第三章 万有引力定律
第1节 天体运动
[导学目标] 1.了解地心说和日心说的基本内容.2.知道描述行星运动的规律——开普勒三定律.3.知道人们对行星运动的认识过程是漫长的，了解观察对天体正确认识的重要性.4.了解处理行星运动问题的基本思路．
1．太阳系有八大行星．行星围绕______转，卫星围绕______转，月球围绕________转．
2．地球绕太阳公转周期为__________，月球绕地球转动周期为____天．
3．椭圆上某点到两个焦点的距离之和与椭圆上另一点到两个焦点的距离之和________.
一、地心说与日心说
[问题情境]
1．人类最初通过直接的感性认识建立了“地心说”，“地心说”的最先倡导者是古希腊的哲学家亚里士多德．
假设你是两千三百多年前的亚里士多德，根据直接的感性认识，会对地球、太阳、行星的运动持有什么观点？
2．哥伦布和麦哲伦的探险航行已经使不少人相信地球并不是一个平台，而是一个球体．哥白尼就开始推测是不是地球每天围绕自己的轴线旋转一周呢？他假想地球并不是宇宙的中心，它与其他行星都围绕着太阳做匀速圆周运动，这个模型叫“日心说”．“日心说”的内容是什么呢？
[问题延伸]
哥白尼的“日心说”提出后，他的思想及其著作几乎在一个世纪中完全被人们所忽视，主要原因是什么呢？
[即学即用]
1．下列说法都是“日心说”的观点，现在看来其中正确的是( )
A．宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动
B．地球是绕太阳运动的普通行星，月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时还跟地球一起绕太阳运动
C．天体不动，因为地球每天自西向东转一周，造成天体每天东升西落的现象
D．与日地距离相比，恒星离地球十分遥远，比日地间距离大得多
二、开普勒行星运动定律
[要点提炼]
1．开普勒三定律
(1)第一定律(又称轨道定律)：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是______，太阳处在所有椭圆的一个______上．如图1所示．
图1
(2)第二定律(又称面积定律)：从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过______的面积．如图2所示．
图2
(3)第三定律(又称周期定律)：行星轨道半长轴的______与公转周期的________的比值是__________，即＝k.其中r代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，k是一个与行星无关的常量．
2．对定律的理解
(1)开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的转动，也适用于____________的转动．
(2)由第二定律知：当离太阳比较近时，行星运行的速度________，而离太阳较远时，速度________．
(3)在开普勒第三定律中，所有行星绕太阳转动的k值均相同；但对不同的天体系统k值________．k值的大小由系统的________决定．
图3
例1 如图3所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时的速率为( )
A．vb＝va B．vb＝ va
C．vb＝va D．vb＝ va
例2 有一行星，距太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的8倍，则该行星绕太阳公转的周期是多少年？
[即学即用]
2．对于开普勒第三定律的表达式＝k的理解正确的是( )
A．k与r3成正比
B．k与T2成反比
C．k值是与r和T无关的值
D．k值只与中心天体有关
3．关于行星的运动，以下说法正确的是( )
A．行星轨道的半长轴越长，自转周期越大
B．行星轨道的半长轴越长，公转周期越大
C．水星的半长轴最短，公转周期最长
D．海王星离太阳“最远”，绕太阳运动的公转周期最长
4．宇宙飞船围绕太阳在近似圆周的轨道上运动，若其轨道半径是地球轨道半径的9倍，则宇宙飞船绕太阳运行的周期是( )
A．3年 B．9年 C．27年 D．81年
第三章 万有引力定律
第1节 天体运动
课前准备区
1．太阳 行星 地球
2．一年 27
3．相等
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
1．太阳围绕地球转；地球位于宇宙的中心，太阳、月亮和其他行星都在一些以地球为中心的同心球壳中运行．
2．宇宙的中心是太阳．地球和其他行星绕太阳做匀速圆周运动，只有月亮环绕地球运行．由于地球的自转，我们看到了太阳、月亮和众星每天自东向西的运动．
[问题延伸]
(1)在他的著作中，“日心说”仅是一个“假设”．
(2)当时的欧洲正处于基督教改革和反改革的骚乱中，一个人的科学见解可能会成为判断其是否真诚的试金石．
(3)在哥白尼的著作中有一些很不精确的数据，根据这些数据得出的计算结果不能很好地与行星位置的观测结果相符合；
(4)最后，甚至连哥白尼本人也认为必须把托勒密的“本轮”思想引进他的模型中．
[即学即用]
1．D [A是“日心说”的观点，但现在看来是不正确的，太阳不是宇宙中心，只是太阳系的中心天体，行星做的也不是匀速圆周运动，A错．恒星是宇宙中的主要天体，宇宙中可观察到的恒星有1012颗，太阳是离我们最近的一颗恒星，所有的恒星都在宇宙中高速运动着，C错．月亮绕地球运动的轨道也不是圆，B错．]
二、
[要点提炼]
1．(1)椭圆 焦点 (2)相等 (3)三次方 二次方 一个常量
2．(1)卫星绕地球 (2)比较快 比较慢 (3)不相同 中心天体
例1 C [若行星从轨道的A点经足够短的时间t运动到A′点．则与太阳的连线扫过的面积可看作扇形，其面积SA＝；若行星从轨道的B点也经时间t运动到B′点，则与太阳的连线扫过的面积SB＝；根据开普勒第二定律，得＝，即vb＝va，故C正确．]
例2 22.6
解析 根据开普勒第三定律，行星的运行半径r与其周期T的关系为
＝k①
同理，地球的运行半径与其周期T′(1年)的关系为
＝k②
联立①②式解得
T＝＝16T′≈22.6(年)
[即学即用]
2．CD [开普勒第三定律＝k中的常数k只与中心天体有关，与其他天体或是r和T无关．故A、B错误，C、D正确．]
3．BD [根据开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量，即r3/T2＝k.所以行星轨道的半长轴越长，公转周期就越大；行星轨道的半长轴越短，公转周期就越小，特别注意公转与自转的区别，例如，地球的公转周期为一年，而地球的自转周期为一天．]
4．C [由开普勒第三定律＝得T2＝()·T1＝9·1(年)＝27(年)，故C项正确．]
