高二数学人教A版选修一3.3.2 抛物线的简单几何性质-（练习）（含解析）

3.3.2 抛物线的简单几何性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（本大题共15小题，共75.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若抛物线上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为和，则抛物线的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
2. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，，则的周长最小值为( )
A. B. C. D.
3. 已知抛物线：上的点到的焦点的距离为，点在直线上的射影为，点关于轴的对称点为，则四边形的周长为( )
A. B. C. D.
4. 已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，若的中点的纵坐标为，则( )
A. B. C. D.
5. 如图所示，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 已知双曲线：的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线：的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线：和：的距离之和的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 已知拋物线的焦点为，点为拋物线上位于第一象限内一点，若且直线的斜率为，则拋物线的方程为( )
A. B. C. D.
8. 抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是( )
A. B. C. D.
9. 已知直线与抛物线相切，则等于( )
A. B. C. D.
10. 已知，为抛物线：上异于顶点的两点，是等边三角形，其面积为，则的值为( )
A. B. C. D.
11. 已知直线与抛物线交于两点、，且两交点纵坐标之积为，则直线恒过定点．( )
A. B. C. D.
12. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，且，则的值为( )
A. B. C. D.
13. 在直角坐标系中，动点在抛物线上，点满足，则点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
14. 设为抛物线的焦点，，，为该抛物线上三点，，，三点坐标分别为 若 ，则 ( )
A. B. C. D.
15. 已知点为坐标原点，点为抛物线：的焦点，动直线与抛物线交于，两点，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题有多项符合题目要求）
16. 点到抛物线的准线的距离为，则的值可以为( )
A. B. C. D.
17. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上两动点，是平面内一定点，下列说法正确的有( )
A. 准线方程为
B. 若，则线段中点到轴为
C. 的周长的最小值为
D. 以线段为直径的圆与准线相切
18. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则( )
A. 若，则
B. 以为直径的圆与准线相切
C. 设，则
D. 过与抛物线有且仅有一个公共点直线至多有条
19. 设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则．( )
A. B. 以为直径的圆的面积大于
C. 直线过定点 D. 点到直线的距离不大于
20. 已知，为平面内两不同定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为若，其中为常数，则动点的轨迹可能是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
21. 已知点，的坐标分别是，直线，相交于点，且它们的斜率分别为，下列命题是真命题的有( )
A. 若，则的轨迹是椭圆除去两个点
B. 若，则的轨迹是抛物线除去两个点
C. 若，则的轨迹是双曲线除去两个点
D. 若，则的轨迹是一条直线除去一点
22. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则( )
A. 以线段为直径的圆与直线相离
B. 以线段为直径的圆与轴相切
C. 当时，
D. 的最小值为
三、填空题（本大题共15小题，共75.0分）
23. 若抛物线上一点到其准线的距离为，则抛物线的标准方程为 ．
24. 某抛物线拱桥的跨度是米，中间拱高是米，在建桥时每隔米需用一支柱支撑，其中最长的支柱高是 米
25. 设抛物线的焦点为，准线为，已知点在上，以为圆心的圆与轴的正半轴相切于点，若，则圆的方程为 ．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，与相交于点若，且的面积为，则的值为
27. 点，抛物线的焦点为，若对于抛物线上的任意点，的最小值为，则的值等于 ．
28. 给出下列命题：
到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线；
设为两个定点，为常数且，若，则动点的轨迹是双曲线。
对任意实数，直线总与某一个定圆相切。
在平面内，到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆；
方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率．
