高二数学人教A版选修一1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（练习）（含解析）
文档属性
| 名称 | 高二数学人教A版选修一1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（练习）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 440.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-12 07:00:45 | ||
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文档简介
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单选题
1. 已知向量和都是直线的方向向量，则的值是( )
A. B. 或 C. D.
2. 已知一直线经过点，，下列向量中不是该直线的方向向量的为( )
A. B. C. D.
3. 平面经过三点，，，则平面的法向量可以是( )
A. B. C. D.
4. 在平行六面体中，，，，是与的交点．以为空间的一个基底，则直线的一个方向向量为．( )
A. B.
C. D.
5. 已知直线过点，且平行于向量；平面过直线和点，则平面的法向量不可能是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，，分别在棱，上，且，，则下列向量中，能作为平面的法向量的是( )
A. B. C. D.
7. 已知向量，，分别是直线、 的方向向量，若，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
8. 若两条不重合直线和的方向向量分别为，，则和的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定
9. 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则直线与平面( )
A. 垂直 B. 平行或在平面内 C. 平行 D. 在平面内
10. 直线的方向向量，平面的法向量为，若直线平面，则的值为( )
A. B. C. D.
11. 已知向量，分别是平面，的法向量，若，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
12. 若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
13. 已知平面的一个法向量是，，则下列向量可作为平面的一个法向量的是( )
A. B. C. D.
14. 如图，正方形与矩形所在的平面互相垂直，，，在上，且平面，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
15. 已知点，，，若存在点，使得，，则点的坐标为 ( )
A. B. 或
C. D. 或
16. 设直线，的方向向量分别为，，若，则等于( )
A. B. C. D.
17. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则( )
A. B. C. D. 与斜交
18. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则( )
A. B. C. D.
19. 两平面，的法向量分别为，，若，则的值是．( )
A. B. C. D.
20. 平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，则平面与的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交且不垂直 C. 相交且垂直 D. 不确定
21. 已知空间三点，，，在直线上有一点满足，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
22. 已知，，若，，且面，则( )
A. B. C. D.
23. 我国古代数学名著九章算术第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”今有“阳马”，，，分别为棱，的中点．以下四个结论：
平面；平面；平面平面；平面平面．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题
24. 已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，下列结论正确的有( )
A. B.
C. 是平面的一个法向量 D.
25. 如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，不能作为平面的法向量的是( )
A. B. C. D.
26. 在四棱锥中，底面，底面为正方形，给出下列命题，其中正确的命题是( )
A. 为平面的法向量
B. 为平面的法向量
C. 为直线的方向向量
D. 直线的方向向量一定是平面的法向量
27. 已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量不重合，那么下列说法中正确的有( )
A. B. C. D.
28. 已知是平行四边形所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是( )
A. B.
C. 是平面的法向量 D.
三、填空题
29. 在平面中，，，，若，且为平面的法向量，则 ， ．
30. 已知正四面体的棱长为，为的中心，为上一点且满足、、两两垂直过点作平面，其中、、位于平面的同一侧，是平面的单位法向量且指向另外一侧，、两点到平面的距离分别为和以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，则的坐标为 ．
31. 如图，在正三棱锥中，点是的外心，点是棱的中点，则平面的一个法向量可以是 ，平面的一个法向量可以是 ．
32. 已知直线，的方向向量分别为和，若，则 ．
33. 已知为平面的一个法向量，为直线的方向向量若，则 ．
34. 已知直线在平面外，且是直线的方向向量，是平面的法向量，则直线与平面的位置关系为
35. 已知向量，分别是两个不同平面，的法向量，可得向量与的数量关系是 ，进而得到平面与的位置关系是 ．
36. 如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线，的位置关系是 ．
37. 直线的方向向量为，则 ，若平面的法向量为，则直线与平面的位置关系 填“平行”或“垂直”．
38. 若平面的法向量是，平面的法向量是且，则实数的值是
39. 如图，直三棱柱一中，侧棱长为，，，是的中点，是上的动点，，交于点，要使平面，则线段的长为 ．
四、解答题
40. 本小题分
如图，，原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，。求：
直线的一个方向向量；
平面的一个法向量。
41. 本小题分
如图所示，已知四边形是直角梯形，，，平面，，，试建立适当的坐标系．
求平面的一个法向量；
求平面的一个法向量；
求平面的一个法向量．
42. 本小题分
如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点若，，，设平面的法向量
用表示；
求及的长度；
43. 本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形且，，分别是，的中点．
试以为起点作直线的一个方向向量；
试以为起点作平面的一个法向量．
44. 本小题分
如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点．
