习题课 关于功的计算
[导学目标] 1.会求解摩擦力做的功.2.会分析作用力和反作用力做功的特点.3.会分析和求解变力做功问题．
1．单个恒力做功时，直接用公式W＝________计算．
2．多个恒力同时作用时，有两种方法求功：
①总功等于各个力做功的________________，即W总＝________________
②先求各个力的合力F合，再求合力做的功，即W总＝________.
3．先求各个力做的功，再求总功时，应用的是算术运算法则，则不是______运算法则．
4．某一个力做的功，不受其他力存在的影响.
一、关于变力功的求解方法
1．平均值法
力F是变力时，可求出力F的平均值，再利用公式W＝F·xcos α求解，这种方法一般有两种情况：
①题目中明确指出了是平均力，如一小球从高处掉下，落入泥土的深度为d，泥土的平均阻力为F阻，则泥土做的功为W＝－F阻·d.
②力随位移按照线性规律变化时(比如：力与位移成正比或是一次函数关系)，若在一段过程的初、末位置力分别为F1和F2，则该过程的平均力为.
图1
例1 如图1所示，轻质弹簧的自然长度为L0，劲度系数为k，现用水平推力推弹簧，使弹簧缩短Δx，求推力做的功．
2．图象法：变力做的功W可用F－x图线中所包围的面积表示．x轴上方的面积表示力对物体做了多少正功，x轴下方的面积表示力对物体做了多少负功．
例2 一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s.从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图2(a)和图(b)所示．设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系式正确的是( )
(a) (b)
图2
A．W1＝W2＝W3 B．W1
C．W13．分段法(或微元法)：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，可以把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段都可以看成直线，先求力在每一小段上做的功，再求和即可．
图3
例3 用水平拉力拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图3所示，已知物块与轨道间的动摩擦因数为μ，物块质量为m，求此过程中摩擦力做的功．
4．化变为恒法：有时候表面看起来是变力做功，但是经过适当变换可以转换成恒力做功．
图4
例4 如图4所示，摆球质量为m，悬线的长为l，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球运动过程中空气阻力f的大小不变，求摆球从A运动到竖直位置B时，重力mg、绳的拉力T、空气阻力f各做了多少功？
5．对应路程计算的功
摩擦力做的功是路程与力的乘积，如果大小不变，只有方向变化，可以直接用力的大小乘以路程．
例5 以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力大小恒为f，则从抛出至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为( )
A．0 B．－fh
C．－2fh D．－4fh
二、作用力、反作用力及摩擦力做功的特点
1．摩擦力做功的特点
(1)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体不做功．
(2)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做负功．
(3)滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做正功．
2．作用力、反作用力做功的特点
(1)作用力与反作用力特点：________________________________.
(2)作用力、反作用力作用下的物体运动特点：可能向相反方向运动，也可能向________运动．也可能一个运动，而另一个静止，还可能两物体都______．
(3)由W＝Fxcos α不难判断，作用力做的功与反作用力做的功没有必然的关系，即不一定是一正一负、绝对值也不一定相等．
图5
例6 如图5所示，B物体在拉力F的作用下向左运动，在运动的过程中，A、B之间有相互作用力，则对各力做功情况的下列说法中正确的是( )
A．A、B都克服摩擦力做功
B．A、B间弹力对A、B都不做功
C．摩擦力对B做负功，对A不做功
D．弹力对A不做功，对B做正功
图6
例7 如图6所示，滑块A和B叠放在固定的斜面体上，从静止开始以相同的加速度一起沿斜面加速下滑．已知B与斜面体间光滑接触，则在A、B下滑的过程中，下列说法正确的是( )
A．B对A的支持力不做功
B．B对A的合力不做功
C．B对A的摩擦力做正功
D．B对A的摩擦力做负功
习题课 关于功的计算
课前准备区
1．Fxcos α 2.①代数和 W1＋W2＋W3＋… ②F合xcos α
3．矢量
课堂活动区
核心知识探究
一、
例1 kΔx2
解析 弹簧压缩Δx时，其平均弹力＝＝kΔx.
由于推力所做的功等价于推力克服平均弹力做的功，由胡克定律和恒力做功的公式，有W＝·Δx＝FΔx＝kΔx2.
例2 B [设滑块开始运动的方向为正方向，则
由F－t图象和v－t图象可知第1秒内、第2秒内、第3秒内的力和位移均为正方向，x1＝t＝ m，x2＝t＝ m，x3＝v0t＝1 m，F1＝1 N，F2＝3 N，F3＝2 N
W1＝F1x1＝ J，W2＝F2x2＝ J，W3＝F3x3＝2 J
所以：W1例3 －2μmgπR
解析 由题意知，物体受的摩擦力在整个过程中大小均为f＝μmg不变、方向时刻变化且与滑块运动方向相反，是变力，但是我们可以把圆周分成无数段小微元段，每一小段可近似成小直线，从而摩擦力在每一小段上方向不变，每一小段上可用恒力做功的公式计算，然后各
段累加起来，便可求得结果．如图所示，把圆轨道分成s1、s2、s3、…、sn微小段，摩擦力在每一段上为恒力，则在每一段上做的功W1＝－μmgs1，W2＝－μmgs2，W3＝－μmgs3，…，Wn＝－μmgsn，摩擦力在一周内所做的功W＝W1＋W2＋W3＋…＋Wn＝－μmg(s1＋s2＋s3＋…＋sn)＝－μmg·2πR.
所以滑块运动一周摩擦力做功为－2μmgπR.
例4 WT＝0，WG＝mgl，Wf＝－fπl
解析 因为拉力T在运动过程中，始终与运动方向垂直，故不做功，即WT＝0.
重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为AB在竖直方向上的投影OB，且OB＝l，所以WG＝mgl.
空气阻力虽然大小不变，但方向不断改变，且任何时刻都与运动方向相反，即沿圆弧的切线方向，因此属于变力做功问题．如果将分成许多小弧段，使每一小段弧小到可以看成直线，在每一小段弧上f的大小、方向可以认为是不变的(即为恒力)，这样就把变力做功的问题转化为了恒力做功的问题，如图所示．因此f所做的总功等于每一小段弧上f所做功的代数和．即
Wf＝－(fΔl1＋fΔl2＋…)＝－fπl
故重力mg做的功为mgl，绳子拉力T做功为零，空气阻力f做的功为－fπl.
例5 C
二、
2．(1)大小相等、方向相反，但作用在不同物体上 (2)同一方向 静止
例6 BC
[A、B间相互作用力有f1与f2、FAB与FBA，如图所示，A没有位移，f2、FBA对A不做功，B有位移，f1做负功，FAB与B物体位移方向垂直，不做功，B、C对，A、D错．]
例7 BC [
以A、B整体为研究对象，应用牛顿第二定律得
a＝gsin θ；如图所示，隔离A分析，有mgsin θ＋fcos θ－Nsin θ＝ma，得fcos θ＝Nsin θ，f与N的合力沿＋y方向，由功的公式可判定B对A的支持力做负功，B对A的摩擦力做正功，B对A的合力不做功，B、C对，A、D错．]
习题课 关于功的计算
一、选择题
1．关于作用力与反作用力做功的关系，下列说法正确的是( )
A．当作用力做正功时，反作用力一定做负功
B．作用力不做功时，反作用力也不做功
C．作用力与反作用力所做的功一定是大小相等
D．作用力做正功时，反作用力也可以做正功
2．关于摩擦力做功的下列说法中正确的是( )
A．滑动摩擦力阻碍物体的相对运动，一定做负功
B．静摩擦力起着阻碍物体的相对运动趋势的作用，一定不做功
C．静摩擦力和滑动摩擦力一定都做负功
D．滑动摩擦力可以对物体做正功
3．人以20 N的水平恒力推着小车在粗糙的水平面上前进了5.0 m，人放手后，小车又前进了2.0 m才停下来，则小车在运动过程中，人的推力所做的功为( )
A．100 J B．140 J
C．60 J D．无法确定
图1
4．一根木棒沿水平桌面从A运动到B，如图1所示，若棒与桌面间的摩擦力大小为F，则棒对桌面的摩擦力和桌面对棒的摩擦力做的功各为( )
A．－Fx，－Fx
B．Fx，－Fx
C．0，－Fx
D．－Fx,0
图2
5．如图2所示，物体沿弧形轨道滑下后进入足够长的水平传送带，传送带以图示方向匀速运转，则传送带对物体做功的情况可能是( )
A．始终不做功
B．先做负功后做正功
C．先做正功后不做功
D．先做负功后不做功
6．如图3所示，
图3
滑雪者由静止开始沿斜坡从A点自由下滑，然后在水平面上前进至B点后停止．已知斜坡、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数皆为μ，滑雪者(包括滑雪板)的质量为m，A、B两点间的水平距离为x.在滑雪者运动的过程中，克服摩擦力做的功( )
A．大于μmgx
B．小于μmgx
C．等于μmgx
D．以上三种情况都有可能
二、非选择题
图4
7．两块相同材料的物块A和B放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下一同前进，如图4所示，其质量之比为mA∶mB＝1∶2.在运动过程中，力F一共对物体做功300 J，则A对B的弹力对B所做的功为多少？
图5
8．如图5所示，质量为M的长木板放在光滑的水平面上，一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点，在木板上前进了x′，而木板前进了x，若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，求摩擦力对滑块、对木板做功各为多少？
图6
9．如图6所示，水平传送带以速度v顺时针运转，两传动轮M、N之间的距离为x＝10 m，若在M轮的正上方，将一质量为m＝3 kg的物体轻放在传送带上，已知物体与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.3，在以下两种情况下物体由M处传送到N处的过程中，传送带对物体的摩擦力做了多少功？(g取10 m/s2)
(1)传送带速度v＝6 m/s；
(2)传送带速度v＝9 m/s.
习题课 关于功的计算
1．D [由功的公式W＝ Fxcos α可知W大小、正负取决于F、x、α的大小，作用力、反作用力虽然大小相等，方向相反，但两物体对地的位移大小、方向关系不确定，故作用力、反作用力做功的关系不确定，A、B、C错，D对．]
2．D [摩擦力总是阻碍物体间的相对运动或相对运动趋势，而且摩擦力对物体既可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．综上所述，只有D正确．]
3．A [人的推力作用在小车上的过程中，小车发生的位移是5.0 m，故该力做功为
W＝Fxcos α＝20×5.0×cos 0° J＝100 J．]
4．C [桌面静止不动，故棒对桌面的摩擦力不做功．桌面对棒的摩擦力对棒做负功W＝－Fx.]
5．ACD [设传送带速度大小为v1，物体刚滑上传送带时的速度大小为v2.
(1)当v1＝v2时，物体随传送带一起匀速运动，故传送带与物体之间不存在摩擦力，即传送带对物体始终不做功；
(2)当v1＜v2时，物体相对传送带向右运动，物体受到的滑动摩擦力方向向左，则物体先匀减速运动，直到速度减为v1才匀速运动，故传送带对物体先做负功后不做功；
(3)当v1＞v2时，物体相对传送带向左运动，物体受到的滑动摩擦力方向向右，则物体先匀加速运动，直到速度增为v1才匀速运动，故传送带对物体先做正功后不做功．]
6．C [滑雪者运动过程中摩擦力做功为
Wf＝－μmgcos α·xAO－μmg·xOB
＝－μmg(xAOcos α＋xOB)＝－μmgx.
故此过程中，滑雪者克服摩擦力做的功为μmgL，C正确．]
7．200 J
解析 对A、B整体由牛顿第二定律得
F＝(mA＋mB)a①
对B有：FAB＝mBa②
①②联立得FAB＝F③
设A、B移动距离为x，则F做功W＝Fx④
A对B做功WAB＝FABx⑤
③④⑤联立得WAB＝W＝200 J
8．－μmg(x＋x′) μmgx
解析 滑块受力如图甲所示，摩擦力的方向与滑块的运动方向相反，摩擦力做负功，在摩擦力的作用下滑块对地的位移为(x＋x′)，所以摩擦力对滑块做的功为W1＝－μmg(x＋x′)
木板受力如图乙所示，摩擦力的方向与木板运动的方向相同，即对木板做正功，在摩擦力的作用下木板对地的位移为x，故
W2＝μmgx
9．(1)54 J (2)90 J
解析 物体在传送带上加速运动时a＝μg＝3 m/s2.
刚好加速运动10 m时的速度v0＝＝ m/s＝2 m/s
(1)由于v＝6 m/s(2)由于v＝9 m/s>v0＝2 m/s，所以物体从M至N的过程中一直加速，摩擦力做功W2＝fx＝μmgx＝9×10 J＝90 J.
第四章 机械能和能源
第1节 功
[导学目标] 1.理解功的概念，会用功的一般公式进行计算，知道功有正、负之分.2.理解总功的概念，会计算合力的功．
1．我们在初中就已经学习过功的概念：功是________________________________．
2．做功的两个必要因素是：一是________________________；二是__________________________．
3．请回答下面两个问题：
(1)在图中两个人分别向前、后拉车，他们所用的力对车产生的效果相同吗？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
(2)拖拉机耕地时，对犁的拉力F是斜向上方的，而犁是在水平方向运动的，此时拖拉机的拉力F对犁做功吗？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
一、功的计算公式
[问题情境]
1．请根据下面的四个问题准确地判断出力做功的必要因素：
(1)人推车前进，推力对车做了功．
(2)竖直下落的小球，重力对小球做了功．
(3)足球沿水平地面滚动，地面对足球的支持力不做功．
(4)运动员用脚将足球踢出去，在足球滚动的过程中，运动员对足球没有做功．
2．求解下列两种情况下力F做的功
(1)如果力的方向与物体的运动方向一致，应该怎样计算这个力做的功？
物体在水平力F的作用下水平向右的位移为x，如图1所示，求力F对物体做的功．
图1
图2
(2)若力的方向与物体的运动方向成某一角度，该怎样计算功呢？
物体在与水平方向成α角的力F的作用下，沿水平方向向前行驶的距离为x，如图2所示，求力F对物体所做的功．
[要点提炼]
(1)力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积，即W＝Fxcos α.
(2)式中的力F、位移x都是矢量，但功W却是标量．
(3)功的单位是焦耳，符号是J，1 J＝1 N×1 m＝1 N·m.
(4)式中的F应为恒力，因此要先判断在做功的过程中力是恒力还是变力，若是恒力，方可利用公式直接进行计算．
图3
例1 如图3所示，质量为m＝2 kg的物体静止在水平地面上，受到与水平面的夹角为θ＝37°、大小F＝10 N的拉力作用，物体移动了x＝2 m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.3，g取10 m/s2.求：
(1)拉力F所做的功W1；
(2)摩擦力f所做的功W2；
(3)重力G所做的功W3；
(4)弹力N所做的功W4；
(5)合力F合所做的功W.
[即学即用]
1．用水平恒力F作用于质量为m的物体，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距离x，恒力F做功为W1；再用该恒力作用在质量为2m的物体上，使之在粗糙的水平面上移动同样的距离x，恒力F做功为W2，则两次恒力做功的关系是( )
A．W1>W2 B．W1C．W1＝W2 D．无法判断
2．如图所示，力F大小相等，物体沿水平面运动的位移x也相同，下列哪种情况F做功最少( )
二、正功和负功
[问题情境]
功是标量，但因为力和位移的夹角不同，使功有正、负之分．那么，当力的大小和位移大小确定后，力做功与否以及做功的正、负由什么决定呢？
请同学们分析一个力做功时可能出现的下列各种情形：
(1)当α＝时，cos α＝0，W＝0.这表示力F的方向跟位移x的方向______时，力F________.例如，物体在水平桌面上运动，重力G和支持力N都跟位移方向垂直，这两个力__________．
(2)当0≤α<时，cos α>0，W>0.这表示力F对物体做____功．例如，人用力拉车前进时，人的拉力F对车做____功．
(3)当<α≤π时，cos α<0，W<0.这表示力F对物体做____功．例如，推着小车跑动的人，接近目的地时要减速，人向后拉车的力F对车做____功．某力对物体做负功，往往说成“物体克服某力做功”．
[要点提炼]
1．由W＝Fxcos α可知
(1)当0≤α<时，W>0，力对物体做正功；
(2)当<α≤π时，W<0，力对物体做负功，或称物体克服这个力做功；
(3)当α＝时，W＝0，力对物体不做功．
2．力对物体做正功，表示该力是动力；力对物体做负功，表示该力是阻力．
3．功的正、负并不表示方向，也不表示功的大小，只表示是动力做功还是阻力做功．
图4
例2 如图4所示，物体A、B叠放在一起，A用绳系在固定的墙上，用力F拉着B右移．用F拉、FAB、FBA分别表示绳中拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力，则下面叙述中正确的是( )
A．F做正功，FAB做负功，FBA做正功，F拉不做功
B．F、FBA做正功，FAB、F拉不做功
C．F做正功，FAB做负功，FBA和F拉不做功
D．F做正功，其他力都不做功
[即学即用]
3．如图5所示，沿斜面下滑的物体所受的三个力中做正功的是________，做负功的是________，不做功的是________．
图5
4．一木箱在粗糙的水平地面上运动，水平方向上只受水平力F和摩擦力的作用，那么( )
A．如果木箱做匀速直线运动，F一定对木箱做正功
B．如果木箱做匀速直线运动，F可能对木箱做负功
C．如果木箱做匀加速直线运动，F一定对木箱做正功
D．如果木箱做匀加速直线运动，F可能对木箱做负功
1．功是力作用在物体上对空间的积累效应，即谈到“功”，必有力作用在物体上并在力的方向上发生一段位移．功是能量变化的量度，这个观点是贯穿全章的主线．
2．对公式W＝Fxcos α要从三个方面理解：(1)功是针对某一力的，谈到功时，一定要指明是哪个力对物体做了功；(2)力对物体做功只和物体的运动过程有关，只要F、x、α相同，则恒力F做的功就相同，而与物体的运动状态无关，即不管物体是加速运动、减速运动还是匀速运动；(3)由于位移与参考系的选取有关，所以功具有相对性．
3．功是标量，功的正负由夹角α来确定．正、负功的意义是：力对物体做正功，表示施力物体能够把能量传递给受力物体、受力物体的能量增加；力对物体做负功表示受力物体把能量传递给其他的物体，受力物体的能量减少，即物体克服外力做功．
4．公式W＝Fxcos α只适用于恒力做功的情形．对于变力做功的问题可以用其他方式求解(“动能定理”一节里将会讲得很透彻)．
第四章 机械能和能源
第1节 功
课前准备区
1．力的大小与在力的方向上发生的位移大小的乘积
2．作用在物体上的力 物体在力的方向上发生的位移
3．(1)效果不同．
(2)做功．
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
1．(1)人推车前进，车在人的推力作用下发生了一段位移．
(2)竖直下落的小球，小球在重力作用下发生了一段位移．
(3)地面对足球的支持力的方向垂直于地面，而足球的位移沿水平方向，在支持力的方向上无位移．
(4)脚与足球脱离后就不再对球施加作用力，无力当然谈不上做功．
2．(1)W＝F·x
(2)虽然F与位移方向不一致，但可以根据力F的作用效果把F沿两个方向分解：即与位移方向一致的分力F1、与位移方向垂直的分力F2.
