(共14张PPT)
新人教版八(下)第16章分式课件
16.2.3整数指数幂（一）
复
习
正整数指数幂有哪些运算性质
（1）am·an=am+n (a≠0 m、n为正整数)
（2）(am)n=amn (a≠0 m、n为正整数)
（3）(ab)n=anbn (a，b≠0 m、n为正整数)
（4）am÷an=am-n (a≠0 m、n为正整数且m>n)
（5） （ b≠0 ，n是正整数）
当a≠0时，a0=1。（0指数幂的运算）
（6）
am÷an=am-n (a≠0 m、n为正整数且m>n)
a5÷a3=a2
a3÷a5=？
分
析
a3÷a5=a3-5=a-2
a3÷a5=
=
n是正整数时, a-n属于分式。并且
(a≠0)
例如:
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩大到全体整数。
am=
am (m是正整数）
1 （m=0）
（m是负整数）
这就是说：a－n（a≠0)是an 的倒数
（1）32=_____， 30=___， 3-2=_____;
（2）(-3)2=____，(-3)0=___，(-3)-2=_____；
（3）b2=_____, b0=____, b-2=____(b≠0).
练
习
a3 ●a-5 =
a-3 ●a-5 =
a0 ●a-5 =
a-2
a-8
a-5
am●an=am+n，这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用。
归
纳
整数指数幂有以下运算性质：
（1）am·an=am+n (a≠0)
（2）(am)n=amn (a≠0)
（3）(ab)n=anbn (a,b≠0)
（4）am÷an=am-n (a≠0)
（5） （b≠0）
当a≠0时，a0=1。
（6）
a-3·a-9=
(a-3)2=
(ab)-3=
a-3÷a-5=
例题：
(1) (a-1b2)3;
(2) a-2b2● (a2b-2)-3
跟踪练习：
(1) x2y-3(x-1y)3；
(2) (2ab2c-3)-2÷(a-2b)3
课堂达标测试
基础题：
1.计算：
(a+b)m+1·(a+b)n-1; (2) (-a2b)2·(-a2b3)3÷(-ab4)5
(3) (x3)2÷(x2)4·x0
(4) (-1.8x4y2z3) ÷(-0.2x2y4z) ÷(-1/3xyz)
提高题：
2.已知 ，
求a51÷a8的值；
5.探索规律：31=3，个位数字是3；32=9，个位数字式9；33=27，个位数字是7；34=81，个位数字是1；35=243，个位数字是3；36=729，个位数字是9；……那么，37的个位数字是______，320的个位数字是______。
兴趣探索
3.计算：xn+2·xn-2÷(x2)3n-3;
4.已知：10m=5,10n=4,求102m-3n.
小
结
n是正整数时, a-n属于分式。并且
(a≠0)(共24张PPT)
新人教版八(下)第16章分式课件
16.2.2 分式的加减（一）
问题1 甲工程队完成一项工程需要n天，乙工程队完成这项工程比甲队多3天，两队共同工作一天完成这项工作做的几分之几？
甲工程队一天完成这项工程的 ,乙工程队
一天完成这项工程的 ,两队共同工作工程
队一天完成这项工程的 .
问题2 2001年，2002年，2003年某地的森林面积（单位：公顷）分别是S1，S2，S3，2003年与2002年相比，森林面积的增长率提高了多少？
2003年的森林面积增长率是：
2002年的森林面积增长率是：
2003年与2002年相比，森林面积增长率提高了：
同分母分数如何加减？
同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减。
同分母分式相加减 ，分母不变,把分子相加减.
把1看作
下列运算对吗 如不对,请改正.
( )
×
( )
×
×
( )
分子相加减
分母不变
计算:
结果要化为最简分式或整式！
注意:当分子是多项式时,把分子看作一个整体,先用括号括起来！
同分母分式加减的基本步骤
练一练
计算
分析: (1)分母是否相同？
(2)如何把分母化为相同的？
小结：注意符号问题
1.先化简，再求值：
2. 先化简，再求值：
（1）分式加减运算的方法思路：
同分母分式
相加减
分母不变
分子（整式）相加减
转化为
（3）分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，
再运算，可减少出现符号错误。
（4）分式加减运算的结果要约分，化为最简分式（或整式）。
（2）分母互为相反数，通过变号，化为同分母，再运算。
回顾与反思
做一做
做一做
尝试完成下列各题：
异分母分数如何加减？
异分母分数相加减，先通分,变为同分母的分数，再加减。
异分母分式相加减 ，先通分,变为同分母的分式,再加减.
例题解析 怎样进行分式的加减运算
计算:
例1
解：
随堂练习
1.计算:
计算:
例2
先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减。
1．对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分．
2．异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化．
3．作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式．
例题解析 学以致用 , 方为能者
练3
：阅读下面题目的计算过程。
①
= ②
= ③
= ④
（1）上述计算过程，从哪一步开始错误，请写上该步的代号
（2）错误原因
（3）本题的正确结论为
小结：
（1）分式加减运算的方法思路：
通分
转化为
异分母相加减
同分母
相加减
分子（整式）相加减
分母不变
转化为
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误。
（3）分式加减运算的结果要约分，化为最 简分式（或整式）。
本节课你的收获是什么？
跟进练习
(1)注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号．
(2)把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分．(共21张PPT)
新人教版八(下)第16章分式课件
16.2.1分式的乘除(一)
口答
复习回顾
约分
复习回顾
长方体容器的高为
问题1 一个长方体容器的容积为V, 底面的长为a, 宽为b,当容器内的水占容积的 时,水高多少
水高为
情境引入
问题2 大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地b公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍
大拖拉机的工作效率是 公顷/天,小拖拉机工作效率是 公顷/天,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的( )倍.
情境引入
怎样用语言描述上述法则？
分数的乘法法则：
分数乘分数，用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母;
观察
猜一猜分式乘法法则
分式乘分式, 用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.
分式的乘法法则用式子表示为：
分式的乘法法则
观察
分数的除法法则：
分数除以分数，把除数的分子、分母颠倒位置后,与被除数相乘.
怎样用语言描述上述法则？
猜一猜分式除法法则
分式的除法法则用式子表示为：
分式的除法法则
分式除以分式, 把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.
例1、计算：
例题讲解
注意：乘法运算时,分子或分母能分解的要分解.
