高二数学人教A版选修一3.2.2 双曲线的简单几何性质-（练习）（含解析）

3.2.2 双曲线的简单几何性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1. 双曲线：的离心率是( )
A. B. C. D.
2. 双曲线的两条渐近线夹角是( )
A. B. C. D.
3. 双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则实数的值是( )
A. B. C. D.
4. 已知双曲线为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
5. 双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则( )
A. B. C. D.
6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知双曲线方程为，过的直线与双曲线只有一个公共点，则的条数共有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
9. 已知斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则直线的方程为 ( )
A. B. C. D.
10. 设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为( )
A. B. C. D.
11. 已知，是双曲线：的两个焦点，，离心率为，是双曲线上的一点，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 已知圆的一条切线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
13. 已知双曲线：，若直线：与双曲线交于不同的两点，，且，都在以为圆心的圆上，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
14. 已知平面中的两点，，则满足的点的轨迹是( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 一条线段 D. 两条射线
15. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点在此双曲线上，若，则 ( )
A. B. C. D. 或
16. 经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程( )
A. B. C. D.
17. 若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
18. 中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是( )
A. B. C. D.
二、填空题
19. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦距大于，则双曲线的标准方程可以为 写出一个即可
20. 已知二次曲线，当时，该曲线的离心率的取值范围是 ．
21. 双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
22. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 ．
23. 若方程所表示的曲线为，则有以下几个命题：
当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线表示双曲线；
当时，曲线表示圆；
存在，使得曲线为等轴双曲线．
以上命题中正确的命题的序号是 ．
24. 已知双曲线：的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点，则有 ．
A.渐近线方程为 渐近线方程为
C.
25. 已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于、两点，若，则满足条件的的条数为 ．
26. 若直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，则的值为 ．
27. 直线与双曲线相交于不同的两点．
若点分别在双曲线的左、右两支上，则实数的取值范围为 ；
若以线段为直径的圆经过坐标原点，则实数的值为 ．
28. 已知双曲线的离心率为，，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，则 ．
29. 求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线方程
30. 当方程表示双曲线，则的取值范围 ．
31. 已知分别为双曲线的左右焦点，过点作圆的切线交双曲线左支于点，且，则该双曲线的渐近线方程为 ．
32. 对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件：
离心率为一条渐近线的斜率为实轴长为，且焦点在轴上写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 ．
33. 已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点且垂直于轴若的斜率为，则的离心率为 ．
34. 当方程表示双曲线时，的取值范围为 ．
35. 已知双曲线的两个焦点，，是双曲线上一点且，，则双曲线的标准方程为
36. 已知双曲线：，点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为且，，则的离心率为 ．
三、解答题
37. 本小题分
已知双曲线的方程为，求此双曲线的焦点坐标，渐近线方程，顶点坐标，离心率．
38. 本小题分
已知双曲线方程是
Ⅰ若离心率，求双曲线的渐近线方程；
Ⅱ求双曲线焦点到渐近线的距离
39. 本小题分
已知双曲线的实轴长为．
若的一条渐近线方程为，求的值；
设、是的两个焦点，为上一点，且，的面积为，求的标准方程
40. 本小题分
已知焦点在轴上的椭圆的方程为，求的取值范围：
已知双曲线的离心率，求实数的取值范围．
41. 本小题分
已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，到左顶点的距离等于它到渐近线距离的倍，
求双曲线的渐近线方程；
当时，的面积为，求此双曲线的方程．
42. 本小题分
设，分别为双曲线的左，右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．
求双曲线的方程；
已知直线与双曲线的右支交于、两点，且在双曲线的右支上存在点，使，求的值及点的坐标．
43. 本小题分
如图，平面上，、两地间距离为，为中点，处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得，且、间距离为，现一机器人正在运行，它在运行过程中始终保持到地的距离比到地的距离大、、、及电波直线均共面，请建立适当的平面直角坐标系．
求出机器人运行的轨迹方程；
为了使机器人免受处发射的电波的影响即机器人接触不到过点的直线，求出电波所在直线斜率的取值范围．
44. 本小题分
已知双曲线：的两条渐近线方程为，且点为上一点．