则分力F1所做的功等于F1x，分力F2的方向跟位移的方向垂直，物体在F2的方向上没有发生位移，所以F2所做的功等于零．
因此，力F对物体所做的功W等于F1x，而F1＝Fcos α，所以，W＝Fxcos α.
例1 (1)16 J (2)－8.4 J (3)0 (4)0 (5)7.6 J
解析
(1)对物体进行受力分析，如图所示．
W1＝Fxcos θ＝10×2×0.8 J＝16 J
(2)N＝G－Fsin θ＝20 N－10×0.6 N＝14 N
f＝μN＝0.3×14 N＝4.2 N
W2＝fxcos 180°＝－4.2×2 J＝－8.4 J
(3)W3＝Gxcos 90°＝0
(4)W4＝Nxcos 90°＝0
(5)W＝W1＋W2＋W3＋W4＝7.6 J
或由合力求总功
F合＝Fcos θ－f＝10×0.8 N－4.2 N＝3.8 N
F合与x方向相同，则W＝F合x＝3.8×2 J＝7.6 J
[即学即用]
1．C [物体沿力的方向运动，恒力做功就是指力F做的功，根据W＝Fxcos α，两次做功中F、x、α均相同，所以两次F做功相同，即W1＝W2.]
2．D [由公式W＝Fxcos α可知，由于几种情况下，F、x都相同，因此cos α越小，力F做的功越少，D中cos α最小，故选D.]
二、
[问题情境]
(1)垂直 不做功 都不做功 (2)正 正 (3)负 负
例2 C [根据W＝Fxcos α可知，力F的作用点的位移不为零，且与F方向相同，所以F做正功；绳中拉力F拉的作用点的位移为零，所以F拉不做功；FBA作用点的位移为零，所以FBA不做功；FAB作用点的位移不为零，且与FAB反向，所以FAB做负功，应选C.]
[即学即用]
3．G f N
解析 重力方向与位移方向的夹角小于90°，所以重力做正功；f与位移方向的夹角大于90°，所以f做负功；支持力方向与位移方向的夹角为90°，所以支持力不做功．
4．AC [如果木箱做匀速直线运动，则木箱所受合外力为零，并且运动方向一定与摩擦力方向相反，所以运动方向一定与F方向相同，则A正确，B错误；如果木箱做匀加速直线运动，同上可知运动方向一定与作用力F的方向相同，则F一定做正功，C正确，D错误．]
第四章 机械能和能源
第1节 功
一、选择题
1．如图所示的四幅图是小新提包回家的情景，小新对提包的拉力没有做功的是( )
图1
2．如图1所示，两个互相垂直的力F1与F2作用在同一物体上，使物体通过一段位移的过程中，力F1对物体做功4 J，力F2对物体做功3 J，则力F1与F2的合力做功为( )
A．7 J B．1 J
C．5 J D．3.5 J
3．一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速、后匀速、再减速的运动过程，则电梯对人的支持力的做功情况是( )
A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功
B．加速时做正功，匀速和减速时做负功
C．加速和匀速时做正功，减速时做负功
D．始终做正功
4.
图2
伽利略曾设计如图2所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点，如果在E或F处钉上钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点．通过这个实验可以进一步说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面(或弧线)下滑时，其末速度的大小( )
A．只与斜面的倾角有关
B．只与斜面的长度有关
C．只与下滑的高度有关
D．只与物体的质量有关
图3
5．如图3所示，重力G的物体，受一向上的拉力F，向下以加速度a做匀减速运动，则( )
A．重力做正功，拉力做正功，合力做正功
B．重力做正功，拉力做负功，合力做负功
C．重力做负功，拉力做正功，合力做正功
D．重力做正功，拉力做负功，合力做正功
6．起重机吊钩下挂一质量为m的水泥袋，如果水泥袋以加速度a匀减速下降了距离h，则水泥袋克服钢索拉力做的功为( )
A．mgh B．m(g－a)h
C．m(g＋a)h D．m(a－g)h
二、非选择题
图4
7．如图4所示，利用斜面从货车上卸货，每包货物的质量m＝20 kg，斜面倾角α＝37°，斜面的长度l＝0.5 m，货物与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，求货物从斜面顶端滑到底端的过程中受到的各个力所做的功以及合外力做的功．(取g＝10 m/s2)
图5
8．如图5所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面的动摩擦因数为μ.现使斜面水平向左匀速移动距离x.试求：
(1)摩擦力对物体做的功(物体与斜面相对静止)；
(2)斜面对物体的弹力做的功；
(3)重力对物体做的功；
(4)斜面对物体做的功是多少？合力对物体所做的总功是多少？
第四章 机械能和能源
第1节 功
1．B [据功的概念及功的两个因素可知，只有同时满足力及在力的方向上有位移两个条件时，力对物体才做功，A、C、D做功，B没有做功，选B.]
2．A [力F1与F2的合力做的功等于F1与F2做功的代数和，即W合＝W1＋W2＝(4＋3) J＝7 J．]
3．D [整个过程支持力方向与速度方向始终同向，故支持力始终做正功，应选D.]
4．C [由题可知摆球由同一位置释放，虽然经过的轨迹不同，但达到的高度相同，说明摆球到达圆弧最低端的速度大小相同，仅与高度有关，同理，对斜面也是一样，故选项C正确，A、B、D均错．]
5．B [由于物体向下运动，因此重力做正功，拉力做负功，物体向下做匀减速运动，说明加速度的方向向上，合外力方向向上，故合力做负功，B项正确．]
6．C [取水泥袋为研究对象，在匀减速下降的过程中，加速度方向向上，由牛顿第二定律知，钢索拉力F＝m(g＋a)．钢索拉力做负功，也就是水泥袋克服拉力做功，大小为W＝m(g＋a)h.]
7．见解析
解析 斜面上的货物受到重力G、斜面支持力N和摩擦力f共三个力的作用，如图所示．货物位移的方向沿斜面向下．可以用正交分解法，将货物所受的重力分解到与斜面平行的方向和与斜面垂直的方向．
可以看出，三个力中重力和摩擦力对货物做功，而斜面支持力对货物没有做功．其中重力G对货物做正功
W1＝mglsin 37°＝20×10×0.5×0.6 J＝60 J
支持力N对货物没有做功，W2＝0
摩擦力f对货物做负功
W3＝(μmgcos 37°)lcos 180°
＝－0.2×20×10×0.8×0.5 J＝－16 J
所以，合外力做的总功为
W＝W1＋W2＋W3＝(60＋0－16) J＝44 J
若先计算合外力再求功，则合外力做的功
W＝F合l＝(mgsin 37°－μmgcos 37°)l
＝(20×10×0.6－0.2×20×10×0.8)×0.5 J＝44 J
8．见解析
解析
物体受力情况如右图所示，物体受到重力mg，摩擦力f和支持力N的作用，物体相对斜面静止、相对地面水平向左匀速移动了x，这些力均为恒力，故可用W＝Fxcos α计算各力的功．根据物体平衡条件，可得f＝mgsin θ，N＝mgcos θ，
(1)Wf＝f·xcos(180°－θ)＝－mgxsin θ·cos θ
(2)WN＝N·xcos (90°－θ)＝mgxsin θ·cos θ
(3)WG＝G·xcos 90°＝0
(4)N与f的合力与G等大反向，即物体所受斜面的力对物体做的功为0，或WN＋Wf＝0.
合力对物体做的总功W总＝WG＋Wf＋WN
＝0＋(－mgxsin θcos θ)＋mgxsin θcos θ＝0，
或物体受力平衡，F合＝0，则W总＝F合xcos θ＝0.
第2节 功 率
[导学目标] 1.理解功率的概念，能运用功率的定义式P＝进行有关的计算.2.理解额定功率和实际功率的概念，了解平均功率和瞬时功率的含义.3.根据功率的定义导出P＝Fv，能用于分析、计算和解释现象，如分析汽车功率一定时，牵引力与速度的关系．
1．加速度的物理意义：a＝，表示速度变化的______，其大小由Δv和Δt共同决定．
2．牛顿第二定律：物体运动的加速度与物体所受的________成正比，与物体的______成反比，加速度的方向与物体所受________的方向一致．
3．功是力和______________________________的乘积，是一过程量.
一、功率的含义
[问题情境]
建筑工地上的几台起重机正在忙碌着，我们怎样比较它们做功的快慢呢？
起重机
编号
被吊物
体重量
被吊物体
运动情况
所用
时间
做功
A
2×103 N
4 m/s匀速上升
4 s
3.2×104 J
B
4×103 N
3 m/s匀速上升
4 s
4.8×104 J
C
1.6×104 N
2 m/s匀速上升
1 s
3.2×104 J
[要点提炼]
1．定义
力对物体所做的功W与做功所用时间t的________叫做功率．
2．功率是表示物体做功______的物理量，它由物体所做的功和做这些功所需的时间共同决定，并不单纯由________决定，也不单纯由做功__________决定．
3．功率是____量．
4．功是力的功，那么功率也就是力的功率．我们经常说的物体做功的功率，实际上是物体的力的功率．例如，汽车的功率就是汽车牵引力的功率．
图1
例1 如图1所示，质量为m的物体A从斜面的顶端滑下，经过时间t滑到斜面的底端，斜面是固定在水平面上的，其倾角为α，斜面的长度为x，试求：物体在时间t内的重力的功率．
二、功率、力和速度之间的关系
[问题情境]
一个物体在力F的作用下以速度v匀速运动，在时间t内发生的位移为x，已知作用力F的方向和位移方向相同，求：
(1)力F所做的功；
(2)力F的功率．
[要点提炼]
1．根据公式P＝Fv可分析
(1)当功率P一定时，F与v成____比，即做功的力越大，其速度就越____．当交通工具的功率一定时，要增大牵引力，就要减小速度．所以汽车上坡时，司机要用换挡的办法减小速度来得到较大的牵引力．
(2)当速度v一定时，P与F成____比，即做功的力越大，它的功率就越____．汽车从平路到上坡时，若要保持速率不变，必须加大油门，增大发动机功率来得到较大的牵引力．
(3)当力F一定时，功率P与速度v成正比，即速度越____，功率越____．
起重机吊起同一物体时以不同的速度匀速上升，输出的功率不等，速度越大，起重机输出的功率越大．
2．关于平均功率和瞬时功率
(1)利用P＝Fv这一表达式，可以求恒力在某时刻的功率，也可以求变力在某时刻的功率；可以求某个力的功率，也可以求合力的功率．
(2)公式P＝Fv，一般用来计算______功率，但如果F为恒力，v取______速度，此式也可用来计算平均功率．
(3)P＝Fv，适用于F与v同向的情况，但如果二者夹角为θ，则用P＝________来计算功率．
例2 质量m＝3 kg的物体，在水平力F＝6 N的作用下，在光滑的水平面上从静止开始运动，运动时间t＝3 s，求：
(1)力F在t＝3 s内对物体所做的功；
(2)力F在t＝3 s内对物体所做功的平均功率；
(3)在3 s末力F对物体做功的瞬时功率．
例3 如图2所示，
图2
质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力做的功．
(2)前2 s内重力做功的平均功率．
(3)2 s末重力做功的瞬时功率．
[即学即用]
重为2×104 N的汽车，在水平路面上行驶，若保持40 kW的输出功率不变，阻力为车重的0.02倍．求：
(1)行驶150 m后，速度从10 m/s增加到20 m/s，此时汽车的加速度；
(2)汽车以恒定的功率启动后能达到的最大速度．
第2节 功 率
课前准备区
1．快慢 2.合外力 质量 合外力 3.在力的方向上发生的位移
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
比较A和B：它们做功时间相等，而B做功比A多，我们可以说B做功比A快，不难发现>.
比较A和C：它们做功相等，而tC.
比较B和C：它们做功不相等，所用时间也不相等，我们可以比较二者在单位时间内做的功，不难发现<，我们可以说C做功比B快．
[要点提炼]
1．比值
2．快慢 做功多少 所用的时间
3．标
例1
解析 根据功率的定义，重力在时间t内的功率等于重力做的功WG和所用时间t的比值，即P＝
由于WG＝mgh＝mgxsin α，所以重力的功率为
P＝＝
二、
[问题情境]
(1)W＝F·x (2)P＝＝＝Fv
[要点提炼]
1．(1)反 小 (2)正 大 (3)大 大
2．(2)瞬时 平均 (3)Fvcos θ
例2 (1)54 J (2)18 W (3)36 W
解析 物体在水平力F的作用下，在光滑水平面上做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可求出加速度a＝F/m＝2 m/s2
则物体在3 s末的速度v＝at＝6 m/s
物体在3 s内的位移x＝at2＝×2×32 m＝9 m
(1)力F做的功W＝Fx＝54 J
(2)力F在3 s内做功的平均功率＝＝18 W
(3)3 s末力F做功的瞬时功率P＝Fv＝36 W
例3 (1)48 J (2)24 W (3)48 W
解析
可分别用W＝F·x，P＝W/t和P＝F·v求解．
(1)木块所受的合外力为
F合＝mgsin θ－μmgcos θ
＝mg(sin θ－μcos θ)
＝2×10×(0.6－0.5×0.8) N
＝4 N
物体的加速度为
a＝＝ m/s2＝2 m/s2
前2 s内木块的位移
x＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以，重力在前2 s内做的功为
W＝mgsin θ·x＝2×10×0.6×4 J＝48 J
(2)重力在前2 s内做功的平均功率为
＝＝ W＝24 W
(3)木块在2 s末的瞬时速度
v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力做功的瞬时功率
P＝mg·sin θ·v＝2×10×0.6×4 W＝48 W
[即学即用]
(1)0.8 m/s2 (2)100 m/s
解析 (1)当速度为20 m/s时，牵引力
F＝＝ N＝2×103 N，
此时汽车所受阻力
f＝2×104×0.02 N＝400 N，
由牛顿第二定律得
a＝＝ m/s2＝0.8 m/s2
(2)汽车以恒定的功率行驶，当加速度为零时，汽车的速度最大，
由F－f＝ma得Fmin＝f＝μmg＝400 N，
由v＝得vmax＝＝＝100 m/s.
第2节 功 率
一、选择题
1．关于功率，下列说法正确的是 ( )
A．由P＝可知，只要知道W和t的值就可以计算出任意时刻的功率
B．由P＝Fv可知，汽车的功率一定与它的速度成正比
C．当P＝ Fv可知，牵引力一定与速度成反比
D．当汽车功率P一定时，牵引力一定与速度成反比
2．关于额定功率与实际功率，下列说法中错误的是( )
A．正常条件下可以长时间工作的功率叫额定功率
B．机器在工作时发动机实际输出的功率叫实际功率
C．实际功率可以小于额定功率，但绝不能大于额定功率
D．机器的实际功率可能会暂时超过额定功率，但不能长时间工作
3．物体在水平恒力F作用下，由静止开始沿水平面由A点运动了x到达B点，则( )
A．水平面光滑时，力F对物体做功的平均功率较大
B．水平面不光滑时，力F对物体做功的平均功率较大
C．水平面光滑时，力F在B点的瞬时功率较大
D．水平面不光滑时，力F在B点的瞬时功率较大
4．一个质量为m的小球做自由落体运动，那么，在前t秒内重力对它做功的平均功率及在t秒末重力做功的瞬时功率P分别为(t秒末小球未着地)( )
A.＝mg2t2，P＝mg2t2
B.＝mg2t2，P＝mg2t2
C.＝mg2t，P＝mg2t
D.＝mg2t，P＝2mg2t
图1
5．一辆汽车在水平路面上做匀速运动，从某时刻开始，牵引力F和阻力f随时间t的变化规律如图1所示．则t1到t2时间内，汽车牵引力的功率P随时间t变化的关系图象应是( )
6．水平恒力F作用在一个物体上，使该物体由静止沿光滑水平面在力的方向上移动距离x，恒力F做的功为W1，平均功率为P1；再用同样的水平力F作用在该物体上，使该物体在粗糙的水平面上在力的方向上由静止移动距离x，恒力F做的功为W2，平均功率为P2，下面哪个选项是正确的( )
A．W1P2 B．W1>W2，P1>P2
C．W1＝W2，P1>P2 D．W17．物体在水平地面上受到水平拉力F的作用，在6 s内速度的v－t图线和拉力做功功率的P－t图线如图2所示，则物体的质量为(g取10 m/s2)( )
图2
A. kg B．1 kg C. kg D．0.6 kg
8．质量为m的汽车由静止开始以加速度a做匀加速运动，经过时间t，汽车达到额定功率，则下列说法正确的是( )
A．at即为汽车额定功率下的速度最大值
B．at还不是汽车额定功率下的速度最大值
C．汽车的额定功率是ma2t
D．时间t内汽车牵引力做功等于ma2t2
9．如图3所示，分别用F1、F2、F3将质量为m的物体由静止沿同一光滑斜面以相同的加速度从斜面底端拉到斜面的顶端，物体到达斜面顶端时，力F1、F2、F3的功率关系为( )
图3
A．P1＝P2＝P3 B．P1>P2＝P3
C．P3>P2>P1 D．P1>P2>P3
10．汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，牵引力为F0.t1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动．能正确表示这一过程中汽车牵引力F和速度v随时间t变化的图象是( )
二、非选择题
11．从空中以10 m/s的初速度水平抛出一质量为1 kg的物体，物体在空中运动了3 s后落地，不计空气阻力，g取10 m/s2，求3 s内物体所受重力做功的平均功率和落地时重力做功的瞬时功率．
12．质量为m＝4.0×103 kg的汽车，发动机的额定功率为P＝40 kW，汽车从静止开始以a＝0.5 m/s2的加速度行驶，所受阻力f＝2.0×103 N，则汽车匀加速行驶的最长时间为多少？汽车可能达到的最大速度为多少？
第2节 功 率
1．D 2.C
3．AC [水平面光滑时到达B点的瞬时速度较大，瞬时功率较大；水平面光滑时平均速度较大，平均功率也较大，A、C对，B、D错．]
4．C [前t秒内重力做功的平均功率
＝＝＝mg2t
t秒末重力做功的瞬时功率
P＝Fv＝mg·gt＝mg2t.
故C正确．]
5．C [由图可知，t1到t2时间内，F与f均不变且F6．C [由功的定义式可知W1＝W2，
由牛顿第二定律得
ma1＝F，ma2＝F－f，故a1>a2；
由运动学公式得
x＝a1t＝a2t，所以t1由功率定义式P＝可得
P1>P2，C正确．]
7．C [设物体受到的阻力为f，由题图可知
0～2 s内物体做加速度a＝3 m/s2的匀加速运动，F、f不变，功率P增大；
2～6 s内物体做匀速直线运动，物体受力平衡，则
2 s末物体受到的拉力F突变为Fmin＝f，功率由P2＝Fv2突变为P2′＝fv2；
由功率公式知F＝＝ N＝5 N，
f＝＝ N＝ N
由牛顿第二定律知
m＝＝ kg＝ kg]
8．B [汽车匀加速到额定功率后做加速度减小的加速运动，直到加速度为零，速度达最大值，A错，B对．汽车合外力为ma，牵引力大于ma，汽车的额定功率大于ma2t，时间t内做的功大于ma2t2，C、D错．]
9．A [设物体质量为m，三种情况下物体的加速度a相同，据牛顿第二定律得
F1－mgsin α＝ma，F2cosα－mgsin α＝ma，F3cos θ－mgsin α＝ma.所以F1＝F2cos α＝F3cos θ，又因加速度相同，斜面长度相同，所以三种情况下物体到达斜面顶端时的速度相等，所以由功率公式可知P1＝P2＝P3，选A.]
