高二数学人教A版选修一第三章 圆锥曲线的方程--小结（含解析）

第三章圆锥曲线的方程--小结
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1. 已知焦点在轴上的椭圆：的焦距为，则的离心率( )
A. B. C. D.
2. 双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
3. 设抛物线上一点到轴的距离是，则点到该抛物线焦点的距离是( )
A. B. C. D.
4. 已知双曲线过点，且与椭圆有相同的顶点，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5. 椭圆被直线截得的弦长为( )
A. B. C. D.
6. 已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，若，则线段的中点的横坐标为( )
A. B. C. D.
7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交于、两点，若的周长为，则的方程为( )
A. B. C. D.
8. 设抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则( )
A. B. C. D.
9. 已知直线，若椭圆上的点到直线的距离的最大值与最小值之和为，则椭圆的离心率范围是( )
A. B. C. D.
10. 由伦敦著名建筑事务所设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
11. 若椭圆上一点到焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为( )
A. B. C. D.
12. 若抛物线上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为和，则抛物线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
13. 如图，分别为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值为( )
A. B. C. D.
14. 设双曲线的离心率是，则其渐近线的方程为( )
A. B. C. D.
15. 设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
16. 抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是( )
A. B. C. D.
17. 若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为( )
A. B. C. D.
18. 过双曲线：的右焦点作轴的垂线，与双曲线及其一条渐近线在第一象限分别交于，两点，且为坐标原点，则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
19. 定义：椭圆中长度为整数的焦点弦过焦点的弦为“好弦”则椭圆中所有“好弦”的长度之和为( )
A. B. C. D.
20. 过抛物线：的焦点的直线与交于，两点，则取得最小值时，( )
A. B. C. D.
二、填空题
21. 写出一个渐近线方程为的双曲线标准方程 ．
22. 已知为椭圆上一点，，为椭圆的焦点，则的周长为 ．
23. 设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则的坐标为______．
24. 若直线与双曲线只有一个公共点，则的值是 ．
25. 斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则 ．
26. 已知，是椭圆的两个焦点，，分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为 ．
27. 若双曲线的一条渐近线方程为，则 ．
28. 对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件：
离心率为一条渐近线的斜率为实轴长为，且焦点在轴上写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 ．
29. 已知方程，当这个方程表示椭圆时，的取值的集合为 ；当这个方程表示双曲线时，的取值的集合为 ．
30. 已知点是抛物线上一点，为其焦点，以为圆心、为半径的圆交准线于，两点，若为等腰直角三角形，且的面积是，则抛物线的方程是 ．
31. 椭圆：，，是左、右焦点，点，点为椭圆上一动点，则的最大值为 ，最小值为 ．
32. 把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”，其中为半椭圆的右焦点，是圆弧与轴的交点，过点的直线交“曲圆”于，两点，则的周长取值范围为
三、解答题
33. 本小题分
求适合下列条件的曲线的标准方程
，，焦点在轴上的椭圆的标准方程；
，，焦点在轴上的双曲线的标准方程；
焦点在轴上，且焦点到准线的距离是的抛物线的标准方程．
34. 本小题分
已知椭圆的离心率为．
当椭圆焦点在轴上时，求实数的值；
当椭圆焦点在轴上时，求实数的值．
35. 本小题分
已知双曲线方程是
Ⅰ若离心率，求双曲线的渐近线方程；