其中真命题的序号是 把你认为正确的命题的序号都填上。
29. 如图，过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于点、、、，则的值是
30. 已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是 ．
31. 抛物线上到直线距离最短的点的坐标是 ；最短距离是 ．
32. 已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则_________．
33. 已知抛物线的方程是，直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若，则直线必过定点 ．
34. 过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，则
35. 已知点是抛物线的焦点，点是抛物线上的点，若平面上存在一点，满足，则点的轨迹方程是 ．
36. 已知顶点在坐标原点，对称轴为轴的抛物线过点，则该抛物线的标准方程为 ；设为该抛物线的焦点，、、为该抛物线上三点，若，则
37. 已知双曲线的实轴长为，虚轴的一个端点与抛物线的焦点重合，直线与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则等于 ，双曲线方程为 ．
四、解答题（本大题共11小题，共132.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
38. 本小题分
求适合下列条件的曲线标准方程．
虚轴长为，离心率为的双曲线的标准方程；
过点的抛物线的标准方程．
39. 本小题分
河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面，拱圈内水面宽，一条船在水面以上部分高，船顶部宽．
试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
近日水位暴涨了，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少 精确到
40. 本小题分
已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于两点，且．
求该抛物线的方程；
为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．
41. 本小题分
如图，过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线于，两点．
求抛物线的标准方程和准线方程；
若，证明：直线恒过定点．
42. 本小题分
已知抛物线：经过点．
Ⅰ求抛物线的方程及其准线方程；
Ⅱ设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点．
43. 本小题分
已知抛物线的焦点为，过且与轴垂直的直线交该抛物线于，两点，．
求抛物线的方程；
过点的直线交抛物线于，两点，若的面积为，求直线的斜率其中为坐标原点．
44. 本小题分
已知抛物线：过点过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．
求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
求证：为线段的中点．
45. 本小题分
已知抛物线：的焦点为，且与圆：上点的距离的最小值为．
求；
若点在上，，为的两条切线，，是切点，求面积的最大值．
46. 本小题分
已知抛物线：过点．
Ⅰ求抛物线的方程，并求其准线方程；
Ⅱ过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，求弦长．
47. 本小题分
如图，已知椭圆：，抛物线：，点是椭圆与抛物线的交点．过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点不同于．
若，求抛物线的焦点坐标；
若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最大值．
48. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．
求动点的轨迹的方程；
过点且不平行于轴的直线与轨迹交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
由抛物线上点到抛物线对称轴的距离为，设该点为根据点坐标适合抛物线方程及点到焦点的距离为，列方程组，解之可得与的值，从而得到本题的答案．
本题已知抛物线上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离，求抛物线的焦参数，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
【解答】
解：抛物线上一点到抛物线对称轴的距离为，
设该点为，则的坐标为
到抛物线的焦点的距离为
由抛物线的定义，得
点是抛物线上的点，
由联立，解得，或，
则抛物线方程为或．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合思想，属于基础题．
由题意画出图形，过作准线的垂线，交抛物线于，则此时的周长最小，然后结合两点间的距离公式即可求解．
【解答】
解：如图，
抛物线：的焦点为，准线方程为．
过作准线的垂线，交抛物线于，则的周长最小．
最小值为．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义以及几何性质的应用，属于基础题．
根据题意可得四边形为直角梯形，结合抛物线的定义可得，再得出、，即可求四边形的周长．
【解答】
解：由抛物线的方程可知，，直线为抛物线的准线，
所以，四边形为直角梯形．