10．AD [由P＝Fv可判断，开始时汽车做匀速运动，则F0＝f，P＝F0v0，v0＝，当汽车功率减小一半时，P′＝，汽车开始做变减速运动，其牵引力为F1＝＝＝，加速度大小为a＝＝－，由此可见，随着汽车速度v的减小，其加速度a也减小，最终以v＝做匀速运动，故A正确；同理，可判断出汽车的牵引力随时间t的变化图线与D项一致，D也正确．]
11．150 W 300 W
解析 设物体从抛出到落地的竖直位移为h，
则3 s内重力的平均功率＝＝，又因为h＝gt2，
由以上两式可得＝mg2t＝150 W
设该物体在3 s末的瞬时速度为v3，
则物体落地时重力做功的瞬时功率
P＝mgv3cos θ＝mgv3y，
又因为v3y＝gt，
所以P＝mg2t＝300 W
因为重力为恒力，3 s内重力做功的平均功率也可由
＝Fcos θ求得．
＝mgcos θ＝mg，
又因为＝＝＝gt，
所以＝mg·gt＝150 W.
12．20 s 20 m/s
解析 汽车匀加速行驶时，汽车发动机的牵引力为F，
则根据牛顿第二定律：F－f＝ma，得
F＝ma＋f＝4.0×103×0.5 N＋2.0×103 N
＝4.0×103 N
汽车匀加速运动的末速度为v，则P＝Fv，
v＝＝ m/s＝10 m/s
根据运动学公式v＝at，有t＝＝ s＝20 s
当汽车加速度为零时，汽车有最大速度vm，此时，牵引力F′＝f，则
vm＝＝＝ m/s＝20 m/s.
第3节 势 能
[导学目标] 1.理解重力势能的概念，会用重力势能的定义式进行计算.2.理解重力做功与重力势能变化的关系.3.知道重力势能具有相对性.4.知道重力势能是物体和地球所组成的系统所共有的.5.理解弹性势能的概念．
1．势能：相互作用的物体凭借其______而具有的能量．
2．重力势能：物体由于__________而具有的能量．
3．水力发电站是利用了__________来发电的．
4．功是力与________________________的乘积.
一、重力做的功
[问题情境]
请同学们根据已有的知识求解下列三种情况下重力做的功．
[要点提炼]
1．重力做功的特点
物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的______无关，功的大小等于物重跟起点高度的乘积与物重跟终点高度的乘积这两者之差．
2．重力做功的大小与物体的运动状态无关，与物体是否受其他的力无关(如：斜面是否光滑等)．
3．如果重力做负功，我们常说物体克服重力做了功．
4．对于物体沿任意曲线运动的情况，采用“________”，这种方法有时可以帮助我们解决很多问题．
5．重力做功的大小WG＝mgh＝mgh1－mgh2，式中的h指物体运动的起点高度跟终点高度之差．
[即学即用]
1．沿着高度相同、坡度不同、粗糙程度也不同的斜面将同一物体分别从底端拉到顶端，下列说法正确的是( )
A．沿坡度小的斜面运动时物体克服重力做功多
B．沿坡度大、粗糙程度大的斜面运动时物体克服重力做功多
C．沿坡度小、粗糙程度大的斜面运动时物体克服重力做功多
D．不管沿怎样的斜面运动，物体克服重力做的功相同
图1
2．如图1所示，质量为m的小球在半径为R的半圆形轨道上来回运动，下列说法正确的是( )
A．若A、B等高，从A到B重力做功mg·2R
B．若A、B等高，从A到B重力做功为零
C．若轨道有摩擦，重力做的功最多是mgR
D．若轨道有摩擦，重力做的功可以大于mgR
二、重力势能
[要点提炼]
1．定义：我们把物理量mgh叫做物体的重力势能，常用Ep表示，即Ep＝mgh.上式表明，物体的重力势能等于物体受到的重力和它的______的乘积．
2．重力势能Ep是标量，但有________．
正值：即Ep>0，表示位于参考平面以上的物体的重力势能；
零：即Ep＝0，表示位于参考平面上的物体的重力势能；
负值：即Ep<0，表示位于参考平面以下的物体的重力势能．
可见，Ep的符号仅表示其相对大小．例如，在同一参考平面内，Ep1＝100 J，Ep2＝－100 J，则Ep1>Ep2，这与功的正、负的物理意义是不同的，类似于温度＋2 ℃高于－5 ℃.
3．单位：重力势能的单位在国际单位制中是焦耳(J)，1 J＝1 kg·m·s－2·m＝1 N·m.
4．重力势能是状态量．
5．重力势能的相对性
(1)重力势能有______性，即Ep与选取的参考平面(零势能面)______．因此，在计算重力势能时，必须首先选取参考平面．
(2)重力势能的变化是________的，它与参考平面的选取______．
6．重力势能是属于______的，如果没有地球，就没有重力，也就谈不上重力势能了，所以，重力势能是地球与物体所组成的这个______所共有的，而不是地球上的物体单独具有的．
[即学即用]
3．楼上某房间地板高出楼外地面4 m，窗台比地板高1 m．一个质量为10 kg的重物分别放在窗台上A处、地板上B处和楼外地面上C处．(g取9.8 m/s2)
(1)以楼外地面为参考平面(零势能面)，重物在A、B、C三处的重力势能分别为EpA＝________，EpB＝________，EpC＝________.
(2)以该房间地板为参考平面，重物在A、B、C三处的重力势能分别为EpA＝________，EpB＝________，EpC＝________.
(3)重物在A、B两处的重力势能之差EpA－EpB＝________________，A、C两处的重力势能之差EpA－EpC＝______________.
(4)物体在某处的重力势能的量值，跟参考平面的选取________关．
三、重力做功与重力势能变化的关系
[问题情境]
图2
如图2所示，质量为m的物体自高度为h2的A处下落至高度为h1的B处，求此过程中重力做的功和重力势能的变化量，并分析它们之间的关系．
[要点提炼]
1．关系：重力做正功，重力势能减少，重力做的功等于重力势能的减少量；重力做负功，重力势能增加，重力做的功等于重力势能的增加量，即WG＝－ΔEp.
2．当物体从高处向低处运动时，重力做正功，重力势能减小，也就是WG>0，Ep1>Ep2.这时，重力势能减小的数量等于重力所做的功．
3．当物体从低处向高处运动时，重力做负功，重力势能增加，也就是WG<0，Ep1[即学即用]
4．关于重力势能与重力做功的下列说法中正确的是( )
A．物体克服重力所做的功等于重力势能的增加量
B．在同一高度，将物体以初速度v0向不同方向抛出，从抛出到落地的过程中，重力所做的功相等，物体所减少的重力势能也一定相等
C．重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功
D．用手托住一个物体匀速上举时，手的支持力做的功等于克服重力所做的功与物体的重力势能增量之和
四、弹性势能
[要点提炼]
1．物体由于发生__________而具有的能量叫做弹性势能．
2．发生形变的物体________具有弹性势能，只有发生________的物体才具有弹性势能．
3．弹性势能属于发生弹性形变的物体．
4．弹性势能的大小也具有______性，与零势能位置的规定有关，一般规定自然长度处弹性势能为零．
[即学即用]
5．关于弹性势能，下列说法中正确的是( )
A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
1．重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关．
2．重力势能
(1)重力势能：等于它所受重力与所处高度的乘积．
(2)重力势能的公式：Ep＝mgh.
(3)重力势能是标量，其单位与功的单位相同，在国际单位制中都是焦耳，符号为J.
(4)重力做功与重力势能变化量之间的关系：
①重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功．
②物体克服重力做功(重力做负功)，重力势能增加，增加的重力势能等于物体克服重力所做的功．
3．重力势能的相对性
(1)零势能面．
(2)参考平面的选择：通常选择地面为参考平面．
4．物体由于发生弹性形变而具有的能叫做弹性势能．势能是系统所共有的．
第3节 势 能
课前准备区
1．位置 2.位于高处 3.重力势能 4.在力的方向上发生的位移
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
(1)如图甲，设一个质量为m的物体，从高度为h1的位置，竖直向下运动到高度为h2的位置，这个过程中重力做的功是
WG＝mgh＝mgh1－mgh2
(2)如图乙，物体沿倾斜直线运动的距离是L，在这一过程中重力所做的功是
WG＝mgcos θ·L＝mgh＝mgh1－mgh2
(3)如图丙，我们把整个路径分成许多很短的间隔AA1，A1A2，A2A3……
由于每一段都很小很小，它们都可以近似地看做一段倾斜的直线．设每段小斜线的高度差分别是Δh1，Δh2，Δh3，…，则物体通过每段小斜线时重力所做的功分别为mgΔh1，mgΔh2，mgΔh3，…，物体通过整个路径时重力所做的功，等于重力在每小段上所做的功的代数和，即
WG＝mgΔh1＋mgΔh2＋mgΔh3＋…＝mg(Δh1＋Δh2＋Δh3＋…)＝mgh＝mgh1－mgh2
[要点提炼]
1．路径 4.极限法
[即学即用]
1．D [物体运动过程中克服重力所做的功等于物体所受重力与物体升高的高度的乘积，与物体的运动路径无关，也与是否受到其他力无关，所以A、B、C错误，D正确．]
2．BC [若A、B等高，从A到B，小球在竖直方向上的位移为零，故重力做功为零，A错，B对；小球下落的高度最大为R，故若轨道粗糙，重力做功最多是mgR，故C对，D错．]
二、
[要点提炼]
1．高度 2.正、负 5.(1)相对 有关 (2)绝对 无关 6.系统 系统
[即学即用]
3．(1)490 J 392 J 0 (2)98 J 0
－392 J (3)98 J 490 J (4)有
三、
[问题情境]
重力做功WG＝ mg(h2－h1)＝mgΔh，物体的重力势能由mgh2变为mgh1，重力势能的改变量ΔEp＝mgh1－mgh2＝－mgΔh，可见WG＝－ΔEp.所以，重力做的功等于重力势能的变化量．
[即学即用]
4．AB [重力势能具有相对性，重力对物体所做的功等于物体重力势能的变化，即WG＝－ΔEp，故A、B正确；重力势能等于零，只能说明物体在参考平面上，不影响其对别的物体做功，故C错；对于D，物体匀速上升，手的支持力大小等于物体的重力，二者移动的距离也相同，所以手的支持力做的功等于克服重力做的功，又WG＝－ΔEp，故手的支持力做的功也等于物体重力势能的增加量，而不是等于二者之和，故D错．]
四、
[要点提炼]
1．弹性形变 2.不一定 弹性形变 4.相对
[即学即用]
5．AB [发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力的相互作用而具有的势能，叫做弹性势能．所以，任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变．物体发生了形变，若是非弹性形变，便无弹力作用，则物体就不具有弹性势能．弹簧的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧劲度系数的大小有关．正确的选项为A、B.]
第3节 势 能
一、选择题
1．关于弹性势能和重力势能，下列说法正确的是( )
A．重力势能属于物体和地球这个系统，弹性势能属于发生弹性形变的物体
B．重力势能是相对的，弹性势能是绝对的
C．重力势能和弹性势能都是相对的
D．重力势能和弹性势能都是状态量
2．下列关于物体的重力势能的说法中正确的是( )
A．物体的重力势能值随选择的参考平面的不同而不同
B．物体的重力势能实际上是物体和地球组成的系统所共有的
C．重力对物体做正功，则物体的重力势能增加
D．物体位于参考平面以下时，物体的重力势能为负值
3．将一物体由A移至B，重力做功( )
A．与运动过程中是否存在阻力有关
B．与物体沿直线运动或曲线运动有关
C．与物体是做加速、减速或匀速运动有关
D．与A、B两点的位置有关
4．物体在运动过程中克服重力做功50 J，则( )
A．重力做功50 J
B．物体的重力势能一定增加50 J
C．物体的重力势能一定减少了50 J
D．重力对物体做功－50 J
5．对于重力势能的理解，下列说法正确的是( )
A．重力势能是一个定值
B．当重力对物体做正功时，物体的重力势能有可能在增加
C．放在地面上的质量不同的物体，它们的重力势能一定为0
D．重力势能是物体和地球共有的，而不是物体单独具有的
6．当重力对物体做正功时，物体的( )
A．重力势能一定增加，动能一定减少
B．重力势能一定减少，动能一定增加
C．重力势能不一定减少，动能一定增加
D．重力势能一定减少，动能不一定增加
7．有关重力势能的变化，下列说法中正确的是( )
A．物体受拉力和重力作用向上运动，拉力做功是1 J，但物体重力势能的增加量有可能不是1 J
B．从同一高度将某一物体以相同的速率平抛或斜抛，落到地面上时，物体重力势能的变化量是相同的
C．从同一高度落下的物体到达地面，考虑空气阻力和不考虑空气阻力的情况下重力势能的减少量是相同的
D．物体运动中重力做功是－1 J，但物体重力势能的增量不是1 J
8．下面关于重力势能的说法中，正确的是( )
A．有A、B两个物体，A的高度是B高度的2倍，那么物体A的重力势能的数值一定是物体B的2倍
B．从同一高度将某一物体以相同的速度竖直上抛或平抛，从抛出到落地的过程中，物体重力势能的变化量是相同的
C．有一物体从楼顶落到地面，如果受到空气阻力，物体重力势能的减少量将小于自由下落时重力势能的减少量
D．重力做功时，不仅与物体运动的高度差有关，还与物体运动的路径有关
9．关于重力做功和重力势能的变化，下列叙述正确的是( )
A．做竖直上抛运动的物体，在上升阶段，重力做负功，重力势能减少
B．做竖直上抛运动的物体，重力势能在不断减少
C．做平抛运动的物体，重力势能在不断减少
D．只要物体高度降低了，重力势能就不断增加
10．质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地高度为h.若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化分别是( )
A．mgh 减少mg(H－h)
B．mgh 增加mg(H＋h)
C．－mgh 增加mg(H－h)
D．－mgh 减少mg(H＋h)
11．一质量为m的物体被人用手由静止竖直向上以加速度a匀加速提升h.关于此过程，下列说法中不正确的是( )
A．提升过程中手对物体做功m(a＋g)h
B．提升过程中合外力对物体做功mah
C．提升过程中物体的重力势能增加m(a＋g)h
D．提升过程中物体克服重力做功mgh
二、非选择题
图1
12．如图1所示，一个质量为m的木块，以初速度v0冲上倾角为θ的固定斜面，沿斜面上升L的距离后开始返回．若木块与斜面间的动摩擦因数为μ，求：
(1)木块上升过程克服重力做功的平均功率是多少？木块的重力势能变化了多少？
(2)木块从开始运动到返回到出发点的过程中，滑动摩擦力做的功是多少？
(3)木块从开始运动到返回到出发点的过程中，重力做的功是多少？重力势能变化了多少？
第3节 势 能
1．ACD [重力势能具有系统性，弹性势能只属于发生弹性形变的物体，故A对．重力势能和弹性势能都是相对的，且都是状态量，故B错，C、D对．]
2．ABD 3.D 4.BD
5．D [选不同点作参考点，重力势能的数值不同，A错；只有选地面为零参考点时，地面上的不同质量的物体重力势能才为0，C错；重力做正功时，重力势能一定减少，B错；重力势能是物体和地球所共有的，D对．]
6．D [重力做功的过程实质上是重力势能和其他形式能转化的过程，其他形式能包括动能、电能、内能等，重力做功多少与经过的路径无关，只与始、末位置有关，重力做正功等于重力势能的减少量而不是增加量，这个是没有条件限制的，重力势能减小，动能不一定增加，如物体匀速或匀减速竖直下落过程，A、B、C错，D对．]
7．ABC [重力势能增量等于重力做功的负值，与其它因素无关，即WG＝mgΔh＝－ΔEp，故选A、B、C.]
8．B [由Ep＝mgh知，只有mA＝mB时，A的重力势能才是B的2倍，A错．由重力做功特点可知，重力做的功等于重力势能的变化量，与经过的路径无关，与物体是否受其他力无关，C、D错，B对．]
9．C [重力做正功时，重力势能减少，重力做负功时，重力势能增加．因此只需要判断重力做正功还是做负功，即可判断出重力势能的变化．]
10．D [以桌面为参考平面，落地时物体的重力势能为－mgh；末状态的重力势能为－mgh，初状态的重力势能为mgH，所以重力势能的变化即为－mgh－mgH＝－mg(H＋h)，所以重力势能减少了mg(H＋h)．]
11．C [
对物体：F－mg＝ma
所以手对物体做功W1＝Fh＝m(g＋a)h，故A正确，合外力的功W合＝F合h＝mah，B正确．物体上升h，克服重力做功mgh，重力势能增加mgh，C错，D对．]
12．(1)mgv0sin θ mgLsin θ
(2)－2μmgLcos θ (3)0 0
解析 (1)上升过程中克服重力的功W＝mgLsin θ.
上升时间t＝，
功率P＝，解得P＝mgv0sin θ
重力势能增加了mgLsin θ
(2)从开始运动到返回到出发点的过程中，路程s＝2L，则
Wf＝－fs＝－2μmgLcos θ
(3)WG＝0
ΔEp＝－WG＝0.
第4节 动能 动能定理
第1课时 动能和动能定理
[导学目标] 1.理解动能的概念.2.理解动能定理及其推导过程、适用条件和物理意义.3.领会动能定理的优越性，理解做功过程的实质.4.熟练应用动能定理，计算变力做功和曲线运动的情景．
1．动能：物体由于运动而具有的能量．
2．匀变速直线运动的基本规律：速度公式：vt＝________，位移公式：x＝________，推论公式：____________.
3．功的定义式：W＝________，F若为某一个力，对应的功即为该力的功；F若为合力，对应的功为合力的功．用此式求功，力F必为______．
4．功是能量转化的______.
一、动能
[问题情境]
一个质量为m、初速度为v的物体，在水平桌面上运动，因受摩擦阻力f的作用，运动一段位移x后静止下来，在这一过程中，外力做了多少功？物体损失了多少动能？动能的表达式是什么呢？
[要点提炼]
1．物体由于______而具有的能量叫做动能，用Ek表示，其表达式为Ek＝mv2.
2．动能的单位是焦耳，符号是J，与功的单位相同，这是因为1 kg·m2/s2＝1 N·m＝1 J.
