2023-2024学年苏科版九年级数学上册 2.2圆的对称性 同步练习题（含解析）

2023-2024学年苏科版九年级数学上册《2.2圆的对称性》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（　　）
A．4 B．6 C．6 D．8
2．如图，在⊙O中将弧AB沿弦AB翻折经过圆心O交弦BE于点F，BF＝2EF，AB＝2，则BE长为（　　）
A．4 B．3 C．3 D．6
3．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（　　）
A．40° B．60° C．80° D．120°
4．如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度AB＝8cm，半径OC⊥AB于D，液面深度CD＝2cm，则该管道的半径长为（　　）
A．6cm B．5.5cm C．5cm D．4cm
5．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（　　）
A．25 B．25 C． D．
6．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝8，则⊙O的半径为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
7．如图，某隧道的截面是一个半径为3.4m的半圆形，一辆宽3.2m的卡车恰好能通过该隧道，连车带货一起最高为多少米（　　）
A．3m B．3.4m C．4m D．2.8m
二．填空题（
8．已知四边形ABCD内接于⊙O，OA＝5，AB＝BC，E为CD上一点，且BE＝BC，∠ABE＝90°，则AD的长为　 　．
9．如图，△ABC中，∠A＝70°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC＝　 　．
10．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠CDA＝90°，AB＝1，CD＝2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM＝CM；②；③⊙O的直径为2；④AE＝AD．其中正确的结论有　 　（填序号）．
11．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC＝46°，＝，则
∠DAB＝　 　°．
12．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的长为　 　．
13．如图，矩形ABCD中，AB＝6，以点D为圆心，CD长为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O相交于点E，若的度数为60°，则直径BC长为　 　．
14．如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上任意一点，CF⊥AE于F，则线段FG的长度的最小值为 　 　．
15．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，若AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与OF的关系是　 　（“相等”或“不等”）．
三．解答题
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
17．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC边上的高AH＝3，点P是边BC上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F（点E在点F的左侧）．
（1）当⊙C经过点A时，求CP的长；
（2）连接AP，当AP∥CE时，求⊙C的半径及弦EF的长．
18．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，AD＝CD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．
19．如图，点A、B、C在⊙O上，AB＝CB＝9，AD∥BC，CD⊥AD，且AD＝2．
（1）求线段CD、AC的长；
（2）求⊙O的半径．
20．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝1cm，⊙O的半径为3cm，∠DEB＝60°，求CD的长．
21．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：DF＝DE；
（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．
参考答案
一．选择题
1．解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则∠OCA＝90°，
∵MO＝6，∠OMA＝30°，
∴OC＝MO＝3，
在Rt△OCA中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，
∵OC⊥AB，OC过O，
∴BC＝AC，
即AB＝2AC＝2×4＝8，
故选：D．
2．解：如图，连接AE，AF，OA，OB，过点O作OT⊥AB交⊙O于T，连接AT．
由翻折的性质可知，AB垂直平分线段OT，
∴AO＝AT，
∵OA＝OT，
∴△AOT是等边三角形，
∴∠AOT＝60°，
∵OT⊥AB，
