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第三章
3.7~3.8 弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积(A卷)
班级：_______ 姓名：_______ 得分：_______
一、请准确填空(每小题3分，共24分)
1.一个扇形的半径等于一个圆的半径的倍，且面积相等，则这个扇形的圆心角等于_____度.
2.要修一段如图1所示的圆弧形弯道，它的半径是48 m，圆弧所对的圆心角是60°，那么这段弯道长_____m(保留π).
图1
3.半径为6的弧长等于半径为3的圆的周长，则这条弧所对的圆心角的度数是_____.
4.如图2，有一弓形钢板ACB，的度数为120°，弧长为l，现要用它剪出一个最大的圆形板料，则这一圆形板料的周长为_____.
图2
5.直角三角形的两条直角边长分别为15 cm和20 cm，则该三角形的内切圆的周长为_____ cm.
6.扇形的圆心角为60°，面积为3π cm2，则这个扇形的内切圆半径为_____.
7.数学课上，小刚动手制作了一个圆锥，他量圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为8 cm，则它的侧面积应是_____ cm2(精确到0.1 cm2).
8.如图3，两个半圆中，长为6的弦CD与直径AB平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_____.
图3
二、相信你的选择(每小题3分，共24分)
9.在半径为R的圆中，一条弧长为l的弧所对的圆心角为
A.度 B.度 C.度 D.度
10.已知扇形的半径是12 cm，圆心角是60°，则扇形的弧长是
A.24π cm B.12π cm C.4π cm D.2π cm
11.如图4，半径为1的四个圆两两相切，则图中阴影部分的面积为
A.4－π B.8－π C.2(4－π) D.4－2π
图4
12.如果弧所对的圆心角的度数增加1°，弧的半径为R，则它的弧长增加
A. B. C. D.
13.设三个同心圆的半径分别为r1、r2、r3，且r1>r2>r3，如果大圆的面积被两个小圆分成面积相等的三部分，那么r1∶r2∶r3为
A.3∶2∶1 B.9∶4∶1 C.2∶∶1 D.∶∶1
14.圆环的外圆周长为100 cm，内圆周长为80 cm，则圆环的宽度为
A. B. C. D.10π
15.如图5，一块边长为8 cm的正三角形木板ABC，在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至 A′BC′的位置时，顶点C从开始到结束所经过的路径长为(点A、B、C′在同一直线上)
A.16π B.π C.π D.π
图5
16.若圆锥的侧面展开图是半径为a的半圆，则圆锥的高为
A.a B. C.a D.a
三、考查你的基本功(共18分)
17.(9分)如图6，∠AOB=120°，的长为2π，⊙O1和、OA、OB相切于点C、D、E，求 ⊙O1的周长.
图6 图7
18.(9分)如图7，一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图是半圆.
求：(1)圆锥的母线长与底面半径之比;
(2)锥角的大小(锥角为过圆锥高的平面上两母线的夹角);
(3)圆锥的侧面积.
四、生活中的数学(共17分)
19.(8分)如图8，一根绳子与半径为30 cm的滑轮的接触部分是 ，绳子AC和BD所在的直线成30°的角.请你测算一下接触部分 的长.(精确到0.1 m)
图8 图9
20.(9分)中华民族的科学文化历史悠久、灿烂辉煌，我们的祖先几千年前就能在生产实践中运用数学.1300多年前，我国隋代建筑的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形(如图9).经测量，桥拱下的水面距拱顶6 m时，水面宽34.64 m，已知桥拱跨度是37.4 m，运用你所学的知识计算出赵州桥的大致拱高.(运算时取37.4=14，34.64=20)
五、探究拓展与应用(共17分)
21.(9分)已知：如图10，P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，AB是⊙O的直径，PB交⊙O于C，若PA=2 cm，PC=1 cm，怎样求出图中阴影部分的面积S？写出你的探求过程.
图10 图11
22.(8分)如图11，一个直角三角形纸板，其两条直角边长分别为6 cm和8 cm，小明以纸板的斜边为旋转轴旋转这个三角形纸板形成如图11所示的旋转体.请你帮小明推算出这个旋转体的全面积.(π取3.14)
参考答案
一、1.120 2.16π 3.180° 4. 5.10π 6. cm 7.100.5 8.π
二、9.B 10.C 11.A 12.D 13.D 14.B 15.D 16.D
三、17.解：连接OC、O1E、O1D, 则O1在OC上, O1E⊥OB，O1D⊥OA, 设⊙O1的半径为r，
即O1E=r.
