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专题复习三 建模问题-建立方程(组)模型
【简要分析】
方程是描述丰富多彩的现实世界数量关系最重要的语言，也是中考考查的热点之一.我们必须了解现代社会日常生活、生产实践、经济活动的有关常识，学会用方程思想去分析和解决一些实际问题.
【典型考题例析】
例1 （2006年南京市中考题）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元
分析与解答 设应将每千克小型西瓜的售价降低x元.根据题意，得
(32x)(200+=200.
解这个方程，得x1 =0.2，x2 =0.3.
答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2元或0.3元.
说明 本例是一个以市场经济为背景的典型考题，它要求考生提炼题目中的有关信息，应用已有的数学知识建立方程模型，正确进行决策.
例2 (2005年湖北省武汉市中考题)武汉江汉一桥维修工程中，拟由甲、乙两个工程队共同完成某项目.从两个工程队的资料可以知道：若两个工程队合做24天恰好完成；若两个工程队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成.请问：⑴甲、乙两个工程队完成该项目各需多少天？⑵又已知甲工程队每天的施工费为0.6万元，乙工程队每天的施工费为0.35万元，要使该项目总的施工费不超过22万元，则乙工程队至少要施工多少天？
分析与解答 ⑴设甲工程队单独完成此项目需要x天，乙工程队单独完成此项目需要y天.依题意，得解得
经检验是原方程的解，并符合题意.
答：甲工程队单独完成此项目需要40天，乙工程队单独完成此项目需要60天.
⑵设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天时总的施工费用不超过22万元.根据题意，得
解之，得b≥40.
答：要使该工程项目的施工费用不超过22万元，乙工程队最少要施工40天.
说明 本题为工程中的比较决策型应用问题.解题的关键是正确设出未知数，建立方程(组)模型求解.
【提高训练】
1．(2006年江苏省南京市中考题)某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？
2．(2006年湖南省长沙市中考题)在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成.
⑴求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
⑵求两队合做完成这项工程所需的天数.
3．(2006年四川省南充市中考题）A、B两城铁路长240千米，为使行驶时间减少20分钟，需要提速10千米／时，但在现有条件下安全行驶限速100千米／时，问能否实现提速目标.
4．(2006年湖南省益阳市中考题）八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖品，下面是李小波与售货员的对话：
李小波：阿姨，您好！
售货员：同学，你好，想买点什么？
李小波：我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.
售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好，再见.
根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？
5．(2005年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市中考题)为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍.拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需700元.计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积. ⑴求：原计划拆、建面积各是多少平方米？⑵若绿化1平方米需200元，那么在实际完成拆、建工程中节余资金用来绿化大约是多少平方米？
答案:
1. 中、小型汽车分别有15辆、35辆
2. ⑴乙工程队单独完成这项工程所需的天数为60天
⑵两队合做完成这项工程所需的天数为24天
3. 设提速后行驶的速度为x千米/时，得=.
解之，得x1=90，x2 =80(舍去)，
∵x=90<100 .能实现提速目标
4. 钢笔每支5元，笔记本每本3元
5. ⑴原计划拆除校舍4800平方米，新建校舍2400平方米
⑵实际施工中节约的资金可绿化1488平方米
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专题复习三 建模问题-建立函数模型
【简要分析】
函数应用问题是近年中考热点题型，它以函数知识为背景，具有创新性、开放性，针对社会热点，有强烈的时代气息，贴近学生的生活实际.解答这类问题的关键是将实际问题中内在、本质的联系抽象、转化为数学问题，建立函数模型，从而求得实际问题的答案.
【典型考题例析】
例1 小明想为书房买灯，现有两种灯可供选择，其中一种是9瓦(即0.009千瓦)的节能灯，售价是49元/盏；另一种是40瓦(即0.04千瓦)的白炽灯，售价为18元/盏.假设两种灯照明亮度相同，使用寿命都可达2800小时，已知小明家所在地的电价是每千瓦0.5元.⑴设照明时间x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯的费用y1和一盏白炽灯的费用y2(费用=灯售价+电费).⑵小明想在两种灯中选购一盏，照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低？照明时间在什么范围内，选用节能灯合算？ (2005年安徽省六安市中考题改编)
分析与解答 ⑴根据“费用=灯售价+电费”得
y1 =49 +0.0090.5x =49 +0.0045x
y2 =18 +0.040.5x =18 +0.02x
⑵在同一坐标系内画出y1、y2的图象如图2-3-1，两条射线的交点坐标为(2000，58).观察图象可知，当照明时间小于2000小时时，y2的图象在y1的下方，说明选白炽灯合算，当照明时间超过2000小时时，y1的图象在y2的下方，说明选用节能灯合算.
