2023-2024学年北师大版九年级数学上册第2章一元二次方程 同步知识点分类训练 （含解析）

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》
同步知识点分类训练（附答案）
一．一元二次方程的定义
1．下列所给方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．2x+y＝0 B．x2﹣1＝0 C．3﹣x＝8 D．y＝
2．已知关于x的方程 （m﹣1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为　 　．
3．试证明：不论m为何值，关于x的方程（m2+2m+2）x2﹣（4m﹣1）x﹣7＝0总为一元二次方程．
二．一元二次方程的一般形式
4．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（　　）
A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5，1
5．把一元二次方程x（x+1）＝4（x﹣1）+2化为一般形式为　 　．
6．将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
三．一元二次方程的解
7．已知关于x的方程x2+bx+a＝0有一个根是﹣a（a≠0），则a﹣b的值为（　　）
A．a﹣b＝1 B．a﹣b＝﹣1 C．a﹣b＝0 D．a﹣b＝±1
8．若关于x的方程2x2﹣3x+c＝0的一个根是1，则c的值是　 　．
9．解方程：
（1）x2＝x+12
（2）2（x+3）2＝x（x+3）
四．解一元二次方程-直接开平方法
10．方程（x+1）2＝4的解是（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝1，x2＝3
11．若4x2＝16，则x＝　 　．
12．解方程x2﹣9＝0
五．解一元二次方程-配方法
13．用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），此方程可变形为（　　）
A． B．
C．＝ D．
14．把一元二次方程x2+6x﹣1＝0通过配方化成（x+m）2＝n的形式为　 　．
15．解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）
六．解一元二次方程-公式法
16．用求根公式计算方程x2﹣3x+2＝0的根，公式中b的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．2 D．
17．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根是　 　．
18．解方程：
（1）x2﹣10x+15＝0
（2）x2+3x﹣9＝0
七．解一元二次方程-因式分解法
19．一元二次方程（2x+1）2＝（2x+1）（x﹣1）的解为（　　）
A．x＝1 B．x1＝﹣，x2＝1
C．x1＝﹣，x2＝﹣2 D．x1＝﹣，x2＝2
20．一元二次方程x2﹣4x＝0的解是　 　．
21．解方程：x+3＝x（x+3）
八．换元法解一元二次方程
22．（m2﹣n2）（m2﹣n2﹣2）﹣8＝0，则m2﹣n2的值是（　　）
A．4 B．﹣2 C．4或﹣2 D．﹣4或2
23．已知（a+b）（a+b﹣4）＝﹣4，那么（a+b）＝　 　．
24．解方程：（2x+1）2+3（2x+1）+2＝0．
九．根的判别式
25．一元二次方程x2＝0的解是（　　）
A．x＝0 B．无实数根 C．1 D．x1＝x2＝0
26．关于x的方程mx2+2（m+1）x+m＝0有实根，则m的取值范围是　 　．
27．已知关于x的方程x2+（k+1）x+k﹣2＝0．
（1）求证：不论k取何实数，此方程都有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为﹣3，求k的值．
十．根与系数的关系
28．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣5 C．5 D．1
29．关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0的一个根为1，则方程的另一根为　 　．
30．已知关于x的方程x2﹣（k﹣1）x+2k＝0，若方程的一个根是﹣4，求另一个根及k的值．
十一．一元二次方程的应用
31．某村种的水稻前年平均每公顷产7 200kg，今年平均每公顷产8 450kg．设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为　 　．
32．近日，某市推出名师公益大课堂．据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，则这个增长率是　 　．
33．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．
34．现有可建筑围墙的材料，准备依靠原有旧墙围成如图所示的仓库，墙长为．
(1)若，能否围成总面积为的仓库？若能，求的长为多少？
(2)能否围成总面积为的仓库？请说说你的理由．
35．如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．

(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？
(2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？
36．某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，每千克核桃的售价每降低1元，则平均每天的售量可增加20千克．设每千克核桃应降价元，则：
(1)降价后，每千克核桃获利________元，平均每天可售出________千克核桃（用含的代数式表示）；
(2)该专卖店打算尽快降低这种核桃库存的同时，平均每天仍获利2880元，那么每千克核桃应降价多少元？
参考答案
一．一元二次方程的定义
1．解：A、含有两个未知数，不是二次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．解：由一元二次方程的定义得：m2+1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
3．证明：∵m2+2m+2＝（m+1）2+1，
∴m2+2m+2≥1，
故关于x的方程（m2+2m+2）x2﹣（4m﹣1）x﹣7＝0总为一元二次方程．
二．一元二次方程的一般形式
4．解：5x2﹣1＝4x，
5x2﹣4x﹣1＝0，
二次项的系数和一次项系数分别是5、﹣4，
故选：C．
5．解：x2+x＝4x﹣4+2，
x2﹣3x+2＝0，
故答案为：x2﹣3x+2＝0．
6．解：5x2﹣1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，
