人教版高中数学选择性必修第三册7.4.1 二项分布 B组 能力提高训练（含解析）

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人教版高中数学选择性必修第三册
7.4.1 二项分布B组能力提高训练（原卷版）
一、选择题
1．（2021·辽宁大连市·辽师大附中高二月考）下列说法正确的个数是（ ）
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数是一个随机变量，且；
②某福彩中奖概率为，某人一次买了8张，中奖张数是一个随机变量，且；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2021·辽宁高二月考）已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有位患有该病的患者服用了这种药物，位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有位患者被治愈的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·安徽蚌埠市高二月考）若随机变量，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏省丰县中学高二期末）某人射击一发子弹的命中率为，现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n的概率如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最大可能是（ ）
n 0 1 … k … 19
… …
A．14发 B．15发 C．16发 D．15或16发
5．（多选题）（2021·全国高二课时练）抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（多选题）（2021·山东菏泽市高二期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如10100）其中A的各位数中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（ ）
A．X服从二项分布 B．
C．X的期望 D．X的方差
二、填空题
7．（2021·湖北黄冈市·高二期末）唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为______________.
8．（2021·江苏扬州市高二月考）根据天文学有关知识，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于，能在扬州的夜空中看到它.下表列出了10颗恒星的“赤纬”数值：
星名 天狼星 老人星 南门二 大角星 织女一 五车二 参宿七 南河三 水委一 参宿四
赤纬
现有四名学生从这10颗恒星中各随机选择1颗进行观测，其中有人能在扬州的夜空中看到观测目标，则的数学期望为___________.
9．（2021·辽宁高二月考）假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为______________.
10．（2021·全国高二专题练习）随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”.现某机构对国内排名前五的家快递公司的某项指标进行了轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这轮测试中恰好有轮测试结果都出现家公司排名不变的概率为_________.
三、解答题
11．（2021·浙江高二期末）2021年4月3日我校学生在浙江省首届少年诗词大会比赛中喜获佳绩，荣获初中组总冠军．海选环节，进入预赛的条件为：电脑随机抽取5首古诗，参赛者能够正确背诵3首及以上的进入预赛．若同学甲参赛，他背诵每一首古诗正确的概率均为．
（1）求甲进入预赛的概率；
（2）甲同学进入了预赛，此后的比赛采用积分制计算个人成绩，电脑随机抽取3首古诗，每首古诗背诵正确加2分，错误减1分．由于难度增加，甲背诵每首古诗正确的概率为，设甲的得分为，请写出的分布列，并求出甲得分的数学期望．
12．（2021·天津高二月考）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”．
（1））求一个试用组为“甲类组”的概率；
（2）观察3个试用组，用表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望．
人教版高中数学选择性必修第三册
7.4.1 二项分布B组能力提高训练（解析版）
一、选择题
1．（2021·辽宁大连市·辽师大附中高二月考）下列说法正确的个数是（ ）
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数是一个随机变量，且；
②某福彩中奖概率为，某人一次买了8张，中奖张数是一个随机变量，且；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数是随机变量，且
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】①某同学投篮的命中率为0.6，该同学投篮10次，是一个独立重复试验，所以他10次投篮中命中的次数是一个随机变量，且，所以该命题正确；②某福彩中奖概率为，某人一次买了8张，相当于买了8次，每次中奖的概率都为，相当于做了8次独立重复试验，中奖张数是一个随机变量，且，所以该命题正确；③从装有5个红球、5个白球的袋中，由于它是有放回地摸球，直到摸出白球为止，所以它不是一个独立重复性试验，因为当时，概率为，当时，概率为，当时，概率为，依次类推，即每次试验摸到白球的概率不相等，所以它不是独立重复性试验，所以不服从,所以该命题错误.故选：C
2．（2021·辽宁高二月考）已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有位患有该病的患者服用了这种药物，位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有位患者被治愈的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为，则不被治愈的概率为
所以位患者中恰有1为患者被治愈的概率为，故选：B
3．（2021·安徽蚌埠市高二月考）若随机变量，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为随机变量，所以，，
所以，，D项错误，故选：D.