求证：；
求证：平面平面．
45. 本小题分
如图所示，已知四边形，都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，，分别是，的中点，
求证：．
46. 本小题分
如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．
求证：平面．
47. 本小题分
如图所示，平面，点在以为直径的圆上，点为线段的中点，点在上，且，．
证明：平面平面．
48. 本小题分
如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证：
平面；
平面平面．
49. 本小题分
如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上已知，，，．
求证：
若点是线段上一点，且，求证：平面平面．
50. 本小题分
如图，已知三棱柱，侧面底面，若三棱柱的各棱长均为，侧棱与底面所成的角为，问在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求与的比值，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的方向向量，考查分析与计算能力，属于基础题．
由题得，即可得，解出得的值即可．
【解答】
解：向量和都是直线的方向向量，
则，
即，解得，
故选A．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了立体几何中的直线的方向向量，属于基础题．
已知直线的一个方向向量为，而与共线的非零向量都可以作为该直线的方向向量，由此即可得到答案．
【解答】
解：由题知，，
则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，
只有不符合，
故选A．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面的法向量的求法，考查平面的法向量等基础知识，是基础题．
设平面的法向量，由，能求出平面的法向量．
【解答】
解：平面经过三点，，，
，，
设平面的法向量，
则
取，得，
平面的法向量可以是．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查求直线的方向向量，考查空间向量的加减运算及数乘运算，属于中档题．
由题得四边形是平行四边形，是线段的中点，再计算求解得到答案．
【解答】
解：是平行六面体，
且，
四边形是平行四边形，
是线段的中点，
四边形是平行四边形，
，
即直线的一个方向向量为
故选A．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中平面的法向量，考查空间向量平行和垂直，属于中档题，考查推理能力和计算能力逐个判断即可求解．
【解答】
解：由题意可知，平面的法向量垂直于向量 和向量，
而，
选项A，，但，故错误；
选项B，，满足垂直，故正确；
选项C，，满足垂直，故正确；
选项D，，满足垂直，故正确；
故选A ．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面的法向量的求法，考查空间向量的坐标运算等基础知识，属于中档题．
设正方体的棱长为，利用向量法能求出平面的法向量．
【解答】
解：设正方体的棱长为，平面的法向量为．
则，，，
所以，，
则，
不妨取，则，，故．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间中直线平行的坐标表示，属于基础题．
由，可得存在实数使得，利用坐标运算得到方程组求解即可．
【解答】
解：，
存在实数使得
，解得，．
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量的坐标可以解决空间平行或垂直的位置关系，属于基础题．
根据直线方向向量坐标之间的关系，即可得到直线之间的位置关系．
【解答】
解：两条不重合直线和的方向向量分别为，，
，即与共线，
和的位置关系是直线，
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．
根据可知，从而得出结论．
【解答】
解：．
．
或．
故选B．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量语言表述线面的垂直、平行关系，利用线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量是关键，属于基础题．
线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，即可求出实数的值．
【解答】
解：线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，
直线的方向向量，
平面的法向量为，
直线平面，
，
，
解得．
故选D．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用向量研究面面的平行，考查向量平行的充要条件，属于基础题．
根据，知，由两向量平行的充要条件直接求解即可．
【解答】
解：，
，
存在实数使得．
解得，．
故选A．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行平面的性质、向量共线定理，属于基础题．
由于平面，可得这两个平面法向量共线．判断即可．
【解答】
解：平面，
这两个平面的法向量共线．
只有中的，满足条件．
故选D．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面法向量的性质，两个平面法向量的关系，空间向量平行的坐标关系，属于基础题．
两个平面平行，其法向量也平行，即可判断各选项．
【解答】
解：平面的一个法向量是，，
设平面的法向量为，
则，
对比四个选项可知，只有符合要求，
故选：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的性质，属于中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
设、交于点，连结，由已知推导出，，由此能求出点的坐标．
【解答】
解：如图，
设点的坐标为，，连接，
则，又，，
，，
平面，平面，平面平面，
，，
解得，点的坐标为，
故选B．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间直角坐标系，利用空间向量判定线线的平行关系，属中档题．
设，由已知求出向量 ，， ，的坐标，利用平行向量即可求出点的坐标．
【解答】
解：由已知，，，
设，则，，
由 ， ，则 ， ，
则存在实数，，满足
则必有且成立，
解得，，，，，满足条件，
故点的坐标为时
即 ，
故选A．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
利用，可得其方向向量，解得即可．
【解答】
解：，
，解得．
实数的值为．
故选D．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了线面垂直的向量表示，属于基础题．
由题可得，即可得出与的位置关系．
【解答】
解：直线的方向向量为，平面的法向量为，
，
．
故选：．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量在直线与平面位置关系中的应用，属于基础题．
由直线与平面垂直可得直线的方向向量与平面的法向量平行，得出关系式求出的值即可．
【解答】
解：因为直线的方向向量为，平面的法向量为，且，
所以存在实数，使得，
所以
解得，．
故选C．
