第二章 匀速圆周运动
第1节 圆周运动
[导学目标] 1.理解线速度、角速度、转速、周期等概念，会对它们进行定量计算.2.知道线速度与角速度的关系，知道线速度与周期、角速度与周期的关系.3.理解匀速圆周运动的概念和特点．
1．直线运动的速度等于________________________________的比值，公式v＝.
2．在定义直线运动的瞬时速度时引入了________的思想，当Δt→0时，Δt时间内的________速度即可近似看作Δt时间内某时刻的________速度．
3．物体做曲线运动的条件：_________________________________________
________________________________________________________________________.
曲线是变速运动，有加速度．
4．在数学中，可用弧度来表示角的大小，它等于____________的比值．公式：θ＝________.
一、线速度
[问题情境]
研究物体的运动时，我们往往关心的是物体运动的快慢．对于直线运动我们用单位时间内的位移大小比较物体运动的快慢．与此相似，对于圆周运动我们能否通过单位时间内圆周运动中的哪些量来比较圆周运动的快慢呢？
[要点提炼]
1．线速度定义：做圆周运动的质点通过的弧长Δs与通过这段弧长所用时间Δt的比值叫做圆周运动的线速度，用公式表示为：v＝.
2．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫匀速圆周运动．
3．对线速度的理解
(1)线速度描述的是质点沿圆弧运动的快慢程度．
(2)线速度是物体做匀速圆周运动的瞬时速度．
(3)线速度是矢量，它既有大小，也有方向(大小：v＝，方向：在圆周各点的切线方向)．
(4)匀速圆周运动是一种非匀速运动，因为线速度的方向在时刻改变．
(5)线速度的单位：m/s.
例1 分析图1中A、B两点的线速度有什么关系．
图1
[即学即用]
1．下列说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是一种匀速运动
B．匀速圆周运动是一种匀变速运动
C．匀速圆周运动是一种变加速运动
D．做匀速圆周运动的物体在相等的时间内通过的弧长相等
2．一运动员绕圆形跑道做圆周运动，他的速度处处不为零，则下列说法错误的是( )
A．任何时刻他所受的合力一定不为零
B．任何时刻他的加速度一定不为零
C．他的速度大小一定不断变化
D．他的速度方向一定不断改变
二、角速度
[要点提炼]
1．角速度是描述物体____________________的物理量．
2．角速度等于____________________跟____________的比值．
3．角速度的单位是________．
4．匀速圆周运动是角速度______的圆周运动．
5．技术中常用转速来描述转动物体上质点做圆周运动的快慢．转速是指物体在________________________，常用符号n表示，单位为________(r/s)，或________(r/min)．
6．做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做________．
三、描述圆周运动的各物理量之间的关系
[要点提炼]
1．线速度和角速度的关系
如果物体沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，在时间Δt内通过的弧长是Δs，半径转过的角度是Δφ，由数学知识知Δs＝rΔφ，于是有v＝＝＝____，即v＝____.
上式表示：r一定时，v与ω成____比；ω一定时，v与r成正比；v一定时，ω与r成____比．
2．线速度与周期的关系
由于做匀速圆周运动的物体，在一个周期内通过的弧长为2πr，所以有v＝________.
上式表明，只有当半径相同时，周期小的线速度____，当半径不同时，周期小的线速度不一定大，所以，周期与线速度描述的快慢是不一样的．若比较物体沿圆周运动的快慢看线速度，若比较物体绕圆心运动的快慢看周期、角速度．
3．角速度与周期的关系
由于做匀速圆周运动的物体，在一个周期内半径转过的角度为2π，则有ω＝.
上式表明，角速度与周期一定成反比，周期大的角速度一定小．
4．角速度、线速度与频率的关系为ω＝________，v＝2πfr.
5．频率f与n的关系为f＝n.
以上各物理量关系有v＝ωr＝r＝2πfr＝2πnr.
[即学即用]
3．甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( )
A．它们的半径之比为2∶9
B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3
D．它们的周期之比为1∶3.
图2
4．一个圆环，以竖直直径AB为轴匀速转动，如图2所示，则环上M、N两点的线速度的大小之比vM∶vN＝________；角速度之比ωM∶ωN＝________；周期之比TM∶TN＝________.
5．一汽车发动机的曲轴每分钟转2 400周，求：
(1)曲轴转动的周期与角速度；
(2)距转轴r＝0.2 m点的线速度．
四、三种典型传动方式的分析
[问题情境]
图3
请同学们分析下列三种传动方式的特点，并回答有关问题．
1．共轴转动
如图3所示，A点和B点在同轴的一个“圆盘”上，但到轴(圆心)的距离不同，当“圆盘”转动时，A点和B点沿着不同半径的圆周运动，它们的半径分别为r和R，且r此传动方式有什么特点，A、B两点的角速度、线速度和周期之间有什么关系？
图4
2．皮带传动
如图4所示，A点和B点分别是两个轮子边缘上的点，两个轮子用皮带连起来，并且皮带不打滑．此传动方式有什么特点？A、B两点的线速度、角速度和周期之间有什么关系？
图5
3．齿轮运动
如图5所示，A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮的轮齿啮合．两个齿轮在同一时间内转过的齿数相等，或者说A、B两个点的线速度相等，但它们的转动方向恰好相反，即当A顺时针转动时，B逆时针转动．用n1、n2分别表示齿轮的齿数，请分析A、B两点的v，ω和T的关系？
图6
例2 如图6所示的皮带传动装置(传动皮带是绷紧的且运动中不打滑)中，主动轮O1的半径为r1，从动轮O2有大小两轮固定在一个轴心O2上，半径分别为r3、r2，已知r3＝2r1，r2＝1.5r1，A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则当整个传动装置正常工作时，A、B、C三点的线速度之比为________；角速度之比为________；周期之比为________．
第二章 匀速圆周运动
第1节 圆周运动
课前准备区
1．位移跟发生这段位移所用时间
2．极限 平均 瞬时
3．物体所受合力与它的速度方向不在同一直线上
4．弧长与半径
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
单位时间内的弧长和圆心角．
例1 大小相等
解析 主动轮通过皮带、链条、齿轮等带动从动轮的过程中，皮带(链条)上各点以及两轮边缘上各点在相同的时间内通过的弧长相等，所以它们的线速度大小相等．
[即学即用]
1．CD [做匀速圆周运动的物体做曲线运动，曲线运动瞬时速度的方向是时刻变化的，匀速圆周运动只是速度大小不变，故它不是匀速运动，A错；做匀速圆周运动的物体速度大小不变，方向时刻改变，因而受到的合外力一定与物体速度的方向垂直，且方向时刻变化，所以它不是匀变速运动，故B错，C正确；由线速度的定义式v＝知匀速圆周运动中物体的线速度大小不变，所以在相等时间内通过的弧长相等，D正确．]
2．C [运动员在做圆周运动的过程中速度是时刻改变的，即始终有加速度，合力是产生加速度的原因，所以A、B、D正确；因为合力在速度方向不一定有分量，则速度大小不一定发生改变，所以C错误．]
二、
[要点提炼]
1．做圆周运动快慢
2．半径转过的角度Δφ 所用时间Δt
3．rad/s
4．不变
5．单位时间内所转过的圈数 转每秒 转每分
6．周期
三、
[要点提炼]
1．rω rω 正 反
2. 大
4．2πf
[即学即用]
3．AD [由v＝ωr，所以r＝，＝＝.A对，B错；由T＝，T甲∶T乙＝∶＝，D对，C错．]
4.∶1 1∶1 1∶1
5．(1) s 251 rad/s (2)50.2 m/s
解析 (1)由于曲轴每秒钟转周，周期T＝ s；而每转一周为2π rad，因此曲轴转动的角速度
ω＝ rad/s≈251 rad/s
(2)已知r＝0.2 m，因此这一点的线速度
v＝ωr＝251×0.2 m/s＝50.2 m/s
四、
[问题情境]
1．共轴转动的物体上各点的角速度相同．
线速度、角速度、周期存在着定量关系：＝，ωA＝ωB，TA＝TB.