例2、计算：
（先分解因式）
(除转化为乘)
例题讲解
课堂练习
计算
下面的计算对吗？如果不对，应该怎样改正？
课堂练习
太有趣了，我还想做
课堂练习
课堂练习
计算
= -y
原式= -(x+y)=-(2004+2005)=-4009
熟练运用
先化简再求值
例3 “丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形后余下的面积； “丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)米的正方形,两块试验田的小麦都收获了500千克。
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
“丰收1号”单位面积产量是 千克/米2
“丰收2号”单位面积产量是 千克/米2
因为0＜(a-1)2＜a2-1
所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
所以“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收2号”小麦的单位面积产量的 倍。
（1）分式的乘法法则和除法法则
（2）分子或分母是多项式的分式乘除法的解题步骤是：
①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式；
②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
③应用分式乘除法法则进行运算；(注意:结果为最简分式或整式．)
小结
课本第27页习题16.2题1、2、3
作业(共17张PPT)
新人教版八(下)第16章分式课件
16.2.2 分式的加减（一）
2、你认为
3、猜一猜, 同分母的分式应该如何加减
1、同分母分数加减法的法则如何叙述？
分母不变,分子相加减.
【同分母的分数加减法的法则】
同分母的分数相加减，
【同分母的分式加减法的法则】
同分母的分式相加减，
分母不变,分子相加减.
计算：
解 : (1)
(2)
-1
例 1 计算 ：
(1)
解：原式=
=
=
注意：结果要化为最简分式！
=
把分子看作一个整体，先用括号括起来！
解：原式=
做一做
（1）异分母的分数如何加减？
（2）你认为异分母分式的加减应该如何进行？
比如 :
(通分,将异分母的分数化为同分母的分数)
例计算 :
例2
计算：
解:
a2 -4 能分解 :
a2 -4 =(a+2)(a-2),
其中 (a-2)恰好为第二分式的分母.
所以 (a+2)(a-2)
即为最简公分母.
分析
先找
最简公分母.
例 3 计算：
解：原式=
先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减。
例4、先化简，再求值:其中x=3
练3
：阅读下面题目的计算过程。
①
= ②
= ③
= ④
（1）上述计算过程，从哪一步开始错误，请写上该步的代号
（2）错误原因
（3）本题的正确结论为
②
小结：
（1）分式加减运算的方法思路：
通分
转化为
异分母相加减
同分母
相加减
分子（整式）相加减
分母不变
转化为
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误。
（3）分式加减运算的结果要约分，化为最 简分式（或整式）。
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第十六章“分式”简介
一、教科书内容和课程学习目标
（一）教科书内容
本章的主要内容包括：分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。
全章共包括三节：
16．1 分式
16．2 分式的运算
16．3 分式方程
其中，16．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。11．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。11．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。
分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；相应地，分式方程是一类有理方程，解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。
借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用。解分式方程时，化归思想很有用，分式方程一般要先化为整式方程再求解，并且要注意检验是必不可少的步骤。
（二）本章知识结构框图
（三）课程学习目标
本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点：
1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。
2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。
3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。
4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。
5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。
（四）课时安排
本章教学时间约需13课时，具体分配如下（仅供参考）：
16．1 分式 2课时
16．2 分式的运算 6课时
16．3 分式方程 3课时
数学活动
小结 2课时
二、本章的编写特点
（一）反映分式和分式方程等概念的实际背景，体现数学概念来自实际、服务于实际
本章在引出分式的概念之前，安排了“思考”如何用式子表示实际问题中的数量关系；在讨论分式的乘除和加减的过程中，前后安排了涉及容积、工作效率、耕作面积、工程进度、增长率等多个实际问题；在讨论分式方程时，更注意结合分析、解决实际问题逐步深入。可以看出，本章从引言到小结始终保持贴近实际、贴近生活。这样编写的目的主要是反映两重意思：
1．客观世界中有大量的问题需要用数学进行研究，许多数学概念正是在客观实际的需求中产生的；
2．掌握数学知识和方法后，可以能动地运用它们分析和解决大量的实际问题。
上述两方面是符合辩证唯物主义关于理论与实际的关系的观点的，在本套教科书的其他部分也有这样的反映。
人们接受正确的哲学观点需要经历不断加深认识的过程，结合学习的不同阶段渗透辩证唯物主义和历史唯物主义，帮助学生逐步形成正确的世界观和方法论，是数学教育的任务之一。本套教科书力求体现的一个特点，就是使它成为反映科学发展和文化进步的一面镜子，使学生通过这面镜子的照射更清楚地认识数学的本来面目、更清楚地认识世界。
本章中安排大量实际问题，也是为更好地体现本套教科书非常重视的一点，即通过分析与解决实际问题，提高学生联系实际地应用数学知识的意识、兴趣和能力，更好地培养他们的创新精神。
（二）通过类比分数，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式
人们认识事物往往经历“从具体到抽象，从特殊到一般”的过程，本章教科书对几个内容的安排正是按照这样的过程展现的。
分数与分式的关系是具体与抽象、特殊与一般的关系。分数等表示具体的数值，或者说每个分数表示两个特殊的整数的除法；分式则具有一般的、抽象的意义，例如表示的是一般的倒数，表示的是任意两个数的除法（）。分式的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则，是从分数的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则中经过再抽象而产生的。在学习本章之前，学生已经对分数有较多的了解，因此本章教科书的另一个编写特点是：在学生对分数已有认识的基础上，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式。在16．1节讨论分式的基本性质、约分、通分和11．2节讨论分式的四则运算时，教科书通过多次的“观察”“思考”，进行上述类比，温故而知新，完成知识的深化。希望读者能细心体会这样安排的良苦用心，教学中充分发挥知识之间正向迁移的积极作用。