19.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面垂直的性质，是基础题．由面面垂直的性质得，由此能求出．
【解答】
解：平面，的法向量分别为，
，
，
．
故选B．
20.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用向量法判断面面关系，属于基础题．
由数量积的运算可得数量积为，可得法向量垂直，故平面垂直．
【解答】
解：由题意可得，
故两个平面的法向量垂直，故平面和平面的位置关系为垂直，
故选：
21.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量共线及数量积运算，同时考查垂直的条件，属于基础题．
由，利用数量积求解即可．
【解答】
解： 由已知设，
则，
因为，
所以，
所以，
即的坐标为．
故选B．
22.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．
利用向量垂直的性质求解即可．
【解答】
解：，，，
，解得，，
，且面，
，
解得，，
．
故选：．
23.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间直线与平面、平面与平面的垂直的判定，属于中档题．
可建立空间直角坐标系，之后可令，得出相关点的坐标，最后利用空间向量逐一对题中四种说法进行论证．
【解答】
证明：因为“阳马”，
平面．
又平面，平面，
，
建立如图空间直角坐标系，
令，
则，
，分别为棱，的中点，
，
，
所以与平面不垂直，错误；
，，
所以
又，，
，正确；
，
令平面的法向量为，
则，即
取，则，
故．
同理可得平面，平面法向量分别为，
，，
平面与平面不垂直错误
，，
平面平面，正确．
故选D．
24.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量平行共线和垂直的坐标表示 、平面的法向量，属于基础题．
利用空间向量的数量积的坐标运算判定，再由空间向量共线定理判定．
【解答】
解：因为，
所以，故A正确，
同理，可得，故B正确，
由选项A，可知，是平面的一个法向量，故C正确，
因为，所以，故D错误．
故答案为．
25.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平面的法向量，属于基础题．
设正方体的棱长为，依次求出各点坐标，设向量是平面的法向量，根据法向量的定义，逐一验证各选项即可求出答案．
【解答】
解：设正方体的棱长为，则，，
，
设向量是平面的法向量，
则
取，得，
则是平面的一个法向量，
结合其他选项，检验可知只有选项是平面的法向量，
故选：．
26.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的平面法向量的求解，考查线面垂直的判定定理，首先建立空间坐标系，然后根据法向量的特征以及直线的方向向量逐个判断即可，属于中档题．
【解答】
解：由题意，以坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
令正方形的边长为，，，，，，，
因为，平面，平面，
所以平面，
所以不是平面的法向量，故A错误；
因为，
所以，
所以，，，，平面，
所以平面，
所以是平面的一个法向量，故B正确；
因为，所以为直线的方向向量，故C正确；
因为，
所以，
所以，，
，平面，，
所以平面，
所以直线的方向向量是平面的一个法向量，故D正确．
故选BCD．
27.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的方向向量与平面的法向量，以及利用直线的方向向量与平面的法向量判断空间的平行、垂直关系，属于基础题．
根据直线的方向向量与平面的法向量的定义以及空间线面、面面的平行和垂直关系的判断方法，逐项判断，即可得到答案．
【解答】
解：因为为直线的方向向量，分别为平面的法向量不重合，
A.或，故错误；
B.正确；
C.正确；
D.或，故错误，
故选BC．
28.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是空间向量垂直的判定，属于基础题．
结合向量垂直的充要条件以及线面垂直的判定和性质求解即可．
【解答】
解：因为，
所以，，
又，，平面，
所以平面，
故是平面的一个法向量，
又平面，
进而 ，
所以D错误，
故选ABC．
29.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面的法向量，属于基础题．
根据平面的法向量垂直于平面内的任意向量，表示出平面内的两个不共线的向量，再结合向量垂直的数量积公式即可求解．
【解答】
解：，，
为平面的法向量，
则，即，
即，解得．
故答案为：；
30.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是求平面的法向量的方法以及单位向量的概念，属于中档题．
【解答】
解：如图所示，设为中点，
依题意可知，，，，
设，则，
又
则
由于位于，，轴的异侧，所以
故答案为：
31.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面的法向量，涉及三棱锥的结构特征，线面垂直的判定，属于中档题．
根据题意得到平面，即可得到平面的一个法向量；然后证明平面，即可得到平面的一个法向量．
【解答】
解：由题意，因为三棱锥为正三棱锥，且点是的外心，
所以点为的中心，
所以平面，
所以平面的一个法向量可以是；
因为点是棱的中点，
所以，，
又，，平面，
所以平面，
故平面的一个法向量可以是．
故答案为；．
32.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量共线的向量表示，属于基础题．
【解答】
解：直线，的方向向量分别为和，且，
，解得：．
故答案为．
33.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量解决线面平行问题和空间向量的数量积，属于基础题．
由题意，若，则，则，即可解出．
【解答】
解：由题意可得： ，
解得．
故答案为．
34.【答案】平行
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的向量表示，属于基础题．
由题意可得，又因为直线在平面外，所以．
【解答】
解：因为直线的方向向量为，
平面的法向量为，
则，
所以，
又因为直线在平面外，
所以，
故答案为平行．
35.【答案】
平行
【解析】
【分析】
本题考查两个平面的法向量的数量关系和判断，进而考查两个平面的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
根据两个向量的坐标能求出两个向量的数量关系，利用两个向量的倍数关系能判断两个平面的位置关系．
【解答】
解：向量，分别是两个不同平面，的法向量，
可得向量与的数量关系是，
进而得到平面与的位置关系是平行．
故答案为：，平行．
36.【答案】垂直
【解析】
【分析】
本题考查利用向量判断直线垂直，是基础题．
建立坐标系，通过向量的数量积与向量垂直之间的关系，即可判定直线、的位置关系．
【解答】
解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
设正方体的棱长为，则，，，，
，
与垂直．
故答案为垂直．
37.【答案】
垂直
【解析】
【分析】
本题考查了向量的模，共线向量、利用向量判断线面位置关系，属于基础题．
利用向量模的求法、利用向量判断线面位置关系即可判断得出．
【解答】
解：，，
，
又，
，
因此．
故答案为：；垂直．
38.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了面面垂直的判定和性质，根据空间面面垂直的判定与性质，可得两个垂直平面的法向量之积为零，由此建立关于的等式，解之即可得到实数的值．