求的标准方程；
设为在第一象限的任一点，过的直线与恰有一个公共点，且分别与的两条渐近线交于点，，设为坐标原点，证明：面积为定值．
45. 本小题分
已知双曲线的离心率为，过点且斜率为的直线交双曲线于，两点且．
求双曲线的标准方程．
设为双曲线右支上的一个动点，为双曲线的右焦点，在轴的负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
46. 本小题分
已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，则求出点的纵坐标．
47. 本小题分
已知方程表示双曲线．
求实数的取值范围；
当时，若点在双曲线上，，为该双曲线的左、右焦点，，试求的面积．
48. 本小题分
已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为，点在双曲线左支上运动，点在圆上运动，则求的最小值．
49. 本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点不在轴上．
若，求的面积
若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的横坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．
利用双曲线方程，化为标准形式，然后求解，得到离心率即可．
【解答】
解：双曲线：化为标准方程是，
其离心率是．
故答案选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
由双曲线方程，求得其渐近线方程，求得直线的夹角，即可求得两条渐近线夹角．
本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角的应用，属于基础题．
【解答】
解：双曲线的两条渐近线的方程为：，
所对应的直线的倾斜角分别为，，
双曲线的两条渐近线的夹角为，
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
双曲线，即的虚轴长是实轴长的倍，列出方程，可求得的值．
【解答】
解：双曲线的虚轴长是实轴长的倍，实轴长为，虚轴长为，
可得，
．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了双曲线的标准方程及几何意义．
根据等轴双曲线知，根据焦点到渐近线的距离为知，故此求得双曲线的标准方程．
【解答】
解：根据等轴双曲线知，
又因为焦点到渐近线的距离为，所以，
故该双曲线的方程为：．
故选B．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线性质的灵活运用，比较简单，需要注意的是，属于基础题．
写出双曲线的标准方程，由双曲线的虚轴长是实轴长的倍，即可求出的值．
【解答】
解：双曲线的标准方程为，
则，，，
由双曲线的虚轴长是实轴长的倍，
可得，即，解得，
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
求出双曲线的渐近线方程与已知渐近线方程对比，即可求出的值．
【解答】
解：由题意，双曲线的渐近线方程为：，
因为双曲线的一条渐近线方程为，
可得，解得．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的性质和直线与双曲线的位置关系，属于基础题．
根据双曲线的渐近线方程结合已知可得，再由双曲线离心率的计算公式求解即可，一定要注意．
【解答】
解：双曲线的一条渐近线为，
直线可化为，
由题意可得，即，
又，
，
又双曲线离心率，
双曲线离心率．
故选C．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与双曲线的位置关系．突出考查了双曲线的几何性质．由双曲线方程可知其渐近线为，分别考虑所求直线的情况有直线的斜率不存在与渐近线平行，即可求解．
【解答】
解：由题意可得：双曲线的渐近线方程为：，
点是双曲线的右顶点，故直线与双曲线只有一个公共点；
过点平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点，有条，
所以，过的直线与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有条．
故选B．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与双曲线的位置关系和直线与圆锥曲线相交的弦长，属于基础题．
由题意可设直线的方程为，根据直线与双曲线相交于右支得，利用直线与双曲线相交的弦长计算公式计算得结论
【解答】
解：设直线的方程为，，．
由得，
则，，
又因为，且、是直线与双曲线右支的交点，
所以，且，
即，且，
解得，且，
所以，
所以直线的方程为．
故选B．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题．
设，由题意求出，再由三角形面积公式求解．
【解答】
解：由已知得．
设，
由，得，
所以，
代入，解得．
所以，
故选D．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程与性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力．
先求出双曲线的方程，再结合是双曲线上的一点，若，即可求出的取值范围．
【解答】
解：由题意，，，，
双曲线方程为．
，
，
，
，
，
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
先求出切线的斜率，再利用圆的一条切线与双曲线没有公共点，得到，，即可求出双曲线的离心率的取值范围．
【解答】
解：由题意，圆心到直线的距离，，
圆的一条切线与双曲线没有公共点，
与其中一条渐近线斜率比较即可，
，，
双曲线的离心率的取值范围是．
故答案选：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线和直线的位置关系、中点坐标公式、斜率公式等知识，考查了学生的运算能力，属于中档题．
设，，线段的中点为，根据二次方程根与系数的关系和中点坐标公式，以及斜率公式即可求出．
【解答】
解：设，，
由
则
且，，
设的中点为，则，，
，在以为圆心的圆上，，
为的中点，
，
，，
由得或，
故选A．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义，属于基础题．
由双曲线的定义直接得出结论．
【解答】
解：依题意，，
由双曲线的定义可知，点的轨迹表示焦点在轴上的双曲线．
故选：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的定义，属于基础题．
可以根据双曲线的定义直接进行解答．
【解答】
解：因为， ，
所以或，经验证都符合．
故选D．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线的标准方程，属基础题．
对焦点在和轴上进行分类讨论求解即可．
【解答】
解：当焦点在轴时，设该等轴双曲线的标准方程为，
把代入方程得，得，
双曲线的标准方程为，
当焦点在轴时，设该等轴双曲线的标准方程为，
把代入方程得，，
这种情况不存在，
综上所述，该等轴双曲线的方程为．
故选C．