因为，所以根据抛物线的定义，得，
过点作轴于点，则，
在中，，
所以四边形的周长为，
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了抛物线性质的应用，直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
由抛物线的定义，得，根据中点的坐标公式，得，代入即可求解．
【解答】
解：由抛物线：可知，，得到，，
设，，因为的中点的纵坐标为，
所以，则．
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，属于中档题．
由抛物线定义可得，从而的周长，确定点横坐标的范围，即可得到结论．
【解答】
解：抛物线的准线：，焦点，
由抛物线定义可得，
圆的圆心为，半径为，
的周长
，
由抛物线及圆可得交点的横坐标为，
，
，
故选B．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程，主要是渐近线方程的运用，同时考查抛物线的方程，属于较难题．
求出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算可得，进而得到，可得，进而得到抛物线的方程．连接，过点作于点，作准线于点由抛物线的定义，得到，再由平面几何知识可得当、、三点共线时，有最小值，因此算出到直线的距离，即可得到所求距离的最小值．
【解答】
解：双曲线：的渐近线方程为，
右顶点到其一条渐近线的距离等于，
可得，解得，
即有，
由题意可得，解得，
即有抛物线的方程为，设焦点为，
过点作于点，
作准线：于点，
连接，根据抛物线的定义得，
设到的距离为，到直线的距离为，
，
根据平面几何知识，可得当、、三点共线时，有最小值．
到直线：的距离为．
的最小值是，
由此可得所求距离和的最小值为．
故选B．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的几何性质与标准方程，属于中档题．
设抛物线的准线为与轴的交点为，过点作，垂足为，连，因为且直线 的斜率为 ，于是可证明为正三角形，求出，进一步可知，，，从而得出抛物线的标准方程．
【解答】
解：设抛物线的准线为与轴的交点为，过点作，垂足为，连，
如图所示：
直线 的斜率为 ，，于是，
又根据已知条件以及抛物线的性质，知，
为正三角形，，，，
而由抛物线的性质知， ，
拋物线的方程为．
故选D．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断为等边三角形是解题的关键，先判断为等边三角形，求出的坐标，可求出等边的边长的值，由此即可求解．
【解答】
解：由抛物线的定义可得，
的斜率等于，
的倾斜角等于，
，
，故为等边三角形．
又焦点，的方程为，
设，，
由得， ，
，
等边三角形的边长，
的面积是，
故选C．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，属于基础题．
联立直线与抛物线的方程，利用根的判别式为即可求解．
【解答】
解：由消去得，
由于直线与抛物线相切，
所以解得．
故选C．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于拔高题．
设，，由抛物线对称性，知点、关于轴对称，可设直线的方程，联立，解得，由是等边三角形可解得的值．
【解答】
解：设，，
，
．
又，，
，
即．
又、与同正，
．
，即．
由抛物线对称性，知点、关于轴对称．
又，所以不妨设直线的方程为：，
联立，解得．
面积为，
，
又，
．
故选A．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线的性质及几何意义，直线与抛物线的位置关系，考查学生计算能力，属于基础题．
设直线方程为，与抛物线方程联立即可，利用韦达定理解决问题。
【解答】
解：设直线方程为，斜率为的直线不需要考虑，不可能与抛物线交于两点，
联立得，
所以，
所以，
所以，
所以直线恒过定点．
故选C．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题重点考查了抛物线的几何性质、方程、直线与抛物线的位置关系等知识，属于基础题．
首先，写出抛物线的焦点坐标，然后，求解直线的方程，利用焦半径公式求解比值．
【解答】
解：抛物线的焦点坐标为，
直线倾斜角为，
直线的方程为：
设直线与抛物线的交点为、，
，，
联立方程组
消去并整理，得，
解得，，
，，
：：，
的值为．
故选：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是用相关点法求轨迹方程，向量相等的坐标运算，属于基础题．
设，由，即，解得，再由点在抛物线上，代入即可得出答案．
【解答】
解：设，
，
即，解得
点在抛物线上，
，即，整理得，
故选B．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的简单性质与定义，属于基础题．
由抛物线可得抛物线焦点坐标，准线方程：，结合抛物线的定义即可求出答案．
【解答】
解：抛物线焦点坐标，准线方程：，
，，，
，
．
故选：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的方程、几何性质以及与直线的位置关系，属于基础题．
由题意可得抛物线的方程，与直线联立结合韦达定理可得的方程，解之可得值，结合选项可得答案．
【解答】
解：由点为抛物线：的焦点，得抛物线的方程为，
与联立得，
设，，则，
因为，所以，
显然，所以．
故选B．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是抛物线的标准方程与几何性质的应用，属于基础题．
可先求出抛物线的准线方程，再求值即可．
【解答】
解：由抛物线方程得，其准线方程为，
因为点到抛物线的准线的距离为，
所以，
解得或，
故选AB．