2．两个轮子边缘处及传送带上各点的线速度相同、角速度不同．vA＝vB，＝，＝.
3．线速度、角速度、周期存在着定量关系：vA＝vB，＝＝，＝＝.
例2 4∶4∶3 2∶1∶1 1∶2∶2
解析 因同一轮子(或固结在一起的两轮)上各点的角速度都相等，皮带传动(皮带不打滑)中与皮带接触的轮缘上各点在相等时间内转过的圆弧长度相等，其线速度都相等．故本题中的B、C两点的角速度相等，即
ωB＝ωC①
A、B两点的线速度相等，即vA＝vB②
因A、B两点分别在半径为r1和r3的轮缘上，r3＝2r1，
故由ω＝及②式
可得角速度ωA＝2ωB③
由①③式可得A、B、C三点角速度之比为
ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1④
因B、C分别在半径为r3、r2的轮缘上，
r2＝r1＝r3，
故由v＝rω及①式
可得线速度vB＝vC⑤
由②⑤式可得A、B、C三点线速度之比为
vA∶vB∶vC＝4∶4∶3⑥
由T＝及④式可得A、B、C三点的周期之比为
TA∶TB∶TC＝1∶2∶2⑦
第二章 匀速圆周运动
第1节 圆周运动
一、选择题
1．物体以角速度ω做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．轨道半径越大线速度越大
B．轨道半径越大线速度越小
C．轨道半径越大周期越大
D．轨道半径越大周期越小
2．某质点绕圆轨道做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A．因为它速度大小始终不变，所以它做的是匀速运动
B．它速度大小不变，但方向时刻改变，是变速运动
C．该质点速度大小不变，因而加速度为零，处于平衡状态
D．该质点做的是变速运动，具有加速度，故它受合外力不等于零
3．静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法正确的是( )
A．它们的运动周期都是相同的
B．它们的线速度都是相同的
C．它们的线速度大小都是相同的
D．它们的角速度是不同的
图1
4．如图1所示为一皮带传送装置，a、b分别是两轮边缘上的两点，c处在O1轮上，且有ra＝2rb＝2rc，则下列关系正确的有( )
A．va＝vb B．ωa＝ωb C．va＝vc D．ωa＝ωc
5．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车车轮的转速为( )
A．1 000 r/s B．1 000 r/min
C．1 000 r/h D．2 000 r/s
图2
6．如图2所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( )
A．从动轮做顺时针转动
B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n
D．从动轮的转速为n
二、非选择题
图3
7．如图3所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三轮半径关系为rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，求A、B、C轮边缘的a、b、c三质点的角速度之比和线速度之比．
8．如图4所示，
图4
两轮通过边缘接触，形成摩擦传动装置，设接触处无打滑现象．已知大轮B的半径是小轮A的半径的2倍，设主动轮A转动时其边缘点的角速度为ω，线速度为v.求：
(1)A、B两轮的转动周期之比；
(2)B轮边缘上一点的线速度；
(3)B轮转动的角速度．
图5
9．如图5所示，小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求：
(1)B球抛出时的水平初速度；
(2)A球运动的线速度最小值．
第二章 匀速圆周运动
第1节 圆周运动
1．A [由v＝rω可知，角速度一定，r越大，线速度越大，即选项A正确，B错误，周期T＝，角速度一定，周期T一定，故C、D错误．]
2．BD [匀速圆周运动是指线速度大小不变的圆周运动，但方向时刻改变，因而是变速运动，加速度不为零，所以B、D正确．]
3．A [如图所示，地球绕自转轴转动时，所有地球上各点的周期及角速度都是相同的．地球表面物体做圆周运动的平面是物体所在纬度线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬度处的物体圆周运动的半径是不同的，只有同一纬度处物体转动半径相等，线速度的大小才相等．但即使物体的线速度大小相同，方向也各不相同．]
4．AD [由于是皮带传动，故两轮边缘上的a、b两点线速度相等，即va＝vb，A正确；a、b两点的转动半径不同，则角速度ωa<ωb，B错误；a、c同轴故其角速度相等，半径不同线速度不相等，C错，D对．]
5．B [由v＝rω，ω＝2πn得
n＝＝ r/s≈17.7 r/s≈1 000 r/min]
6．BC [主动轮顺时针转动时，皮带带动从动轮逆时针转动，A项错误，B项正确；由于两轮边缘线速度大小相同，根据v＝2πrn，可得两轮转速与半径成反比，所以C项正确，D项错误．]
7．1∶2∶2 1∶1∶2
解析 A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，即
va＝vb或va∶vb＝1∶1①
由v＝ωr得
ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2②
B、C两轮固定在一起绕同一轴转动．则B、C两轮的角速度相同，即
ωb＝ωc或ωb∶ωc＝1∶1③
由v＝ωr得
vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2④
由②③得ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2
由①④得va∶vb∶vc＝1∶1∶2.
8．(1)1∶2 (2)v (3)ω
9．(1)R (2)2πR
解析 (1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，则R＝v0t①
在竖直方向上做自由落体运动，则h＝gt2②
由①②得v0＝＝R .
(2)A球的线速度vA＝＝＝2πRn
当n＝1时，其线速度最小，即vmin＝2πR .
