九年级上册人教版数学第二十四章 圆本章测试（含解析）

九年级上册人教版数学第二十四章圆

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一、选择题（本大题共 6 小题）
1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C等于( )
A.110° B.120° C.135° D.140°
2、OA，OB是⊙O的两条半径，且∠C=40°，点C在⊙O上，则∠AOB的度数为（ ）
A.80° B.40° C.50° D.20°
3、如图，点A,B,C，F是圆O上的四点，若 则 等于（ ）
A.70° B.110° C.120° D.145°
4、已知⊙O的半径是5cm，点O到同一平面内直线a的距离为4cm，则直线a与⊙O的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相离
5、有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③垂直于弦的直径平分弦；④平分弦的直径垂直于弦．其中正确的有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
6、如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为（ ）
A.6 B.9 C.10 D.12
二、填空题（本大题共 7 小题）
7、如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，若⊙O的半径为6，且PA=8，则△PAB的面积是______．
8、如图，等边三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积等于______．
9、半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连结OB，OC，延长CO交弦AB于点D.若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为________．
10、如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D=72°，则∠BAE=______°．
11、如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB，垂足为点D，AB=12，CD=2．则⊙O半径的长为______．
12、如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，PO与AB交于点C．若∠APB=60°，OC=1，则△PAB的周长为______．
13、如图，已知 的三边分别为6、8、10，分别以它的三边为直径向上作半圆，则图中阴影部分的面积为_____ ．
三、解答题（本大题共 5 小题）
14、如图所示：已知点C为弧AB的中点，D，E分别是半径OA，OB的中点。求证：CD=CE
15、如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C， ．
(1)求证：直线BD与⊙O相切
(2)连接CD，若CD=5，求AB的长．
16、如图，AB是⊙O直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．
求证：DC是⊙O的切线．
17、如图，⊙O是 的内切圆，切点分别是 D、E、F.已知 ， ，
(1)求∠DFE的度数．
(2)连接OA、OC，则∠AOC的度数=__________ ．
(3)连接DE，若 的周长为20.AC=6，求DE的长．
18、如图，AB是⊙O的直径，点D为圆上一点，连结CD、AD、BD，弦AC=6cm，BC=8cm．
(1)求AB的长；
(2)若CD平分∠ACB，求AD的长．
答案详解
【 第 1 题 】
【 答 案 】
D
【解析】
解析 ∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C＋∠A＝180°，
∴∠C＝180°－40°＝140°.
故选D.
【 第 2 题 】
【 答 案 】
A
【解析】
解：∵∠C=40°，
∴∠AOB=2∠C=80°．
故选：A．
直接根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，求解即可求得答案．
此题考查了圆周角定理．注意熟记定理是解此题的关键．
【 第 3 题 】
【 答 案 】
A
【解析】
解：∵
由同弧所对的圆周角是圆心角的一半得：
故 ，
故选A.
【 第 4 题 】
【 答 案 】
A
【解析】
解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，
∵d=4，r=5，
∴d＜r，
∴直线l与圆相交．
故选：A．
设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．
本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
【 第 5 题 】
【 答 案 】
C
【解析】
解：①根据直径是圆中最长的弦，故本选项正确；
②经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故本选项错误；
③根据垂径定理知，垂直弦的直径平分弦；故本选项正确；
④平分弦（不能是直径）的直径一定平分弦所对的弧，故本选项错误；
正确的有：①③两个，
故选：C．
据弦的定义可判断①的正确性；根据经过不在同一直线上的三点可以作一个圆可判断②的正确性；根据垂径定理③、④的正确性．
本题考查了垂径定理，确定圆的条件等知识点的应用，关键是能根据这些定理进行说理和判断．
【 第 6 题 】
【 答 案 】
B
【解析】
解：如图1，连接OA、OB，
，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵⊙O的半径为6，
∴AB=OA=OB=6，
∵点E，F分别是AC、BC的中点，
∴EF= AB=3，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：6×2=12，
∴GE+FH的最大值为：12-3=9．
故选：B．
首先连接OA、OB，根据圆周角定理，求出∠AOB=2∠ACB=60°，进而判断出△AOB为等边三角形；然后根据⊙O的半径为6，可得AB=OA=OB=6，再根据三角形的中位线定理，求出EF的长度；最后判断出当弦GH是圆的直径时，它的值最大，进而求出GE+FH的最大值是多少即可．
本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键．
【 第 7 题 】
【 答 案 】
30.72
【解析】
解：∵PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OP平分∠APB，PA=PB，OP
∴AC=BC，OP⊥AB，
在Rt△PAO中，由勾股定理得：OP= = =10，
由三角形面积公式得： = ，
∴6×8=10×AC，
∴AC=4.8，
即AB=2AC=9.6，PC= =6.4，
∴△APB的面积为 = =30.72，
故答案为：30.72．
根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，求出OP，求出AC，求出PC和AB，根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，三角形的面积的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
【 第 8 题 】
【 答 案 】
【解析】
解：连接OC，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AOC=120°，S△AOB=S△AOC，
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOC== π．
故答案为 π．
连接OC，如图，利用等边三角形的性质得∠AOC=120°，S△AOB=S△AOC，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积=S扇形AOC进行计算．
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形的性质．
【 第 9 题 】
【 答 案 】
或
【解析】
解：如图①，当∠ODB＝90°时，
即CD⊥AB，
∴AD＝BD，∴AC＝BC，
∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，
∴∠DBO＝30°，
∵OB＝5，
如图②，当∠DOB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
，
综上所述，若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为 或 .