（三）分析分式方程的特点，明确指出解分式方程的基本思路
在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程（一元一次方程、二元一次方程组），他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路（使方程逐步化为的形式）已经比较熟悉。分式方程的未知数在分母中，它的解法比以前学过的方程复杂，随着问题复杂性的增加，人们需要不断地提高认识问题的水平，这里包括提高对新事物与已熟悉的事物之间的联系的认识。这种认识水平的提高，是构建知识体系的过程中不可缺少的。
本章最后的第16．3节“分式方程”，从分析分式方程的特点入手，引出解分式方程的基本思路，即通过去分母使分式方程化为整式方程，再解出未知数。教科书注意在这里要体现出解分式方程的基本思路是很自然、很合理地产生的，是在原来已经认识的解方程的基本思路──使方程逐步化为 的形式的想法基础上发展而得到的。这样处理既突出了分式方程解法上的特点及其算理，又反映了分式方程与整式方程在解法上的内在联系。
在强调解分式方程必须检验时，考虑到学生的知识基础和接受能力，教科书没有对解分式方程中增根的理论问题进行深入的讨论，而是通过具体例子展现了解分式方程时可能出现增根的现象，并结合例子分析了什么情况下产生增根，然后归纳出检验增根的方法，这样处理是想以典型例子简明地说明检验增根方法的依据。教科书的编者对如何把握这个问题的深度作了认真思考，力求做到既说明做法的合理性，有适可而止，不超越学生的实际水平。
在本章小结中，教科书通过本章知识结构图和思考题，再次强调了解分式方程的基本思路以及检验的问题，这又一次反映出编者对分式方程不仅关注使学生会解，而且还重视使学生认识解法后面的道理，即使学生能知其然也知所以然。
三、几个值得关注的问题
（一）重视分数与分式的联系，注意通过分数认识分式
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，这样的抽象是一个逐步深入的过程。人们首先从计算具体物体个数的活动中抽象出整数的概念，又从把一个具体物体分为若干份的活动中抽象出分数的概念，这是一种从实物到数的抽象。人们在研究整数和分数的过程中，为了更好地反映一般规律，又抽象出整式和分式的概念，这是一种从数到式的抽象。
正如前面所述，分数与分式的关系是具体与抽象、特殊与一般的关系，即相对于分式而言分数就是具体的、特殊的基础对象。分式是把具体的分数一般化后的抽象代表，根据这种关系，分式的基本性质、约分与通分、四则运算法则等应该与分数的基本性质、约分与通分、四则运算法则等相对应，即两者具有一致性，这也可以说是数式通性。“从具体到抽象，从特殊到一般”，是人们认识事物往往经历的过程，本章教科书对分式的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则等内容的展开，充分地考虑了这样的认识过程。因此，教学中应重视分数与分式的联系，考虑到学生对分数已有一定认识的基础，要发挥这样的认识基础的作用，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式，这将有助于理解和记忆所学的分式内容。同时，这样的学习过程对于培养良好的学习方法也会起到引导作用。
（二）重视分式与实际的联系，体现数学建模思想
由于分式是在分数基础上再次抽象的产物，所以相对说来就与客观实际的联系而言，分式不如分数更直接。但是，如果我们不仅考虑实际问题中的具体数值，而且考虑其中的运算或对应规律，那么仍然有与分式存在密切联系的实际问题情景。
如前所述，本章教科书中从引言开始安排了大量实际问题，一方面要体现与研究分数类似研究分式同样也是实际需要，另一方面也是为通过运用分式为工具分析与解决实际问题，提高学生把实际问题转化为数学形式的能力，即结合本章内容体现数学建模思想，进一步加强学生应用数学知识于实际问题的兴趣和意识，从长远看这将有助于培养学生的创新精神。
在本章的教学和学习中，应重视分式与实际的联系，选择一些适合分式内容而又接近学生生活的实际问题，结合这些问题展开分式的内容。要注意避免脱离任何实际问题地讲述分式的内容，虽然这种纯数学的处理方法在数学体系内部并无问题，但是从教学角度看它具有局限性，不适合初中学生接受，也不利于全面地提高学生素质。总之，要充分注意有关现实背景，通过它们反映出分式来自实际又服务于实际，加强对代数式（包含分式）也是解决现实问题的一种数学模型的认识。
对于把实际问题转化为有关代数式的问题，分析和解决它们的关键是找出问题中相关数量之间的运算关系，并把这样的关系 “翻译”为数学形式，而正确地理解问题情境是基础。在本章的教学和学习中，可以从多种角度思考实际问题，例如借助图象、表格、式子等进行分析，发现其中的数量关系，并检验所建立的式子的合理性。
（三）重视分式方程的特殊性，突出其解法的关键步骤
本章所讨论的主要对象是分式，分式方程与分式有直接的关系。如前所述，本章之前，已经出现过整式方程，对于解方程就是使方程逐步化为 的形式这一基本思路，学生已经比较熟悉。与整式方程相比，分式方程的特殊性是其未知数在分母中。正因如此分式方程的解法与整式方程的解法有两个明显的区别：
1．一般说，解分式方程时要通过去分母使它先转化为整式方程，也就是使未知数从分母的位置移上来。注意这里的去分母是在方程两边同乘一个含未知数的式子而不是一个非零常数，因此这样的去分母不能保证新方程与原方程同解。
2．通过去分母得出的解必须经过检验，当这个解使得分式方程的分母不为零时，它才是分式方程的解。
由于解一元一次方程已不是新问题，所以上述两点就成为本章中解分式的关键步骤。
在本章的教学和学习中，应重视分析分式方程的特殊性，并根据它认识解分式方程的基本思路（先化分式方程为整式方程，再解出未知数，再检验确认），明白这样做的道理，再次体会化归思想在解方程时的指导作用。如果抓住分式方程的特殊性，那么就能感到解分式方程的基本思路是非常很自然、合理的，而不会去死记硬背解法步骤了。这也就是说，抓住分式方程的特殊性就能突出解分式方程的关键步骤及其算理，在已有的对解方程的认识的基础上再认识分式方程的解法。
此外，需要强调：本章的主要内容包括分式的基本概念、基本性质、基本运算，分式方程的基本解法等，这些都是进一步学习数学时必须具备的基础知识，打好基础很重要，因此教学中应注意通过必要的练习使学生切实掌握它们。
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新人教版八(下)第16章分式课件
16.2.1分式的乘除(二)
分式的乘方
计算
1
2
)
1
(
4
4
1
)
3
(
)
4
4
(
3
)
2
(
1
)
1
(
2
2
2
+
-
·
-
+
-
-
·
·
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
y
b
b
a
解
例题讲解
. 1. 是什么意思 表示什么 表示什么
2.计算
中的 可以是数,也可以是整式,那 可不可以是一个分式呢 即两个整式的商的 次方
即
思考
归纳
分式的乘方要把分子、分母分别乘方.
当n是正整数时
例题1:
注意:其中 表示分式的分子, 表示分式的分母,且
例题2:
例题2:
分子.分母如有多项式,则可先分解因式
例题2:
先算乘方,再算乘法
例题2:
先算乘方,再算除法
例题2:
例题3:
例题3:
练习1 P18 - 2
练习2
随堂练习
分式的乘方要把分子、分母分别乘方.