第2节 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
[导学目标] 1.理解向心力的概念及其表达式的含义.2.知道向心力大小与哪些因素有关，并能用来进行计算.3.知道向心加速度和线速度、角速度的关系，能够用向心加速度公式求解有关问题．
1．加速度是表示________________的物理量，它等于___________________________的比值．在直线运动中，v0表示初速度，v表示末速度，则速度的变化量Δv＝________，加速度公式a＝____________，其方向与速度变化量方向________．
2．在直线运动中，取初速度v0方向为正方向，如果速度增大，末速度v大于初速度v0，则Δv＝v－v0____0(填“>”或“<”)，其方向与初速度方向______；如果速度减小，Δv＝v－v0____0，其方向与初速度方向______．
3．在曲线运动中，当合外力的方向与初速度方向成锐角时，物体速度将______，同时速度方向____________．当合外力的方向与初速度方向成钝角时，物体速度将________，同时速度方向____________．
4．牛顿第二定律：物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟________的方向相同．表达式为：F＝ma.a与F具有瞬时对应关系.
一、向心力
[问题情境]
1．教材P26的实验在“探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间关系”时采用了什么实验方法？球做圆周运动的向心力是什么力提供的呢？
2．物体做曲线运动时，必定受到与速度方向不在同一直线上的合外力作用，匀速圆周运动是曲线运动，做匀速圆周运动的物体必定也受到与速度方向不在同一条直线上的合外力的作用，这个合外力是怎样的呢？
[要点提炼]
1．向心力的定义：物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终____________，这个指向圆心的合力就叫做向心力．
2．向心力的方向：总是沿着半径指向圆心，始终与线速度方向______，方向时刻改变，所以向心力是变力．
3．向心力的作用：只改变线速度的______，不改变线速度的____．
4．向心力的大小：根据牛顿第二定律可知
F＝ma＝________＝________＝________
[即学即用]
1．下列关于向心力的说法中，正确的是( )
A．物体由于做圆周运动产生了一个向心力
B．做匀速圆周运动的物体，其向心力为其所受的合外力
C．做匀速圆周运动的物体，其向心力不变
D．向心加速度决定向心力的大小
2．有长短不同、材料相同的同样粗细的绳子，各拴着一个质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，那么( )
A．两个小球以相同的线速度运动时，长绳易断
B．两个小球以相同的角速度运动时，长绳易断
C．两个小球以相同的周期运动，短绳易断
D．不论如何，短绳易断
3．A、B两质点均做匀速圆周运动，mA∶mB＝RA∶RB＝1∶2，当A转60转时，B正好转45转，则两质点所受向心力之比为多少？
二、向心加速度
[要点提炼]
1．做匀速圆周运动的物体，加速度的方向指向圆心，这个加速度称为向心加速度．
2．向心加速度的大小的表达式：a＝＝rω2.
3．向心加速度的方向始终与线速度方向______，只改变速度______，不改变速度的______；
4．向心加速度的方向始终指向圆心，方向时刻改变，是一个变加速度，所以匀速圆周运动不是________运动，而是______运动；
5．向心加速度与圆周运动的半径r的关系：根据a＝＝rω2可知，在v一定时，a与r成____；在ω一定时，a与r成____．
6．向心加速度公式还可以写成a＝r，a＝vω.
[问题延伸]
甲同学认为由公式a＝知向心加速度a与运动半径r成反比；而乙同学认为由公式a＝ω2r知向心加速度a与运动半径r成正比，他们两人谁的观点正确？说一说你的观点．
例1 下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A．向心加速度描述做匀速圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度描述做匀速圆周运动的物体角速度变化的快慢
C．向心加速度描述做匀速圆周运动物体的线速度方向变化的快慢
D．做匀速圆周运动物体的向心加速度不变
三、向心力来源的分析
[问题情境]
请同学们分析下列几种圆周运动所需向心力分别由什么力提供，并总结向心力的来源．
(1)汽车急转弯时乘客的感觉，对座位上的乘客和拉着扶手的乘客分别作出说明．
(2)链球做圆周运动．
(3)双人花样滑冰．
(4)地球绕着太阳做圆周运动．
(5)在绳子拉力作用下的小球做圆周运动．
[要点提炼]
1．向心力是按力的作用效果命名的，而不是物体受到的另外一种力，它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是它们的合力或者是某个力的分力．
2．在分析物体受力情况时，仍要分清谁对物体施力，切不可在重力、弹力、摩擦力等性质的力之外再添加一个向心力；
3．在匀速圆周运动中，物体受到的合力充当向心力．可见，合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心是物体做匀速圆周运动的条件．
图1
例2 如图1所示，小物块A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做圆周运动，则下列关于A的受力情况的说法正确的是( )
A．受重力、支持力和与运动方向相反的静摩擦力
B．受重力、支持力和指向圆心的静摩擦力
C．受重力、支持力、静摩擦力和向心力
D．受重力、支持力和方向不一定指向圆心的静摩擦力
[即学即用]
4．请完成下列几种匀速圆周运动分析并填表：
图形
受力分析
力的分解方法
满足的方程及向心加速度
或mgtan θ＝mlsin θ·ω2，________
或mgtan θ＝m(d＋lsin θ)ω2，________
或mgtan θ＝mrω2，________
或mgtan θ＝mrω2________
第2节 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
课前准备区
1．速度改变快慢 速度的改变量跟发生这一改变所用时间 v－v0 相同
2．> 相同 < 相反
3．增大 发生改变 减小 发生变化
4．作用力
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
1．①控制变量法 ②横臂的挡板对球的压力
2．这个合外力应该是大小不变、方向始终指向圆心．
[要点提炼]
1．指向圆心．
2．垂直
3．方向 大小
4．m mrω2 mr2
[即学即用]
1．B 2.B
3．4∶9
解析 设在时间t内，nA＝60转，nB＝45转，质点所受的向心力F＝mω2R＝m2·R，t相同，F∝mn2R
所以＝＝××＝
二、
[要点提炼]
3．垂直 方向 大小
4．匀变速 非匀变速
5．反比 正比
[问题延伸]
他们两人的观点都不准确，当v一定时，a与r成反比；当ω一定时，a与r成正比．
例1 C [做匀速圆周运动的物体速率不变，向心加速度只改变速度的方向，显然A选项错误；匀速圆周运动的角速度是不变的，所以B选项也错误；匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化，作为反映速度变化快慢的物理量，向心加速度只描述速度方向变化的快慢，所以C选项正确；向心加速度始终指向圆心，其方向时刻在改变，所以D选项错误．]
