋12＝0
得　
解得，
所以f(x)＝ (x≠2)．
(2)不等式即为<，
可转化为<0.
即(x－2)(x－1)(x－k)>0.
①当12}；
②当k＝2时，不等式为(x－2)2(x－1)>0，原不等式的解集为{x|12}；
③当k>2时，原不等式的解集为{x|1k}．
综上知，
当12}；
当k＝2时，不等式的解集为{x|12}；
当k>2时，不等式的解集为{x|1k}．
10．解　(1)当a2－1≠0时，
由
得a<－1或a>.
又a2－1＝0时，得a＝±1.a＝－1时，满足题意．
a＝1时，不合题意．
∴实数a的取值范围为a≤－1或a>.
(2)只要t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f(x)的值域为R，
故当a2－1≠0时，
有得1又当a2－1＝0，即a＝1时，t＝2x＋1符合题意．
a＝－1时不合题意．
∴实数a的取值范围为1≤a≤.
3.3.1　二元一次不等式(组)与平面区域
自主学习
知识梳理
1．二元一次不等式(组)的概念
(1)含有________未知数，并且未知数的次数是________的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组叫做二元一次不等式组．
(2)满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
2．二元一次不等式表示平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线____________某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成________以表示区域不包括边界．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成________．
3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定
(1)把直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都________．
(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由____________的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
(3)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面点集的________，即各个不等式所表示的平面区域的____________．
自主探究
已知点A(1,3)与B(6,2)，直线l：2x－3y＋a＝0.
(1)若a＝1，则点A与原点位于直线l的________侧，点B与原点位于直线l的________侧．
(2)若点A与B位于直线l的异侧，则a的取值范围是__________．
(3)若点A与B位于直线l的同侧，则a的取值范围是__________．
对点讲练
知识点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域
例1　画出下列不等式(组)表示的平面区域．
(1)2x－y－6≥0；　(2)
总结　不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分，但要注意是否包含边界．
变式训练1　画出不等式组表示的区域．
知识点二　平面区域的面积问题
例2　在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为(　　)
A．2 B．1 C. D.
变式训练2　若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．
知识点三　平面区域内的整点个数问题
例3　利用平面区域求不等式组的整数解．
总结　求某个平面区域内的整点，一般采用代入验证法来求，要做到不漏掉任何一个整点．
变式训练3　画出2x－31．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．
2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．
3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定x的范围，再逐一代入不等式组，求出y的范围最后确定整数解的个数.
课时作业
一、选择题
1．不等式2x－y－6>0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的(　　)
A．左上方 B．右上方 C．左下方 D．右下方
2．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的区域为(　　)
3．不等式组表示的平面区域内整点的个数是(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
4．若平面区域D的点(x，y)满足不等式组，则平面区域D的面积是(　　)
A.＋ B．1＋
C.＋ D．1＋
5．在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为(　　)
A．3＋2 B．－3＋2
C．－5 D．1
题　号
1
2
3
4
5
答　案
二、填空题
6．点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围为________．
7．△ABC的三个顶点坐标为A(3，－1)，B(－1,1)，C(1，3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．
8．不等式组所表示的平面区域的面积等于________．
三、解答题
9．画出不等式组所表示的平面区域并求其面积．
10．画出不等式组表示的平面区域，并求其中的整数解(x，y)．
§3.3　二元一次不等式(组)与简单
的线性规划问题
3．3.1　二元一次不等式(组)与平面区域
知识梳理
1．(1)两个　1
2．Ax＋By＋C＝0　虚线　实线
3．(1)相同　(2)Ax0＋By0＋C　(3)交集　公共部分
自主探究
(1)异　同　(2)－67
对点讲练
例1　解　(1)如图1，先画出直线2x－y－6＝0，取原点O(0，0)代入2x－y－6中，因为2×0－1×0－6＝－6<0，所以在直线2x－y－6＝0左上方的所有点(x，y)都满足2x－y－6<0，故直线2x－y－6＝0右下方的区域就是2x－y－6>0，因此2x－y－6≥0表示直线右下方的区域(包含边界)；
　　　图1　　　　　　　图2
(2)先画出直线x－y＋5＝0(画成实线)，如图2取原点O(0，0)，代入x－y＋5，因为0－0＋5＝5>0，所以原点在x－y＋5>0表示的平面区域内，即x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，同理可得，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合，图中阴影部分即为所求平面区域(含边界)．
变式训练1　解　
不等式x<3表示直线x＝3左侧点的集合；不等式2y≥x即x－2y≤0表示直线x－2y＝0上及左上方点的集合；不等式3x＋2y≥6，
即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0上及右上方点的集合；不等式3y0表示直线x－3y＋9＝0右下方点的集合．综上可得，不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分．
例2　B　[记x＋y＝m，
x－y＝n，
则x＝，y＝
∴，
即作出可行域可知面积为1.]
变式训练2　
解析　如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形，当a从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．
又D(0,1)，B(0,2)，E，C(－2,0)．
S四边形ODEC＝S△OBC－S△BDE＝2－＝.
例3　解　把x＝3代入6x＋7y≤50，得y≤4，
又∵y≥2，∴整点有：
(3,2)(3,3)(3,4)；
把x＝4代入6x＋7y≤50，得y≤3，
∴整点有：(4,2)(4,3)．
把x＝5代入6x＋7y≤50，得y≤2，
∴整点有：(5,2)；
把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；
把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤，与y≥2不符．
∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．
变式训练3　
解　由于2x－3平面区域如图所示：
而其中的正整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)，共5组．
课时作业
1．D　[将(0,0)代入2x－y－6，得－6<0.
∴(0,0)点在不等式2x－y－6>0表示的平面区域的异侧．
∴不等式表示的平面区域在对应直线的右下方．]
2．B　[不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组
(Ⅰ)或不等式组(Ⅱ)分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.]
3．C　[画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．]
4．B
　[画出平面区域，如图，
阴影部分面积S＝1＋.]
5．D　[区域如图，易求得A(－2,2)，B(a，a＋4)，C(a，－a)．
S△ABC＝|BC|·|a＋2|＝(a＋2)2＝9，得a＝1.]
6．　(－7,24)
7.
解析　
如图直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式写出)
直线AC的方程为2x＋y－5＝0
直线BC的方程为x－y＋2＝0
把(0,0)代入2x＋y－5＝－5<0
∴AC左下方的区域为2x＋y－5<0.
∴同理可得△ABC区域(含边界)为.
8.
解析　平面区域如图．
解得A(1,1)，
易得B(0,4)，C，|BC|＝4－＝.
∴S△ABC＝××1＝.
9．解　如图所示，其中的阴影部分便是不等式组表示的平面区域．
由得A(1,3)．同理得B(－1,1)，C(3，－1)．
∴|AC|＝＝2，
而点B到直线2x＋y－5＝0距离为d＝＝，
∴S△ABC＝|AC|·d＝×2×＝6.
10．解　作出平面区域，如图所示．
可求得顶点坐标，，，
故x，y的范围是－结合图形并经检验可得整数解有
(0,0)，(0，－1)，(1,0)，(1，－1)，(2，－2)．
3.3.2　简单的线性规划问题(一)
自主学习
知识梳理
线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的________________
线性约束条件
由x，y的________不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式
线性目标函数
关于x，y的________解析式
可行解
满足________________的解(x，y)
可行域
所有________组成的集合
最优解
使目标函数取得____________的可行解
线性规划问题
在________________条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
自主探究
在线性目标函数z＝Ax＋By (B≠0)中，目标函数z的最值与截距之间有怎样的对应关系？请完成下面的填空．
1．线性目标函数z＝Ax＋By (B≠0)对应的斜截式直线方程是________________，在y轴上的截距是________，当z变化时，方程表示一组____________的直线．
2．当B>0时，截距最大时，z取得________值，截距最小时，z取得________值；
当B<0时，截距最大时，z取得________值，截距最小时，z取得________值．
对点讲练
知识点一　求线性目标函数的最值问题
例1　线性约束条件下，求z＝2x－y的最大值和最小值．
总结　解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解z的几何意义，求最优解时采用“平移直线法”．
变式训练1　设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．23
知识点二　求非线性目标函数的最值问题
例2　已知实数x、y满足，试求z＝的最大值和最小值．
总结　若目标函数为形如z＝，可考虑(a，b)与(x，y)两点连线的斜率．
若目标函数为形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y)与(a，b)两点距离的平方．
变式训练2　已知，则x2＋y2的最小值和最大值分别是________．
知识点三　和平面区域有关的参数问题
例3　设二元一次不等式组，所表示的平面区域为M，使函数y＝ax (a>0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是(　　)
A．(1,3] B．[2，]
C．[2,9] D．[，9]
总结　准确作出可行域，熟知指数函数y＝ax的图象特征是解决本题的关键．
变式训练3　若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是__________．
1．用图解法求线性目标函数的最值时，要搞清楚z的含义，z总是与直线在y轴上的截距有关．
2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
3．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.