当n是正整数时
课堂作业
计算(共23张PPT)
新人教版八(下)第16章分式课件
总复习课件
分式
分式有意义
分式的值为0
同分母相加减
异分母相加减
概念
的形式
B中含有字母B≠0
分式的加减
分式的乘除
通分
约分
最简分式
解分式方程
去分母
解整式方程
验根
分式方程应用
同分母相加减
3
2
≠-2
=2
1、在代数式 、 、 、 中，分式共有（ ）
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
B
D
A
9 用科学记数法表示数：0.000000345＝__________________．
-1.1╳10-7
3.45╳10-7
2、计算： （1） 2-3；
注：负整数次幂：任何不等于零的数的负整数次幂，等于这个数的正整数次幂的倒数。
分析：当工作量一定时，工作效率与工作时间成反比，所以由“甲队30天与乙队20天所干的活相同”可知，乙队的工作效率是甲队的30/20=3/2
注：工程问题中的公式：工作量=工作时间╳工作效率，且通常设工作量=1
C
B
1
0.5
4a+3b=10
9a-7b=-5
C
广21世纪数痘
27世纪数育
www.(共20张PPT)
新人教版八(下)第16章分式课件
16.3巧解分式方程
解得：
例1：解方程
方程左边通分结果是什么？
方程右边通分结果是什么？
经检验，
是 原 方 程 的 根
解：通分得
=
像例1 这样的方程用常规解法往往复杂，采取局部通分法,会使解法很简单.这种解法称为 ——通 分 法
特别提醒
知道了吗？
会用了吗？
掌握了吗？
解方程
解
例3 ：解方程
点拨： 此方程的特点是：各分式的分子与分母的次数相同， 这样一般可将各分式拆成： 整式+分式 的形式。
特别提醒
知道了吗？
会用了吗？
掌握了吗？
像例3 各分式的分子、分母的次数相同，且相差一定的数，可将各分式拆成几项的和。这种解法称为 —— 拆 项 法
解：原方程可化为
解方程：
解：原方程可化为
两边都乘以
，并整理得；
解得
检验：x=1是原方程的根，x=2是增根
∴原方程的根是x=1
∴x= 是增根,舍去.
解方程:
x(x-2)
解:方程两边同乘以最简公分母 ,
x 2+ x -6=0
化简,得
解得 x1= x2=
检验:把x1= 代入最简公分母, x(x-2)≠0;
把x2= 代入最简公分母, x(x-2)=0
∴原方程的根是x=
2
－3
－3
2
2
－3
解方程
解：原方程可化为
两边都乘以
得
化简整理得
解得
∴经检验：
是原方程的解
还有其它方法吗？
解：原方程可化为
，方程化为
解得
可设
当
即
解得：
当
即
此方程无解
∴经检验：
是原方程的解
特别提醒
知道了吗？
会用了吗？
掌握了吗？
象以上这种用一个字母(y) 来代替原方程中的一个较复杂的代数式 从而使原
方程简化，易于求解的方法，叫换元法
y
设 x2 + x =
y
y
下面的过程请同学们自己完成
相信你们能行
以下各方程能利用换元法进行换元吗？
能
不能
能
小结
有些分式方程用常规方法-----------去分母，是很复杂 ，甚至无法求解，有时要采取其他的方法
②各分式的分子、分母的次数相同，且相差一定的数，可将各分式拆成几项的和。这种解法称为 —— 拆 项 法
①采取局部通分法,会使解法很简单.这种解法称为 ——通 分 法
⑶用一个字母来代替原方程中的一个较复杂的代数式 ，从而使原方程简化，易于求解的方法，叫换元法
教师寄语
解分式方程的方法还很多，我们只讲了有限的一点，希望同学们课后自己去发现，相信同学们有更大的收获。(共20张PPT)
新人教版八(下)第16章分式课件
总复习课件
分式
分式有意义
分式的值为0
同分母相加减
异分母相加减
概念
的形式
B中含有字母B≠0
分式的加减
分式的乘除
通分
约分
最简分式
解分式方程
去分母
解整式方程
验根
分式方程应用
同分母相加减
分式的概念问题
1、分式 有意义的条件是 ；
值为零的条件是 。
x≠1且x≠3
2、若分式 无意义，则x= 。
若分式 的值为0，则x= 。
3、在代数式 、 、 、 中，分式共有
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
4、当x<0时，化简 的结果是（ ）
(A) – 2 (B) 0 (C)2 (D)无法确定
分式的基本性质
1、下列等式从左到右的变形一定正确的是（ ）
2、写出一个分母含有两项且能够约分的分式 。
例
3
：
（
200
5
湖南湘潭）下列分式中，是最简分式的是（
）
A
、
2x
x
2
+1
B
、
.4
2x
C
、
.x
-
1
x
2
-
1
D
、
1
-
x
x
-
1
A
（2）不改变分式的值，使它的分子、分母的最高次项的系数都是正数，则
1
-
a
-
a
2
1+a
-
a
3
=_______
2
2
4
4
4
x
x
x
+
-
+
2
2
4
4
4
x
x
x
+
-
-
-
=
分式的运算
计算或化简
x
x
x
x
-
+
-
-
+
1
1
2
1
1
)
1
(
)
2
(
)
3
(
9. 若将分式 中的x、y的值都扩大2倍，则分式的值（ ）
A、扩大2倍 B、不变
C、扩大3倍 D、扩大4倍
A
例
2
：
（
1
）如果把分式
x+2y
x
中的
x
和
y
都扩大
10
倍，那么分式
的值（
）
A
、扩大
10
倍
B
、缩小
10
倍
C
、扩大
2
倍
D
、不变
D
D
负整数指数幂与科学记数法
1、某种感冒病毒的直径是0.00000012米，用科学记数法表示为 。
2、计算： （1） 2-3；
分式方程及应用
分式方程
去分母
整式方程
验根
例 解方程：
解：
两边都乘以
，并整理得；
解得
检验：x=1是原方程的根，x=2是增根
∴原方程的根是x=1
解方程：
无解
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出研究对象，建立等量关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位.
3.列:根据等量关系正确列出方程.
4.解:认真仔细.
5.验:有二次检验.
6.答:不要忘记写.
(1)一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这
件工作的时间是 小时；
(2)某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划
多用天数是 ;
解:设江水每小时的流速是x千米，根据题意得：
2.已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米
感悟与收获
这堂课你收获了什么？(共13张PPT)
新人教版八(下)第16章分式课件
16.2.3整数指数幂（二）
n是正整数时, a-n属于分式。并且
(a≠0)
例如:
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩大到全体整数。
am=
am (m是正整数）
1 （m=0）
（m是负整数）
复
习
填空：
(1) 2-1=___, 3-1=___, x-1=___.
(2) (-2) -1=___, (-3) -1=___, (-x) -1=___.
(3) 4-2=___, (-4) -2=___, -4-2= .
