3.1.2 椭圆的简单几何性质 课件（共18张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.1.2 椭圆的简单几何性质 课件（共18张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-12 15:58:43 | ||
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文档简介
(共18张PPT)
3.1.2
椭圆的简单几何性质
人教A版（2019）选择性必修第一册
学习目标
1. 掌握椭圆的简单几何性质及其离心率对椭圆形状的影响。
2. 运用解析法（坐标法）研究椭圆的几何性质，并能利用几何性质解决相关问题。
3. 核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算
一、复习导入
椭圆的概念及其标准方程
定义：我们把平面内与两个定点, 的距离的和等于常数（大于||）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
椭圆的标准方程：①焦点在：1 (0).
②焦点在：1 (0).
二、新课讲授
1、椭圆的范围
问题1 我们如何研究椭圆的几何性质呢？从哪些方面去研究？
分析：先“形”后“数”，即我们要在观察图形的形状与特征的基础上先提出猜想，再通过椭圆的标准方程来进行计算和推理.
椭圆的几何性质：范围、对称性、特殊点、扁平程度.
追问1 观察直角坐标系中的椭圆，你能从图上看出它的范围吗？你能利用它的方程给出证明吗？
分析：易知，椭圆在一个特定的矩形内.为确定矩形的具体边界，我们利用方程（代数法）进行研究.
观察图象，椭圆的范围为： ， .
由椭圆的标准方程可知：1，即=1- 0，
所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式：1，
即 .
同理有 1，
即 .
这说明椭圆位于直线=± 和=± 围成的矩形框里.
2、对称性
问题2 请同学们思考椭圆具有怎样的对称性？
分析：椭圆既是轴对称又是中心对称.
追问1 你能利用椭圆的方程证明它的对称性吗？
在椭圆的标准方程1(0)中，以代，方程不变.这说明当点在椭圆上时，它关于的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于的对称.
同理，以代，方程不变.这说明当点在椭圆上时，它关于的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于的对称.
综上，椭圆关于、 都对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
以代，以代，方程都不变.这说明当点在椭圆上时，它关于的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于的对称.
3、顶点
问题3 请同学们观察椭圆，你觉得有哪些比较特殊的点？你能通过椭圆的方程得到这些点的坐标点吗？
O
分析：椭圆与坐标轴的四个交点.
在椭圆的标准方程1(0)中，令=0，得=± .因此, 是椭圆与轴的两个交点.
同理，令=0，得=± .因此, 是椭圆与轴的两个交点.
因为轴、 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点.
线段， 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和， 和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
O
4、离心率
问题4 观察下图，我们发现，不同椭圆它们的扁平程度不同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？
分析：椭圆的扁平程度与短轴和长轴之比，即有关.
追问1 认真观看，当椭圆的焦距发生改变时，椭圆的扁平情况会发生变化吗？
分析：椭圆的扁平程度与焦距和长轴之比，即与有关.
追问2 椭圆的扁平程度与和有关，那我们该选择谁来刻画椭圆的扁平程度呢？
因为，所以和本质上是相关的，它们都可以用来刻画椭圆的扁平程度.而两者对比， 和都来自于椭圆的定义，是确定椭圆曲线的基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性.
综上，我们选择来刻画椭圆的扁平程度.
椭圆1(0)的长半轴长为，半焦距为.保持长轴长不变，改变椭圆的半焦距，可以发现越接近，椭圆越扁平.这样，利用和这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度.
我们把椭圆的焦距长轴长的比称为椭圆的离心率，用表示，即.
追问3 椭圆椭圆的离心率在范围内变化时椭圆形状如何变？
因为 0 ，所以0< <1.
① 越接近1，椭圆就越扁；
② 越接近0，椭圆就越圆；
③ 特别地，=0时，即= ， 0时，椭圆的两个焦点重合，椭圆变为圆，此时方程为： .
三、巩固新知
例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
解：把椭圆方程化为标准方程，得 1 ，
于是= 5， =4， ==3.
因此，椭圆长轴和短轴的长分别为= 10， =8,离心率= =
两个焦点坐标分别为四个顶点坐标分别为 和 .