3．动能是____量，只有正值，与物体运动的速度______无关．
4．动能是状态量，具有瞬时性，在某一时刻，物体具有一定的速度，也就具有一定的动能．
5．动能具有______性．物体运动速度的大小与选定的参考系有关，相对于不同参考系，物体具有不同的速度，也就具有不同的动能．无特别说明均以地球为参考系．
[即学即用]
1．关于对动能的理解，下列说法正确的是( )
A．动能是普遍存在的机械能的一种基本形式，凡是运动的物体都具有动能
B．动能总是正值，但对于不同的参考系，同一物体的动能大小是不同的
C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
2．关于动能，下列说法中正确的是( )
①动能是标量；
②动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体运动的方向无关；
③物体以相同的速率向东和向西运动，动能的大小相等但方向不同；
④物体以相同的速率做匀速直线运动和曲线运动，其动能不同．
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
二、合外力做功和物体动能的变化
[问题情境]
1．设某物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F的作用下沿光滑水平面发生一段位移x，速度由v1增加到v2，如图1所示．
图1
(1)力F对物体所做的功是多大？
(2)物体的加速度是多大？
(3)物体的初速度、末速度、位移之间有什么关系？
(4)结合上述三式你能推导出什么样的式子？
图2
2．假设物体原来就具有速度v1，且水平面存在摩擦力f，在外力F作用下，经过一段位移x，该物体的速度达到v2，如图2所示，则此过程中，外力做功与动能之间又存在什么关系呢？
[要点提炼]
1．动能定理的表达式
合外力所做的功等于物体____________．这个结论叫做动能定理，表达式为W＝mv－mv＝________＝ΔEk，式中W表示________做的功，Ek2＝mv为物体的末动能，Ek1＝mv为物体的初动能．
2．对动能定理的理解
(1)动能定理揭示了____________________；
(2)表达式中“＝”的意义是一种数值上相等的符号，它并不意味着“功就是动能的增量”，也不意味着“功转变成了动能”，而是意味着“功引起物体动能的变化”，即物体动能的变化是通过外力做功的过程来实现的；
(3)动能定理虽然是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的，但它也适用于______做功及物体做______运动的情况；
(4)物体运动过程中若包含几个不同的过程，应用动能定理时，既可以分段考虑，也可以把全过程作为一个整体来处理；
(5)动能定理研究的对象一般是______物体．
图3
例1 有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图3所示．如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( )
A．木块所受的合外力为零
B．因木块所受的力都不对其做功，所以合外力做的功为零
C．重力和摩擦力的合力做的功为零
D．重力和摩擦力的合力为零
[即学即用]
3．关于合力、合力做的功及物体动能变化的说法中，正确的是( )
A．物体所受合力不为0，动能一定改变
B．物体的动能不变，它所受合力一定为0
C．合力不做功，物体的动能就不变
D．所有外力做功的代数和为负值，物体的势能就减少
三、动能定理的应用
1．应用动能定理解题的一般步骤
(1)选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程．
(2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和．
(3)明确物体在初、末状态的动能Ek1和Ek2.
(4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的解题方程，求解并验算．
2．应用动能定理解题的优点
动能定理对应的是一个过程，只涉及到物体初、末状态的动能和整个过程合力做的功，无需关心中间运动过程的细节．而且功和能都是标量、无方向性，计算方便，因此当题目中不涉及a和t，而涉及F、x、m、v、W、Ek等物理量时，优先考虑使用动能定理．
例2 质量为m的物体静止在水平桌面上，它与桌面之间的动摩擦因数为μ，物体在水平力F作用下开始运动，发生位移x1时撤去力F，问物体还能运动多远？
图4
例3 如图4所示的“S”形玩具轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的，放置在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆对接而成的，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，轨道在水平方向不可移动，弹射装置将一个小球(可视为质点)从a点水平弹射向b点并进入轨道，经过轨道后从最高点d水平抛出(抛出后小球不会再碰轨道)．已知小球与地面ab段间的动摩擦因数μ＝0.2，不计其他机械能损失，ab段长L＝1.25 m，圆的半径R＝0.1 m，小球质量m＝0.01 kg，轨道质量为M＝0.26 kg，g取10 m/s2，求：
(1)若v0＝5 m/s，小球从最高点d抛出后的水平射程；
(2)若v0＝5 m/s，小球经过轨道的最高点d时，管道对小球作用力的大小和方向；
(3)设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，当v0至少为多少时，小球经过两半圆的对接处c点时，轨道对地面的压力为零．
第4节 动能 动能定理
第1课时 动能和动能定理
课前准备区
2．v0＋at v0t＋at2 v－v＝2ax
3．Fxcos α 恒力
4．量度
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
在这一过程中，物体克服摩擦力做了功，f做的功为W＝－fx，根据牛顿第二定律F＝ma和运动学公式v2＝2ax，可得W＝－mv2.根据功和能的关系，这个功在数值上就等于物体初始所具有的动能．所以，“mv2”应该就是我们寻找的动能表达式，动能用Ek表示．
[要点提炼]
1．运动
3．标 方向
5．相对
[即学即用]
1．ABC [动能是物体由于运动而具有的能量，所以运动的物体就有动能，A正确；由于Ek＝mv2，而v与参考系的选取有关，所以B正确；由于速度为矢量，当方向变化时，若其速度大小不变，则动能并不改变，故C正确；做匀速圆周运动的物体动能不变，但物体并不是处于平衡状态，D错误．]
2．A [动能是标量，与速度的大小有关，与速度的方向无关，故正确答案应为A.]
二、
[问题情境]
1．这个过程中，力F对物体所做的功为W＝Fx
根据牛顿第二定律F＝ma
故a＝
而v－v＝2ax，即x＝＝
把F、x的表达式代入W＝Fx，可得F做的功
W＝
也就是W＝mv－mv
2．外力F做功：W1＝Fx
摩擦力f做功：W2＝－fx
外力做的总功为：W总＝Fx－fx＝ma·＝mv－mv＝Ek2－Ek1＝ΔEk.
[要点提炼]
1．动能的变化 Ek2－Ek1 合外力
2．(1)功是能量转化的量度 (3)变力 曲线 (5)单个
例1 C [物体做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，合外力不为零，A错．速率不变，动能不变，由动能定理知，合外力做的功为零，支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与摩擦力做的功代数和为零，但重力和摩擦力的合力不为零，C对，B、D错．]
[即学即用]
3．C [合外力不为零，合外力做的功若为零，动能也不变，A错．动能不变，速度大小不变，若速度方向变化，合外力也不为零，B错．根据动能定理，合外力不做功，则动能不变，做正功，动能增加，做负功，动能减少，势能如何变化则不一定，C对，D错．]
三、
例2
解析 研究对象：质量为m的物体．
研究过程：从静止开始，先加速，后减速至零．
受力分析、过程草图如图所示，其中物体受重力(mg)、水平外力(F)、弹力(N)、滑动摩擦力(f)，设加速位移为x1，减速位移为x2.
方法一：可将物体运动分成两个阶段进行求解
物体开始做匀加速运动位移为x1，水平外力F做正功，f做负功， mg、N不做功；初始动能Ek0＝0，末动能
Ek1＝mv
根据动能定理：Fx1－fx1＝mv－0
又滑动摩擦力f＝μN，N＝mg
则：Fx1－μmgx1＝mv－0
物体在x2段做匀减速运动，f做负功，mg、N不做功；初始动能Ek1＝mv，末动能Ek2＝0
根据动能定理：－fx2＝0－mv，又滑动摩擦力f＝μN，N＝mg
则μmgx2＝0－mv
即Fx1－μmgx1－μmgx2＝0－0
x2＝
方法二：从静止开始加速，然后减速为零，对全过程进行求解．
设加速位移为x1，减速位移为x2；水平外力F在x1段做正功，滑动摩擦力f在(x1＋x2)段做负功，mg、N不做功；初始动能Ek0＝0，末动能Ek＝0
在竖直方向上：N－mg＝0 滑动摩擦力f＝μN
根据动能定理：Fx1－μmg(x1＋x2)＝0－0
得x2＝
例3 (1)0.98 m (2)1.1 N，方向竖直向下
(3)6 m/s
解析 (1)设小球到达d点处速度为v，由动能定理，得
－μmgL－mg4R＝mv2－mv①
小球由d点做平抛运动，有
4R＝gt2②
x＝vt③
联立①②③并代入数值，
解得小球从最高点d抛出后的水平射程x＝ m≈0.98 m.
(2)当小球通过d点时，由之后小球做平抛运动，得
N＋mg＝m④
联立①④式并代入数值，解得
管道对小球作用力N＝1.1 N，方向竖直向下．
(3)设小球到达c点时的速度为vc，由动能定理有
－μmgL－mg2R＝mv－mv⑤
当小球通过c点时，由牛顿第二定律得
N′＋mg＝m⑥
要使轨道对地面的压力为零，则有
N′＝Mg⑦
联立⑤⑥⑦式并代入数值，解得
小球的最小速度v0＝6 m/s
第4节 动能 动能定理
第1课时 动能和动能定理
一、选择题
1．一质量为m的滑块，以速度v在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度变为－2v(方向与原来相反)，在这段时间内，水平力所做的功为( )
A.mv2 B．－mv2
C.mv2 D．－mv2
2．一物体速度由0增大到v，再从v增大到2v，外力做功分别为W1和W2，则W1和W2关系正确的是( )
A．W1＝W2 B．W2＝2W1
C．W2＝3W1 D．W2＝4W1
3．一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图1所示，则力F所做的功为( )
图1
A．mglcos θ
B．Flsin θ
C．mgl(1－cos θ)
D．Flcos θ
4．某人骑自行车下坡，坡长l＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏脚踏板的情况下，到达坡底时车速为10 m/s，g取10 m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为( )
A．－4 000 J B．－3 800 J
C．－5 000 J D．－4 200 J
5．一辆质量为m，额定功率为P的小车从静止开始以恒定的加速度 a启动，所受阻力为f，经时间t，行驶距离x后达到最大速度vm，然后匀速运动，则从静止开始到达到最大速度的过程中，机车牵引力所做的功为( )
A．Pt B．(f＋ma)x
C.mvm2 D.mvm2＋fx
6．物体在合外力作用下做直线运动的v－t图象如图2所示．下列表述正确的是( )
图2
A．在0～1 s内，合外力做正功
B．在0～2 s内，合外力总是做负功
C．在1 s～2 s内，合外力不做功
D．在0～3 s内，合外力总是做正功
7．如图3所示，质量为m的小车在水平恒力F的推动下，从山坡(粗糙)底部A处由静止起运动至高为h的坡顶B，获得的速度为v，AB之间的水平距离为x，重力加速度为g.下列说法不正确的是( )
图3
A．小车克服重力所做的功是mgh
B．合外力对小车做的功是mv2
C．推力对小车做的功是mv2＋mgh
D．阻力对小车做的功是mv2＋mgh－Fx
二、非选择题
8．如图4所示，位于竖直平面内的光滑轨道是由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度)．求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围．
图4
图5
9．如图5所示为某小区儿童娱乐的滑滑梯示意图，其中AB为斜面滑槽，与水平方向夹角为37°，BC为水平滑槽，与半径为0.2 m的1/4圆弧CD相切，ED为地面．已知通常儿童在滑槽上滑动时的动摩擦系数是0.5，A点离地面的竖直高度AE为2 m，试求：
(1)儿童由A处静止起滑到B处时的速度大小．
(2)为了儿童在娱乐时不会从C处脱离圆弧水平飞出，水平滑槽BC长至少为多少？(B处的能量损失不计)
第4节 动能 动能定理
第1课时 动能和动能定理
1．A
2．C [由动能定理可知
W1＝mv2－0，
W2＝m(2v)2－mv2＝mv2，
故W2＝3W1，C正确．]
3．C [应由动能定理求解．
由动能定理得：WF＋WG＝0
又WG＝－mgl(1－cos θ)
所以WF＝mgl(1－cos θ)，故应选C.]
4．B [由动能定理得：mgh＋Wf＝mv－mv，故Wf＝mv－mv－mgh＝－3 800 J，故B正确．]
5．D [汽车开始做匀加速直线运动，功率不是恒定的，故A错误；由牛顿第二定律知，开始的匀加速阶段，机车牵引力为f＋ma，但达到最大速度vm前，有一段变加速过程，牵引力逐渐变小，故B错误；由动能定理可得：W牵－fx＝mvm2，所以W牵＝mvm2＋fx，D正确，C错误．]
6．A [根据物体的速度图象可知，物体在0～1 s内做匀加速运动，合外力做正功，A正确；1 s～2 s内做匀减速运动，合外力做负功，根据动能定理可知在0～3 s内合外力做功为零，B、C、D均错误．]
7．C [小车克服重力做功W＝Gh＝mgh，A选项正确；由动能定理知，小车受到的合力做的功等于小车动能的增加，W合＝ΔEk＝mv2，B选项正确；由动能定理，W合＝W推＋W重＋W阻＝mv2，所以推力做的功W推＝mv2－W阻－W重＝mv2＋mgh－W阻，C选项错误；阻力对小车做的功W阻＝mv2－W推－W重＝mv2＋mgh－Fx，D选项正确．]
8.R≤h≤5R
解析 设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由机械能守恒定律得
mgh＝2mgR＋mv2①
物块在最高点受的力为重力mg、轨道的压力N.重力与压力的合力提供向心力，有
mg＋N＝m②
物块能通过最高点的条件是
N≥0③
由②③式得
v≥④
由①④式得
h≥R⑤
按题目要求，N≤5mg，由②式得
v≤⑥
由①⑥式得
h≤5R
h的取值范围是
R≤h≤5R
9．(1)3.46 m/s (2)1.0 m
解析 (1)对儿童由A到B应用动能定理
mg(hAE－R)－μmgcos 37°＝mv
解得：vB＝3.46 m/s
(2)对儿童，在C处mg≥m
－μmgxBC＝mv－mv
解得：xBC＝1.0 m
第2课时 研究合外力做功和动能变化的关系
[导学目标] 1.会用打点计时器打下的纸带计算物体运动的速度.2.学习利用物理图象研究功与物体动能变化的关系.3.通过纸带与打点计时器来探究功与动能变化的关系，体验探究过程和物理学的研究方法．
一、实验原理和实验操作
1．实验目的
(1)通过实验探究力对物体做的功与物体动能变化的关系．
(2)体会探究的过程和所用的方法．
2．实验原理
(1)如图1所示要研究合外力做功与物体动能变化的关系即探究细线拉力对小车做的功与小车动能改变的关系，需要测量不同的力在不同过程中做功时，对应物体动能的变化量．
图1
(2)在砝码和小盘总质量m远小于小车质量M的情况下，可认为小车受到的拉力为F＝mg.以拉力对小车做的功W为纵坐标，小车获得的速度的平方v2为横坐标，作出W－v2曲线，从图线可以得出W与v2的关系，从而判断恒力做功与物体动能改变的关系．
3．实验器材
长木板(一端附有滑轮)、小车、小盘、砝码若干、打点计时器、纸带、复写纸片、刻度尺、细线．
4．实验过程
(1)如图1所示，把纸带的一端固定在小车后面，另一端穿过打点计时器，改变木板的倾角，以小车重力的一个分力平衡小车及纸带受到的摩擦力，使小车能做匀速运动．
(2)把细绳系在小车上并绕过定滑轮，悬挂小盘，在小盘里放入适量砝码，使小车的质量远大于砝码和小盘的总质量，小车在细线的拉力作用下做匀加速运动．由于砝码和小盘质量很小，可认为小车所受拉力F的大小等于砝码和小盘所受重力的大小．
(3)接通电源，放开小车，让小车拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一系列点．
(4)重复以上实验，选择一条点迹清晰的纸带进行数据分析，由纸带可以找到位移和时间的信息，由砝码和小盘的质量可以知道小车所受的恒力．(小车质量已知)
(5)由实验数据得出结论．
二、数据处理、误差分析和实验注意的问题
1．数据处理：
(1)纸带数据的处理，如图2所示的纸带上，(n－1)点、n点、(n＋1)点，到第一点的距离分别是dn－1、dn、dn＋1，则n点速度vn＝.
图2
(2)实验的数据处理
①计算各数据中v2和相应的外力做功W的数值填入下表.
1
2
3
4
5
6
速度v2/(m2·s－2)
外力做功W/J
②利用坐标方格纸，将各组数据在坐标纸上标出，然后作出W－v2图线．如图作出的图线是一条直线，说明外力做功W与物体速度的平方v2成正比，即W?v2.
2．误差分析
实验中我们把拉力对小车做的功与砝码和小盘总重力所做的功认为是一样的，但实际上二者并不相同，这是因为砝码和小盘总重力与绳的拉力是不一样的．
设砝码和小盘总质量为m，小车质量为M，实验中砝码和小盘与小车具有相同的加速度，根据牛顿第二定律可得：a＝＝即：T＝mg
可见，T比mg要小，这正是造成实验误差的主要原因．但是当m?M时，≈1，此时T≈mg，由此可见，要想减小误差，就应当尽量使M远大于m，也就是让小车的质量远大于砝码和小盘总质量．
3．注意的问题
实验中应注意：(1)平衡摩擦．当我们用一个恒力对物体做功时，应设法排除其他力的影响，如本实验中用砝码和小盘的重力对小车提供恒定拉力，研究这个拉力做功与小车动能改变的关系，小车和纸带在运动中受的阻力就要消除．因为阻力不可避免，实际实验中是采用把木板的一端垫高，用小车重力的分力和阻力平衡的方法来等效消除阻力．
(2)尽量减小小车的加速度．因为砝码和小盘拉着小车加速运动时，砝码和小盘处于失重状态，小车受的拉力小于砝码和小盘重力．为减小这一系统误差，应使小车的加速度尽量小，也就是实验中必须满足砝码和小盘的质量远小于小车的质量．
例1 你能根据图3的实验装置，设计出探究恒力做功与动能改变的关系的方案吗？
图3
例2 科学规律的发现离不开科学探究，而科学探究可以分为理论探究和实验探究．下面我们追寻科学家的研究足迹用实验方法探究恒力做功和物体动能变化间的关系．
图4
(1)某同学的实验方案如图4甲所示，他想用钩码的重力表示小车受到的合外力，为了减小这种做法带来的实验误差，你认为在实验中还应该采取的两项措施是：
①________________________________________________________________________；
②________________________________________________________________________.
(2)如图乙所示是某次实验中得到的一条纸带，其中A、B、C、D、E、F是计数点，相邻计数点间的时间间隔为T，距离如图乙所示，则打C点时小车的速度为________；要验证合外力做的功与小车动能变化间的关系，除位移、速度外、还要测出的物理量有________．
例3 某同学在“探究功与物体动能变化的关系”的实验中，设计了如图5甲所示的实验．将纸带固定在重物上，让纸带穿过电火花打点计时器或电磁打点计时器，先用手提着纸带，使重物静止在靠近计时器的地方，然后接通电源，松开纸带，让重物自由下落，计时器就在纸带上打下一系列小点，得到的纸带如图乙所示，O点为计时器打下的第1个点，该同学对数据进行了下列处理：取OA＝AB＝BC，并根据纸带算出了A、B、C三点的速度分别为vA＝0.12 m/s，vB＝0.17 m/s，vC＝0.21 m/s.根据以上数据你能否大致判断W∝v2?
甲 乙
图5
第2课时 研究合外力做功和动能变化的关系
课堂活动区
核心知识探究
例1 见解析
解析 (1)把纸带的一端固定在小车的后面，另一端穿过打点计时器．改变木板的倾角，以小车重力的一个分力平衡小车及纸带受到的摩擦力，使小车做匀速运动．
(2)把细绳系在小车上并绕过滑轮，悬挂小盘，在小盘里放入适量的砝码，使小车的质量远大于砝码和小盘的总质量，小车在细线的拉力作用下做匀加速运动．由于砝码和小盘质量很小，可以认为小车所受的拉力F的大小等于砝码和小盘所受的重力大小，并且是恒定的．
(3)接通电源，放开小车，让小车拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一系列的点．
(4)重复以上实验．选择一条点迹清晰的纸带进行数据分析，由纸带可以找到位移和时间的信息，由砝码和小盘质量可以知道小车所受的恒力(小车的质量已知)．
(5)根据实验数据求出小车动能的变化和小车所受恒力所做的功，并进行比较得出结论．
例2 (1)①平衡摩擦力 ②钩码的重力远小于小车的重力 (2) 钩码的重力和小车的质量
例3 见解析
解析 设由O到A的过程中，重力对重物所做的功为W；那么由O到B的过程中，重力对重物所做的功为2W；由O到C的过程中，重力对重物所做的功为3W.
