6.1幂函数 讲义（含答案）

编号：032 课题:§6.1 幂函数
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解幂函数的概念；
2.掌握常见幂函数的图象和性质；
3.理解并掌握幂函数性质的综合应用．
本节重点难点
重点：幂函数的图象和性质；
难点：幂函数性质的综合应用．
学科素养目标
指数函数、对数函数、幂函数是与现实世界的密切联系的函数模型，是体验函数模型运用过程和方法的重要载体．通过学习，进一步体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系．
在学习基本初等函数I及其应用的过程中，要通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质，了解并掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质；知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．
通过函数的应用，了解函数与方程之间的关系，体会二分法求一些简单方程的近似解的方法，尽管这个解也许不准确，但可以通过有效的方法控制精确度；通过数据拟合，体会到现代信息技术是数学课程的一个重要部分；会利用函数知识分析问题、解决问题，能准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具，逐步形成利用运动、变化的观点观察事物的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学表达、交流的能力，进一步培养学生的创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力．
教学过程赏析
基础知识积累
1.幂函数的概念
一般地,我们把形如____________的函数称为幂函数,其中______是自变量,_______是常数.
2.常见幂函数的图象与性质
解析式 y=x y=x2 y=x3
图象
定义域 R R R ___________ ___________
值域 R ___________ R ___________ ___________
奇偶性 ______函数 ______函数 ______函数 _______函数 __________ 函数
解析式 y=x y=x2 y=x3
增区间 ________ ________ ________ 无 ________
减区间 无 ________ 无 ________，_ _________ 无
定点 幂函数的图象均过定点________
(1)本质:幂函数的图象是函数的图形表示,幂函数的性质是根据函数图象总结得到的.
(2)应用:①求定义域;②求值域;③比较大小;④求单调区间.
【思考】
在区间(0,+∞)上,幂函数有怎样的单调性
【课前小题演练】
题1. 已知幂函数f(x)的图象过点(100，10)，则幂函数f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x2
C．f(x)＝(x≥0) D．f(x)＝x－1(x≠0)
题2．已知点在幂函数f(x)＝(t－2)xα的图象上，则t＋α＝(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
题3．函数y＝x的图象是(　　)
题4．函数f(x)＝(6－x－x2)的单调递减区间为(　　)
A． B．
C． D．
题5．如图，曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，三个值，则对应曲线C1，C2，C3的n值依次为(　　)
A．－2，，2 B．2，，－2
C．－2，2， D．2，－2，
题6．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)
A.nC．n>m>0 D．m>n>0
题7（多选题）．已知幂函数f(x)的图象过点，则关于f(x)的说法正确的是(　　)
A．为偶函数
B．在(0，＋∞)上是增函数
C．在(0，＋∞)上是减函数
D．为奇函数
题8（多选题）．已知幂函数y＝xα(α∈R)的图象过点(2，8)，下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝xα的图象过原点
B．函数y＝xα是偶函数
C．函数y＝xα是单调减函数
D．函数y＝xα的值域为R
题9．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
题10．已知幂函数f(x)＝mxn＋k的图象过点，则m－2n＋3k＝________．
题11．已知幂函数f(x)＝x (－2①在区间(0，＋∞)上单调递增；
②对任意的x∈R，都有f(－x)－f(x)＝0.
求幂函数f(x)的解析式，并求当x∈时，f(x)的值域．
【课堂检测达标】
题12．已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)A．[－1，3] B．
C．[－1，0) D．
题13．若幂函数f(x)的图象过点，则函数y＝f－2的最大值为(　　)
A．　　　B．－　　　C．－　　　D．－1
题14（多选题）．下列说法正确的是(　　)
A．若幂函数的图象经过点，则解析式为y＝x－3
B．若函数f(x)＝x，则f(x)在区间上单调递减
C．幂函数y＝xα(α>0)始终经过点和
D．若函数f(x)＝，则对于任意的x1，x2∈　[0，＋∞)，有≤f
题15（多选题）．下列函数中，其定义域和值域相同的函数是(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
题16．已知幂函数f(x)＝xα在[0，＋∞)上是增函数，该幂函数的图象关于y轴对称，且满足f>，请写出一个满足条件的α的值________．
题17．已知函数f(x)＝x－x (x>0)，则满足f(3－n)>0的n的取值范围是__________．
题18．已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
题19．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)＜(3－2a)的a的取值范围．
【综合突破拔高】
题20．在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x中，是幂函数的是(　　)
A．①②④⑤ B．③④⑥
C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
题21．函数y＝x的图象是(　　)
题22．下列函数中在其定义域内是单调函数的是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝x－2
题23．已知函数f(x)＝是幂函数，对任意x1，x2∈且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f＋f的值(　　)
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
题24．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　)
题25．设 ，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．ac>a
题26（多选题）．下列不等式在aA． B．
C． D．
题27．比较大小：.