三、
[问题情境]
向心力来源分别为：(1)汽车壁的弹力、扶手拉力沿水平方向的分力；(2)拉力；(3)拉力沿水平方向的分力；(4)引力；(5)绳拉力．
解析 (1)汽车急转弯时的座位上的人是受到汽车壁的弹力作用，拉着扶手的人是受到扶手拉力的作用；(2)链球能做圆周运动是因为受到链绳的拉力作用；(3)双人滑冰时女运动员能做圆周运动是因为男运动员拉着她；(4)地球绕太阳运动，是太阳对地球的引力在“拉”着它；(5)小球能做圆周运动是绳子的力在拉着它．
例2 D [物体A在水平圆盘上，受竖直向下的重力，竖直向上的支持力，且两力是一对平衡力．由于A随圆盘一起做圆周运动，故其必须有向心力作用，所以A必定受到静摩擦力作用，但此静摩擦力方向不一定指向圆心．当圆盘做匀速圆周运动时，静摩擦力一定指向圆心且等于向心力；当圆盘做变速圆周运动时，静摩擦力的法向分力等于向心力，切向分力产生切向加速度，这时静摩擦力不指向圆心．]
[即学即用]
4．a＝gtan θ a＝gtan θ a＝gtan θ a＝gtan θ
第2节 匀速圆周运动的向心力和向心加速度
1．物体做匀速圆周运动时，关于受力情况以下说法中正确的是( )
A．必须受到恒力的作用
B．物体所受合力必须等于零
C．物体所受合力大小可能变化
D．物体所受合力大小不变，方向不断改变
2．在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．能正确地表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的图是( )
图1
3．如图1所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体一起运动，物体所受的向心力是( )
A．重力
B．弹力
C．静摩擦力
D．滑动摩擦力
4．如图2所示，质量为m的滑块从半径为R的光滑固定的圆弧形轨道的a点滑到b点，下列说法中正确的是( )
图2
A．它所受的合外力的大小是恒定的
B．向心力大小逐渐增大
C．向心力逐渐减小
D．向心加速度逐渐增大
5．如图3所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴OO′匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动，若两球质量之比mA∶mB＝2∶1，那么A、B两球的( )
图3
A．运动半径之比为1∶2
B．加速度大小之比为1∶2
C．线速度大小之比为1∶2
D．向心力大小之比为1∶2
6．如图4所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需向心力是( )
图4
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳的方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
7．如图5所示，光滑杆偏离竖直方向的夹角为θ，杆以O支点绕竖直线旋转，质量为m的小球套在杆上可沿杆滑动．当杆角速度为ω1时，小球旋转平面在A处；当杆角速度为ω2时，小球旋转平面在B处，设球对杆的压力为N，则有( )
图5
A．N1>N2 B．N1＝N2
C．ω1<ω2 D．ω1>ω2
8．如图6所示，质量为m的木块从半径为R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使得木块的速率不变，则( )
图6
A．因为速率不变，所以木块的加速度为零
B．木块下滑的过程中所受的合外力越来越大
C．木块下滑过程中的摩擦力大小不变
D．木块下滑过程中的加速度大小不变，方向时刻指向球心
9．质量相等的A、B两物体(可视为质点)，放在水平的转台上，A离轴的距离是B离轴的距离的一半，如图7所示，当转台匀速旋转时，A、B都和水平转台无相对滑动．则下列说法正确的是( )
图7
A．因为a＝ω2·R，而RB>RA，所以B的向心加速度比A的大
B．因为a＝，而RAC．因为质量相等，所以它们受到台面的摩擦力一样大
D．转台对B的静摩擦力较小
10．如图8所示，天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，整体一起向左匀速运动．系A的吊绳较短，系B的吊绳较长，若天车运动到P处突然静止，则两吊绳所受拉力FA、FB的大小关系是( )
图8
A．FA>FB>mg
B．FAC．FA＝FB＝mg
D．FA＝FB>mg
11．如图9所示，在水平转台上放一个质量M＝2 kg 的木块，它与转台间最大静摩擦力fmax＝6.0 N，绳的一端系在木块上，穿过转台的中心孔O(孔光滑)，另一端悬挂一个质量m＝1.0 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可以是(g取10 m/s2，M、m均视为质点)( )
图9
A．0.04 m B．0.08 m
C．0.16 m D．0.32 m
第2节 匀速圆周运动的向
心力和向心加速度
1．D [匀速圆周运动的合外力是向心力，大小不变，方向始终指向圆心，即方向时刻变化，故A、B、C错．D对．]
2．C [由于雪橇在冰面上滑动，故滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即方向应为圆的切线方向，因做匀速圆周运动．合外力一定指向圆心，由此可知C正确．]
3．B
4．BD [对滑块受力分析可知F向＝m，随着v的增大，向心力在增大，向心加速度在增大，B、D正确．]
5．ABC [两球的向心力都由细绳拉力提供，大小相等，两球都随杆一起转动，角速度相等，D错．设两球的半径分别为rA、rB，转动角速度为ω，则mAω2rA＝mBω2rB，所以rA∶rB＝mB∶mA＝1∶2，A对，＝＝，B对，＝＝，C对．]
6．CD
[如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳的拉力，向心力是指向圆心方向的合外力，因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向分力的合力，故选C、D.]
7．BD [由图可知，小球随杆旋转时受到重力mg和杆的支持力N两个力作用，
合力F合＝mgcot θ提供向心力，
即mgcot θ＝mω2r，
ω＝，
因r2>r1，所以ω1>ω2，C错误，D正确．
而N＝与半径无关，故N1＝N2，A错误，B正确．]
8．D [木块做匀速圆周运动，所受合外力大小恒定，方向时刻指向圆心，故选项A、B不正确．在木块滑动过程中，小球对碗壁的压力不同，故摩擦力大小改变，C错．]
9．A [A、B两物体的ω相同，由a＝ω2R可知当RA10．A [突然停止时，A、B两物体速度相同，做圆周运动，F－mg＝mv2/L，故F＝mg＋mv2/L，LAFB>mg.]
11．BCD [当M有远离轴心运动的趋势时，有：mg＋fmax＝Mω2rmax
当M有靠近轴心运动的趋势时，有：
mg－fmax＝Mω2rmin
解得：rmax＝0.32 m，rmin＝0.08 m
即0.08 m≤r≤0.32 m．]
第3节 圆周运动的实例分析
[导学目标] 1.知道向心力由一个力或几个力的合力提供，会分析具体问题中的向心力来源.2.能用匀速圆周运动规律分析、处理生产和生活中的实例．
1．向心力总是指向圆心，而线速度沿圆的______方向，故向心力总是与线速度______，所以向心力的作用效果只是改变线速度的______而不改变线速度的______．
2．物体做圆周运动时，实际上是满足了供需平衡即提供的向心力等于________________．
3．向心加速度的公式：a＝＝rω2＝________
4．向心力的公式：
F＝ma＝m＝mrω2＝________.