Ⅱ求双曲线焦点到渐近线的距离
36. 本小题分
已知点在椭圆上，垂直于轴，垂足为，且，求点的轨迹方程．
37. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．
求动点的轨迹的方程；
过点且不平行于轴的直线与轨迹交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的值．
38. 本小题分
已知椭圆：的离心率为，且经过点．
求椭圆的方程．
过点的直线交椭圆于、两点，求为原点面积的最大值．
39. 本小题分
根据下列条件，求相应的椭圆、双曲线、抛物线的标准方程：
椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的倍，且过点；
如果双曲线的渐近线方程为，且经过点，求双曲线的标椎方程；
顶点是双曲线的中心，焦点是双曲线的左顶点的抛物线方程．
40. 本小题分
已知是抛物线的焦点，坐标为，点是抛物线的动点，点在轴上的射影是，点．
求抛物线的方程；
求的最小值．
41. 本小题分
已知：椭圆，求：
以为中点的弦所在直线的方程；
斜率为的平行弦中点的轨迹方程．
42. 本小题分
已知某荒漠上、两点相距，现准备在荒漠上开垦出一片以、为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为．
试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程；
问农艺园的最大面积能达到多少？
43. 本小题分
已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合．
Ⅰ求双曲线和抛物线的标准方程；
Ⅱ过点作互相垂直的直线，，设与抛物线的交点为，，与抛物线的交点为，，求的最小值．
44. 本小题分
已知圆：和点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
点是曲线与轴正半轴的交点，直线交于、两点，直线，的斜率分别是，，若，求：
的值；
面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．
根据题意求出，，由即可求出结果．
【解答】
解：椭圆：的焦点在轴上，且焦距为，
，，
，，
．
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题．
由双曲线，可得渐近线方程，求得双曲线的，，即可得到所求渐近线方程．
【解答】
解：双曲线，
可得渐近线方程，
在双曲线中，，，
可得渐近线方程为．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．
由题意可得点的横坐标为，抛物线的定义可得点到该抛物线焦点的距离等于点到准线的距离，由此求得结果．
【解答】
解：由于抛物线上一点到轴的距离是，故点的横坐标为．
再由抛物线的准线为，以及抛物线的定义可得点到该抛物线焦点的距离等于点到准线的距离，
故点到该抛物线焦点的距离是，
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的性质及其几何意义，双曲线的性质及其几何意义，属于基础题．
由双曲线与椭圆有相同的顶点可得的值，结合双曲线过点可求得的值，进而求出的值，得出该双曲线的离心率．
【解答】
解：双曲线与椭圆有相同的顶点，
．
又双曲线过点，
代入求得，则，
该双曲线的离心率．
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线被椭圆所截得弦长的计算，属于基础题．
立足题设求出交点坐标，利用两点的距离公式即可求解．
【解答】
解：设交点为，，
将直线代入，
可得，
即，
，，
，，
椭圆被直线截得的弦长为：
．
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义．
画出图形，由抛物线的性质可得，所以，设，则，即可求解．
【解答】
解：由题意，抛物线的焦点为，
如图所示：线段的中点为，准线为，分别作，，，、、为垂足，
若，
由抛物线的性质可得，
所以，
设，
则，解得，
故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的定义与标准方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
利用的周长为，求出，根据离心率为，可得，求出，即可得出椭圆的方程．
【解答】
解：的周长为，
且的周长为，
，
，
离心率为，
，解得，
，
椭圆的方程为．
故答案选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与抛物线的位置关系，向量的数量积，考查计算能力，属于中档题．
求出抛物线的焦点坐标，求出、的坐标，然后求解向量的数量积即可．
【解答】
解：抛物线：的焦点为，
过点且斜率为的直线为：，
联立该直线与抛物线：，消去可得：，
解得，，不妨设，，
所以，．
则．
故选D．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的几何意义，直线与椭圆的位置关系，两平行线间的距离公式．
【解答】
解：设为椭圆上任意一点，
则点到直线的距离，其中为锐角，且，
，
当，即，，，
则，解得，
当，即时，
，，
则，等式恒成立，
综上所述，，
，
故选：．