知识回顾
科学计数法
光速约为3×108米/秒
太阳半径约为6.96×105千米
目前世界人口约为6.1×109
小于1的数也可以用科学计数法表示。
a×10-n
a 是整数位只有一位的正数，n是正整数。
0.00001= = 10-5
0.0000257= = 2.57×10-5
思
考
0.000 000 0027=________，
0.000 000 32=________，
0.000 000……001=________，
m个0
2.7×10-9
3.2×10-7
10 -(m+1)
n=a相对于原数小数点向右移动的位数
a×10-n
1.用科学计数法表示下列数：
0.000 000 001， 0.001 2，
0.000 000 345 ， -0.000 03，
0.000 000 010 8 3780 000
课 堂 练 习
基础题
1、用科学记数法表示下列各数：
（1）０.００００３２１ （2）-０.０００１２
2、下列是用科学记数法表示的数，写出原来的数。
（1）2×10－8 （2）7.001×10－6
随堂练习
1、比较大小：
（1）3.01×10－4--------------9.5×10－3
<
（2）3.01×10－4-----------3.10×10－4
2、计算：（结果用科学记数法表示）
（6×10－3）×（1.8×10－4）
动脑筋
<
例2：一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？
请用科学记数法表示.
解： 我们知道：1纳米＝ 米.由 ＝10－９可知，
1纳米＝１０－９米.
所以35纳米＝35×１０－９米
而35×10－９＝（3.5×10）×10－９
＝35×10１＋（－9）＝3.5×10－８，
所以这个纳米粒子的直径为3.5×１０－８米.
1纳米=10-9米
1亿=108
①用科学记数法表示：
（1）0.000 03； （2）-0.000 0064；
（3）0.000 0314； （4）2013 000.
②用科学记数法填空：
（1）1秒是1微秒的1000000倍，则1微秒＝_________秒；
（2）1毫克＝_________千克；
（3）1微米＝_________米；
（4）1纳米＝_________微米；
（5）1平方厘米＝_________平方米；
（6）1毫升＝_________立方米.
随堂练习
2.计算：
(2×10-6) ×(3.2×103);
(2) (2×10-6)2÷(10-4)3
3.（提高题）用科学计数法把0.000009405表示成9.405×10n，那么n=___.
小
结
（1）n是正整数时, a-n属于分式。并且
(a≠0)
（2）科学计数法表示小于1的小数：
a×10-n
（a 是整数位只有一位的正数，n是正整数。）(共19张PPT)
新人教版八(下)第16章分式课件
16.3.2分式方程的应用
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单施工
1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，
两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪
个的施工队速度快？
例题3：
分析：甲队1个月完成总工程的 ，设乙队
如果单独施工1个月能完成总工程的 ，那么甲
队半个月完成总工程的 ，乙队完成总工
程的 ，两队半个月完成总工程的 。
根据工程的实际进度，得:
由以上可知，若乙队单独工作一个月可以完成全部任务，
对比甲队1个月完成任务的，可知乙队施工速度快。
解：设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的
方程两边同乘以6x，得：
解得： x=1
检验：x＝1时6x≠0，x＝1是原方程的解。
答：乙队的速度快。
练习：某工程队需要在规定日期内完成。若甲队单独做
正好按时完成；若乙队单独做，超过规定日期三天
才能完成。现由甲、乙合作两天，余下工程由乙队
单独做，恰好按期完成，问规定日期是多少天？
解；设规定日期是x天，根据题意，得：
方程两边同乘以x（x+3），得：
2（x＋3）＋x2=x（x＋3）
解得： x=6
检验：x＝6时x（x+3）≠0，x＝6是原方程的解。
答：规定日期是6天。
练习：P37练习1
分析：这里的字母v、s表示已知数据，设提速前列
车的平均速度为x千米∕小时，先考虑下面的空：
从2004年5月起某列车平均提速v千米∕小时，用相同
的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行
驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？
例题4：
提速前列车行驶s千米所用的时间为 小时，
提速后列车的平均速度为 千米∕小时，
提速后列车运行（s＋50）千米所用的时间为
小时。
（x＋v）
根据行驶的等量关系，得：
解：设提速前这次列车的平均速度为x千米∕小时，
则提速前它行驶s千米所用的时间为小时，提速后
列车的平均速度为（x＋v）千米∕小时，提速后它
运行（s＋50）千米所用的时间为 小时。
方程两边同乘以x（x＋v）,得：
s（x+v）=x（s+50）
解得：
检验：由于v,s都是正数， 时x（x+v）≠0,
是原方程的解。
答：提速前列车的平均速度为 千米/小时
总结：列分式方程解应用题的方法和步骤如下：
1：审题分析题意
2：设未知数
3：根据题意找相等关系，列出方程；
4：解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）
5：写答案
重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半。后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半。乙型挖土机单独挖这块地需要几天？
(1)设乙型挖土机单独挖这块地需要x天,那么它1天挖土量是
这块地的_______;
分析:请完成下列填空:
(2)甲型挖土机1天挖土量是
这块地的______;
(3)两台挖土机合挖,1天挖土
量是这块地的_____.