17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的方程和性质，主要是渐近线和离心率，直线与双曲线相交等问题，属于基础题．求得双曲线的渐近线方程，由双曲线与直线有交点，应有渐近线的斜率，再由离心率，可得的范围．
【解答】
解：双曲线的渐近线方程为，
由双曲线与直线有交点，
则有，
即有，
则双曲线的离心率的取值范围为．
故选：．

18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程的求解及等轴双曲线的定义，属于基础题．
由已知求出焦点坐标，从而得，然后利用等轴双曲线的定义求解．
【解答】
解：由题意，双曲线的焦点在轴上，直线与轴的交点为，
所以双曲线的一个焦点坐标为，，
又双曲线为等轴双曲线，
可设双曲线的标准方程为，
，得，
即双曲线的标准方程为，
故双曲线的方程为．
故选A．

19.【答案】满足或即可
【解析】
【分析】
由题意结合双曲线的渐近线可设双曲线的标准方程为，按照、讨论，结合双曲线的焦距分别求得的取值范围即可得解．
本题考查了双曲线性质的应用，考查了运算求解能力，关键是对于双曲线相关概念的熟练应用，属于中档题．
【解答】
解：双曲线的一条渐近线方程为，
设双曲线的标准方程为，
当时，该双曲线的焦距为，即，解得；
当时，该双曲线的焦距为，即，解得；
双曲线的标准方程为或，
令可得双曲线的标准方程为．
故答案为：满足或即可．

20.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的范围．
首先判断二次曲线为双曲线，将方程化为标准方程，再由离心率公式，即可得到范围．
【解答】
解：，
曲线方程化为，曲线为双曲线，．
，．
故答案为

21.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的性质、圆的切线方程．解答的关键是利用圆心到切线的距离等于半径来判断直线与圆的位置关系．
求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出
【解答】
解：双曲线的渐近线方程为，即，
圆心到直线的距离，
．
故答案为．

22.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．
【解答】
解：双曲线的右焦点
到一条渐近线的距离为，
可得：，
可得，即，
所以双曲线的离心率为：．
故答案为：．

23.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题的真假判定，圆锥曲线中的综合问题，属于中档题．
对各项逐一判断进而得出正确的命题的序号．
【解答】
解：方程所表示的曲线为，
当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，故错误；
当时，，曲线表示双曲线，正确；
当时，曲线表示圆，正确；
因为，不存在，使得曲线为等轴双曲线，故错误．
故答案为．

24.【答案】，
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查直线和圆的位置关系，弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
运用双曲线的离心率公式，可设，，，求得，可得双曲线的渐近线方程，以及圆心和半径，由弦长公式可得，判断的形状，可得的大小．
【解答】
解：由题意可得，
可设，，，
则，，
圆的圆心为，半径为，
双曲线的渐近线方程为，即，
圆心到渐近线的距离为，
弦长，
可得三角形为等边三角形，
即有．
故答案为：，．