课时作业
一、选择题
1．已知点P(x，y)的坐标满足条件则x2＋y2的最大值为(　　)
A. B．8 C．16 D．10
2．若变量x，y满足则z＝3x＋2y的最大值是(　　)
A．90 B．80 C．70 D．40
3．在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M＝，区域N＝{(x，y)|t≤x≤t＋1,0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为(　　)
A．－t2＋t＋ B．－2t2＋2t
C．1－t2 D.(t－2)2
4．若实数x，y满足则的取值范围是(　　)
A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．[1，＋∞)
题　号
1
2
3
4
答　案
二、填空题
5．设变量x，y满足约束条件则z＝x－3y的最小值为________．
6．已知且u＝x2＋y2－4x－4y＋8，则u的最小值为________．
三、解答题
7．已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围．
8．求不等式组表示的平面区域的面积．
3．3.2　简单的线性规划问题(一)
知识梳理
不等式或方程　一次　一次　线性约束条件　可行解　最大值或最小值　线性约束
自主探究
1．y＝－x＋　　互相平行
2．最大　最小　最小　最大
对点讲练
例1　解　如图作出线性约束条件
下的可行域，包含边界：
其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)，
x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)，
x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，
作一组与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z
即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点B时，－z取最小值，此时z最大，即zmax＝2×9－1＝17；当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即zmin＝2×1－9＝－7.
∴zmax＝17，zmin＝－7.
变式训练1　B　[作出可行域如图所示：
由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7.]
例2　解　由题意知，作出线性约束条件下的可行域如图所示，且可求得A(2,3)，B(0,2)，C(1,0)．由于z＝＝，所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，因此的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，
结合图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即zmax＝kMB＝3，此时x＝0，y＝2；
zmin＝kMC＝，此时x＝1，y＝0.
变式训练2　5,25
解析　作出不等式组的可行域如图所示，
由，
得A(1,3)，
由，
得B(3,4)，
由，
得C(2,1)，
设z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B的距离最大，注意
到OC⊥AC，∴原点到点C的距离最小．
故zmax＝||2＝25，zmin＝||2＝5.
例3　C　[
作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A(1,9)，C(3,8)．
当y＝ax过A(1,9)时，a取最大值，此时a＝9；
当y＝ax过C(3,8)时，a取最小值，此时a＝2，
∴2≤a≤9.]
变式训练3　0解析　不等式表示的平面区域如图所示，
当x＋y＝a过A时表示的区域是△AOB，
此时a＝；
当a>时，表示区域是△AOB；
当x＋y＝a过B(1,0)时表示的区域是△DOB，此时a＝1；
当0当a<0时不表示任何区域，当1课时作业
1．D
2．C
3．A
4．B
　[可行域如图阴影部分所示，的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得>1或<－1.]
5．－8
解析　作出可行域如图所示．
可知当x－3y＝z经过点A(－2，2)时，z有最小值，此时z的最小值为－2－3×2＝－8.
6.
解析　点(x，y)在图中阴影部分，
由已知得(x－2)2＋(y－2)2＝()2，
则＝＝，umin＝.
7．解　
作出一元二次方程组
所表示的平面区域(如图)即可行域．
考虑z＝2x－3y，把它变形为y＝x－z，得到斜率为，且随z变化的一组平行直线，－z是直线在y轴上的截距，当直线截距最大且满足约束条件时目标函数z＝2x－3y取得最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数z＝2x－3y取得最大值．
由图可知，当直线z＝2x－3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小．
解方程组，得A的坐标为(2,3)．
所以zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.
当直线z＝2x－3y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大．
解方程组，得B的坐标为(2，－1)，
所以zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7.
∴2x－3y的取值范围是[－5,7]．
8．解　不等式组
所表示的可行域如图所示，
其可行域为两个等腰直角三角形，其底边长分别为1与11，高分别为与，
所以，可行域的面积为×1×＋×11×＝.
3.3.2　简单的线性规划问题(二)
自主学习
知识梳理
1．用图解法解线性规划问题的步骤：
(1)分析并将已知数据列出表格；
(2)确定线性约束条件；
(3)确定线性目标函数；
(4)画出可行域；
(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；
根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．
2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
3．线性规划实质上是“数形结合”思想的一种体现，即将最值问题利用图形直观、形象、简便地寻找出来．
自主探究
结合下面的具体问题想一想，在什么情况下，目标函数的最优解可能有无数多个？
在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为(　　)
A．－3　 B．3 C．－1 D．1
对点讲练
知识点一　实际应用中的最优解问题
例1　某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．
(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
(3)怎样安排生产可使所得利润最大？
总结　利用图解法解决线性规划实际问题，要注意合理利用表格，处理繁杂的数据；另一方面约束条件要注意实际问题的要求，如果要求整点，则用逐步平移法验证．
变式训练1　某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．
知识点二　实际应用中的最优整数解问题
例2　要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：

A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
总结　在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，很可能是许多个，应具体情况具体分析．
变式训练2　某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是________．
1．解答线性规划的实际应用问题应注意的问题：
(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；
(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；
(3)结合实际问题，未知数x、y等是否有限制，如x、y为正整数、非负数等；
(4)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．
2．当可行域的边界顶点不是整点(横纵坐标均为整数)，则它不是最优整数解，此时必须在可行域内该点的附近调整为整点．常用调整方法有：
(1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标是最优整数解．
(2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得出最优解．
(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优整数解.
课时作业
一、选择题
1．若实数x，y满足则z＝x＋2y的最小值是(　　)
A．0 B. C．1 D．2
2.
如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z＝ax＋y (a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为(　　)
A. B.
C． 4 D.
3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为(　　)
A．36万元 B．31.2万元 C．30.4万元 D．24万元
4.
如图所示，目标函数z＝kx－y的可行域为四边形OABC，仅点B(3,2)是目标函数的最优解，则k的取值范围为(　　)
A.
B.
C.
D.
题　号
1
2
3
4
答　案
二、填空题
5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
6．已知平面区域D由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域D上有无穷多个点(x，y)可使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝________.
三、解答题
7．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
8．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用一张A种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用一张B种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A、B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？
3．3.2　简单的线性规划问题(二)
自主探究
A　[－＝＝，∴a＝－3.
结论：当目标函数对应的直线经过可行域的一条边界时，最优解可能有无数多个．]
对点讲练
例1　解　由题意可画表格如下：
方木料(m3)
五合板(m2)
利润(元)
书桌(个)
0.1
2
80
书橱(个)
0.2
1
120
(1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，则??x≤300.
所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24 000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．
(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，
则??y≤450.
所以当y＝450时，zmax＝120×450＝54 000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．
(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则?

z＝80x＋120y.
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．
作直线l：80x＋120y＝0，即直线l：2x＋3y＝0.
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值．
由
解得点M的坐标为(100,400)．
所以当x＝100，y＝400时，
zmax＝80×100＋120×400＝56 000(元)．
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．
变式训练1　20　24
解析　
设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元，
依题意约束条件为：

目标函数为S＝7x＋12y
从图中可以看出，当直线S＝7x＋12y经过点A时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值．
解方程组
得A(20,24)，故当x＝20，y＝24时，Smax＝7×20＋12×24＝428(万元)．
例2　解　设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张．
.
作出可行域(如图)：(阴影部分)
目标函数为z＝x＋y
作出一组平行直线x＋y＝t，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x＋3y＝27和直线2x＋y＝15的交点A，直线方程为x＋y＝.
由于和都不是整数，而最优解(x，y)中，x，y必须都是整数，所以可行域内点不是最优解．
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解．
答　要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．
变式训练2　90
解析　
该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x，y∈N*，计算区域内与点最近的整点为(5,4)，当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.