17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线性质，属于中档题．
解题时依据抛物线性质对每个选项逐一判断即可．
【解答】
解：选项A：抛物线为，其准线方程为，焦点，故A错；
选项B：设，在准线上投影为，
根据抛物线定义可知
，
所以线段中点到轴距离为，故B对；
选项C：设在准线上投影为，
，
，
当三点共线时取最值，
所以的周长的最小值为，故C对；
选项D：因为点，没有任何限制条件，可以是抛物线上任意两点，
所以以线段为直径的圆与准线不一定相切，故D错；
故选BC．

18.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系．
由题知，抛物线的焦点，准线方程为，然后逐项分析解答即可．
【解答】
解：由题知，，抛物线的焦点，准线方程为．
A.若，则，所以A正确
B.设直线的方程为，
代入抛物线的方程整理，得，
，
线段的中点坐标为，
以为直径的圆的圆心为，半径为，
圆心到抛物线的准线的距离，
以为直径的圆与准线相切，所以B正确
C.设，则，
当且仅当，，三点共线时等号成立，所以C正确
D.当直线过点且与轴平行时，直线与抛物线有且只有一个公共点，
过点且与抛物线相切的直线有两条，此时直线与抛物线有且只有一个公共点，
所以过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有条，所以D错误．
故选ABC．

19.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系．
由已知分类求得所在直线过定点结合选项得答案．
【解答】
解：不妨设为第一象限内的点，
当直线轴时，，由，
得，，
所以直线，的方程分别为：和．
与抛物线方程联立，得，，
所以直线的方程为，此时，
以为直径的圆的面积，故A、不正确．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
与抛物线方程联立消去，得，
则．
设，，则．
因为，所以，
则，
即，
所以，即，
所以直线的方程为，即．
综上可知，直线为恒过定点的动直线，故C正确；
易知当时，原点到直线的距离最大，最大距离为，
即原点到直线的距离不大于故D正确．
故选：．

20.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查曲线轨迹方程的求法，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题．
建立平面直角坐标系，设出、坐标，以及、坐标，通过已知条件求出点坐标满足的方程，然后判断选项．
【解答】
解：以所在直线为轴，中垂线为轴，建立平面直角坐标系，
设，、，，
因为，
所以，，
即，当时，轨迹是圆；
当且时，是椭圆的轨迹方程；
当时，是双曲线的轨迹方程；
当时，是直线的轨迹方程，
综上，方程不表示抛物线的方程．
故选ABD．

21.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查斜率公式，轨迹方程求法，属于中档题．
设点，，得到，再根据选项中的条件，以及圆锥曲线方程的形式，判断即可．
【解答】
解：不妨设点，，
则，
对于．，化简得，，，不是椭圆，A错误；
对于．，化简得，，，B正确；
对于．，化简得，，C正确；
对于．，化简得，，，D正确；
故选BCD．

22.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的定义和性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．
根据抛物线的定义和性质，以及直线与圆和抛物线的位置关系对四个选项逐一判断即可．
【解答】
解：对于，点到准线的距离为，
于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离：
对于，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误．
对于，，设，，直线方程为，
联立直线与抛物线方程可得，
由韦达定理可得，，
则，
若设，则，
于是，
当且仅当时，取等号，所以最小值为；
当可得，即，
所以，．
故选：．

23.【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件利用抛线的质得到，求出的值由此求出抛物线的标准方程．
本题考查抛物线的标准方程的求法，是基础题，解题时要掌握抛物线的性质．
【解答】
解：物线上一点到其准线的距离为，
，即，
抛物线的标准方程为．
故答案为．

24.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了抛物线的应用和抛物线的标准方程．解应用题需要把文字语言转化为形式化数学语言．介入一个抛物线方程，利用抛物线的性质来解决问题．
先建立适当坐标系，设抛物线方程为，把点代入抛物线方程，求得，得到抛物线方程，进行求解即可．
【解答】
解：建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线方程为，
过定点，
将代入，得．
抛物线方程为．
设最长的支柱为，点的坐标为，解得，
点的坐标为，
．
故答案为：．