25.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与双曲线的位置关系以及弦长问题，属于中档题．
根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：只与双曲线右支相交，与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案．
【解答】
解：，，，则，若、都在右支上，
当垂直于轴时，将代入得，则，满足，
若、分别在两支上，，两顶点的距离为，
满足的直线有条，且关于轴对称，
综上满足条件的的条数为．
故答案为：．

26.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与双曲线的位置关系，属于基础题．
将直线与双曲线联立得出线段的中点坐标，代入圆的方程可得的值．
【解答】
解：设，两点的坐标分别为，，线段的中点为
由得，
则，
，．
点在圆上，
，．
故答案为．

27.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
由直线与双曲线，得，利用，在双曲线的左右两支上，根据韦达定理即可得不等式，解出即可；
设存在实数，使得以线段为直径的圆经过坐标原点转化为，即，整理后代入根与系数关系求解实数的值．
【解答】
解：由直线与双曲线，得，
因为， 在双曲线的左右两支上，所以，
解得
假设存在实数，使得以线段为直径的圆经过坐标原点，设，，
则，即，
，
即，
，
整理得，符合条件，
．
故答案为；．

28.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，考查向量数量积的坐标表示，以及三角形的面积公式，考查化简运算能力，属于拔高题．
由离心率公式和，，的关系，设出的方程，以及，，，运用向量数量积的坐标表示，以及两点的距离公式，可得取得最值时的的位置，由三角形的面积公式，可得所求值．
【解答】
解：离心率为，即，，
，，可得的方程为，
设，，，
可得，
由表示原点与的距离的平方，
显然垂直于时，最小，
由：，即，联立直线，
可得，即，
当与重合时，可得最大，
可得，
即有．
故答案为：．

29.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的概念及标准方程，考查双曲线的性质及几何意义，考查渐近线方程，属于基础题．
根据题意设出双曲线的方程，把点代入即可．
【解答】
解：设所求双曲线的方程为：，
把点代入上式可得，
解得，
因此所求双曲线的方程为：．
故答案为．

30.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的标准方程，属于基础题．
由方程表示双曲线，则，由此能求出的取值范围．
【解答】
解：若方程表示双曲线，
则，
解得或．
故答案为或．

31.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的渐近线，考查双曲线的定义和三角形中位线定理，考查分析与计算能力，属于中档题．
设切点为，连接，过作，垂足为，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到、的关系，进而得到渐近线方程．
【解答】
解：设切点为，连接，过作，垂足为，
，
又为的中点，
为的中位线，
故，
与圆 相切，且，
，，，
则，
在直角三角形中，
可得，即，
有，
由双曲线的定义可得，
可得，
即双曲线的渐近线方程为，
故答案为．

32.【答案】；
；

【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，是基础题．
选择条件，，，分别求解双曲线的实半轴，虚半轴的长，写出一个标准方程即可．
【解答】
解：如果选，
双曲线的离心率为，可得，可得，所以，
一条渐近线的斜率为，
所以双曲线的焦点坐标在轴，，
所以双曲线的标准方程为：；
如果选，
双曲线的离心率为，可得，可得，所以，
实轴长为，且焦点在轴上．所以，，
所以双曲线方程为：；
如果选，
实轴长为，且焦点在轴上．，
一条渐近线的斜率为，
所以，可得，
所以双曲线的标准方程为：．
故答案为：；；．

33.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的几何性质以及离心率的求法．
分别求出，点坐标，再根据条件列方程即可求解．
【解答】
解：由题意可知，在双曲线的右支上，且在轴上方，
垂直于轴，
把代入，得，
点坐标为，
又点坐标为，
，
化简得，
即，
解得或舍，
故．
故答案为．

34.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的概念及标准方程，属于基础题．
先化简得，由双曲线可得，解出即可．
【解答】
解：方程，
可化为，
由双曲线可得，解得或，
即的取值范围为，
故答案为．

