高二数学人教A版选修一第二章 直线和圆的方程--小结（练习）（含解析）

第二章直线和圆的方程 --小结
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1. 直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2. 如果直线与直线平行，那么实数等于( )
A. B. C. D.
3. 两圆和的位置关系是( )
A. 内切 B. 外离 C. 外切 D. 相交
4. 过点且倾斜角为的直线方程为( )
A. B. C. D.
5. “”是“直线与圆相切”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 过点引直线，使，到它的距离相等，则这条直线的方程是( )
A. B.
C. 或 D. 或
7. 在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 已知点，是直线上一动点，与是圆：的两条切线，，为切点，则四边形的最小面积为 ( )
A. B. C. D.
9. 已知点和点关于直线对称，斜率为的直线过点交于点，若的面积为，则的值为( )
A. 或 B. C. D.
10. 设点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11. 已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
12. 过点作直线交圆：于，两点，设，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
13. 唐代诗人李顾的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A. B. C. D.
14. 若函数的图象与直线有公共点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
15. 几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点，是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大”如图，其结论是：点为过，两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是( )
A. B. 或 C. 或 D.
16. 过坐标轴上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题
17. 过圆：外一点作直线交圆于，两点，则弦的中点( )
A. 轨迹为圆 B. 满足方程
C. 轨迹为一段圆弧 D. 满足方程
18. 已知直线与圆相交于，两点，弦的中点为下列结论，正确的是( )
A. 实数的取值范围为 B. 实数的取值范围为
C. 直线的方程为 D. 直线的方程为
19. 已知圆：和圆：的公共点为，，则( )
A. B. 直线的方程是
C. D.
20. 下列命题正确的有( )
A. 若方程表示圆，则的取值范围是
B. 若圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是
C. 已知点在圆：上，的最大值为
D. 已知圆和，圆和圆的公共弦长为
21. 设，为正数，若直线被圆截得弦长为，则( )
A. B. C. D.
22. 关于圆，下列说法正确的是( )
A. 的取值范围是
B. 若，过的直线与圆相交所得弦长为，其方程为
C. 若，圆与圆相交
D. 若，，，直线恒过圆的圆心，则恒成立
23. 在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足其中是正数，且，则的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆下列结论正确的是( )
A. 阿波罗尼斯圆的圆心恒在轴上
B. 始终在阿波罗尼斯圆内
C. 当时，阿波罗尼斯圆的圆心在点的左边
D. 当时，点在阿波罗尼斯圆外，点在圆内
24. 以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则
D. 圆上存在个点到直线的距离都等于
三、填空题
25. 若点在过点，的直线上，则 ．
26. 过点作圆的两条切线，切点分别为、，则弦的长为 ．
27. 在平面直角坐标系中，为直线：上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点若，则点的横坐标为 ．
28. 已知圆和圆的公共弦所在直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为 ．
29. 平面直角坐标系中，已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆交圆于，两点，点在上且满足，则点的轨迹方程是 ．
30. 已知点，实数是常数， 是圆上不同的两点，是圆上的动点，如果关于直线对称，则面积的最大值是 ．
31. 在平面直角坐标系中，已知直角中，直角顶点在直线上，顶点，在圆上，则点横坐标的取值范围是 ．
32. 已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为 ；直线过定点 ．
四、解答题
33. 本小题分
下列各方程是否表示圆？若表示圆，则求其圆心的坐标和半径：
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
34. 本小题分
已知直线．
若，求实数的值；
当时，求直线与之间的距离．
35. 本小题分
已知圆过点
求圆的方程；
求圆关于直线对称圆的方程．
36. 本小题分
已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线，，切点为，B.