由计算可知，v＝1.44×10－2 m2/s2，v＝2.89×10－2 m2/s2，v＝4.41×10－2 m2/s2，≈2，≈3，即v≈2v，v≈3v.由以上数据可以判定W∝v2是正确的，也可以根据W－v2的图象来判断，如下图所示．
第2课时 研究合外力做功和动能变化的关系
一、选择题
1．在利用自由落体运动“探究物体做功与动能变化的关系”的实验中，下列物理量需要用工具直接测量的有( )
A．重锤的质量
B．重力加速度
C．重锤下落的高度
D．与重锤下落高度对应的重锤的瞬时速度
2．在做“探究物体做功与动能变化的关系”的实验中，发现重力做的功总是大于重锤增加的动能，造成这种现象的原因是( )
A．选用的重锤质量过大
B．选用的重锤质量过小
C．空气对重锤的阻力和打点计时器对纸带的阻力
D．实验时操作不精细，实验数据测量不准确
二、非选择题
3．在“探究物体做功与动能变化的关系”的实验中，实验装置已安装完毕，请完成如下实验操作：
(1)将纸带穿过打点计时器的________，纸带下端固定在重锤上，上端用手提住，纸带不与限位孔接触．
(2)接通打点计时器的电源使它工作，让纸带从________状态开始释放，计时器在纸带上打出一系列的点．
(3)更换纸带重复进行四次实验，从打出的几条纸带中挑选第1、2点距离接近________mm、并且点迹清晰的纸带进行下面的测量．
(4)取纸带上的第1个点记为O，在第1个点后距离较远处任意选取一点P，记P点为n，用刻度尺测出________的距离h.
(5)打点计时器工作电源频率为50 Hz，则打点间隔时间为________s．根据公式________计算出P点的速度v.
(6)由上面的h和v分别计算________和________，看两者________．
(7)在其他纸带上再另选几个点，重复步骤(4)、(5)、(6)．
4．在利用打点计时器探究“物体做功与动能变化的关系”的实验中，如果纸带上前面几点比较密集，不够清晰，可舍去前面的比较密集的点，在后面取一段打点较为清晰的纸带，同样可以验证，如图1所示，取O点为起始点，各点间的间距已量出并标在纸带上，所用交流电的频率为50 Hz，重物的质量为m kg.
图1
(1)打A点时，重物下落速度为vA＝________，重物动能EkA________.
(2)打F点时，重物下落速度为vF＝________，重物动能EkF＝________
(3)打点计时器自打下A点开始到打出F点，重物重力做的功为______，动能的增加量为________．
(4)根据纸带提供的数据，在误差允许的范围内，重物从打点计时器打出A点到打出F点的过程中，得到的结论是_____________________________________________
________________________________________________________________________.
5．质量为1 kg的重物自由下落，通过打点计时器在纸带上记录下运动过程，打点计时器所接电源为6 V、50 Hz的交流电源，如图2所示，纸带上O点为重物自由下落时打点的起点，选取的计数点A、B、C、D、E、F、G依次间隔一个点(图中未画出)，各计数点与O点的距离依次为31.4、70.6、125.4、195.9、282.1、383.8、501.2，单位为mm，重力加速度为9.8 m/s2，则
图2
图3
(1)求出B、C、D、E、F各点速度并填入下表．
计数点
B
C
D
E
F
速度(m·s－1)
(2)求出物体下落时从O点到图中各点过程中重力所做的功.
计数点
B
C
D
E
F
功(J)
(3)适当选择坐标轴，在图3中作出重力做的功与速度的相关量之间的关系图．
图中纵坐标表示____________，横坐标表示____________，由图可得重力所做的功与____________成________关系．
第2课时 研究合外力做功和动能变化的关系
1．C 2.C
3．(1)限位孔并在复写纸下面经过
(2)静止 (3)2 (4)O点到P点
(5)0.02
(6)重锤重力做的功WG＝mgh 重锤动能增加量ΔEk＝mv2 是否近似相等
解析 为了在纸带上留下清晰的点，(1)中应填“限位孔并在复写纸下面经过”；在数据处理中需测量物体的下落高度，所以必须保证物体(纸带)从“静止”状态开始释放；开始下落的前两个点间距离应满足Δh＝gT2＝×10 m/s2×(0.02 s)2＝2 mm.所以(3)中应填“2”；在计算下落过程中外力做功时需找到下落高度，即应测出O点到P点的距离h；由于交流电源的频率为50 Hz，则打点间隔为 s即0.02 s，测P点速度时，应根据匀变速运动中某段时间的平均速度即为中间时刻的瞬时速度，即v＝求得；在验证时应计算出外力的功即重力做功mgh和下落对应高度获得的动能mv2，然后看二者在误差允许范围内是否相等．
4．(1)1.30 m/s 0.85m J
(2)2.28 m/s 2.60m J
(3)1.75m J 1.75m J
(4)见解析
解析 本题考查实验数据的处理问题．重物在各点的速度可由前后相邻的两段时间内的平均速度计算，再由Ek＝mv2计算出其动能；测出相对应的物体下落的高度h，便可求出重力的功，然后比较，便可得出本实验的结论．
(1)vA＝＝ m/s＝1.30 m/s
EkA＝mv＝m×1.32 J＝0.85 m J.
(2)vF＝＝ m/s＝2.28 m/s
EkF＝mv＝m×2.282 J＝2.60m J.
(3)WG＝mghAF＝m×9.8×(2.79＋3.19＋3.58＋3.97＋4.37)×10－2J≈1.75m J.
ΔEk＝EkF－EkA＝2.60 m J－0.85m J＝1.75m J
(4)因为在实验误差范围内WG＝ΔEk，即重力做的功等于物体动能的变化．
5．(1)1.18 1.57 1.96 2.35 2.74
(2)0.69 1.23 1.92 2.76 3.76
(3)如下图所示
重力做的功WG 速度的平方v2 速度的平方v2 正比
解析 (1)各点速度由公式v＝＝，求出
vB＝＝ m/s≈1.18 m/s
同理vC≈1.57 m/s，vD≈1.96 m/s，vE≈2.35 m/s，vF≈2.74 m/s
(2)重力做的功由W＝mgΔx求出
WB＝mg＝1×9.8×70.6×10－3 J≈0.69 J
同理WC≈1.23 J，WD≈1.92 J，WE≈2.76 J，WF≈3.76 J
第5节 机械能守恒定律
第1课时 机械能守恒定律
[导学目标] 1.能够分析动能和势能之间的相互转化问题.2.能够推导机械能守恒定律.3.会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒.4.能运用机械能守恒定律解决有关问题，并领会运用机械能守恒定律解决问题的优越性．
1．本章中我们学习了哪几种形式的能？
________________________________________________________________________
2．动能定理的内容和表达式是什么？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
3．重力所做的功与物体重力势能的变化之间有什么关系？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
4．我们在初中学习时知道，在一定条件下，物体的动能和势能可以________.
一、动能与势能的转化规律
[问题情境]
1．物体沿光滑斜面下滑，重力对物体做正功，物体重力势能减少，减少的重力势能到哪里去了？
2．射箭时，发生弹性形变的弓弦恢复到原来形状时，弹性势能减少了，减少的弹性势能到哪里去了？
[要点提炼]
1．重力势能的变化是由于重力或弹力做功而引起的．如果重力做正功，重力势能______，动能______，意味着重力势能转化为动能；反之，如果重力做负功，重力势能______，动能______，意味着动能转化为重力势能．在转化过程中，动能与重力势能之和不变．
2．动能与弹性势能间的转化
只有弹力做功时，若弹力做正功，弹性势能______，动能______，弹性势能转化为动能；若弹力做负功，弹性势能______，动能______，动能转化为弹性势能．在转化过程中，动能与弹性势能之和不变．
[即学即用]
1．跳伞运动员在空中做自由落体运动的过程中，他具有的( )
A．动能增加，势能减少
B．动能增加，势能不变
C．动能减少，势能增加
D．动能不变，势能减少
图1
2．如图1所示，地面上竖直放一根轻弹簧，其下端和地面固定连接，一物体从弹簧正上方距弹簧一定高度处自由下落，则( )
A．物体和弹簧接触时，物体的动能最大
B．与弹簧接触的整个过程，物体的动能和弹簧弹性势能的和不断增加
C．与弹簧接触的整个过程，物体的动能与弹簧弹性势能的和先增加后减小
D．物体在反弹阶段，动能一直增加，直到物体脱离弹簧为止
二、机械能守恒定律
[问题情境]
质量为m的物体自由下落的过程中，经过高度h1处时速度为v1，下落至高度h2处时速度为v2，不计空气阻力，分析由h1下落到h2过程中机械能的变化？
[要点提炼]
1．内容：在只有______或______做功的物体系统内，动能和势能会发生相互转化，但机械能的总量保持不变，这称为机械能守恒定律．
2．几种表达式
①用系统的状态量表达：E初＝E末，或者Ek1＋Ep1＝______，即系统初态的机械能总量等于末态的机械能总量．
②用系统的状态量的增量表述：ΔE＝0，即系统机械能的______为零．
③用系统动能增量和势能增量间的关系表述：
ΔEk＝－ΔEp，即系统动能的增加量等于______________．
④若系统只由两个物体组成，则物体A增加的机械能等于物体B减少的机械能，反之也成立，即ΔEA＝－ΔEB或－ΔEA＝ΔEB，或ΔEA＋ΔEB＝____.
3．守恒条件
(1)从能量特点看：只有系统______和______相互转化，无其他形式能量之间(如内能)的转化，则系统机械能守恒．如物体间发生相互碰撞、物体间发生相对运动且有相互间的摩擦作用时，有内能的产生，机械能一般不守恒．
(2)从做功特点看：只有______和系统内的______做功，具体表现在：
①只受重力(或系统内弹力)，如所有做抛体运动的物体(不计空气阻力)．
图2
②除重力、弹力外，物体还受其他力，但其他力不做功，如物体沿光滑的曲面下滑，尽管受到支持力，但支持力不做功．
③其他力做功，但做功的代数和为零．
如图2所示，A、B构成的系统，忽略绳的质量和绳与滑轮间摩擦，在A向下、B向上运动的过程中，FA和FB都做功，但WA＋WB＝0，不存在机械能与其他形式能量的转化，则A、B系统机械能守恒．
[即学即用]
3．下列关于机械能是否守恒的叙述中正确的是( )
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒
B．做曲线运动的物体机械能可能守恒
C．外力对物体做功为零时，机械能一定守恒
D．除重力外，其他力均不做功，物体的机械能守恒
4．如图3所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
图3
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，在大小等于摩擦力的拉力作用下沿斜面下滑时，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
5．桌面高为h，质量为m的小球从桌面上方高为H处自由下落．不计空气阻力，假设桌面处于零势能位置，则小球落到地面前瞬间的机械能为( )
A．mgh B．mgH
C．mg(H＋h) D．mg(H－h)
三、机械能守恒定律的应用
应用机械能守恒定律解题的步骤
(1)确定研究对象；
(2)对研究对象进行正确的受力分析；
(3)判断各个力是否做功，并分析是否符合机械能守恒的条件；
(4)视解题方便选取零势能参考平面，并确定研究对象在始、末状态时的机械能；
(5)根据机械能守恒定律列出方程，或再辅之以其他方程，进行求解．
例1 一个人站在阳台上，以相同的速率v0，分别把三个球竖直向上抛出、竖直向下抛出、水平抛出，不计空气阻力，则三球落地时的速率( )
A．上抛球最大 B．下抛球最大
C．平抛球最大 D．三球一样大
图4
例2 如图4所示，质量为m的物体，以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B时的速度为3，求：
(1)物体在A点时的速度大小；
(2)物体离开C点后还能上升多高．
图5
例3 如图5所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上通过滑轮连接着质量mA＝mB＝10 kg的两个物体A和B，开始时物体A固定在离地高h＝5 m的地方，物体B位于斜面底端，静止释放物体A后，求：
(1)物体A即将着地时A的动能．
(2)物体B离开斜面底端的最远距离．
(g＝10 m/s2)
第5节 机械能守恒定律
第1课时 机械能守恒定律
课前准备区
1．动能、重力势能、弹性势能．
2．合外力所做的功等于物体动能的变化，即W＝ΔEk.
3．重力所做的功和物体重力势能的变化之间的关系为：WG＝Ep1－Ep2.
4．相互转化
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
1．在这一过程中，物体的速度增加了，即物体的动能增加了．这说明：物体减少的重力势能转化成了动能．
2．在这一过程中，弹力做正功，弓的弹性势能减少，而箭的动能增加了．这说明：弓减少的弹性势能转化成了箭的动能．
[要点提炼]
1．减少 增加 增加 减少
2．减少 增加 增加 减少
[即学即用]
1．A
2．C [物体在接触弹簧前做的是自由落体运动，从接触弹簧到弹力等于重力做的是加速度逐渐减小的加速运动，弹力等于重力时速度最大，再向下做的是加速度逐渐增大的减速运动，速度减至零后向上完成相反的过程，故A、D错误；接触弹簧后，重力势能先减小后增大，根据能量转化，动能和弹性势能之和先增大后减小，B错误，C正确．]
二、
[问题情境]
根据动能定理，有：mv－mv＝WG
下落过程中重力对物体做功，重力做的功在数值上等于物体重力势能的变化量．取地面为参考平面，有
WG＝mgh1－mgh2
由以上两式可以得到mv－mv＝mgh1－mgh2
移项得mv＋mgh2＝mv＋mgh1
总的机械能保持不变．
[要点提炼]
1．重力 弹力
2．①Ek2＋Ep2 ②增量 ③势能的减少量 ④0
3．(1)动能 势能 (2)重力 弹力
[即学即用]
3．BD [做匀速直线运动的物体，动能不变，但机械能不一定守恒，如：匀速上升的物体，机械能就不断增大，选项A错误．做曲线运动的物体，若只有重力做功，它的机械能就守恒，如：做平抛运动的物体，选项B正确．外力对物体做的功为零，是动能不变的条件，机械能不变的条件是除重力外，其他力不做功或做功的代数和为零，选项C错误，选项D正确．]
4．BCD [甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错．乙图中物体B除受重力外，还受弹力、拉力、摩擦力，但除重力之外的三个力做功的代数和为零，机械能守恒，B对．丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B机械能守恒，C对．丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D对．]
5．B [小球下落过程中，只有重力做功，机械能守恒，因为选取桌面为参考平面，所以开始时机械能为mgH，小球落地前瞬间的机械能仍为mgH，故选B.]
三、
例1 D [三球在空中的运动轨迹虽然不同，但都是只有重力做功，故可用机械能守恒定律求解，选地面为参考平面，对任意球都有mv＝mgh＋mv，所以vt＝，因为它们的h、v0(初速度大小)相同，所以落地时速度的大小也相同．]
例2 (1) (2)3.5R
解析 (1)物体在运动的全过程中只有重力做功，机械能守恒，设B点为势能零点．设B处的速度为vB，则
mg·3R＋mv＝mv，
得v0＝.
(2)设从B点上升的高度为HB，由机械能守恒可得mgHB＝mv，HB＝4.5R
所以离开C点后还能上升HC＝HB－R＝3.5R.
例3 (1)125 J (2)7.5 m
解析 (1)A即将着地时，B在斜面上上滑的高度为hsin α，此时A、B的速度大小相等，设为v.对A、B组成的系统，只有重力做功，机械能守恒，则：
mAgh＝mAv2＋mBv2＋mBghsin α，
解得v＝＝ m/s＝5 m/s，
则EkA＝mAv2＝×10×52 J＝125 J.
(2)设B上升的最大高度为h′，以地面为参考平面，由机械能守恒定律，得：
mBghsin α＋mBv2＝mBgh′，
得h′＝＝ m＝3.75 m，
则B离开底端的最远距离为L＝＝ m＝7.5 m
第5节 机械能守恒定律
第1课时 机械能守恒定律
一、选择题
1．从地面竖直上抛两个质量不同的物体，设它们的初动能相同，当上升到同一高度时(不计空气阻力以地面为零势面)，它们( )
A．所具有的重力势能相等
B．所具有的动能相等
C．所具有的机械能不等
D．所具有的机械能相等
2．物体自地面上方离地h处开始做自由落体运动，Ek代表动能，Ep代表重力势能，E代表机械能，h表示下落的距离，以地面为零势能面，下列图象中能正确反映各物理量关系的是( )
图1
3．如图1所示，一个小孩从粗糙的滑梯上加速滑下，对于其机械能的变化情况，下列判断正确的是( )
A．重力势能减小，动能不变，机械能减小
B．重力势能减小，动能增加，机械能减小
C．重力势能减小，动能增加，机械能增加
D．重力势能减小，动能增加，机械能不变
4．在下面列举的各例中，若不考虑阻力作用，则物体机械能发生变化的是( )
A．用细杆拴着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在光滑水平面上做匀速圆周运动
B．细杆拴着一个物体，以杆的另一端为固定轴，使物体在竖直平面内做匀速圆周运动
C．物体沿光滑的曲面自由下滑
D．用一沿固定斜面向上、大小等于物体所受摩擦力的拉力作用在物体上，使物体沿斜面向上运动
5．下列有关机械能守恒的说法中正确的是( )
A．物体的重力做功，重力势能减小，动能增加，机械能一定守恒
B．物体克服重力做功，重力势能增加，动能减小，机械能一定守恒
C．物体以g加速下落，重力势能减小，动能增加，机械能一定守恒
D．物体以g/2加速下落，重力势能减小，动能增加，机械能可能守恒
6．如图2甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t＝0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复，不计空气阻力．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图象如图乙所示，则( )
图2
A．t1时刻小球动能最大
B．t2时刻小球动能最大
C．t2～t3这段时间内，小球的动能先增加后减少
D．t2～t3这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能
7．如图所示，小球以初速度v0从光滑斜面底部向上滑，恰能到达最大高度为h的斜面顶部．图中A是内轨半径大于h的光滑轨道、B是内轨半径小于h的光滑轨道、C是内轨直径等于h的光滑轨道、D是长为h的轻棒，其下端固定一个可随棒绕O点向上转动的小球．小球在底端时的初速度都为v0，则小球在以上四种情况中能到达高度h的有( )
二、非选择题
8．如图3所示，
图3
斜面轨道AB与水平面之间的夹角θ＝53°，BD为半径R＝4 m的圆弧形轨道，且B点与D点在同一水平面上，在B点，轨道AB与圆弧形轨道BD相切，整个光滑轨道处于竖直平面内，在A点，一质量为m＝1 kg的小球由静止滑下，经过B、C点后从D点斜抛出去．设以竖直线MDN为分界线，其左边为阻力场区域，右边为真空区域．小球最后落到地面上的S点处时的速度大小vS＝8 m/s，已知A点距地面的高度H＝10 m，B点距地面的高度h＝5 m．g取10 m/s2，cos 53°＝0.6，求：
(1)小球经过B点时的速度大小；
(2)小球经过圆弧轨道最低处C点时对轨道的压力；
(3)若小球从D点抛出后，受到的阻力f与其瞬时速度的方向始终相反，求小球从D点至S点的过程中阻力f所做的功．
图4
9．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图4所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力．
(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2.