10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．
利用已知条件列出方程组，得到，，，即可求解双曲线的渐近线方程．
【解答】
解：双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为，离心率为，
可得：，解得，，，
所以双曲线的渐近线方程为：
故选B．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题给出椭圆上一点到一个焦点的距离，求点到另一个焦点的距离．着重考查了椭圆的定义与标准方程等知识，属于基础题．
根据椭圆的方程可得椭圆的焦点在轴上，长轴再根据椭圆的定义得，由此结合加以计算，可得，从而得到答案．
【解答】
解：椭圆的方程为，
该椭圆的焦点在轴上，，可得．
根据椭圆的定义，得
椭圆上一点到焦点的距离，
点到另一个焦点的距离．
故选：

12.【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线上点到抛物线对称轴的距离为，设该点为根据点坐标适合抛物线方程及点到焦点的距离为，列方程组，解之可得与的值，从而得到本题的答案．
本题已知抛物线上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离，求抛物线的焦参数，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
【解答】
解：抛物线上一点到抛物线对称轴的距离为，
设该点为，则的坐标为
到抛物线的焦点的距离为
由抛物线的定义，得
点是抛物线上的点，
由联立，解得，或，
则抛物线方程为或．
故选：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由是面积为的正三角形，可得，把代入椭圆方程，与联立解得即可得出结果．
【解答】
解：是面积为的正三角形，
，
解得．
，
代入椭圆方程可得：，与联立解得：．
故选B．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．
利用双曲线的离心率，求出，的关系式，然后求渐近线方程即可．
【解答】
解：双曲线的离心率是，
可得，则，得出，
则其渐近线的方程为，即．
故选A．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．
先求出直线的方程和双曲线的渐近线方程，根据直线平行和垂直即可求出，的值，可得双曲线的方程．
【解答】
解：抛物线的焦点坐标为，
则直线的方程为，
双曲线的方程为的渐近线方程为，
的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，
，，
，，
双曲线的方程为，
故选：．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断为等边三角形是解题的关键，先判断为等边三角形，求出的坐标，可求出等边的边长的值，由此即可求解．
【解答】
解：由抛物线的定义可得，
的斜率等于，
的倾斜角等于，
，
，故为等边三角形．
又焦点，的方程为，
设，，
由得， ，
，
等边三角形的边长，
的面积是，
故选C．

17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的定义，双曲线的定义，考查了余弦定理的应用，属于中档题．
根据椭圆和双曲线的定义求出，再利用余弦定理可求出的值．
【解答】
解：由于椭圆和双曲线的共同焦点为，，可得，
可知：点是两曲线的一个交点，
不妨设，
根据椭圆和双曲线的定义可得
解得
在中，由余弦定理可得，
故选A．

18.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查双曲线的离心率，属于基础题．
设渐近线的方程为，则，，由，求出，，即可求解．
【解答】
解：由题意得右焦点，设一渐近线的方程为，
则，，
，
，
，
，，
．
故选D．

19.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与椭圆的关系，弦长公式，属于基础题．
先求出，，的值，利用椭圆的性质求出椭圆中过焦点的弦的最小值以及最大值，再根据“好弦”的定义即可求解．
【解答】
解：由已知可得，，
所以，
由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直轴时弦长最短，
所以当时，最短的弦长为，
当弦与轴重合时，弦长最长为，
则弦长的取值范围为，
故弦长为整数的弦有到的所有整数，
则“好弦”的长度和为．
故选B．

20.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是直线与抛物线的综合运用、韦达定理、基本不等式等；考查学生对知识点灵活运用、计算能力．
抛物线上点到焦点的距离，，根据直线与抛物线方程联立可得，故可求的最小值，即可求取等号成立时的值，代入可求的值．
【解答】
解：抛物线的焦点；
若直线斜率不存在，由直线经过可知直线的方程为，
在中令，得，
此时，
；
若直线斜率存在，设直线的方程为代入到抛物线方程，得，
显然，否则直线和抛物线不可能有两个交点；
设，，
则；
由抛物线的定义可得，，
所以
，
当且仅当，时取等号．
此时
．
故选：．

21.【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的标准方程，属基础题．
由双曲线的渐近线可设其方程为，可得结果．
【解答】
解：双曲线的渐近线方程为，可将双曲线的方程设为，可以取不为的任意实数，如，双曲线的标准方程为．
故答案为：答案不唯一