当切线的长度为时，求点的坐标；
若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
37. 本小题分
已知方程，．
若此方程表示圆，求的取值范围；
若中的圆与直线相交于，两点，且为坐标原点，求的值．
38. 本小题分
已知圆，圆．
若圆、相交，求的取值范围
若圆与直线相交于、两点，且，求的值
已知点，圆上一点，圆上一点，求的最小值的取值范围．
39. 本小题分
已知点，，．
求中边上的高所在直线的方程；
求过，，三点的圆的方程．
40. 本小题分
在平面直角坐标系中，设直线，直线．
求证：直线过定点，并求出点的坐标；
当时，设直线的交点为，过作轴的垂线，垂足为，求点到直线的距离，并求的面积．
41. 本小题分
已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点．
求圆的方程；
若圆与直线交于，两点，_____________________ ，求的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件：；条件：．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
42. 本小题分
如图所示，、分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中为、的交点若、两点分别为该市路公交车的起点站和终点站，且、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧，站点到直线、的距离分别为和，站点到直线、的距离分别为和．
建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程
为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址注：地址视为一个点，设为点在点上方，且点到点的距离大于且小于，并要求公交线路即圆弧上任意一点到游乐场的距离不小于 ，求游乐场距点距离的最大值．
43. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知经过原点的直线与圆交于两点．
若直线与圆相切，切点为，求直线的方程；
若，求直线的方程；
若圆与轴的正半轴的交点为，设直线的斜率，令，设面积为，求．
44. 本小题分
规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球是指该球的球心点两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：
如图，设母球的位置为，目标球的位置为，要使目标球向处运动，求母球球心运动的直线方程；
如图，若母球的位置为，目标球的位置为，能否让母球击打目标球后，使目标球向处运动
若的位置为时，使得母球击打目标球时，目标球运动方向可以碰到目标球，求的最小值只需要写出结果即可
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的倾斜角，属于基础题．
将直线化为，设倾斜角为，则，即可求解．
【解答】
解：由得，
，
设倾斜角为，则，
因为，
得．
故答案为．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等，属于基础题．
根据它们的斜率相等，可得，解方程求的值．
【解答】
解：直线与直线平行，
它们的斜率相等，
，，
经验证时，满足题意，
故选A．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定，属于基础题．
由已知中两圆的方程：和，先求出圆心坐标及半径，进而求出圆心距，比较与及的大小，即可得到两个圆之间的位置关系．
【解答】
解：圆表示以点为圆心，以为半径的圆；
圆表示以点为圆心，以为半径的圆；
，
，
圆和圆相交
故选D．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线的点斜式方程的应用，属基础题．
由题意设出直线的点斜式方程，整理可得．
【解答】
解：由题意可得直线方程为，
整理得：．
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了充分、必要条件的判定方法、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
若直线与圆相切，，即可判断出结论．
【解答】
解：若直线与圆相切，，
所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线方程的求法，考查直线斜率求法和中点坐标公式，考查分类讨论思想，属于中档题．
分两种情况讨论：过且与直线平行的直线；过点与线段的中点的直线，分别求解即可．
【解答】
解：由题意得，
线段的中点为．
分两种情况讨论：过且与直线平行的直线满足题意，
其方程为，
整理得
过点与线段的中点的直线满足题意，
其方程为，
整理得．
故满足条件的直线方程是或，
故选D．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，是中档题．
由题意分两种情况讨论，结合三角函数的最值即可得解．
【解答】
解：由题意，
当时，，
当时，
当时，
，
其中，
当时，，
的最大值为．
故选C．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系中的最值问题，属于拔高题．
先根据切线的性质得到垂直关系， 取最小值时，、也取得最小值，
当与直线垂直时，取最小值，进而即可求解四边形的最小面积．
【解答】
解：如图所示，
由切线的性质可知，，，
且，，
当取最小值时，、也取得最小值，
显然当与直线垂直时，取最小值，
且该最小值为点到直线的距离，
即，
此时，
四边形面积的最小值为
，
故选A．