【解答】
解：由得：，
，
解得或，
故答案为或．
39.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线段长的求法，线面垂直的向量表示，属于中档题．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段的长．
【解答】
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
由题意，，
，，，设，，
，，，
平面，
，即
，解得．
线段的长为．
故答案为．
40.【答案】解：
所以，即，
直线的一个方向向量为；
设平面的一个法向量为，
，，
则，解得
不妨取，则，
平面的一个法向量为．
【解析】本题考查空间直角坐标系，直线的方向向量、平面的法向量的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
求出，的坐标，从而可得的坐标；
设平面的一个法向量为，求出的坐标，利用它们与法向量垂直，数量积等于，即可求出，，的关系得到法向量．
41.【答案】解：以点为原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，．
平面，
是平面的一个法向量．
，，，，平面，
平面，
是平面的一个法向量．
在平面中，，．
设平面的法向量是，
则，，
得方程组
令，则，，
．
所以是平面的一个法向量．
【解析】本题考查了平面的法向量的求法，属于较难题．
以点为原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系：
由法向量的定义可知，是平面的一个法向量；
可证平面，所以是平面的一个法向量；
设平面的法向量是，根据，，计算可得结果．
42.【答案】解：连接，，，如图：
，，，
在，根据向量减法法则可得：
底面是平行四边形，
且，
又为与的交点，
为线段中点，
在中，．
顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是
，，，
由是平面的法向量，得
即，解得
，
．
【解析】本题考查空间向量的线性运算以及向量的模、向量的数量积，属于较难题．
根据向量的线性运算求解；
由向量的数量积结合向量垂直关系求得向量及其模长；
43.【答案】解：取的中点，连接，．
，分别是，的中点，
且．
又且，
且．
则由且知四边形是平行四边形．
就是直线的一个方向向量．
平面，．
又，，
平面．
平面，．
又，为中点，
，又，从而平面．
是平面的一个法向量．
由可知，
就是平面的一个法向量．
【解析】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定，以及共面向量的定义、法向量的定义，属于较难题．
取的中点，连接，，根据中位线定理以及平行四边形的定义，可得四边形是平行四边形，从而得，进而可得结果；
由平面，可得，结合，可得平面，，从而得到平面，从而可得结果．
44.【答案】证明：把作为空间的一组基底．
因为，，
所以．
所以．
由知，又平面，平面，
所以平面．
因为，，
所以所以．
又平面，平面，
所以平面．
又，所以平面平面．
【解析】本题考查线线平行，面面平行的判定，属于基础题．
利用向量共线证明平行．
利用向量共线证明线线平行，再根据面面平行的判定定理证明即可．
45.【答案】证明 ，分别是，的中点，
又四边形，都是平行四边形，
，
又
，
，
，
，．
不在上，．
【解析】本题考查空间向量的线性运算和利用空间向量判断两线平行，属于中档题．
由空间向量的线性运算得，即可判断两线平行．
46.【答案】证明：因为四边形为矩形，
所以，又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
则取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
．
设平面的一个法向量为，．
不妨设，则，．
又，，．
又平面，平面．
【解析】本题考查了法向量的性质、线面平行的判定定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，利用法向量的性质即可得出．证明，即可得出平面．
47.【答案】证明：在平面内，过点作的垂线．
平面，，平面， 所以，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，另设，所以，
又为圆的直径，且，，故
而，且，
四边形为平行四边形，故C与关于轴对称，
，，，，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，．
，即平面的法向量与平面的法向量平行，
平面平面．
【解析】本题考查面面平行的证明，考查向量法的应用，属于中档题．
建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据法向量平行可知两平面平行．
48.【答案】证明：如图以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
设，，，则，
因为，，分别是，，的中点，
所以，，，
所以．
因为平面的一个法向量为，且，即．
又不在平面内，
故平面．
，，
又不在平面内，
所以平面．
由平面，
又因为，
所以平面平面．
【解析】本题主要考查利用空间向量证明直线与平面平行，和平面与平面平行，属于中档题．
平面的一个法向量为，，由，即得；
由，，又不在平面内，得平面，又因为，即得平面平面．
49.【答案】证明：如图所示，以为坐标原点，以射线为轴正半轴，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系．
则，，，，．
于是，，
所以，
所以，即．
由知，又，且点在线段上，
所以，又，
所以，
则，
所以，即，
又根据的结论知，又，和在平面内，
所以平面，于是平面．
又平面，故平面平面．
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量判定线线的垂直，面面垂直的判定，属中档题．
以为坐标原点，以射线为轴正半轴，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系求出，的坐标，由证得；
由向量加减法以及数乘的坐标运算求得和的坐标，证得，得到，再由，由面面垂直的判定定理即可证得平面平面．
【解答】
证明：如图所示，以为坐标原点，以射线为轴正半轴，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系．
则，，，，．
于是，，
所以，
所以，即．
由知，又，且点在线段上，
所以，又，
所以，
则，
所以，即，
又根据的结论知，又，和在平面内，
所以平面，于是平面．
又平面，故平面平面．
50.【答案】解：取的中点，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
假设在线段上存在点，设，
则，，
，，，
设平面的法向量，
则，即．
令，则，，
设平面的法向量，
则，即
令，则，，
要使平面平面，
则，即，
，，
，，．
【解析】本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角，平面与平面垂直，考查空间想象能力，计算能力．属于拔高题．
取的中点，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，假设在线段上存在点，设，通过，求出平面的法向量，利用，求出平面的法向量，通过，求出即可得出结论．
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单选题
1. 已知向量和都是直线的方向向量，则的值是( )