∵∠AOB=120°, ∴∠COB=60°,OE=OO1=(OC－O1C)=(OC－O1E).
又∵2π=, ∴OB=3. ∴OE=(3－r).
由OO12=O1E2+OE2,
∴(3－r)2=r2+(3－r)2 , 得：r=6－9.
∴⊙O1的周长=2πr=(12－18)π.
18.解：(1)设此圆锥高为h，底面半径为r.
∵2πr=π·AC , ∴=2.
(2)∵=2, ∴圆锥高与母线的夹角为30°，则锥角为60°.
(3)∵h=3 cm，∴r=3 cm ，AC=6 cm.
圆锥的侧面积=AC2=18π cm2.
四、19.解：连接OC、OD，∴OC⊥AC，BD⊥OD.
∵AC、BD交角为30°, ∴∠COD=150°.
∴ 的弧长==25π.
20.解：如图，设圆弧所在圆的圆心为O,
AB=37.4=14 m, CD=34.6=20 m, GE=6 m.
在Rt△OCE中, OE=OC－6, CE=10.
∵OC2=CE2+OE2, ∴OC2=(10)2+(OC－6)2.
∴OC=28(m) . ∴OA=28.
在Rt△OAF中，AF=7,
∴.
∴拱高GF=28－21=7(m) .
五、21.解：∵PA为切线，连接AC, ∴△PAC∽△PBA.
∴PA2=PC·PB . ∴PB=4.
∴AB=. ∴OA=.
∴∠B=30°. 连接O C . ∴∠AOC=60°,
S扇形OAC=, S△OBC=
∴S阴=S△APB－S扇OAC－S△OBC= cm2.
22.解：设AC=8 cm，BC=6 cm. ∴AB==10 cm.
作CD⊥AB，垂足为D.
∴BC2=BD·AB. ∴BD= CD=.
∴S=π·CD·AC+π·CD·BC =π·CD·(AC+BC)=3.14××14≈211.0 cm2 .
CmD
CmD
CmD
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第 三章
3.4~3.6 确定圆的条件、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系(A卷)
班级：_______ 姓名：_______ 得分：_______
一、请准确填空(每小题3分，共24分)
1.已知，⊙O的直径为10 cm，点O到直线a的距离为d：①若a与⊙O相切，则d=______；②若d=4 cm，则a与⊙O有_____个交点；③若d=6 cm，则a与⊙O的位置关系是_____.
2.两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=_____ cm.
3.如图1，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，⊙O过AB两点且与BC切于B，与AC交于D，连结BD，若BC=－1，则AC=_____.
4.如图2，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____.
图1 图2
5.以等腰三角形顶角的顶点为圆心，顶角的平分线为半径的圆必与_____相切.
6.两圆相切，圆心距为9 cm，已知其中一圆半径为5 cm，另一圆半径为_____.
7.已知两圆半径是3和4，圆心距是方程x2－8x－20=0的一个根，则两圆的位置关系是_____.
8.如图3，一枚直径为d的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经过的距离是_____.
图3
二、相信你的选择(每小题3分，共24分)
9.下列四个命题中正确的是
①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线 ③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线 ④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
10.过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA、PB，切点为A和B，若AB=8，AB的弦心距为3，则PA的长为
A.5 B. C. D.8
11.如图4，PA切⊙O于A，AB⊥OP于B，若PO=8 cm，BO=2 cm，则PA的长为
A.16 cm B.48 cm
C.6 cm D.4 cm
图4
12.已知OA平分∠BOC，P是OA上任意一点，以P为圆心的圆与OC相切，那么⊙P与OB的位置关系是
A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定
13.如图5，两枚大小相同的硬币，一枚固定不动，另一枚绕其边缘滚动(无滑动)，当运动硬币滚动到原来位置(第一次重合)时，运动硬币自转了______圈.
A.1 B.2 C.3 D.4
图5 图6
14.直线l上的一点到圆心的距离等于⊙O的半径，则l与⊙O的位置关系是
A.相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交
15.P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，Q是优弧AB上的一点，如图6，设∠APB=α， ∠AQB=β，则α与β的关系是
A.α+β=90° B.α=β
C.α+2β=180° D.2α+β=180°
16.关于下列四种说法中，你认为正确的有
①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零? ③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
三、考查你的基本功(共19分)
17.(9分)已知：如图7，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，BC=4，以A为圆心，2为半径作⊙A，试问：直线BC与⊙A的关系如何？并证明你的结论.