第三章 万有引力定律
第1节 天体运动
1．关于“日心说”和“地心说”的一些说法中，正确的是( )
A．地球是宇宙的中心，是静止不动的
B．“太阳从东方升起，在西边落下”，这说明太阳绕地球转动，地球是不动的
C．如果认为地球是不动的(以地球为参照物)，行星运动的描述不仅复杂且问题很多
D．如果认为太阳是不动的(以太阳为参照物)，则行星运动的描述变得简单
2．如图1所示是行星m绕恒星M运动情况的示意图，下列说法正确的是( )
图1
A．速度最大点是B点
B．速度最小点是C点
C．m从A到B做减速运动
D．m从B到A做减速运动
3．关于对开普勒第三定律＝k的理解，正确的是( )
A．T表示行星的自转周期
B．k是一个与行星无关的常量
C．该定律既适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动
D．若地球环绕太阳运转的半长轴为r1，周期为T1，月球绕地球运转的半长轴为r2，周期为T2，由开普勒第三定律可得＝
4．关于开普勒第二定律，正确的理解是( )
A．行星绕太阳运动时，一定是匀速曲线运动
B．行星绕太阳运动时，一定是变速曲线运动
C．行星绕太阳运动时，由于角速度相等，故在近日点处的线速度小于它在远日点处的线速度
D．行星绕太阳运动时，由于它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故它在近日点的线速度大于它在远日点的线速度
5．关于行星绕太阳运动，下列说法中正确的是( )
A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B．行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处
C．离太阳越近的行星的运动周期越长
D．行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量
6．设月球绕地球运动的周期为27天，则月球中心到地球中心的距离R1与地球的同步卫星到地球中心的距离R2之比即R1∶R2为( )
A．3∶1 B．9∶1
C．27∶1 D．18∶1
7．如图2所示，两个行星绕同一恒星O沿不同轨道做圆周运动，旋转方向相同．A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星第一次相遇(即两行星距离最近)，则( )
图2
A．经过时间t＝T1＋T2两行星将第二次相遇
B．经过时间t＝，两行星将第二次相遇
C．经过时间t′＝，两行星第一次相距最远
D．经过时间t′＝，两行星第一次相距最远
8．某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图3所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的大，则太阳是位于( )
图3
A．F2 B．A
C．F1 D．B
9．已知两个行星的质量m1＝2m2，公转周期T1＝2T2，则它们绕太阳运转轨道的半长轴之比为( )
A. B．2
C. D.
10．太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象．图中坐标系的横轴是lg(T/T0)，纵轴是lg(R/R0)；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是( )
第三章 万有引力定律
第1节 天体运动
1．CD 2.C
3．BC [由开普勒第三定律＝k，其中T表示行星的公转周期，r表示轨道半长轴，k是常量，由中心天体决定，因此说k是一个与行星无关的常量，A错误，B正确．该定律也适用于卫星绕行星的运动，k值大小由行星决定，因此C正确，D错误．]
4．BD [行星的运动轨迹是椭圆形的，故做变速曲线运动，A错，B对；又在相等时间内扫过的面积相等，所以在近日点时线速度大，C错，D对．]
5．D [不同的行星，有不同的椭圆轨道，太阳在椭圆轨道的一个焦点上，故A、B错误；由开普勒第三定律知，行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个常量，半长轴越大，其公转周期越长，故C错误，D正确．]
6．B [由开普勒第三定律有＝，所以＝ ＝＝ ＝，选项B正确．]
7．BD [两行星做圆周运动的角速度分别为：ω1＝，ω2＝，由于r1
ω2，两行星第二次相遇时，A比B多运动一周，所以用时t＝＝＝，A错，B对．两行星第一次相距最远时，A比B多运动半周，用时t′＝＝＝，故C错，D对．]
8．A
9．C [由开普勒第三定律知＝k和行星的质量无关，由＝，得＝ ＝ ＝，所以C正确．]
10．B [根据开普勒第三定律：R3＝kT2，R＝kT两式相除后取对数，得：lg＝lg，整理得3lg＝2lg，选项B正确．]
第2节 万有引力定律
[导学目标] 1.能根据开普勒行星运动定律和牛顿运动定律推导出太阳与行星间的引力表达式.2.了解万有引力定律得出的思路和过程.3.理解万有引力定律的含义.4.知道万有引力表达式的适用条件，会用它进行计算.5.知道万有引力常量是自然界重要的物理常量之一．
1．行星的运动满足________________；天体间的引力是相互的，满足____________．
2．做圆周运动的物体需要有________且满足______的供需平衡．
3．行星做圆周运动的向心力由________________提供.
一、万有引力定律
[问题情境]
1．请同学们思考后并回答下列问题．
由力和运动的关系知：已知力的作用规律可推测物体的运动规律；若已知物体的运动规律，也可以推测力的作用规律．
(1)探究太阳与行星间的引力属于哪种情况？
(2)行星绕太阳运动的规律是怎样的？
(3)前面我们学习了两种曲线运动，是哪两种，如何处理的？
(4)若要解决椭圆轨道的运动，根据现在的知识水平，可作如何简化？
2．思考下列问题后与同学们讨论并回答．
(1)根据开普勒行星运动第一、第二定律，在行星轨道为圆的简化模型下，行星做何种运动？
(2)做匀速圆周运动的物体必定有力提供向心力，行星的运动是由什么力提供的向心力？
(3)向心力公式有多个，如m、mω2r、mr，我们应选择哪个公式推导出太阳对行星的引力？
(4)不同行星的公转周期T是不同的，F跟r关系式中不应出现周期T，我们可运用什么知识把T消去？
3．完成下面对太阳与行星间引力规律的推导过程，引力公式F＝G的得出，概括起来导出过程如图所示：
[要点提炼]
1．内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成____、与这两个物体之间的距离的平方成____．
2．公式：F＝G，式中m1、m2是两物体质量，r为二者之间的距离，G为________，G值为6.67×10－11 N·m2/kg2.