课时作业
1．A
2．B　[由y＝－ax＋z知当－a＝kAC时，最优解有无穷多个．∵kAC＝－，∴a＝.]
3．B　[设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，
可获得利润为z万元，则
z＝0.4x＋0.6y.
由图象知，目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．
∴ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．]
4．C　[y＝kx－z.若k>0，则目标函数的最优解是点A(4,0)或点C(0，4)，不符合题意．
∴k<0，∵只有点(3,2)是目标函数的最优解．
∴kAB5．2 300
解析　设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则
目标函数为z＝200x＋300y.
作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2 300元．
6．1
解析　如图所示，目标函数可化为y＝－x＋，
若m>0，则z的最小值对应截距的最小值，可知m＝1，满足题意；
若m<0，则z的最小值对应截距的最大值，m＝－1及－2均不合题意．
7．解　设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．
解方程组
得x＝4，y＝6，此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
∵7>0，∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．
答　投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
8．解　设A、B两种金属板各取x张、y张，用料面积为z，则约束条件为
目标函数z＝2x＋3y.
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如下图所示．
z＝2x＋3y变为y＝－x＋，得斜率为－，在y轴上的截距为.
当直线z＝2x＋3y过可行域上的点M时，截距最小，z最小．解方程组得M点的坐标为(5,5)．
此时zmin＝2×5＋3×5＝25(m2)．
因此，两种金属板各取5张时，用料面积最省．
3.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
材拓展
1．二元一次不等式(组)表示平面区域
(1)直角坐标平面内的一条直线Ax＋By＋C＝0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧的点集和直线上的点集．
(2)若点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)在直线l：Ax＋By＋C＝0的同侧(或异侧)，则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号(或异号)．
(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
2．画二元一次不等式表示的平面区域常
采用“直线定界，特殊点定域”的方法
(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线．
(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点．当C＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．
3．补充判定二元一次不等式表示的区域
的一种方法
先证一个结论
已知点P(x1，y1)不在直线l：Ax＋By＋C＝0 (B≠0)上，证明：
(1)P在l上方的充要条件是B(Ax1＋By1＋C)>0；
(2)P在l下方的充要条件是B(Ax1＋By1＋C)<0.
证明　(1)∵B≠0，
∴直线方程化为y＝－x－，
∵P(x1，y1)在直线上方，
∴对同一个横坐标x1，直线上点的纵坐标小于y1，
即y1>－x1－.(*)
∵B2>0，
∴两端乘以B2，(*)等价于B2y1>(－Ax1－C)B，
即B(Ax1＋By1＋C)>0.
(2)同理，由点P在l下方，
可得y1<－x1－，从而得B2y1<(－Ax1－C)B，
移项整理为B(Ax1＋By1＋C)<0.
∵上述解答过程可逆，
∴P在l上方?B(Ax1＋By1＋C)>0，
P在l下方?B(Ax1＋By1＋C)<0.
从而得出下列结论：
(1)B>0时，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的平面区域(不包括直线)，而Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的平面区域(不包括直线)．
(2)B<0时，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域(不包括直线)，而二元一次不等式Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的平面区域(不包括直线)．
(3)B＝0且A>0时，Ax＋C>0表示直线Ax＋C＝0右方的平面区域(不包括直线)，Ax＋C<0表示直线Ax＋C＝0左方的平面区域(不包括直线)．
(4)B＝0且A<0时，Ax＋C>0表示直线Ax＋C＝0左方的平面区域(不包括直线)，Ax＋C<0表示直线Ax＋C＝0右方的平面区域(不包括直线)．
法突破
一、二元一次不等式组表示的平面区域
方法链接：只要准确找出每个不等式所表示的平面区域，然后取出它们的重叠部分，就可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域．
例1　在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为(　　)
A．2 B．1
C. D.
解析　
答案　B
二、平面区域所表示的二元一次不等式(组)
方法链接：由平面区域确定不等式时，我们可以选用特殊点进行判断，把特殊点代入直线方程Ax＋By＋C＝0，根据代数式Ax＋By＋C的符号写出对应的不等式，根据是否包含边界来调整符号．
例2　如图所示，四条直线x＋y－2＝0，x－y－1＝0，x＋2y＋2＝0,3x－y＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组____________表示．
解析　(0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线x＋y－2＝0的同侧，把(0,0)代入到x＋y－2，得0＋0－2<0，所以直线x＋y－2＝0对应的不等式为x＋y－2<0，
同理可得到其他三个相应的不等式为x＋2y＋2>0,3x－y＋3>0，x－y－1<0，
则可得所求不等式组为
三、和平面区域有关的非线性问题
方法链接：若目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关．
若目标函数为形如z＝，可考虑(a，b)与(x，y)两点连线的斜率．
若目标函数为形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y)与(a，b)两点距离的平方．
例3　(2009·山东济宁模拟)已知点P(x，y)满足
点Q(x，y)在圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝1上，则|PQ|的最大值与最小值为(　　)
A．6,3 B．6,2 C．5,3 D．5,2
解析　
可行域如图阴影部分，设|PQ|＝d，则由图中圆心C(－2，－2)到直线4x＋3y－1＝0的距离最小，则到点A距离最大．
由得(－2,3)．
∴dmax＝|CA|＋1＝5＋1＝6，
dmin＝－1＝2.
答案　B
四、简单的线性规划问题
方法链接：线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数z＝ax＋by (ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
例4　某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？
解　依题意设每星期生产x把椅子，y张书桌，
那么利润p＝15x＋20y.
其中x，y满足限制条件.
即点(x，y)的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x＋8y＝8 000(即AB)，2x＋y＝1 300(即BC)，x＝0(即OA)和y＝0(即OC)．
对于某一个确定的p＝p0满足p0＝15x＋20y，且点(x，y)属于阴影部分的解x，y就是一个能获得p0元利润的生产方案．
对于不同的p，p＝15x＋20y表示一组斜率为－的平行线，且p越大，相应的直线位置越高；p越小，相应的直线位置越低．按题意，要求p的最大值，需把直线p＝15x＋20y尽量地往上平移，又考虑到x，y的允许范围，当直线通过B点时，处在这组平行线的最高位置，此时p取最大值．
由，得B(200,900)，
当x＝200，y＝900时，p取最大值，
即pmax＝15×200＋20×900＝21 000，
即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元．
区突破
1．忽略截距与目标函数值的关系而致错
例1　设E为平面上以A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z＝4x－3y的最大值与最小值．
[错解]　
把目标函数z＝4x－3y化为y＝x－z.
根据条件画出图形如图所示，
当动直线y＝x－z通过点C时，z取最大值；
当动直线y＝x－z通过点B时，z取最小值．
∴zmin＝4×(－1)－3×(－6)＝14；
zmax＝4×(－3)－3×2＝－18.
[点拨]　直线y＝x－z的截距是－z，当截距－z最大即过点C时，目标函数值z最小；而当截距－z最小即过点B时，目标函数值z最大．此处容易出错．
[正解]　把目标函数z＝4x－3y化为y＝x－z.
当动直线y＝x－z通过点B时，z取最大值；
当动直线y＝x－z通过点C时，z取最小值．
∴zmax＝4×(－1)－3×(－6)＝14；
zmin＝4×(－3)－3×2＝－18.
2．最优整数解判断不准而致错
例2　设变量x，y满足条件
求S＝5x＋4y的最大值．
[错解]　依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x、y为整数的条件，则当直线5x＋4y＝S过点A时，S＝5x＋4y取最大值，Smax＝18 .
因为x、y为整数，所以当直线5x＋4y＝t平行移动时，从点A起通过的可行域中的整点是C(1,2)，此时Smax＝13.
[点拨]　上述错误是把C(1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有一个整点B(2,1)，此时S＝14才是最大值．
[正解]　依据已知条件作出图形如图所示，因为B(2，1)也是可行域内的整点，由此得SB＝2×5＋1×4＝14，由于14>13，故Smax＝14.

题多解
例　某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有(　　)
A．5种　　　B．6种　　　C．7种　　　D．8种
解析　方法一　由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种选购方式；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种选购方式；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种选购方式，故共有1＋2＋4＝7(种)不同的选购方式．
方法二　先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘，再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿方法一可知选C.