35.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的定义、性质和标准方程以及向量的数量积，属于中档题．
根据双曲线的定义和性质结合向量的数量积求解即可得双曲线得方程．
【解答】
解：由题意可设双曲线方程为，
由，得，
根据勾股定理得，
即，
根据双曲线定义有，
两边平方并代入，
得，解得，
从而，
所以双曲线方程为．
故答案为．

36.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单几何性质，主要是离心率的求法，注意运用平行四边形性质和双曲线的定义，考查数形结合思想和方程思想，属于中档题．
由题意可知：四边形为平行四边形，利用双曲线的定义及性质，求得，，利用余弦定理即可求得和的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率．
【解答】
解：关于原点的对称点为，在双曲线上，如图，
可得四边形为平行四边形，
，，
可设，，
设．
，
．
，
．
故答案为：．

37.【答案】解：，
，则
因此焦点坐标为，渐近线方程为
顶点坐标为，离心率为．

【解析】本题主要考查了双曲线的基本性质，关键是要熟记基本性质，属于基础题．
利用双曲线方程得出，结合双曲线的性质即可求解．
38.【答案】解：Ⅰ离心率，则，
即，
．
则双曲线的渐近线方程为．
Ⅱ由Ⅰ得，即，
因为，
所以，
取双曲线一个焦点为，
取一渐近线为，即．
所以焦点到渐近线的距离为：
【解析】本题考查了双曲线的性质及几何意义，涉及到点到直线的距离公式，属于基础题．
Ⅰ已知双曲线的离心率，则，进而求得从而得到其渐近线方程；
Ⅱ由Ⅰ得，即，因为，所以，取双曲线一个焦点为，利用点到直线的距离公式即可求得焦点到渐近线的距离．
39.【答案】解：因为双曲线的实轴长为，
即，则，
又双曲线一条渐近线方程为，
即，
所以．
双曲线定义可得：，
又，的面积为，
所以：，且，
所以，
故，
所以，因此，；
故双曲线的标准方程为：．
【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
利用双曲线的简单性质求出，然后由渐近线方程求解即可．
利用双曲线的定义，结合的面积及勾股定理可得，进而求出，即可求解双曲线方程．
40.【答案】解：方程表示焦点在轴上的椭圆，
解之得，
故实数的取值范围是．
解：若双曲线的离心率，
，
则有，即
解得，
故实数的取值范围是．
【解析】本题考查了椭圆的标准方程，双曲线的方程及几何性质，属于中档题．
根据焦点在轴上，由此建立关于的不等式组，解之即得实数的取值范围；
根据双曲线的离心率，得到关于的不等式，解之可得．
41.【答案】解：因为双曲线的渐近线方程为，坐标为，
则点到渐近线距离为，
所以又因为，
解得，
故所求双曲线的渐近线方程是．
因为，由余弦定理得
，
即．
又由双曲线的定义得，
平方得，
相减得．
根据三角形的面积公式得
，
得再由中结论得，
故所求双曲线方程是．
【解析】本题考查双曲线方程的求法以及双曲线的简单性质、涉及余弦定理、三角形的面积公式，属于中档题．
根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离即可求出和的关系，问题得以解决，
根据余弦定理和三角形的面积公式以及双曲线的定义可得，问题得以解决．
42.【答案】解：双曲线的渐近方程为，焦点为，
焦点到渐近线的距离为，
又，
，
双曲线的方程为．
设点，
由得： ，
，
，，
有
又点在双曲线上， ，
解得，点在双曲线的右支上，
，
，此时点．
【解析】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线标准方程的求解，考查向量的线性运算，考查学生分析问题解决问题的能力．
由实轴长可得值，由焦点到渐近线的距离可得，的方程，再由，，间的平方关系即可求得；
设，，，则，，则，，联立直线方程与双曲线方程消掉得的二次方程，由韦达定理可得，进而求得，从而可得，再由点在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得点坐标，从而求得值．
43.【答案】解：如图所示，以点为坐标原点，以所在的直线为轴建立直角坐标系，
则，
设点，则，
所以动点是以点为焦点的双曲线的右支，
由题得，
所以，
所以动点的轨迹方程为．
由题得点的坐标为，
设直线的方程为，即：，
联立直线和，
消去得
当时，若，此时直线就是双曲线的渐近线，符合题意；
当，此时直线与双曲线右支一定有交点，不符合题意；
当时，由得，
所以，
所以．
综合得．
所以电波所在直线斜率的取值范围．