3．万有引力的特性
(1)普遍性：万有引力存在于宇宙中任何有质量的物体之间(天体间、地面物体间、微观粒子间)．
(2)相互性：两个物体间相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合________________．
(3)宏观性：天体间万有引力很大，它是支配天体运动的原因．地面物体间、微观粒子间的万有引力很小，不足以影响物体的运动，故常忽略不计．
4．万有引力公式的适用条件
(1)万有引力定律中的距离r，其含义是两个质点间的距离，如果两个物体相距很远，则物体一般可以视为质点，公式成立．
(2)如果是形状规则的均匀物体，且相距较近，则应把r理解为它们的几何中心的距离，也可直接用万有引力定律表达式计算．例如：物体是两个均匀球体，r就是两个球心间的距离；一个均匀球体对球外一个质点的引力，也可以用同样的公式计算，而r是球心到质点的距离．
例1 对于万有引力定律表达式F＝G，以下说法正确的是( )
A．公式中的G为比例常数，无单位
B．m1与m2之间的万有引力的大小与施力物体的质量成正比，与物体间距离的平方成反比
C．m1与m2之间的万有引力总是大小相等，与两物体质量是否相等无关
D．m1与m2之间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
例2 设想把质量为m的物体放在地球的球心上，地球质量为M，半径为R，则物体与地球间的万有引力是( )
A．零 B．无穷大
C．G D．无法确定
例3 把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周．由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得( )
A．火星和地球的质量之比
B．火星和太阳的质量之比
C．火星和地球到太阳的距离之比
D．火星和地球绕太阳运行速度大小之比
二、引力常量
[要点提炼]
1．卡文迪许巧妙地利用扭秤装置测得了G值，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.此引力常量是一个普遍适用的常量．
2．卡文迪许实验不仅验证了万有引力定律的正确性，同时，使得万有引力定律公式赋予了实际意义．
3．引力常量的物理意义是：两个质量为1 kg的物体相距1 m时相互作用的万有引力为6.67×10－11 N．由此可知，一般物体间的万有引力非常小，我们无法感觉到．
[即学即用]
两个质量均为5 kg且质量分布均匀的铅球，当球心相距1 m时它们之间的万有引力为多大？
第2节 万有引力定律
课前准备区
1．开普勒三定律 牛顿第三定律
2．向心力 向心力
3．太阳对行星的引力
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
1．(1)属于已知运动求力的情况．
(2)由开普勒行星运动定律，所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，且满足＝k.
(3)平抛运动、圆周运动．平抛运动可分解为两个方向上的直线运动，圆周运动可分解为沿半径方向和沿切线方向上的运动．
(4)简化成圆周运动．
2．(1)既然把椭圆轨道简化为圆轨道，由第二定律：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，可知：行星做匀速圆周运动．
(2)猜想：太阳对行星有引力，并且此引力等于行星做圆周运动所需要的向心力．
(3)选择mr，因为在日常生活中，行星绕太阳运动的线速度v、角速度ω不易观测，但周期T比较容易观测出来．
(4)由开普勒第三定律可知，＝k，并且k是由中心天体决定的．因此可对此式变形为T2＝.
3．圆 m 4π2k· G
[要点提炼]
1．正比 反比
2．引力常量
3．(2)牛顿第三定律
例1 C [万有引力公式中的G为引力常量，不但有大小而且有单位，单位是N·m2/kg2，故A错；两物体间的万有引力大小与两物体质量的乘积成正比，与二者距离的二次方成反比，而且它们间的万有引力是一对作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反，故B、D错，C正确．]
例2 A
[本题主要考查对公式F＝G的应用及其适用条件，此时两球心重合，公式不再适用．如图所示，在地球直径上取与球心等距的A、B两相同的质点，则两质点对球心处m的万有引力大小相等、方向相反．以此类推，可得球心处m受到的万有引力的合力为零，A正确．]
例3 CD [由于火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，由开普勒第三定律＝k，k为常量，又v＝，则可知火星和地球到太阳的运行速度大小之比，所以C、D选项正确．]
二、
[即学即用]
1．67×10－9 N
解析 根据万有引力定律F＝G，代入数据有
F＝6.67×10－11× N≈1.67×10－9 N
第2节 万有引力定律
一、选择题
1．牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律，在创建万有引力定律的过程中，牛顿( )
A．接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想
B．根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即F∝m的结论
C．根据F∝m和牛顿第三定律，分析了地、月间的引力关系，进而得出F∝m1m2
D．根据大量实验数据得出了比例系数G的大小
2．关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )
A．不能看做质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有能看做质点的两物体间的引力才能用F＝计算
C．由F＝知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且等于6.67×10－11 N·m2/kg2
3．地球对月球具有相当大的引力，可它们没有靠在一起，这是因为( )
A．不仅地球对月球有引力，而且月球对地球也有引力，这两个力大小相等，方向相反，互相抵消了
B．不仅地球对月球有引力，而且太阳系中的其他星球对月球也有引力，这些力的合力为零
C．地球对月球的引力还不算大
D．地球对月球的引力不断改变月球的运动方向，使得月球围绕地球运动
4．两个行星的质量分别为m1和m2，它们绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两个行星的向心加速度之比为( )
A．1 B.
C. D.
5．在某次测定引力常量的实验中，两金属球的质量分别为m1和m2，球心间的距离为r，若测得两金属球间的万有引力大小为F，则此次实验得到的引力常量为( )
A. B.
C. D.
6．两个质量均为m的星体，其连线的垂直平分线为MN，O为两星体连线的中点，如图1所示，一个质量为m的物体从O沿OM方向运动，则它受到的万有引力大小变化情况是( )
图1
A．一直增大
B．一直减小
C．先减小，后增大
D．先增大，后减小
图2
7．如图2所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球的万有引力大小为( )
A．G
B．G
C．G
D．G
8．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N．由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为( )
A．0.5 B．2 C．3.2 D．4
二、非选择题
9．一位同学根据向心力F＝m推断，如果人造卫星质量不变，当轨道半径增大到2倍时，人造卫星需要的向心力减为原来的1/2；另一位同学根据引力公式F∝推断，当轨道半径增大到2倍时，人造卫星受到的向心力减小为原来的1/4.这两个同学谁说的对？为什么？
10．利用航天飞机，宇航员可以到太空维修出现故障的人造地球卫星．已知一颗人造地球卫星在离地高度一定的圆轨道上运行．当航天飞机接近这颗卫星并与它运行情况基本相同时，速度达到了6.4 km/s.取地球半径为R＝6 400 km，地球表面的重力加速度为g＝9.8 m/s2，试求这颗卫星离地面的高度．
第2节 万有引力定律
1．ABC [A、B、C三项符合物理学史实，比例系数G是后来由卡文迪许测得的，D错．]
2．C [任何物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错；两个质量均匀的球体间的万有引力也能用F＝来计算，B错；物体间的万有引力与它们距离r的二次方成反比，故r减小，它们之间的引力增大，C对；引力常量G是由卡文迪许精确测出的，D错．]
3．D [地球对月球的引力和月球对地球的引力是相互作用力，作用在两个物体上不能相互抵消，A错．地球对月球的引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力，从而不断改变月球的运动方向，所以B、C错，D对．]
4．D [设行星m1、m2的向心力分别是F1、F2，由太阳、行星之间的作用规律可得：F1∝，F2∝，而
a1＝，a2＝，故＝，D项正确．]
5．B [由万有引力定律F＝G
得G＝
所以B项正确．]
6．D [物体m在点O时，两星体对它的引力大小相等，方向相反，其合力为零，沿OM移至无穷远时，两星体对m的引力为零，合力为零，故m在OM连线上时，受到的引力合力先增大后减小，方向沿OM指向O.]