说明 本题是一个通过建立一次函数模型，利用一次函数图象的性质去对经济问题决策的典型考题.
例2 (2006年湖北省十堰市中考题） 市“健益”超市购进一批20元／千克的绿色食品，如果以30元／千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如图2-3-2所示的一次函数关系.
⑴试求出y与x的函数关系式；
⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
分析与解答 ⑴设y= kx+b，由图象可知，
解之，得
∴y = 20x +1000 (30≤x≤50)
⑵ P=(x20)y =(x20)(20x+1000)
= 20x2 +1400x 20000.
∵a = 20<0，∴P有最大值.
当 x = =35时，P最大 =4500.
即当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元.
说明 本例取材于让利销售的市场经济，要求理解题意，在较复杂的数量关系中建立一次函数和二次函数模型，并利用二次函数的性质求出最大利润和决定售价.这类问题在近年中考试卷中出现率极高，同学们在复习时要引起注意.
【提高训练】
1．(2006年江苏省宿迁市中考题）甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的电器，但是各自推出的优惠方案不同.甲商场规定：凡购买超过1000元电器的，超出的金额按90%实收；乙商场规定：凡购买超过500元电器的，超出的金额按95%实收.顾客怎样选择商场购买电器能获得更大的优惠？
2．(2006年湖北省武汉市中考题)某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品.生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：
产品资源 甲 乙
矿石（t） 10 4
煤（t） 4 8
煤的价格为400元/吨.生产1吨甲产品除原料费用外，还需其它费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其它费用500元，乙产品每吨售价5500元.现将该矿石原料全部用完.设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元.
⑴写出m与x之间的关系式；
⑵写出y与x之间的函数表达式(不要求写出自变量的范围)；
⑶若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大？最大利润是多少？
3．(2005年宁夏回族自治区灵武市中考题)某商店购进一批单价为18元的商品，如果以单价20元销售，那么一个星期可售出100件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减小，即当销售单价每提高1元，销售量相应减小10件.如何提高销售单价，才能在一个星期内获得最大利润？最大利润是多少？
4． (2005年湖南省长沙市中考题)某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支(不含进价)总计120万元.在销售过程中发现，年销售量y(万件)与销售单价(元)之间存在着如图2-3-3所示的一次函数关系.⑴求y与x的函数关系式.⑵试写出该公司销售该种产品的年获利Z(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式(年获利=年销售额年销售产品总进价年总开支).当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值.⑶若公司希望该种产品一年销售的获利不低于40万元，借助⑵中函数图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
5．(2006年湖北省武汉市中考题)连接着汉口集家咀和汉阳南岸的江汉三桥(晴川桥)，是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥.它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观.桥的拱肋ACB视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为5米(不考虑系杆的粗细)，拱肋的跨度AB为280米，距离拱肋的右端70米处的系杆EF的长度为42米.以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图2-3-5所示的平面直角坐标系.
⑴求抛物线的解析式；
⑵正中间系杆OC的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半？请说明理由.
参考答案
1. 当0＜x≤500或x＝1500时，可任意选择甲、乙两商场；当500＜x＜1500时，可选择乙商场；当x＞1500时，可选择甲商场.
2. ⑴ m=
⑵y = 1900x+75000
⑶∵4x+8≤200，∴25≤x≤30.
∴当生产甲产品25吨时，公司获得的总利润最大，y最大=190025+75000=27500(元)
3. 设提高价为x元，利润为y元，则每件所获利润为(20+x 18)元，销售量为(10010x)件 .
根据题意得y=(20+x18)(10010x)=10(x4)2+360.