∴＝，
∴∠AOT＝∠BOT＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠E＝∠AOB＝60°，
∵∠ABF＝∠ABE，
∴＝，
∴AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形，
∵BF＝2EF，
∴可以假设EF＝2a，BF＝4a，则EH＝FH＝a，AH＝a，BH＝5a，
在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，
∴（2）2＝（a）2+（5a）2，
∴a＝1，
∴BE＝6a＝6，
故选：D．
3．解：∵∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，
∴的度数是120°，
∵点C、D是的三等分点，
∴的度数是×120°＝80°，
∴∠BOD＝80°，
故选：C．
4．解：连接AO，
∵OC⊥AB，∴D为AB的中点，
∴AD＝4cm，
设圆的半径为rcm，
在Rt△AOD中，OD＝OC﹣CD＝（r﹣2）cm，
根据勾股定理得：OA2＝AD2+OD2，即r2＝16+（r﹣2）2，
解得：r＝5，
故选：C．
5．解：连OC，如图，
∵C是的中点，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴S四边形AOBC＝2×＝．
故选：D．
6．解：作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC，OD，
∴∠NDP＝∠MCP＝∠APC＝45°
又∵OC＝OD，
∴∠ODP＝∠OCP，
∵∠COM＝45°+∠OCD，∠ODN＝45°+∠ODC，
∴∠NDO＝∠COM，
在Rt△ODN与Rt△COM中，
，
∴Rt△ODN≌Rt△COM，
∴ON＝CM＝PM，OM＝ND＝PN
又∵OC2＝CM2+OM2，OD2＝DN2+ON2
∴OC2＝CM2+PN2，OD2＝DN2+PM2
∴OC2+OD2＝CM2+PN2+DN2+PM2＝PC2+PD2＝8
∴OC2＝4，
∴OC＝2，
故选：B．
7．解：
过O作OE⊥AB于E，
则∠OEB＝90°，AB＝DC＝3.2m，
由垂径定理得：AE＝BE＝m＝1.6m，
在Rt△BEO中，∠BEO＝90°，BE＝1.6m，OB＝3.4m，由勾股定理得：OE＝＝3（m），
即连车带货一起最高为3m，
故选：A．
二．填空题
8．解：如图，连接OD，AC．
∵BA＝BE＝BC，
∴点B是△AEC的外接圆的圆心，
∴∠ACE＝∠ABE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACE＝90°，
∵OA＝OD＝5，
∴AD＝5，
故答案为：5．
9．解：过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OQ⊥AC于Q，连接OK、OD、OF、OB、OC，设AB，AC，BC与⊙O的另一个交点分别为E，H，G．
由垂径定理得：DM＝DE，KQ＝KH，FN＝FG，
∵DE＝FG＝HK，
∴DM＝KQ＝FN，
∵OD＝OK＝OF，
∴由勾股定理得：OM＝ON＝OQ，
即O到三角形ABC三边的距离相等，
∴O是△ABC的内心，
∴∠OBC+∠OCB＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝125°，
故答案为125°．
10．解：如下图，连接AM，连接MB，
∵∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴AM过圆心O，
而A、D、M、B四点共圆，
∴四边形ADMB为矩形，而AB＝1，CD＝2，
∴CM＝2﹣1＝1＝AB＝DM，即：①DM＝CM，正确；
又AB∥CD，
∴四边形ABMC为平行四边形，
∴∠AEB＝∠MAE，＝，故②正确；
∵四边形ADMB为矩形，
∴AB＝DM，
∴＝，
∴∠DAM＝∠AMB，
过点O作OG⊥AD于G，OH⊥AE于H，
∴OG＝OH，
∴AD＝AE，
∴④正确；
由题设条件求不出直径的大小，
故③⊙O的直径为2，错误；
故答案为①②④．
11．解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝46°，
∴∠B＝44°．
∴∠ADC＝180°﹣44°＝136°．
∵＝，
∴AD＝DC．
∴∠DAC＝∠DCA＝＝22°，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝22°+46°＝68°．
故答案是：68．
12．解：如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F，连接OA，
则AE＝BE＝AB＝，CF＝DF＝CD＝，
在Rt△AOE中，
∵OA＝2，AE＝，
∴OE＝＝1，
∵AB＝CD，
∴OE＝OF＝1，
又∵OM＝OM，
∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），
∴∠OME＝∠OMF＝∠AMC＝60°，
∴OM＝，
故答案为：．
13．解：如图，连接BE，EC．
∵BC是直径，
∴∠BEC＝90°，
∵的度数＝60°，
∴∠BCE＝×60°＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，∠DCB＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°，
∵DE＝DC，
∴△DEC是等边三角形，
∴EC＝CD＝6，