7．D [公式F＝G中r的物理意义应是两物体质心间的距离，而不是物体表面间的距离．
两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由公式可知两球间万有引力应为G，故选D.]
8．B
9．见解析
解析 要找到两个变量之间的关系，必须是在其他量一定的条件下才能确定．卫星做圆周运动需要的向心力的变化情况由公式F＝m来判断，它取决于卫星的速度和半径的变化关系，而卫星运动受到的向心力的变化情况则由公式F∝来判断，它的变化情况取决于卫星与中心天体间的距离．
第二位同学说的对，第一位同学说的错．因为根据向心力公式F＝，只有当运动速度v一定时，需要的向心力F才与轨道半径r成反比．根据开普勒定律可知，卫星的速率将随轨道半径的增大而减小，所以向心力F不与轨道半径r成反比；另外，由于星体的质量为定值，由行星与太阳间的引力公式可知，卫星受到的引力F将与卫星轨道半径的平方成反比．故当卫星的轨道半径增大至2倍时，向心力减小为原来的.
10．3.4×106 m
解析 万有引力提供人造地球卫星运行所需的向心力
G＝m
在地球表面有＝g
h＝－R
代入数据可得h＝3.4×106 m
第3节 万有引力定律的应用
[导学目标] 1.了解重力等于万有引力的条件.2.会用万有引力定律求中心天体的质量.3.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.4.会应用万有引力定律结合圆周运动的知识求解天体运动的有关物理量．
行星绕太阳运动的线速度、角速度、周期和向心加速度
行星绕太阳的运动可以简化为________运动，做圆周运动的向心力由________________提供，则：
1．由G＝m可得：v＝________，r越大，v______；
2．由G＝mω2r可得：ω＝________，r越大，ω______；
3．由G＝m2r可得：T＝______，r越大，T____；
4．由G＝ma向可得：a向＝______，r越大，a向______；
说明 ①式中G是比例系数，与太阳和行星______；
②太阳与行星间引力的方向沿着________________；
③万有引力定律F＝G也适用于地球和某卫星之间.
一、重力与万有引力的关系
[问题情境]
在地球表面上的物体所受的万有引力F可以分解成物体所受到的重力G和随地球自转而做圆周运动的向心力F′，如图1所示．其中F＝G，而F′＝mrω2.
图1
根据图请分析以下三个问题．
(1)当物体在赤道上时，向心力和重力的大小如何？
(2)当物体在两极的极点时，向心力和重力的大小如何？
(3)当物体由赤道向两极移动的过程中，向心力和重力的大小如何变化？
[要点提炼]
1．无论如何，都不能说重力就是地球对物体的万有引力．但是，重力和万有引力的差值并不大．所以，在不考查地球自转的情况下，一般将在地球表面的物体所受的重力近似地认为等于地球对物体的引力，mg＝G，即GM＝gR2.
2．在地球表面，重力加速度随纬度的增大而增大．在地球上空，重力加速度随高度的增大而减小．
3．重力的方向竖直向下，并不指向地心，只有在赤道和两极时，重力的方向才指向地心．
[即学即用]
1．地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )
A．物体在赤道处受的地球引力等于在两极处受到的地球引力，而重力小于两极处的重力
B．赤道处的角速度比南纬30°的大
C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处的大
D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
2．火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目．假设火星探测器在火星表面附近圆形轨道运行的周期为T1，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为T2，火星质量与地球质量之比为p，火星半径与地球半径之比为q，则T1和T2之比为( )
A. B.
C. D.
3．某人在一星球上以速率v竖直上抛一物体，经时间t落回手中．已知该星球半径为R，则至少以多大速度围绕星球表面运动，物体才能不落回该星球( )
A. B.
C. D.
二、计算天体质量
[问题情境]
请同学们阅读教材，思考并回答下面4个问题：
1．天体实际做什么运动？而我们通常可以认为做什么运动？描述匀速圆周运动的物理量有哪些？
2．根据环绕天体的运动情况求解其向心加速度有几种求法？
3．应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力，求解天体的质量有几种表达式？各是什么？各有什么特点？
4．应用上面的方法能否求出环绕天体的质量？
[要点提炼]
应用万有引力计算某个天体的质量，有两种方法：一种是知道这个天体表面的重力加速度，根据公式M＝求解；另一种方法是知道这个天体的一颗行星(或卫星)运动的周期T和半径r，利用公式M＝求解．
[问题延伸]
请同学们思考，在根据上述两种途径求出质量后，能否求出天体的平均密度？请写出计算表达式．
例1 我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度．以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：
(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动．试求月球绕地球运动的轨道半径．
(2)若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球某水平表面上方h高处以速度v0水平抛出一个小球，小球落回到月球表面的水平距离为x.已知月球半径为R月，万有引力常量为G.试求月球的质量M月．
例2 设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力常量G已知，根据这些数据能够求出的物理量是( )
①土星线速度的大小 ②土星加速度的大小 ③土星的质量 ④太阳的质量
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③
例3 若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A. B.
C. D.
[即学即用]
4．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )
第3节 万有引力定律的应用
课前准备区
匀速圆周 太阳对行星的引力
1. 越小
2. 越小
3．2π 越大
4. 越小
①无关 ②二者中心的连线
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
(1)当物体在赤道上时，F、G、F′三力同向，此时F′达到最大值Fmax′＝mRω2，重力达到最小值：Gmin＝F－F′＝G－mRω2.
(2)当物体在两极的极点时，此时F′＝0，F＝G，此时重力等于万有引力，重力达到最大值，此最大值为Gmax＝G.