【解析】本题考查与双曲线有关的轨迹问题、直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
以点为坐标原点，以所在的直线建立直角坐标系，利用定义法求出动点的轨迹方程；
设直线的方程为，联立直线和双曲线的方程进行求解即可．
44.【答案】解：当时，的标准方程为，代入，解得．
故E的标准方程为
直线斜率显然存在，设直线方程为，与联立得：．
由题意，且，化简得：．
设，
将与联立，解得；与联立，解得

由，，故面积为定值．
【解析】本题考查双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系中证明面积为定值．
由以及点坐标代入方程，联立解得，，得到方程；
设直线方程为，与双曲线方程联立，得：与渐近线方程联立解得，进而把面积用，表示，由可证为定值．
45.【答案】解：设双曲线的焦距为，由双曲线的离心率为知，所以，
从而双曲线的方程可化为，
由得，
设，，
因为，
所以，，
因为，所以，
于是，解得，
所以双曲线的标准方程为；
假设存在，点满足题设条件．由知双曲线的右焦点为，
设为双曲线右支上一点，
当时，因为，
所以，于是，所以．
当时，，，
因为，所以，
将代入并整理得，
所以，解得．
综上，满足条件的点存在，其坐标为．

【解析】本题考查双曲线的方程的求法，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
由题意可得，，，，直线的方程代入双曲线的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算即可得到的值，进而得到双曲线的方程；
假设存在，点满足题设条件，分类讨论，进行求解即可．
46.【答案】解：取为双曲线的左焦点，如图：
由双曲线的方程可知：，，，，左焦点，右焦点，
，所以当三角形的周长最小时，最小．
由双曲线的定义得，，，
又，当且仅当，，三点共线且在线段上时，等号成立．
三角形的周长：．
此时，直线的方程为，将其代入到双曲线方程得：，
解得舍或，
由得负值已舍．
点的纵坐标为．

【解析】本题主要考查了双曲线的定义和几何性质，属中档题．
左焦点，周长最小，进行求解即可．
47.【答案】解：因为方程表示双曲线，
所以，
解得
当时，双曲线方程是，，
因为点在双曲线上，
又，
所以点在双曲线的右支上，
则有，
故解得，，
因此在中，，
所以
所以的面积为．

【解析】本题主要考查双曲线的概念与性质，属于较难题．
利用双曲线的概念，即可得；
利用双曲线的概念与余弦定理，三角形的面积公式，即可得．
48.【答案】解：由双曲线方程，得，所以渐近线方程为，
比较方程，得，
所以双曲线方程为，点，
记双曲线的左焦点为，且点在双曲线左支上，所以，
所以，
最小为，
因为点在圆上运动，
所以最小为点到圆心的距离减去半径，
所以，
所以的最小值为，

【解析】本题考查了双曲线的定义与方程，双曲线的渐近线，属于拔高题．先由双曲线渐近线求出，记双曲线的左焦点为，利用，得，求出的最小值，然后得出答案．
49.【答案】解：设，，
由双曲线的定义可得，
在中，由余弦定理，
得
，
可得，
则的面积．
如图所示，，，
设内切圆与轴的切点是点，，与内切圆的切点分别为，．
由双曲线的定义可得，
由圆的切线长定理知，，
，即．
设内切圆圆心的横坐标为，则点的横坐标为，
故，可得．
由该双曲线与椭圆有共同的焦点，且过点，
可得，，
解得，，
故内切圆圆心的横坐标为．

【解析】本题双曲线的定义，余弦定理的应用，三角形的面积公式，圆的切线长定理的应用，椭圆的性质，属于拔高题．
设，，由双曲线的定义可得，在中，由余弦定理，即可求出的面积；
设，，设内切圆与轴的切点是点，，与内切圆的切点分别为，由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，，设内切圆圆心的横坐标为，可知结合已知条件可得，，求出，，可得内切圆圆心的横坐标．
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