图7 图8
18.(10分)如图8，AB在⊙O的直径，点D在AB的延长线上,且BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°.
(1)CD是⊙O的切线吗？说明你的理由;
(2)AC=_____，请给出合理的解释.
四、生活中的数学(共9分)
19.(9分)图9是破残的圆轮片，现想把它复原成与原物大小相同的圆轮，你的方案怎样？请在图中用尺规作图补全图形.(不写作法，保留作图痕迹)
图9 图10 图11 图12
五、探究拓展与应用(共24分)
20.(12分)如图10，⊙O的半径为4 cm，点P是⊙O外一点，OP=6 cm，求：
(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？
(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？
(分别作出图形，并解答)
21.(12分)已知：三角形ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.
(1)如图11，AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，只需保证∠CAE=∠_____，并证明之;
(2)如图12，AB为⊙O非直径的弦，(1)中你所添出的条件仍成立的话，EF还是⊙O的切线吗？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由并与同学交流.
参考答案
一、1.①5 cm ②两 ③外离 2.2 3.2 4.36π 5.底边 6.4或14 7.外离 8.πd
二、9.C 10.B 11.D 12.B 13.B 14.D 15.C 16.A
三、17.解：作AD⊥BC垂足为D, ∵AB=AC，∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=30°.
∵BC=4, ∴BD=BC=2. 可得AD=2.又∵⊙A半径为2, ∴⊙A与BC相切.
18.解：(1)CD是⊙O的切线, 连接OC，BC ∴∠OCA=∠OAC=30°.
∴∠COB=2∠OAC=60°. ∵OC=OB, ∴△OBC为正三角形, 即BC=OB=BD.
∴△OCD是直角三角形，∠OCD=90°,
即OC⊥CD. ∴CD为⊙O的切线.
(2)CD ∵∠OCD=90°，∠COB=60°, ∴∠D=90°－∠COB=30°.
∴∠CAO=∠D, AC=CD.
四、19.在圆轮片边沿任取三点，依次连接两点成两条线段；作两线段的垂直平分线，则两垂直平分线的交点即为圆心，再以圆心与所取三点中任意一点线段长为半径作圆，此圆即为残圆轮的复原圆. (图略)
五、20.(1)小圆⊙P的半径为2 cm.(图略) (2)大圆⊙P的半径为10 cm.(图略)
21.(1)ABC 证明：∵AB为⊙O直径, ∴∠ACB=90°.
∴∠BAC+∠ABC=90°. 若∠CAE=∠ABC. ∴∠BAC+∠CAE=90°,
即∠BAE=90°，OA⊥AE. ∴EF为⊙O的切线.
(2)证明：连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD, ∴∠ADC=∠ABC.
∵AD为⊙O的直径, ∴∠DAC+∠ADC=90°.
∵∠CAE=∠ABC=∠ADC, ∴∠DAC+∠CAE=90°. ∴∠DAE=90°,
即OA⊥EF，EF为⊙O的切线.
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第三章
3.4~3.6 确定圆的条件、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系(B卷)
班级：_______ 姓名：_______ 得分：_______
一、请准确填空(每小题3分，共24分)
1.如图1，AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，且∠BAC=45°，AB=2，则⊙O的面积为_____.
2.如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则R的取值范围是_____.
图1 图2 图3 图4
3.如图3，AB是⊙O的直径，DE切⊙O于点C，需使AE⊥DE，须加的一个条件是______(不另添加线和点).
4.如图4，⊙O2和⊙O1相交于点A、B，它们的半径分别为2和，公共弦AB长为2，若圆心O1、O2在AB的同侧，则∠O1AO2=_____.
5.已知⊙O1、⊙O2的半径等于1，下列命题中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都填上).
①若O1O2=1，则⊙O1与⊙O2有两个公共点 ②若O1O2=2，则⊙O1与⊙O2外切 ?③若?O1O2≤3，则⊙O1与⊙O2必有公共点 ④若O1O2>1，则⊙O1与⊙O2相交或外切
6.小明剪了三个半径均为1的⊙O1、⊙O2、⊙O3的纸板，在同一平面内把三个圆纸板的圆心放在同一直线上，若⊙O2分别与⊙O1、⊙O3相交，⊙O1与⊙O3不相交，则⊙O1与⊙O3的圆心距d的取值范围是_____.