(3)当物体由赤道向两极移动的过程中，向心力减小，重力增大，只有物体在两极的极点时物体所受的万有引力才等于重力．
[即学即用]
1．A [由F＝G可知，物体在地球表面任何位置受到的地球的引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转的向心力．在赤道上，向心力最大，重力最小，A对．地表各处的角速度均等于地球自转的角速度，B错．地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错．地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D错．]
2．D [设地球的质量为m，地球的半径为r，则火星的质量为pm，火星的半径为qr，根据万有引力提供向心力得G＝mr，故有T＝∝ ，则＝ ＝ ，故D选项正确．]
3．B
二、
[问题情境]
1．天体实际是沿椭圆轨道运动的，而我们通常情况下可以把它的运动近似处理为圆形轨道，即认为天体在做匀速圆周运动．
在研究匀速圆周运动时，为了描述其运动特征，我们引进了线速度v、角速度ω、周期T三个物理量．
2．根据环绕天体的运动状况，求解向心加速度有三种求法，即
(1)a＝；(2)a＝ω2r；(3)a＝.
3．应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力，结合圆周运动向心加速度的三种表达方式可得三种形式的方程，即(以月球绕地球运行为例)
(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，即＝m月r2，可求得地球质量M地＝.
(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
G＝m月.
解得地球的质量为M地＝.
(3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
G＝m月v.
G＝.
以上两式消去r，解得
M地＝.
4．从以上各式的推导过程可知，利用此法只能求出中心天体的质量，而不能求环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉．
[问题延伸]
(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的平均密度．
由mg＝G和M＝πR3ρ
得：ρ＝
其中g为天体表面的重力加速度，R为天体的半径．
(2)利用天体的卫星来求天体的平均密度．
设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程：
G＝mr
M＝ρ·πR3
解得ρ＝
例1 (1) (2)
解析 (1)设月球绕地球做圆周运动的轨道半径为r，
则有：＝m月·r，
对地球表面的物体，有：＝mg
由以上两式可得：r＝ .
(2)设小球从平抛到落地的时间为t，
竖直方向：h＝g月t2
水平方向：x＝v0t
可得：g月＝
对月球表面的物体，有mg月＝
可得：M月＝.
例2 B [由于v＝可知①正确；而a＝ω2R＝2R＝，则②正确；已知土星的公转周期和轨道半径，由＝m2R，则M＝，M应为中心天体——太阳的质量，无法求出m——土星的质量，③错误，④正确，由此可知B正确．]
例3 A [由G＝M地R得：
M日＝，
由G＝M月r得：
M地＝，
可求出：＝.故A正确．]
[即学即用]
4．D [本题意在考查考生运用万有引力定律和牛顿第二定律解决天体运动问题的能力．对于物体，根据牛顿第二定律：G＝mR和ρ＝得：T＝ ，选项D正确．]
第3节 万有引力定律的应用
一、选择题
1．一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行．认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量( )
A．飞船的轨道半径
B．飞船的运行速度
C．飞船的运行周期
D．行星的质量
2．在万有引力常量G已知的情况下，若再知道下列哪些数据，就可以计算出地球的质量( )
A．地球绕太阳运动的周期及地球离太阳的距离
B．人造地球卫星在地面附近绕行的速度和运行周期
C．月球绕地球运行的周期及地球半径
D．若不考虑地球自转，已知地球半径和地球表面的重力加速度
3．我国曾发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”．设想“嫦娥1号”贴近月球表面做匀速圆周运动，其周期为T.“嫦娥1号”在月球上着陆后，自动机器人用测力计测得质量为m的仪器重力为P.已知引力常量为G，由以上数据可以求出的量有( )
A．月球的半径
B．月球的质量
C．月球表面的重力加速度
D．月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度
二、非选择题
4．已知地球质量大约是M＝6.0×1024 kg，地球平均半径为R＝6 370 km，地球表面的重力加速度g＝9.8 m/s2.求：
(1)地球表面一质量为10 kg物体受到的万有引力；
(2)该物体受到的重力；
(3)比较说明为什么通常情况下重力可以认为等于万有引力．
5．假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G，则该天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？
6.已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1.地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g，某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由G＝m2h，得M＝.
(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果；
(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果．
7．已知地球半径R＝6.4×106 m，地面附近重力加速度g＝9.8 m/s2，计算在距离地面高为h＝2.0×106 m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T.(结果保留两位有效数字)
第3节 万有引力定律的应用
1．C [飞船在行星表面附近飞行，则G＝m2R，M＝，行星的密度为ρ＝＝＝＝，
即只要知道飞船的运行周期就可以确定该行星的密度．故C选项正确．]
2．BD [已知地球绕太阳运动的情况只能求太阳的质量，A错．由G＝m及T＝得M＝，B对．已知月球绕地球的周期及轨道半径才能求地球的质量，C错．由mg＝G得M＝，D对．]
3．ABC [万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，设卫星质量为m′，有G＝m′R，又月球表面万有引力等于重力， G＝P＝mg月，两式联立可以求出月球的半径R、质量M、月球表面的重力加速度g月，故A、B、C都正确．]
4．(1)98.6 N (2)98.0 N (3)见解析
解析 (1)由万有引力定律得F＝G，代入数据得F≈98.6 N.
(2)重力G＝mg＝98.0 N.
(3)比较结果，万有引力比重力大，原因是在地球表面上的物体所受到的万有引力可分解为重力和随地球自转所需的向心力．但计算结果表明物体随地球自转所需的向心力远小于物体受到的万有引力，所以通常情况下可认为重力等于万有引力．
5.
解析 设卫星的质量为m，天体的质量为M.卫星贴近天体表面运动时有
G＝mR，M＝
根据数学知识可知星球的体积V＝πR3
故该星球密度ρ＝＝＝
卫星距天体表面距离为h时有
G＝m(R＋h)，M＝
ρ＝＝＝
6．见解析
解析 (1)上面结果是错误的．地球的半径R在计算过程中不能忽略．
正确的解法和结果是
G＝m2(R＋h)，得
M＝
(2)方法一：对于月球绕地球做圆周运动，由
G＝m2r，得M＝.
方法二：在地球表面重力近似等于万有引力，
由G＝mg得M＝.
7．6.9×103 m/s 7.6×103 s
解析 根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即
G＝m.
知v＝ ①
由地球表面附近万有引力近似等于重力，
即G＝mg，得GM＝gR2②
由①②两式可得
v＝ ＝6.4×106× m/s
≈6.9×103 m/s
运动周期T＝
＝ s
≈7.6×103 s
第4节 人造卫星 宇宙速度
[导学目标] 1.了解人造卫星的相关知识.2.知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度.3.理解掌握人造卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系.4.了解我国卫星发射的情况，激发学生的爱国热情．
1．在平抛运动中，若高度一定，平抛运动的初速度越大，其水平位移______．
2．行星做匀速圆周运动的向心力是由________提供的，它环绕
太阳运行的速率v＝ .