方法三　设购买软件x片，磁盘y盒．
则，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．
落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．
答案　C
题赏析
1．(2011·浙江)设实数x，y满足不等式组且x，y为整数，则3x＋4y的最小值是(　　)
A．14 B．16
C．17 D．19
解析　作出可行域，如图中阴影部分所示，点(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故3x＋4y的最小值是3×4＋4×1＝16.
答案　B
2．(2009·烟台调研)若x，y满足约束条件，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是(　　)
A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)
解析　
作出可行域如图所示，直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，
即－4答案　B
赏析　本题考查线性规划的基本知识，要利用好数形结合．
§3.4　基本不等式：≤
材拓展
1．一个常用的基本不等式链
设a>0，b>0，则有：
min{a，b}≤≤ ≤≤ ≤max{a，b}，
当且仅当a＝b时，所有等号成立．
若a>b>0，则有：
b<<<< 2．基本不等式的拓展
(1)a，b∈R，都有ab≤≤成立．
(2)a2＋b2≥2ab可以加强为a2＋b2≥2|a|·|b|，当且仅当|a|＝|b|时取等号．
(3)a，b，c∈R，都有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca成立．
(4)若ab>0，则＋≥2.
3．利用基本不等式求最值的法则
基本不等式≤ (a，b为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值．
(1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即ab≤2，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立．
注意：利用基本不等式求代数式最值，要注意满足三个条件：①两个正数；②两个正数的积或和为定值；③取最值时，等号能成立．概括为“一正、二定(值)、三相等”．
4．函数f(x)＝x＋ (k>0)的单调性在求最值中的应用
有些最值问题由于条件的限制使等号取不到，其最值又确实存在，我们可以利用函数f(x)＝x＋ (k>0)的单调性加以解决．
利用函数单调性的定义可以证明函数f(x)＝x＋ (k>0)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．
因为函数f(x)＝x＋ (k>0)是奇函数，所以f(x)＝x＋ (k>0)在(－∞，－]上为增函数，在[－，0)上为减函数．
函数f(x)＝x＋ (k>0)在定义域上的单调性如右图所示．
例如：求函数f(x)＝sin2x＋，x∈(0，π)的最小值．
解　令t＝sin2x，x∈(0，π)，g(t)＝t＋.
t∈(0,1]，易知g(t)在(0,1]上为单调递减函数，
所以当t＝1时，g(t)min＝6.
即sin x＝1，x＝时，f(x)min＝6.
法突破
一、利用基本不等式求最值
方法链接：基本不等式是求函数最值的有利工具，在使用基本不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”．不要仅仅关注结构上的定值，而忽略对相等条件的考察．
例1　求函数y＝的最大值．
解　设t＝，从而x＝t2－2(t≥0)，
则y＝.
当t＝0时，y＝0；
当t>0时，y＝≤＝.
当且仅当2t＝，
即t＝时等号成立．
即当x＝－时，ymax＝.
二、利用基本不等式解恒成立问题
方法链接：含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最值问题．a>f(x)恒成立?a>[f(x)]max，a例2　已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，2－1)
C．(－1,2－1) D．(－2－1,2－1)
解析　由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，
解得k＋1<3x＋，
而3x＋≥2，
∴k＋1<2，k<2－1.
答案　B
三、利用基本不等式证明不等式
方法链接：证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在论证对称不等式时具有一定的普遍性．
例3　已知a>2，求证：loga(a－1)·loga(a＋1)<1.
证明　因为a>2，所以loga(a－1)>0，loga(a＋1)>0.
又loga(a－1)≠loga(a＋1)，
所以
<
＝loga(a2－1)<logaa2＝1.
所以loga(a－1)loga(a＋1)<1.
四、基本不等式的实际应用方法链接：应用基本不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围．
例4　某公司计划用一块土地建造一幢总面积为A m2的办公大楼，已知征地的费用是2 388元/m2，每层的建筑面积相同，土地的征用面积是每层面积的2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建设费用相同，费用为445元/m2，以后每增高一层，建筑费用就增加30元/m2，试设计这幢办公楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用．(总费用＝建筑费用＋征地费用)
解　设建造这幢办公楼的楼层数为n，总费用为y元，
当n＝1时，y＝2.5·A·2 388＋445A＝6 415A(元)，
当n＝2时，y＝2.5··2 388＋445A＝3 430A(元)，
当n≥3时，y＝2.5··2 388＋445·＋(445＋30)·＋(445＋60)·＋…＋[445＋30(n－2)]·＝6 000·＋15nA＋400A
≥2A＋400A
＝1 000A(元)(当且仅当n＝20时取等号)．
即n＝20时，有最小值1 000A元，所以，当建造这幢办公楼的楼层数为20时，总费用最少，为1 000A元．
区突破
1．忽略应用基本不等式的前提条件而致错
例1　求f(x)＝2＋log2 x＋(0[错解]　f(x)＝2＋log2 x＋
≥2＋2＝2＋2.
∴f(x)min＝2＋2.
这实际是一个错解，错在哪里？请你找出来．
[点拨]　∵0[正解]　∵0∴(－log2 x)>0，>0.
∴(－log2 x)＋
≥2 ＝2.
∴log2x＋≤－2.
∴f(x)＝2＋log2 x＋≤2－2.
当且仅当log2 x＝时，即x＝2－时取等号．
∴f(x)max＝2－2.
2．忽略等号成立的条件而致错
例2　已知m2＋n2＝a，x2＋y2＝b (a、b为大于0的常数且a≠b)，求mx＋ny的最大值．
[错解]　∵mx≤，ny≤，
∴mx＋ny≤＋
＝＝.
当且仅当m＝x，n＝y时取“＝”．
[点拨]　如果m＝x，n＝y，则会有m2＋n2＝x2＋y2＝a＝b，这与条件“a≠b”矛盾，如果m＝x，n＝y中有一个不成立，则“＝”取不到，则不满足使用基本不等式的条件．
[正解]　利用三角代换可避免上述问题．
∵m2＋n2＝a，
∴设 (α∈[0,2π))，
∵x2＋y2＝b，
∴设(β∈[0,2π))
∴mx＋ny＝cos αcos β＋sin αsin β
＝(cos αcos β＋sin αsin β)
＝cos(α－β)≤
∴(mx＋ny)max＝，
当且仅当cos(α－β)＝1，α＝β时取“＝”．
3．两次利用基本不等式而致错
例3　已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，求＋的最小值．
[错解]　因为x>0，y>0，且x＋2y＝1，
＋＝(x＋2y)
≥2×2＝4.
所以＋的最小值为4.
[点拨]　上述解答是错误的，错因是连续两次使用基本不等式解题忽视了等号成立的一致性．
[正解]　因为x>0，y>0，且x＋2y＝1，
所以＋＝＋＝1＋2＋＋
≥3＋2＝3＋2.
当且仅当＝且x＋2y＝1，
即x＝－1，y＝1－时，取得等号．
所以＋的最小值为3＋2.

题多解
例　若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围.
解　方法一　把代数式ab转化为a(或b)的函数．
∵ab＝a＋b＋3，∴b＝
∵b>0，∴a>1.
∴ab＝＝
＝
＝(a－1)＋＋5
∵a>1，∴a－1>0，
∴(a－1)＋≥2＝4.
∴ab≥9，当且仅当a－1＝，
即a＝3，b＝3时，取“＝”．
方法二　利用基本不等式a＋b≥2，把a＋b转化为ab，再求ab的范围．
∵a＋b≥2，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3.
∴ab－2－3≥0，
∴(－3)(＋1)≥0.
∴≥3，∴ab≥9，
从以上过程可以看出：当且仅当a＝b＝3时，取“＝”．
方法三　把a，b视为一元二次方程x2＋(3－ab)x＋ab＝0的两个根，那么该方程应有两个正根．
所以有：
其中由Δ＝(3－ab)2－4ab＝a2b2－10ab＋9
＝(ab－9)(ab－1)≥0，解得ab≥9或ab≤1.
∵x1＋x2＝ab－3>0，∴ab≥9.
又ab＝a＋b＋3，∴a＋b＝6，
∴当且仅当a＝b＝3时取“＝”．
题赏析
1．(2011·重庆)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)
A. B．4 C. D．5
解析　∵a＋b＝2，∴＝1.
∴＋＝(＋)()＝＋(＋)≥＋2＝(当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝＋的最小值为.
答案　C
2．(2009·天津)设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．8 B．4 C．1 D.
解析　由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，所以a＋b＝1.