A. B. 或 C. D.
2. 已知一直线经过点，，下列向量中不是该直线的方向向量的为( )
A. B. C. D.
3. 平面经过三点，，，则平面的法向量可以是( )
A. B. C. D.
4. 在平行六面体中，，，，是与的交点．以为空间的一个基底，则直线的一个方向向量为．( )
A. B.
C. D.
5. 已知直线过点，且平行于向量；平面过直线和点，则平面的法向量不可能是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，，分别在棱，上，且，，则下列向量中，能作为平面的法向量的是( )
A. B. C. D.
7. 已知向量，，分别是直线、 的方向向量，若，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
8. 若两条不重合直线和的方向向量分别为，，则和的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定
9. 设是直线的方向向量，是平面的法向量，则直线与平面( )
A. 垂直 B. 平行或在平面内 C. 平行 D. 在平面内
10. 直线的方向向量，平面的法向量为，若直线平面，则的值为( )
A. B. C. D.
11. 已知向量，分别是平面，的法向量，若，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
12. 若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
13. 已知平面的一个法向量是，，则下列向量可作为平面的一个法向量的是( )
A. B. C. D.
14. 如图，正方形与矩形所在的平面互相垂直，，，在上，且平面，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
15. 已知点，，，若存在点，使得，，则点的坐标为 ( )
A. B. 或
C. D. 或
16. 设直线，的方向向量分别为，，若，则等于( )
A. B. C. D.
17. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则( )
A. B. C. D. 与斜交
18. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则( )
A. B. C. D.
19. 两平面，的法向量分别为，，若，则的值是．( )
A. B. C. D.
20. 平面的一个法向量是，平面的一个法向量是，则平面与的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交且不垂直 C. 相交且垂直 D. 不确定
21. 已知空间三点，，，在直线上有一点满足，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
22. 已知，，若，，且面，则( )
A. B. C. D.
23. 我国古代数学名著九章算术第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”今有“阳马”，，，分别为棱，的中点．以下四个结论：
平面；平面；平面平面；平面平面．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题
24. 已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，下列结论正确的有( )
A. B.
C. 是平面的一个法向量 D.
25. 如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，不能作为平面的法向量的是( )
A. B. C. D.
26. 在四棱锥中，底面，底面为正方形，给出下列命题，其中正确的命题是( )
A. 为平面的法向量
B. 为平面的法向量
C. 为直线的方向向量
D. 直线的方向向量一定是平面的法向量
27. 已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量不重合，那么下列说法中正确的有( )
A. B. C. D.
28. 已知是平行四边形所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是( )
A. B.
C. 是平面的法向量 D.
三、填空题
29. 在平面中，，，，若，且为平面的法向量，则 ， ．
30. 已知正四面体的棱长为，为的中心，为上一点且满足、、两两垂直过点作平面，其中、、位于平面的同一侧，是平面的单位法向量且指向另外一侧，、两点到平面的距离分别为和以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，则的坐标为 ．
31. 如图，在正三棱锥中，点是的外心，点是棱的中点，则平面的一个法向量可以是 ，平面的一个法向量可以是 ．
32. 已知直线，的方向向量分别为和，若，则 ．
33. 已知为平面的一个法向量，为直线的方向向量若，则 ．
34. 已知直线在平面外，且是直线的方向向量，是平面的法向量，则直线与平面的位置关系为
35. 已知向量，分别是两个不同平面，的法向量，可得向量与的数量关系是 ，进而得到平面与的位置关系是 ．
36. 如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线，的位置关系是 ．
37. 直线的方向向量为，则 ，若平面的法向量为，则直线与平面的位置关系 填“平行”或“垂直”．
38. 若平面的法向量是，平面的法向量是且，则实数的值是
39. 如图，直三棱柱一中，侧棱长为，，，是的中点，是上的动点，，交于点，要使平面，则线段的长为 ．
四、解答题
40. 本小题分
如图，，原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，。求：
直线的一个方向向量；
平面的一个法向量。
41. 本小题分
如图所示，已知四边形是直角梯形，，，平面，，，试建立适当的坐标系．
求平面的一个法向量；
求平面的一个法向量；
求平面的一个法向量．
42. 本小题分
如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点若，，，设平面的法向量
用表示；
求及的长度；
43. 本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形且，，分别是，的中点．
试以为起点作直线的一个方向向量；
试以为起点作平面的一个法向量．
44. 本小题分
如图，在平行六面体中，，，分别是，，的中点．
求证：；
求证：平面平面．
45. 本小题分
如图所示，已知四边形，都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，，分别是，的中点，
求证：．
46. 本小题分
如图所示，直角梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．
求证：平面．
47. 本小题分
如图所示，平面，点在以为直径的圆上，点为线段的中点，点在上，且，．
证明：平面平面．
48. 本小题分
如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证：
平面；
平面平面．
49. 本小题分
如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上已知，，，．
求证：