3．若卫星受到的万有引力小于它做圆周运动所需要的向心力，将做______运动；若大于所需要的向心力，将做______运动.
一、人造卫星
[问题情境]
1．人造卫星的轨道有哪几种可能情况？
[要点提炼]
人造卫星的运行规律
(1)由G＝得v＝__________，故r越大，卫星速度______；
(2)由G＝mω2r得ω＝ ，故r越大，角速度______；
(3)由G＝mr，得T＝__________，故r越大，周期______；
(4)由G＝ma得a＝________，故r越大，a越小．
2．同步卫星是相对于地面静止的、和地球自转具有相同的周期的卫星，T＝24 h．同步卫星一定位于赤道上方距地面高h处，且h是一定的．同步卫星也叫通讯卫星．
设地球的质量为M，卫星的质量为m，地球的半径为R，卫星离地面的高度为h，请根据有关知识求同步卫星距地面的高度和环绕速度．(T＝24 h＝86 400 s，g＝9.8 m/s2，R＝6 400 km)
[问题延伸]
在卫星发射过程中，卫星中的人和其它物体是处于超重状态还是失重状态？当卫星进入轨道以后呢？
[即学即用]
1．如图1所示的圆a、b、c，其圆心均在地球的自转轴线上，b、c的圆心与地心重合，对卫星环绕地球做匀速圆周运动而言( )
图1
A．卫星的轨道可能为a
B．卫星的轨道可能为b
C．卫星的轨道可能为c
D．同步卫星的轨道一定为平行于b的一同心圆
图2
2．如图2所示，a、b、c是大气层外的圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，a、b质量相同且小于c的质量，下面说法中正确的是( )
A．b、c的线速度大小相等且大于a的线速度
B．b、c的向心加速度相等且大于a的向心加速度
C．b、c的周期相等且大于a的周期
D．b、c的向心力相等且大于a的向心力
3．同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1.地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R.则以下正确的是( )
A.＝ B.＝()2
C.＝ D.＝
二、宇宙速度
[问题情境]
1．什么叫第一宇宙速度、第二宇宙速度、第三宇宙速度？
2．请同学们根据万有引力定律和牛顿第二定律，结合圆周运动的有关知识推导第一宇宙速度．
[要点提炼]
第一宇宙速度是所有人造卫星的最大环绕速度，但却是发射人造卫星的最小发射速度，即人造卫星的运行速度v≤7.9 km/s.
不同星体上的宇宙速度是不同的，以上给出的是地球上的宇宙速度，但在计算各星球的第一宇宙速度时，公式v＝都是适用的，只要将M、R改成该星球的对应值即可．
例1 恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星．中子星的半径较小，一般在7～20 km，但它的密度大得惊人．若某中子星的半径为10 km，密度为1.2×1017 kg/m3，那么该中子星上的第一宇宙速度约为( )
A．7.9 km/s B．16.7 km/s
C．2.9×104 km/s D．5.8×104 km/s
例2 我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为( )
A．0.4 km/s B．1.8 km/s
C．11 km/s D．36 km/s
1．知识小结
万有引力定律和向心力公式相结合，可以推导出卫星绕行的线速度、角速度、周期和半径的关系；记住三种宇宙速度的数值；结合航天知识可以进行实际的计算．同步卫星是众多卫星当中较特殊的一种，认识它运动的特点和规律，可以用来求解很多题目．
2．规律方法总结
(1)万有引力定律应用于卫星问题，是牛顿第二定律在天体运行中的具体应用．把握好万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动及其他力学知识的综合，是解答本节问题的关键．
(2)公式G＝mg中的g是与r(即轨道半径)有关的量，而不是一个定值，只是在地球表面附近时，g的变化很小，在处理自由落体运动时，为了简化问题，把g作为定值处理了．
第4节 人造卫星 宇宙速度
课前准备区
1．越大 2.万有引力 3.离心 向心
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
1.
卫星绕地球做匀速圆周运动时由地球对它的万有引力充当向心力，地球对卫星的万有引力指向地心．而做匀速圆周运动的物体的向心力时刻指向它做圆周运动的圆心．因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合，而这样的轨道有多种，其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道和通过两极上空的极地轨道．当然也应存在着与赤道平面成某一角度的圆轨道，只要圆心在地心，就可能是卫星绕地球运行的轨道．如图所示．
[要点提炼]
(1) 越小 (2)越小 (3)2π 越大 (4)
2．(1)由＝m()2r知r＝ ，由于T一定，故r不变，而r＝R＋h，h为离地面的高度，h＝ －R.又因GM＝gR2，代入数据T＝24 h＝86 400 s，g取9.8 m/s2，R＝6 400 km，得h＝3.6×104 km.
也就是说，同步卫星必须定位于赤道的正上方，离地面的高度约为3.6×104 km.
(2)同步卫星的环绕速度大小一定：设其运行速度为v，由于
G＝m，
所以v＝ ＝
＝ m/s＝3.1×103 m/s.
[问题延伸]
在人造卫星的发射过程中，整个卫星以加速度a向上加速运动，这时卫星中的人和其他物体的动力学方程为N－mg＝ma，N＝mg＋ma即N>mg，这是超重状态．
当卫星进入轨道以后，围绕地球做匀速圆周运动，这时卫星中的人和其他物体均以本身所受的重力作为向心力，即mg＝m，是失重状态．
[即学即用]
1．BCD 2.C 3.AD
二、
[问题情境]
1．人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动时所必须具有的速度叫第一宇宙速度，大小为7.9 km/s，人造卫星绕地球做椭圆轨道运动时所具有的最大运转速度叫第二宇宙速度，大小为11.2 km/s，人造卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙中去时，所必须具有的速度叫第三宇宙速度，大小为16.7 km/s.
2．(1)由万有引力定律和牛顿第二定律，
得：G＝m①
可得第一宇宙速度
v＝ ＝ m/s＝7.9 km/s.第一宇宙速度是卫星的最大的轨道速度，我们习惯把这样的卫星叫近地卫星．
当卫星的轨道半径r增大时(r>R)，v将减小．
(2)第一宇宙速度也可根据万有引力近似等于物体的重力进行求解，
得：G＝mg②
由①②两式得v＝
代入数据得v＝7.9 km/s.
例1 D [中子星上的第一宇宙速度即为它表面的环绕速度，
由G＝m，得v＝ ，又由
M＝ρV＝ρπr3，代入上式可得v＝r ，
代入数据得v＝5.8×104 km/s.]