因为a>0，b>0，
所以＋＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b时，等号成立．
答案　B
赏析　本题考查了等比中项的概念、基本不等式，解答本题时要注意等号成立的条件是否具备，防止最小值取不到．
3.4　基本不等式：≤(一)
自主学习
知识梳理
1．如果a，b∈R，那么a2＋b2________2ab(当且仅当________时取“＝”号)．
2．若a，b都为________数，那么________(当且仅当a________b时，等号成立)，称上述不等式为________不等式，其中________称为a，b的算术平均数，________称为a，b的几何平均数．
3．基本不等式的常用推论
(1)ab≤2≤ (a，b∈R)；
(2)当x>0时，x＋≥________；
当x<0时，x＋≤________.
(3)当ab>0时，＋≥________；
当ab<0时，＋≤________.
(4)a2＋b2＋c2________ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．
自主探究
1.
下面是基本不等式≤的一种几何解释，请你补充完整．
如图所示，AB为⊙O的直径，AC＝a，CB＝b，过点C作CD⊥AB交⊙O上半圆于D，连结AD，BD.由射影定理可知，CD＝____________，而OD＝____________，因为OD________CD，所以________，当且仅当C与O________，即________时，等号成立．
2．当a>0，b>0时，≤≤≤ 这是一条重要的基本不等式链，请你给出证明．
对点讲练
知识点一　利用基本不等式比较大小
例1　已知正数0A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b
总结　(1)大小比较除了用比较法，也可利用已知的不等式．(2)本题是选择题，因此也可以采用赋值法，取特殊值解决．
变式训练1　设0A. B．b C．2ab D．a2＋b2
知识点二　利用基本不等式证明不等式
例2　设a、b、c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
总结　在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．
变式训练2　已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.
求证：＋＋<＋＋.
知识点三　利用基本不等式解含参数问题
例3　a>b>c，n∈M且＋≥，求n的最大值．
总结　解决恒成立问题时，常用分离参数的方法求出参数的取值范围．
变式训练3　已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
1．设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，b中的较大的数，则有min(a，b)≤≤≤≤ ≤max(a，b)．当且仅当a＝b时，取到等号．
2．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．
一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝
b.

课时作业
一、选择题
1．已知a>0，b>0，则，， ，中最小的是(　　)
A. B. C. D.
2．已知m＝a＋ (a>2)，n＝(x<0)，则m、n之间的大小关系是(　　)
A．m>n B．m3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D.4．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为(　　)
A．0 B．－2 C．－ D．－3
5．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(　　)
A．ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
B．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
C．ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
D．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
题　号
1
2
3
4
5
答　案
二、填空题
6．若lg x＋lg y＝1，则＋的最小值为________．
7．若a<1，则a＋有最______值，为________．
8．设正数x，y满足＋≤a·恒成立，则a的最小值是______．
三、解答题
9．已知a、b、c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥.
10．已知x>y>0，xy＝1，求证：≥2.
§3.4　基本不等式：≤(一)
知识梳理
1．≥　a＝b
2．正　≥　＝　基本　　
3．(2)2　－2　(3)2　－2　(4)≥
自主探究
1.　　≥　≥　重合　a＝b
2．证明　由于≤成立，
只须证明≥和 ≥成立即可．
∵－＝－＝
＝＝≥0
∴ ≥，即≤.
∵2－2＝－
＝＝
＝≥0.
∴ ≥，即≤ .
所以≤ ≤≤ .
对点讲练
例1　D　[因为a、b∈(0,1)，a≠b，所以a＋b>2，a2＋b2>2ab，所以，最大的只能是a2＋b2与a＋b之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0变式训练1　B　[∵ab<2，∴ab<，∴2ab<.
∵>>0，
∴ >，
∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．]
例2　证明　∵a、b、c都是正数，∴、、也都是正数．
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
变式训练2　证明　∵＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2
∴2≥2(＋＋)，
即＋＋≥＋＋.
∵a，b，c不全相等，∴＋＋<＋＋.
例3　解　方法一　∵＋≥，且a>b>c.
∴n≤＋＝
∵对a、b、c上式都成立，∴n≤min
≥＝4.
∴n≤4，∴n的最大值为4.
方法二　∵a>b>c，
∴＋＝＋
＝2＋＋≥2＋2＝4.
∴n≤4，∴n的最大值为4.
变式训练3　C　[只需求(x＋y)的最小值大于等于9即可，
又(x＋y)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2 ＝a＋2 ＋1，等号成立仅当a·＝即可，所以()2＋2 ＋1≥9，
即()2＋2 －8≥0求得≥2或≤－4(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4.]
课时作业
1．D　[方法一　特殊值法．
令a＝4，b＝2，则＝3，＝，
＝，＝.∴最小．
方法二　＝，由≤≤≤ .可知最小．]
2．A　[∵m＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，n＝22－x2<22＝4.∴m>n.]
3．B　[∵ab≤2，a≠b，∴ab<1，
又∵>＝1，
∴>1，∴ab<1<.]
4．B　[x2＋ax＋1≥0在x∈上恒成立
?ax≥－x2－1?a≥max
∵x＋≥2，∴－≤－2，∴a≥－2.]
5．A　[∵a＋b≥2，∴ab≤2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号．
c＋d≥2，∴c＋d≥2＝4，当且仅当c＝d＝2时取等号．
故c＋d≥ab，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时取等号．]
6．2
解析　∵lg x＋lg y＝1，∴xy＝10，
∴＋＝＋≥2.
7．大　－1
解析　∵a<1，∴a－1<0，
∴－＝(1－a)＋≥2，
∴a－1＋≤－2，∴a＋≤－1.
8.
解析　由已知a≥max，
∵≤ 成立，∴＋≤·
∴max＝，∴a≥.
9．证明　∵a2＋b2≥2ab①
b2＋c2≥2bc②
c2＋a2≥2ac③
a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋c2④
由①＋②＋③＋④得：
3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2
即a2＋b2＋c2≥.
10．证明　∵xy＝1
∴＝＝
＝(x－y)＋≥2＝2.
当且仅当，即时取等号．
3.4　基本不等式：≤(二)
自主学习
知识梳理
1．设x，y为正实数
(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当________时，积xy有最________值为________．
(2)若xy＝p(积p为定值)，则当________时，和x＋y有最________值为________．
2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：
(1)x，y必须是________；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为________；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为________．
(3)等号成立的条件是否满足．
利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．
自主探究
请探究函数y＝x＋(a>0)在x∈(0，＋∞)上的单调性．并利用该类函数的单调性求函数y＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值．
对点讲练
知识点一　利用基本不等式求函数的最值
例1　已知x≥，则f(x)＝有(　　)
A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
总结　本题看似无法使用基本不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用基本不等式的条件．
变式训练1　已知x<，求函数f(x)＝4x－2＋的最大值．
知识点二　利用基本不等式求代数式的最值
例2　已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
总结　利用基本不等式求代数式的最值时，经常要对代数式进行变形，配凑出基本不等式满足的条件，同时要注意考察等号成立的条件．
变式训练2　已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3.求a＋b的最小值．
知识点三　基本不等式的实际应用
例3　如图所示，
动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
总结　涉及不等式的应用时，要首先建立函数关系式，适时巧用基本不等式求其最值．
变式训练3　甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？
1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．
2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．
3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含
义.
课时作业
一、选择题
1．函数y＝log2 (x>1)的最小值为(　　)
A．－3 B．3 C．4 D．－4
2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．16 D．不存在
3．若xy是正数，则2＋2的最小值是(　　)
A．3 B. C．4 D.
4．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有(　　)
A．2∈M,0∈M B．2?M,0?M
C．2∈M,0?M D．2?M,0∈M
题　号
1
2
3
4
答　案
二、填空题
5．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
6．函数y＝loga(x＋3)－1 (a>0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
7．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为______．
三、解答题
8．求下列函数的最小值．
(1)设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值；
(2)设x>－1，求y＝的最小值．
9．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?
§3.4　基本不等式：≤(二)
知识梳理
1．(1)x＝y　大　　(2)x＝y　小　2
2．(1)正数　(2)定值　定值
自主探究
证明　当x∈(0，＋∞)时，设x1则y1－y2＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋
＝.
