2022-2023学年山东省德州市宁津县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省德州市宁津县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若二次根式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 为了解美食节同学们最喜爱的菜肴，需要获取的统计量是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
3. 如图，在平行四边形中，于点，，则等于( )
A. B. C. D.
4. 如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点和点间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是( )
A. 勾股定理
B. 勾股定理的逆定理
C. 三角形内角和定理
D. 直角三角形的两锐角互余
5. 在同一坐标系中，函数与的图象大致是( )
A. B. C. D.
6. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
7. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( )
A. 对边相等 B. 对角线互相平分 C. 邻边相等 D. 对角线相等
8. 图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形若，且，则的长度为( )
A. B. C. D.
9. 如图，直线与轴交于点，那么不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
10. 一组数据的方差计算公式为，下列关于这组数据的说法错误的是( )
A. 平均数是 B. 中位数是 C. 众数是 D. 方差是
11. ，，三种上宽带网方式的月收费金额元，元，元与月上网时间小时的对应关系如图所示以下有四个推断：月上网时间不足小时，选择方式最省钱：月上网时间超过小时且不足小时，选择方式最省钱；对于上网方式，若月上网时间在小时以内，则月收费金额为元；对于上网方式，无论月上网时间是多久，月收费都是元所有合理推断的序号是( )
A. B. C. D.
12. 如图，正方形和正方形的顶点、、在同一条直线上，且，，点、分别是线段和的中点，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 电流通过导线时会产生热量，电流单位：、导线电阻单位：、通电时间单位：与产生的热量单位：满足已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，则的值为______ A.
14. 双减政策落地，各地学校大力提升学生核心素养，学生的综合评价分学习、体育和艺术三部分，学习成绩、体育成绩与艺术成绩按：：计入综合评价，若底底学习成绩为分，体育成绩为分，艺术成绩为分，则他的综合评价得分为______ ．
15. 已知，，则的值为______．
16. 如图，将一个边长为的正方形活动框架边框粗细忽略不计扭动成四边形，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂．若，则橡皮筋 断裂填“会”或“不会”，参考数据：．
17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的点和点分别落在轴和轴上，，，直线以每秒个单位长度向下移动，经过 秒该直线可将矩形的面积平分．
18. 如图，小明将一张长方形纸片对折，使长方形两边重合，折痕为，铺开后沿折叠，使点与上的点重合如图，再将该长方形纸片进行折叠，折痕分别为，，使长方形的两边均与重合；铺开后沿折叠，使点与上的点重合分别连结图中的与图中的，则的值为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：
；
．
20. 本小题分
为积极准备初三体育中考，某学校从报考“引体向上”项目的男生中选取了若干同学，随机分成甲、乙两个小组，每组人数相同，进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图成绩均为整数，满分为分．
甲组成绩统计表
成绩分
人数人
______ ；甲组成绩的中位数______ 乙组成绩的中位数填“”“”或“”；
求甲组的平均成绩；
计算出甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为，则成绩更加稳定的是______ 组填“甲”或“乙”．
21. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点与直线交于点．
求直线的函数表达式；
求的面积；
22. 本小题分
在平行四边形中，．
如图，延长到，使，连接，求证：四边形是矩形；
如图，点，分别是，的中点，连接，，判断四边形的形状并说明理由．
23. 本小题分
某村在政府的扶持下建起了鲜花大棚基地，准备种植，两种鲜花经测算，种植两种鲜花每亩的投入与获利情况如表：
每亩需投入万元 每亩可获利万元
种鲜花
种鲜花
政府和村共同投入万元全部用来种植这两种鲜花，总获利万元设种植种鲜花亩，求关于的函数关系式；
在的条件下，若要求种鲜花的种植面积不能多于种鲜花种植面积的倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利．
24. 本小题分
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
证明勾股定理
据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理．
应用勾股定理
应用场景在数轴上画出表示无理数的点．
如图，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是______ ．
应用场景解决实际问题．
如图，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
25. 本小题分