它的二次项系数是5，一次项系数是﹣4，常数项是﹣1．
三．一元二次方程的解
7．解：把x＝﹣a代入方程得：（﹣a）2﹣ab+a＝0，
a2﹣ab+a＝0，
∵a≠0，
∴两边都除以a得：a﹣b+1＝0，
即a﹣b＝﹣1，
故选：B．
8．解：∵关于x的方程2x2﹣3x+c＝0的一个根是1，
∴2×12﹣3×1+c＝0，即﹣1+c＝0，
解得，c＝1．
故答案是：1．
9．解：（1）x2＝x+12，
移项得：x2﹣x﹣12＝0，
分解因式得：（x﹣4）（x+3）＝0，
则x﹣4＝0，x+3＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣3；
（2）2（x+3）2＝x（x+3），
移项得：2（x+3）2﹣x（x+3）＝0，
分解因式得：（x+3）（2x+6﹣x）＝0，
整理得：（x+3）（x+6）＝0，
则x+3＝0，x+6＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣6．
四．解一元二次方程-直接开平方法
10．解：开方得：x+1＝±2，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
故选：B．
11．解：∵4x2＝16，
∴x2＝4，
则x＝±2，
故答案为：±2．
12．解：x2﹣9＝0
x2＝9
x＝±3
x1＝3，x2＝﹣3．
五．解一元二次方程-配方法
13．解：∵ax2+bx+c＝0，
∴ax2+bx＝﹣c，
∴x2+x＝﹣，
∴x2+x+＝﹣+，
∴．
故选：C．
14．解：∵x2+6x﹣1＝0，
∴x2+6x＝1，
∴（x+3）2＝10，
故答案为：（x+3）2＝10
15．解：方程变形得：x2﹣4x＝5，即x2﹣4x+4＝9，
变形得：（x﹣2）2＝9，
开方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
六．解一元二次方程-公式法
16．解：用求根公式计算方程x2﹣3x+2＝0的根，公式中b的值为﹣3，
故选：B．
17．解：△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5，
x＝，
所以x1＝，x2＝．
故答案为x1＝，x2＝．
18．解：（1）∵x2﹣10x＝﹣15，
∴x2﹣10x+25＝﹣15+25，即（x﹣5）2＝10，
则x﹣5＝±，
∴x＝5，即x1＝5+，x2＝5﹣；
（2）∵x2+3x﹣9＝0，
∴a＝1，b＝3，c＝﹣9，
∴△＝（3）2﹣4×1×（﹣9）＝45+36＝81＞0，
则x＝，即x1＝，x2＝．
七．解一元二次方程-因式分解法
19．解：∵（2x+1）2＝（2x+1）（x﹣1），
∴（2x+1）2﹣（2x+1）（x﹣1）＝0，
∴（2x+1）（2x+1﹣x+1）＝0，
∴x＝或x＝﹣2，
故选：C．
20．解：由原方程，得
x（x﹣4）＝0，
解得x1＝0，x2＝4．
故答案是：x1＝0，x2＝4．
21．解：方程移项得：（x+3）﹣x（x+3）＝0，
分解因式得：（x+3）（1﹣x）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3．
八．换元法解一元二次方程
22．解：设x＝m2﹣n2，则原方程可化为：x（x﹣2）﹣8＝0即x2﹣2x﹣8＝0
解得：x＝4或﹣2．
故选：C．
23．解：设a+b＝t，
原方程化为：t（t﹣4）＝﹣4，
解得：t＝2，
即a+b＝2，
故答案为：2
24．解：设2x+1＝y，则原方程可化为：y2+3y+2＝0，
∴（y+1）（y+2）＝0，
解得：y＝﹣1或y＝﹣2，
即2x+1＝﹣1或2x+1＝﹣2，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣．
九．根的判别式
25．解：∵x2＝0，
∴x1＝x2＝0，
故选：D．
26．解：当m≠0时，∵关于x的方程mx2+2（m+1）x+m＝0有实根，
∴△＝4（m+1）2﹣4m2≥0，
解得m≥﹣；
当m＝0时，方程为2x＝0，
解得x＝0；
综上，m≥﹣；
故答案为：m≥﹣．
27．解：（1）b2﹣4ac＝（k+1）2﹣4（k﹣2）
＝k2﹣2k+9＝（k﹣1）2+8
∵（k﹣1）2≥0，
∴（k﹣1）2+8＞0，
即b2﹣4ac＞0．
∴不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根．
（2）将x＝﹣3代入原方程得9﹣3（k+1）+k﹣2＝0，
解得：k＝2．
十．根与系数的关系
28．解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根，
∴x1+x2+x1x2＝3+2＝5．
故选：C．
29．解：设方程的另一个根为x2，
根据题意得x2+1＝﹣2，
解得：x2＝﹣3．
故方程的另一个根为﹣3．
故答案为：﹣3．
30．解：∵关于x的方程x2﹣（k﹣1）x+2k＝0的一个根是﹣4，
∴16+4（k﹣1）+2k＝0，解得k＝﹣2，
∴原方程为x2+3x﹣4＝0，解得x＝﹣4或x＝1，
即方程的另一根为1，k的值为﹣2．
十一．一元二次方程的应用
31．解：设这两年该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，根据题意得：
7200（1+x）2＝8450，
故答案为：7200（1+x）2＝8450．
32．解：设增长率为x，
根据题意，得2（1+x）2＝2.42，
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．
答：增长率为10%．
故答案为：10%．
33．解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x+2），
根据题意得：3x（x+2）=10x+（x+2），
整理得：3x2-5x-2=0，
解得：x1=2，x2=（不合题意，舍去），
∴x+2=4，
∴这个两位数为24．
34．（1）解：设，则，
根据题意得：，
解得：或，
∵，
∴和都满足题意，
∴当，能围成总面积为的仓库，的长为或；
（2）解：不能围成面积为的仓库，理由如下：
设，则，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴此方程无实数根，即不能围成面积为的仓库．
35．（1）解：过点P作于E，
设x秒后，点P和点Q的距离是．
，
∴， ；
∴经过或，P、Q两点之间的距离是；
（2）解：连接．设经过后△PBQ的面积为．
①当时，，
∴，即，
解得；
②当时，，
则，
解得（舍去）；
③时，，
则，
解得（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒，的面积为．
36．（1）解：每千克核桃应降价元，
降价后，每千克核桃获利元，平均每天可售出千克核桃．
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又该专卖店打算尽快降低这种核桃库存，
．
答：每千克核桃应降价11元．