例2 B [对于环绕地球或月球的人造卫星，其所受万有引力即为它们做圆周运动所需向心力，即
G＝m
所以v＝
第一宇宙速度指的是最小发射速度，同时也是近地卫星的环绕速度，对于近地卫星来说，其轨道半径近似等于地球半径．
所以＝ ＝ ＝，
所以v月＝v地＝×7.9 km/s≈1.8 km/s]
第4节 人造卫星 宇宙速度
一、选择题
1．下列关于地球同步卫星的说法中正确的是( )
A．为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上
B．通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24 h
C．不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上
D．不同通讯卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的
2．探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( )
A．轨道半径变小
B．向心加速度变小
C．线速度变小
D．角速度变小
3．关于人造地球卫星及其中物体的超重、失重问题，下面说法中正确的是( )
A．在发射过程中向上加速时产生超重现象
B．在降落过程中向下减速时产生超重现象
C．进入轨道时做匀速圆周运动，产生失重现象
D．失重是由于地球对卫星内物体的作用力减小而引起的
4．假设地球的质量不变，而地球的半径增大到原来的2倍．那么从地球发射人造卫星的第一宇宙速度的大小应为原来的( )
A.倍 B.倍
C.倍 D．2倍
5．1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元．“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为439 km和2 384 km，则( )
图1
A．卫星在M点的势能大于N点的势能
B．卫星在M点的角速度大于N点的角速度
C．卫星在M点的加速度大于N点的加速度
D．卫星在N点的速度大于7.9 km/s
6．2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图2所示．关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有( )
图2
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
7．已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍．若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为( )
A．6小时 B．12小时
C．24小时 D．36小时
二、非选择题
8．金星的半径是地球半径的0.95倍，质量为地球质量的0.82倍．g取10 m/s2，问：
(1)金星表面的自由落体加速度是多大？
(2)金星的第一宇宙速度是多大？
第4节 人造卫星 宇宙速度
1．BD
2．A [由G＝m知T＝2π，变轨后T减小，则r减小，故选项A正确；由G＝ma，知r减小，a变大，故选项B错误；由G＝m知v＝，r减小，v变大，故选项C错误；由ω＝知T减小，ω变大，故选项D错误．]
3．ABC [超重、失重是一种表象，是从重力和弹力的大小关系而定义的．当向上加速时超重，向下减速(a方向向上)也超重，故A、B正确．卫星做匀速圆周运动时，万有引力完全提供向心力，卫星及卫星内的物体皆处于完全失重状态，故C正确．失重的原因是重力(或万有引力)使物体产生了加速度，D错．]
4．B [因第一宇宙速度即为地球的近地卫星的线速度，此时卫星的轨道半径近似的认为是地球的半径，且地球对卫星的万有引力充当向心力．
故有公式＝成立，所以解得v＝ .
因此，当M不变，R增加为2R时，v减小为原来的倍，即正确的选项为B.]
5．BC [卫星由M点向N点运动的过程中，万有引力做负功，势能增加即M点的势能小于N点的势能，故选项A错误；由开普勒定律可知地球球心和卫星连线在相等时间内扫过的面积相等，近地点的角速度要大于远地点的角速度，B正确；由G＝ma知a＝，所以aM>aN，故选项C正确；7.9 km/s是卫星围绕地球表面转动的第一宇宙速度，是卫星绕地球转动的最大速度，vN<7.9 km/s，故选项D错误．]
6．ABC [航天飞机在椭圆轨道上运动，距地球越近，速度越大，A项正确．航天飞机在轨道Ⅰ经A点时减速才能过渡到轨道Ⅱ，所以对于A点在轨道Ⅰ上的速度、动能都大于在轨道Ⅱ上的速度、动能，即B正确．由开普勒第三定律知，航天飞机在轨道Ⅱ上的角速度大于在轨道Ⅰ的，故航天飞机在轨道Ⅱ上的周期小，即C正确．由万有引力＝ma知，加速度仅与间距有关，D不正确．]
7．B [设地球半径为R，密度为ρ1，自转周期为T1，设行星半径为r，密度为ρ2，自转周期为T2，根据万有引力定律得
G·＝m①
G·＝②
ρ1＝2ρ2，T1＝24小时③
由①②③得T2＝12小时，故选项B正确．]
8．(1)9.09 m/s2 (2)7.34 km/s
解析 (1)星球表面的物体所受重力近似等于万有引力，即mg＝，g＝
因此＝·＝0.82×()2，得g金＝9.09 m/s2.
(2)绕行星做匀速圆周运动的物体，万有引力提供向心力，＝m，v＝ ，当r为星球半径时，v为第一宇宙速度．
因此＝ · ＝ ，则v金＝7.34 km/s.