对于试题“如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系”，数学王老师给出了如下的思路：
延长到，使得，连接，，利用三角形全等的判定及性质解答，
请根据数学王老师的思路探究、、之间的数量关系，并说明理由；
如图，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时中的结论是否仍然成立？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：二次根式有意义，
，
，
故选：．
根据二次根式有意义的条件进行求解即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：为了解美食节同学们最喜爱的菜肴，需要获取的统计量是众数．
故选：．
根据平均数、中位数、众数和方差的意义解答即可．
本题考查了平均数、中位数、众数和方差，掌握相关统计量的意义是解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，，
，
，
，
．
故选：．
由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，可得，又因为，可得．
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，还考查了垂直的定义与三角形内角和定理．题目比较简单，解题时要细心．
4.【答案】
【解析】解：，
是直角三角形，且，
故选：．
由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，即可得得出结论．
本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、由经过第二、四象限，则，与轴交于负半轴，则，则，故此选项错误；
B、由经过第二、四象限，则，与轴交于正半轴，则，则，故此选项正确；
C、由经过第一、三象限，则，与轴交于正半轴，则，则，故此选项错误；
D、由没经过原点，图象不合题意，故此选项错误；
故选：．
分别利用一次函数和正比例函数的图象性质，分析得出即可．
此题主要考查了一次函数与正比例函数图象的性质，正确得出的符号是解题关键．
6.【答案】
【解析】解：与不是同类二次根式，不能合并，故答案A错误，
，故答案B错误，漏掉了根号，
两个二次根式相除，根指数不变，被开放数相除，故答案C正确，
，因为是求算数平方根，故答案D错误，
故选：．
只有同类二次根式才能合并，去判断，根据二次根式的乘，除运算法则判断，的正误，根据算数平方根的非负性判断的正误．
本题考查了二次根式的混合运算，特别注意的是只有同类二次根式才能进行加减．
7.【答案】
【解析】解：、对边相等是菱形和矩形共有的性质，故A选项不符合题意；
B、对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质，故B选项不符合题意；
C、邻边相等是菱形具有的性质，矩形不一定具有，故C选项符合题意；
D、对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有，故D选项不符合题意；
故选：．
菱形的性质有：四边形相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角．
矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分．
本题考查菱形与矩形的性质，解决本题的关键是对各种平行四边形性质的熟练掌握并区分．
8.【答案】
【解析】解：在中，，
，
在中，由勾股定理得，
，
故选：．
先根据含角的直角三角形的性质得出的长，再根据勾股定理求出的长即可．
本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理，含角的直角三角形的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：根据图象可得，一次函数在轴下方部分对应的的范围是，
关于的不等式的解集为．
故选：．
根据函数图象，利用数形结合即可得出结论．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的取值范围是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由方差的计算公式知，这组数据为、、、，
所以这组数据的平均数为，中位数为，众数为，
方差，
故选：．
由方差的计算公式知，这组数据为、、、，再根据方差、众数、中位数及平均数的定义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数及平均数的定义．
11.【答案】
【解析】解：由图象可知：月上网时间不足小时，选择方式最省钱，说法正确；
月上网时间超过小时且不足小时，选择方式最省钱，说法正确；
对于上网方式，若月上网时间在小时以内，则月收费金额为元，说法正确；
对于上网方式，无论月上网时间是多久，月收费都是元，说法正确，
所以所有合理推断的序号是．
故选：．
根据，，三种上宽带网方式的月收费金额元，元，元与月上网时间小时的图象逐一进行判断即可．
本题考查了函数的图象，掌握数形结合的方法是解答本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：连接交于，连接，如图：
四边形是正方形，，
，，
，
四边形是正方形，
，
，
点、分别是线段和的中点，
是的中位线，
；
故选：．
连接交于，连接，由四边形是正方形，，可得，，即得，由勾股定理知，再根据三角形中位线定理可得答案．
本题考查正方形性质及应用，涉及勾股定理及应用，三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握正方形的性质，求出的长度．
13.【答案】
【解析】解：已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，
，
故I，
则．
故答案为：．
直接把已知数据代入，进而化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
14.【答案】分
【解析】解：他的综合评价得分为：分．
故答案为：分．