9.【答案】
【解析】
【分析】
考查直线的交点，点到直线的距离公式，三角形面积，中档题．
设直线为，求出直线与的交点，利用，求出即可．
【解答】
解：设直线为，点到直线：的距离为，
设到直线的距离为，由，故，
所以，由，得，
由 ，
化简得，
即，
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与线段无公共点时参数的范围，此题常采用的技巧是借助图象求参数的取值范围，属于一般题．
直线过定点，直线与线段没有交点转化为过定点的直线与线段无公共点，作出图象，由图求解即可．
【解答】
解：直线恒过点，
且斜率为，
，
，
由图可知：且，
，
故选C．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查与圆有关的最值问题，属于中档题．
作圆的圆心关于轴的对称点后，点在与连线与轴的交点处，连接与与圆的交点即为，，据此即可解答．
【解答】
解：由题意知，关于轴的对称点为 ，
那么 ，
而 ， ，
．
故选D．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查圆中的最值的求法，属于中档题．
可先判断与圆的位置关系，进而判断的符号，再转化为的范围求解即可．
【解答】
解：因为，
所以点在圆：内，则反向，
所以，由得，
因为圆：方程为，其半径为，
当直线过点与圆心时，与分别取最大值与最小值，
所以，即，
所以，
故选A．

13.【答案】
【解析】
【分析】
考查点关于直线的对称点的计算，点到点的距离最值问题，属于中档题．
求出关于的对称点，根据题意，为最短距离，求出即可．
【解答】
解：设点关于直线的对称点，设军营所在区域为的圆心为，
根据题意，为最短距离，先求出的坐标，
的中点为，直线的斜率为，
故直线为，
由，联立得
故，，
所以，
故A，
故选B．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查由直线与半圆的公共点求参数范围，属中档题．
根据题意作出图像，一个临界是直线与半圆相切，一个临界是直线过点，即可求解．
【解答】
解：如图，函数可化简为，
表示的是以为圆心，为半径的圆的下半部分，
根据题意作出图像．如图，
一个临界是直线和半圆相切，即圆心到直线的距离等于半径，，
解得，正值舍去；
另一个临界是直线过点代入得．
故实数的取值范围为．
故选B．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与圆的位置关系及判定的应用，考查圆的标准方程，直线方程，属于较难题．
由已知可得圆的方程为：，对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，可得当取最大值时，经过，，三点的圆必与轴相切于点，利用直线与圆相切的关系可得点坐标，则答案可求．
【解答】
解：，中点坐标，，
则经过、两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上，
设圆心为，
则圆的方程为：，
对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，
当取最大值时，经过，，三点的圆必与轴相切于点，
即圆的方程中的值必须满足，
解得 或．
即对应的切点分别为和，
而过点，，的圆的半径大于过点，，的圆的半径，
，
故点为所求，
点的横坐标为．
故选D．

16.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查直线与圆的位置关系，注意分析与的关系．
根据题意，由切线的性质可得，，进而可得，变形可得，即有，即，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，圆，其圆心为，半径，
过点作圆的切线，切点为、，则，，
则，
又由，变形可得：，则有，
又由，，
则，，
即可得：，
解可得：或，
即的取值范围是，
故选C．

17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了与圆相关的轨迹问题，属基础题．
设，由得到点的轨迹方程为一段圆弧．
【解答】
解：设，则，，
由垂径定理可知：，即，
所以， 整理得：，
而点为弦的中点，必在圆内，
故其轨迹为以为圆心，为半径的一段圆弧．
故选CD．

18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的中点弦问题，难度一般，解答时注意垂径定理的运用，属于基础题．
方程表示圆以及点在圆内可解得的取值范围，然后利用点斜式写出直线的方程．
【解答】
解：若弦的中点为，则点一定在圆内，且方程表示圆，得，得，故A正确；
由，又，由点斜式得，
直线的方程为，即，故D正确．
故选：．

19.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的方程的应用，两个圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
求出圆的圆心与半径，然后求解圆心距，判断；求出相交弦所在的直线方程判断；利用距离公式判断；利用半径、半弦长和弦心距的关系判断；
【解答】
解：圆：的圆心，半径为，圆：的圆心，半径为，圆心距为：，所以A正确；
公共弦所在的直线方程为：，即，所以B正确；
，，，所以与不垂直，所以不正确；
，所以D正确．
故选：．