∵10<0，∴当x=4时，y的最大值是360.这时，x+20=24，
所以当商店把销售单价提高24元时，一个星期内的获利最大，最大利润是360元
4. ⑴y=x+8
⑵Z=(x100)2 +60，当x=100时，最大利润为60万元
⑶销售单位定为80元
5. ⑴y=x2 +56
⑵当x=0时，x2 +56=56，∴OC=56(米)，
设存在一根系杆的长度是OC的一半，即这根系杆的长度是28米，
则28=x2 +56，解得x=70.
∵相邻系杆之间的间距均为5米，最中间系杆OC在y轴上，
∴每根系杆上的点的横坐标均为整数，
∴x=70与实际不符，
∴不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的一半
图2-3-5
y
x
F
E
B
O
C
A
图2-3-4
0
y(万件)
x(元)
80
60
40
20
6
5
4
3
2
图2-3-3
1
图2-3-2
（2000,58）
图2-3-1
y2
y1
y
x
O
60
40
20
3000
2000
1000
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专题复习三 建模问题-建立几何模型
【简要分析】 ( http: / / )
纵观近年全国各省市中考数学应用题，几何模型应用题悄然兴起，常处于“创新题”的地位，充当“选拔题”的重要角色.解几何应用题的一般方法是认真分析题意，洞察题中所蕴含的几何模型，然后把实际问题进行抽象，概括题意画出模型图，再利用几何图形的有关性质及相关定理来解决问题.
【典型考题例析】
例1 (2004年安徽省中考题) 如图2-3-6，某牙膏上部圆的直径为3cm，下部底边长为4.8cm.现要制作长方体牙膏盒，牙膏盒的上面是正方形.以下列数据作正方形边长制作牙膏盒，既节省材料又方便取放的是(取1.4)( ).
(A) 2.4cm (B) 3cm (C) 3.6cm (D) 4.8cm
分析与解答 盒子要能装下牙膏，可以建立如下数学模型，满足的条件如图2-3-7，牙膏上部的圆与正方形各边至少内切，正方形的边长大于或等于3cm，而且对角线应该大于或等于4.8cm.因此根据勾股定理，当正方形边长取3时，计算对角线长度约为4.2cm，无法装下；当正方形边长取3.6cm时，对角线的长度约为5.1cm，为了节省材料，选C.
例2(2006年安徽省中考题)汪老师要装修自己带阁楼的新居(图2-3-8为新居的剖面图)，在建造客厅到阁楼的楼梯时AC时，为避免上楼时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m.他量得客厅的高AB=2.8m，楼梯洞口宽AF=2m，阁楼阳台宽EF=3m，请你帮汪老师解决下列问题：
⑴要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？
⑵在⑴的条件下，为保证上楼时的舒适感，楼梯的每个台阶要小于20cm，每个台阶宽要大于20cm，问汪老师应该将楼梯建几个台阶？为什么？
分析与解答 ⑴根据题意有AF∥BC，
∴∠ACB=∠GAF，又∠ABC=∠AFG=90，
∴△ABC∽△GFA. ∴ HYPERLINK "http://" EMBED Equation.3 ，
得BC=3.2(m)，CD=(2+3)3.2 =1.8(m).
⑵设楼梯应建n个台阶，则
解得，14故楼梯应建15个台阶.
例2 (2006年山东省威海市中考题）图2-3-9，图2-3-10是晓东同学在进行“居民楼高度、楼间距对住户采光影响问题”的研究时画的两个示意图.请你阅读相关文字，解答下面的问题.
⑴图2-3-9是太阳光线与地面所成角度的示意图.冬至日正午时刻，太阳光线直射在南回归线（南纬23.5）B地上.在地处北纬36.5的A地，太阳光线与地面水平线l所成的角为，试借助图2-3-9，求的度数.
⑵图2-3-10是乙楼高度、楼间距对甲楼采光影响的示意图.甲楼地处A地，其二层住户的南面窗户下沿距地面3.4米.现要在甲楼正南面建一幢高度为22.3米的乙楼，为不影响甲楼二层住户（一层为车库）的采光，两楼之间的距离至少应为多少米？
分析与解答
⑴∵太阳光线是平行的，
∴∠+90+36.5+23.5=180，
∴∠=30，
⑵如图2-3-11过点D作DE⊥CF，垂足为E.
在Rt△CDE中，
CE=22.33.4=18.9(米)，∠CDE=30.