章末总结
一、赤道上物体的向心加速度和卫星的向心加速度的区别
图1
放于赤道地面上的物体随地球自转所需的向心力是地球对物体的引力和地面对物体的支持力的合力提供的；而环绕地球运行的卫星所需的向心力完全由地球对卫星的引力提供(如图1)．两个向心力的数值相差很大(如质量为1 kg的物体在赤道上随地球自转所需的向心力只有0.034 N，而它所受地球引力约为9.8 N；近地卫星上每千克的物体所需的向心力是9.8 N)，对应的两个向心加速度的计算方法也不同，赤道上的物体随地球自转的向心加速度a1＝ω2R＝2R，式中T为地球自转周期，R为地球半径；卫星环绕地球运行的向心加速度a2＝GM/r2，式中M为地球质量，r为卫星与地心的距离．
例1 地球赤道上的物体，由于地球自转产生的向心加速度a＝3.37×10－2 m/s2，赤道上的重力加速度g取9.77 m/s2，试问：
(1)质量为m的物体在地球赤道上所受地球的万有引力为多大？
(2)要使在赤道上的物体由于地球的自转完全失去重力(完全失重)，地球自转的角速度应加快到实际角速度的多少倍？
例2 地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1.绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2.地球的同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3.地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则( )
A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g>a3
C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2
二、万有引力定律的理解及应用
1．利用天体表面物体的引力加速度计算天体质量
mg＝G，M＝
2．利用行星(卫星)周期计算天体质量
G＝mr2，M＝
3．求解天体圆周运动问题时，利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力，则F引＝
F向，即
G＝m＝mrω2＝mr2
例3 太阳光经500 s到达地球，地球的半径是6.4×106 m，试估算太阳质量与地球质量的比值为________．(取1位有效数字)
例4 假设火星和地球都是球体，火星的质量M火与地球的质量M地之比M火/M地＝p，火星的半径R火和地球的半径R地之比R火/R地＝q，求它们表面处的重力加速度之比．
三、人造地球卫星
1．发射速度：是指卫星直接从地面发射后离开地面时的速度．
2．轨道速度：卫星在高空沿着圆轨道运行，此时F万＝F向，即G＝m，所以v＝ ，
此式也适用于在绕地球圆轨道上运行的行星．由于v∝，所以v随r的增大而减小，即卫星离地球越远，其轨道速率就越小．
例5 已知一颗近地卫星的周期为5 100 s，今要发射一颗地球同步卫星，它离地面的高度为地球半径的多少倍？
例6 土星外层上有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中的各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来判断( )
A．若v∝R，则该层是土星的一部分
B．若v2∝R，则该层是土星的卫星群
C．若v∝，则该层是土星的一部分
D．若v2∝，则该层是土星的卫星群
图2
例7 如图2所示，人造卫星的轨道为椭圆，地球位于椭圆的一个焦点上，A为近地点，B为远地点，则下列说法正确的是( )
A．卫星在近地点A的向心加速度大小等于在远地点B的向心加速度大小
B．卫星在从近地点A向远地点B的运动过程中，向心加速度逐渐变小
C．卫星在从远地点B向近地点A的运动过程中，速度逐渐变大，在B点时速度小于在A点时速度
D．从近地点A向远地点B的运动过程中，万有引力没有做功
[即学即用]
1．万有引力定律首次揭示了自然界中物体间一种基本相互作用规律，以下说法正确的是( )
A．物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的
B．人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越大
C．人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供
D．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用
2．已知引力常量为G，根据下列所给条件能计算出地球质量的是( )
A．月球绕地球的运行周期T和月球中心到地球中心间距离R
B．人造地球卫星在地面附近运行的速度v和运行周期T
C．地球绕太阳运行的周期T和地球中心到太阳中心的距离R
D．地球半径R和地球表面重力加速度g
3．据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运动速率分别为v1和v2，那么v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km)( )
A. B. C. D.
4．2008年9月25日至28日，我国成功实施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱．飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟．下列判断正确的是( )
A．飞船变轨过程也处于完全失重状态
B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C．飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度
D．飞航变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度
5．我国“嫦娥一号”月球探测器在绕月球成功运行之后，为进一步探测月球的详细情况，又发射了一颗绕月球表面飞行的科学试验卫星．假设卫星绕月球做圆周运动，月球绕地球也做圆周运动，且轨道都在同一平面内．已知卫星绕月球运动周期T0，地球表面处的重力加速度g，地球半径R0，月心与地心间的距离r，引力常量G，试求：
(1)月球的平均密度ρ；
(2)月球绕地球运动的周期T.
章末总结
知识体系区
轨道 面积 周期 质点 7.9 11.2 16.7
课堂活动区
例1 (1)9.803 7m (2)17倍
解析 (1)在赤道上：F万＝mg＋F向＝mg＋ma＝9.803 7m.
(2)要使赤道上的物体由于地球自转而完全失去重力，即“飘”起来，则有万有引力完全提供向心力，即
F万＝F向′＝mω·R
ω0＝ ＝ .
ω0为“飘”起时地球自转的角速度，R为地球半径，实际的角速度为ω，则
mω2R＝ma，ω＝ ＝
所以＝ ＝≈17
即自转角速度应加快到实际角速度的17倍．
例2 D [比较F1、F3，由公式F＝mω2r分析，ω相同，F∝r，得F1F3，故A错误．由此也知B错误．比较v1与v3，依据v＝ωr；v2、v3与v，依据v＝ ，知C错，D正确．]
例3 3×105
解析 地球到太阳的距离为
r＝ct＝3.0×108×500 m＝1.5×1011 m
地球绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，向心力为太阳对地球的引力，地球绕太阳公转的周期为T＝365天＝则G＝mr
太阳的质量为M＝
地球表面的重力加速度g＝9.8 m/s2，在忽略地球自转的情况下，物体在地球表面所受的重力等于地球对物体的引力，即m′g＝G
则地球的质量为m＝
太阳质量和地球质量的比值为
＝＝＝3×105
例4
解析 物体在火星和地球表面所受重力等于火星和地球对物体的万有引力，即mg＝G，得g＝
则火星和地球表面的重力加速度之比为
＝·()2＝.
例5 5.6
解析 对于已知的近地卫星，万有引力提供向心力，有G＝mR2
对于地球同步卫星，其周期等于地球自转周期，
有G＝m′(R＋h)2
两式相除得＝
即＝ －1
代入数值T1＝5 100 s，T2＝24×3 600 s得
≈5.6
即地球同步卫星距地面的高度约是地球半径的5.6倍．
例6 AD [若为土星的一部分，环上各部分的角速度ω相同，则满足v＝Rω，即v∝R，故A正确；若为土星的卫星群，则由公式G＝m得v2∝，故D正确．]
例7 BC [在近地点A和远地点B时，万有引力提供向心力，则有G＝ma，由于rAvB.在由B向A运动过程中万有引力做正功，动能增加，速度变大，C正确，D错误．]
[即学即用]
1．C [物体的重力是地球对物体的万有引力引起的，A选项错误；人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越小，B选项错误；宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于受到的万有引力提供了圆周运动的向心力，D选项错误，只有C选项正确．]
2．ABD [由万有引力提供向心力，月球绕地球运行时有＝mR，所以地球质量M＝，A正确；由＝m可得M＝，又因为v＝ωr＝r，所以可得M＝，可求B正确．
根据C中已知条件求出的是太阳的质量而不是地球的质量，C错误；由重力和万有引力相等有mg＝G，所以M＝可求D正确．]
3．C [“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月做圆周运动，由万有引力提供向心力有＝可得v＝(M为月球质量)，它们的轨道半径分别为R1＝1 900 km，R2＝1 800 km，则＝ ＝ .故选C.]
4．BC
5．(1) (2)
解析 (1)设月球质量为m，卫星质量为m′，月球的半径为Rm，对于绕月球表面飞行的卫星，由万有引力提供向心力
＝m′Rm得m＝
又据ρ＝得ρ＝
(2)设地球的质量为M，对于在地球表面的物体m表有＝m表g，即GM＝Rg
月球绕地球做圆周运动的向心力来自地球引力
即＝mr，得T＝