题28．已知幂函数f(x)的图象经过点(9，3)，则函数f(x)＝________，若f(a)f(b)＝3，则式子a＋2b的最小值是________．
题29．函数y＝的图象关于y轴对称，且在是减函数，求整数m的值．
题30．幂函数f(x)，g(x)的图象分别经过点和，求不等式f(x)≥g(x)的解集．
编号：032 课题:§6.1 幂函数
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解幂函数的概念；
2.掌握常见幂函数的图象和性质；
3.理解并掌握幂函数性质的综合应用．
本节重点难点
重点：幂函数的图象和性质；
难点：幂函数性质的综合应用．
学科素养目标
指数函数、对数函数、幂函数是与现实世界的密切联系的函数模型，是体验函数模型运用过程和方法的重要载体．通过学习，进一步体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系．
在学习基本初等函数I及其应用的过程中，要通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质，了解并掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质；知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．
通过函数的应用，了解函数与方程之间的关系，体会二分法求一些简单方程的近似解的方法，尽管这个解也许不准确，但可以通过有效的方法控制精确度；通过数据拟合，体会到现代信息技术是数学课程的一个重要部分；会利用函数知识分析问题、解决问题，能准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具，逐步形成利用运动、变化的观点观察事物的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学表达、交流的能力，进一步培养学生的创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力．
教学过程赏析
基础知识积累
1.幂函数的概念
一般地,我们把形如____的函数称为幂函数,其中__是自变量,___是常数.
2.常见幂函数的图象与性质
解析式 y=x y=x2 y=x3
图象
定义域 R R R _{x|x≠0}_ __[0,+∞)__
值域 R __[0,+∞)_ R _{y|y≠0}_ __[0,+∞)__
奇偶性 _ 奇__函数 __偶_函数 __奇_函数 _奇__函数 __非奇非偶_ 函数
解析式 y=x y=x2 y=x3
增区间 __ __[0,+∞)_ __ 无 __[0,+∞)__
减区间 无 __(-∞,0)__ 无 __(-∞,0)，_ __(0,+∞)__ 无
定点 幂函数的图象均过定点__(1,1)_
(1)本质:幂函数的图象是函数的图形表示,幂函数的性质是根据函数图象总结得到的.
(2)应用:①求定义域;②求值域;③比较大小;④求单调区间.
【思考】
在区间(0,+∞)上,幂函数有怎样的单调性
提示:幂函数在区间(0,+∞)上,当时, 是增函数;当时, 是减函数.
【课前小题演练】
题1. 已知幂函数f(x)的图象过点(100，10)，则幂函数f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x2
C．f(x)＝(x≥0) D．f(x)＝x－1(x≠0)
【解析】选C.设幂函数f(x)＝xα，代入点(100，10)，则100α＝10，解得α＝，所以f(x)＝x＝(x≥0).
题2．已知点在幂函数f(x)＝(t－2)xα的图象上，则t＋α＝(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
【解析】选B.由幂函数的定义可知t－2＝1，所以t＝3，又点在f(x)＝(t－2)xα的图象上，所以＝27，
所以α＝－3，所以t＋α＝0.
题3．函数y＝x的图象是(　　)
【解析】选A.由幂函数y＝x可知：y＝x是定义域为R的偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，且当x>1时，函数值增长的比较快．
题4．函数f(x)＝(6－x－x2)的单调递减区间为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选A.f(x)＝＝，
由6－x－x2≥0得－3≤x≤2，
又6－x－x2＝－2＋，
所以函数f(x)的单调递减区间为.
题5．如图，曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，三个值，则对应曲线C1，C2，C3的n值依次为(　　)
A．－2，，2 B．2，，－2
C．－2，2， D．2，－2，
【解析】选B.函数y＝x－2，y＝x2，y＝x中令x＝4得到的函数值依次为，16，2，函数值由大到小对应的解析式为y＝x2，y＝x，y＝x－2，因此相应于曲线C1，C2，C3的n值依次为2，，－2.
题6．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)
A.nC．n>m>0 D．m>n>0
【解析】选A.由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.