∴BC＝4．
故答案为：．
14．解：连接AC，过点G作GM⊥AC于M，连接AG、MF、GF，如图所示：
∵G（0，2），
∴OG＝2，GO⊥AB，
∴OA＝OB＝AB，
∵⊙G半径为4，
∴AG＝CG＝4，
∴∠GCA＝∠GAC，
在Rt△OAG中，＝＝，OA＝＝2，
∴∠OAG＝30°，AB＝2OA＝4，
∴∠AGO＝90°﹣30°＝60°，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC＝60°，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴OA＝AC，
∴AC＝2OA＝4，MG＝AG＝×4＝2，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
∵GM⊥AC，
∴AM＝CM，
∴MF＝AC＝2，
当点F在MG的延长线上时，FG的长度的最小，
最小值为：FM﹣MG＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
15．解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝EB，CF＝DF，
∵AB＝CD，
∴AE＝CF，
∵OA＝OC，∠AEO＝∠CFO，AE＝CF，
∴Rt△AEO≌Rt△CFO（HL），
∴OE＝OF．
故答案为：相等．
三．解答题
16．解：（1）如图，连接AD．
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，
∴∠ACD＝70°．
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．
又∵AD＝AE，
∴．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5．
又∵ AF BC＝ AC AB，
∴，
∴．
∵AC＝AD，AF⊥CD，
∴．
17．解：（1）连接AC，如图1所示：∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHC＝90°，
∴BH＝＝＝4，
∴CH＝BC﹣BH＝4，
∴CA＝＝5，
当⊙C经过点A时，CP＝CA＝5；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，当AP∥CE时，四边形APCE是平行四边形，
∵CP＝CE，
∴四边形APCE是菱形，
∴PA＝CP，
设PA＝CP＝x，则PH＝4﹣x，
在Rt△APH中，
由勾股定理得：AH2+PH2＝PA2，
即32+（4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
即⊙C的半径为，
作CM⊥EF于M，如图2所示：则CM＝AH＝3，ME＝MF＝EF，
在Rt△CEM中，由勾股定理得：ME＝＝＝，
∴EF＝2ME＝．
18．（1）证明：∵AD＝DC，
∴＝，
∴OD⊥AC，
∴∠AEO＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AEO＝∠ACB，
∴OD∥BC．
（2）解：∵OD⊥AC，
∴AE＝EC＝5，
设OA＝OD＝r，
在Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴r2＝52+（r﹣4）2，
∴r＝，
∴OE＝r﹣DE＝﹣4＝，
∵AE＝EC，AO＝OB，
∴BC＝2OE＝．
19．解：（1）作AE⊥BC于E，如图1所示：
则AE＝DC，EC＝AD＝2，
∴BE＝BC﹣EC＝9﹣2＝7，
∴CD＝AE＝＝＝4，
∴AC＝＝＝6；
（2）作BF⊥AC于F，连接OA，如图2所示：
则AF＝CF＝AC＝3，
∴BF垂直平分AC，
∴BF一定过圆心O，BF＝＝＝6，
设⊙O的半径为r，则OF＝6﹣r，
在Rt△OAF中，由勾股定理得：（6﹣r）2+32＝r2，
解得：r＝，
即⊙O的半径为．
20．解：作OP⊥CD于P，连接OD，如图所示：
则CP＝PD＝CD，
∵AE＝1cm，⊙O的半径为3cm，
∴OE＝OA﹣AE＝2cm，
在Rt△OPE中，∠DEB＝60°，
∴∠POE＝30°，
∴PE＝OE＝1cm，OP＝PE＝cm，
∴PD＝＝＝（cm），
∴CD＝2PD＝2cm．
21．（1）证明：连接AD，
∵点D是的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝BD，
在△CAD和△BAD中，
，
∴△CAD≌△BAD（SAS），
∴∠ACD＝∠ABD，
∴∠DCE＝∠DBF，
在△CED和△BFD中，
，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴DF＝DE；
（2）解：∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠DBF＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DBF，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
∵CD＝BD＝6，CE＝8，
∴DE＝＝10，
∴EB＝10+6＝16，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，
解得x＝12，
∴AB＝12，
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
∴AD＝＝6，
∴⊙O的半径为3．