25.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程，抛物线的简单几何性质．
由题意，圆心的横坐标为，利用，可得点的纵坐标为，半径为，可得结论．
【解答】
解：由可得点的坐标为，准线的方程为，
由圆心在上，且圆与轴正半轴相切如图，
可得点的横坐标为，圆的半径为，，
又因为，
所以，所以，
所以点的纵坐标为，
所以圆的方程为．
故答案为．

26.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
求得的坐标由于轴，，，可得，，利用抛物线的定义可得，代入可得 ，再利用，即可得出．
【解答】
解：如图所示，．
轴，，，
，．
，解得，
代入可取，
，
解得．
故答案为．

27.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的标准方程，抛物线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题．
过做抛物线的准线的垂线，垂足为，则，当位于抛物线内，当，，共线时，的距离最小，，解得：，当位于抛物线外，由勾股定理可知：，或，当时，，则点在抛物线内，舍去，即可求得的值．
【解答】
解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离等于该点到准线的距离，
过做抛物线的准线的垂线，垂足为，则，
当位于抛物线内，
，
当，，共线时，的距离最小，
由最小值为，即，解得：，
当位于抛物线外，
当，，共线时，取最小值，
即，解得：或，
由当时，，则点在抛物线内，舍去，
故答案为：或．

28.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆锥曲线的定义及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由于定点在定直线上，可得点的轨迹是不是抛物线；
利用双曲线的定义即可判断出正误；
对任意实数，由于原点到直线的距离，即可判断出正误；
利用椭圆的定义即可判断出正误；
方程的两根：，；即可判断出正误；
【解答】
解：由于定点在定直线上，可得到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是直线，不是抛物线，不正确；
设，为两个定点，为常数且，若，只有当时，动点的轨迹是双曲线，因此不正确．
对任意实数，由于原点到直线的距离，因此对任意实数，直线总与定圆相切，正确．
在平面内，到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹，只有当常数大于两定点的距离时才是椭圆，因此不正确；
方程的两根：，；可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确．
其中真命题的序号是．
故答案为：．

29.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的性质及几何意义，是中档题．
设、的坐标分别为，及直线方程，联立直线和抛物线的方程求出，， 并用，表示，，而所求，代入 上述式子中即可．
【解答】
解：设、的坐标分别为，，依题意知焦点，则设直线方程为：，
联立消去，得，
，
又根据抛物线定义得，，
，，
．
故答案为

30.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，点差法，属于中档题．
设出，坐标，分别代入抛物线方程，两式相减整理，利用中点的纵坐标求得直线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求直线方程．
【解答】
解：设，，
代入抛物线方程得，，，，
整理得，
中点为，
，，
，
则弦所在直线方程为，即为．
故答案为．

31.【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，点到直线的距离公式．
设出的坐标，进而根据点到直线的距离公式求得到直线的距离的表达式，根据二次函数的最值求得距离的最小值．
【解答】
解：设为抛物线上任一点，
则到直线的距离
时，取最小值，此时．
故答案为

32.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量．
由已知可求过，两点的直线方程为，然后联立直线与抛物线方程组可得，，可表示出，，，，由，再由，代入整理可求．
【解答】
解：抛物线：的焦点为，
过，两点的直线方程为，
联立可得，，
，
设，，
则，，
，
，
，
，，
，
，
整理可得，，
，
即，
，
故答案为．

33.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，涉及到直线过定点的问题，属于中档题．
把平曲线方程整理为标准方程，设出直线的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及已知向量的关系式即可求解．
【解答】
解：抛物线的标准方程为：，
设直线的方程为：，，，
把直线方程代入抛物线方程可得：，
所以，，
则
，
所以
，解得，
即直线方程为：，
所以直线过定点，
故答案为：．

34.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，属于中档题．
设出两直线的方程，与抛物线方程联立，利用焦点弦的弦长公式分别表示出，，即可求得答案．
【解答】
解：由题可知抛物线的焦点为，准线方程为．
由题意两直线斜率一定存在，设，且，则
联立得
则，
则
同理可得，
所以，
故答案为．

