高二数学人教A版选修一1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（练习）（含解析）

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1. 若平面的一个法向量为，，，，，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
2. 已知直线的方向向量为，点在直线上，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
3. 已知平面的法向量为，点在平面内，且点到平面的距离为，则( )
A. B. C. 或 D.
4. 已知，，，，，那么点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
5. 如图，正方体的棱长为，是平面的中心，则点到平面的距离是( )
A. B. C. D.
6. 已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7. 已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
8. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是( )
A. B. C. D.
9. 如图，在正方体中，，点在平面内，，则点到距离的最小值为( )
A. B. C. D.
10. 在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，在平面内存在点使得，则直线到平面的距离为( )
A. B. C. D.
11. 如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 已知长方体，，，为线段上一点，且，则与平面所成的角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题
13. 多选题已知正方体的棱长为，点，分别是，的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是( )
A. 点到直线的距离是
B. 点到平面的距离为
C. 平面与平面间的距离为
D. 点到直线的距离为
14. 如图，在直三棱柱中，，，点，分别是线段，上的动点不含端点，且则下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 该三棱柱的外接球的表面积为
C. 异面直线与所成角的正切值为
D. 二面角的余弦值为
三、填空题
15. 设正方体的棱长为，则点到平面的距离是 ．
16. 如图，在长方体中，，，点为的中点，则点到平面的距离为 ．
17. 在空间直角坐标系中，四面体的顶点分别为，则点到平面的距离为 ．
18. 在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中若平面的一个法向量为，点到平面的距离为 ．
19. 如图，已知为外一点， 平面，垂足为，若，，两两垂直，且，则点到平面的距离是 ．
20. 是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为 ．
21. 将边长为的正方形沿对角线折叠成三棱锥，折后，则二面角的余弦值为 ．
22. 如图，在矩形中，，，，分别是边，的中点，将正方形沿折到位置，使得二面角大小为，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
23. 如图，已知是棱长为的正方体的棱的中点，是棱的中点，则点到面的距离 ，直线与面所成的角的正弦值 ．
四、解答题
24. 本小题分
在长方体中，，，，，分别为，的中点，求异面直线与的距离．
25. 本小题分
如图，五面体中，四边形为矩形，平面，，，为中点．
求证：平面；
若平面平面，求点到平面的距离．
26. 本小题分
如图，正方体的棱长为，，，，分别为，，，的中点，求平面与平面的距离．
27. 本小题分
如图，长方体中，点在棱上，两条直线，与平面所成角均为，与交于点．
求证：；
当时，求点到平面的距离．
28. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值．
29. 本小题分
如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，为的中点．
求证：平面．
在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在说明理由．
求平面与平面所成二面角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用空间向量解立体几何的基本公式，属于基础题．
直接由点面距离的向量公式就可求出．
【解答】
解：，平面的一个法向量为，
故点到平面的距离为，
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中的距离问题，利用空间向量求点、线、面之间的距离，属于基础题．
先求出在上的投影长度，再由勾股定理求出点到直线的距离即可．
【解答】
解：由题在上的投影长度为，
所以点到直线的距离为，
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了法向量的应用、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用，即可得出．
【解答】
解：由已知得，平面的法向量为，
故点到平面的距离
．
解得或．
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用空间向量法求点到平面的距离，属于基础题．
利用已知点的坐标求出平面的法向量，然后利用点到直线距离公式求解即可．
【解答】
解：因为，，，
所以，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，
所以，
所以点到平面的距离为
．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用空间向量求点到平面的距离，属于基础题．
建立空间直角坐标系，求出各点坐标，平面的法向量，的坐标，到平面的距离为，代入求解即可．
【解答】
解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则有，，，
，，．
因为为的中点，
所以，
即，，
设平面的法向量为，
则有，即
取，则．
所以点到平面的距离．
故选C．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点到平面的距离的求法，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．
以为原点，以垂直的直线为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量，由，知，由向量法能求出到平面的距离．
【解答】
解：以为原点，以垂直的直线为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，
是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，