20.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系和与圆有关的最值问题属于较难题．
根据圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系和与圆有关的最值问题等对选项逐一判断即可．
【解答】
解：对于、圆方程可化为，
由于该方程表示圆，故，
解得，故A错误；
对于、圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，
圆心的纵坐标也是，
设圆心坐标，则，
又，，
该圆的标准方程是，故B正确；
对于、设，即，
则圆的标准方程为，
即圆心坐标为，半径，
则圆心到直线的距离，即，
可得，
解得，
故的最大值是，故C错误；
对于、两圆方程相减，得圆和圆的公共弦所在直线方程为：，即，
圆心到直线的距离，
圆和圆的公共弦长，故D正确，
故选BD．

21.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的应用，属于中档题．
化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，把圆心坐标代入直线方程可得，再由基本不等式得到，把变形，结合“”的代换求其最小值，则答案可求．
【解答】
解：由，得，
可得圆心坐标为，半径为，
直线被圆截得弦长为，
直线过圆心，则，即，
又，为正数，
，可得，
当且仅当，时取等号．
又
，
当且仅当，即时取等号．
故选：．

22.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二元二次方程表示的曲线与圆的关系，圆中的弦长求法，圆与圆的位置关系的判断，利用基本不等式求最值，属于中档题．
对于，若方程表示圆，则，求解即可判断；
对于，需要对过的直线的斜率存在与不存在两种情况分类讨论，斜率存在时直接验证即可；斜率不存在时，利用弦长公式，转化为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解；
对于，利用两圆心间的距离与两圆半径间的关系即可判断两圆的位置关系；
对于，由已知得，利用基本不等式求解即可．
【解答】
解：对于，若方程表示圆，
则，化简得，故A正确；
对于，若，则圆，即
，圆心为，半径为．
过的直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，则过的直线与圆相交所得弦长为；
过的直线的斜率存在时，设直线的斜率为，
则直线方程为，即，
设圆心到直线的距离为，因为弦长为，
则，解得，
故，解得，
所以直线方程为，即，
故满足条件的直线方程为或，
故B错误；
对于，若，则圆，即
，圆心为，半径为．
圆的圆心为，半径为，
所以两圆心间的距离为，又，
故两圆相交，故C正确；
对于，若，则圆的圆心为，
又直线恒过圆的圆心，则，又，，
则
当且仅当，即时等号成立，
故D正确．
故选ACD．

23.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查轨迹方程的求法及点与圆的位置关系的判断，考查运算求解能力，属于较难题．
以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，，根据定义求得圆的方程并化为标准方程，得到圆心坐标与半径，然后分别判断．
【解答】
解：对于、依题意可得，只有建立适当的平面直角坐标系后，才能确定阿波罗尼斯圆的的圆心是否在轴上，故A错误．
若以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设，其中为正数．
因为动点满足其中是正数，且，
所以，化简得，
即，
所以该圆的圆心的坐标为，半径．
对于、因为，
所以当时，，即，
因此圆心在点的左边，所以C正确；
对于、当时，因为，
，
所以点在圆外，点在圆内，故D正确，不正确．
故选CD．

24.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线和圆的位置关系，两圆的位置关系，两个圆的公切线的条数，以及直线过定点问题．
对于，将方程写成，然后由求解即可．
对于，根据题意设的坐标为，圆心为，由切线的性质得点在以为直径的圆上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦所在的直线方程，再求出直线过的定点坐标即可．
对于，把圆的方程化为标准形式，分别求出圆心和半径，求出两圆的圆心距，由圆与圆有三条公切线可得两圆外切，进而得到两圆的圆心距等于两圆的半径和，即可判断．
对于，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，结合，即可判断．
【解答】
解：对于，直线，
即，
由，解得
所以直线过定点，A错误
对于，因为点为直线上一动点，
所以设，
显然点不能在圆上，即或，
因为、是圆的两条切线，切点分别为、，为圆心，
所以，
所以点在以为直径的圆上，
即弦是圆和圆的公共弦．
因为圆心的坐标是，且半径，
所以圆的方程为 ，
又，
所以，得，
即公共弦所在的直线方程为，
所以由，得
所以直线过定点，B正确；
对于，曲线，即，
则圆心，半径为，
曲线，即，
则圆心，半径为，
两圆的圆心距为，
因为圆：与圆：有三条公切线，
则两圆属于外切的位置关系，
所以，解得，C正确；
对于，圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
又因为，
所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，D错误；
故选BC．