(2)问绳能承受的最大拉力多大？
(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？
第5节 机械能守恒定律
第1课时 机械能守恒定律
1．D [上升到同一高度时由Ep＝mgh可知，m不同Ep不同，又因为整个过程中物体机械能守恒且初动能相同，则在同一高度时两物体所具有的动能不同，D正确，A、B、C错．]
2．BCD [重力势能Ep随h增大而减小，A错，B对；Ek＝－ΔEp＝mgh，C对；E不随h而变化，D对．]
3．B [下滑时高度降低，则重力势能减小，加速运动，动能增加，摩擦力做负功，机械能减小，B对，A、C、D错．]
4．B [物体若在水平面内做匀速圆周运动，动能、势能均不变，物体的机械能不变；物体在竖直平面内做匀速圆周运动，动能不变，势能改变，故物体的机械能发生变化；物体沿光滑的曲面下滑，只有重力做功，机械能守恒；用一沿固定斜面向上、大小等于物体所受摩擦力的拉力作用在物体上时，除重力以外的力做功为零，物体的机械能守恒，故选B]
5．C [物体的重力做功时，物体下落，重力势能一定减小，物体克服重力做功，说明重力做负功，物体重力势能增加，若只有重力做功，机械能守恒，若还有其他力如阻力做功，则机械能不守恒，A、B均错；物体以g加速下落且重力势能减小时，说明只有重力做功，机械能守恒，C对；物体以g/2加速下落且重力势能减小时，说明除有重力做功外，还有其他力做功，机械能一定不守恒，D错．]
6．C [0～t1时间内小球做自由落体运动，落到弹簧上并往下运动的过程中，小球重力与弹簧对小球弹力的合力方向先向下后向上，故小球先加速后减速，t2时刻到达最低点，动能为0，A、B错；t2～t3时间内小球向上运动，合力方向先向上后向下，小球先加速后减速，动能先增加后减少，C对；t2～t3时间内由能量守恒知小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能减去小球增加的重力势能，D错．]
7．AD [在不违背能量守恒定律的情景中的过程并不是都能够发生的，B、C中的物体沿曲线轨道运动到与轨道间的压力为零时就会脱离轨道做斜上抛运动，动能不能全部转化为重力势能，故A、D正确．]
8．(1)10 m/s (2)43 N，方向竖直向下 (3)－68 J
解析 (1)设小球经过B点时的速度大小为vB，
由动能定理得mg(H－h)＝mv
求得vB＝10 m/s.
(2)设小球经过C点时的速度为vC，对轨道的压力为FN，则轨道对小球的压力N′＝N，
根据牛顿第二定律可得N′－mg＝
由机械能守恒得mgR(1－cos 53°)＋mv＝mv
联立，解得N＝43 N
方向竖直向下．
(3)设小球由D到达S的过程中阻力所做的功为W，易知vD＝vB，
由动能定理可得mgh＋W＝mv－mv
代入数据，解得W＝－68 J.
9．(1) (2)mg (3)绳长为时有最大水平距离为2d
解析 (1)设绳断后球飞行的时间为t，由平抛运动规律，有
竖直方向：d＝gt2
水平方向：d＝v1t
解得v1＝
由机械能守恒定律，有mv＝mv＋mg(d－d)，解得v2＝
(2)设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小．
球做圆周运动的半径为R＝d
由圆周运动向心力公式，有T－mg＝
得T＝mg
(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变，有T－mg＝m，解得v3＝
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l，水平位移为x，时间为t1.有d－l＝gt，x＝v3t1
得x＝4 ，当l＝时，x有极大值xmax＝d.
第2课时 实验：验证机械能守恒定律
[导学目标] 1.要明确选取纸带及测量瞬时速度的简单而准确的方法.2.通过亲自操作和实际观测掌握实验的方法与技巧.3.通过对纸带的处理过程，体会处理问题的方法，领悟如何间接测一些不能直接测量的物理量的方法．
1．机械能守恒定律的条件是什么？
________________________________________________________________________
2．回顾以前学过的运动，哪种运动形式符合验证机械能守恒定律的条件？
________________________________________________________________________
3．如何利用纸带求解瞬时速度？
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
一、实验原理及实验过程
1．实验目的
验证机械能守恒定律．
2．实验原理
做自由落体运动的物体下落的高度为h时速度为v，则物体的重力势能减少量为mgh，动能增加量为mv2，如果mgh＝mv2，即gh＝v2，就验证了机械能守恒定律．
3．实验器材
铁架台(带铁夹)、电磁打点计时器、重锤(带纸带夹子)、纸带、复写纸、导线、毫米刻度尺、低压交流电源(4～6 V)．
4．实验步骤
(1)安装：将打点计时器固定在铁架台上；用导线将打点计时器与低压交流电源相连接．
(2)接电源，打纸带：把纸带的一端在重物上用夹子固定好，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手提着纸带使重物停靠在打点计时器附近，接通电源，待打点稳定后松开纸带，让重物自由下落．
重复几次，打下3～5条纸带．
(3)选纸带：选取点迹较为清晰的．挑选纸带上第一个点及距离第一个点较远的点，并依次标上0,1,2,3….
(4)数据测量：测出0到点1、点2、点3…的距离，即为对应的下落高度h1、h2、h3….
[问题延伸]
在本实验操作的具体过程中会遇到哪些问题？通过该问题的设置，学生对实验中可能遇到的问题进行预测，并提出相应的解决方法．
(1)重物下落的过程中除受重力外，还受到哪些阻力？怎样减小这些阻力对实验的影响？
(2)重物下落时最好选择哪两个位置作为过程的开始和结束的位置？
(3)本实验中用的重锤，质量大一些好还是小一些好？为什么？
(4)质量是否为本实验必须测量的量？
例1 用自由落体验证机械能守恒定律，就是看mv是否等于mghn(n为计时点的编号0、1、2…n…)．下列说法中正确的是( )
A．打点计时器打第一个点0时，物体的速度为零
B．hn是计时点n到起始点0的距离
C．必须要测量重物的质量
D．用vn＝gtn计算vn时，tn＝(n－1)T(T为打点周期)
例2 某同学为验证机械能守恒定律编排了如下实验步骤：
A．用天平称出重物的质量
B．把纸带固定到重物上，并把纸带穿过打点计时器，提升到一定高度
C．拆掉导线，整理仪器
D．断开电源，调整纸带，重做两次
E．用秒表测出重物下落的时间
F．用毫米刻度尺测出计数点与起点的距离，记录数据，并计算出结果，得出结论
G．把打点计时器接到低压交流电源上
H．接通电源，释放纸带
I．把打点计时器接到低压直流电源上
J．把打点计时器固定到桌边的铁架台上
上述实验步骤中错误的是____________，可有可无的是____________，其余正确且必要的步骤按实验操作顺序排列是____________．(均只需填步骤的代号)
二、数据处理、误差分析和注意的问题
1．数据处理
(1)利用公式vn＝，计算出点1、点2、点3…的瞬时速度v1、v2、v3….
(2)要验证的是mv2＝mgh或mv－mv＝mgΔh，只需验证v2＝gh或v－v＝gΔh，因此不需要测量重物的质量m.
验证：通过计算，在误差允许的范围之内验证v与ghn是否相等或v－v与ghmn是否相等．
2．误差分析
(1)本实验的误差主要是由于纸带测量产生的偶然误差以及重物和纸带运动中的空气阻力及打点计时器的摩擦阻力引起的系统误差．
(2)测量时采取多次测量求平均值来减小偶然误差，安装打点计时器使两限位孔中线竖直，并且选择质量适当大些，体积尽量小些的重物来减小系统误差．
3．实验注意事项
(1)打点计时器安装要稳固，并使两限位孔在同一竖直线上，以减小摩擦阻力．
(2)应选用质量和密度较大的重物，增大重力可使阻力的影响相对减小，增大密度可以减小体积，可使空气阻力减小．
(3)实验时，应先接通电源，让打点计时器正常工作后再松开纸带让重物下落．
(4)本实验中的两种验证方法均不需要测重物的质量m.
(5)速度不能用v＝gt或v＝计算，应根据纸带上测得的数据计算瞬时速度．
例3 (1)从下列器材中选出做验证机械能守恒定律实验时所必需的器材，其编号为________．
A．打点计时器(包括纸带)
B．重物
C．天平
D．毫米刻度尺
E．秒表
F．运动小车
(2)打点计时器的安装放置要求为________；开始打点计时的时候，应先________，然后________．
(3)实验中产生系统误差的原因主要是________________，使重物获得的动能往往________．为减小误差，悬挂在纸带下的重物应选择________．
(4)如果以v2/2为纵轴，以h为横轴，根据实验数据绘出v2/2－h图线是________，该线的斜率等于________．
例4 在“验证机械能守恒定律”的实验中，某同学实验时，手总是抖动，找不出一条起始点迹清晰的纸带，该同学便选取一段纸带进行测量，如图1所示，A、B、C、D、E、F都是以2个计时点为1个计数点，其测量结果是AB＝4.53 cm，AC＝10.58 cm，AD＝18.17 cm，AE＝27.29 cm，AF＝37.94 cm.(频率为50 Hz)
图1
(1)若重锤质量为m，从B到E重力势能减少了多少？
(2)从B到E动能增加了多少？
(3)试对实验结果进行分析．
第2课时 实验：验证机械能守恒定律
课前准备区
1．机械能守恒定律的条件是：物体系统内只有重力或弹力做功．
2．自由落体运动只受重力，符合验证条件．
3．如图所示，由于纸带做匀加速运动，故有A、C之间的平均速度：
AC＝
根据速度公式有：vB＝vA＋aΔt，vC＝vB＋aΔt
故有：vB－vA＝vC－vB
即vB＝
从而vB＝AC.
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题延伸]
(1)重物下落的过程中，除受重力外，还要受空气阻力和打点计时器对纸带的摩擦力．安装打点计时器时注意保持竖直，重物要选择质量大一些的．
(2)为减小测量高度h值的相对误差，选取的各计数点要离起始点远一些．要从起始点开始测量出h1、h2，再求出Δh＝h2－h1.
(3)重锤应该选择质量大一些、体积小一些的，可以有效地减小空气阻力的影响．
(4)质量并非必须测量的量，在需要计算具体的能量数值时才需要测量．
例1 AB [本实验的原理就是利用重物的自由落体运动来验证机械能守恒定律．因此打点计时器所打的第一个点，重物运动的速度应为零．hn与vn分别表示打第n个点时重物下落的高度和对应的瞬时速度．
本实验中，不需要测量重物的质量．因为公式mgh＝mv2的两边都有m，故只要gh＝v2成立，mgh＝mv2就成立，机械能守恒定律也就被验证了．]
例2 E、I A JGBHDCF
解析 对于物理实验，掌握实验原理和操作方法是最基本的要求．只有掌握了实验原理，才能判断出实验步骤中哪些是错误的，哪些是必要的；只有亲自动手进行认真的操作，才能正确地对实验步骤按序排列．
上述实验步骤中错误的是E和I，因为实验中不需要测定时间，打点计时器应使用低压交流电源．可有可无的实验步骤是A.其余正确且必要的步骤按实验操作顺序排列是：JGBHDCF.
二、
例3 (1)ABD (2)底板要竖直 接通电源 放下重物 (3)纸带通过打点计时器时受到摩擦阻力 小于它所减少的重力势能 质量大一些的 (4)通过坐标原点的倾斜直线 重力加速度
解析 (1)选出的器材有：打点计时器(包括纸带)、重物、毫米刻度尺，编号分别为A、B、D.注意因mgh＝mv2，故m可约去，不需要用天平．
(2)打点计时器安装时，底板要竖直，这样才能使重物在自由落下时，受到的阻力较小．开始记录时，应先给打点计时器通电打点，然后再放下重物，让它带着纸带一同落下．
(3)产生系统误差的主要原因是纸带通过打点计时器时受到摩擦阻力，使重物获得的动能小于它所减少的重力势能．为减小误差，重物的质量应选大一些的．
(4)描绘出来的－h图线是一条通过坐标原点的倾斜直线，它的斜率即为重力加速度．
例4 见解析
解析 (1)由ΔEp＝mgΔh＝mg·BE＝m×9.8×(27.29－4.53)×10－2 m2/s2≈2.23m m2/s2.
(2)由匀变速运动的规律，有
vB＝AC＝＝ m/s≈1.32 m/s，
vE＝DF＝＝≈2.47 m/s，
又根据Ek＝mv2有EkB＝×m×1.322 m2/s2≈0.87m m2/s2，
EkE＝×m×2.472 m2/s2≈3.05m m2/s2，
故ΔEk＝EkE－EkB＝3.05m m2/s2－0.87m m2/s2＝2.18m m2/s2.
(3)动能增加量为2.18m m2/s2，重力势能减少量为2.23m m2/s2，动能增加量略小于重力势能减少量．
考虑实验误差，在实验误差允许的范围内，动能的增加量等于重力势能的减少量，即机械能守恒．
第2课时 实验：验证机械能守恒定律
1．本实验中，除铁架台、夹子、低压交流电源、纸带和重物外，还需选用的仪器是( )
A．秒表 B．刻度尺
C．天平 D．打点计时器
2．在“验证机械能守恒定律”的实验中
(1)不需测量或计算的物理量是( )
A．下落高度 B．瞬时速度
C．重物质量 D．时间
(2)由于打点计时器两限位孔不在同一竖直线上，使纸带通过时受到了较大的阻力，这样会导致实验结果mgh________mv2(选填“>”或“<”)．
3．在一次验证机械能守恒定律实验中，质量m＝1 kg 的重物自由下落，在纸带上打出一系列的点，如图1所示(打点间隔为0.02 s)，单位cm.那么
图1
(1)纸带的________端与重物相连；
(2)打点计时器打下计数点B时，物体的速度vB＝________；
(3)从起点O到打下计数点B的过程中重力势能减少量是ΔEp＝________.此过程中物体动能的增加量ΔEk＝________(g取9.8 m/s2)；
(4)通过计算，数值上ΔEp________ΔEk(填“>”、“＝”或“<”)，这是因为__________________________________；
(5)实验的结论是_____________________________________________________
________________________________________________________________________.
4．在验证机械能守恒定律的实验中，已知打点计时器打点间隔为T，某一组同学得到了一条如图2所示的纸带，在填写实验报告时甲、乙两个同学选择了不同的数据处理方法：
图2
甲同学测出了C点到第一点O的距离hOC，利用v＝2ghOC计算得到了C点的速度，然后验证mghOC与mv相等．
乙同学测出了A、B、C、D各点到第一点O的距离hA、hB、hC、hD，利用vB＝、vC＝计算B、C点的速度，然后验证了mg(hC－hB)与mv－mv是否相等．
请你对甲乙两位同学的做法逐一分析，不合理之处提出完善办法．
5．在用自由落体法验证机械能守恒定律的实验中，得到如图3所示的一条纸带．起始点O到A、B、C、D、E各点的距离分别为hA、hB、hC、hD、hE.如果重物的质量为m，打点计时器所用电源的频率为f，则在打B、D两点时，重物的速度vB＝________，vD＝________.如果选择起始点的位置为零势能参考点，则在打B、D两点时重物的机械能EB＝________，ED＝________，若EB________ED，则说明重物在下落过程中机械能守恒．
图3
6．在“验证机械能守恒定律”的实验中，利用重物拖着纸带自由下落通过打点计时器并打出一系列的点，对纸带上的点迹进行测量分析，即可验证机械能守恒定律．
(1)正确进行实验操作，从打出的纸带中选出符合要求的纸带，如图4所示．图中O点为打点起始点，且速度为零．
图4
选取纸带上打出的连续点，标上A、B、C……测得其中E、F、G点距打点起始点O的距离分别为h1、h2、h3.已知重物的质量为m，当地重力加速度为g，打点计时器的打点周期为T.为验证此实验过程中机械能是否守恒，需要计算出从打下O点到打下F点的过程中，重物重力势能的减少量ΔEp＝________，动能的增加量ΔEk＝________.(用题中所给字母表示)
(2)以各点到起始点的距离h为横坐标，以各点速度的平方v2为纵坐标建立直角坐标系，用实验测得的数据绘出v2－h图象，如图5所示：由v2－h图线求得重物下落的加速度g′＝________m/s2.(结果保留三位有效数字)
图5
7．在“验证机械能守恒定律”的实验中，已知打点计时器所用电源的频率为50 Hz，查得当地的重力加速度g＝9.80 m/s2，某同学选择了一条理想的纸带，用刻度尺测量时各计数点对应刻度尺上的读数如图6所示，图中O点是打点计时器打出的第一个点，A、B、C、D分别是每打两个点取出的计数点．根据以上数据，重物由O点运动到B点时，已知重物质量为m(kg)．求：
图6
(1)重力势能的减少量为多少？
(2)动能的增加量是多少？
(3)根据计算的数据可得出什么结论？产生误差的主要原因是什么？
第2课时 实验：验证机械能守恒定律
1．BD[ 测量下落高度需用刻度尺，打点计时器打出纸带并能标识时间，选B、D.]
2．(1)C (2)>
解析 (1)本实验需要验证mgh与mv2的关系，所以不需要测量重物质量m，C正确．
(2)重物在下落过程中克服阻力做功，使减小的重力势能不能完全转化为动能，所以mgh>mv2.
3．(1)O (2)0.98 m/s (3)0.49 J 0.48 J (4)> 重物和纸带下落时受到阻力作用 (5)在实验误差允许的范围内，重力势能的减少量等于动能的增加量
解析 (1)纸带释放时速度较小，打点较密，先打距重物近的一侧，故O端与重物相连．
(2)B点速度vB＝＝ cm/s＝0.98 m/s
(3)从O点到打B点，重力势能减少量
ΔEp＝mghB＝1×9.8×0.0501 J＝0.49 J
动能增加量mv＝0.48 J；
(4)由(3)中计算结果知ΔEp>ΔEk，因为重物和纸带下落时受到阻力作用；
(5)由(3)中计算结果可知，在实验误差允许的范围内，机械能守恒．
4．甲同学选择从O到C段验证机械能守恒，计算C点的速度用v＝2ghOC的话，犯了用机械能守恒定律去验证机械能守恒的错误．计算vC可以选择vC＝.
乙同学选择了从B到C段验证机械能守恒，由于BC较近，造成误差偏大，选择BD段相对较为合适．
5.·f ·f mf2(hC－hA)2－mghB
mf2(hE－hC)2－mghD ＝
解析 根据纸带上瞬时速度的计算方法，得vB＝＝·f，vD＝＝·f
打B点时，重物的动能和重力势能分别为
EkB＝mv＝m2
＝mf2(hC－hA)2
EpB＝－mghB.此时重物的机械能
EB＝EkB＋EpB＝mf2(hC－hA)2－mghB，同理
EkD＝mv＝mf2(hE－hC)2，
EpD＝－mghD，ED＝mf2(hE－hC)2－mghD
如果EB＝ED，则说明重物在下落过程中机械能守恒．
6．(1)mgh2 (2)9.71(9.64～9.77均可)
解析 (1)从打下O点到打下F点的过程中，重物重力势能的减少量
ΔEp＝mgh2，vF＝
动能的增加量
ΔEk＝mv＝.