例４；从２００４年５月起某列车平均提速v千米／时，用相同的时间，列车提速前行使s千米，提速后比提速前多行使５０千米，提速前列车的平均速度为多少？
分析：这里的字母表示已知数据v,s，提速前列车的平均速度x千米/时
列车提速前行使 s千米所用的年时间为
小时，列车提速后的平均速度为
千米/时，列车提速后行使 (x+50)千米
所用的时间为 小时，
例题欣赏
解设列车提速前行使 的速度为 x 千米/时，根据行使的时间的等量关系，得
例４；从２００４年５月起某列车平均提速v千米／时，用相同的时间，列车提速前行使s千米，提速后比提速前多行使５０千米，提速前列车的平均速度为多少？
解得
经 检验：
x= 是原方程的解
答：提速前列车的速度为 千米/时
例题欣赏
我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌军离桥头24Km，我部队离桥头30Km，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队急行军的速度。
等量关系：
我军的时间= 敌军的时间
解：设敌军的速度为X千米/时,则我军为1.5X千米/时。
由题意得方程：
路程 速度 时间
敌军
我军
24
30
x
1.5 x
24/x
30/1.5x
？
–
设敌军的速度为X千米/时
桥
敌军
我军
24Km
30Km
农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。
请审题分析题意
分析：设自行车的速度是x千米/时，汽车的速度是3x千米/时
请根据题意填写速度、时间、路程之间的关系表
速度（千米/时） 路程（千米） 时间（时）
自行车
汽车
x
3x
15
15
请找出可列方程的等量关系
农机厂
某地
B
C
自行车先走 时
同时到达
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，
依题意得：
汽车所用的时间＝自行车所用时间－ 时
设元时单位一定要准确
即：
15＝45－2x
2x=30
x=15
经检验，15是原方程的根
由x＝15得3x=45
答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时
得到结果记住要检验。
例1：农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度。
工厂生产一种电子配件,每只成本为2元,利率为25%.后来通过工艺改进,降低成本,在售价不变的情况下,利率增加了15%.问这种配件每只的成本降低了多少
原售价=现售价
分析
设这种配件每只的成本降低了x元,
答这种配件每只的成本降低了 元。
经检验，.x= 是原方程的根
工厂生产一种电子配件,每只成本为2元,利率为25%.后来通过工艺改进,降低成本,在售价不变的情况下,利率增加了15%.问这种配件每只的成本降低了多少
售价=成本（1+利率）
抓住原售价=现售价，得
现售价=现成本（1+现利率）
原售价=原成本（1+原利率）
分析
设这种配件每只的成本降低了x元,
答这种配件每只的成本降低了 元。
一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达。已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度。
速度（千米/小时） 时间（小时） 路程（千米）
顺水
逆水
假设：轮船在静水中的速度是X千米/小时。
根据题意得：顺水比逆水快一个小时到达。
X+2
X-2
80
80
80
X-2
－
80
X+2
=
1
一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达。已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度。
X=－18（不合题意，舍去）
80
X-2
－
80
X+2
=
1
解：设船在静水中的速度为X千米/小时。
X2=324
80X+160 －80X+160=X2 －4
X=±18
检验得： X=18
答：船在静水中的速度为18千米/小时。
总结：
1、列分式方程解应用题，应该注意解题的五个步骤。
2、列方程的关键是要在准确设元（可直接设，也可间节设）的前提下找出等量关系。
3、解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系。
4、注意不要漏检验和写答案。
请同学总结该节课学习的内容
小结：
利用分式方程解决实际问题。
作业：P38 习题16.3
第3、4、5题(共20张PPT)
新人教版八(下)第16章分式课件
16.2.2 分式的加减（二）
复习回顾
1.分式的最简公分母是:
2.分式
复习回顾
1、分式的加减：
2、分式的乘除
做一做
计算
（4）
（2）
（3）
（1）
帮帮小明算算时间
这是关于分式的加减问题，你行吗？
(2)他走哪条路花费时间少
少用多长时间
从甲地到乙地有两条路,每
一个条路都是 3km. 其中第一条
是平路,第二条有1km的上坡路
, 2km的下坡路.小明在上坡路上
的骑车速度为v km/h, 在平路上
的骑车速度为2 vkm/h, 在下坡路
上的骑车速度为3vkm/h, 那么:
(1)当走第二条路时, 他从甲地
到乙地需要多长时间
走第一条路花费时间少,
少用
3v
2v
答: (1)
(2)
示意图
1
v
2
2、试解决上一张的问题
解 : (1)
(2)
（1）异分母的分数如何加减？
（2）你认为异分母分式的加减应该如何进行？
比如 : 如何计算？
(通分,将异分母的分数化为同分母的分数)
小明：
例 2 计算：
解：原式=
先找出最简公分母，再正确通分，转化为同分母的分式相加减。
例题解析 怎样进行分式的加减运算
计算:
例3
解：
例题解析 吃透例题 , 成功一半
例4
计算：
分子相减时，
“减式”要配括号！
x -3
x -3
例4
计算：
解: (2)
a2 -4 能分解 :
a2 -4 =(a+2)(a-2),
其中 (a-2)恰好为第二分式的分母.
所以 (a+2)(a-2)
即为最简公分母.
分析
先找
最简公分母.
(2)
计算 :
随堂练习 试 金 石
例题解析 学以致用 , 方为能者
练3
：阅读下面题目的计算过程。
①
= ②
= ③
= ④
（1）上述计算过程，从哪一步开始错误，请写上该步的代号
（2）错误原因
（3）本题的正确结论为
在物理学上的应用
在图的电路中,已测定CAD支路的电阻是R1欧姆,又知CBD支路的电阻R2比R1大50欧姆,根据电学的有关定律可知总电阻R与R1R2满足关系式 ,试用含有R1的式子表示总电阻R
C
A
B
D
再来试试
计算:
解：原式
又一个挑战
先化简,再求值:
,其中
试一试
小结：
（1）分式加减运算的方法思路：
通分
转化为
异分母相加减
同分母
相加减
分子（整式）相加减
分母不变
转化为
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误。
（3）分式加减运算的结果要约分，化为最 简分式（或整式）。
本节课你的收获是什么？(共21张PPT)
新人教版八(下)第16章分式课件
16.1.2分式基本性质（二）
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式 ，分式的值不变.
分式的基本性质：
2y
3x2-3xy
4n2
ab+1
（ ）
b
a
b
ab
b
ab
）
4
（
（ ）
mn
5
n
24
m
30
）
3
（
y
x
x
3
y
x
（ ）
）
2
（
xy
2
（ ）
xy
1
）
1
（
：
2
2
2
2
２
+
=
+
+
=
+
=
-
=
填空
类比分数的通分与约分你能联想分式的通分与约分是怎样的吗？
例１ 化简下列分式：
（１） （２）
解：（１）
（根据什么？）
（ 2 ）
像这样把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.
解：（１）
（ 2 ）
约分的基本步骤：（１）若分子﹑分母都是单项式，则约简系数，并约去相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
注意：约分过程中，有时还需运用分式的符号法则使最后结果形式简捷；约分的依据是分式的基本性质
练一练 课本P171的课内练习：2
化简下列分式
在化简(1)时同学甲和同学乙出现了分歧
同学甲
乙
在乙同学的化简中,分子和分母已没有公因式,这样的分式称为最简分式
化简分式时,通常要使结果成为最简分式或者整式
考考你
早晨，小明遇到一道分式化简题：
⑴ ⑵ ⑶
对于第⑴题，小明的解法如下：
解：⑴
你认为他的解法正确吗？
从中，你能看出分式化简的一般步骤吗？
先提取 －――剔出分子、分母的公因式；
再约分 ―－―简化分式 。
你会求解第⑵、⑶两题吗？
改写或分解
分式的通分：把分母不相同的几个分式化成分
母相同的分式。
小结：通分的关键是找到最简公分母，确定最简公分母的方法：系数取每个分母的系数的最小公倍数，再取各分母所有因式的最高次幂的积，一起作为几个分式的公分母。
（1）最简公分母是
（2）最简公分母是
（2）
与
(1)
解：
（1）最简公分母是
( 2 )
与
解：
（2）最简公分母是
1、下列约分正确的个数有 （ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、0个
A
2、下列各式中是最简分式的（ ）
B
1、约分：
2、最简分式：
3、化简分式时，通常使结果成为最简分式或整式。
把一个分式的分子和分母的公因式
约去,这种变形叫做分式的约分
分子和分母已没有公因式,这样的
分式成为最简分式
4.把各分式化成相同分母的分式叫做分式的通分.