25.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两点式直线方程，属于基础题．
由两点式方程得，过，两点的直线方程为，即，又点在直线上，所以，得．
【解答】
解：由两点式方程得，过，两点的直线方程为，即．
又点在直线上，所以，得．
故答案为．

26.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线和圆的位置关系、圆的切线性质，属于基础题．
由已知、、，由两点间的距离公式得，进而得，根据即可求得结果．
【解答】
解：如下图所示：
由已知、，圆半径为，，，
由两点间的距离公式得，，
易知为的角平分线，且，，为的中点，
所以，．
故答案为．

27.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．
设，，求出的坐标，得到圆的方程，联立直线方程与圆的方程，求得的坐标，结合求得值得答案．
【解答】
解：设，，
，，
则圆的方程为．
联立，解得．
．
解得：或．
又，．
即的横坐标为．
故答案为：．

28.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，直线系方程，训练了利用二次函数求最值．
把两圆方程作差消去二次项，可得两圆的公共弦所在直线方程，由直线系方程求得定点的坐标，代入直线，得与的关系，进而求出结果．
【解答】
解：由圆：和圆：，
得两圆公共弦所在直线方程为，
即．
联立，解得．
，又点在直线上，
，即．
．
当时，取最小值为．
故答案为．

29.【答案】除点外
【解析】
【分析】
本题考查曲线的轨迹方程的求法，属于中档题．
连接，，，，设，可得四边形为菱形，所以在以为圆心，为半径的圆上，即可得出答案．
【解答】
解：连接，，，，设，
则切点弦，易知该直线过定点，
又，，则，
同理：，且，
所以四边形为菱形，则，
所以在以为圆心，为半径的圆上，且时，趋近于，
的轨迹方程为：除点外．

30.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆上的点关于直线对称的性质，以及圆上点到直线的距离，属于中档题．
根， 关于直线对称及圆的圆心坐标为，得的值，再得直线的方程，求得圆心到直线的距离，从而求解．
【解答】
解：圆上两点， 关于直线对称，
即圆关于直线对称，
圆的圆心坐标为，
由题意知圆心在直线上，
所以，，
所以圆心坐标为，半径为，
又可得直线的方程为，
所以圆心到直线的距离，
即，
则，
故答案为

31.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查两点间距离公式的应用，属于拔高题．
过直线上点作圆的切线，求出两条切线垂直时的长度，从而根据题意得，设出点坐标根据两点间距离公式求解即可．
【解答】
解：如图过直线上点作圆的切线，
当两条切线垂直时，根据，得，
所以，
则由题意得，设，
则，
即，解得，
所以点横坐标的取值范围是．
故答案为．

32.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想及数形结合的解题思想，考查直线系方程的应用，是难题．
由题意可得，，由点到直线的距离公式结合勾股定理求出的最小值，即可求得四边形的面积的最小值；设出点坐标，求出以为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立求得两圆公共弦所在直线方程，再由线系方程即可求得直线所过定点．
【解答】
解：由圆，得到圆心即，半径
由题意可得：，，，
，
在中，由勾股定理可得：，
当最小时，最小，此时所求的面积也最小，
点是直线：上的动点，
当时，有最小值，此时，
所求四边形的面积的最小值为；
由在直线上，设，则的中点坐标为，
又，
以为直径的圆的方程为，
整理得，
与圆联立，可得所在直线方程为，
即．
联立，可得，即直线过定点
故答案为：；