取x＝2，则有2m>2n，得m>n，故n题7（多选题）．已知幂函数f(x)的图象过点，则关于f(x)的说法正确的是(　　)
A．为偶函数
B．在(0，＋∞)上是增函数
C．在(0，＋∞)上是减函数
D．为奇函数
【解析】选AC.设幂函数为f(x)＝xα，代入点，即2α＝，
所以α＝－2，f(x)＝x－2，定义域为∪，为偶函数且在上是减函数．
题8（多选题）．已知幂函数y＝xα(α∈R)的图象过点(2，8)，下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝xα的图象过原点
B．函数y＝xα是偶函数
C．函数y＝xα是单调减函数
D．函数y＝xα的值域为R
【解析】选AD.因为幂函数y＝xα的图象过点(2，8)，
所以2α＝8，解得α＝3，
所以幂函数为y＝x3；
所以幂函数y＝x3的图象过原点，A正确；
且幂函数y＝x3是定义域R上的奇函数，B错误；
幂函数y＝x3是定义域R上的增函数，C错误；
幂函数y＝x3的值域是R，所以D正确．
题9．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．
【解析】因为0＜2.4＜2.5，而2.4α>2.5α，
所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，故α＜0.
答案：(－∞，0)
题10．已知幂函数f(x)＝mxn＋k的图象过点，则m－2n＋3k＝________．
【解析】因为f(x)是幂函数，所以m＝1，k＝0，又f(x)的图象过点，
所以n＝，解得n＝，所以m－2n＋3k＝0.
答案：0
题11．已知幂函数f(x)＝x (－2①在区间(0，＋∞)上单调递增；
②对任意的x∈R，都有f(－x)－f(x)＝0.
求幂函数f(x)的解析式，并求当x∈时，f(x)的值域．
【解析】因为函数在上单调递增，
所以－m2－2m＋3>0，解得：－3因为－2又因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，
所以－m2－2m＋3为偶数．
当m＝－1时，－m2－2m＋3＝4满足题意，
当m＝0时，－m2－2m＋3＝3不满足题意，
所以f(x)＝x4，所以f(x)在上递增，
所以f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f(4)＝256，
所以值域是.
【课堂检测达标】
题12．已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)A．[－1，3] B．
C．[－1，0) D．
【解析】选B.因为幂函数f(x)＝x，所以函数在定义域[0，＋∞)上单调递增，
因为f(a＋1)题13．若幂函数f(x)的图象过点，则函数y＝f－2的最大值为(　　)
A．　　　B．－　　　C．－　　　D．－1
【解析】选C.设幂函数f(x)＝xα，α∈R，因为函数f(x)的图象过点，
所以27α＝33α＝3＝3，所以α＝，故f(x)＝，所以f－2＝－x.
令＝t，所以x＝1＋t2，则y＝t－＝－2－，所以当t＝时，ymax＝－.
题14（多选题）．下列说法正确的是(　　)
A．若幂函数的图象经过点，则解析式为y＝x－3
B．若函数f(x)＝x，则f(x)在区间上单调递减
C．幂函数y＝xα(α>0)始终经过点和
D．若函数f(x)＝，则对于任意的x1，x2∈　[0，＋∞)，有≤f
【解析】选CD.若幂函数的图象经过点，则解析式为y＝x，故A错误；
函数f(x)＝x是偶函数且在上单调递减，故在上单调递增，B错误；
幂函数y＝xα(α>0)始终经过点和，C正确；
任意的x1，x2∈[0，＋∞)，要证≤f，即≤，即≤，即2≥0，易知成立，故D正确．
题15（多选题）．下列函数中，其定义域和值域相同的函数是(　　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
【解析】选ABC.A中y＝x＝，定义域、值域都为R；B中y＝x＝定义域与值域都为(0，＋∞)；
C中y＝x的定义域、值域也为R；
D中y＝x＝定义域为R，而值域为[0，＋∞).
题16．已知幂函数f(x)＝xα在[0，＋∞)上是增函数，该幂函数的图象关于y轴对称，且满足f>，请写出一个满足条件的α的值________．
【解析】因为幂函数y＝f(x)＝xα在[0，＋∞)上是严格增函数，所以根据幂函数的图象与性质可得α>0，因为f>，所以α>，即α<1，因为幂函数的图象关于y轴对称，所以幂函数f(x)＝xα是偶函数，所以当α＝时，满足条件．
答案：(答案不唯一)
题17．已知函数f(x)＝x－x (x>0)，则满足f(3－n)>0的n的取值范围是__________．
【解析】函数g(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，函数t(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)＝g(x)＋t(x)＝x－x在(0，＋∞)上单调递减．又f(1)＝0，所以满足f(3－n)>0的n的取值范围是0<3－n<1，即2答案：(2，3)
题18．已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
【解析】因为幂函数f(x)经过点(2，)，
所以＝2，即2＝2.
所以m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.