小 结(共20张PPT)
新人教版八(下)第16章分式课件
16.1 .1从分数到分式
回顾与思考
1、下列两个整数相除如何表示成分数的形式：
3÷4= , 10 ÷ 3= ,
2、在代数式中，整式的除法也可以类似地表示。
试用用类似分数的形式表示下列整式的除法：
⑴ 90÷x 可以用式子 来表示。
60÷(x-6)可以用式子 来表示。
(2) n公顷麦田共收小麦m吨,
平均每公顷产量可以用式子 吨来表示.
回顾与思考
面对日益严重的土地
沙化问题, 某县决定分期分
批固沙造林. 一期工程计划
在一定的期限内固沙造林
2400公顷, 实际每月固沙造
林的面积比原计划多30公顷, 结果提前4个月完成原计划任务. 原计划每月固沙造林多少公顷
这一问题中有哪些等量关系
实际完成一期工程用了 个月.
如果设原计划每月固沙造林x公顷,
那么原计划完成一期工程需要 个月,
依据题意,可列出方程
从 环境保护 说起
原计划完成工程的时间
—实际完成的时间=4个月.
实际每月造林的面积
=原计划每月造林的面积+30公顷;
（1）长方形的面积为10cm2,长为7cm,宽应为 cm;
长方形的面积为S,长为a,宽应为 .
做一做 P4
（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2的圆柱 形容器中,水面的高度为 cm;把体积为v的水倒入底面积为S的圆柱形容器中,水面的高度为
cm.
10
7
S
a
200
33
V
S
1、上面的问题出现了代数式:
它们有什么共同特征？
议一议 分式、有理式的定义
类似分数 ,
分母中都有字母.
S
a
V
S
它们与分数有什么相同点和不同点？
相同点:
不同点:分数的分子A与分母B都是整数,而这些式子中的A,B都是整式,并且B中含有字母.
这些式子与分数一样都是 (即A÷B)的形式
A
B
议一议 分式、有理式的定义
2、什么叫做分式？
分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式 叫做分式（fraction），其中A是分式的分子，B是分式的分母。
1)分母中含有字母是分式的一大特点！
2)分式比分数更具有一般性，如：分数 仅表示 5÷3的商，而分式 则可以表示任意两个整式相除的商（除式不等于零），其中包括 5÷3 .
下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
整式与分式的区别：整式的分母中不含字母，而分式的分母中含有字母.
整式和分式统称为有理式.
整式
分式
有理式
1、分数 ， 有意义吗？
类比 分数 来 学习 分式
2、分式 成立有条件吗？
有什么条件？
3、分式 中 ，a 可取多少值？
4、计算a=1, a=2时，分式 值分别是多少？
我们知道：除数不能为0，那么分式中的分母应满足什么条件呢？
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式 才能有意义，否则无意义.
（1）当x 时，分式 有意义.
（2）当x 时，分式 有意义.
（3）当b 时，分式 有意义.
（4）当x、y满足 时，分式
有意义.
≠0
≠1
≠
x≠y
例2、当 x 取什么值时，下列分式的值为零 :
补充例题
解⑴：
由分子x+2=0，得 x=-2。
而当 x=-2时，分母 2x－5=-4－５≠0。
例
(1)
(2)
所以当x=-2时，分式 的值是零。
解⑵ ：
由分子|x|－2=0，得 x=±2。
当x=2时，分母 2x+4=4+4≠0。
当x=-2时，分母 2x+4=-4+4=0。
所以当x=2时，分式 的值是零。
分式有意义的条件：
分式的分母不等于零
分式的值为零的条件：
分式的分子等于零
且分母不等于零
分式无意义的条件：
分式的分母等于零
1.判断下列代数式是否为分式？
强调： 中，B 中一定要有字母
温馨提示： 是圆周率，它代表的是一个常数而不是字母。
例1 当x取什么值时，下列分式有意义？
⑴ ， ⑵ ， ⑶
解⑴：
由分母 x－2=0，得 x=2。
所以当 x≠2时，
解⑵ ：
由分母 4x+1=0，得 x= - 。
解 ⑶ ：
由分母|x|－3=0，得 x=±３ 。
所以当x≠ ±３时，
2
分式 有意义。
所以当 x≠- 时，
分式 有意义。
分式 有意义。
随堂练习
随堂练习
2、当x取什么值时，下列分式有意义？
（1） （2）
随堂练习
3、把甲、乙两种饮料按质量比 x∶y 混在一起 , 可以
调制成一种混合饮料. 调制 1kg这种混合饮料需要
多少甲种饮料
解⑴：由分母x－1=0，得 x=1.
(2)：由分母 x2－9=0，得 x=±3。
所以当x≠1时，分式 有意义.
所以当 x 时，分式 有意义。
4.一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所时间相等，江水的流速为多少？(只列方程)
设江水流速为v千米/时，则轮船顺流航行100千米所用时间为 小时，
逆流航行60千米所用时间为 小时.
由方程 = 可以解出v.
随堂练习
小测试
1、在下面四个有理式中,分式为( )
A、 B、 C、 D、- +
２、当x=-1时，下列分式没有意义的是( )
A、 B、 C、 D、
C
B
=-10
=2
３、⑴
当x 时，分式 有意义。
⑵ 当x 时，分式 的值为零。
4、已知，当x=5时，分式 的值等于零，
则k 。
≠
感悟与反思
1、这节课你有哪些收获？
2、目前 ,你学到了哪些式子？能举几个例子吗？
3、区分整式与分式的依据？分式成立有条件吗？
学习方法指导：
分式是表示具体情景中数量的模型，分式是分数的
代数化 ，所以其性质与运算是完全类似的。
数学(分式)与现实世界密切联系。
以前用字母表示数量关系是整式，以后表示数量关系的式子可以是分式。
作 业
1、2 、3。
P10
习题16.1
1
分 式 (1)
谢谢大家(共17张PPT)
新人教版八(下)第16章分式课件
16.3.1分式方程
知识和能力
1、了解解分式方程的基本思路和解法。
2、理解分式方程的意义，解分式方程时可能无解的原因
3、掌握解分式方程 的验根方法。
过程和方法
经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过 程，渗透数学的转 化思想，培养学生分析问题解决问题的能力。
情感态度和价值观
在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，体会数学的应用价值。
1. 什么叫做一元一次方程
2. 下列方程哪些是一元一次方程
3. 请解上述方程(4).