∴cot30= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.3 ，
∴DE=CE·cot30=18.9≈32.8(米).
答：两楼这间的距离至少为32.8米.
【提高训练】 ( http: / / )
1．(2006年呼和浩特市中考题)如图2-3-12，A、B是两座现代城市，C是一个古城遗址，C城在A城的北偏东30，在B城的北偏西45，且C城与A城相距120千米.B城在A城的正东方向.以C为圆心，以60千米为半径的圆形区域内有古迹和地下文物.现要在A、B两城市间修建一条笔直的高速公路.
⑴请你计算公路的长度(结果保留根号).
⑵请你分析这条公路有没有可能对文物古迹造成损毁.
2. (2006年吉林省长春市中考题）如图2-3-13，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图.请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF.
(参考数据：sin40≈0.64，cos40≈0.77，tan40≈0.84，结果精确到0.1m.)
1．
3．(2006年浙江省绍兴市中考题)某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图2-3-14所示，BC∥AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=68，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50时，可确保山体不滑坡.
(1)求改造前坡顶与地面的距离BE的长(精确到0.1m)；
(2)为确保安全，学校计划改造时保 ( http: / / )持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F点处，问BF至少是多少米(精确到0.1m)？
(参考数据：sin68=0.9272，cos68=0.374 6，tan68=2.475 1，sin50=0.766 0，cos50=0.642 8，tan50=1.191 8)
4．(2006年河北省中考题）图2-3-15是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2-3-16是车棚顶部截面的示意图，AB所在圆的圆心为O.车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积 (不考虑接缝等因素，计算结果保留 ).
答案:
1. ⑴60( HYPERLINK "http://" EMBED Equation.3 +1)千米
⑵过C作CD⊥AB，易解得CD=60>60. 此条公路不会对文物造成损毁
2. 在Rt△CDF中，CD＝5.4，∠DCF＝40，
∴DF＝CD·sin40≈5.4×0.64≈3.46.
在Rt△ADE中，AD＝2.2，∠ADE＝∠DCF＝40，
∴DE＝AD·cos40≈2.2×0.77≈1.69.
∴EF＝DF＋DE≈5.15≈5.2(m). 即车位所占街道的宽度为5.2m
3. ⑴BE约为20.4米
⑵BF至少要8.9米
4. 160
图2-3-16
图2-3-15
·
O
B
A
B
A
4米
2米
(
·
F
C
D
E
A
图2-3-14
图2-3-13
图2-3-12
45
30
北
北
B
C
A
图2-3-11
图2-3-10
图2-3-9
F
E
D
C
B
A
阳台
客厅
阁楼
2.8m
2m
3 m
图2-3-8
G
图2-3-7
图2-3-6
4.8cm
3cm
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专题复习三 建模问题-建立不等式(组)模型
【简要分析】 ( http: / / )
生活中的不等关系是普遍存在的.在市场营销、生产决策和社会生活中，有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题，可以通过对给出的数据进行分析、转化成相应的不等式问题，利用不等式的有关知识和方法，求出或确定某个量的变化范围，再予以解决.
【典型考题例析】
例1 (2006年四川省南充市中考题）学校计划购买40支钢笔，若干本笔记本（笔记本数超过钢笔数）.甲、乙两家文具店的标价都是钢笔10元／支，笔记本2元／本，甲店的优惠方式是钢笔打9折，笔记本打8折；乙店的优惠方式是每买5支钢笔送1本笔记本，钢笔不打折，购买的笔记本打7.5折，试问购买笔记本数在什么范围内到甲店更合算.
分析与解答 设购买笔记本数x(x>40)本到甲店更合算.
到甲店购买应付款100.940+20.8x；
到乙店购买40支钢笔可获赠8本笔记本，实际应付款1040+20.75(x8).
根据题意，得
100.940+20.8x<1040+20.75(x8).
360+1.6x <400+1.5x12.
解得x<280.