7.如图5，这是一个滚珠轴承的平面示意图，若该滚珠轴承的内、外圆周的半径分别为2和6，则在两圆周之间所放滚珠最大半径为_____，这样的滚珠最多能放______颗.
图5
8.⊙O的圆心到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，当d、r是关于x的方程x2－4x+m=0的两根，且直线l与⊙O相切时，则m的值为_____.
二、相信你的选择(每小题3分，共24分)
9.若⊙O1、⊙O2的半径分别为1和3，⊙O1和⊙O2外切，则平面上的半径为4，且与⊙O1、⊙O2都相切的圆有
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10.已知△ABC中，∠C=90°，AB=5，周长等于12，则它的内切圆的半径为
A.1 B.2 C.2.5 D.3.5
11.⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长6，以3为半径⊙O的同心圆与直线AB的位置关系是
A.相离 B.相交 C.相切 D.不能确定
12.下列说法不正确的是
A.和圆有两个公共点的直线与圆心的距离小于圆的半径
B.直线l上一点到圆心的距离等于半径，则l与圆有公共点
C.圆的切线只有一条
D.和圆有两个公共点的直线与圆相交
13.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
14.已知关于x的一元二次方程x2－(R+r)x+d2=0没有实数根，其中R、r分别为⊙O1、⊙O2的半径，d为此圆的圆心距，则⊙O1、⊙O2的位置关系是
A.外离 B.相切 C.相交 D.内含
15.如图6，两等圆⊙O和⊙O′相外切，过O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB等于
图6
A.90° B.60° C.45° D.30°
16.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为
A.钝角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形
三、考查你的基本功(共20分)
17.(10分)已知,如图7,⊙D交y轴于A、B,交x轴于C，过C的直线：y=－2x－8与y轴交于P.
(1)求证：PC是⊙D的切线;
(2)判断在直线PC上是否存在点E，使得S△EOC=4S△CDO，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
图7
18.(10分)如图8，A、B、C、D是⊙O上的四点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，求AB的长.
四、生活中的数学(共12分)
19.(6分)有一圆形花坛，要把它分成面积相等的四份，一同学利用圆中互相垂直的直径把花坛分成了四等份.如图9中甲，现请你在图9乙中采用不同于图甲的方法也将该花坛四等分.以便在上面种不同的花草.
图8 图9 图10
20.(6分)如图10，是平行四边形铁皮上一个圆形的洞，现要把它用一条直线分成面积相等的两部分，你怎样做？请在图中画出你分割的方法.
五、探究拓展与应用(共20分)
21.(8分)阅读下面材料：
对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.
对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖.
例如：图11中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖.
图11
回答下列问题：(1)边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是______ cm;
(2)边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是_____ cm;
(3)长为2 cm，宽为1 cm的矩形被两个半径均为r的圆所覆盖，r的最小值是_____ cm.这两个圆的圆心距是_____ cm.
22.(12分)已知：如图12，平面直角坐标系中，半圆的直径AB在x轴上，圆心为D.半圆交y轴于点C，AC=2，BC=4.
(1)证明：△AOC∽△ACB;
(2)求以AO、BO两线段长为根的一元二次方程;
(3)求图象经过A、B、C三点的二次函数的表达式;
(4)设此抛物线的顶点为E，连接EC，试判断直线EC与⊙O的位置关系，并说明理由.
图12
参考答案
一、1.2π 2.2.4二、9.D 10.A 11.C 12.C 13.B 14.A 15.B 16.C
三、17.解：(1)∵PC的直线方程为：y=－2x－8.
∴C(－2，0), P(0，－8). ∴|OC|=2，|OP|=8,
|PC|=,
|CD|=,
|PD|=|OP|+|OD|=8+1=9, PD2=92=81, CD2+PC2=9+72=81.
∴PD2=CD2+PC2 .
∴△DCP为直角三角形，∠DCP=90°，DC⊥PC，CD为直径.
∴PC为⊙D的切线.
(2)设E(r，y),
∴S△OCE=4S△CDO. ∴×|OC|×|y|=4×|OC|×|OD|, |y|=4|OD|=4.
∴y=±4, E1(－3，4), E2(－，－4).
18.AB=2.
四、19.如下图.
20.方法：作一条过圆心与平行四边形对角线交点的直线即把该图形平分，如下图.
五、21.(1); (2); (3), 1.
22.(1)证明：∵AB为半圆O的直径, ∴∠ACB=90°. ∴∠AOC=∠ACB, ∠CAO=∠BAC .
∴△AOC∽△ACB .