又因为m∈N*，所以m＝1.
所以f(x)＝x，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f(2－a)>f(a－1)，
得解得1≤a＜.
所以a的取值范围为.
题19．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)＜(3－2a)的a的取值范围．
【思路导引】根据函数的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减及m∈N*求出m的值，代入不等式解不等式即可，解不等式时注意幂函数的定义域．
【解析】因为函数在(0，＋∞)上单调递减，
所以3m－9＜0，解得m＜3.
又因为m∈N*，所以m＝1，2.
因为函数的图象关于y轴对称，
所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为(a＋1) ＜(3－2a)，
因为y＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a，解得＜a＜或a＜－1.
故a的取值范围是.
【综合突破拔高】
题20．在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x中，是幂函数的是(　　)
A．①②④⑤ B．③④⑥
C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
【解析】选C.幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是幂函数；③底数是常数，变量x在指数位置，故不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数，所以只有①②⑥是幂函数．
题21．函数y＝x的图象是(　　)
【解析】选B.因为函数y＝x是幂函数，幂函数在第一象限内恒过点(1，1)，排除A，D.当x>1，0＜α＜1时，y＝xα在直线y＝x下方，排除C.
题22．下列函数中在其定义域内是单调函数的是(　　)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝x－2
【解析】选B.对于A选项，函数的定义域为R，在上单调递减，在上单调递增，故错误；
对于B选项，函数的定义域为，在上单调递增，满足条件；
对于C选项，函数的定义域为∪，在定义域内不具有单调性，在和上单调递减，故错误；对于D选项，函数的定义域为∪，在定义域内不具有单调性，在上单调递增，在上单调递减，故错误．
题23．已知函数f(x)＝是幂函数，对任意x1，x2∈且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f＋f的值(　　)
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【解析】选A.因为函数f(x)＝是幂函数，所以m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝3.因为对任意x1，x2∈，且x1≠x2，满足>0，所以函数f(x)为增函数，所以m2－6>0，所以m＝3(m＝－2舍去)，所以f(x)＝x3为增函数．对任意a，b∈R，且a＋b>0，则a>－b，所以f>f＝－f，所以f＋f>0.
题24．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　　)
【解析】选C.选项A中，幂函数的指数a＜0，则直线y＝ax－应为减函数，A错误；
选项B中，幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－应为增函数，B错误；
选项D中，幂函数的指数a＜0，则－>0，直线y＝ax－在y轴上的截距为正，D错误．
题25．设 ，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．ac>a
【解析】选C.因为，又函数单调递增，且，所以a题26（多选题）．下列不等式在aA． B．
C． D．
【解析】选ABC.分别构造函数 ，其中函数y＝x－1，y＝x2在(－∞，0)上单调递减，而在(－∞，0)上单调递增，故D不成立，其余都成立．
题27．比较大小：.
【解析】因为为(0，＋∞)上的减函数，且＜，所以.
答案：>
题28．已知幂函数f(x)的图象经过点(9，3)，则函数f(x)＝________，若f(a)f(b)＝3，则式子a＋2b的最小值是________．
【解析】设幂函数f(x)＝xα，因为函数的图象过点(9，3)，所以f(9)＝9α＝3，解得α＝，所以f(x)＝x，又f(a)f(b)＝3，所以ab＝3且a>0，b>0，即ab＝9，所以a＋2b≥2＝6，当且仅当a＝2b，即a＝3，b＝时取等号，所以a＋2b的最小值是6.
答案：x　6
题29．函数y＝的图象关于y轴对称，且在是减函数，求整数m的值．
【解析】因为函数y＝在是减函数，所以m2－2m－3<0，解得－1因为m∈Z，所以当m＝0时y＝x－3是奇函数，不符合题意；
当m＝1时y＝x－4是偶函数，符合题意；
当m＝2时y＝x－3是奇函数，不符合题意，故整数m的值是1.
题30．幂函数f(x)，g(x)的图象分别经过点和，求不等式f(x)≥g(x)的解集．
【解析】设f(x)＝xa，g(x)＝xb，则f＝3a＝9，可得a＝2，所以f(x)＝x2.
g＝32b＝25b＝8，所以5b＝3，解得b＝，所以g(x)＝x＝.
①当x≤0时，f(x)＝x2≥0，g(x)＝≤0，此时f(x)≥g(x)恒成立；
②当x>0时，由f(x)≥g(x)可得x2≥x，所以x≥1，
由于幂函数h(x)＝x在区间上单调递增，由x≥1可得h(x)≥h，
所以x≥1.
综上所述，不等式f(x)≥g(x)的解集为∪.
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