若点是线段上一点，且，求证：平面平面．
50. 本小题分
如图，已知三棱柱，侧面底面，若三棱柱的各棱长均为，侧棱与底面所成的角为，问在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求与的比值，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的方向向量，考查分析与计算能力，属于基础题．
由题得，即可得，解出得的值即可．
【解答】
解：向量和都是直线的方向向量，
则，
即，解得，
故选A．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了立体几何中的直线的方向向量，属于基础题．
已知直线的一个方向向量为，而与共线的非零向量都可以作为该直线的方向向量，由此即可得到答案．
【解答】
解：由题知，，
则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，
只有不符合，
故选A．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面的法向量的求法，考查平面的法向量等基础知识，是基础题．
设平面的法向量，由，能求出平面的法向量．
【解答】
解：平面经过三点，，，
，，
设平面的法向量，
则
取，得，
平面的法向量可以是．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查求直线的方向向量，考查空间向量的加减运算及数乘运算，属于中档题．
由题得四边形是平行四边形，是线段的中点，再计算求解得到答案．
【解答】
解：是平行六面体，
且，
四边形是平行四边形，
是线段的中点，
四边形是平行四边形，
，
即直线的一个方向向量为
故选A．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中平面的法向量，考查空间向量平行和垂直，属于中档题，考查推理能力和计算能力逐个判断即可求解．
【解答】
解：由题意可知，平面的法向量垂直于向量 和向量，
而，
选项A，，但，故错误；
选项B，，满足垂直，故正确；
选项C，，满足垂直，故正确；
选项D，，满足垂直，故正确；
故选A ．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面的法向量的求法，考查空间向量的坐标运算等基础知识，属于中档题．
设正方体的棱长为，利用向量法能求出平面的法向量．
【解答】
解：设正方体的棱长为，平面的法向量为．
则，，，
所以，，
则，
不妨取，则，，故．
故选：．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间中直线平行的坐标表示，属于基础题．
由，可得存在实数使得，利用坐标运算得到方程组求解即可．
【解答】
解：，
存在实数使得
，解得，．
故选D．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量的坐标可以解决空间平行或垂直的位置关系，属于基础题．
根据直线方向向量坐标之间的关系，即可得到直线之间的位置关系．
【解答】
解：两条不重合直线和的方向向量分别为，，
，即与共线，
和的位置关系是直线，
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于基础题．
根据可知，从而得出结论．
【解答】
解：．
．
或．
故选B．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量语言表述线面的垂直、平行关系，利用线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量是关键，属于基础题．
线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，即可求出实数的值．
【解答】
解：线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，
直线的方向向量，
平面的法向量为，
直线平面，
，
，
解得．
故选D．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用向量研究面面的平行，考查向量平行的充要条件，属于基础题．
根据，知，由两向量平行的充要条件直接求解即可．
【解答】
解：，
，
存在实数使得．
解得，．
故选A．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行平面的性质、向量共线定理，属于基础题．
由于平面，可得这两个平面法向量共线．判断即可．
【解答】
解：平面，
这两个平面的法向量共线．
只有中的，满足条件．
故选D．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面法向量的性质，两个平面法向量的关系，空间向量平行的坐标关系，属于基础题．
两个平面平行，其法向量也平行，即可判断各选项．
【解答】
解：平面的一个法向量是，，
设平面的法向量为，
则，
对比四个选项可知，只有符合要求，
故选：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的性质，属于中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
设、交于点，连结，由已知推导出，，由此能求出点的坐标．
【解答】
解：如图，
设点的坐标为，，连接，
则，又，，
，，
平面，平面，平面平面，
，，
解得，点的坐标为，
故选B．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间直角坐标系，利用空间向量判定线线的平行关系，属中档题．
设，由已知求出向量 ，， ，的坐标，利用平行向量即可求出点的坐标．
【解答】
解：由已知，，，
设，则，，
由 ， ，则 ， ，
则存在实数，，满足
则必有且成立，
解得，，，，，满足条件，
故点的坐标为时
即 ，
故选A．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
利用，可得其方向向量，解得即可．
【解答】
解：，
，解得．
实数的值为．
故选D．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了线面垂直的向量表示，属于基础题．
由题可得，即可得出与的位置关系．
【解答】
解：直线的方向向量为，平面的法向量为，
，
．
故选：．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量在直线与平面位置关系中的应用，属于基础题．
由直线与平面垂直可得直线的方向向量与平面的法向量平行，得出关系式求出的值即可．
【解答】
解：因为直线的方向向量为，平面的法向量为，且，
所以存在实数，使得，
所以
解得，．
故选C．
19.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面垂直的性质，是基础题．由面面垂直的性质得，由此能求出．
【解答】
解：平面，的法向量分别为，
，
，
．
故选B．
20.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用向量法判断面面关系，属于基础题．
由数量积的运算可得数量积为，可得法向量垂直，故平面垂直．
【解答】
解：由题意可得，
故两个平面的法向量垂直，故平面和平面的位置关系为垂直，
故选：