(2)AB==10,
∵△AOC∽△ACB, ∴. ∴AO==2, BO=AB－AO=10－2=8.
∴以AO、BO两线段长为根的一元二次方程为x2－10x+16=0.
(3)在Rt△AOC中，OC=4, ∴A(－2，0) , B(8，0), C(0，4).
设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0), 依题意有：
∴ ∴
表达式为：y=－x2+x+4.
(4)直线EC与⊙D相切，理由如下：
∵
∴顶点E的坐标为(3，). 连接EC、CD、ED，则CD=AD=5，ED=.
∴CF=3，EF=，CE=.
∴CD2+CE2=, DE2=.
∴CD2+CE2=DE2 . ∴∠DCE=90°，CD为半径.
∴直线EC与⊙D的位置关系是相切.
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第三章
3.1~3.3 车轮为什么做成圆形、圆的对称性、圆周角和圆心角的关系(B卷)
班级：_______ 姓名：_______ 得分：_______
一、请准确填空(每小题3分，共24分)
1.如图1，M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM=?_____ cm.?
2.如图2，⊙O的直径AC=2，∠BAD=75°，∠ACD=45°，则四边形ABCD的周长为_____(结果取准确值).
3.如图3，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是_____.
图1 图2 图3
4.如图4，在⊙O中，两弦AD∥BC，AC、BD相交于点E，连接AB、CD，图中的全等三角形共有_____对.相似比不等于1的相似三角形共有_____对.
5.如图5，在⊙O中，直径AB和弦CD的长分别为10 cm和8 cm，则A、B两点到直线CD的距离之和是_____.
6.如图6，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=_____.
7.如图7，△ABC内接于⊙O，D是劣弧上的一点，E是BC延长线上一点，AE交⊙O于F，为使△ADB∽△ACE，应补充的一个条件是_____或_____.
图4 图5 图6 图7
8.如图8，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，从数学角度看，此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？
答： ，简述理由： .
图8
二、相信你的选择(每小题3分，共24分)
9.如图9，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP=4，在过P点的所有⊙O的弦中，你认为弦长为整数的弦的条数为
A.6条 B.5条 C.4条 D.2条
10.如图10，在平面直角坐标系中，⊙O′与两坐标分别交于A、B、C、D四点，已知：A(6，0)，B(0，－3)，C(－2，0)，则点D的坐标为
A.(0，2) B.(0，3) C.(0，4) D.(0，5)
图9 图10 图11
11.如图11，已知AB和CD分别是半圆O的直径和弦，AD和BC相交于点E，若∠AEC=α，则
S△CDE∶S△ABE等于
A.sin2α B.cos2α C.tan2α D.与α无关
12.如图12，每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是
图12
13.如图13，已知：AB=，BC=2，CD=1，∠ABC=45°，则四边形ABCD的面积为
A. B. C. D.
图13 图14
14.在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是、，则∠BAC的度数为
A.15° B.15°或75° C.75° D.15°或65°
15.如图14所示，一种花边是由如图组成的，所在圆的半径为5，弦AB=8，则弧形的高CD为
A.2 B. C.3 D.
16.下列语句中不正确的有
①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧
A.3个 B.2个 C.1个 D.以上都不对
三、考查你的基本功(共16分)
17.(8分)如图15，AB是⊙O的直径.
(1)若OD∥AC，与? 的大小有什么关系？为什么？
(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由.
18.(8分)如图16，⊙O上三点A、B、C，AB=AC，∠ABC的平分线交⊙O于点E，∠ACB的平分线交⊙O于点F，BE和CF相交于点D，四边形AFDE是菱形吗？验证你的结论.
图15 图16 图17 图18
四、生活中的数学(共18分)
19.(9分)如图17是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB的长，再量中点到AB的距离CD的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径，与同伴?交流.?
20.(9分)如图18，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)
五、探究拓展与应用(共18分)
21.(9分)如图19，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.
(1)P是上一点(不与C、D重合)，求证：∠CPD=∠COB.
(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合)时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论.
图19
22.(9分)已知，如图20，AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连接AC,过点C作直线CD⊥AB于D(AD(1)求证：AC2=AG·AF;
(2)若点E是AD(点A除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.
参考答案
一、1. 3 2. 1+2 3. 3≤OP≤5 4. 3 1 5.6 cm 6.90°
7.∠ABD=∠E ∠BAD=∠EAC 8.让乙射门好 ∠MBN=∠MCN>∠A，乙射门的区域比甲的大.