22.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的定义．
根据题意求出，再利用椭圆的定义求解．
【解答】
解：由题得
，
由题得的周长为
．
故答案为：．

23.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆的方程，考查分类讨论思想方法，属于中档题．
设，，，求得椭圆的，，，由于为上一点且在第一象限，可得，为等腰三角形，可能或，分类讨论即可得出的坐标．
【解答】
解：设，，
由椭圆：可得，，，，
则取，
由于为上一点且在第一象限，可得，
为等腰三角形，可能或，
所以
解得
所以
故答案为

24.【答案】或或或
【解析】
【分析】
本题考查直线与双曲线的位置关系．
先将直线方程与双曲线方程联立，可得，结合直线与双曲线只有一个公共点，再分和讨论即可．
【解答】
解：由，消去，得．
当，即时，显然符合题意
当时，则由，
解得，故或．
故答案为或或或．

25.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线中的弦长问题，属于基础题．
先求出抛物线的焦点坐标，从而求出直线方程，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系从而可求得答案．
【解答】
解：抛物线的焦点为，
则直线的方程为，
联立得，
所以，
从而 ，
故答案为：．

26.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆方程和性质，考查向量的坐标表示及最值的求法，解题时要认真审题，属于中档题．
解法一：求得椭圆的焦点和，的坐标，以及直线的方程，设出，求得的坐标表示，由的几何意义：表示原点与上的点的距离的平方，运用点到直线的距离公式即可得到所求最小值．
解法二：求得椭圆的焦点和，的坐标，设，则 ，求得的坐标表示，将代入，运用二次函数性质求最小值．
【解答】
解：解法一：椭圆，
，，，，
可得的方程为，
设，，
则
，
由的几何意义：表示原点与上的点的距离的平方．
可得原点到直线的距离取得最小，且为，
即有的最小值为．
解法二：
解：由椭圆，得，，则，
，，，，
设，则 ，
即，，
，，
，，
当时，有最小值为，
故答案为．

27.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的渐近线方程、双曲线性质等基础知识，考查运算求解能力．双曲线的一条渐近线方程为，列出方程，能求出的值．
【解答】
解：在平面直角坐标系中，
双曲线的一条渐近线方程为，即渐近线方程为：，
，解得．
故答案为．

28.【答案】；
；

【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基础题．
选择条件，，，分别求解双曲线的实半轴，虚半轴的长，写出一个标准方程即可．
【解答】
解：如果选，
双曲线的离心率为，可得，可得，所以，
一条渐近线的斜率为，
所以双曲线的焦点坐标在轴，，
所以双曲线的标准方程为：；
如果选，
双曲线的离心率为，可得，可得，所以，
实轴长为，且焦点在轴上．所以，，
所以双曲线方程为：；
如果选，
实轴长为，且焦点在轴上．，
一条渐近线的斜率为，
所以，可得，
所以双曲线的标准方程为：．
故答案为：；；．

29.【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查表示椭圆及双曲线的条件，属于基础题．
由且，解出即可得表示椭圆时的范围；由，解出即可得表示双曲线时的范围．
【解答】
解：由，且，
解得，此时为椭圆，
由，
解得，此时为双曲线．
故答案为；．

30.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义、方程，考查等腰直角三角形性质以及运算能力，属于中档题．
由等腰直角三角形性质可得，由抛物线的定义和三角形的面积公式，计算即可得到的值，进而得到抛物线方程．
【解答】
解：设准线与轴交于，
由题意可得，
可得，，从而，
由抛物线的定义可得到准线的距离也为，
又的面积为，
可得，
解得，则抛物线的方程为．
故答案为．

31.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了与椭圆有关的最值求法，考查了数学转化思想方法，是中档题．
利用椭圆的定义可得，结合三角形中的三边关系进一步分析即可得答案．
【解答】
解：椭圆：，
，，，
，．
如图所示，点在椭圆内部，
点为椭圆上的点，
则，
，
，
又，
，
即
故答案为；．