一、汽车过拱形桥
[问题情境]
1．质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，若桥面的圆弧半径为R，试画出受力分析图，分析汽车通过桥的最高点时对桥的压力．通过分析，你可以得出什么结论？画出汽车的受力图，推导出汽车对桥面的压力．
2．当汽车通过凹形桥最低点时，汽车对桥的压力比汽车的重力大还是小呢？请同学们自己分析．
[要点提炼]
1．汽车过拱形桥顶点时，由重力和支持力的合力提供向心力，对桥墩的压力小于重力，这便是桥一般建成拱桥的原因．
2．当mg＝m，即汽车对拱形桥的压力__________时，向心力完全由重力提供，这时v＝(即在竖直平面内做圆周运动的最大临界速度)，恰能使汽车安全过桥．
①当v<时，即mg>m时，由______和________提供向心力；
②当v>时，即mg[即学即用]
图1
1．如图1所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m．如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N，则：
(1)汽车允许的最大速度是多少？
(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)
二、“旋转秋千”
1．运动特点：如图2所示在水平面内做匀速圆周运动．
2．向心力分析：如图3所示绳的拉力和重力的合力(或者说绳的拉力在水平方向的分力)提供向心力．F＝mgtan θ.向心加速度：a＝gtan θ.
图2 图3
三、火车转弯
[问题情境]
在平直轨道上匀速行驶的火车，所受的合力为零，而火车转弯时实际在做圆周运动．是什么力作为向心力呢？火车转弯时有一个规定的行驶速度，按此速度行驶最安全，那么，规定火车以多大速度行驶呢？
[要点提炼]
火车转弯时需要的向心力是由____________________提供的．火车转弯规定的行驶速度为v0＝ .
(1)当v＝v0时，F向＝F，即转弯时所需向心力等于支持力和重力的合力，这时内、外轨______________，这就是设计的限速状态．
(2)当v>v0时，F向>F，即所需向心力大于支持力和重力的合力，这时________对车轮有侧压力，以弥补向心力的不足．
(3)当v[问题延伸]
在修筑铁路的时候，铁路弯道的半径是根据地形条件决定的，在弯道半径一定的情况下，必须改变内外轨的高度差，请由上面的公式推导高度差h的表达式并说明影响h的因素？
[即学即用]
2．火车在某转弯处的规定行驶速度为v，则下列说法正确的是( )
A．当以速度v通过此转弯处时，火车受到的重力及轨道面的支持力的合力提供了转弯的向心力
B．当以速度v通过此转弯处时，火车受到的重力、轨道面的支持力及外轨对车轮轮缘的弹力的合力提供了转弯的向心力
C．当火车以大于v的速度通过此转弯处时，车轮轮缘会挤压外轨
D．当火车以小于v的速度通过此转弯处时，车轮轮缘会挤压外轨
四、竖直面内的圆周运动
1．轻绳模型
图4
如图4所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，则mg＝________即v＝.在最高点时：
(1)v＝时，拉力或压力为____．
(2)v>时，物体受向____的拉力或压力．
(3)v<时，物体________(填能或不能)达到最高点．
即绳类的临界速度为v临＝________.
2．轻杆模型
如图5所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是____________________________，小球的受力情况为：
图5
(1)v＝0时，小球受向上的支持力N＝______.
(2)0(3)v＝时，小球除重力之外不受其他力．
(4)v>时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而______．
即杆类的临界速度为v临＝____.
3．轨道问题
(1)内轨：类似于绳拉物体．
①v≥才能过最高点．
②v<时，因不能过最高点而脱离轨道．
(2)外轨：物体能通过最高点的条件是0①当0②当v>时，在到达最高点以前就飞离轨道．
③当v＝时，在最高点做平抛运动而离开轨道，若地面通过圆心，则落地点s＝ r>r.
例1 某人用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动．杯内水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm.求：
(1)在最高点水不流出的最小速率．
(2)水在最高点速率v＝3 m/s时，水对杯底的压力大小．
图6
例2 长L＝0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2 kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图6所示．在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力：
(1)A的速率为1 m/s；
(2)A的速率为4 m/s.(g取10 m/s2)
.
四、离心运动
[问题情境]
图7
如图7所示，小球A在做圆周运动时，细绳突然断了，小球会出现什么情况呢？洗衣机脱水筒里的衣服上的水为什么能脱离衣服而“飞走”呢？摩托车越野比赛时，经常看到摩托车在转弯处出现翻车现象，这种现象是怎样产生的呢？
[要点提炼]
1．离心运动：做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者_______________________的情况下，就做远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动．
2．讨论
(1)当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动．
当F当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F>mrω2时，物体将做离圆心越来越近的曲线运动，称为近心运动．
(2)离心运动的原因是合力突然消失或不足以提供向心力，而不是物体又受到了什么“离心力”．
3．离心运动的应用和防止
(1)应用：离心干燥器；洗衣机脱水筒；离心制管技术．
(2)防止：汽车在公路转弯处必须限速行驶；转动的砂轮、飞轮的转速不能太高．
[即学即用]
3．下列关于匀速圆周运动的说法正确的是( )
A．因为向心加速度大小不变，故是匀变速运动
B．由于向心加速度的方向变化，故是变加速运动
C．用线系着的物体在光滑水平面上做匀速圆周运动，线断后，物体受到“离心力”作用而做背离圆心的运动
D．向心力和离心力一定是一对作用力和反作用力
第3节 圆周运动的实例分析
课前准备区
1．切线 垂直 方向 大小
2．所需要的向心力
3．r2
4．mr2
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
1.
在最高点，对汽车进行受力分析，确定向心力的来源；由牛顿第二定律列出方程求出汽车受到的支持力；由牛顿第三定律求出桥面受到的压力
N1′＝N1＝mg－m
可见，汽车对桥的压力N1′小于汽车的重力G，并且，压力随汽车速度的增大而减小．
2.
汽车在凹形桥的最低点时对桥的压力大小为
N2′＝N2＝mg＋>mg.比汽车的重力大．
[要点提炼]
2．恰好为零 ①重力 支持力 ②大于
[即学即用]
1．(1)10 m/s (2)105 N
解析 (1)汽车在凹形桥底部时存在最大允许速度，由牛顿第二定律得：N－mg＝m
代入数据解得v＝10 m/s
(2)汽车在凸形桥顶部时对桥面有最小压力，由牛顿第二定律得：
mg－N′＝，
代入数据解得N′＝105 N.