35.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了与抛物线有关的轨迹问题，向量的坐标运算．
根据抛物线方程求出抛物线的焦点为，设的坐标为，由建立关于的方程组，再消去参数即可得到点的轨迹方程．
【解答】
解：设的坐标为，
抛物线中，，可得
，
，
又
，
可得，消去参数可得，
即点的轨迹方程为．
故答案为．

36.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查抛物线方程与性质及平面向量在抛物线中的应用，属于中档题目．
根据题意设出抛物线方程，将点代入得出抛物线方程，设出、、三点坐标，由得出点为三角形的重心，得出，再由抛物线的性质得出、、，进而得出答案．
【解答】
解：由题意设抛物线方程为，，
则，
，
故抛物线方程为，
设，，，
抛物线的焦点坐标，准线方程为，
，
为的重心，
，，
而，，，
，
故答案为；．

37.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查抛物线与双曲线以及直线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．
求出抛物线的焦点坐标，推出双曲线的渐近线方程，利用直线与抛物线相切求解即可．
【解答】
解：抛物线的焦点，可得，，
双曲线方程为：，
它的渐近线方程为：，即：，
直线与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，不妨：，
，可得
，解得或，
，
所以双曲线方程为：．
故答案为；双曲线方程为：．

38.【答案】解：设双曲线的实轴长为，焦距为，虚轴长为，
则，
离心率，即，
又双曲线的虚轴长为，可得，
当双曲线焦点在轴时，所求双曲线的标准方程为；
当双曲线焦点在轴时，所求双曲线的标准方程为；
综上所述，所求双曲线的标准方程为或．
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，即，
此时，所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，
此时，所求抛物线的标准方程为，
综上所述，所求抛物线的标准方程为或．
【解析】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的性质及几何意义、抛物线的标准方程，属于基础题．
根据题意求出，，然后分双曲线焦点在轴，轴上分别写出相应曲线的标准方程，即可求出结果；
分焦点在轴上和在轴上，设出抛物线方程，代入点的坐标，即可求出结果．
39.【答案】解：设抛物线型拱桥与水面两交点分别为，，
以垂直平分线为轴，拱圈最高点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，
设拱桥所在的抛物线方程为，
因点在抛物线上，代入解得，
故拱桥所在的抛物线方程是
船沿中线行驶，顶部最宽处的横坐标为，
因，故当时，，
故水位暴涨后，船身至少应降低米．
因精确到，故船身应降低．
答：船身应降低，才能安全通过桥洞．

【解析】本题考查抛物线的标准方程的运用，正确建立坐标系是关键，属于中档题．
设所在的抛物线方程为，待定系数法求方程；
当时，，船身至少应降低，进而得到答案．
40.【答案】解：直线的方程是，与联立，
从而有，
所以： ，
由抛物线定义得： ，
所以，
抛物线方程为 ；
由， ．
化简得 ，
从而 ，
从而， ，，
设
，
且，即，
解得．