∴当x1、x2∈(0，)时，y1－y2>0，即y1>y2；
当x1、x2∈(，＋∞)时，y1－y2<0，即y1∴y在(0，)上是减函数，在(，＋∞)上是增函数．
若求y＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值．可令t＝sin x∈(0，1]，则y＝t＋在t∈(0,1]上是减函数．∴y≥5，当t＝1，即sin x＝1，x＝时取“＝”．
对点讲练
例1　D　[f(x)＝＝
＝≥1.
当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．]
变式训练1　解　因为x<，所以5－4x>0，
所以f(x)＝4x－2＋
＝－＋3
≤－2＋3＝－2＋3＝1
当5－4x＝，即x＝1时，f(x)max＝1.
例2　解　方法一　∵＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.
∵x>0，y>0，∴＋≥2＝6.
当且仅当＝，即y＝3x时，取等号．
又＋＝1，∴x＝4，y＝12.
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
方法二　由＋＝1，得x＝，
∵x>0，y>0，∴y>9.
x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1
＝(y－9)＋＋10.
∵y>9，∴y－9>0，∴y－9＋＋10
≥2＋10＝16，
当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号．
又＋＝1，则x＝4，
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
变式训练2　解　方法一　∵a＋b＋3＝ab≤，设a＋b＝t，t>0，则t2≥4t＋12.
解得：t≥6 (t≤－2舍去)，∴(a＋b)min＝6.
方法二　∵ab＝a＋b＋3，∴b＝>0，∴a>1.
∴a＋b＝a＋＝a＋＋1＝(a－1)＋＋2
≥2＋2＝6.
当且仅当a－1＝，即a＝3时，取等号．
例3　解　(1)设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
方法一　由于2x＋3y≥2＝2，
∴2≤18，得xy≤，
即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．
方法二　由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，∴0S＝xy＝y＝(6－y)·y.
∵00，
∴S≤·2＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，
此时x＝4.5.
(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，
则l＝4x＋6y.
方法一　∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由　解得
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
方法二　由xy＝24，得x＝.
∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48.
当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
变式训练3　解　设路程为s，跑步速度为v1，步行速度为v2，
t甲＝＋＝
s＝·v1＋·v2?t乙＝，
∴＝≥＝1.
∴t甲≥t乙，当且仅当v1＝v2时“＝”成立．
由实际情况知v1>v2，∴t甲>t乙．∴乙先到教室．
课时作业
1．B
2．B　[∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.
∴2x＋4y≥2＝2＝4.]
3．C　[2＋2
＝x2＋y2＋＋＋
＝＋＋
≥1＋1＋2＝4.
当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．]
4．A　[∵(1＋k2)x≤k4＋4，∴x≤.
∵＝
＝(1＋k2)＋－2≥2－2.
∴x≤2－2，M＝{x|x≤2－2}，
∴2∈M,0∈M.]
5．1 760
解析　设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m．那么
y＝120·4＋2·80·
＝480＋320
≥480＋320·2＝1 760(元)．
当x＝2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．
6．8
解析　∵A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，
∴－2m－n＋1＝0，
即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0.
＋＝＋＝2＋＋＋2
≥4＋2·＝8.
当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．
故＋的最小值为8.
7.
解析　设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，则＋1＝a＋b＋≥2＋，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为.
8．解　(1)2x＋y＝＝(2x＋y)
＝≥(2＋4)＝.
当且仅当＝时取“＝”，即y2＝4x2，∴y＝2x.
又∵＋＝3，求出x＝，y＝.
∴2x＋y的最小值为.
(2)∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝＝＝t＋＋5
≥2＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，函数y＝取得最小值为9.
9．解　设使用x年的年平均费用为y万元．由已知，得y＝，
即y＝1＋＋(x∈N*)．
由基本不等式知y≥1＋2 ＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．
本章回顾
识结构
点回放
1．不等式的基本性质
(1)比较两个实数的大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a0，则>1?a>b；＝1?a＝b；<1?a(2)不等式的性质
①对称性：a>b?b②传递性：a>b，b>c?a>c；
③加法法则：a>b?a＋c>b＋c；
④移项法则：a＋b>c?a>c－b；
⑤同向可加性：a>b，c>d?a＋c>b＋d；
⑥乘法法则：a>b，c>0?ac>bc或a>b，c<0?ac⑦同向正数不等式可乘性：
a>b>0，c>d>0?ac>bd；
⑧乘方法则：a>b>0，n∈N*?an>bn；
⑨开方法则：a>b>0，n∈N*?>.
2．不等式的解法
(1)一元一次不等式的解法
一元一次不等式ax＋b>0 (a≠0)的解集为
①当a>0时，；
②当a<0时，.
(2)一元二次不等式的一般形式为
ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0 (a≠0)．
一元二次不等式、一元二次方程及二次函数间的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0
有两不等实根x1，x2(x1有两相等实根x1＝x2
无实根
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠
－}
R
不等式ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1?
?
3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的平面区域(半平面)且不含边界直线；不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包含边界直线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值的符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)，而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0(或Ax＋By＋C>0)．
(3)判断不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域，可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax＋By＋C的符号的正负．当C≠0时，常选用原点(0,0)；当C＝0时，选用点(1,0)或(0,1)．这种方法概括为“直线定边界，特殊点定区域”．
4．基本不等式及常用变形
(1)对于任意实数a、b，都有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)如果a≥0，b≥0，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)设a，b为正实数，则有：
min{a，b}≤≤ ≤≤ ≤max{a，b}．
(4)若ab>0，则＋≥2.
(5)a，b∈R，都有ab≤≤成立．
(6)a，b，c∈R，都有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
想方法
一、分类讨论思想在解含参数不等式中的应用
例1　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
分析　先求出相应方程的根，再就两根的大小进行讨论．
解　原不等式可化为(x－1)(ax－1)<0.
(1)当a＝0时，原不等式化为－x＋1<0，∴x>1，
所以原不等式的解集为{x|x>1}；
(2)当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，
又<0，∴x<或x>1，
所以原不等式的解集为；
(3)当a>0时，原不等式化为(x－1)<0，
对应方程(x－1)＝0的两根为1和.
①当01，∴1②当a＝1时，原不等式可化为(x－1)2<0，无解；
③当a>1时，<1，∴综上所述，当a<0时，原不等式的解集为
；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，原不等式的解集为?；
当a>1时，原不等式的解集为.
二、数形结合思想在线性规划中的应用
例2　已知实数x，y满足
(1)若z＝2x＋y，求z的最大值和最小值；
(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值；
(3)若z＝，求z的最大值和最小值．
分析　表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率．
解　
不等式组
表示的平面区域
如图所示．
图中阴影部分即为可行域．
由
得　∴A(1,2)；
由得　∴B(2,1)；
由得　∴M(2,3)．
(1)∵z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，
当直线y＝－2x＋z经过可行域内点M(2,3)时，直线在y轴上的截距最大，此时z也最大，zmax＝2×2＋3＝7.
当直线y＝－2x＋z经过可行域内点A(1,2)时，
直线在y轴上的截距最小，此时z也最小，zmin＝2×1＋2＝4.
所以z的最大值为7，最小值为4.
(2)过原点(0,0)作直线l垂直直线x＋y－3＝0，垂足为N，
则直线l的方程为y＝x，
由　得　∴N，
点N在线段AB上，也在可行域内．
此时可行域内点M到原点的距离最大，点N到原点的距离最小．
又OM＝，ON＝ ，
即 ≤≤.
∴≤x2＋y2≤13，
所以，z的最大值为13，最小值为.
(3)∵kOA＝2，kOB＝，
∴≤≤2，
所以z的最大值为2，最小值为.
三、分离参数在恒成立问题中的应用
例3　设函数f(x)＝lg ，其中a∈R，n∈N*且n≥2，如果当x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，求a的取值范围．
解　由题意知，当x∈(－∞，1]时，
1＋2x＋3x＋…＋(n－1)x＋nx·a>0恒成立(n∈N*且n≥2)．
所以a>－，
令g(x)＝－，
因为函数y＝－x (1≤k≤n－1)在(－∞，1]上递增，所以g(x)在(－∞，1]上递增，
所以g(x)≤g(1)＝－
＝－(n－1)，所以a>－(n－1)即为所求．
例4　若关于x的方程4x＋a·2x＋a＋1＝0有实数解，求实数a的取值范围．
解　令2x＝t>0，换元后转化为一元二次方程在(0，＋∞)上有实数解．求a的范围，另外若将参数a分离出来，则问题转化为求函数值域问题，用基本不等式很容易求解．
令2x＝t>0，原方程化为t2＋at＋a＋1＝0
∴a＝－＝－＝－
＝－≤－2＋2＝2－2.