根据加权平均数的计算方法即可求解．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用加权平均数的计算方法解答．
15.【答案】
【解析】解：，，
，
，
则原式
，
故答案为：．
先根据、的值求出、的值，再代入原式计算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和法则及平方差公式．
16.【答案】不会
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
设与相交于点，根据菱形的性质可得，，，，从而可得是等边三角形，进而可得，然后在在中，利用勾股定理求出，从而求出的长，即可解答．
【解答】
解：设与相交于点，
四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
，
，
橡皮筋不会断裂，
故答案为：不会．
17.【答案】
【解析】解：连接、，交于点，
当经过点时，该直线可将矩形的面积平分；
，是 的对角线，
，
，，
，
，
根据题意设平移后直线的解析式为，
，
，解得，
平移后的直线的解析式为，
直线要向下平移个单位，
时间为秒，
故答案为：．
首先连接、，交于点，当经过点时，该直线可将矩形的面积平分，然后计算出过且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移个单位，进而可得答案．
此题主要考查了矩形的性质，以及一次函数图象与几何变换，关键是正确掌握经过矩形对角线交点的直线平分矩形的面积．
18.【答案】
【解析】解：设，
如图，由折叠得，，垂直平分，
；
如图，由折叠得，，，，
，，，
垂直平分，
，
，
，
，
故答案为：．
设，在图中，可求得，在图中，由，，根据勾股定理得，，于是求得．
此题重点考查折对称的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理的应用等知识，设，根据轴对称的性质和勾股定理推导出用含的代数式表示和的式子是解题的关键．
19.【答案】解：
；
．
【解析】先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
20.【答案】 乙
【解析】解：由题意可得：，
解得，
甲组成绩一共有个，从小到大最中间为和，则中位数为，
乙组成绩的中位数为，
所以甲组成绩的中位数乙组成绩的中位数，
故答案为：，；
甲组的平均成绩为，
，
乙组的成绩更加稳定．
故答案为：乙．
由各分数人数之和等于可得的值，根据中位数的定义求出甲、乙组中位数即可得出答案；
根据加权平均数的定义求解即可；
根据方差的意义求解即可得出答案．
此题考查了平均数、众数和方差的有关内容，解题的关键是正确理解统计图．
21.【答案】解：设直线的解析式为：，
将点，代入，
得：，解得：，
直线的函数表达式为：，
解方程组，得：，
点的坐标为，
过点作于点，
，，
，，
．
【解析】设直线的解析式为，将点，代入之中，求出，即可得到直线的函数表达式；
首先解由直线的解析式与直线所组成的方程组，求出点的坐标，再过点作于点，然后根据点，的坐标得到与，进而利用三角形的面积公式可求出的面积．
此题主要考查了一次函数的图象，三角形的面积等，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，和求一次函数的交点坐标方法与技巧是解答此题的关键．
22.【答案】证明：在平行四边形中，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
，
四边形是矩形；
解：四边形是菱形，理由如下：
在平行四边形中，，，
点，分别是，的中点，
，，，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是菱形．
【解析】根据平行四边形的性质可得，，再由，可得，可得到四边形是平行四边形，再由即可求证；
根据平行四边形的性质可得，，再由点，分别是，的中点，可得，可得到四边形是平行四边形，再由直角三角形的性质，，即可求解．
本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，矩形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：由题意得：；
由题意得：，
解得，
，且，
随的增大而增大．
当时，最大值为，
此时种鲜花种植面积为亩．
当种植种鲜花亩，种鲜花亩时，总获利最大，最大总获利为万元．
【解析】根据总利润等于两种鲜花利润之和列出函数解析式；
根据种鲜花的种植面积不能多于种鲜花种植面积的倍得到的取值范围，根据函数的性质求最大值．
本题考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出函数解析式和不等式．
24.【答案】
【解析】解：由图的左图可知：，即，
由图的右图可知：，即．
．
．
即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．
在中，
，
，
点表示的数是，
故答案为：；
，，
．
设秋千的绳索长为，根据题意可得，
利用勾股定理可得．
解得：．
答：绳索的长为．
用含、的式子表示个图中空白部分的面积，即可得出结论；
根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可．
设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论．
本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
25.【答案】解：，
理由：如图，延长到，使得，连接，
四边形是正方形，
，，
又，
≌，
，，
，
，
，
又，
≌，
，
又，
；
仍然成立，理由如下：如图，延长到，使得，连接，
，，
，
又，，
≌，
，，
，
，
，
又，
≌，
，
又，
．
【解析】延长到，使得，连接，证明≌，得到，再证明≌，推出，即可得到结论；
仍然成立，延长到，使得，连接，证明≌，得到，再证明≌，推出，即可得到结论．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定定理及性质定理是解题的关键．
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