33.【答案】解：Ⅰ由可得，
所以圆心坐标为，半径为；
Ⅱ由可得，
所以不表示圆，是点；
Ⅲ由可得．
所以此方程不表示任何曲线．
【解析】本题考查判断圆的方程的方法，属于基础题．
分别化简各个方程，为标准形式，若，则表示圆，且圆的半径为：；若，不表示任何曲线，，表示点．
34.【答案】解：，，且，
，解得．
，，且，
且，解得，
，，即，
直线，间的距离为．

【解析】本题考查平面直角坐标系中两直线平行与垂直的充要条件，是基础题．
由两直线垂直的充要条件可以列关于的方程求解．
由两直线平行的充要条件可求的值，然后利用两平行直线的距离公式求解．
35.【答案】解：设圆：，
则解得，，，
所以圆的一般方程是：，
化为标准方程是：．
设所求圆的圆心为
则由已知得，解得
故圆关于直线对称圆的方程为．
【解析】本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法，考查了关于直线对称的圆的方程，属于基础题．
设出圆的一般方程，把点的坐标代入求出，再化为标准方程；
利用两点关于已知直线对称所具有的结论，求出所求圆的圆心坐标即可求出结论．
36.【答案】解：由题可知，圆的半径，设，
因为是圆的一条切线，所以，
所以，解得，
所以；
设，因为，
所以经过、、三点的圆以为直径，
其方程为：，
即，
由
解得或
所以圆过定点．
【解析】本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
设，则，即可点的坐标；
设，因为，所以经过、、三点的圆以为直径，其方程为：，即，即可得出结论．
37.【答案】解：，
即，
若此方程表示圆，则，
代入得
，，，
，
，
，得，
而
，
，满足，
故的值为．
【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，同时渗透了向量，属中档题．
将转化为：，由方程表示圆，则有．
先将直线与圆方程的联立，由相交于两点，则有，又，得，由韦达定理求解．
38.【答案】解：已知圆，圆，
圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为圆、相交，所以圆心距，
即，
解得：或．
因为圆与直线相交于、两点，且，
而圆心到直线的距离，
结合，即，解得：或．
已知点，圆上一点，圆上一点，
由向量加减运算得，
由联想到作出圆关于定点的对称圆，
延长与圆交于点，则，
所以，
即就是圆上任一点与圆上任一点的距离，
所以
所以的最小值的取值范围是．

【解析】本题考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，考查平面向量模的求法，考查数学转化思想方法，属较难题．
根据，即可求解的取值范围；
由到直线的距离为，利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形即可求解的值；
通过作圆关于定点的对称圆，找到的对称点，然后将转化为，即圆与圆上两个动点之间距离．最后通过圆心距与两圆半径解决即可．
39.【答案】解：已知的顶点为，，，
所在直线的斜率为，
边上的高所在的直线斜率为，
边上的高所在的直线的方程为，即．
设过，，三点的圆的方程为，
则，求得
故过，，三点的圆的方程为．
【解析】本题主要考查两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，用待定系数法求过三点的圆的方程，属于中档题．
先根据两条直线垂直的性质求得边上的高所在直线的斜率，再用点斜式求边上高所在的直线方程．
设外接圆的方程为，把三个顶点的坐标代入，求出、、，可得过，，三点的圆的方程．
40.【答案】解：直线，
，
由，得
直线过定点．
当时，直线，直线，
由，得，即，，
直线的方程为，即，
点到直线的距离．
点到的距离为，
的面积．

【解析】本题考查直线方程的综合应用，属于中档题．
分离参数，得到，由求出定点的坐标；
由得出，的方程求出点坐标，得出点坐标，得出的直线方程，利用点到直线的距离公式求出，再由三角形的面积公式即可求解．
41.【答案】解：设圆心坐标为，半径为．
因为圆的圆心在直线上，
所以．
因为圆与轴相切于点，
所以，．
所以圆的圆心坐标为，．
则圆的方程为．
如果选择条件：
因为，，
所以圆心到直线的距离．
则，
解得或．
如果选择条件：
因为，，
所以圆心到直线的距离．
则，
故或．