由牛顿第三定律知压力等于105 N.
三、
[问题情境]
火车的车轮上有凸出的轮缘，实际上转弯处的外轨比内轨高，使铁轨对火车的支持力不再是竖直向上，而是斜向上，偏向火车转弯的内侧，支持力和重力的合力可以提供向心力，可以减轻轮缘与外轨的挤压．最佳情况是向心力恰好由重力和支持力的合力提供，内、外轨均不受侧向挤压力．设车轨间距为d，两轨高度差为h，规定速度为v0，转弯半径为r，θ为路基与水平面的夹角，如图所示，由牛顿第二定律得F＝m，又F＝mgtan θ；θ很小时，tan θ＝sin θ＝，故v0＝，在此速度时，内、外轨均不受侧向挤压力．
[要点提炼]
支持力和重力的合力 (1)均无侧压力 (2)外轨
(3)内轨
[问题延伸]
h＝，即弯道处内外轨高度差h应该如何选择，不仅与半径r有关，并且取决于火车在弯道上的行驶速度v0.
[即学即用]
2．AC [火车转弯处的外轨比内轨高，当火车以规定速度v通过转弯处时，火车车轮与车轨间并没有发生挤压，此时火车转弯的向心力由火车受到的重力及轨道面的支持力的合力提供，故A选项正确．当火车以大于v的速度通过轨迹处时，外轮将挤压外轨．相反以小于v的速度通过时，内轮将挤压内轨，而获得向外的弹力，故C正确．]
三、
1. (1)零 (2)下 (3)不能
2．在最高点的速度大于或等于零 (1)mg (2)0 mg (4)增大 0
例1 (1)2.42 m/s (2)2.6 N
解析 (1)在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即mg≤m，则所求最小速率v0＝＝ m/s＝2.42 m/s.
(2)当水在最高点的速率大于v0时，只靠重力提供向心力已不足，此时杯底对水有一竖直向下的压力，设为N，由牛顿第二定律有N＋mg＝m
即N＝m－mg＝2.6 N
由牛顿第三定律知，水对杯底的作用力N′＝N＝2.6 N，方向竖直向上．
例2 (1)16 N，方向竖直向下 (2)44 N，方向竖直向上
解析 以A为研究对象，设其受到杆的作用力为F，取竖直向下为正方向，则有mg＋F＝m.
(1)代入数据v＝1 m/s，可得F＝m(－g )＝2(－10) N＝－16 N．即A受到杆的支持力为16 N．根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力16 N.
(2)代入数据v＝4 m/s，可得F＝m(－g)＝2(－10) N＝44 N，即A受到杆的拉力为44 N．根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力44 N.
四、
[问题情境]
细绳突然断了，小球做圆周运动的向心力突然消失，小球在水平方向上不受任何力，速度沿原圆周运动在该点的切线方向，故小球将沿切线方向飞出，离圆心越来越远．当衣服放入脱水筒时，随筒一起做圆周运动，筒壁对衣服的作用力提供向心力，而衣服中所含的水所需要的向心力是由水与衣服之间的作用力提供．筒的转速很高，衣服对水的作用力不足以提供水需要的向心力时，水就做远离圆心的运动而离开衣服．摩托车在转弯处的速度过大，半径过小，由向心力公式F＝m可知所需向心力很大，这时摩托车受到地面的摩擦力达最大时都不足以提供向心力，所以摩托车要做远离圆心的运动，向外翻滚．
[要点提炼]
1．不足以提供圆周运动所需的向心力
[即学即用]
3．B
第3节 圆周运动的实例分析
一、选择题
1．下列有关洗衣机中脱水筒的脱水原理的说法正确的是( )
A．水滴受离心力作用而背离圆心方向甩出
B．水滴受到向心力，由于惯性沿切线方向甩出
C．水滴受到的离心力大于它受到的向心力，而沿切线方向甩出
D．水滴与衣服间的附着力小于它所需要的向心力，于是水滴沿切线方向甩出
2．关于铁道转弯处内外铁轨间的高度关系，下列说法中正确的是( )
A．内、外轨一样高，以防列车倾倒造成翻车事故
B．因为列车在转弯处有向内倾倒的可能，故一般使内轨高于外轨，以防列车翻倒
C．外轨比内轨略高，这样可以使列车顺利转弯，减少车轮与铁轨的挤压
D．以上说法均不正确
3．在世界一级方程式锦标赛中，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，其原因是( )
A．是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘造成的
B．是由于赛车行驶到弯道时，没有及时加速造成的
C．是由于赛车行驶到弯道时，没有及时减速造成的
D．是由于在弯道处汽车受到的摩擦力比在直道上小造成的
4．如图1所示，在光滑的轨道上，小球滑下经过圆弧部分的最高点A时，恰好不脱离轨道，此时小球受到的作用力是( )
图1
A．重力、弹力和向心力
B．重力和弹力
C．重力和向心力
D．重力
5．如图2所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，正确的说法是( )
图2
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力有可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为0
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球的重力
6．在高速公路的拐弯处，路面建造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ，设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，θ应等于( )
A．sin θ＝ B．tan θ＝
C．sin 2θ＝ D．cot θ＝
7．飞行员身体承受的压力最大不能超过体重的9倍，那么当他驾机飞行速率为v0时，在竖直平面内做圆周运动的最小半径应是( )
A. B.
C. D.
8．如图3所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于最高点的速度v，下列说法正确的是( )
图3
A．v的极小值为
B．v由零逐渐增大，向心力也增大
C．当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D．当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大
二、非选择题
9．一根长l＝0.625 m的细绳，一端拴一质量m＝0.4 kg 的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，g取10 m/s2，求：
(1)小球通过最高点时的最小速度；
(2)若小球以速度v＝3.0 m/s通过圆周最高点时，绳对小球的拉力多大？若此时绳突然断了，小球将如何运动？
第3节 圆周运动的实例分析
1．D [根据离心运动的特点知，水滴的离心现象是由于水滴与衣服间的附着力小于水滴运动所需要的向心力，即提供的向心力不足，所以水滴沿切线方向甩出，正确选项为D.]