，，，
，
，，，
设平面的法向量，
，
，
到平面的距离
．
故选A．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点到平面的距离的求法，是基础题．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．
【解答】
解：正方体的棱长为，、分别为棱、的中点，
为棱上的一点，且，
以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，
，
，，
，
设平面的法向量，
则，
取，得，
点到平面的距离：．
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
建立适当的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，然后再求出直线和的公垂线的方向向量，利用异面直线与之间的距离公式求解即可．属于中档题．
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，涉及了异面直线之间的距离计算，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行研究．
【解答】
解：以为原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，
所以，
设和的公垂线的方向向量为，
则有，即，
所以，
又，
所以异面直线与之间的距离．
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间向量的应用，考查运算求解能力，是拔高题．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出的坐标，借助于向量求解点到距离的最小值．
【解答】
解；建立如图所示空间直角坐标系，
则平面 的方程为，
又点在平面内，且，则的轨迹满足：
．
设，则，
，
点到距离
，
，，
，设，则，
则，
当时，．
此时，即．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是利用空间向量求线面距离，是较难题．
以点为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，求得面的法向量为，点到面的距离，代入即可求得，由面得到面的距离即为到面的距离，本题可解．
【解答】
解：如图所示：
以点为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由题意可得，，，，，，，，，，
设，则，
，，，
故 G，，
设面的法向量为，
则
令，则，，
面的一个法向量为，
点到面的距离
，
，，
又面，面，
面，
到面的距离即为到面的距离，为．
故选 B．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线段的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段长的取值范围．
【解答】
解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
设，，
则，
则
，
异面直线与成的角，
，
，，
又，，
则，解得，
，
线段长的取值范围是
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与平面所成的角的正弦值．
本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
【解答】
解：以为原点，，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
由，取，得，
与平面所成的角的正弦值为：
．
故选：．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用空间向量求点线、点面、面面距离，意在考查学生的数学运算的学科素养，线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行，属于中档题．
建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空间向量数量积求得各个选项的距离，得出结论．
【解答】
解：如图，建立空间直角坐标系，
则，，
，，，，
所以．
设，则，
．
故A到直线的距离，故A错．
易知，
平面的一个法向量，
则点到平面的距离，故B对．
．
设平面的法向量为，
则，所以
令，得，
所以．
所以点到平面的距离．
因为平面平面，
所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面间的距离为，故C对．
因为，所以，
又，则，
所以点到的距离，故D错．
故选BC．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的判定、球的表面积、异面直线所成角，利用空间向量求二面角，属于较难题．
根据题意得到，利用平行的判定选项；确定三棱柱外接球的直径，再计算球的的表面积即可判定选项；确定异面直线与所成角为，再计算正切值即可判定选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值即可．
【解答】
解：在直三棱柱中，四边形是矩形，
因为，所以，
因为不在平面内，平面，
所以平面，项正确；
因为，所以，
因为，所以，
所以，
连接，，设其交点为，连接，，，，
由直棱柱的性质知平行四边形是矩形，
，
又平面，平面，
则平面平面，
又平面平面，，
则平面，
又平面，则，
则是直角三角形，又为的中点，则，
同理，在直角三角形中，，
综上所述，，
则为直三棱柱外接球的球心，
则是三棱柱外接球的直径，
所以三棱柱外接球的表面积为，所以项错误；
因为，所以异面直线与所成角为．
在中，，，
所以，所以项错误；
二面角即二面角，
以为坐标原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图，则，
，，，
设平面的法向量，
，即
令可得；
设平面的一个法向量为，
则，即
令可得，
故二面角的余弦值为，所以项正确．
故选AD．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的数量积的应用，点到平面的距离的求法，考查计算能力．属于基础题通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出，然后求解距离．
【解答】
解：如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
，
，，
设平面的一个法向量，
令，则，
点到平面的距离．
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．
本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
【解答】
解：在长方体中，，，
点为的中点，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，
，
，，
，
设平面的法向量，
则
取，得，
点到平面的距离：
．
故答案为：．