【 第 10 题 】
【 答 案 】
36
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=72°，
∴∠DCB=（180°-∠D）=108°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB=∠D=72°，∠DAC=180°-∠DCB=72°
∴∠BAE=180°-72°-72°=36°，
故答案为：36
根据平行四边形的性质得到∠DCB=（180°-∠D）=108°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=72°，由三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【 第 11 题 】
【 答 案 】
10
【解析】
解：连接AO，
∵半径OC⊥弦AB，
∴AD=BD，
∵AB=12，
∴AD=BD=6，
设⊙O的半径为R，
∵CD=2，
∴OD=R-2，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即：R2=（R-2）2+62，
∴R=10，
答：⊙O的半径长为10．
连接OA，根据垂径定理求出AD=6，∠ADO=90°，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形后根据勾股定理得出方程．
【 第 12 题 】
【 答 案 】
6
【解析】
解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△PAB是等边三角形，AB=2AC，PO⊥AB，
∴∠PAB=60°，
∴∠OAC=∠PAO-∠PAB=90°-60°=30°，
∴AO=2OC，
∵OC=1，
∴AO=2，
∴AC= ，
∴AB=2AC=2 ，
∴△PAB的周长=6 ．
故答案为：6 ．
根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA=PB，推出△PAB是等边三角形，根据直角三角形的性质求出AC，由AB=2AC，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，三角形的周长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
【 第 13 题 】
【 答 案 】
24
【解析】
【分析】
此题考查了勾股定理的逆定理，先证明 为直角三角形，阴影部分面积=半圆AC+半圆BC+直角三角形ABC面积-半圆AB，求出即可.
【解答】
解： ，
∴ 为直角三角形，
则 ，
故答案为24 ．
【 第 14 题 】
【 答 案 】
证明：连接OC．
在⊙O中，∵=
∴∠AOC=∠BOC，
∵OA=OB，D、E分别是半径OA和OB的中点，
∴OD=OE，
∵OC=OC（公共边），
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD=CE（全等三角形的对应边相等）．
【解析】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质.判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL. 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．连接OC，构建全等三角形 和 ；然后利用全等三角形的对应边相等证得CD=CE.
【 第 15 题 】
【 答 案 】
证明：（1）直线BD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OD，
∵∠DAB=∠B=30°，∴∠ADB=120°，
∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=30°，
∴∠ODB=∠ADB-∠ODA=120°-30°=90°．
所以直线BD与⊙O相切.
（2）连接CD，
∠COD=∠OAD+∠ODA=30°+30°=60°，
又OC=OD
∴△OCD是等边三角形，
即：OC=OD=CD=5=OA，
∵∠ODB=90°，∠B=30°，
∴OB=10，
∴AB=AO+OB=5+10=15．
【解析】
本题考查的是切线的判断，(1)根据切线的判断定理判断BD与圆相切.(2)利用三角形的边角关系求出线段AB的长．
(1)连接OD，通过计算得到 ，证明BD与⊙O相切．
是边长为5的等边三角形，得到圆的半径的长，然后求出AB的长．
【 第 16 题 】
【 答 案 】
证明：连接OD；
∵AD平行于OC，
∴∠COD=∠ODA，∠COB=∠A；
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠A，
∴∠COD=∠COB，OC=OC，OD=OB，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠CDO=∠CBO=90°．即OD⊥CD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线．
【解析】
本题考查的是切线的判定及全等三角形的判定与性质.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点(即为半径)，再证垂直即可.连接OD，要证明DC是⊙O的切线，只要证明 即可.根据题意，可证 ≌ ，即可得 ，由此可证DC是⊙O的切线．
【 第 17 题 】
【 答 案 】
解：(1)： ， ，
，
∵⊙O是 的内切圆，切点分别是D、E、F，
，
，
．
(2)120．
(3)因为⊙O是 的内切圆，切点分别是 D、E、F，
所以AD=AF，BD=BE，CE=CF，
因为AC=6，
所以AD+CE=AC=6，
所以BD+BE=20-2AC=8，
所以BD=4，
由(1)可知， ，
又因为BD=BE，
所以 是等边三角形，
所以DE=4．
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的内切圆、切线的性质、圆周角定理、四边形内角和定理；熟练掌握切线的性质，求出∠DOE是解决问题的关键．
(1)根据三角形的内角和定理求得 ，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理得出 ，再根据圆周角定理即可得出 ．
(2)由⊙O是 的内切圆， ， ，再利用三角形内角和定理得到 ，即可得到结果．
(3)由⊙O是 的内切圆，可得AD=AF，BD=BE，CE=CF，根据题中条件求出BD的值，由 和BD=BE，得到 是等边三角形，即可解得答案．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)由⊙O是 的内切圆，∴OA平分∠BAC，OC平分∠BCA，
， ，
．
故答案为120．
(3)见答案．
【 第 18 题 】
【 答 案 】
解：（1）∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，
∴．
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB，
∴AD=BD，
设AD=BD=x，则x2+x2=102，
∴ ， 则BD=．
【解析】
本题考查圆周角定理及其推论，勾股定理．
(1)由AB是直径，得 ，得直角三角形ABC，由勾股定理求解即可；
(2)由角平分线定义得∠ACD=∠DCB，所以有AD=BD，又由AB是⊙O的直径，所以得直角三角形ABD，由勾股定理求解即可．
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