2．C [铁道转弯处外轨比内轨略高，从而使支持力的水平方向分力可提供一部分向心力，以减少车轮与铁轨的挤压避免事故发生，C对，A、B、D错．]
3．C [赛车在水平弯道上行驶时，摩擦力提供向心力，而且速度越大，需要的向心力越大，如不及时减速，当摩擦力不足以提供向心力时，赛车就会做离心运动，冲出跑道，故C正确．]
4．D [小球在最高点恰好不脱离轨道时，小球受轨道的弹力为零，而重力恰好提供向心力，向心力并不是小球受到的力，而是根据力的作用效果命名的，故D正确，A、B、C均错误．]
5．BD [设在最高点小球受的拉力为F1，最低点受到的拉力为F2，当在最高点v1>时，则F1＋mg＝m，即向心力由拉力F1与mg的合力提供，A错；当v1＝时，F1＝0，B对；v1＝为球经过最高点的最小速度，即小球在最高点的速率不可能为0，C错；在最低点，F2－mg＝m，F2＝mg＋m，所以经最低点时，小球受到绳子的拉力一定大于它的重力，D对．]
6．B
[当车轮与路面的横向摩擦力等于零时，汽车受力如图所示，
则有：Nsin θ＝m，
Ncos θ＝mg，
解得：tan θ＝，故B正确．]
7．B
[如图所示，飞机在竖直平面内做圆周运动，经过最低点时，飞行员承受的支持力最大，当半径最小时，支持力N＝9mg，由N－mg＝m，得r＝.]
8．BCD [由于是轻杆，即使小球在最高点速度为零，小球也不会掉下来，因此v的极小值是零；v由零逐渐增大，由F＝可知，F也增大，B对；当v＝时，F＝＝mg，此时杆恰对小球无作用力，向心力只由其自身重力来提供；当v由增大时，则＝mg＋F′?F′＝m－mg，杆对球的力为拉力，且逐渐增大；当v由减小时，杆对球为支持力．此时，mg－F′＝，F′＝mg－，支持力F′逐渐增大，杆对球的拉力、支持力都为弹力，所以C、D也对，故选B、C、D.]
9．(1)2.5 m/s (2)1.76 N 平抛运动
解析 (1)小球通过圆周最高点时，受到的重力G＝mg必须全部作为向心力F向，否则重力G中的多余部分将把小球拉进圆内，而不能实现沿竖直圆周运动．所以小球通过圆周最高点的条件应为F向≥mg，当F向＝mg时，即小球受到的重力刚好全部作为通过圆周最高点的向心力，绳对小球恰好没有力的作用，此时小球的速度就是通过圆周最高点的最小速度v0，由向心力公式有：mg＝m
解得：G＝mg＝m
v0＝＝ m/s＝2.5 m/s.
(2)小球通过圆周最高点时，若速度v大于最小速度v0，所需的向心力F向将大于重力G，这时绳对小球要施加拉力F，如图所示，此时有
F＋mg＝m
解得：F＝m－mg＝(0.4×－0.4×10) N＝1.76 N
若在最高点时绳子突然断了，则提供的向心力mg小于需要的向心力m，小球将沿切线方向飞出做离心运动(实际上是平抛运动)．
章末总结
一、圆周运动各物理量间关系的应用
1．线速度是描述物体运动快慢的物理量，若比较两物体做匀速圆周运动的快慢，不能只看线速度的大小，角速度、周期和转速都是描述物体转动快慢的物理量．物体做匀速圆周运动时，角速度越大、周期越小、转速越大，则物体转动得越快，反之则越慢．由于线速度和角速度的关系为v＝ωr，所以，在半径不确定的情况下，不能由角速度大小判断线速度大小，也不能由线速度大小判断角速度大小．
2．在解决传动装置问题时，应紧紧抓住传动装置的特点：同轴传动的是角速度相等，皮带传动的是两轮边缘的线速度大小相等，再注意运用v＝ωr找联系．
例1
图1
如图1所示，大轮通过皮带带动小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径R是小轮半径r的2倍，大轮上的A点距轴心O的距离为R，当大轮边缘的B点的向心加速度是12 cm/s2时，A点与小轮边缘上的C点的向心加速度各是多大？
二、圆周运动问题的分析方法
例2 如图2所示，
图2
一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ＝30°，一条长为L的绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体(物体可看做质点)，物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动．
(1)当v1＝时，求绳对物体的拉力；
(2)当v2＝时，求绳对物体的拉力．
[即学即用]
1．关于物体的运动下列说法正确的是( )
A．物体做曲线运动时，它所受的合力一定不为零
B．做曲线运动的物体，有可能处于平衡状态
C．做曲线运动的物体，速度方向一定时刻改变
D．做曲线运动的物体，所受的合外力的方向有可能与速度方向在一条直线上
三、竖直面的圆周运动问题分析
例3 游乐场翻滚过山车上的乘客常常会在高速旋转或高空倒悬时吓得魂飞魄散，但这种车的设计有足够的安全系数，离心现象使乘客在回旋时稳坐在座椅上，还有安全棒紧紧压在乘客胸前，在过山车未达终点以前，谁也无法将它们打开．如图3所示，现有如下数据：轨道最高处离地面32 m，最低处几乎贴地，圆环直径15 m，过山车经过圆环最低点时的速率约25 m/s，经过圆环最高点时的速率约18 m/s.试利用牛顿第二定律和圆周运动的知识，探究这样的情况下能否保证乘客的安全？
图3
四、圆周运动与平抛运动的结合
例4
图4
如图4所示，一根长为0.1 m的细线，一端系着一个质量是0.18 kg的小球，拉住线的另一端，使球在光滑的水平桌面上做匀速圆周运动，当小球的转速增加到原转速3倍时，测得线拉力比原来增大40 N，此时线突然断裂．求：
(1)线断裂的瞬间，线的拉力；
(2)线断裂时小球运动的线速度；
(3)如果桌面高出地面0.8 m，线断后小球飞出去落在离桌面的水平距离为多少的地方？(g取10 m/s2)
[即学即用]
2．A、B两个质点分别做匀速圆周运动，在相同时间内它们通过的路程比sA∶sB＝2∶3，转过的角度比φA∶φB＝3∶2，则下列说法中正确的是( )
A．它们的周期比TA∶TB＝2∶3
B．它们的周期比TA∶TB＝3∶2
C．它们的向心加速度大小比aA∶aB＝4∶9
D．它们的向心加速度大小比aA∶aB＝9∶4
3．下列关于匀速圆周运动的说法正确的是( )
A．所受的合外力一定指向圆心
B．其加速度可以不指向圆心
C．向心力和离心力一定是一对作用力和反作用力
D．向心力和离心力一定是一对平衡力
4．下列现象是为了防止物体产生离心运动的有( )
A．汽车转弯时要限制速度
B．转速很高的砂轮半径不能做得太大
C．在修筑铁路时，转弯处轨道的内轨要低于外轨
D．离心水泵工作时
5．由于地球的自转，地球表面上各点均做匀速圆周运动，所以( )
A．地球表面各处具有相同大小的线速度
B．地球表面各处具有相同大小的角速度
C．地球表面各处具有相同大小的向心加速度
D．地球表面各处的向心加速度方向都指向地球球心
6．乘坐游乐园的翻滚过山车，质量为m的人随车在竖直平面内旋转时，下列说法正确的是( )
A．车在最高点时，车在轨道内侧，人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mg
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
图5
7．荡秋千是儿童喜爱的运动，如图5所示，当秋千荡到最高点时小孩的加速度方向可能是( )
A．1方向
B．2方向
C．3方向
D．4方向
图6
8．如图6所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是( )
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做向心运动
9.
