广州市华附2023-2024学年高三上学期开学测试
数学参考答案
单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C D B C C B
7：解：由二项式定理，，，时，时，故选C
8：解：令，则
下证对任意的有：
令，则只需比较的大小
显然，令
单调递减，且
时，时
在单调递增，在单调递减
若，有，且至多有一个不变号零点，单调递减，与矛盾
若，有，且至多有一个不变号零点，单调递增，与矛盾
多选题
题号 9 10 11 12
答案 CD ACD AC BCD
填空题
题号 13 14 15 16
答案 （答案不唯一）
解答题
17：解：（1）
，三点共线
（2）设，则
解得
18：解：（1）∵四边形是正方形，
∴．
又∵平面平面，平面平面，
且平面
∴平面．
（2）由，得，
∴．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，，．
设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为．
则，令，则，
∴．
，令，则，
∴，
∴．
∴平面与平面夹角的余弦值为．
19：解：（1）由正弦定理，
由余弦定理
（2）
由，
20：解：（1）由题意知在上有极小值，
则在有解，
故，设，
显然在单调递增，
又，，所以.
当时，在单调递增，
又，，由零点存在定理可知，且，
此时当时，，当时，，
所以在上单调递减，
在上单调递增，故在上有极小值点.
因此实数的取值范围.
（2）由题得，
在 上小于，在 上大于
最小值为
只需证明
即
即
，该式子显然成立
21：解：（1）设，由题得，
（2）联立与，有
22：解：（1）
累加得时同样满足条件
（2）设
设，上式=
，
设，求导可知
原不等式得证
（3）设每次乘坐到新列车的概率为，还未乘坐过列，则，则所尝试坐上新列车的次数期望是，累加得广州市华附2023-2024学年高三上学期开学测试
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号和座位号填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在问卷上则答案无效。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的。
1.复数，则的辐角主值为（ ）
A. B. C. D.
2.设集合，则的子集数量是
A. B. C. D.
3.椭圆的两焦点分别为 ,是椭圆上
一点，当的面积取得最大值时，（ ）.
A. B. C. D.
4. 展开式中项的系数是
A. B. C. D.
5.以下什么物体能被放进底面半径为，高为的圆柱中
A. 底面半径为，母线长为的圆锥 B. 底面半径为，高为的圆柱
C. 边长为的立方体 D. 底面积为，高为的直三棱柱
6.有下列一组数据：，则这组数据的第百分位数是（ ）
A. B. C. D.
7.设数列 的通项公式为，其前n项和为，则使的最小n是（ ）
A. B. C. D.
8.，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，漏选得2分，有选错或未选的得0分。
9.下列式子中最小值是的是（ ）
A. B. C. D.
10.，若将图象向左平移个单位长度后在上有且只有两个零点，则的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知正方形中，，是平面外一点.设直线与平面所成角
为，设三棱锥的体积为,则下列命题正确的是（ ）
A.若，则的最大值是 B.若，则的最大值是
C.若，则的最大值是 D. 若，则的最大值是
12.在本场考试中，多选题可能有个或个正确的选项，全部选对得分，漏选得分，有选错或未选的得分。如果你因完全不会做某道题目而必须随机选择项选项，设该题恰有两个正确选项的概率为，你的得分为随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A.若随机选择两项，则存在使 B.无论为多少，随机选择一项总能使最大 C.若则随机选择两项比随机选择三项更优D.若随机选择三项，则存在使
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设随机变量，则_____
14.直线与圆和椭圆同时相切，请写出一条符合条件的的方程
15.底面是面积为的等边三角形的三棱锥的表面积是，则其体积的最大值是_____
16.有8个不同的小球从左到右排成一排，从中拿出至少一个球且不能同时拿出相邻的两个球的方案数量是_____
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）
向量与能作为平面向量的一组基底.
(1).若，， ，证明三点共线
(2).若与共线，求的值
18.（12分）如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，
(1).求证：平面
(2).求平面与平面的夹角的余弦值
19.（12分）
在中，分别为的对边，
(1).证明
(2).求的取值范围
20. （12分）
已知函数
(1).当时，函数在上有极小值，求实数的取值范围
(2).若，，证明
21.（12分）
已知椭圆的两焦点分别为 ,是椭圆上
一点，当时，的面积为.
(1).求椭圆的方程
(2).直线与椭圆交于两点，线段的中点为，过作垂直轴的直线在第二象限交椭圆于点，过作椭圆的切线，的斜率为，求的取值范围
22.（12分）
记数列的前项和为，且满足
1.求数列的通项公式
2.数列满足，证明对任意，
3.某铁道线上共有列列车运行，且每次乘坐到任意一列列车的概率相等，设随机变量为恰好乘坐一次全部列车所乘坐的次数，试估算的值（结果保留整数）
参考数据：，，