【解析】本题考查抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，属拔高题．
本小题考查抛物线的标准方程，直线的方程与联立，有，从而，再由抛物线定义得：，求得，则抛物线方程可得；
本小题考查圆锥曲线中的向量与参数问题，由，求得，再设的坐标，最后代入抛物线方程即可解得．
41.【答案】解：设抛物线的方程为，，
代入，可得，
抛物线的标准方程为，准线方程为；
证明：设，，
则直线方程，
直线方程，
联立直线方程与抛物线方程，
消去，得，
，同理
由得，
所以直线方程为，
，
由，整理得．
由且，得，，
故直线经过定点．
【解析】本题主要考查了抛物线的方程与几何性质，考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系代入运算，这是处理这类问题的最为常用的方法．
设抛物线的方程为，代入，可得，即可求抛物线的标准方程和准线方程；
设出和所在的直线方程，分别把直线和抛物线联立后求得，两点的横坐标，再由点斜式写出直线的方程，由式，，代入后整理，即可求出直线恒过的定点．
42.【答案】解：Ⅰ抛物线：经过点可得，即，
可得抛物线的方程为，准线方程为；
Ⅱ证明：抛物线的焦点为，
设直线方程为，联立抛物线方程，可得，
设，，则有，，
可得，，
直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
可得，，
可得的中点的横坐标为，
即有为直径的圆心为，
半径为
，
可得圆的方程为，
化为，
由，可得或．
则以为直径的圆经过轴上的两个定点，．
【解析】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力．
Ⅰ代入点，解方程可得，求得抛物线的方程和准线方程；
Ⅱ抛物线的焦点为，设直线方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得，的坐标，可得为直径的圆方程，可令，解方程，即可得到所求定点．
43.【答案】解：由抛物线的定义得，
抛物线的方程为；
设直线的方程为，，，
直线与抛物线有两个交点，
，
直线方程可化为，
代入，得，
且恒成立，
，，
，
又点到直线的距离，
，
解得，即．
【解析】本题考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、弦长公式及点到直线的距离．
根据题意得出，即可求出结果；
设出直线方程，化为，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，求出弦长和点到直线的距离，利用的面积为，得出方程即可求出结果．
44.【答案】解：过点，
，
解得，
抛物线的方程为，
焦点坐标为，准线为；
证明：由题意可得，直线的斜率存在，
设过点的直线方程为，，
，，
直线为，直线为：，
由题意知，，
由，可得，
，，且，
，
为线段的中点．
【解析】本题考查了抛物线的标准方程，以及直线和抛物线的关系，属于中档题．
根据抛物线过点，代值求出，即可求出抛物线的方程，焦点坐标和准线方程；
设过点的直线方程为，，，根据韦达定理得到，，根据中点的定义即可证明．
45.【答案】解：点到圆上的点的距离的最小值为，解得；
由知，抛物线的方程为，即，则，
设切点，，
则易得，
从而得到，
设：，联立抛物线方程，消去并整理可得，
，即，且，，
，
，
点到直线的距离，
，
又点在圆：上，
故，代入得，，
而，
当时，．
【解析】本题考查圆锥曲线的综合运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于拔高题．
由点到圆上的点最小值为建立关于的方程，解出即可；
对求导，由导数的几何意义可得出直线及的方程，进而得到点的坐标，再将的方程与抛物线方程联立，可得，以及点到直线的距离，进而表示出的面积，再求出其最小值即可．
46.【答案】解：Ⅰ根据抛物线：过点，可得，解得．
从而抛物线的方程为，准线方程为；
Ⅱ抛物线焦点坐标为，
直线：．
设点，，
联立，得：，即．
，
则由韦达定理有：，．
则弦长
．
【解析】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质，考查了直线与抛物线的位置关系，训练了弦长公式的应用，是基础题．
Ⅰ把点坐标代入抛物线方程，求得，则抛物线方程可求；
Ⅱ求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线的方程，和抛物线方程联立后利用弦长公式得答案．
47.【答案】解：当，则，则抛物线的焦点坐标，
当直线与轴垂直时，此时点与点或点重合，不满足题意，
由题意可设直线：，点，
将直线的方程代入椭圆：得
，
为线段的中点，
点的纵坐标，
将直线的方程代入抛物线：得
，
，可得，
因此，
由，可得，
即，得，当且仅当，时，等号成立，
的最大值为．
【解析】本题考查了直线和椭圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，基本不等式等知识，考查了运算求解能力，转化与化归能力，分类与整合能力，属于中档题．
根据，可得，即可得到抛物线的焦点坐标；
由题意可设直线：，点，将直线方程带入椭圆方程可得点的纵坐标，带入抛物线方程可得，因此，结合基本不等式即可得解．
48.【答案】解：设，
则，
由，可得：
化简得：，即动点的轨迹方程为，
由题意知直线斜率存在，设直线的方程为，，，
由得，
，
，
的值为．
【解析】本题主要考查动点轨迹方程，直线与抛物线的位置关系以及定值问题，属于较难题．
直接由动点满足，即可求出轨迹方程
设直线的方程，联立抛物线方程求得，结合韦达定理及直线的斜率公式即可求解．
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