四、课堂小结
五、作业布置
课本P112：练习 第2,、3题
标准方程 1 1
性 质 范围
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点
离心率 = (0,1)
3.1.2
椭圆的简单几何性质
人教A版（2019）选择性必修第一册
学习目标
1. 掌握椭圆的简单几何性质及其离心率对椭圆形状的影响。
2. 运用解析法（坐标法）研究椭圆的几何性质，并能利用几何性质解决相关问题。
3. 核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算
一、复习导入
椭圆的概念及其标准方程
定义：我们把平面内与两个定点, 的距离的和等于常数（大于||）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
椭圆的标准方程：①焦点在：1 (0).
②焦点在：1 (0).
二、新课讲授
1、椭圆的范围
问题1 我们如何研究椭圆的几何性质呢？从哪些方面去研究？
分析：先“形”后“数”，即我们要在观察图形的形状与特征的基础上先提出猜想，再通过椭圆的标准方程来进行计算和推理.
椭圆的几何性质：范围、对称性、特殊点、扁平程度.
追问1 观察直角坐标系中的椭圆，你能从图上看出它的范围吗？你能利用它的方程给出证明吗？
分析：易知，椭圆在一个特定的矩形内.为确定矩形的具体边界，我们利用方程（代数法）进行研究.
观察图象，椭圆的范围为： ， .
由椭圆的标准方程可知：1，即=1- 0，
所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式：1，
即 .
同理有 1，
即 .
这说明椭圆位于直线=± 和=± 围成的矩形框里.
2、对称性
问题2 请同学们思考椭圆具有怎样的对称性？
分析：椭圆既是轴对称又是中心对称.
追问1 你能利用椭圆的方程证明它的对称性吗？
在椭圆的标准方程1(0)中，以代，方程不变.这说明当点在椭圆上时，它关于的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于的对称.
同理，以代，方程不变.这说明当点在椭圆上时，它关于的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于的对称.
综上，椭圆关于、 都对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
以代，以代，方程都不变.这说明当点在椭圆上时，它关于的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于的对称.
3、顶点
问题3 请同学们观察椭圆，你觉得有哪些比较特殊的点？你能通过椭圆的方程得到这些点的坐标点吗？
O
分析：椭圆与坐标轴的四个交点.
在椭圆的标准方程1(0)中，令=0，得=± .因此, 是椭圆与轴的两个交点.
同理，令=0，得=± .因此, 是椭圆与轴的两个交点.
因为轴、 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点.
线段， 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和， 和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
O
4、离心率
问题4 观察下图，我们发现，不同椭圆它们的扁平程度不同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？
分析：椭圆的扁平程度与短轴和长轴之比，即有关.
追问1 认真观看，当椭圆的焦距发生改变时，椭圆的扁平情况会发生变化吗？
分析：椭圆的扁平程度与焦距和长轴之比，即与有关.
追问2 椭圆的扁平程度与和有关，那我们该选择谁来刻画椭圆的扁平程度呢？
因为，所以和本质上是相关的，它们都可以用来刻画椭圆的扁平程度.而两者对比， 和都来自于椭圆的定义，是确定椭圆曲线的基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性.
综上，我们选择来刻画椭圆的扁平程度.
椭圆1(0)的长半轴长为，半焦距为.保持长轴长不变，改变椭圆的半焦距，可以发现越接近，椭圆越扁平.这样，利用和这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度.
我们把椭圆的焦距长轴长的比称为椭圆的离心率，用表示，即.
追问3 椭圆椭圆的离心率在范围内变化时椭圆形状如何变？
因为 0 ，所以0< <1.
① 越接近1，椭圆就越扁；
② 越接近0，椭圆就越圆；
③ 特别地，=0时，即= ， 0时，椭圆的两个焦点重合，椭圆变为圆，此时方程为： .
三、巩固新知
例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
解：把椭圆方程化为标准方程，得 1 ，
于是= 5， =4， ==3.
因此，椭圆长轴和短轴的长分别为= 10， =8,离心率= =
两个焦点坐标分别为四个顶点坐标分别为 和 .
四、课堂小结
五、作业布置
课本P112：练习 第2,、3题
标准方程 1 1
性 质 范围
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点
离心率 = (0,1)