∴a的取值范围是a≤－2.
四、函数单调性在求最值中的应用
例5　已知a，b为正实数，且a＋b＝1，求y＝的最小值．
解　y＝
＝ab＋＋＋
＝ab＋＋
＝ab＋＋
＝ab＋－2.
令ab＝t，∵a＋b＝1，∴ab≤＝.
∴t∈，∵y＝ab＋－2＝t＋－2
在上单调递减，∴ymin＝＋8－2＝.
当且仅当t＝，ab＝，即a＝b＝时取“＝”．
例6　(综合应用)
某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
分析　首先把造价表示为某一变量的函数，再利用基本不等式、函数单调性等知识求出最小值．
解　设污水处理池的长为x m，则宽为 m，再设总造价为y元，则有
(1)y＝2x×400＋×2×400＋248×2×＋80×200
＝800x＋＋16 000≥2
＋16 000＝2×800×18＋16 000＝44 800，
当且仅当800x＝，即x＝18 m时，y取得最小值．
∴当污水池的长为18 m，宽为 m时总造价最低，
为44 800元．
(2)∵0∴12.5≤x≤16，x≠18，
∴不能用基本不等式，但我们可用函数单调性定义证明上述目标函数在区间[12.5,16]上是减函数，从而利用单调性求得最小值．
由(1)知，y＝φ(x)＝800＋16 000 (12.5≤x≤16)．
对任意x1、x2∈[12.5,16]，设x1则φ(x1)－φ(x2)＝800
＝>0.
∴φ(x1)>φ(x2)，
故y＝φ(x)在[12.5,16]上为减函数．
从而有φ(x)≥φ(16)＝45 000，
∴当污水池的长度为16 m，宽为12.5 m时有最低总造价，最低总造价为45 000元．
五、放缩法在证明不等式中的应用
例7　(竞赛竞技题)已知0loga(ax＋ay)≤loga2＋.
证明　∵0∴左边＝loga(ax＋ay)≤loga(2)
＝loga2＋logaa＝loga2＋(x＋y)
＝loga2＋(x－x2)
＝loga2＋－2
≤loga2＋＝右边
∴loga(ax＋ay)≤loga2＋.
六、比较法在证明不等式中的应用
例8　(竞赛竞技题)如果a2＋b2＋c2＝1，a，b，c是实数，试证：－≤ab＋bc＋ca≤1.
证明　先证：ab＋bc＋ca≤1
∵1－(ab＋bc＋ca)
＝(a2＋b2＋c2)－(ab＋bc＋ca)
＝[(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)]
＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0
∴1≥ab＋bc＋ca即ab＋bc＋ca≤1.
再证：ab＋bc＋ca≥－.
∵ab＋bc＋ca－＝ab＋bc＋ca＋
＝ab＋bc＋ca＋
＝(a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca)＝(a＋b＋c)2≥0.
∴ab＋bc＋ca≥－.即－≤ab＋bc＋ca
综上所述，－≤ab＋bc＋ca≤1.
思妙解
1．灵活拆项求函数最值
例1　求函数y＝的最小值．
解　y＝＝＋
＝＋－.
∵＋≥2＝4.
当且仅当＝，即x＝0时，取到最小值4.
因为－≥，
当x＝0时，－取到最小值－.
所以，ymin＝4－＝.
当且仅当x＝0时取到这一最小值．
2．分数的小性质有着大用途
例2　求证：···…·<.
证明　由真分数的性质知：
<<<<<<…<<
设A＝···…··
B＝···…··
易知：0即2
<·
∴2
<·····…···
即2<<
∴···…·<.
3．利用一次函数的保号性证明不等式
例3　设|a|<1，|b|<1，|c|<1，
求证：ab＋bc＋ca＋1>0.
证明　设f(x)＝(a＋b)x＋ab＋1
当x∈(－1,1)时，f(x)>0恒成立
?f(－1)>0且f(1)>0
∵f(－1)＝ab＋1－a－b＝(a－1)(b－1)>0
且f(1)＝a＋b＋ab＋1＝(a＋1)(b＋1)>0
∴当x∈(－1,1)时，f(x)＝(a＋b)x＋ab＋1>0恒成立．
∵c∈(－1,1)，∴f(c)＝ac＋bc＋ab＋1>0成立．
即ab＋bc＋ca＋1>0成立．
章末整合
知识概览
对点讲练
知识点一　一元二次不等式的解集
例1　已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
(1)求a，b；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
回顾归纳　(1)解含参数的不等式(x－a)(x－b)>0，要讨论a与b的大小再确定不等式的解．解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．
(2)应注意讨论ax2＋bx＋c>0的二次项系数a是否为零的情况．
(3)要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想，分类讨论要做到“不重”“不漏”“最简”的三原则．
变式训练1　解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.
知识点二　利用基本不等式求最值
例2　(1)设0(2)求＋a (a<4)的取值范围．
回顾归纳　利用基本不等式求函数最值，可利用条件对函数式进行转化，构造成基本不等式成立的形式．应用时应满足“一正、二定、三相等”特别是相等条件的运用，可同时求得取得最值时应满足的条件．
变式训练2　(1)求函数y＝ (x>－1)的最小值；
(2)已知：x>0，y>0且3x＋4y＝12.求lg x＋lg y的最大值及相应的x，y值．
知识点三　简单的线性规划
例3　已知x、y满足约束条件.
(1)求目标函数z＝2x－y的最大值和最小值；
(2)求z＝的取值范围．
回顾归纳　线性规划实质上是“数形结合”思想的一种体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来，是一种较为简捷的求最值的方法．
变式训练3　实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，求：
(1)点(a，b)对应的区域的面积；(2)的取值范围；(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域．
1．不等式的基本性质是比较大小、不等式性质的证明、不等式的证明、解不等式的主要依据．
2．不等式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0的解集就是使二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0或小于0时的x的取值范围，应结合一元二次函数的图象去理解一元二次不等式的解集，解集的端点即为相应方程的实根或相应函数的零点．
3．应用基本不等式时，要创设符合定理的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立.
课时作业
一、选择题
1．若a<0，b<－1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a>> B.>>a
C.>>a D.>a>
2．不等式组有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,3)
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3,1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
3．不等式≥2的解集是(　　)
A. B.
C.∪(1,3] D.∪(1,3]
4．向量＝(1,0)，＝(1,1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足条件，则点P的变化范围用阴影表示为(　　)
5．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为(　　)
A. B. C. D．4
题　号
1
2
3
4
5
答　案
二、填空题
6．若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A、B的大小关系为________．
7．函数y＝x(1－2x)(08．若正数a、b满足＋＝2，则a＋b的最小值为________．
三、解答题
9．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.
10．某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；
(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
章末整合
对点讲练
例1　解　(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.
由根与系数的关系，得解得
所以a＝1，b＝2.
(2)由(1)知不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2②当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为?.
综上，当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为?.
变式训练1　解　原不等式可化为(7x＋a)(8x－a)<0，
即<0.
①当－<，即a>0时，－②当－＝，即a＝0时，原不等式解集为?；
③当－>，即a<0时，综上知，当a>0时，原不等式的解集为
；
当a＝0时，原不等式的解集为?；
当a<0时，原不等式的解集为.
例2　解　(1)∵02>0，
∴y＝≤＝＝4，
当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号．
∴当x＝时，y＝有最大值4.
(2)当a<4时，a－4<0，
∴＋a＝＋(a－4)＋4
＝－＋4
≤－2＋4＝－2＋4，
当且仅当＝(4－a)，即a＝4－时，取等号．
∴＋a的取值范围是(－∞，－2＋4]．
变式训练2　解　(1)∵x>－1，∴x＋1>0.
∴y＝＝
＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝9.
当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立．
∴当x＝1时，函数y＝ (x>－1)的最小值为9.
(2)∵x>0，y>0，且3x＋4y＝12.
∴xy＝(3x)·(4y)≤2＝3.
∴lg x＋lg y＝lg xy≤lg 3.当且仅当3x＝4y＝6，
即x＝2，y＝时等号成立．
∴当x＝2，y＝时，lg x＋lg y取最大值lg 3.