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间, 与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等, 江水的流速为多少
【问题】
解:设江水的流速为v千米/小时,轮船顺流航行速度为————千米/小时，逆流航行速度为_________千米/小时,顺流航行100千米所用的时间为__________小时,逆流航行60千米所用的时间为_________小时.
根据题意，得:
100
20+V
60
20-V
=
100
20+V
60
20-V
(20-V)
这个方程和我们学过的整式方程有什么不同呢
这个方程的分母中含有未知数
(20+V)
【分式方程的定义】
分母中含未知数的方程叫做 分式方程.
整式方程的未知数不在分母中
分式方程的分母中含有未知数
判断下列说法是否正确：
（否）
（是）
（是）
（是）
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
整式方程
分式方程
思考:怎样才能解 这个方程呢
100
20+V
60
20-V
=
去分母,去括号,移项,合并,系数化为1
解一元一次方程的一般步骤是什么
【解分式方程】
解分式方程
100
20+V
60
20-V
=
解：
在方程两边都乘以最简公分母(20+v)(20-v)得，
解这个整式方程，得v=5
100(20-v)=60(20+v)
检验:把v = 5 代入原方程中，左边＝右边
因此v＝５是原方程的解
分式方程
解分式分式方程的一般思路
整式方程
去分母
两边都乘以最简公分母
【解分式方程】
解分式方程
1
x-5
10
=
x2-25
解：
在方程两边都乘以最简公分母(x+5)(x-5)得，
解这个整式方程，得x=5
x+5=10
检验:把x = 5 代入原方程中，发现x-5和x2-25的值都为０，相应的分式无意义，因此x=5虽是方程x+5=10的解，但不是原分式方程
的解．实际上，这个分式方程无解．
1
x-5
10
=
x2-25
【分式方程的解】
上面两个分式方程中，为什么
100
20+V
60
20-V
=
去分母后得到的整式方程的解就是它的解，而
去分母后得到的整式方程的解却不
1
x-5
10
=
x2-25
是原分式方程的解呢？
1
x-5
10
=
x2-25
我们来观察去分母的过程
100
20+V
60
20-V
=
100(20-v)=60(20+v)
x+5=10
两边同乘(20+v)(20-v)
当v=5时,(20+v)(20-v)≠0
两边同乘(x+5)(x-5)
当x=5时, (x+5)(x-5)=0
分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与
分式方程的解相同.
分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解
【分式方程解的检验】
1
x-5
10
=
x2-25
100
20+V
60
20-V
=
100(20-v)=60(20+v)
x+5=10
两边同乘(20+v)(20-v)
当v=5时,(20+v)(20-v)≠0
两边同乘(x+5)(x-5)
当x=5时, (x+5)(x-5)=0
分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与
分式方程的解相同.
分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能
使原方程的分母为０，所以分式方程的解必须检验．
怎样检验这个整式方程的解是不是原分式的解？
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为０，则整式方程的解是原分式方程的解，否则这个解就不是原分式方程的解．
解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2、解这个整式方程.
3、 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4、写出原方程的根.
解分式方程的思路是：
分式方程
整式方程
去分母
一化二解三检验
【例题】
解分式方程
x-1
=
(x-1)(x+2)
3
x
-1
解 ：方程两边同乘以最简公分母(x－1) (x＋2),得
X(x+2)-(x-1)(x+2)=3
解整式方程,得 x = 1
检验：当x = 1 时，(x－1) (x＋2)＝０，１不是原分式方程的解，原分式方程无解．
解分式方程
2
x-1
4
=
x2-1
(1)
1
x2-x
5
=
X2+x
(2)
通过例题的讲解和练习的操作,你能总结出解分式方程的一般步骤吗
【小结】
解分式方程的一般步骤:
分式方程
整式方程
a是分式
方程的解
X=a
a不是分式
方程的解
去分母
解整式方程
检验
目标
最简公分
母不为０
最简公分
母为０
解方程分式方程
布置作业：
必作题： 习题16.3
第1题（2）、（4）、（6）、（8）题
选作题：当K为何值时，方程
X/（X-3）- 4 = K/（X-3）无解？(共22张PPT)
新人教版八(下)第16章分式课件
16.1.2分式基本性质(一)
复习回顾
1、分式的概念：
（1） 下列各式中，属于分式的是（ ）
A、 B、 C、 D、
B
（2）A、B都是整式，则 一定是分式。
（3）若B不含字母，则 一定不是分式。
×
×
2、分式有意义：
3、分式的值为零：
（1）x取何值时，分式 有意义；
（1）x取何值时，分式 的值为零；
分数的基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变.
把3个苹果平均分给6个同学，每个同学得到几个苹果？
类比分数的基本性质，你发现分式有什么性质？说说看！
分式的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分式的值不变.
分式的基本性质：
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式 ，分式的值不变.
例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)
为什么给出
由 ,
知 .
(2)
为什么本题未给
(2)
解: (1)
由
知
下列分式的右边是怎样从左边得到的？
⑴ ⑵
下列各组中分式，能否由第一式变形为第二式？
与
(2) 与
填空，使等式成立.
⑴ ⑵
（其中 x+y ≠0 ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
．
不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号
⑴ ⑵ ⑶
不改变分式的值,把下列各式的分子与分母都不含“－”号.
(1)
(3)
(2)
(4)
下列各式成立的是（ ）
（A）
(B)
(C)
(D)
D
1.若把分式
A．扩大两倍 B．不变
C．缩小两倍 D．缩小四倍
的 和 都扩大两倍,则分式的值( )
2.若把分式 中的 和 都扩大3倍,那么分式
的值( ).
A．扩大3倍 B．扩大9倍
C．扩大4倍 D．不变
B
A
不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.
⑴ ⑵
(3)
1.不改变分式的值将下列各式中的系数都化成整数.
2..不改变分式的值，使下列各式的分子与分母中的多项
式按 的降幂排列,且首项的系数是正数.
解：
不改变分式的值，使下列各式的分子与分母的最高次项系数是正数.
⑴ ⑵
⑶