(2)由mv2＝mg′h可得：v2＝2g′h，
由v2－h图线可求得：图线的斜率k＝19.42
由k＝2g′可得：物体下落的加速度
g′＝9.71 m/s2.
7．(1)1.91m J (2)1.86m J (3)见解析
解析 (1)重力势能的减少量为
ΔEp减＝mghOB＝m×9.8×0.195＝1.91m (J)
(2)重锤下落到B点时的速度
vB＝＝ m/s＝1.94 m/s
所以重锤从开始下落到B点增加的动能为
ΔEk增＝mv＝m×(1.94)2＝1.88m (J)
(3)从(1)(2)中计算的数据得出在实验误差允许的范围内重锤减少的重力势能等于其增加的动能，机械能守恒．
重锤减少的重力势能略大于其增加的动能的原因是：重锤在下落时要受到阻力作用(打点计时器对纸带的摩擦力，空气阻力)，克服阻力做功．
第6节 能源的开发与利用
[导学目标] 1.了解各种不同形式的能，知道能量守恒定律确立的两类重要事实.2.能够叙述能量守恒定律的内容，会用能量守恒的观点分析、解释一些实际问题.3.了解能源的开发和利用情况．
一、能量守恒定律
[问题情境]
1．在验证机械能守恒定律的实验中，重物带着纸带下落时，计算结果发现，减少的重力势能的值大于增加的动能的值，即机械能的总量在减少．原因就是存在纸带和打点计时器之间的摩擦力和空气的阻力等．是不是考虑了各种摩擦和阻力后这部分能量就消失了呢？
2．请说明下列现象中能量是如何转化的？
(1)植物进行光合作用．(2)放在火炉旁的冰融化变热．
(3)电流通过灯泡，灯泡发光．
[要点提炼]
1．内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式______为另一种形式，或者从一个物体______到另一个物体，在转化或转移的过程中其总量________．
2．几个重要的功能关系
(1)合外力所做的功或外力所做功的代数和等于物体或物体系__________——动能定理．
(2)除了重力和弹力外，其他力对物体系所做的功等于物体系__________——功能原理；
(3)重力或弹力对物体所做的功与重力势能或弹性势能的变化数值相等；
(4)两物体间滑动摩擦力对物体系所做的功与物体系增加的内能数值相等．
[即学即用]
1．质量为4 kg的物体被人由静止开始向上提升0.25 m 后速度达到1 m/s，则下列判断正确的是( )
A．人对物体传递的功是12 J
B．合外力对物体做功2 J
C．物体克服重力做功10 J
D．人对物体做的功等于物体增加的动能
图1
2．如图1所示，一个质量为m的物体(可视为质点)以某一速度由A点冲上倾角为30°的固定斜面，做匀减速直线运动，其加速度的大小为g，在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中，物体( )
A．机械能损失了mgh
B．重力势能增加了3mgh
C．动能损失了mgh
D．机械能损失了mgh
图2
3．如图2所示在光滑的水平面上，有一质量为M的长木块以一定的初速度向右匀速运动，将质量为m的小铁块无初速地轻放到木块右端，小铁块与木块间的动摩擦因数为μ，当小铁块在木块上相对木块滑动L时与木块保持相对静止，此时长木块对地的位移为l，求这个过程中
(1)系统产生的热量；
(2)小铁块增加的动能；
(3)木块减少的动能；
(4)系统机械能减少量．
二、能源的利用和新能源的开发
1．人类对能源的利用大致经历了三个时期，即______时期、______时期、______时期．自工业革命以来，____和______成为人类的主要能源．
2．__________和__________已经成为关系到人类社会能否持续发展的大问题．
3．燃料燃烧时一旦把自己的热量释放出去，就不会再次______聚集起来供人类重新利用．电池中的化学能转化为电能，电能又通过灯泡转化为内能和光能，热和光被其他物质吸收之后变成周围环境的内能，我们无法把这些内能收集起来重新利用．这种现象叫做能量的耗散．
4．能源开发
(1)有待开发和利用的新能源主要指太阳能、地热能、风能、水能、核能等．
(2)节约能源的办法有：采用高效锅炉，节约燃料；采用高温高压蒸汽轮机，提高热机效率；充分利用废气余热，提高燃料利用率；从能源直接得到电能，提高发电效率等等．
(3)在合理开发和节约使用煤、石油、天然气等常规能源的同时，要大力开发核聚变能、太阳能、风能、地热能、海洋能等新能源．
5．能源转化的途径
自然界的能量是守恒的，但有的能量不便于利用，因此人们要把不方便利用的能转化为方便利用的能．
能源的转化过程如下图
[即学即用]
4．各种形式的能都可以________，木柴燃烧发出热和光，在这个过程中是________能转化为______能和________能；水烧开时，锅盖在水蒸气的冲击下不停地跳动，这个过程是______能转化为______能．
5．人类使用的普通能源，如煤、石油、天然气、木柴，以及水力发电得到的能量，它们的根源是( )
A．太阳能 B．地球本身
C．内能 D．机械能
第6节 能源的开发与利用
课堂活动区
核心知识探究
一、
[问题情境]
1．它转化成了机械能外的其他形式的能量，除重力、弹力之类的力外，其他任何力对物体做功使物体的机械能增加或减少的过程，实质上都是其他形式的能与机械能相互转化的过程，在转化的过程中，能的总量是不变的．这是大自然的一条普遍的规律，而机械能守恒定律只是这一条普遍规律的一种特殊情况．
2．(1)光能转化为化学能．(2)内能由火炉转移到冰．(3)电能转化为光能．
[要点提炼]
1．转化 转移 保持不变
2．(1)动能的变化 (2)机械能的变化
[即学即用]
1．BC [人提升物体的过程中，人对物体做了功，对物体传递了能量，不能说人对物体传递了功，A错；人对物体做的功等于物体机械能的改变量，W人＝mgh＋mv2＝12 J，D错；合外力对物体做的功(包括重力)等于物体动能的变化，W合＝mv2＝2 J，B正确；物体克服重力做的功等于物体重力势能的增加量，WG＝mgh＝10 J，C正确．]
2．A [重力做了mgh的负功，重力势能增加了mgh，B错．由于物体沿斜面以加速度g做匀减速直线运动，由牛顿第二定律可知：mgsin 30°＋f＝mg，f＝mg.
摩擦力做功为：Wf＝－f·2h＝－mgh，
机械能损失了mgh，故A项正确，D错．
由动能定理得ΔEk＝－mgh－mgh＝－2mgh
即动能损失了2mgh，故C错．]
3．(1)μmgL (2)μmg(l－L) (3)μmgl (4)μmgL
解析 画出这一过程两物体位移示意图，如下图所示．
(1)m、M间相对滑动的位移为L，根据能量守恒定律，有Q＝μmgL，
即摩擦力对系统做的总功等于系统产生的热量．
(2)根据动能定理μmg(l－L)＝mv2－0，其中(l－L)为小铁块相对地面的位移，从上式可看出ΔEkm＝μmg(l－L)，说明摩擦力对小铁块做的正功等于小铁块动能的增量．
(3)摩擦力对长木块做负功，根据功能关系，得ΔEkM＝－μmgl，即长木块减少的动能等于长木块克服摩擦力做的功μmgl.
(4)系统机械能的减少量等于系统克服摩擦力做的功ΔEk＝μmgL
二、
1．柴草 煤炭 石油 煤 石油
2．能源短缺 环境恶化
3．自动
[即学即用]
4．相互转化 化学 内 光 内 机械
解析 能的种类多种多样，有太阳能、机械能、化学能、电能、光能、生物质能、内能、核能等．各种形式的能之间可以相互转化．
5．A
第6节 能源的开发与利用
一、选择题
1．关于功和能，下列说法中正确的是( )
A．功和能的单位相同，物理意义也相同
B．物体对外未做功，这个物体就不具有能量
C．物体对外做功多，这个物体具有的能量就多
D．功和能不能相互转化，是不同的两个物理量
2．关于能源的利用中，下列说法不正确的是( )
A．自然界的能量守恒，所以不需要节约能源
B．城市的工业和交通急剧发展，使得城市环境过多地接收了耗散的能量，使城市环境的温度升高．
C．煤炭和石油产品的燃烧会造成空气污染和温室效应
D．能量耗散表明能源的利用是有条件的，也是有代价的
3．将质量为m的小球在距地面高度为h处抛出．抛出时的速度大小为v0，小球落到地面时的速度大小为2v0.若小球受到的空气阻力不能忽略，则对于小球下落的整个过程，下面说法中正确的是( )
A．小球克服空气阻力做的功小于mgh
B．重力对小球做的功等于mgh
C．合外力对小球做的功小于mv
D．合外力对小球做的功等于mv
4．物体在平衡力作用下的运动中，物体的机械能、动能、重力势能有可能发生的变化是( )
A．机械能不变，动能不变
B．动能不变，重力势能可能变化
C．动能不变，重力势能一定变化
D．若重力势能变化，则机械能一定变化
5．如图1所示，A、B两球的质量相同，A球系在不可伸长的绳子上，B球固定在轻质弹簧上，把两球都拉到水平位置(绳和弹簧均拉直且为原长)，然后释放．当小球通过悬点O正下方的C点时，弹簧和绳子等长，则此时( )
图1
A．A、B两球的动能相等
B．A球重力势能的减少量大于B球重力势能的减少量
C．A球系统的机械能大于B球系统的机械能
D．A球的速度大于B球的速度
6．如图2所示，一块长木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物体A，现以恒定的外力拉B，由于A、B间摩擦力的作用，A将在B上滑动，以地面为参照物，A、B都向前移动了一段距离．在此过程中( )
图2
A．外力F做的功等于A和B动能的增量
B．B对A的摩擦力所做的功，等于A的动能增量
C．A对B的摩擦力所做的功，等于B对A的摩擦力所做的功
D．外力F对B做的功等于B的动能增量与B克服摩擦力所做的功之和
7．如图3所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上．其正上方A位置有一只小球．小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零．小球下降阶段，下列说法中正确的是( )
图3
A．在B位置小球动能最大
B．在C位置小球动能最大
C．从A→C位置小球重力势能的减少量等于小球动能的增加量
D．从A→D位置小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量
二、非选择题
图4
8．如图4所示，质量为m的自行车特技运动员从B点由静止出发，经BC圆弧，从C点竖直冲出，完成空翻，完成空翻的时间为t.由B到C的过程中，克服摩擦力做功为W.空气阻力忽略不计，重力加速度为g，试求：自行车运动员从B到C至少做多少功？
图5
9．如图5所示，皮带的速度是3 m/s，两圆心距离x＝4.5 m，现将m＝1 kg的小物体轻放在左轮正上方的皮带上，物体与皮带间的动摩擦因数μ＝0.15，电动机带动皮带将物体从左轮运送到右轮正上方时，求：
(1)小物体获得的动能Ek；
(2)这一过程摩擦产生的热量Q；
(3)这一过程电动机消耗的能量E是多少？
(g＝10 m/s2)
第6节 能源的开发与利用
1．D 2.A
3．AB [由题意可知，小球落地的速度比抛出时大，即从抛出到落地的过程中，动能变大了．根据动能定理W合＝ΔEk，则W合>0，即重力所做的功大于阻力所做的功．而这个过程中重力对小球做的功为WG＝mgh，所以A、B正确．从抛出到落地的过程中，合外力做的功等于小球动能的变化量，即W合＝m(2v0)2－mv＝mv>mv，故C、D均错．]
4．ABD [物体在平衡力作用下的运动只有匀速直线运动，动能一定不变，若在水平面内直线运动，重力势能不变，机械能也不变；若在竖直方向上或沿斜面直线运动，则动能不变，重力势能改变，机械能一定变化，综上所述，选项A、B、D均正确．]
5．D
6．BD [A物体所受的合外力等于B对A的摩擦力，对A物体运用动能定理，则有B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量，即B对．A对B的摩擦力与B对A的摩擦力是一对作用力与反作用力，大小相等，方向相反，但是由于A在B上滑动，A、B对地的位移不等，故二者做功不等，C错．对B应用动能定理，WF－Wf＝ΔEkB，即WF＝ΔEkB＋Wf就是外力F对B做的功，等于B的动能增量与B克服摩擦力所做的功之和，D对．由上述讨论知B克服摩擦力所做的功与A的动能增量(等于B对A的摩擦力所做的功)不等，故A错．]
7．B
8．W＋mg2t2
解析 自行车由C点冲出后做竖直上抛运动
上升高度等于下降高度h＝gt①
上、下时间相等t上＝t下＝②
由功能关系知，在从B到C再到D的过程中，自行车运动员做的功W人应当等于他克服摩擦力做的功W与增加的重力势能之和，W人＝W＋mgh③
联立①②③式得W人＝W＋mgh＝W＋mg2t2
9．(1)4.5 J (2)4.5 J (3)9 J
解析 (1)μmg＝ma，a＝1.5 m/s2
μmgx′＝mv2
所以x′＝3 m<4.5 m，即物体可与皮带达共同速度，Ek＝mv2＝×1×32 J＝4.5 J
(2)v＝at，t＝2 s
Q＝μmg(vt－x′)＝0.15×1×10×(6－3) J＝4.5 J
(3)E＝Ek＋Q＝4.5 J＋4.5 J＝9 J
第五章 经典力学的成就与局限性
第1节 经典力学的成就与局限性
第2节 了解相对论(选学)
[导学目标] 1.初步了解高速世界的两个基本原理.2.知道相对论对人类认识世界的影响，了解时间延缓效应和长度收缩效应，速质关系和质能关系及时空弯曲．
1．高速世界的两个基本原理
(1)相对性原理：在不同惯性系中，__________都是相同的．
相对性原理表明，在某个惯性系中，描述某个物理系统的某个物理过程的物理定律，在其他一切惯性系中对该系统过程作出描述的物理定律皆保持形式不变．
(2)光速不变原理：不管在哪个________中，测得的真空中的______都相同．
光速不变原理表明，在一切惯性系中观测在真空中传播的同一束光，不论沿任何方向，其速度大小都为c，与光源或观察者的运动无关．
2．时间延缓效应
时钟相对于观察者静止时，走得快；相对于观察者运动时，观察者会看到它______了，运动速度越快，效果越明显．即运动着的______要变慢．这个效应叫做时间延缓效应，时间延缓效应也称作时间膨胀．
3．长度收缩效应
一个物体相对于观察者静止时，它的长度测量值最大；相对于观察者运动时，观察者在运动方向上观测，它的长度要______，速度越大，缩得越短，即运动着的尺子要______．这种观测效应称为长度收缩效应(或运动尺子缩短)．
4．质速关系
在经典力学中，物体的质量与物体的______无关．但在相对论中，运动物体的质量随其______的变化而变化．
由质速关系可以看出，当物体(一般是粒子)的速度很大时，其运动时的质量明显大于静止时的质量．对于低速运动的物体，质量的变化完全可以忽略不计.
一、从低速到高速
1．低速
通常所见物体的运动皆为低速运动，如行驶的汽车、发射的导弹、人造卫星及宇宙飞船等．
2．高速
所谓高速，就是指物体运动的速度接近于真空中的光速，即c＝3×108 m/s.
3．两个假设
在经典力学中，v船岸＝v船水＋v水岸成立，但在两个不同参考系中，爱因斯坦认为该式不成立.1905年，爱因斯坦提出了两条基本假设(狭义相对论的基础)．
①狭义相对性原理：在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的．
②光速不变原理：真空中的光速在不同的惯性参考系中都是相同的．
4．速度对质量的影响
物体的质量随着运动速度的增大而增大．m＝，当v?c时，m≈m0.
5．速度对时间的影响
在静止参考系中的同一地点，经时间t0先后发生的两个事件，则在另一个以速度v匀速运动的参考系中测量时，发生这两个事件的时间间隔t不等于t0，而与速度v有关．v越接近c，t与t0相差越大．这一点同学们只要初步了解即可．
6．速度对空间的影响
在静止参考系中，物体从A点运动到B点的位移为L0，而在另一以速度v匀速运动的参考系中测量时，这个物体运动的位移为L，它不等于L0.v越接近c，L与L0相差越大．这一点也只要求同学们初步了解即可．
7．经典力学的时空观
时间和空间互不相干，它们的存在和测量均与物体的运动状态没有关系．
经典力学适用于做低速运动的物体．
例1 在粒子对撞机中，有一个电子经过高压加速，速度达到光速的0.5倍．试求此时电子的质量变为静止时的多少倍？
二、从宏观世界到微观世界
(1)宏观世界物体的运动特点
物体具有确定的运动轨迹，根据质点的运动规律，应用牛顿力学可以准确地预测质点在某时刻的位置．
(2)微观世界粒子的运动特点
就单个粒子来说，运动没有确定的运动轨迹，微观粒子既有粒子性，又有波动性．
经典力学适用于宏观物体．
例2 经典力学不能适合于下列哪些运动( )
A．火箭的发射
B．宇宙飞船绕地球的运动
C．“勇气号”宇宙探测器
D．微观粒子的波动性
三、从弱引力到强引力
1．弱引力与强引力
①每一个天体都有一个引力半径，其大小由天体的质量决定．
②当天体间的距离远大于引力半径时，它们之间的引力就属于弱引力．
③当天体间的距离远小于引力半径时，它们之间的引力就属于强引力．
④“引力半径”是爱因斯坦引力理论中天体间引力趋于无穷大时对应的天体(被压缩后)半径．
2．经典力学计算的行星轨道与行星实际轨道的矛盾
按牛顿的万有引力理论，行星应该沿着一些椭圆或圆做周期性运动，而天文观测表明，行星的轨道并不是严格闭合的，它们的近日点在不断地旋进，如水星的运动．实际观测到的水星的运动情况与爱因斯坦广义相对论的计算结果吻合得很好．
在弱引力的情况下，牛顿引力理论适用；在强引力的情况下，牛顿引力理论不再适用．
总结：时空是对物质的存在及运动的描述．其中，时间描述物质运动的持续性，空间描述物质存在的广延性．
①经典力学的时空观认为时间就其本质而言，是永远均匀地流逝，与任何外界无关．空间就其本质而言是与任何外界事物无关的，它从不运动，并且永远不变．也称为绝对时空观．
②相对论时空观认为时间和空间是相互联系、相互影响的，并且与物质的存在及运动密切相关．例如：
a．运动的时钟变慢；
b．运动的尺子变短；
c．物体的质量随速度的增大而增大．
经过严格的证明，物体有静止质量m0和运动的质量m，它们之间有如下关系：m＝
从上式可以看出，当物体(一般是粒子)的速度很大时，其运动时的质量明显大于静止时的质量．
例3
图1
地面上A、B两个事件同时发生．如图1所示，对于坐在火箭上沿两个事件发生地点AB连线飞行的人来说，哪个事件先发生？
例4 A、B、C是三个完全相同的时钟，A放在地面上，B、C分别放在两个火箭上，以速度vB和vC朝同一方向飞行，vB第五章 经典力学的成就与局限性
第1节 经典力学的成就与局限性
第2节 了解相对论(选学)
课前准备区
1．(1)一切物理规律 (2)惯性系 光速
2．变慢 时钟
3．缩短 缩短
4．速度 速度
课堂活动区
核心知识探究
例1 1.155倍
解析 由于电子的速度接近光速，所以质量变化明显，根据爱因斯坦狭义相对论中运动质量与静止质量的关系得m＝＝＝＝＝1.155m0.