【解析】本题考查了圆的标准方程和直线与圆的位置关系，是中档题．
设圆心坐标为，半径为由题意得由圆与轴相切于点，所以，，可得圆的方程；
如果选择条件，可得圆心到直线的距离，解出即可；
如果选择条件，可得圆心到直线的距离，解出即可．
42.【答案】解：以为坐标原点，直线、分别为轴和轴建立平面直角坐标系，
则，，设圆弧所在圆的方程为，
则，解得
故公交线路所在圆弧的方程为．
因为游乐场距点的距离为，所以，
设为公交线路上任意一点，则，
且对公交线路上任意点均成立，
整理得，对任意的恒成立．
令，因为，所以函数在上单调递减，
所以，解得或，
又，故，即游乐场距点距离的最大值为．
【解析】本题主要考查圆的方程、一元二次不等式在实际问题中的应用，考查数学建模、解模能力及运用数学知识解决实际问题的能力．
因为直线、互相垂直，所以可以以为坐标原点，直线、分别为轴和轴建立平面直角坐标系，求出、两点的坐标，利用待定系数法求圆的方程，注意、的取值范围
由游乐场距点的距离可得点的坐标，设出公交线路上动点的坐标，将已知条件转化为不等式恒成立问题，利用动点在圆上即点的坐标满足圆的方程进行消元，进而转化为求最值问题，通过解一元二次不等式并结合条件求出的最大值．
43.【答案】解：圆转化为标准方程，
故圆心点坐标为，半径为，
由直线与圆相切，得，
化简得：，解得或，
由于，故，
即直线：，
联立得
即，得；
取中点，则，
又，
所以，
设，圆心到直线的距离为，
由勾股定理得：，解得，
设所求直线的方程为，，解得，
故．
设，两点的纵坐标分别为，且异号，
因为圆，令，得，
所以，且，
设方程为，
由，消元得，
即，
故．

【解析】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相切、相交的交点问题，属于难题．
由直线与圆相切可求得，再得切点，得直线的方程；
取中点，设，由圆心到直线的距离为，根据勾股定理求得，再由点到直线的距离可求得直线的方程；
设，两点的纵坐标分别为，先求点，设方程为，与圆的方程联立，得，运用韦达定理表示，再由面积公式可得答案．
44.【答案】如图所示：
点与点所在的直线方程为：，
依题意，知，两球碰撞时，球的球心在直线上，且在第一象限，
此时，设，两球碰撞时球的球心坐标为，
则有：，
解得：，，
即：，两球碰撞时球的球心坐标为，
所以，母球运动的直线方程为：；
如上图，若母球的位置为，要使目标球向处运动，
则母球击打后运行到时与目标球碰撞，
则点与点连线的斜率小于等于，
而，
不能让母球击打目标球后，使目标球向处运动；
的最小值为要使得最小，
临界条件为球从球的左上方处撞击球后，球从球的右上方处撞击球．
如下图所示：
设是球的所有路径中最远离的那条路径上离球最近的点，
设，
则有
联立，
解得，
易得直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，
易得，过作倾斜角为的直线，
则此直线为：，令，得到，
易得，就是一个符合题意的初始位置．
若，则球会在达到之前就与球碰撞，不合题意．
因此的最小值为．
【解析】本题考查直线和圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，由于题目属于动态问题分析，需要有很强的理解和分析能力，属于难题．
求出直线的方程，设出球心的坐标，利用球心在直线上以及列方程组，可求得的值，由此求得母球运动的直线方程．
由母球运动直线与所在直线夹角为锐角，可知不能让母球击打目标球后，使目标球向处运动；
要使最小，临界条件为球从球的左上方处撞击球后，球从球的右上方处撞击球列方程求得的坐标，过作倾斜角为的直线，与轴相交于，由此求得的最小值．
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