32.【答案】
【解析】
【分析】
本题是圆与椭圆的综合问题，考查椭圆和圆的定义和性质，以及直线的倾斜角的范围，考查分类讨论思想和数形结合思想，化简运算能力，属于较难题．
首先判断直线的斜率不能为，设直线的倾斜角为，，求得，的坐标，以及圆的圆心和半径，求得直线经过“曲圆”与轴的交点，的倾斜角，分别讨论当时，当时，当时，，的位置，结合椭圆的定义和圆的定义和等腰三角形的性质，可得的周长的范围．
【解答】
解：显然直线的斜率不能为，设直线的倾斜角为，，
由半椭圆方程为可得，
圆弧方程为：的圆心为，半径为，
且恰为椭圆的左焦点，，
设“曲圆”与轴的两个交点为，，
当直线经过时，，即有；
当直线经过时，，即有．
当时，、分别在圆弧：、
半椭圆上，
为腰为的等腰三角形，则，
的周长；
当时，、分别在圆弧：、
半椭圆上，
为腰为的等腰三角形，且，
的周长；
当时，、在半椭圆上，
的周长．
综上可得，的周长取值范围为．
故答案为：．

33.【答案】解：由题意，设椭圆的标准方程为，
根据题意知，，
，，
故椭圆的标准方程为：，即．
解：由题意，设双曲线的标准方程为，
，，
，，
所以双曲线的标准方程是．
由题意，设抛物线的标准方程为，
焦点到准线的距离是，
，即，
抛物线的标准方程为或．
【解析】本题考查抛物线方程的求法，椭圆以及双曲线方程的求法是基本知识的考查．
由焦点在轴上设出椭圆的标准方程，利用，，直接得出椭圆的标准方程；
由焦点在轴上设出双曲线的标准方程，利用，，直接得出双曲线的标准方程；
由焦点在轴上设抛物线的标准方程为，利用已知条件求解抛物线的标准方程即可．
34.【答案】解：椭圆化为．
当椭圆焦点在轴上时，则，，则，
则，解得： ．
当椭圆焦点在轴上时，则，，则，
则，解得：．
【解析】本题主要考查了椭圆的标准方程以及椭圆的几何性质，属于基础题．
当椭圆焦点在轴上时，则，，则，利用离心率构造出关于的方程，求解即可；
当椭圆焦点在轴上时，则，，则，利用离心率构造出关于的方程，求解即可．
35.【答案】解：Ⅰ离心率，则，
即，
．
则双曲线的渐近线方程为．
Ⅱ由Ⅰ得，即，
因为，
所以，
取双曲线一个焦点为，
取一渐近线为，即．
所以焦点到渐近线的距离为：
【解析】本题考查了双曲线的性质及几何意义，涉及到点到直线的距离公式，属于基础题．
Ⅰ已知双曲线的离心率，则，进而求得从而得到其渐近线方程；
Ⅱ由Ⅰ得，即，因为，所以，取双曲线一个焦点为，利用点到直线的距离公式即可求得焦点到渐近线的距离．
36.【答案】解：设点的坐标为，点的坐标为，则，
，即，
可知
因为点在椭圆上，
所以有，
把代入得，
所以点的轨迹是焦点在轴上，标准方程为的椭圆
【解析】本题主要考查了与椭圆有关的轨迹方程，属于基础题．
根据题意确定点、之间的关系，利用点在椭圆上，可求点的轨迹方程．
37.【答案】解：设，
则，
由，可得：
化简得：，即动点的轨迹方程为，
由题意知直线斜率存在，设直线的方程为，，，
由得，
，
，
的值为．
【解析】本题主要考查动点轨迹方程，直线与抛物线的位置关系以及定值问题，属于较难题．
直接由动点满足，即可求出轨迹方程
设直线的方程，联立抛物线方程求得，结合韦达定理及直线的斜率公式即可求解．
38.【答案】解：由 ，
得 ，
由椭圆经过点，得，
联立，解得 ，
所以椭圆的方程是
易知直线的斜率存在，设其方程为．
将直线的方程与椭圆的方程联立，
消去得 ．
令，得．
设，，
则，．
所以
，
因为
，
设，
则