二、9.B 10.C 11.B 12.A 13.D 14.B 15.A 16.B
三、17.(1)=
解：延长DO交⊙O于E.
∵AC∥OD, ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.
(2)仍成立，延长DO交⊙O于点E，连结AD.
∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D. ∴AC∥OD.
18.四边形AFDE是菱形.
证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB.
又∠FAB，∠FCB是同弧上的圆周角,
∴∠FAB=∠FCB，同理∠EAC=∠EBC.
有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.
∴AF∥ED，AE∥FD且AF=AE. ∴四边形AFDE是菱形.
四、19.小亮的做法合理.
取AB=8 m，CD=2 m, 设圆形工件半径为r,
∴r2=(r－2)2+42. 得r=5(m).
20.方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.
方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.
五、21.(1)证明：连结OD, ∵AB是直径，AB⊥CD, ∴=.
∴∠COB=∠DOB=∠COD.
又∵∠CPD=∠COD, ∴∠CPD=∠COB.
(2)∠CP′D与∠COB的数量关系是：∠CP′D+∠COB=180°.
证明：∵∠CPD+∠CP′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP′D+∠COB=180°.
22.(1)证明：连接CB，∵AB是直径，CD⊥AB, ∴∠ACB=∠ADC=90°. ∴Rt△CAD∽Rt△BAC.
∴得∠ACD=∠ABC . ∵∠ABC=∠AFC, ∴∠ACD=∠AFC. ∴△ACG∽△ACF.
∴. ∴AC2=AG·AF.
(2)当点E是AD(点A除外)上任意一点，上述结论仍成立
①当点E与点D重合时，F与G重合,
有AG=AF，∵CD⊥AB，∴=, AC=AF. ∴AC2=AG·AF.
②当点E与点D不重合时(不含点A)时，证明类似①.
BD
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第三章
3.7~3.8 弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积(B卷)
班级：_______ 姓名：_______ 得分：_______
一、请准确填空(每小题3分，共24分)
1.两个同心圆的半径差为5，其中一个圆的周长为15π，则另一个圆的周长为_____.
2.已知a、b、c分别是正六边形的一边、最短对角线和最长对角线，则a∶b∶c为_____.
3.已知Rt△ABC，斜边AB=13 cm，以直线BC为轴旋转一周，得到一个侧面积为65π cm2的圆锥，则这个圆锥的高等于_____.
4.已知在同一平面内圆锥两母线在顶点最大的夹角为60°，母线长为8，则圆锥的侧面积为_____.
5.已知圆柱的底面半径长和母线长是方程4x2－11x+2=0的两个根，则该圆柱的侧面展开图的面积是_____.
6.圆内接正方形的一边切下的一部分的面积等于2π－4，则正方形的边长是_____，这个正方形的内切圆半径是_____.
7.要制造一个圆锥形的烟囱帽，如图1，使底面半径r与母线l的比r∶l=3∶4，那么在剪扇形铁皮时，圆心角应取_____.
8.将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中(如图2).设筷子露在杯子外面的长为h cm，则h的取值范围是_____.
图1 图2
二、相信你的选择(每小题3分，共24分)
9.已知正三角形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r∶a∶R等于
A.1∶2∶2 B.1∶2∶2 C.1∶2∶ D.1∶∶2
10.如图3，△ABC是正三角形，曲线ABCDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中、 ?、? 、…?圆心依次按A、B、C循环，它们依次相连接，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是
A.8π B.6π C.4π D.2π
11.如图4，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，AB长为30 cm，贴纸部分BD长为20 cm，贴纸部分的面积为
A.800π cm2 B.500π cm2 C.π cm2 D.π cm2
12.已知如图5，两同心圆中大圆的半径OA、OB交小圆于C、D，OC∶CA=3∶2，则和的长度比为
A.1∶1 B.3∶2 C.3∶5 D.9∶25
13.如图6，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是
A.S1图3 图4 图5 图6
14.如图7中，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有
(1) (2) (3) (4)
图7
A.(1)(2)(3) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4)
15.如果圆锥的母线长为5 cm，底面半径为3 cm，那么圆锥的表面积为
A.39π cm2 B.30π cm2 C.24π cm2 D.15π cm2
16.一个圆台形物体的上底面积是下底面积的.如图8，放在桌面上，对桌面的压强是200 帕，翻过来放，对桌面的压强是
A.50帕 B.80帕 C.600帕 D.800帕
图8
三、考查你的基本功(共14分)
17.(6分)如图9，圆锥底面半径为r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于A点，它从A点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径.