例3　解　(1)作出不等式组表示的可行域如图：
作直线l：2x－y＝0，并平行移动使它过可行域内的B点，此时z有最大值；过可行域内的C点，此时z有最小值，
解，
得B(5,3)，
解，得C，
∴zmax＝2×5－3＝7，zmin＝2×1－＝－.
(2)D点坐标为(－5，－5)，由图可知，kBD≤z≤kCD，
∵kBD＝＝，kCD＝＝，
∴z＝的取值范围是.
变式训练3　解　(1)设f(x)＝x2＋ax＋2b，
由题意可得，即，
∴，
故a，b满足的约束条件为，画出约束条件的可行域如图阴影部分，
解，得A(－3,1)．
又B(－2,0)，C(－1,0)，故点(a，b)对应区域的面积S＝×1×1＝.
(2)可看作区域内点(a，b)与D(1,2)连线的斜率，由图知：kCD＝＝1，
kAD＝＝，∴<<1.
(3)(a－1)2＋(b－2)2可看作区域内点(a，b)到D(1,2)的距离d的平方，而由图知CD∵CD2＝(1＋1)2＋(2－0)2＝8，
AD2＝(1＋3)2＋(2－1)2＝17，∴8即(a－1)2＋(b－2)2的值域为(8,17)．
课时作业
1．C　[取a＝－2，b＝－2，则＝1，＝－，从而>>a.]
2．A　[不等式组即，若有解，
则a2＋1<2a＋4，解得－13．D　[易知x满足：x≠1且2(x－1)2≤x＋5，
解得－≤x≤3且x≠1.]
4．A　[∵＝(x，y)，
∴·＝x，·＝x＋y，
故P满足的条件为，
易得用阴影表示为A.]
5．A　[不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax＋by＝z(a>0，b>0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值12，
即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，
而＋＝(＋)·＝＋(＋)≥＋2＝.]
6．A解析　A－B＝(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)
＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0.
∴A7.
解析　0∴1－2x>0,2x>0.
∴y＝x(1－2x)＝·2x·(1－2x)
≤()2＝.
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，函数有最大值.
8.
解析　a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)×＝＋2＋＋≥＋2＋2＝，
当且仅当＝时取“＝”．
9．解　(1)由题意知1－a<0且－3和1是方程
(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
∴，解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0
即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>.
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为R，则b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6.
10．解　(1)设题中比例系数为k，若每批购入x台，则共需分批，每批价值20x.
由题意f(x)＝·4＋k·20x，由x＝4时，y＝52，得k＝＝.
∴f(x)＝＋4x (0≤x≤36，x∈N*)．
(2)由(1)知f(x)＝＋4x (0∴f(x)＝2＝48(元)．
当且仅当＝4x，即x＝6时，上式等号成立．
故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．
第三章 不等式　章末检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．原点和点(1,1)在直线x＋y＝a两侧，则a的取值范围是(　　)
A．a<0或a>2 B．0C．a＝0或a＝2 D．0≤a≤2
2．如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(　　)
A．a2>a>－a2>－a
B．－a>a2>－a2>a
C．－a>a2>a>－a2
D．a2>－a>a>－a2
3．不等式<的解集是(　　)
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(0,2)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
4．设0A．loga b＋logb a≥2
B．loga b＋logb a≥－2
C．loga b＋logb a≤－2
D．loga b＋logb a>2
5．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)，若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意实数x成立，则(　　)
A．－1C．－6．如果a>b，则下列不等式成立的个数为(　　)
①<；②a3>b3；③>；④2a>2b；⑤>1；⑥ac2<bc2；⑦lg(a2＋1)>lg(b2＋1)；
⑧若a>b且c>d，则lg(a－d)>lg(b－c)．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．若实数x，y满足条件目标函数z＝2x－y，则(　　)
A．zmax＝ B．zmax＝－1
C．zmax＝2 D．zmin＝0
8．下列不等式：①a2＋1>2a；②|x＋|≥2；③≤2 (a，b为正实数)；④x2＋≥1.其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
9．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为(　　)
A．2 B. C．1 D.
10．若正数a，b满足ab－(a＋b)＝1，则a＋b的最小值为(　　)
A．2＋2 B．2－2
C.＋2 D.－2
11．若不等式组的整数解只有－2，则k的取值范围是(　　)
A．－3≤k<2 B．－3C．k<－2 D．k≥－3
12．若a是1＋2b与1－2b的等比中项，则的最大值为(　　)
A. B. C. D.
题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答　案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．不等式<0的解集是________．
14．已知实数x，y满足则的范围为________．
15．函数f(x)＝(2－a2)x＋a在区间[0,1]上恒为正，则实数a的取值范围是________．
16．一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知全集U＝R，A＝，B＝{x|3x2－4x＋1>0}，求?U(A∩B)．
18．(12分)解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
19．(12分)已知不等式kx2－2x＋6k<0 (k≠0)．
(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集为?，求k的取值范围．
20．(12分)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是多少？
21．(12分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．
(1)若设休闲区的长和宽的比＝x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
22．(12分)某营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28元．而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少千克？
第三章　章末检测
1．B　2.B　3.D　4.C　5.C　6.C　7.C　8.C
9．C　[因为a>1，b>1，ax＝by＝3，a＋b＝2，
所以x＝loga3，y＝logb3.
＋＝＋
＝log3a＋log3b＝log3ab
≤log32＝log32＝1，
当且仅当a＝b时，等号成立．]
10．A　[∵a＋b＝ab－1≤－1，
∴(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，
又∵a、b均为正数，
∴a＋b≥2＋2.]
11．A　[x2－x－2>0?x<－1或x>2.
2x2＋(5＋2k)x＋5k<0
?(2x＋5)(x＋k)<0.
在数轴上考察它们的交集可得－3≤k<2.]
12．B　[由题意知a2＝(1＋2b)(1－2b)，
∴a2＋4b2＝1≥2＝4|ab|，
∴|ab|≤，
∴≤≤
＝≤.
当且仅当|a|＝2|b|时取等号．]
13．(－∞，1)∪(6，＋∞)
14．[0,1]
15．(0,2)
16．8
解析　这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t＝＝＋
≥2 ＝8(小时)，
当且仅当＝，
即v＝100时等号成立，此时t＝8小时．
17．解　A＝
＝{x|3x2－4x－4<0}
＝，
B＝{x|3x2－4x＋1>0}
＝，
A∩B＝，
∴?U(A∩B)＝
.
18．解　将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0变形为
(x－a)(x－a2)>0.
∵a2－a＝a(a－1)．
∴当a<0或a>1时，a解集为{x|xa2}．
当0a}．
当a＝0或1时，解集为{x|x∈R且x≠a}．
综上知，当a<0或a>1时，不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0或1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠a}．
19．解　(1)∵不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}．
∴k<0且x1＝－3，x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根．
∴x1x2＝6，x1＋x2＝＝－5，
∴k＝－.
(2)由于k≠0，
要使不等式解集为?，只需，
即，
解得k≥.
20．解　
设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z＝5x＋3y，且

联立，
解得
由图可知，最优解为P(3,4)．
∴z的最大值为z＝5×3＋3×4＝27(万元)．
即该企业可获得的最大利润为27万元．
21．解　(1)设休闲区的宽B1C1为a米，则其长A1B1为ax米，
∴a2x＝4 000?a＝，
∴S＝(a＋8)(ax＋20)
＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4 000＋(8x＋20)·＋160
＝80＋4 160(x>1)．
(2)S≥1 600＋4 160＝5 760(当且仅当2＝?x＝2.5)，
即当x＝2.5时，公园所占面积最小．
此时a＝40，ax＝100，即休闲区A1B1C1D1的长为100米，宽为40米．
22．解　据已知数据列出下表：
食物/kg
碳水化合物/kg
蛋白质/kg
脂肪/kg
A
0.105
0.07
0.14
B
0.105
0.14
0.07
设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z.
那么①
目标函数为z＝28x＋21y
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域，如图即可行域．
由z＝28x＋21y，它可以变为y＝－x＋由图中可行域可以看出，当直线28x＋21y＝z经过点B时，截距最小，此时z亦最小．
解方程组
得
∴B点的坐标为.
∴zmin＝28×＋21×＝16.
由此可以知，每天食用食物A约 kg，食用食物B约 kg，可使花费最少为16元．