答：购买笔记本小于280本(大于40本)时到甲店更合算. ( http: / / )
例2 (2006年湖北省襄樊市中考题）汉江市政府为响应党中央建设社会主义新农村和节约型社会的号召,决定资助部分农村地区修建一批沼气池,使农民用到经济、环保的沼气能源.红星村共有360户村民，村里得到34万元的政府资助款，准备再从各户筹集一部分资金修建A型、B型沼气池共20个.两种型号沼气池每个修建费用、可供使用的户数、修建用地情况见下表：
沼气池 修建费用（万元/个） 可供使用户数（户/个） 占地面积（m2/个）
A型 3 20 10
B型 2 15 8
政府土地部门只批给该材沼气池修建用地188m2,若修建A型沼气池x个，修建两种沼气共需费用y万元.
⑴求y与x之间的函数关系式；
⑵试问有几种满足经上要求的修建方案？
⑶平均每户村民筹集500元钱，能否满足所需费用最少的修建方案.
分析与解答 ⑴ y=3x+2(20x)=x+40.
⑵依题意，得
解之，得12≤x≤14.
∵x取整数，∴x=12，或x=13，或x=14.
∴ 共有三种修建方案：A型池12个，B型池8个；A型池13个，B型池7个；A型池14个，B型池6个.
⑶ ∵y=x+40，y随x的增大而增大.
∴只有x取最小值时，y有最小值.
即建A型池12个，B型池8个时费用最少.
此时，y=12+40=52(万元).
∵0.05360+34=52(万元).
∴平均每户村民集资500元，能满足修建需要.
【提高训练】 ( http: / / )
1．(2006年广西壮族自治区百色市中考题)某校组织42名学生到百色市起义纪念馆参观，现需到某宾馆住宿，若每间房安排住4人，则还有学生无房间住；若每间房安排5人，则还有房间住不满.那么该宾馆可安排学生入住的房间数是 间.
2．(2006年广西壮族自治区柳州市中考题)某校八年级在学校团委的组织下，围绕“八荣八耻”开展了一次知识竞赛活动，竞赛规则：每班代表队都必须回答27道题，答对一题得5分，答错或不答都倒扣1分.
⑴ 在比赛到第18题结束时，03（3）班代表队得分为78分，这时03（3）班答对了多少道题？
⑵比赛规定，只有得分超过100分（含100分）时才能获奖. 在第（1）小题的条件下，03（3）班代表队在后面的比赛中至少还要答对多少题才有可能获奖？请简要说明理由.
3．(2006年贵州省贵阳市中考题）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元.
⑴符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由.
⑵如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包 ( http: / / )车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上那种购买方案？
\
4．(2006年湖南省益阳市中考题）城西中学七年级学生共400人，学校决定组织该年级学生到某爱国主义 ( http: / / )教育基地接受教育，并安排10位教师同行. 经学校与汽车出租公司协商，有两种型号的客车可供选择，其座位数（不含司机座位）与租金如下表，学校决定租用客车10辆.
大巴 中巴
座位数（个/辆） 45 30
租金（元/辆） 800 500
⑴为保证每人都有座位，显然座位总数不能少于410. 设租大巴x辆，根据要求，请你设计出可行的租车方案共有哪几种？
⑵设大巴、中巴的租金共y元，写出y与x之间的函数关系式；在上述租车方案中，哪种租车方案的租金最少？最少租金为多少元？
答案:
1. 9或10
2.⑴16题 ⑵至少要答对6题 ( http: / / )
3. ⑴设轿车要购买x辆，那么面包车要购买(10x)辆，
由题意得：7x+4(10x)≤55.解得：x≤5 .又∵x≥3，则x=3，4，5 .
∴购车方案有三种：方案一：轿车3辆，面包车7辆；方案二：轿车4辆，面包车6辆；方案三：轿车5辆，面包车5辆 ⑵方案一的日租金为：3200+7110=1370(元)；方案二的日租金为：1200+6110=1460(元)；方案三的日租金为：5200+5110=1550(元). 为保证日租金不低于1500元，应选择方案三
4. (1)根据题意得 解得：
又因为车辆数只能取整数，所以x=8，9，10.
租车方案共3种：租大巴8辆，中巴2辆，租大巴9辆，中巴1辆，租大巴10辆.
⑵y=800x+500(10x)=300x+5000.y=300x+5000为一次函数，且y随x的增大而增大.
∴x取8时，y最小.y=3008+5000=7400元. 即租大 ( http: / / )巴8辆，中巴2辆时租金最少，租金为7400元.
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