图9 图10
18.(8分)如图10，等腰Rt△ABC中斜边AB=4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两腰相切于点D、E，图中阴影部分的面积是多少？请你把它求出来.(结果用π表示)
四、生活中的数学(共18分)
19.(8分)铅球比赛要求运动员在一固定圆圈内投掷，推出的铅球必须落在40°角的扇形区域内(以投掷圈的中心为圆心).如果运动员最多可投7 m，那么这一比赛的安全区域的面积至少应是多少？(结果精确到0.1 m2)
20.(10分)如图11，有一直径是1 m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形CAB.
(1)被剪掉的阴影部分的面积是多少？
(2)若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？(结果可用根号表示)
图11 图12 图13
五、探究拓展与应用(共20分)
21.(10分)现有总长为8 m的建筑材料，用这些建筑材料围成一个扇形的花坛(如图12)，当这个扇形的半径为多少时，可以使这个扇形花坛的面积最大？并求最大面积.
22.(10分)如图13，正三角形ABC的中心恰好为扇形ODE的圆心，且点B在扇形内，要使扇形ODE绕点O无论怎样转动，△ABC与扇形重叠部分的面积总等于△ABC的面积的，扇形的圆心角应为多少度？说明你的理由.
参考答案
一、1.5π或25π 2.1∶∶2 3.12 cm 4.32π 5.π 6.4 2 7.270° 8.11≤h≤12
二、9.A 10.C 11.C 12.C 13.B 14.C 15.C 16.D
三、17.解：把圆锥沿过点A的母线展成如图所示扇形，则蚂蚁运动的最短路程为AA′(线段).
由此知：OA=OA′=3r, 的长为2πr.
∴2πr=, n=120°,
即∠AOA′=120°, ∠OAC=30°.
∴.
∴. ∴AA′=2AC=3r,
即蚂蚁运动的最短路程是3r.
18.解：AC=ABcos45°=2，连接OE.
∴OE⊥BC , OE∥AC.
又OA=OB，则OE=BE=EC=AC=,
S阴影=2(S△OBE－S扇形OEF)=2－.
四、19.解：S扇形=≈17.2 m2.
20.(1)连接AB，则AB为⊙O直径.
∴S阴影=S⊙O－S扇形ABC=π·()2－π·(cm2).
(2)设所剪成圆锥的底面圆的半径为r,
则2πr=, ∴r=(m).
五、21.解：设扇形的半径为r，∠AOB的度数为n，扇形花坛面积为S，则扇形花坛周长为
2r+·2πr=8, ①
S=πr2. ②
由①得：. ③
将③代入②得：S=·πr2=4r－r2=－(r－2)2+4.
故当r=2时，S最大=4,
即当扇形半径为2 m时，花坛面积最大，其最大面积为4 m2.
22.当扇形的圆心角为120°时，△ABC与扇形重合部分的面积为△ABC面积的，无论绕点O怎样旋转，重合部分都等于△OAB的面积.
连接OB、OC，∴S△OBC=S△ABC .
∵∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°.
当∠DOE=120°时,
扇形ODE的两条半径OD、OE分别与OB、OC重合时，重合部分的面积为S△OBC .
当OD、OE不与OB、OC重合时，设OD交AB于点G，OE交BC于点H,
则∠BOG=∠COH，OB=OC, ∠OBG=∠OCH=30°.
∴△OBG≌△OCH .
∴S△OBG+S△OBH=S△OCH+S△OBH ,
即S四边形OGBH=S△OBC=S△ABC .
DE
EF
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第三章 圆
3.1~3.3 车轮为什么做成圆形、圆的对称性、圆周角和圆心角的关系(A卷)
班级：_______ 姓名：_______ 得分：_______
一、请准确填空(每小题3分，共24分)
1.如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：①点P在⊙O外，则______；?②______?则d=r；③______则d2.两个同心圆的直径分别为5 cm和3 cm，则圆环部分的宽度为_____ cm.
3.如图1,已知⊙O，AB为直径，AB⊥CD，垂足为E，由图你还能知道哪些正确的结论 请把它们一一写出来. .
图1
4.如果把人的头顶和脚底分别看作一个点，把地球赤道看作一个圆，那么身高2 m的小赵沿着赤道环行一周，他的头顶比脚底多行_____m.