图7
一只半径为R半球壳的截口水平，现有一个物体A质量为m，位于半球面内侧，随同半球面一起绕对称轴转动，如图7所示．
(1)若A与球面间的动摩擦因数为μ，则物体A刚好能贴在截面口附近，此时的角速度多大？
(2)若不考虑摩擦，则当球以上述角速度转动时，物体A位于半球面内侧什么地方？
章末总结
知识体系区
匀速 向心力 速度方向 速度方向
课堂活动区
例1 4 cm/s2 24 cm/s2
解析 在皮带传动装置中，同一轮上各点角速度相同，则ωA＝ωB，两轮通过皮带相连，则B与C点线速度相等，即vB＝vC，
因为a＝ω2r，则＝＝，aA＝aB＝×12 cm/s2＝4 cm/s2
因为vB＝vC，又a＝，所以＝＝＝2
所以aC＝2aB＝2×12 cm/s2＝24 cm/s2
例2 (1)1.03mg (2)2mg
解析 水平方向：Tsin θ－Ncos θ＝m①
竖直方向：Tcos θ＋Nsin θ＝mg②
联立①②两式解得：N＝mgsin θ－m
由上式可看出当θ、L、m一定时，线速度v越大，支持力N越小，当v满足一定条件，设v＝v0时，能使N＝0，此时锥面与物体间恰好无相互作用，即
mgsin θ－m＝0
得出：v0＝
将θ＝30°代入上式得：v0＝ .
(1)当v1＝ T1＝mgcos θ＋m＝mg＋mg≈1.03mg
(2)当v2＝ >v0时，物体已离开锥面，但仍绕轴线做水平面内的匀速圆周运动，设此时绳与轴线间的夹角为α(α>θ)，物体仅受重力和拉力作用，这时
T2sin α＝m③
T2cos α＝mg④
联立③④两式解得：cos α＝，
所以α＝60°
代入④式解得
T2＝2mg
[即学即用]
1．AC
例3 见解析
解析 过山车沿圆环运动时，乘客也在随过山车一起做圆周运动．设人重力为G，圆环半径为R，过山车在环底时速率为v下，人受座椅的支持力为N下，过山车在环顶时速率为
v上，人受座椅的压力为N上．对于人，根据牛顿第二定律，有
在底部N下－G＝m
在顶部N上＋G＝m
可知N下＝G＋m，就是说，在环的底部时，过山车对人的支持力比人的重力增大了m，这时人对座椅的压力自然也比重力大m，好像人的重力增加了m.由于底部的速度较大，所以人的体重好象增加了好多倍，将人紧压在座椅上不能动弹．
由N上＋G＝m可知，在环的顶部，当重力mg等于向心力m时，就可以使人沿圆环做圆周运动不掉下来．由mg＝m可得v上＝≈8.57 m/s，这就是说，过山车要安全通过圆环最高点，有8.57 m/s的速度就足够了，而过山车通过圆环最高点时的速度约18 m/s，比8.57 m/s大得多，这时N上>0，所以过山车和人一定能安全地通过圆环最高点，不必担心．
例4 (1)45 N (2)5 m/s (3)2 m
解析 (1)小球在光滑桌面上做匀速圆周运动时受三个力作用，重力mg、桌面弹力N和线的拉力F.重力mg和弹力N平衡．线的拉力等于向心力，F向＝F＝mω2R.设原来的角速度为ω0，线上的拉力是F0，加快后的角速度为ω，线断时的拉力是F.则F∶F0＝ω2∶ω＝9∶1.
又F＝F0＋40 N，所以F0＝5 N，则线断时F＝45 N.
(2)设线断时小球的速度为v，
由F＝得v＝ ＝ m/s＝5 m/s.
(3)由平抛运动规律得小球在空中运动的时间t＝ ＝ s＝0.4 s．小球落地处离开桌面的水平距离x＝vt＝5×0.4 m＝2 m.
[即学即用]
2．A [由v＝得＝＝，由ω＝得＝＝，则＝＝，A正确，＝＝×＝1，C、D均不正确．]
3．A [做匀速圆周运动的物体，线速度的大小不变，方向时刻改变，因此物体在运动方向(轨迹的切线方向)的加速度为零，与运动方向垂直的方向加速度不为零，由牛顿第二定律知，合外力方向一定指向圆心，故A选项正确，B选项错误；向心力是按效果命名的力，一般是物体受的外力的合力，离心力并不存在，因为找不到施力物体．故C、D选项错误．]
4．ABC
5．B [地球表面上的各点做匀速圆周运动的平面与南北两极的连线垂直，即与纬度圈重合，所以向心加速度并不指向地心，D错误．各点和地球同步转动，故ω相同，B正确．各点做圆周运动的半径不同，由a向＝ω2r、v＝ωr，得A、C错误．]
6．D
7．B [当秋千荡到最高点时，小孩没有向心加速度，只有因重力产生的切向加速度，故此时加速度的方向可能为2方向，B正确．]
8．A [由向心力的供需关系可知，若拉力突然消失，则小球将沿着P点的切线方向运动，A项正确；若拉力突然变小，向心力不足，则小球做离心运动，但由于力与速度有一定的夹角，故小球做曲线运动，B、D项错误；若拉力突然变大，则提供的向心力大于需要的向心力，小球将做向心运动，不会沿轨迹Pb做离心运动，C项错误．]
9．(1) (2)AO与水平方向的夹角为arcsin μ
解析 (1)由物体A刚好能贴在截面口附近可得：
小球竖直方向受到的静摩擦力刚好等于最大静摩擦力，且与重力平衡，则f＝μN＝mg
又水平方向的弹力提供向心力N＝mω2R
联立可得ω＝ .
(2)若不考虑摩擦，设AO与水平方向的夹角为θ，则
Fy＝Fsin θ＝mg
Fx＝Fcos θ＝mω2r＝mω2Rcos θ
即sin θ＝＝μ，θ＝arcsin μ.