二、从宏观世界到微观世界
(1)宏观世界物体的运动特点
物体具有确定的运动轨迹，根据质点的运动规律，应用牛顿力学可以准确地预测质点在某时刻的位置．
(2)微观世界粒子的运动特点
就单个粒子来说，运动没有确定的运动轨迹，微观粒子既有粒子性，又有波动性．
经典力学适用于宏观物体．
例2 D [经典力学适用于宏观、低速、弱引力等区域，故A、B、C都适用，而研究微观粒子的波动性时经典力学不再适用．]
例3 B事件先发生
解析 以地面为参考系，A、B两个事件同时发生，即如在A、B连线中点C放一时钟，将同时接收到来自A、B的信号．设想该时钟以与火箭相同的速度飞行，则先接收到来自B的信号，后接收到来自A的信号，即以火箭(或火箭上的人)为参考系，B事件先发生．
例4 C钟走得最慢，A钟走得最快．
解析
如右图所示，地面上的观察者认为C钟走得最慢，因为它相对于观察者的速度最大，相对于观察者的速度v越大，其上的时间进程越慢．地面钟v＝0，它所记录的两事件的时间间隔最大，即地面上的A钟走得最快．
第3节 初识量子论(选学)略
第五章 经典力学的成就与局限性
第1节 经典力学的成就与局限性
第2节 了解相对论(选学)
一、选择题
1．从爱因斯坦的狭义相对论来看，以下说法正确的是( )
A．宇宙中存在着全宇宙普适的同时性概念，且时间是能绝对定义的
B．宇宙中不存在全宇宙普适的同时性概念，但时间是能绝对定义的
C．宇宙中存在全宇宙普适的同时性概念，但时间是不能绝对定义的
D．宇宙中不存在全宇宙普适的同时性概念，且时间是不能绝对定义的
2．关于经典力学和相对论，下列说法正确的是( )
A．经典力学和相对论是各自独立的学说，互不相容
B．相对论是在否定了经典力学的基础上建立起来的
C．相对论和经典力学是两种不同的学说，二者没有联系
D．经典力学包含于相对论之中，经典力学是相对论的特例
3．经典力学适用于解决( )
A．宏观高速问题
B．微观低速问题
C．宏观低速问题
D．微观高速问题
4．下列哪些是“相对论”的内容( )
A．同时的绝对性
B．“尺缩效应”
C．时钟变慢
D．质量不变因为它是物体的固有属性，与运动状态无关
5．日常生活中，我们并没有发现物体的质量随着物体运动速度的变化而变化，其原因是( )
A．运动中物体的质量无法称量
B．物体的速度远小于光速，质量变化极小
C．物体的质量太大
D．物体的质量不随速度的变化而变化
6．19世纪和20世纪之交，经典物理已达到了完整、成熟的阶段，但“在物理学晴朗天空的远处还有两朵小小的、令人不安的乌云”，人们发现了经典物理学也有无法解释的实验事实．“两朵乌云”是指( )
A．宏观问题
B．高速问题
C．微观问题
D．低速问题
7．爱因斯坦提出了狭义相对论，狭义相对论的出发点是以两条基本假设为前提的，这两条基本假设是( )
A．同时的绝对性与同时的相对性
B．运动的时钟变慢与运动的尺子缩短
C．时间间隔的绝对性与空间距离的绝对性
D．相对性原理与光速不变原理
8．有关物体的质量与速度的关系的说法，正确的是( )
A．物体的质量与物体的运动速度无关
B．物体的质量随物体的运动速度增大而增大
C．物体的质量随物体的运动速度增大而减小
D．当物体的运动速度接近光速时，质量趋于零
9．两相同的米尺，分别静止于两个相对运动的惯性参考系S和S′中，若米尺都沿运动方向放置，则( )
A．S系的人认为S′系的米尺要短些
B．S′系的人认为S系的米尺要长些
C．两系的人认为两系的尺一样长
D．S系的人认为S′系的米尺要长些
10．世界上有各式各样的钟(如图2所示)：砂钟、电钟、机械钟、光钟和生物钟．既然运动可以使某一种钟变慢，它一定会使所有的钟都一样变慢，这种说法( )
图2
A．正确
B．错误
C．若变慢，则变慢的程度相同
D．若变慢，则与钟的种类有关系
11．一根10 m长的梭镖以相对论速度穿过一根10 m长的管子，它们的长度都是在静止状态下测量的．以下哪种叙述最好地描述了梭镖穿过管子的情况( )
A．梭镖收缩变短，因此在某些位置上，管子能完全遮住它
B．管子收缩变短，因此在某些位置上，梭镖从管子的两端伸出来
C．两者都收缩，且收缩量相等，因此在某个位置，管子恰好遮住梭镖
D．所有这些都与观察者的运动情况有关
二、非选择题
12．一列火车以速度v相对地面运动，如果地面上的人测得某光源发出的闪光同时到达车厢的前壁和后壁，那么按照火车上的人的测量，闪光先到达前壁还是后壁？火车上的人怎样解释自己的测量结果？
第五章 经典力学的成就与局限性
第1节 经典力学的成就与局限性
第2节 了解相对论(选学)
1．D 2.D 3.C 4.BC 5.B 6.BC 7.D 8.B 9.A 10.AC
11．D [如果你是在相对于管子静止的参考系中观察运动着的梭镖，那么梭镖看起来就比管子短，在某些位置梭镖会完全处在管子内部．然而当你和梭镖一起运动时，你看到的管子就缩短了，所以在某些位置，你可以看到梭镖两端都伸出管子．假如你在梭镖和管子之间运动，运动的速度是在梭镖运动的方向上，而大小是其一半；那么梭镖和管子都相对你运动，且速度的大小一样．你看到这两样东西都缩短了，且缩短的量相同．所以你看到的一切都是相对的——依赖于你所选的参考系．]
12．见解析
解析
火车上的人测得闪光先到达前壁．如右图所示，由于地面上的人测得闪光同时到达前后两壁，而在光向前后两壁传播的过程中，火车要相对于地面向前运动一段距离，所以光源发光的位置一定离前壁较近，这个事实对车上、车下的人都是一样的，在车上的人看来，既然发光点离前壁较近，各个方向的光速又是一样的，当然闪光先到达前壁．
章末总结
一、功和功能关系
功
牵引力做的功
功率P已知，用W＝Pt计算
恒力功
某个力或合力为恒力，用W＝Fxcos α计算该力或合力做的功
变力功
将变力“化为”恒力，用W＝Fxcos α计算变力功
功能
关系
合力做的功
W合＝ΔEk增
重力做的功
WG＝ΔEp减
除重力 (弹力)外其他
的合力做的功
W其＝ΔE机
守恒
定律
机械能守恒
ΔEk增＝ΔEp减，E1＝E2
能量守恒
ΔE1增＝ΔE2减
图1
例1 一小滑块放在图1所示的凹形斜面上，用力F沿斜面向下拉小滑块，小滑块沿斜面运动了一段距离．若已知在这一过程中，拉力F所做的功的大小(绝对值)为A，斜面对滑块的作用力所做的功的大小为B，重力做功的大小为C，空气阻力做功的大小为D.当用这些量表达时，小滑块的动能的改变量(指末态动能减去初态动能)等于________；滑块的重力势能的改变量等于________；滑块机械能(指动能与重力势能之和)的改变量等于________．
例2 一个质量为m的物体以a＝2g的加速度竖直向下运动，则在此物体下降h高度的过程中，物体的( )
A．重力势能减少了2mgh
B．动能增加了2mgh
C．机械能保持不变
D．机械能增加了mgh
二、功率
1．P＝，此式求出的是t时间内的平均功率，当然若功率一直不变，亦为瞬时功率．
2．P＝Fv·cos α，即功率等于力F、运动的速度v以及力和速度的夹角α的余弦的乘积．
当α＝0时，公式简化为P＝Fv.
3．机车以恒定功率启动或以恒定加速度启动：
(1)P＝Fv指的是牵引力的瞬时功率．
(2)依据P＝Fv及a＝讨论各相关量的变化，最终状态三个量的特点：P＝Pm，a＝0(F＝f)，v＝vm.
例3 质量为m＝4 000 kg的卡车，额定输出功率为P＝60 kW.当它从静止出发沿坡路前进时，每行驶100 m就升高5 m，所受阻力大小为车重的0.1倍，g取10 m/s2，试求：
(1)卡车能否保持牵引力为8 000 N不变在坡路上行驶？
(2)卡车在坡路上行驶时能达到的最大速度为多大？这时牵引力为多大？
(3)如果卡车用4 000 N的牵引力以12 m/s的初速度上坡，到达坡顶时速度为4 m/s，那么卡车在这一段路程中的最大功率为多少？平均功率是多少？
三、动能定理和机械能守恒定律
1．应用动能定理应该注意
(1)明确研究对象和研究过程，确定始、末状态的速度情况．
(2)对物体进行正确的受力分析(包括重力、弹力等)，弄清各力做功大小及功的正、负情况．
(3)有些力在运动过程中不是始终存在，物体运动状态、受力等情况均发生变化，则在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待，正确表示出总功．
(4)若物体运动过程中包含几个不同的子过程，解题时，可以分段考虑，也可视为一个整体过程，列出动能定理方程求解．
2．机械能守恒定律
(1)状态式
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，理解为物体(或系统)初状态的机械能与末状态的机械能相等．
(2)变量式
①ΔEk＝－ΔEp，表示动能与势能在相互转化的过程中，系统减少(或增加)的势能等于增加(或减少)的动能．
②ΔE增＝ΔE减，适用于系统，表示由A、B组成的系统，A部分机械能的增加量与B部分机械能的减少量相等．
例4 如图2所示，某滑板爱好者在离地h＝1.8 m 高的平台上滑行，水平离开A点后落在水平地面的B点，其水平位移x1＝3 m，着地时由于存在能量损失，着地后速度变为v＝4 m/s，并以此为初速度沿水平地面滑行x2＝8 m 后停止．已知人与滑板的总质量m＝60 kg.求：
图2
(1)人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小．
(2)人与滑板离开平台时的水平初速度．(空气阻力忽略不计，g取10 m/s2)
例5 某兴趣小组设计了如图3所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内(所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多)，底端与水平地面相切．弹射装置将一个小物体(可视为质点)以v0＝5 m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出．小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ＝0.3，不计其它机械能损失．已知ab段长L＝1.5 m，数字“0”的半径R＝0.2 m，小物体质量m＝0.01 kg，g＝10 m/s2.求：
图3
(1)小物体从p点抛出后的水平射程．
(2)小物体经过数字“0”的最高点时，管道对小物体作用力的大小和方向．
[即学即用]
1．把一个物体从粗糙斜面的底端匀加速拉到斜面顶端的过程中，下列说法不正确的是( )
A．拉力与摩擦力做功的代数和等于物体动能的增量
B．拉力、摩擦力和重力做功的代数和等于物体动能的增量
C．拉力、摩擦力、重力和支持力的合力做的功等于物体动能的增量
D．物体所受外力的合力做的功等于物体动能的增量
图4
2．质量为m的物体由固定在地面上的斜面顶端匀速滑到斜面底端，斜面倾角为θ，物体下滑速度为v，如图4所示，以下说法中正确的是( )
A．重力对物体做功的功率为mgvsin θ
B．重力对物体做功的功率为mgv
C．物体克服摩擦力做功的功率为mgvsin θ
D．物体克服摩擦力做功的功率为mgv
图5
3．静止在粗糙水平面上的物块A受方向始终水平向右、大小先后为F1、F2、F3的拉力作用做直线运动，t＝4 s时停下，其v－t图象如图5所示，已知物块A与水平面间的动摩擦因数处处相同，下列判断正确的是( )
A．全过程中拉力做的功等于物块克服摩擦力做的功
B．全过程中拉力做的功等于零
C．一定有F1＋F3＝2F2
D．有可能F1＋F3>2F2
图6
4．如图6所示，一小物块(可视为质点)从竖直平面上圆弧轨道顶点A由静止开始下滑，滑出圆轨道最低点B后恰好做平抛运动，而后落在水平地面上的D点，已知小物块质量m＝0.1 kg，圆弧轨道半径R＝1 m，BC高度h＝1.8 m，CD＝2.4 m，g取10 m/s2，问：
(1)在轨道AB上，小物块克服摩擦力做了多少功？
(2)飞离B点前的瞬间，小物块对轨道的压力多大？
5.
图7
如图7所示，四分之一圆轨道OA与水平轨道AB相切，它们与另一水平轨道CD在同一竖直面内，圆轨道OA的半径R＝0.45 m，水平轨道AB长x1＝3 m，OA与AB均光滑．一滑块从O点由静止释放，当滑块经过A点时，静止在CD上的小车在F＝1.6 N的水平恒力作用下启动，运动一段时间后撤去力F.当小车在CD上运动了x2＝3.28 m时速度v＝2.4 m/s，此时滑块恰好落入小车中．已知小车质量M＝0.2 kg，与CD间的动摩擦因数μ＝0.4.(g取10 m/s2)求：
(1)恒力F的作用时间t；
(2)AB与CD的高度差h.
章末总结
知识体系区
力的方向上发生的位移 能量转化 标量 比值 平均 瞬时 Ep1－Ep2 Ek2－Ek1
课堂活动区
例1 A－B＋C－D －C A－B－D
解析 根据动能定理，动能的改变量等于外力做功的代数和，其中做负功的有空气阻力和斜面对滑块的作用力的功(因弹力不做功，实际上为摩擦阻力做的功)，因此ΔEk＝A－B＋C－D；重力势能的改变量等于重力做功的负值，因此ΔEp＝－C；滑块机械能的改变量等于重力之外的其他力做功的代数和，因此ΔE＝A－B－D.
例2 BD [物体下降h高度，重力做正功，重力势能减少了mgh；由牛顿第二定律知物体所受合外力大小为2mg，方向向下，则物体下落h过程中合外力做功为2mgh，由动能定理知物体动能增加了2mgh；物体以a＝2g的加速度向下运动，除了受重力之外，还受其他力，故机械能不守恒；机械能为重力势能与动能之和，故机械能增加了mgh.]
例3 (1)不能 (2)10 m/s 6 000 N
(3)48 kW 32 kW
解析 汽车能否保持牵引力为8 000 N上坡要考虑两点：第一，牵引力是否大于阻力？第二，汽车若一直加速，其功率是否将超过额定功率，依据P＝F·v求解．
分析汽车上坡过程中的受力情况如图所示：牵引力F，重力mg＝4×104 N，f＝kmg＝4×103 N，支持力N，依题意sin θ＝.
(1)汽车上坡时，若F＝8 000 N，而f＋mgsin θ＝4×103 N＋4×104× N＝6×103 N，即F>f＋mgsin θ，汽车将加速上坡，速度不断增大，其输出功率P＝Fv也不断增大，长时间后，将超过其额定输出功率，所以，汽车不能保持牵引力为8 000 N不变上坡．
(2)汽车上坡时，速度越来越大，必须不断减小牵引力保证输出功率不超过额定输出功率，当牵引力为F1＝f＋mgsin θ时，汽车加速度为零，速度达到最大值，设为vmax，则
P＝F1v＝(f＋mgsin θ)vmax，
vmax＝＝ m/s＝10 m/s，
这时牵引力F1＝f＋mgsin θ＝6×103 N.
(3)若牵引力为F2＝4 000 N，汽车上坡时，速度不断减小，所以，最初的功率即为最大功率．
P＝F2v＝4 000×12 W＝4.8×104 W.
整个过程中，平均功率为
＝F2＝4 000× W＝3.2×104 W.
例4 (1)60 N (2)5 m/s
解析 (1)设人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力为f，根据动能定理有
－fx2＝0－mv2①
由①式解得f＝＝ N＝60 N②
(2)人和滑板一起在空中做平抛运动，设离开平台时的水平初速度为v0，飞行时间为t，根据平抛运动规律有
h＝gt2③
x1＝v0t④
由③④两式解得
v0＝＝ m/s＝5 m/s⑤
例5 (1)0.8 m (2)0.3 N 竖直向下
解析 (1)设小物体运动到p点时的速度大小为v，则小物体由a运动到p的过程应用动能定理得
－μmgL－2mgR＝mv2－mv①
小物体自p点做平抛运动，设运动时间为t，水平射程为x，则
2R＝gt2②
x＝vt③
联立①②③式，代入数据解得
x＝0.8 m④
(2)设在数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为F，取竖直向下为正方向
F＋mg＝⑤
联立①⑤式，代入数据解得F＝0.3 N，方向竖直向下．
[即学即用]
1．A [物体从粗糙斜面底端被匀加速拉到顶端的过程中，受拉力、重力、支持力、摩擦力，其中拉力做正功，重力做负功，支持力不做功，摩擦力做负功，根据动能定理，合力做的总功(或各力做功的代数和)等于物体动能的增量，所以说法不正确的只有A.]
2．AC [物体沿斜面匀速下滑，说明沿斜面方向的摩擦力f＝mgsin θ，根据功率公式P＝Fvcos α(式中α是F与v的夹角)，则重力对物体做功的功率PG＝mgvcos (90°－θ)＝mgvsin θ，A对，B错；物体克服摩擦力做功的功率Pf＝fv＝mgvsin θ，C对，D错．]
3．AC [由动能定理知，A正确，B错误；第1 s内F1－μmg＝ma,1 s末至3 s末，F2＝μmg，第4 s内μmg－F3＝ma，所以F1＋F3＝2F2，故C正确，D错误．]
4．(1)0.2 J (2)2.6 N
解析 (1)设从B到D所用时间为t，
由h＝gt2，得t＝ ＝ s＝0.6 s
水平方向CD＝vBt，
故B点速度为vB＝＝ m/s＝4 m/s，
从A到B，由动能定理得mgR－Wf＝mv，
解得小物块克服摩擦力做功Wf＝0.2 J.
(2)在B点，合力提供向心力，N－mg＝m，解得支持力N＝2.6 N，
根据牛顿第三定律知，压力N′＝2.6 N.
5．(1)1 s (2)0.8 m
解析 (1)小车受恒力F作用时加速度为a1，则由牛顿第二定律得
F－μMg＝Ma1①
经时间t，小车速度v1＝a1t②
设撤去恒力F到小车速度为2.4 m/s时的时间为t2，则
μMg＝Ma2③
v＝a1t－a2t2④
x2＝a1t2＋v1t2－a2t⑤
代入数据，解①②③④⑤得t＝1 s，t2＝0.4 s
(2)滑块从O滑至A时机械能守恒，设到A时速度为v2，
则mgR＝mv⑥
设滑块从A到B所用时间为t3，则t3＝⑦
代入数据，解⑥⑦得t3＝1 s，由题意设滑块从B点平抛到落入小车的时间为t4，则
t4＋t3＝t＋t2⑧
则t4＝0.4 s
由平抛运动规律知：h＝gt＝0.8 m