5.如图2，AB是⊙O的直径，C为圆上一点， =60°，OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=_____，BC=_____.
6.如图3，⊙O中，已知=，且∶ =3∶4，则∠AOC=_____.
图2 图3 图4 图5
7.如图4，在条件：①∠COA=∠AOD=60°；②AC=AD=OA；③点E分别是AO、CD的中点； ④OA⊥CD且∠ACO=60°中，能推出四边形OCAD是菱形的条件有_____个.
8.为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100 cm，截面如图5，若管内污水的面宽AB=60 cm，则污水的最大深度为_____ cm.
二、相信你的选择(每小题3分，共24分)
9.平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形
10.若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(3，4)，点P的坐标是(5，8)，你认为点P的位置为
A.在⊙A内 B.在⊙A上 C.在⊙A外 D.不能确定
11.下列所述图形中对称轴最多的是
A.圆 B.正方形 C.正三角形 D.线段
12.如图6，P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，猜想这样的P点一共有
A.4个 B.8个 C.12个 D.16个
13.已知、是同圆的两段弧，且=2，则弦AB与CD之间的关系为
A.AB=2CD B.AB<2CD C.AB>2CD D.不能确定
14.同圆中，两条弦长分别为a和b，它们的弦心距分别为c和d，若c>d，则有
A.a>b B.a图6 图7 图8
15.如图7，AB是⊙O的直径，∠C=30°，则∠ABD等于
A.30° B.40° C.50° D.60°
16.如图8是小明完成的.作法是：取⊙O的直径AB，在⊙O上任取一点C引弦CD⊥AB.当C点在半圆上移动时(C点不与A、B重合)，∠OCD的平分线与⊙O的交点必
A.平分 B.三等分
C.到点D和直径AB的距离相等 D.到点B和点C的距离相等
三、考查你的基本功(共16分)
17.(8分)如图9，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
(1)当r取什么值时，点A、B在⊙C外.
(2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外.
18.(8分)如图10，两个同心圆，作一直线交大圆于A、B，交小圆于C、D，AC与BD有何关系？请说明理由.
图9 图10 图11 图12
四、生活中的数学(共16分)
19.(8分)如图11,小虎牵着小狗上街，小虎的手臂与绳长共为2.5 m(手臂与拉直的绳子在一条直线上)手臂肩部距地面1.5 m.当小虎站立不动时，小狗在平整的地面上活动的最大区域是多少？并画出平面图.
20.(8分)如图12，在直径为100 mm的半圆铁片上切去一块高为20 mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长.
五、探究拓展与应用(共20分)
21.(10分)如图13，P是⊙O外一点，PAB、PCD分别与⊙O相交于A、B、C、D.
(1)PO平分∠BPD；(2)AB=CD；(3)OE⊥CD，OF⊥AB；(4)OE=OF.
从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明，与同伴交流.
图13
22.(10分)已知，用圆形剪一个梯形ABCD，AB∥CD，AB=24，CD=10，⊙O的半径为13，剪下梯形的面积是多少？写出你的求解过程.
参考答案
一、1.d>r 点P在⊙O上 点P在⊙O内 2.1 3.CE=ED，=， =?
4.4π 5.40 20 6.144° 7.4 8.10
二、9.C 10.A 11.A 12.C 13.B 14.B 15.D 16.A
三、17.解：(1)当0(2)当318.AC=BD, 过O作OE⊥CD垂足为E.
∴AE=BE，CE=DE. ∴AE－CE=BE－DE. ∴AC=BD.
四、19.解：小狗在地平面上环绕跑圆的半径为=2.0(m).
小狗活动的区域是以2.0 m为半径的圆，如右图.
20.解：OA=50 mm, CD=20 mm. ∴OD=OC－CD=30 mm.
在Rt△AOD中, AD=40(mm).
∴AB=2AD=80 mm.
五、21.命题1，条件③④结论①②, 命题2，条件②③结论①④.
证明：命题1∵OE⊥CD , OF⊥AB, OE=OF. ∴AB=CD, PO平分∠BPD.
22.解：(1)圆心在梯形的内部,
过点O作AB的垂线，垂足为E，延长EO交CD于F.
∵AB∥CD, OE⊥AB, ∴OF⊥CD, 连OB，OC.
在Rt△OBE中,
∴EF=OE+OF=17.
∴S梯形ABCD=
(2)圆心在梯形的外部EF=12－5=7.
S梯ABCD=(24+10)×7=17×7=119.
CmB
AmC
AC
DmB
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