4．（2021·江苏省丰县中学高二期末）某人射击一发子弹的命中率为，现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n的概率如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最大可能是（ ）
n 0 1 … k … 19
… …
A．14发 B．15发 C．16发 D．15或16发
【答案】D
【详解】根据题意，设第k发子弹击中目标的概率最大，而19发子弹中命中目标的子弹数n的概率（，，，，），
则有且，
即 ，解可得 ，
即第15或16发子弹击中目标的可能性最大，则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是第15或16发.故选：D．
5．（多选题）（2021·全国高二课时练）抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】由题意，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”、“三个反面”、“二正一反”、“一正二反”的概率分别为，根据独立重复试验的概率计算公式，
可得：，
由，故A是错误的；由，故B是错误的；
由，故C是正确的；由，故D是正确的.故选：CD
6．（多选题）（2021·山东菏泽市高二期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如10100）其中A的各位数中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（ ）
A．X服从二项分布 B．
C．X的期望 D．X的方差
【答案】ABC
【详解】解：由于二进制数的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，
且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：
①后4个数出现0，，记其概率为；
②后4个数位只出现1个1，，记其概率为；
③后4位数位出现2个1，，记其概率为，
④后4个数为上出现3个1，记其概率为，
⑤后4个数为都出现1，，记其概率为，
故，故正确；又，故正确；
，，故正确；，的方差，故错误．故选：．
二、填空题
7．（2021·湖北黄冈市·高二期末）唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为______________.
【答案】
【详解】该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，
有两天出现大潮概率为，有三天出现大潮概率为，
所以至少有两天出现大潮的概率为，故选：A.
8．（2021·江苏扬州市高二月考）根据天文学有关知识，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于，能在扬州的夜空中看到它.下表列出了10颗恒星的“赤纬”数值：
星名 天狼星 老人星 南门二 大角星 织女一 五车二 参宿七 南河三 水委一 参宿四
赤纬
现有四名学生从这10颗恒星中各随机选择1颗进行观测，其中有人能在扬州的夜空中看到观测目标，则的数学期望为___________.
【答案】3.6
【详解】大于的有9个，小于的有1个在扬州能看到的概率为，，.
9．（2021·辽宁高二月考）假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是，则该射手每次射击的命中率为______________.
【答案】
【详解】设该射手射击命中的概率为，两次射击命中的次数为，则，由题可知：，即，解得.
10．（2021·全国高二专题练习）随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”.现某机构对国内排名前五的家快递公司的某项指标进行了轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这轮测试中恰好有轮测试结果都出现家公司排名不变的概率为_________.
【答案】
【详解】解：首先，在一轮测试中家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现家公司排名不变的概率为，其次，3轮测试每次发生上述情形的概率均为,
故轮测试中恰好有轮测试结果都出现家公司排名不变的概率为.
三、解答题
11．（2021·浙江高二期末）2021年4月3日我校学生在浙江省首届少年诗词大会比赛中喜获佳绩，荣获初中组总冠军．海选环节，进入预赛的条件为：电脑随机抽取5首古诗，参赛者能够正确背诵3首及以上的进入预赛．若同学甲参赛，他背诵每一首古诗正确的概率均为．
（1）求甲进入预赛的概率；
（2）甲同学进入了预赛，此后的比赛采用积分制计算个人成绩，电脑随机抽取3首古诗，每首古诗背诵正确加2分，错误减1分．由于难度增加，甲背诵每首古诗正确的概率为，设甲的得分为，请写出的分布列，并求出甲得分的数学期望．
【答案】(1) ；(2)见解析；甲得分的数学期望为.
【详解】解：(1)记“甲进入预赛”为事件，则
故甲进入预赛的概率的概率为.
(2) 的所有可能取值为，，，，则
；；
；，
所以的分布列为
所以.
12．（2021·天津高二月考）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”．
（1））求一个试用组为“甲类组”的概率；
（2）观察3个试用组，用表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为．
【详解】解（1）设表示事件“一个试验组中，服用甲种抗病毒药物有效的人数人”，，
表示事件“一个试验组中，服乙有效的人有人”，
依题意有
所求的概率为
（2）的可能值为，且
，
，
，
，
的分布列为
0 1 2 3
数学期望
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