17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的数量积的应用，平面法向量的求法，属于中档题．
求出，，然后求出平面的一个法向量，通过法向量与的数量积即可求出顶点到平面的距离．
【解答】
解：因为四面体四个顶点分别为，
，，，
所以，，．
设平面的法向量为
所以，
不妨令，则，解得．
平面的法向量为．
所以顶点到平面的距离为．
故答案为．

18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间点面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是基础题．
由已知求得，可得平面的法向量，再求出，然后利用向量求距离公式求解．
【解答】
解：，，，
而为平面的一个法向量，
，即．
平面的一个法向量为，
又，，
点到平面的距离为．
故答案为：．

19.【答案】
【解析】
【分析】
本题查点到平面的距离的求法，向量法等基础知识，考查运算求解能力，属于一般题．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．
【解答】
解：由题意，四面体中，，，两两垂直，且，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
所以，，，，
，，，
设平面的法向量，
则
取，得，
点到平面的距离为
．
故答案为：．

20.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，的坐标，利用距离公式，即可得到结论．
【解答】
解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
根据题意得正四棱锥的高为，所以
则，．
设平面的法向量是，
所以由
可得
取，得，
因为，
所以到平面的距离．
故答案为；

21.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用空间直角坐标系求二面角，属于中档题．
先证明平面，建立空间直角坐标系即可求解．
【解答】
解：取中点，在中，，，
，
，
又是正方形的对角线，
，
又，平面，平面，
平面，
则，，两两互相垂直，
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
是平面的一个法向量，
，，
设平面的法向量，
则，，
即
所以，且，
令，则，，
解得，
从而，
易知二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为．
故答案为．

22.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是中档题．
以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
【解答】
解：在矩形中，，，，分别是边，的中点，
将正方形沿折到位置，使得二面角大小为，
以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为．

23.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查由空间向量法求点到面的距离，以及由空间向量法求直线与平面成角的正弦值，属于拔高题．
分别以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，由向量坐标求得平面的法向量为，由点到面的距离，直线与面所成的角的正弦值，代入求值．
【解答】
解：连接，根据正方体的性质，不妨以点为原点，分别以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
由图可知，，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
，
取，
，
平面的法向量为，
则
易知与所成角或其补角的余角是直线与面所成的角，
，且，
．
故答案为 ．

24.【答案】解：以为原点，，，所在的直线为坐标轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，．
设，的公垂线的方向向量为，
则即
令，则，，
即，，
又，
在上的射影长为
则异面直线与的距离是．
【解析】本题考查异面直线间的距离，属于中档题．
首先建立空间直角坐标系，求出与的公垂线的方向向量，求出在上的射影长即可．
25.【答案】证明：取中点，连接，．
因为且，且，
所以且，
则四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
以中点为坐标原点，，，为，，轴构建空间直角坐标系，
，，，
可得，，，
设平面的法向量
，不妨取，
则平面的法向量，
则到平面的距离．
【解析】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，空间点到平面的距离的求法的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是基础题．
取中点，连接，证明四边形为平行四边形，推出，即可证明平面．
以中点为坐标原点，，，为，，轴构建空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的数量积求解到平面的距离即可．
26.【答案】解：如图所示，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，
，
，，
又，，
平面平面，
设平面的一个法向量为，
则，则可取，
，
平面与平面的距离为
．
【解析】本题考查利用空间向量研究立体几何问题，考查两平面间的距离的向量求法，考查运算求解能力，属于中档题．
建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，可得，再利用面面平行的判定定理可得平面平面，求出平面的一个法向量，再由结合距离的向量表达即可得解．
27.【答案】证明：平面，
、分别为、在平面内的射影．
则，分别为直线、与平面所成的角，
故，
，
四边形为正方形．
又平面，平面，
，而，故AC平面．
而平面．
解：如图所示，建立空间直角坐标系．
，，，
，．
，，，
设平面的法向量为，
则，可得，可得．
点到平面的距离．
【解析】本题考查了空间线面、面面位置关系、空间角与空间距离、法向量的应用、数量积运算性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
平面，可得，分别为直线、与平面所成的角，，可得，因此四边形为正方形，又平面，可得平面即可证明．
如图所示，建立空间直角坐标系．设平面的法向量为，利用，可得利用点到平面的距离即可得出．
28.【答案】解：
证明：
在中，，，，由余弦定理可得，
则，
，
由题意可知，且，
平面，
平面，而，
，又，
．
由，，而与相交，平面，
平面，
，
，
取中点为，连接，则，，两两垂直，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
，，
又为中点，
，，
由得平面，可得可作为平面的一个法向量，
从而直线与平面所成角的正弦值为：
．
【解析】本题考查了线面垂直的判定与性质，利用空间向量求解直线与平面所成角，属于中档题．
由题意可证，又，且，即可证明平面，进而证明，又，即证；
建立空间直角坐标系，利用空间向量求解直线与平面所成角的余弦值即可．
29.【答案】解：过作于点，则，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
为的中点，
，，．
设平面的法向量为，则
令，则，，，
，即，
又平面，平面．
假设线段上存在一点，设，，，
，，
．
由知，平面的法向量为，
直线与平面所成角的正弦值为，
，
化简得，即，
，，
故．
由知，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，，
，．
由图可知平面与平面所成二面角为锐角，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
【解析】本题考查空间中线与面的位置关系、二面角和线面角的求法，熟练利用空间向量处理二面角、线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于拔高题．
过作于点，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，依次写出、、、、、、的坐标．
根据法向量的性质求得平面的法向量，由以及线面平行的判定定理即可得证；
设，由，，可用含的式子表示出点的坐标，由题可知，，于是列出关于的方程，解之即可．
同理求得平面的法向量，由空间向量数量积的坐标运算求出，即可得解；
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