21.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量共线及数量积运算，同时考查垂直的条件，属于基础题．
由，利用数量积求解即可．
【解答】
解： 由已知设，
则，
因为，
所以，
所以，
即的坐标为．
故选B．
22.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．
利用向量垂直的性质求解即可．
【解答】
解：，，，
，解得，，
，且面，
，
解得，，
．
故选：．
23.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间直线与平面、平面与平面的垂直的判定，属于中档题．
可建立空间直角坐标系，之后可令，得出相关点的坐标，最后利用空间向量逐一对题中四种说法进行论证．
【解答】
证明：因为“阳马”，
平面．
又平面，平面，
，
建立如图空间直角坐标系，
令，
则，
，分别为棱，的中点，
，
，
所以与平面不垂直，错误；
，，
所以
又，，
，正确；
，
令平面的法向量为，
则，即
取，则，
故．
同理可得平面，平面法向量分别为，
，，
平面与平面不垂直错误
，，
平面平面，正确．
故选D．
24.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量平行共线和垂直的坐标表示 、平面的法向量，属于基础题．
利用空间向量的数量积的坐标运算判定，再由空间向量共线定理判定．
【解答】
解：因为，
所以，故A正确，
同理，可得，故B正确，
由选项A，可知，是平面的一个法向量，故C正确，
因为，所以，故D错误．
故答案为．
25.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平面的法向量，属于基础题．
设正方体的棱长为，依次求出各点坐标，设向量是平面的法向量，根据法向量的定义，逐一验证各选项即可求出答案．
【解答】
解：设正方体的棱长为，则，，
，
设向量是平面的法向量，
则
取，得，
则是平面的一个法向量，
结合其他选项，检验可知只有选项是平面的法向量，
故选：．
26.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的平面法向量的求解，考查线面垂直的判定定理，首先建立空间坐标系，然后根据法向量的特征以及直线的方向向量逐个判断即可，属于中档题．
【解答】
解：由题意，以坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
令正方形的边长为，，，，，，，
因为，平面，平面，
所以平面，
所以不是平面的法向量，故A错误；
因为，
所以，
所以，，，，平面，
所以平面，
所以是平面的一个法向量，故B正确；
因为，所以为直线的方向向量，故C正确；
因为，
所以，
所以，，
，平面，，
所以平面，
所以直线的方向向量是平面的一个法向量，故D正确．
故选BCD．
27.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的方向向量与平面的法向量，以及利用直线的方向向量与平面的法向量判断空间的平行、垂直关系，属于基础题．
根据直线的方向向量与平面的法向量的定义以及空间线面、面面的平行和垂直关系的判断方法，逐项判断，即可得到答案．
【解答】
解：因为为直线的方向向量，分别为平面的法向量不重合，
A.或，故错误；
B.正确；
C.正确；
D.或，故错误，
故选BC．
28.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是空间向量垂直的判定，属于基础题．
结合向量垂直的充要条件以及线面垂直的判定和性质求解即可．
【解答】
解：因为，
所以，，
又，，平面，
所以平面，
故是平面的一个法向量，
又平面，
进而 ，
所以D错误，
故选ABC．
29.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面的法向量，属于基础题．
根据平面的法向量垂直于平面内的任意向量，表示出平面内的两个不共线的向量，再结合向量垂直的数量积公式即可求解．
【解答】
解：，，
为平面的法向量，
则，即，
即，解得．
故答案为：；
30.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是求平面的法向量的方法以及单位向量的概念，属于中档题．
【解答】
解：如图所示，设为中点，
依题意可知，，，，
设，则，
又
则
由于位于，，轴的异侧，所以
故答案为：
31.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平面的法向量，涉及三棱锥的结构特征，线面垂直的判定，属于中档题．
根据题意得到平面，即可得到平面的一个法向量；然后证明平面，即可得到平面的一个法向量．
【解答】
解：由题意，因为三棱锥为正三棱锥，且点是的外心，
所以点为的中心，
所以平面，
所以平面的一个法向量可以是；
因为点是棱的中点，
所以，，
又，，平面，
所以平面，
故平面的一个法向量可以是．
故答案为；．
32.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量共线的向量表示，属于基础题．
【解答】
解：直线，的方向向量分别为和，且，
，解得：．
故答案为．
33.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量解决线面平行问题和空间向量的数量积，属于基础题．
由题意，若，则，则，即可解出．
【解答】
解：由题意可得： ，
解得．
故答案为．
34.【答案】平行
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的向量表示，属于基础题．
由题意可得，又因为直线在平面外，所以．
【解答】
解：因为直线的方向向量为，
平面的法向量为，
则，
所以，
又因为直线在平面外，
所以，
故答案为平行．
35.【答案】
平行
【解析】
【分析】
本题考查两个平面的法向量的数量关系和判断，进而考查两个平面的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
根据两个向量的坐标能求出两个向量的数量关系，利用两个向量的倍数关系能判断两个平面的位置关系．
【解答】
解：向量，分别是两个不同平面，的法向量，
可得向量与的数量关系是，
进而得到平面与的位置关系是平行．
故答案为：，平行．
36.【答案】垂直
【解析】
【分析】
本题考查利用向量判断直线垂直，是基础题．
建立坐标系，通过向量的数量积与向量垂直之间的关系，即可判定直线、的位置关系．
【解答】
解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
设正方体的棱长为，则，，，，
，
与垂直．
故答案为垂直．
37.【答案】
垂直
【解析】
【分析】
本题考查了向量的模，共线向量、利用向量判断线面位置关系，属于基础题．
利用向量模的求法、利用向量判断线面位置关系即可判断得出．
【解答】
解：，，
，
又，
，
因此．
故答案为：；垂直．
38.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了面面垂直的判定和性质，根据空间面面垂直的判定与性质，可得两个垂直平面的法向量之积为零，由此建立关于的等式，解之即可得到实数的值．
【解答】
解：由得：，
，
解得或，
故答案为或．