当且仅当，即时等号成立，
此时面积取得最大值．
【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形最大面积的计算．考查运算推理能力和计算求解能力．属于中档题．
由 ，得 再由椭圆经过点，能求出椭圆的方程．
设直线方程为将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得再由根的判别式和韦达定理能够求出三角形面积的最大值．
39.【答案】解设椭圆方程为，
，
又过点
由可得：，，椭圆方程为：
因为双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为，
将点代入得，
即，
所以双曲线的方程为：
由题可知双曲线方程为：，
所以，
左顶点为，设抛物线方程为，
所以，
所以抛物线方程为．
【解析】本题考查圆锥曲线的标准方程的求法，属于基础题．
设椭圆方程为，根据条件列方程组，求出，可得结果；
设双曲线的方程为，将代入，可得结果；
由双曲线的左顶点为，可得，可得结果．
40.【答案】解：因为抛物线的焦点坐标为，
所以．
所以抛物线的方程为：．
抛物线焦点，准线，
如图，延长交准线于，由抛物线定义得，
，而，
，当且仅当，，三点共线时，取“”号，此时，位于线段上，
的最小值为．

【解析】本题考查抛物线的标准方程、与抛物线定义有关的距离最值问题，属于中档题．
根据焦点坐标求出，即可得到抛物线的方程；
画出图形，分析可知当，，三点共线时，取到最小值，即可求解．
41.【答案】解：设弦的端点，，可得：，，
相减可得：，
因为为弦的中点，
所以，，
带入上式可得：．
以为中点的弦所在直线的方程为：，
化简得：．
设直线方程为：，弦的端点，，中点．
联立，化为：，
由，解得：．
，即，．
又，，
．
【解析】设弦的端点，，可得：，，相减化简再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．
设直线方程为：，弦的端点，，中点直线方程与椭圆方程联立化为：，由，化为：再利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
42.【答案】解：以所在直线为轴，的中垂线为轴
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，．
设平行四边形的另两个顶点为，，
则由已知得．
由椭圆定义知点在以，为焦点，以为长轴长的椭圆上，
此时，，则．
点的轨迹方程为，
同理点轨迹方程同上．
，
所以当为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为．

【解析】本题考查了椭圆的定义和椭圆的几何性质，是中档题．
以所在直线为轴，的中垂线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，设平行四边形的另两个顶点为，，则由已知得根据椭圆的定义可以得出答案
，根据点的范围进行求解．
43.【答案】解：Ⅰ由题意可得，即，
所以双曲线方程为，
将点代入双曲线方程，可得，
所以双曲线的标准方程为，
，所以，即，
所以抛物线的方程为．
Ⅱ由题意知，，与坐标轴不平行，
设直线的方程为，
，整理可得，
恒成立，，
因为直线，互相垂直，可设直线的方程为，
同理可得，
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
【解析】本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力．
Ⅰ由双曲线的渐近线方程可得，的关系，点代入双曲线方程，解得，，可得双曲线方程；求得双曲线的焦点，可得，进而得到抛物线方程；
Ⅱ由题意知，设直线和的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，以及弦长公式，化简整理，结合基本不等式可得所求最小值．
44.【答案】解：圆：的圆心为，半径为，
点在圆内，，
所以曲线是，为焦点，长轴长为的椭圆，
由，，得，
所以曲线的方程为．
，设，，
联立方程组，
得，
由，解得，
，，
由知
，
且，代入化简得，
解得，
，，
当且仅当时取等号．
综上，面积的最大值为．
【解析】本题考查的知识要点：椭圆的方程的求法及应用，直线和圆锥曲线的位置关系的应用．
利用定义求出椭圆的方程．
建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系求出的值．最后求出三角形面积的最大值．
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