高二数学人教A版选修一3.1.1 椭圆及其标准方程（练习）（含解析）

3.1.1 椭圆及其标准方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1. 椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为( )
A. B. C. D.
2. 是椭圆上一点，且，则( )
A. B. C. D.
3. 椭圆的焦点坐标是( )
A. B.
C. D.
4. 焦点在轴上，长半轴长为，短轴长为的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
5. 椭圆和具有 ( )
A. 相同的离心率． B. 相同的焦点． C. 相同的顶点． D. 相同的长、短轴．
6. 已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么：( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
7. 如图，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点分别为、、，中心为，其离心率为，则( )
A. B. C. D.
8. 已知椭圆的右焦点为，点为椭圆内一点．若椭圆上存在一点，使得，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 与圆：内切且与圆：外切的动圆圆心的轨迹为( )
A. 圆 B. 线段 C. 椭圆 D. 双曲线
二、填空题
10. 椭圆的焦距为，则 ．
11. 椭圆两焦点之间的距离为 ．
12. 设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则的坐标为______．
13. 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是 ．
14. 已知点在椭圆方程上，点坐标为，则的取值范围为 ．
15. 设是椭圆的长轴，若把分成等分，依次过每个分点作的垂线，交椭圆的上半部分于、、．为椭圆的左焦点，则的值 ．
三、解答题
16. 本小题分
已知，是椭圆：的两个焦点，为上的点，为坐标原点，
若为等边三角形，求的离心率；
如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值范围．
17. 本小题分
求适合下列条件的曲线的标准方程：
与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆标准方程；
经过点，的双曲线标准方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的概念的应用，属于基础题．
由椭圆的定义直接求解即可．
【解答】
解：因为，
所以椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为．
故选B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义即可求出．
本题考查椭圆的定义，熟练掌握椭圆的定义是解题的关键，属于基础题．
【解答】
解：由椭圆的方程为，可化为，
．
是椭圆上一点，
根据椭圆的定义可得：，
．
故选A．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单几何性质，解题时注意该椭圆的焦点在轴上．根据题意，由椭圆标准方程分析可得该椭圆的焦点在轴上，进而可得的值，由椭圆的焦点坐标公式可得答案．
【解答】
解：根据题意，椭圆的标准方程为，
则其焦点在轴上，且，
则椭圆的焦点坐标为和，
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的方程，属于基础题．
利用椭圆的性质，可得，即可得椭圆的方程．
【解答】
解：由题可设椭圆方程为，
所以，，，
故椭圆方程为： ．
故答案选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的离心率，椭圆的基本性质，考查计算能力，属于基础题．
依次求出两个椭圆的焦点、顶点、长轴与短轴的长，两个曲线的离心率，即可得出答案．
【解答】
解：若，
椭圆的焦点为，顶点为，，长轴长为，短轴长为，
离心率为；
椭圆的焦点为，顶点为，，长轴长为，短轴长为，
离心率为，
所以两个椭圆的离心率相同．
同理可得当时，两个椭圆的离心率相同．
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆的定义，属于一般题．
先根据比例线段可推断出垂直于轴，根据椭圆的标准方程求出焦距，进而设，根据勾股定理求得和得出答案．
【解答】
解：是的中点，
平行轴，即垂直于轴，
，
，
设，根据椭圆定义可知，
，解得：，
，，
：：．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的性质，是中档题．
先用，，表示出，，再利用离心率即可求．
【解答】
解：由题意，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点分别为、、，中心为，其离心率为，
则，，
所以．
故选A．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查与椭圆相关的范围问题，属于中档题。
若点在椭圆上，由椭圆的定义可得，即，可得由，可得，可得又因为点在椭圆内，所以，可得实数的取值范围．
【解答】
解：由题知椭圆的右焦点为，设左焦点为，
由椭圆的定义可得，即，
可得．
由可得，
解得，所以．
又因为点在椭圆内，所以，
所以，解得或．
综上，实数的取值范围是．
故选A．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆与圆的位置关系及判定和椭圆的概念，属于中档题．
设动圆圆心，半径为，利用圆与圆的位置关系得， ，再利用椭圆的概念得结论．
【解答】
解：圆：可化为，
所以圆的圆心坐标，半径，
圆：可化为，
所以圆的圆心坐标，半径，
设动圆圆心，半径为，
由题意可得：， ，
于是，
故动圆圆心的轨迹为椭圆．
故选C．

10.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆的性质的合理运用．
根据题意可得，，分椭圆焦点在轴上和轴上进行讨论即可得解．
【解答】
解：由题意可得焦距，，
当椭圆焦点在轴上时，有，则，
当椭圆焦点在轴上时，有，则，
所以的取值为或．
故答案为：或．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的性质，关键是依据椭圆的标准方程求出焦点坐标，属于基础题．
根据题意，由椭圆的方程可得其焦点坐标，进而可得两焦点之间的距离，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，椭圆的方程为：，
其焦点坐标为，
则两焦点之间的距离为，
故答案为：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆的方程，考查分类讨论思想方法，属于中档题．
设，，，求得椭圆的，，，由于为上一点且在第一象限，可得，为等腰三角形，可能或，分类讨论即可得出的坐标．
【解答】
解：设，，
由椭圆：可得，，，，
则取，
由于为上一点且在第一象限，可得，
为等腰三角形，可能或，
所以
解得
所以
故答案为

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆的定义和方程、性质，注意运用三角形的中位线定理、余弦定理，属于中档题．
求得椭圆的，，，设椭圆的右焦点为，连接，运用三角形的中位线定理和椭圆定理求得各边长，利用余弦定理求的余弦值，进而可求该角的正切值，即为直线的斜率．
【解答】
解：椭圆的，，，
设椭圆的右焦点为，连接，
线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，
连接，可得，
中，，，，
由余弦定理得
，
，
，即直线的斜率为．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的标准方程，考查距离的计算，解题的关键是转化为二次函数，利用配方法求解．
设出点的坐标，求出，利用椭圆的方程，转化为二次函数，利用配方法，即可求得结论．
【解答】
解：设，则，
又在椭圆 ，
，其中，
关于的二次函数，开口向上，它的对称轴是，
根据二次函数的性质，
可知：当时，取得最小值；当时，取得最大值．
所以，的取值范围是，
故答案为：

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆的定义，椭圆的性质和几何意义，属于中档题．
由题意可知当时有：，其中、，由椭圆定义可知：，，根据椭圆性质则，，即可求得答案．
【解答】
解：是椭圆的左焦点，不妨令右焦点为，
分别连接点与，，九个点，
根据对称性易知当时有：，其中、，
由椭圆定义可知：，，
，
即，
又，
．
故答案为．

16.【答案】解：连接，由为等边三角形可知在中，
，，，于是，
故曲线的离心率．
由题意可知，满足条件的点存在当且仅当：
，，，
即

由及得，又由知，故，
由得，所以，
从而，故，
当，时，存在满足条件的点．
所以，的取值范围为．
【解析】本题主要考查了椭圆的性质和直线与圆锥曲线的位置关系，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分析解答即可．
根据为等边三角形，可得在中，，再根据直角三角形和椭圆定义可得；
根据三个条件列三个方程，解方程组可得，根据，所以，从而，故．
17.【答案】解：椭圆的焦点坐标为，
椭圆过，
，
，，
椭圆的标准方程为；
设双曲线方程为，
点，在双曲线上，
解之得
双曲线方程为．

【解析】本题考查椭圆的标准方程、双曲线的标准方程，属于拔高题．
利用椭圆的定义求出，可得，即可求出椭圆的标准方程；
设双曲线方程为，将点代入即可解决．
第1页，共1页