等比数列前n项和(第一课时)[上学期]

(共18张PPT)
等比数列前n项和
奎屯市第一高级中学 刘杰
$啊！！
自从猪八戒成立“高老庄”集团以来，第一次遇到了资金运转问题。
高老庄集团
于是他想到了一起西天取经的孙悟空：
No problem！我每天给你投资100万元， 连续一个月(30天)，但有一个条件：
猴哥,能不能帮帮我……
第一天返还1元，
第二天返还2元，
第三天返还4元……
后一天返还数为前一天的2倍．
第一天出１元入１００万；第二天出２元入１００万;第三天出4元入１００万元；……哇，发了……
这猴子会不会玩忘记了？
……
思考：为了解决资金问题，老猪一口答应了下来，孙悟空是在玩什么花招？
八戒吸纳的资金
返还给悟空的钱数
(万元)
等比数列的前30项和
每天投资100万元，连续一个月(30天)
第一天返还1元，
第二天返还2元，
第三天返还4元……
后一天返还数为前一天的2倍．
=
在等比数列中，我们知道：从第二项起，它的前一项乘以公比等于后一项
上述问题：求以首项为1,公比为2的等比数列的前30项的和
两边同乘公比２，得
现在我们将上面两式放在一起，进行比较：
② － ①，得
①
②
聪明的你发现了什么
？
？
八戒拿到赞助，高兴的去告诉高小姐！
八戒如实告诉…
高小姐会心一算…
你个猪啊！
要还107374万啊！
等比数列的前n项和
归纳：首项为 ,公比为 的等比数列 的前n项的和吗？
q
-
1
当q≠1时，
当q＝1时，
我们把这种方法叫做：错位相减法
q
-
1
当q≠1时，
当q＝1时，
错位相减法推导：
我们把 带入上式就可以得到：
这样我们得到：首项为 ,公比为 的等比数列 的前n项的和的两个公式：
等比数列的前n项和
如果我们知道了一个等比数列的首项与公比（或也知道末项），就可以求出任意前n项的和。
例如：
？
分析：首项为1，公比为2，末项为 。
运用第一个公式： 运用第二个公式：
怎么回事？它共有n+1项，原来如此！
n+1
n+1
n+1
解：
原式
例1:求等比数列 的前8项的和。
分析：在这个等比数列中，首项 ，公比 ，要求的是
解：由 得：
对了吗
？
应该是 而不是 ， 是一个公式。而 是一个具体的值。
8
分析：先要知道n是多少？由首项，公比与 ，求出n，再利用公式。
解：
例2：在等比数列中已知 ， ， ，求 ， ？
例3：在等比数列中已知 ， ， ，求 与 n ？
解：由题意可知
归纳：在等比数列中， ， ， ， ， 这五个量中。
知三求二
课堂练习：人教版P128课本练习1，2。
答案：1～（1）： ～（2）：
～（3）： ～（4）：
2～（1）： ～（2）：
【解法1】
此等比数列的第5项到第10项构成一个
首项是
【解法2】
的等比数列
公比为
，项数
练习 求等比数列 的第5项到第10项的和.
例4：某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％。那么从第1年起，约几年内可使总销售量达到30 0000台（保留到个位）
分析：第1年: ，第2年: …第n年:
解： 根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列 ，其中：
于是得到
整理后，得
两边取常用对数，得
用计算器可得
（年）
注意
答：约5年内可以使总销售量达到30 0000台！
小结：今天我们讲的内容是等比数列的前n项求和。
一、首先它的公式有两个：
二、它的推导方法：
错位相减法；
三、在等比数列中， ， ， ， ， 这五个量中。
知三求二
四、等比数列在实际生活中的应用。（注意：1~设数列；2~答）
n
注意：n
布置作业：今天的课后作业是
一、课本（人教版）P129～习题3.5
第1题，第2题，第3题（要求：要抄题；做题要规范）
二、复习今天的内容并预习下节课的内容。
三、课后思考题：
（提示：错位相减法）
求数列 1， ， ，…， ，…的
前4项的和，并归纳其前n项的和公式。
思考：是否还有其他方法求等比数列前n项和呢？
这里我们还介绍另外两种求等比数列前n项和的方法：
第二种：提取公比法
当q≠1时，
当q＝1时，
第三种：等比定理法（ ）
即
当q≠1时，
当q＝1时，
条条大路通罗马
事事多动小脑筋
天下无难事
= = 我！