39.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线段长的求法，线面垂直的向量表示，属于中档题．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段的长．
【解答】
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
由题意，，
，，，设，，
，，，
平面，
，即
，解得．
线段的长为．
故答案为．
40.【答案】解：
所以，即，
直线的一个方向向量为；
设平面的一个法向量为，
，，
则，解得
不妨取，则，
平面的一个法向量为．
【解析】本题考查空间直角坐标系，直线的方向向量、平面的法向量的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
求出，的坐标，从而可得的坐标；
设平面的一个法向量为，求出的坐标，利用它们与法向量垂直，数量积等于，即可求出，，的关系得到法向量．
41.【答案】解：以点为原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，．
平面，
是平面的一个法向量．
，，，，平面，
平面，
是平面的一个法向量．
在平面中，，．
设平面的法向量是，
则，，
得方程组
令，则，，
．
所以是平面的一个法向量．
【解析】本题考查了平面的法向量的求法，属于较难题．
以点为原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系：
由法向量的定义可知，是平面的一个法向量；
可证平面，所以是平面的一个法向量；
设平面的法向量是，根据，，计算可得结果．
42.【答案】解：连接，，，如图：
，，，
在，根据向量减法法则可得：
底面是平行四边形，
且，
又为与的交点，
为线段中点，
在中，．
顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是
，，，
由是平面的法向量，得
即，解得
，
．
【解析】本题考查空间向量的线性运算以及向量的模、向量的数量积，属于较难题．
根据向量的线性运算求解；
由向量的数量积结合向量垂直关系求得向量及其模长；
43.【答案】解：取的中点，连接，．
，分别是，的中点，
且．
又且，
且．
则由且知四边形是平行四边形．
就是直线的一个方向向量．
平面，．
又，，
平面．
平面，．
又，为中点，
，又，从而平面．
是平面的一个法向量．
由可知，
就是平面的一个法向量．
【解析】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定，以及共面向量的定义、法向量的定义，属于较难题．
取的中点，连接，，根据中位线定理以及平行四边形的定义，可得四边形是平行四边形，从而得，进而可得结果；
由平面，可得，结合，可得平面，，从而得到平面，从而可得结果．
44.【答案】证明：把作为空间的一组基底．
因为，，
所以．
所以．
由知，又平面，平面，
所以平面．
因为，，
所以所以．
又平面，平面，
所以平面．
又，所以平面平面．
【解析】本题考查线线平行，面面平行的判定，属于基础题．
利用向量共线证明平行．
利用向量共线证明线线平行，再根据面面平行的判定定理证明即可．
45.【答案】证明 ，分别是，的中点，
又四边形，都是平行四边形，
，
又
，
，
，
，．
不在上，．
【解析】本题考查空间向量的线性运算和利用空间向量判断两线平行，属于中档题．
由空间向量的线性运算得，即可判断两线平行．
46.【答案】证明：因为四边形为矩形，
所以，又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
则取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
．
设平面的一个法向量为，．
不妨设，则，．
又，，．
又平面，平面．
【解析】本题考查了法向量的性质、线面平行的判定定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，利用法向量的性质即可得出．证明，即可得出平面．
47.【答案】证明：在平面内，过点作的垂线．
平面，，平面， 所以，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，另设，所以，
又为圆的直径，且，，故
而，且，
四边形为平行四边形，故C与关于轴对称，
，，，，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，．
，即平面的法向量与平面的法向量平行，
平面平面．
【解析】本题考查面面平行的证明，考查向量法的应用，属于中档题．
建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据法向量平行可知两平面平行．
48.【答案】证明：如图以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
设，，，则，
因为，，分别是，，的中点，
所以，，，
所以．
因为平面的一个法向量为，且，即．
又不在平面内，
故平面．
，，
又不在平面内，
所以平面．
由平面，
又因为，
所以平面平面．
【解析】本题主要考查利用空间向量证明直线与平面平行，和平面与平面平行，属于中档题．
平面的一个法向量为，，由，即得；
由，，又不在平面内，得平面，又因为，即得平面平面．
49.【答案】证明：如图所示，以为坐标原点，以射线为轴正半轴，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系．
则，，，，．
于是，，
所以，
所以，即．
由知，又，且点在线段上，
所以，又，
所以，
则，
所以，即，
又根据的结论知，又，和在平面内，
所以平面，于是平面．
又平面，故平面平面．
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量判定线线的垂直，面面垂直的判定，属中档题．
以为坐标原点，以射线为轴正半轴，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系求出，的坐标，由证得；
由向量加减法以及数乘的坐标运算求得和的坐标，证得，得到，再由，由面面垂直的判定定理即可证得平面平面．
【解答】
证明：如图所示，以为坐标原点，以射线为轴正半轴，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系．
则，，，，．
于是，，
所以，
所以，即．
由知，又，且点在线段上，
所以，又，
所以，
则，
所以，即，
又根据的结论知，又，和在平面内，
所以平面，于是平面．
又平面，故平面平面．
50.【答案】解：取的中点，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
假设在线段上存在点，设，
则，，
，，，
设平面的法向量，
则，即．
令，则，，
设平面的法向量，
则，即
令，则，，
要使平面平面，
则，即，
，，
，，．
【解析】本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角，平面与平面垂直，考查空间想象能力，计算能力．属于拔高题．
取的中点，以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，假设在线段上存在点，设，通过，求出平面的法向量，利用，求出平面的法向量，通过，求出即可得出结论．
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